主成分分析、聚类分析、因子分析的基本思想及优缺点
多元统计分析 (2)
多元统计分析简介多元统计分析是指对多个变量进行统计分析，旨在揭示变量之间的关联性以及它们对整体数据的贡献。
它是一种在现代数据科学和数据分析中常用的方法，可以为人们提供深入了解数据的结构和特征的洞察力。
在本文档中，我们将介绍多元统计分析的基本概念，包括主成分分析、聚类分析和因子分析等。
主成分分析主成分分析（Principal Component Analysis，简称PCA）是一种常用的多元统计分析方法，它通过线性变换将原始的高维数据转换为低维的主成分，从而减少数据的维度，并保留原始数据的大部分信息。
主成分分析的核心思想是寻找能够描述原始数据方差最大的轴，这些轴称为主成分。
主成分分析可以帮助我们发现变量之间的相关性，并找到数据中的模式或规律。
主成分分析的使用步骤通常包括以下几个步骤：1.数据标准化：对原始数据进行标准化处理，使得数据满足均值为0、方差为1的标准正态分布。
2.计算协方差矩阵：计算标准化后的数据的协方差矩阵。
3.计算特征值和特征向量：通过对协方差矩阵进行特征值分解，得到特征值和对应的特征向量。
4.选择主成分：根据特征值的大小，选择解释方差最大的前几个特征向量作为主成分。
5.数据投影：将原始数据投影到选择的主成分上，得到降维后的数据。
主成分分析在实际应用中具有广泛的应用场景，例如在数据可视化、数据降维、特征提取等领域。
聚类分析聚类分析是一种将数据根据其相似性分为不同组别的方法。
它是通过计算样本之间的距离或相似性，将样本划分为具有相似特征的组别。
聚类分析的目标是使得组内的差异最小化，而组间的差异最大化，从而实现样本间的聚类。
聚类分析的常见方法包括层次聚类和K均值聚类。
层次聚类是一种基于距离或相似性矩阵的聚类方法，它通过不断合并最相似的样本或组别，形成聚类树状结构。
K均值聚类是一种基于距离度量的迭代聚类算法，它通过不断更新样本的聚类中心，将样本划分为K个不相交的簇。
聚类分析在数据挖掘、模式识别、市场分析等领域中被广泛应用。
数学建模各种分析方法
现代统计学1.因子分析(Faｃｔor Ａｎalysis)因子分析的基本目的就是用少数几个因子去描述许多指标或因素之间的联系，即将相关比较密切的几个变量归在同一类中，每一类变量就成为一个因子(之所以称其为因子,是因为它是不可观测的，即不是具体的变量），以较少的几个因子反映原资料的大部分信息.运用这种研究技术，我们可以方便地找出影响消费者购买、消费以及满意度的主要因素是哪些，以及它们的影响力（权重）运用这种研究技术，我们还可以为市场细分做前期分析。
2．主成分分析主成分分析主要是作为一种探索性的技术，在分析者进行多元数据分析之前,用主成分分析来分析数据,让自己对数据有一个大致的了解是非常重要的.主成分分析一般很少单独使用：a，了解数据。
(screeninｇ the daｔa)，b，和ｃｌuｓteｒ aｎaｌysｉs一起使用，c，和判别分析一起使用，比如当变量很多，个案数不多，直接使用判别分析可能无解,这时候可以使用主成份发对变量简化。
（ｒeduce dimensiｏｎality)d,在多元回归中,主成分分析可以帮助判断是否存在共线性(条件指数),还可以用来处理共线性。
主成分分析和因子分析的区别1、因子分析中是把变量表示成各因子的线性组合，而主成分分析中则是把主成分表示成个变量的线性组合。
2、主成分分析的重点在于解释个变量的总方差，而因子分析则把重点放在解释各变量之间的协方差。
３、主成分分析中不需要有假设(ａｓｓｕｍptions）,因子分析则需要一些假设。
因子分析的假设包括：各个共同因子之间不相关，特殊因子（speｃific fａct ｏr）之间也不相关，共同因子和特殊因子之间也不相关.４、主成分分析中，当给定的协方差矩阵或者相关矩阵的特征值是唯一的时候，的主成分一般是独特的；而因子分析中因子不是独特的,可以旋转得到不同的因子。
５、在因子分析中,因子个数需要分析者指定（spss根据一定的条件自动设定,只要是特征值大于1的因子进入分析),而指定的因子数量不同而结果不同。
eviews中主成分分析和因子分析详解
灵活的编程接口
eviews提供了灵活的编程接口， 支持多种编程语言和脚本语言， 方便用户进行二次开发和定制。
未来发展趋势预测
大数据分析
随着大数据时代的到来，eviews将更加注重对大数据的处理和 分析能力，提高处理效率和准确性。
人工智能融合
eviews将与人工智能技术相结合，实现智能化数据分析，提高 分析的自动化程度和准确性。
总结在使用eviews进行主成分分析 和因子分析过程中可能遇到的常见问 题，并提供相应的解决方案。
07 总结与展望
CHAPTER
主成分分析和因子分析应用前景
多元统计分析方法
主成分分析和因子分析作为多元统计分析的重要方法，在多个领域 具有广泛的应用前景，如经济、金融、社会学、医学等。
数据降维
主成分分析通过线性变换将原始数据转换为新的变量，实现数据降 维，简化数据结构，提高数据处理的效率。
因子分析步骤
在eviews中导入数据，选择因子分析功能，按照步骤进行 操作，包括数据预处理、选择因子个数、进行因子旋转等 。
结果解读
根据因子分析结果，提取影响消费者行为的公共因子，分 析各因子的含义和重要性，以及各因子对不同消费者群体 的影响程度。
实战演练：eviews操作技巧分享
数据导入与预处理
介绍如何在eviews中导入数据、进 行数据清洗和预处理等操作。
主成分与因子分析功能使用
详细演示如何在eviews中使用主成 分分析和因子分析功能，包括参数设 置、模型选择等。
结果解读与可视化
分享如何解读主成分分析和因子分析 结果，以及如何利用eviews的图形 功能进行结果可视化展示。
常见问题与解决方案
结果解读
根据输出的结果，可以了解各因子对原始变量的解释程度 ，以及各样本在因子上的得分情况。同时，通过载荷矩阵 可以了解各原始变量与因子的关系。
数据分析中的因子分析与主成分分析
数据分析中的因子分析与主成分分析在当今信息爆炸的时代，数据分析已经成为了各行各业中不可或缺的一部分。
在数据分析的过程中，因子分析和主成分分析是常用的两种统计方法。
它们可以帮助我们理解数据背后的隐藏规律和关联性。
本文将介绍因子分析和主成分分析的基本概念、应用场景以及它们之间的区别。
一、因子分析因子分析是一种用于探索多个变量之间关系的统计方法。
它的基本思想是将多个相关的变量归纳为少数几个潜在因子，从而简化数据的复杂性。
通过因子分析，我们可以找到隐藏在数据背后的共性因素，并将其用较少的变量来代表。
在因子分析中，我们需要确定两个重要的概念：因子载荷和公因子。
因子载荷表示变量与因子之间的相关性，取值范围为-1到1。
而公因子则是指影响多个变量的共同因素。
通过因子分析，我们可以得到每个变量对于每个公因子的因子载荷，从而得知变量之间的相关性以及它们与公因子的关系。
因子分析在实际应用中有着广泛的用途。
例如，在市场调研中，我们可以利用因子分析来确定消费者对于某个产品的偏好因素；在心理学研究中，我们可以通过因子分析来探索人们的个性特征。
因子分析的结果可以帮助我们更好地理解数据，为进一步的分析提供基础。
二、主成分分析主成分分析是一种用于降维的统计方法。
它的目标是通过线性组合将原始变量转化为一组新的互相无关的变量，即主成分。
主成分分析通过保留原始数据的大部分信息，同时减少数据的维度，从而达到简化数据和减少冗余的目的。
在主成分分析中，我们首先需要计算协方差矩阵。
然后，我们通过求解协方差矩阵的特征值和特征向量，得到主成分。
特征值表示主成分的重要性，而特征向量则表示主成分的方向。
通过选择特征值较大的主成分，我们可以保留较多的原始数据信息。
主成分分析在实际应用中也有着广泛的用途。
例如，在金融领域，我们可以利用主成分分析来构建投资组合，降低风险；在图像处理中，我们可以利用主成分分析来提取图像的特征。
主成分分析可以帮助我们更好地理解数据的结构，发现数据中的重要特征。
因子分析ppt课件
（3）因子旋转
通过正交旋转或斜交旋转使提取出的因子具有可解 释性。
（4）计算因子得分
通过各种方法求解各样本在各因子上的得分，为进 一步分析奠定基础。
❖ 2、因子分析前提条件——相关性分析：
分析方法主要有：
（1）计算相关系数矩阵(correlation coefficients matrix)
1 2 为p的特0 征根，
标准化特征向量，则
为u对1 , 应u2 的,, up
1
Σ = U
2
U AA + D
p
u1 u2
up
1
0
1u1u1 2u2u2
0
u1 u2
p
up
mumum m1um1um1
1u1
2u2
pu p
1u1
2
u2
p
因子分析的基本理论 ❖ 3、因子分析的目的：
因子分析的目的之一，简化变量维数。即要使因素结 构简单化，希望以最少的共同因素（公共因子），能 对总变异量作最大的解释，因而抽取得因子愈少愈好， 但抽取因子的累积解释的变异量愈大愈好。
在因子分析的公共因子抽取中，应最先抽取特征值最 大的公共因子，其次是次大者，最后抽取公共因子的 特征值最小，通常会接近0。
（3）因子分析中因子载荷的不唯一性有利于对公因子进行有效解释； 而主成分分析对提取的主成分的解释能力有限。
因子分析的基本理论
❖ 5、因子分析模型： 设 Xi (i 1,2,个,变p)量p，如果表示为
X i i ai1F1 aimFm i (m p)
X1 1 11 12
或
X
2
第五章 因子分析和主成分分析
3. 子得分
计算因子得分的途径是用原有变量来描述因子， 第j个因子在第i个样本上的值可表示为： Fji = j1xi1 + j2xi2 +…+ jpxip (j = 1，2，…，k) 式中，xi1，xi2，…，xip分别是第1，2，…，p个原 有变量在第i个样本上的取值，j1，j2，…，jp分别 是第j个因子和第1，2，…，k个原有变量间的因子值 系数。可见，它是原有变量线性组合的结果(与因子 分析的数学模型正好相反)，因子得分可看作各变量 值的加权(j1，j2，…，jp)总和，权数的大小表示了 变量对因子的重要程度。
用数据矩阵X的p个列向量（即p个指标向量）X1， X2，…，Xp作线性组合，得综合指标向量： F1 a11 X 1 a21 X 2 ... a p1 X p F a X a X ... a X 2 12 1 22 2 p2 p ...... Fp a1 p X 1 a2 p X 2 ... a pp X p 简写成： Fi = a1iX1 + ai2X2 +…+apiXp i = 1，2，…，p
2. 因子旋转（正交变换）
所谓因子旋转就是将因子载荷矩阵A右乘一个正交 矩阵T后得到一个新的矩阵A*。它并不影响变量Xi的 共同度hi2，却会改变因子的方差贡献qj2。因子旋转 通过改变坐标轴，能够重新分配各个因子解释原始 变量方差的比例，使因子更易于理解。
设p维可观测向量X满足因子模型：X = AF +ε。T为 正交阵，则因子模型可写为 X = ATT'F +ε = A*F* +ε 其中A* = AT，F* = T'F。 易知，∑ = AA' + D = A*A*' + D（其中A* = AT）。这 说明，若A，D是一个因子解，任给正交阵T，A* = AT， D也是因子解。在这个意义下，因子解是不惟一的。 由于因子载荷阵是不惟一的，所以可对因子载荷 阵进行旋转。目的是使因子载荷阵的结构简化，使 载荷矩阵每列或行的元素平方值向0和1两极分化， 这样的因子便于解释和命名。
第十三讲-主成分分析和因子分析
协方差
r (X X)(Y Y) lXY Pearson 相关系数 (X X)2 (Y Y)2 lXXlYY
r (X X) (Y Y) (X X)2 (Y Y)2
r 1 n1
XX SX
YY SY
标准化后的协方差
19
3. 求出矩阵R的全部特征值(eigenvalue) i, 第i个主成分的组合系数ai1, ai2, , aim满 足方程组: (r11－ i) ai1+ r12 ai2+ + r1m aim =0 r21 ai1+ (r22－ i) ai2+ + r2m aim=0 rm1 ai1+ rm2 ai2+ + (rmm－ i) aim =0
23
2.主成分的贡献率与累积贡献率
(原始指标值标准化)
m
m
m
Var (Xi ) Var (Zi ) i m(指标个数)
i1
i1
i1
贡献率
i m i
i m
i1
(i 1, 2 ,,m)
累积贡献率
k i (k m)
i1 m
24
3.主成分个数的选取 （1）前k个主成分的累积贡献率>70%。 （2）主成分Zi的特征值i ≥ 1。 （3）结合专业知识判断。
1982 176 120 14 159 14 36 34 3
1983 123 153 16 183 19 57 16 6
1984 186 134 28 177 28 56 58 2
1985 211 156 35 124 33 77 45 7
1986 197 165 29 155 47 86 39 5
主成分分析与因子分析
∴
( yk ,xi )
k ii
tik
4. m个主成分对原始变量的贡献率
用xi 与 y1 , …, ym 的复相关系数的平方，作为
度量主成分y1 , …, ym包含有 xi 的信息多少的指标
称为m个主成分y1 , …, ym对原始变量xi的贡献率，
记为νi（ i21 m）。
m
m
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
i 2 ( xi ,y j ) jti2j / ii
载荷矩阵
∵ X=T y 其中 T = ( tij )
x1 x2
t11 t21
t12 t22
x p
t p1
t p2
t1 p t2 p
y1 y2
t
pp
y
p
选取前m个主成分，记
xˆ 1
一般地，第 i 主成分为：
y i tiT x
var yi i ,
i 1, p
主成分的性质
1.主成分的协方差矩阵
Y
y1
,
1
0
y p
0
p
由于 Y T T X X TY
var(Y ) var( T T x ) T T var( x )T T T T TTTTTT
标准化主成分 f 的载荷矩阵
先对m个主成分 的方差标准化，再求出主 成分的载荷矩阵。令：
主成分分析和因子分析(朱艳科)
主成分分析和因子分析法一、主成分分析概论主成分分析的工作对象是样本点×定量变量类型的数据表。
它的工作目标，就是要对这种多变量的平面数据表进行最佳综合简化。
也就是说，要在力保数据信息丢失最少的原则下，对高维变量空间进行降维处理。
很显然，识辨系统在一个低维空间要比一个高维空间容易得多。
英国统计学家斯格特（M.Scott ）在1961年对157个英国城镇发展水平进行调查时，原始测量的变量有57个。
而通过主成分分析发现，只需5个新的综合变量（它们是原变量的线性组合），就可以95%的精度表示原数据的变异情况，这样，对问题的研究一下子从57维降到5维。
可以想象，在5维空间中对系统进行任何分析，都比在57维中更加快捷、有效。
另一项十分著名的工作是美国的统计学家斯通(Stone)在1947年关于国民经济的研究。
他曾利用美国1929～1938年各年的数据，得到了17个反映国民收入与支出的变量要素，例如雇主补贴、消费资料和生产资料、纯公共支出、净增库存、股息、利息和外贸平衡等等。
在进行主成分分析后，竟以97.4%的精度，用三个新变量就取代了原17个变量。
根据经济学知识，斯通给这三个新变量要别命名为总收入1F 、总收入变化率2F 和经济发展或衰退的趋势3F （是时间t 的线性项）。
更有意思的是，这三个变量其实都是可以直接测量的。
二、主成分分析的基本思想与理论1、主成分分析的基本思想在对某一事物进行实证研究中，为了更全面、准确地反映出事物的特征及其发展规律，人们往往要考虑与其有关系的多个指标，这些指标在多元统计中也称为变量。
这样就产生了如下问题：一方面人们为了避免遗漏重要的信息而考虑尽可能多的指标，而另一方面随着考虑指标的增多增加了问题的复杂性，同时也由于各指标均是对同一事物的反映，不可避免地造成信息的大量重叠，这种信息有时甚至会抹杀事物的真正特征与内在规律。
基于上述问题，人们就希望在定量研究中涉及的变量较少，而得到的信息量又较多。
第五章 因子分析
模型中的 aij 称为因子“载荷” ，是第 i 个变量在第 j 个因子上 的负荷，如果把变量 X i 看成 m 维空间中的一个点，则 aij 表 示它在坐标轴 Fj 上的投影，因此矩阵 A 称为因子载荷矩阵。 （二）Q 型因子分析 类似地，Q 型因子分析的数学模型可表示为：
X i ai1F1 ai 2 F2 aim Fm i ， ( i 1, 2,, n )
(7.3) Q 型因子 分析与 R 型因子 分析模 型的差 异体现在 ， X 1 , X 2 ,, X n 表示的是 n 个样品。
无论是R型或Q型因子分析，都用公共因子F代替X，一般要求 m<p，m<n，因此，因子分析与主成分分析一样，也是一种降 低变量维数的方法。我们下面将看到，因子分析的求解过程同 主成分分析类似，也是从一个协方差阵出发的。 因子分析与主成分分析有许多相似之处，但这两种模型又存在 明显的不同。 主成分分析的数学模型本质上是一种线性变换，是将原始坐标 变换到变异程度大的方向上去，相当于从空间上转换观看数据 的角度，突出数据变异的方向，归纳重要信息。 而因子分析从本质上看是从显在变量去“提练”潜在因子的过 程。正因为因子分析是一个提练潜在因子的过程，因子的个数 m取多大是要通过一定规则确定的，并且因子的形式也不是唯 一确定的。一般说来，作为“自变量”的因子F1，F2，…，Fm 是不可直接观测的。这里我们应该注意几个问题。
由模型（7.2）式所满足的条件知
Σ AA D
（7.4）
如果 X 为标准化了随机向量，则 Σ 就是相关矩阵 R ( ij ) ， 即
R AA D
（7.5）
第二，因子载荷是不唯一的。这是因为对于 m m 的正交矩 阵 T ，令 A* AT ， F * T F ，则模型可以表示为 X A* F * ε 由于 D(F * ) T D(F )T T T I mm
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
欢迎共阅
主成分分析：利用降维（线性变换)的思想，在损失很少信息的前提下把多个指标转化为几个综合指标（主成分),用综合指标来解释多变量的方差- 协方差结构，即每个主成分都是原始变量的线性组合,且各个主成分之间互不相关,使得主成分比原始变量具有某些更优越的性能（主成分必须保留原始变量90%以上的信息），从而达到简化系统结构，抓住问题实质的目的综合指标即为主成分。
求解主成分的方法：从协方差阵出发（协方差阵已知），从相关阵出发（相关阵R已知）。
相似。
常用聚类方法：系统聚类法，K-均值法，模糊聚类法，有序样品的聚类，分解法，加入法。
注意事项：1. 系统聚类法可对变量或者记录进行分类，K-均值法只能对记录进行分类；
2. K-均值法要求分析人员事先知道样品分为多少类；
3. 对变量的多元正态性，方差齐性等要求较高。
应用领域：细分市场，消费行为划分，设计抽样方案等
优点：聚类分析模型的优点就是直观，结论形式简明。
缺点：在样本量较大时，要获得聚类结论有一定困难。
由于相似系数是根据被试的反映来建立反映被试间内在联系的指标，而实践中有时尽管从被试反映所得出的数据中发现他们之间有紧密的关系，但事物之间却无任何内在联系，此时，如果根据距离或相似系数得出聚类分析的结果，显然是不适当的，但是，聚类分析模型本身却无法识别这类错误。
因子分析：利用降维的思想，由研究原始变量相关矩阵内部的依赖关系出发，把一些具有错
会出现问题）；
3. 各解释变量之间服从多元正态分布（不符合时，可使用Logistic回归替代），且各组解释变量的协方差矩阵相等（各组协方方差矩阵有显着差异时，判别函数不相同）。
4. 相对而言，即使判别函数违反上述适用条件，也很稳健，对结果影响不大。
应用领域：对客户进行信用预测，寻找潜在客户（是否为消费者，公司是否成功，学生是否被录用等等），临床上用于鉴别诊断。
对应分析/最优尺度分析：利用降维的思想以达到简化数据结构的目的，同时对数据表中的行与列进行处理，寻求以低维图形表示数据表中行与列之间的关系。
对应分析：用于展示变量（两个/多个分类）间的关系（变量的分类数较多时较佳）；
最优尺度分析：可同时分析多个变量间的关系，变量的类型可以是无序多分类，有序多分类或连续性变量，并对多选题的分析提供了支持。
典型相关分析：借用主成分分析降维的思想，分别对两组变量提取主成分，且使从两组变量
的作用，为我们处理数据降低了难度。
4.聚类分析是把研究对象视作多维空间中的许多点，并合理地分成若干类，因此它是一种根据变量域之间的相似性而逐步归群成类的方法，它能客观地反映这些变量或区域之间的内在组合关系。
它是通过一个大的对称矩阵来探索相关关系的一种数学分析方法，是多元统计分析方法，分析的结果为群集。
对向量聚类后，我们对数据的处理难度也自然降低，所以从某种意义上说，聚类分析也起到了降维的作用。
不同之处：
1.主成分分析是研究如何通过少数几个主成分来解释多变量的方差一协方差结构的分析方法，也就是求出少数几个主成分(变量) ，使它们尽可能多地保留原始变量的信息，且彼此不相关。
它是一种数学变换方法，即把给定的一组变量通过线性变换，转换为一组不相关的变量(两两相关系数为0 ，或样本向量彼此相互垂直的随机变量) ，在这种变换中，保持变量的总方差(方差之和) 不变，同时具有最大方差，称为第一主成分；具有次大方差，称为第二主成分。
依次类推。
若共有p 个变量，实际应用中一般不是找p 个主成分，而是找出
析都产生了新变量。
就数据标准化来说，区别如下：
1.主成分分析中为了消除量纲和数量级，通常需要将原始数据进行标准化，将其转化为均值为0方差为1 的无量纲数据。
2.因子分析在这方面要求不是太高，因为在因子分析中可以通过主因子法、加权最小二乘法、不加权最小二乘法、重心法等很多解法来求因子变量，并且因子变量是每一个变量的内部影
响变量，它的求解与原始变量是否同量纲关系并不太大，当然在采用主成分法求因子变量时，仍需标准化。
不过在实际应用的过程中，为了尽量避免量纲或数量级的影响，建议在使用因子分析前还是要进行数据标准化。
在构造因子变量时采用的是主成分分析方法，主要将指标值先进行标准化处理得到协方差矩阵，即相关矩阵和对应的特征值与特征向量，然后构造综合评价函数进行评价。
3.聚类分析中如果参与聚类的变量的量纲不同会导致错误的聚类结果。
因此在聚类过程进行
条件自动设定，只要是特征值大于1的因子主可进入分析），指定的因子数量不同而结果也不同；在主成分分析中，成分的数量是一定的，一般有几个变量就有几个主成分（只是主成分所解释的信息量不等）。
7. 功能：和主成分分析相比，由于因子分析可以使用旋转技术帮助解释因子，在解释方面更加有优势；而如果想把现有的变量变成少数几个新的变量（新的变量几乎带有原来所有变量的信息）来进入后续的分析，则可以使用主成分分析。
当然，这种情况也可以使用因子得分做到，所以这种区分不是绝对的。