矩阵的秩及其求法-求秩的技巧

第五节：矩阵的秩及其求法之樊仲川亿创作
一、矩阵秩的概念
1. k阶子式
定义1 设 在A中任取k 行k 列交叉处元素按
原相对位置组成的
阶行列式，称为A的一个k 阶子式。
例如共有个二阶子式，有 个三阶子式
矩阵A 的第一、三行，第二、四列相交处的元素所构成的二阶子
式为 而
为 A 的一个三阶子式。显然， 矩阵 A 共有 个k阶
子式。
2. 矩阵的秩
定义2 设 有r阶子式不为0，任何r+1阶
子式(如果存在的话)全为0 ,称r为矩阵A的秩，记作R(A)或秩
(A)。
规定： 零矩阵的秩为 0 .
注意：(1) 如 R ( A ) = r，则 A 中至少有一个 r 阶子式
所有 r + 1 阶子式为 0，且更高阶子式均为 0，r 是 A
中不为零的子式的最高阶数，是唯一的 .
(2) 有行列式的性质，
(3) R(A) ≤m, R(A) ≤n, 0 ≤R(A) ≤min { m , n } .
(4) 如果An×n , 且 则 R ( A ) = n .反之，如
R


nmijaA



),min1(nmkk

43334CC

1015643213
D
nm


nmijaA


0,rD
()().TRARA
0,A0.A
( A ) = n ,则
因此，方阵 A 可逆的充分需要条件是 R ( A ) = n .
二、矩阵秩的求法
1、子式判别法(定义)。
例1 设 为阶梯形矩阵，求R(B)。
解
由于 存在一个二阶子式不为0，而任何三阶子式
全为0，则R(B) = 2.
结论：阶梯形矩阵的秩=台阶数。
例如
一般地，行阶梯形矩阵的秩等于其“台阶数”——非零行的行
数。
例2 设 如果 求
a .
解
或
例3
则
2、用初等变换法求矩阵的秩
定理2矩阵初等变换不改变矩阵的秩。
即则
注： 只改变子行列式的符号。
是 A 中对应子式的k 倍。

02021
010010100321A001021B






100010011C125034000D





21235
08153
00072
00000

E












aaaA1111
11


,3AR


3AR

1a
2a


3AR
K3

BA
)()(BRAR

ji
rr.1
i
rk.2
是行列式运算的性质。
求矩阵A的秩方法：
1）利用初等行变换化矩阵A为阶梯形矩阵B
2）数阶梯形矩阵B非零行的行数即为矩阵A的秩。
例4求
解
R(A) = 2
例5
三、满秩矩阵
定义3A为n 阶方阵时，
称 A 是满秩阵，（非奇异矩阵）
称 A 是降秩阵，（奇异矩阵）
可见：
对于满秩方阵A施行初等行变换可以化为单位阵E,又根据初等阵
的作用：每对A施行一次初等行变换，相当于用一个对应的初等
阵左乘A,由此得到下面的定理.
定理3设A是满秩方阵，则存在初等方阵
使得
对于满秩矩阵A，它的行最简形是n 阶单位阵 E .
例如
A为满秩方阵。
关于矩阵的秩的一些重要结论：

ji
krr.3

.AR


,2,6352132111，求）（且设ARA


,nAR


,nAR


0AnAR

EAPPPPss121,
定理5R(AB)R(A),R(AB)R(B),即R(AB)min{R(A)，R(B)}
设A是 矩阵，B是 矩阵，
性质1
性质2 如果 A B = 0 则
性质3 如果 R(A)= n, 如果A B = 0 则 B = 0。
性质4 设A,B均为矩阵，则
例8 设A为n阶矩阵，证明R（A+E）+R（A-E）≥n
证： ∵ （A+E）+（E-A）=2E
∴R（A+E）+ R（ E-A ）≥ R（2E）=n
而 R（ E-A ）=R（ A-E ）
∴ R（A+E）+R（A-E）≥n


nm
tn

).()()(ABRnBRAR
.)()(nBRAR

nm
).()()(BRARBAR