一维多阶梯势垒的透射系数

1 一维多阶梯势垒的透射系数 甘肃省西和县何坝职校 胡来喜 742105 对于一般势垒，求解透射系数往往比方势垒复杂。应用W.K.B半经典近似法[1]可以精确推导出一般势垒的透射系数[1-3]，只是在推导过程中要用到比较高深的数学知识。于是，有些文章将一般势垒分成多个宽度为ix的小方势垒，组成一维多阶

梯势垒，并有应用鲁阿德（Rouard）递推方法[4]和一维阶梯位势递推关系[5]分别得出一维多阶梯势垒透射系数的递推公式，这两种递推公式对于少数阶梯势垒很适用，但在阶梯势垒过多时要借助于计算机程序[6]才能完成。本文在参照了教科书[7]中求解方势垒透射系数方法的基础上，以连续函数势垒作为一般势垒的一个特例，将连续函数势垒分割成多个宽度为x的矩形势垒，如图1，对其过程应用相关数学处理，得出推导一维多阶梯势垒透射系数，再应用极限方法使阶梯势垒回归到连续函数势垒，推导出连续函数势垒的透射系数。最后，对推导过程中用到的近似处理进行了误差讨论，比较严密地证明了教科书[7,8]中关于势垒透射系数的结论。 1 一维多阶梯势垒透射系数 如图1所示，一般势垒U(x)的定态薛定谔方程为：

U（x） x 1x

2x

E

图1 x 2

22

2

dψ+Kxψx=0

dx， x （1）

式中 22EUxKxћ （2）令 kxKx （3）把粒子经过的区域分成n个小区域，每个小区域的U(x)近似为常数，成为“阶梯势垒”，从而每个区域的K(x)也近似为常数（图2）。 由（1）式解出的各区域的波函数具有相同形式，如第j区域和第n区域为： jjjjiKxiKxjjjxAeBe

，j=0,1,„，n-1 （4）

nniKx

nnxAe （5）

得到入射波的几率流密度为：

0000**02iћJ入入入入0200ћkx入0020

0

0

iKxћkAe （6）

透射波的几率流密度为： **2nnnDniћJn

2nnnћkx2nniKxn

n

n

ћkAe (7)

入射粒子从左到右经势垒后的透射系数为：

1jkj

k 1j

k

K(x)

x 图2 3

00220

0

0

nniKxn

n

nD

iKx

ћkAeJDћkJAe （8）

其中0n[5]。 若令 2jjiKxjjjIkAe，j=0,1,„,n 则(8)式可写为：

312001211jnnjnIIIIIIDIIIIII……

（9）

式中任一项的0jI。可以看出，引入很多jI相乘除，D值不变，只是一种数学处理。应用该处理是因为求相邻区域的1jjII比较容易，从而容易求出D。避开其中任一区域，即去掉其中一项jI，只要能求出11jjII，并不影响求D的值。所以，K=0的区域是可以避开的。 又令 1jjjIDI，j=1,2,„,n

即 11112221111jjjjjjjjiKxjjiKxKxjjjiKxjjjjkAekADekAkAe (10)则 1njjDD (11) 1.1 0jK，且左邻域10jK的第j区域的jD 由波函数及其微商在1jx点的连续条件得到： 111jjjjxxxx



得 11111111jjjjjjjjiKxiKxiKxiKxjjjjAeBeAeBe （12） 4

111jjjjxxxxdddxdx







得 1111111111jjjjjjjjiKxiKxiKxiKxjjjjjjjjkAekBekAekBe （13）由111213jjjkkk得：

1111111112jjjjjjiKxiKxiKxjjjjjjjjjjkkkAeAeBekkkk



 （14）

（14）式有三个未知量1jA、jA、jB，由于K（x）是连续的，可以把区域取的很窄，使 1111jjjjjjjkkkkkkk



 （15）

则（14）式中含jB的项可以忽略，得到： 111112jjjiKKxjjjjjAkeAkk



 （16）

代入（10）式，并令1jjxxx，得： 21214jjiKxjjjjjkkDekk



 （17）

而 2211122114jjjjjjjjjjkkkkkkkkkk 121111jjjkkkjjjkkk











所以 221‎‎‎‎‎‎‎‎‎ ‎,,jjjjiKxjkxEUxDeeEUx （18）

x K(x)

rk tk

qxrx

sx

tx

图3 5

1.2 0tK，而左邻域0sK的第t区域的tD 设rx、sx、tx三区域相邻（图3），由0sK得(sssxABC常数），则0sx。由波函数的连续性，在rx、sx点有：

rx点：0rrrrrrrriKxiKxrriKxiKxrrAeBeCAeBe和sx点：0tstststsiKxiKxttiKxiKxttCAeBeAeBe

解上面两个方程组得： 22rrtsiKxriKxtCAeCAe 则 rrtsikxkxtrAeA （19）将（19）式代入（10）式，因K(x)连续，故可取rtKK，得： ttrsttsiKxKxiKxxtttrrkADeekA



即 221‎‎‎‎‎‎‎‎‎ ‎,,ttttiKxtkxEUxDeeEUx （20）将（18）、（20）式代入（11）式，得： 12njjjkxDe （21）

该式即为服从连续函数的多阶梯势垒的透射系数。其中，EUx时，粒子很容

易穿过势垒，透射系数近似为1，这个结果是与事实相符的。 2连续函数势垒的透射系数

当多阶梯势垒的宽度jx无限小（jx→0）时，多阶梯势垒回归到一般势垒，

而1()2jkkxUxEћ，211112nnxjjjjxjjkxkxUxEdxћ， 6

于是（21）式可写成 2

1

2

exp2xxDUxEdxћ





 （22）

上式就是连续函数势垒的透射系数，常数因子0D=1。其中1x，2x称为经典回转点，即12()()UxUxE。 对于一般势垒，可推得除常数因子01D外，透射系数与（22）式完全一致[8] 2

10

2

exp2xxDDUxEdxћ





 （23）

3 结果讨论 在推导过程中用到一处近似处理，即忽略了（14）式含jB的项，0x时，0jD，,0nk区域的个数并不增加，故误差不能忽略（虽然每个小区域

的误差减小了，但这种小区域的个数n）。 由于做了近似计算，首先给（16）式的1jjAA带来误差，从而jD、D也有误

差。设与它们对应的准确值为AAjj-1、jD、D，又设1jjAA的相对误差为j。则0jx时，0j。

由 111jjjjjjjAAAAAA （24）得 1111jjjjjAAAA （25）