弯矩方向定义
1.3轴向拉压杆横截面上的变形
目录引言 (2)一杆件受拉压的内力、应力、变形 (2)1.1轴向拉压的内力、轴力图 (2)1.2 轴向拉压杆横截面上的应力 (5)1.3 轴向拉压杆横截面上的变形 (7)1.4 圣维南原理 (9)1.5 工程结构实例分析 (11)二圆轴扭转 (15)2.1、扭转的力学模型及ANSYS建模 (15)2.2、圆轴扭转时，横截面上的内力偶矩------扭矩 (15)2.3、圆轴扭转时，横截面上的应力、强度条件 (15)(1) 横截面上的切应力 (15)(2) 极惯性矩与抗扭截面系数 (15)三、梁弯曲的内力、变形、应力 (20)3.1 梁的弯曲内力、变形 (20)3.2 弯曲应力 (27)3.3 工程实例： (31)四、压杆稳定 (35)4.1、压杆稳定的概念 (35)4.2、临界压力 (35)4.3、三类压杆的临界载荷 (36)4.4、压杆稳定性计算 (36)4.5 工程实例4 (38)引 言《材料力学》是机械、土木类工科学生重要的技术基础课，其计算方法和思想在工程计算中应用非常广泛。
为了使学生对课内知识体系有一个比较清晰的感性认识，锻炼学生的求真精神和实践动手能力，进一步培养学生的综合创造力，兴趣小组的学生们在教师的指导下基于ANSYS 有限元分析软件对《材料力学》的某些知识点进行数值计算与模拟，得到相关的数据、云图或动画，从而对理论公式进行形象验证，更开阔了学生的视野，提高了学生的CAE 水平。
本研究内容包括三部分：（1）对《材料力学》课程中的基本内容，包括拉压、剪切、扭转、弯曲的内力、应力、变形、压杆稳定、动载荷、疲劳强度、圣维南原理等重要理论知识点情况通过ANSYS 进行分析，得到内力、变形、应力、应变相关的数据、云图或动画；（2）对重要知识点的典型例题通过ANSYS 进行计算，并与理论计算结果进行对比验证。
（3）对《材料力学》理论知识能够解决的典型工程实际问题进行建模、分析与计算。
一 杆件受拉压的内力、应力、变形1.1轴向拉压的内力、轴力图在工程结构和机械中，发生轴向拉伸或压缩的构件是很常见的。
弯矩计算公式总结
弯矩计算公式总结什么是弯矩？在物理学中，弯矩是指施加在物体上的扭曲力。
当一个物体受到弯曲力时，会在其横截面上形成一对反向的力，被称为弯矩。
弯矩可以是正的或负的，取决于力的方向和应力。
弯矩计算公式弯矩计算是工程力学中的一个重要计算问题，它涉及到力、距离和物体的特性。
下面将介绍几个常见的弯矩计算公式。
1. 单点弯矩计算公式单点弯矩计算公式用于计算在物体上施加单个点力时的弯矩。
假设我们有一个直杆，其中施加了一个点力F，作用点到杆的一端的距离为d。
单点弯矩计算公式可以表示为：M = F * d其中，M表示弯矩，F表示力，d表示作用点到杆的距离。
2. 弯矩分布计算公式当一个物体上存在多个力时，我们需要使用弯矩分布计算公式。
这种情况下，我们将物体划分为多个小段，每个小段的长度为∆x，施加在小段上的力为∆F，小段的位置为x。
弯矩分布计算公式可以表示为：dM = ∆F * x通过对小段进行积分，我们可以得到整个物体上的弯矩分布。
计算公式为：M = ∫(∆F * x)dx3. 具有弯曲系数的弯矩计算公式在实际应用中，物体的材料通常具有弯曲系数（弹性模量），该系数表示物体被弯曲时的抵抗性。
弯曲系数用E表示。
具有弯曲系数的弯矩计算公式可以表示为：M = (F * d) / E在这种情况下，力F和距离d与材料的弯曲系数E相关。
4. 轴向力和弯曲力的共同作用计算公式当物体同时受到轴向力和弯曲力时，我们需要综合考虑它们的影响。
这种情况下，我们需要使用联立公式来计算弯矩。
联立公式可以表示为：M = F * d + P * e其中，M表示弯矩，F表示施加的点力，d表示点力的距离，P表示轴向力，e表示轴向力作用点到杆的距离。
注意事项在使用弯矩计算公式时，有几个注意事项需要牢记：1.弯矩的单位通常为牛顿-米（N·m）或磅-英尺（lb·ft）。
2.力和距离的单位要一致，例如，如果力的单位是磅（lb），距离的单位应为英尺（ft）。
《轴力剪力弯矩》课件
弯矩：垂直于截面的力矩，用于描述物体在弯曲方向受到的力矩 关系：轴力、剪力和弯矩是相互关联的，它们共同作用于物体，影响物 体的变形和破坏。
Part Six
轴力剪力弯矩的应 用
在工程结构中的应用
轴力：用于计算梁、柱等构件的承载能力 剪力：用于计算梁、板等构件的抗剪强度 弯矩：用于计算梁、柱等构件的抗弯强度 轴力剪力弯矩的综合应用：用于计算复杂结构的承载能力和稳定性
剪力符号：F
剪力方向：垂直于截面
剪力作用：使物体发生剪 切变形
Part Four
弯矩
定义
弯矩是物体受力后产生的一种内力，通常用M表示 弯矩的大小与力的大小、力的方向、力的作用点有关 弯矩的方向与力的方向垂直，与力的作用点所在的平面平行 弯矩的作用效果是使物体产生弯曲变形
计算方法
截面法：将结构简化为平面截面，计算截面上的弯矩 积分法：将结构简化为连续体，通过积分计算弯矩 矩阵法：将结构简化为有限元模型，通过矩阵计算弯矩 数值法：通过数值模拟计算弯矩，如有限元分析、边界元分析等
符号规定
弯矩：表示弯 曲变形时截面
上的内力
符号：M，表 示弯矩
单位：牛顿·米 （N·m）
计算公式： M=F*L，其中 F为作用力，L
为力臂长度
单位
弯矩的单位是牛顿·米（N·m） 弯矩是衡量物体弯曲程度的物理量 弯矩的大小与物体的材料、截面形状、受力情况等因素有关 弯矩的计算公式为：弯矩=力×力臂
应变：单 位为m/m （米/米）
弹性模量： 单位为Pa （帕斯卡）
Part Three
剪力
定义
剪力：物体受到的平行于其表面的力 剪力方向：与受力面垂直 剪力作用：使物体发生剪切变形 剪力计算：通过剪力公式进行计算，如F=P*L
位移法基本概念
基本概念
F
A
B
C
D
E
BV
CV
D
E
G
解：由图可见，只有AB杆及CD杆有杆端相对侧移 -ΔBV 及ΔCV 。E端为弹簧铰，所以，刚结点有D和E。但是，因为CD杆旳刚 度无限大，ΔCV与D结点旳转角有关。
所以，构造有三个位移法变量：θE 、ΔBV 、ΔCV （或D结点 转角θD）
基本思绪
基本概念
三、位移法旳基本思绪---------先修改，后复原。
[举例]
基本概念
例题6
B
A
B
C
A
D
解：三根杆件，A支座为弹簧铰，有约束能力，也可产生转角， 但不可发生水平及竖向位移。C支座有约束能力，但可产生竖向 位移。
所以，位移法变量有：A、B处旳转角θA及θB ，C处旳竖向 位移Δ，共三个位移法变量。 BC杆有侧移Δ，D处无转角，C截面旳转角不作为位移法变量。
C
B
B
A 1．位移法变量：θB 2．修改旳措施
基本思绪
基本概念
1)在B结点附加刚臂，设想刚臂旳作用只是阻止结点B旳转动， 各杆旳弯矩不能相互传递。
2)求杆端弯矩。因为各杆旳弯矩不能相互 传递。所以AB杆与BC杆旳弯矩可独自求 解。即，对弯矩而言，BC杆等价于一端 固定，另一端铰支旳超静定杆；而AB杆
[举例]
基本概念
例题8 D
E
EI
F
EI
D
E
EI
EI1 EI
A B
C
F
F
解：①这是具有无限刚性杆旳构造，BD杆没有变形，只有刚体 侧移，设弦转角为θ。则因为结点E刚结点旳特征，三杆端在E 点保持相同旳转角，从而，结点E旳转角也为θ ②由结点E旳侧移方向垂直BE杆轴线，所以，ΔD =ΔE =ΔF =ΔH 与θ有关，不是独立旳变量。 ③至于弹簧支座，对变形没有影响，只与构造旳受力有关。
梁的剪力图与弯矩
目录 CONTENT
• 梁的剪力与弯矩的基本概念 • 梁的剪力图 • 梁的弯矩图 • 剪力与弯矩的关系 • 梁的剪力与弯矩的实例分析
01
梁的剪力与弯矩的基本概 念
剪力与弯矩的定义
剪力
剪力是作用在梁上的垂直力，它 使梁产生剪切变形。剪力通常用 Q表示，单位为牛顿或千牛顿。
弯矩
弯矩是作用在梁上的力矩，它使 梁产生弯曲变形。弯矩通常用M 表示，单位为牛顿米或千牛顿米 。
在梁的跨中位置，剪力图的峰值最大，而在梁的 支座位置，剪力图的谷值最小。
随着梁上载荷的增加，剪力图的峰值逐渐增大， 谷值逐渐减小。
03
梁的弯矩图
弯矩图的绘制方法
1 2
截面法
通过分析梁在不同截面上的弯矩值，绘制出弯矩 图。
叠加法
将多个弯矩值叠加起来，绘制出弯矩图。
3
微分法
利用弯矩函数的微分性质，绘制出弯矩图。
剪力与弯矩的符号规定
剪力的正负号规定
在截面左侧上作用的剪力为正，反之 为负。
弯矩的正负号规定
在截面左侧上作用的弯矩为正，反之 为负。
剪力与弯矩的计算公式
剪力计算公式
Q = F * sinθ（F为作用在梁上的外力，θ为外力与梁轴线的夹角）。
弯矩计算公式
M = F * d / 2（F为作用在梁上的外力，d为梁的跨度）。
考察，从而为实际工程设计提供依据。
梁的剪力与弯矩的模拟计算
01
模拟计算是利用计算机软件对梁的剪力和弯矩进行数值模拟分 析的方法。通过模拟计算，可以快速得到梁在不同载荷条件下
的剪力和弯矩分布情况。
02
模拟计算可以采用不同的计算方法，如有限元法、有限差分法 和边界元法等。其中，有限元法是最常用的一种方法，能够考
剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图
截面位置对剪力和弯矩的影响
总结词
截面位置对剪力和弯矩具有显著影响。不同的截面位置会导致剪力和弯矩的大小和方向发生变化。
详细描述
在结构分析中，截面位置是影响剪力和弯矩的重要因素之一。不同的截面位置会导致剪力和弯矩的大小和方向发 生变化，从而影响结构的整体受力性能。例如，在梁中选取不同的截面位置进行支撑或固定，会对梁的剪力和弯 矩产生显著影响。
05 剪力、弯矩与材料力学性 能的关系
材料弹性对剪力和弯矩的影响
弹性材料在剪力和弯矩作用下会发生弹性变形，变形量与外力成正比，当外力去 除后，材料能够恢复原状。
弹性材料的剪切模量和弯曲刚度决定了剪力和弯矩的大小，剪切模量越大，材料 抵抗剪切变形的能力越强；弯曲刚度越大，材料抵抗弯曲变形的能力越强。
根据绕顺时针方向观察确定，使上侧 纤维受拉时为正。
02 剪力方程与弯矩方程
剪力图与弯矩图的绘制
1
剪力图和弯矩图是表示梁上剪力和弯矩随截面位 置变化的图形。
2
这些图的绘制基于剪力方程和弯矩方程的计算结 果，通过将计算得到的剪力和弯矩值标在图中相 应的位置上，并连接成线。
3
剪力图和弯矩图的绘制有助于直观地了解梁在不 同截面位置的受力状态和应力分布情况。
弯矩
在梁或结构中，由于弯曲而产生 的力矩，表示弯曲变形的大小。
剪力与弯矩在力学中的作用
剪力
主要影响结构的剪切变形，对梁的剪切承载能力有重要影响 。
弯矩
主要影响结构的弯曲变形，对梁的弯曲承载能力有重要影响 。
剪力与弯矩的符号规定
剪力正方向
根据右手定则确定，从杆件的受压一 侧指向受拉一侧。
弯矩正方向
02
材料强度越高，抵抗剪力和弯矩等外力的能力越强， 所能承受的剪力和弯矩越大。
弯矩的正负号
弯矩的正负号
在物理学和工程学中，弯矩是指在某个位置的杆件或梁受到外力
作用时，在该位置上产生的弯曲力矩。
弯矩的大小取决于施力的大小、力的方向和杆件或梁的横截面形状及材质等因素。
在实际的工程计算中，弯矩是一项十分重要的参数。
在应用弯矩时，需要考虑其正负号。
在弯矩的计算中，正负号取
决于弯矩的引起者、弯曲方向和所处位置等因素。
一般情况下，当施
力方向和杆件截面法线方向所成角度小于90度时，弯矩为正；反之，
当两者所成角度大于90度时，弯矩为负。
弯矩的正负号对于工程计算和分析具有重要的意义。
在设计和计
算梁桥、建筑物、机器设备等结构中，需要了解弯矩的产生和作用方式，从而对结构的安全性和稳定性进行评估。
同时，弯矩的正负号还
能够指导工程师在设计结构时，选择合适的材料、大于目标载荷的负
载设计弹性极限、正确预测结构的疲劳寿命等。
总之，弯矩是杆件、梁等结构中的重要参数之一，其正负号取决
于多种因素，对于工程计算和分析有着重要的作用。
在实际工程中，
工程师需要充分理解弯矩的概念和计算方法，并根据实际情况合理应用，以确保结构的安全性和可靠性。
支座弯矩正负判断方法
支座弯矩正负判断方法支座弯矩正负判断是结构力学中的重要内容，它在工程设计和计算中起着至关重要的作用。
本文将介绍支座弯矩正负判断的方法，并对其原理进行详细解释。
支座弯矩正负判断的方法主要有两种，分别是力矩法和受力法。
1. 力矩法力矩法是通过结构的受力平衡条件来判断支座弯矩的正负。
根据力矩平衡的原理，如果某个结构在支座处受到的力矩为正，表示支座处的弯矩是正弯矩；如果力矩为负，表示支座处的弯矩是负弯矩。
在实际应用中，可以通过以下步骤来判断支座弯矩的正负：1. 绘制受力图，标注所有受力的大小和方向；2. 选择一个合适的参考点，计算该点处的力矩；3. 根据力矩的正负判断支座处的弯矩是正弯矩还是负弯矩。
需要注意的是，选择参考点时应尽量选择能够简化计算的点，例如选择受力较多的点或者力矩为零的点作为参考点。
2. 受力法受力法是通过结构的受力分析来判断支座弯矩的正负。
根据受力平衡的原理，如果某个结构在支座处受到的力是正向的，表示支座处的弯矩是正弯矩；如果力是反向的，表示支座处的弯矩是负弯矩。
在实际应用中，可以通过以下步骤来判断支座弯矩的正负：1. 绘制受力图，标注所有受力的大小和方向；2. 分析结构的受力平衡条件，计算支座处的力；3. 根据力的正负判断支座处的弯矩是正弯矩还是负弯矩。
需要注意的是，受力法是在力的基础上进行判断的，因此在分析力的方向时要考虑力的正负。
力矩法和受力法是常用的支座弯矩正负判断方法，它们在结构力学的教学和实际工程中得到了广泛的应用。
在实际应用中，可以根据具体的情况选择适合的方法进行判断。
支座弯矩的正负判断方法包括力矩法和受力法。
力矩法是通过力矩的正负来判断支座弯矩的正负，受力法是通过力的正负来判断支座弯矩的正负。
这两种方法在实际应用中都具有一定的优势和适用范围，可以根据具体情况选择合适的方法进行判断。
通过学习和掌握支座弯矩正负判断方法，可以更好地理解和应用结构力学的理论知识，在工程设计和计算中提高准确性和可靠性。
剪力与弯矩的概念
剪力与弯矩的概念在学习工程力学中，剪力与弯矩是非常重要的概念。
它们是描述物体在受力作用下产生变形的两个主要参数。
本文将深入探讨剪力与弯矩的概念、计算方法以及它们在工程实践中的应用。
首先，我们来了解剪力的概念。
剪力是作用于物体横截面上的力，沿着物体延伸方向产生剪切效应。
当一个物体受到外力的作用时，它的分子间力会受到破坏，产生一个相对于切应变的内力。
这个内力就是剪力。
在物理学中，剪力的大小可以用科学公式τ = F/A来表示，其中τ代表剪应力，F代表作用力，A代表受力面的面积。
接下来我们来讨论弯矩的概念。
弯矩是作用于物体上的力使物体发生弯曲或变形的一种力的表现形式。
当一个物体在一个固定点处受到力矩的作用时，该物体会产生弯曲变形。
在工程力学中，弯矩的大小可以用公式M = F×d来计算，其中M代表弯矩，F代表作用力，d代表作用力到固定点的距离。
在实际工程中，剪力和弯矩经常会一同出现。
特别是在梁的设计和分析中，剪力和弯矩是两个重要的参数。
在设计梁时，工程师需要确定梁的尺寸和形状，以使其能够承受预计的剪力和弯矩。
为了达到这个目标，工程师需要对结构施加的荷载进行详细的计算，并使用相关公式计算出剪力和弯矩的大小。
剪力和弯矩的计算方法有很多种，具体取决于不同的情况和问题。
对于直线静力学问题，可以使用平衡方程来计算剪力和弯矩的大小。
对于复杂的结构和载荷情况，可以使用有限元分析等数值方法来计算剪力和弯矩的分布。
除了在梁设计和分析中的应用之外，剪力和弯矩在其他的工程实践中也有广泛的应用。
例如，在桥梁、楼房和其他结构物中，剪力和弯矩的计算是非常关键的。
通过合理计算剪力和弯矩，工程师可以确保结构的安全性和稳定性。
在总结一下，剪力和弯矩是工程力学中重要的概念。
它们描述了物体在受力作用下产生的变形。
剪力是作用于物体横截面上的力，而弯矩是作用于物体上的力使其发生弯曲或变形的一种力的表现形式。
剪力和弯矩在梁设计和其他工程应用中起着至关重要的作用。
课件：位移法基本概念
CH
DH
D
C
D
A
B
例题10 F
A
B
C
D
E
G
BH
BV
CV
D
E
三、位移法的基本思路---------先修改，后复原。
C
B
B
A 1．位移法变量：θB 2．修改的方法
2．修改的方法 1
a) 结点B的附加刚臂具有约束力；
B
RP
b)各杆承担荷载弯矩不再相互传递。
------结点（刚结点、角结点）“不动” 即可。
课本中，把超静定杆在荷载、杆端位移等因素作用下的内力 列出备用
③位移法基本位知量的确定方法
10 结构中每个刚结结点为一个独立角位移，共有na个刚结点。
20 附加链杆（或支杆）使结构没有结点线位移产生（包括刚结 点与铰结点）。设，附加的独立的附加链杆（或支杆）数为nb 则，位移法变量的数目为na + nb ，也就是位移法基本未知量的 数目。
2. 作荷载作用下的弯矩图MP，求出约束力矩
3. 作刚结点单位转角时的弯矩图M ，求出刚度系数 r
4. 依 r B RP 0 解出B
5. 依 M MP M B 作出弯矩图。
解除约束 的过程
基本思路
超静定结构
等价
MP图
叠
解
加 后
“复原”
位约
移束
法消
方除
程
作M 图
确定位移法变量
附加刚臂约束
各杆弯矩不相互“传修递 改”
基本概念
一、位移法内力符号规则与内力图 1.弯矩 定义：以杆端受顺时针方向的弯矩为正，如图。
+
+
A
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弯矩方向的定义
弯矩是用右手定则来定的，比如说X方向弯矩，是指大拇指方向对应，四指
弯曲为实际表达弯矩。即X方向弯矩（Mx），实际为绕X轴转的弯矩。
请教各位大侠一个问题：弯矩作用方向和弯矩的方向是否为同一概念？还有
就是弯矩作用平面与弯矩作用方向有何关系？satwe
中在底层柱的内力中的两个弯矩值Mx，My是分别表示作用在x、y平面内的
弯矩还是表示弯矩的方是x，y方向呢？如果是表示作用在x、y平面内的弯矩，
那么它们的方向是不是就是：Mx的方向为y向，My的方向为x方向，因为弯矩
作用的平面与其方向是垂直的。小弟对此一直不明白，忘各位赐教!!!
1、 不一样 二者相互垂直。。。。右手螺旋法则四指指向为作用方向 拇指
指向为弯矩方向，两者属于正交关系。
2、 对于梁单元，节点力矩方向指的是右手定则确定的方向，比如Mx相当于
右手定则正向为X轴正向。当然对于梁单元内力的弯矩正向规定，以局部坐标系
下的下侧受拉为正。
弹性杆件横截面上的正应力分析
正应力公式的应用
1、公式中各项正负号的确定
第一种办法： 由的正负号确定。
第二种办法：根据的实际方向及其在所求应力点引
起的
正应力之拉、压性质确定。
2、几种特例
（1）轴向拉伸或压缩。当横截面少上两个弯矩为零而轴力不为零，横截面
上各点的应力都相等。
（2）平面弯曲
一种情形是所有的载荷都作用在主轴平面里，所有的外力对y轴弯
矩为零，轴力也等于零，只有对z轴弯矩则不为零。如图，z轴就是中性
轴，而杆件的中间层则是中性层，不受任何应力。因此，应力与y成正比，
正应力公式即为如图所示。亦可求出其最大值。
另一种情形是所有载荷都加在xz平面，这也是个主轴平面，z轴
是主轴。这时既没有轴向力，也没有Mz 的作用，因此，应力与z成正比，
正应力公式即为如图所示。亦可求出其最大值，即杆件左右沿所受应力。
其中和分别称为横截面对于 y 轴和 z 轴的“弯曲截面系
数”
（Section Modulus in Bending)
（3）斜弯曲
归纳一下平面弯曲，有如图两组公式，
在弯曲情形下，只有两个弯矩作用，而没有轴力的作用，这时截面
上应力分布由绕y轴的线性分布和绕z轴的线性分布组合而成，形成一个应
力平面，还是线性分布。截面上任意一点的应力等于My与Mz引起的应力的
叠加，最大值在角点上，可正可负。
（4）偏心载荷
纵向载荷作用线平行于杆件的轴线，但不重合，这种载荷称为偏心
载
荷。
3、应用举例
例 题 一
已知：矩形截面梁截面宽度b、高度h、长度l，外载荷FP1和FP2
求：根部截面上的最大正应力
将FP1和FP2 向根部截面简化，得到两个弯矩Mx与My ，分析截
面上应力的正负号可知A、B两点应力最大。把各数值代入公式即可求解。
例 题 二，偏心载荷问题：
已知：外加载荷FP以及横截面尺寸
求：ABED截面上四个角点上的正应
力
确定截面上的内力分量
两种方法
确定内力分量有两种方法，一
种是把外力直接向这个截面上简
化，得到截面上的轴力和弯矩；另
一种是根据平衡求内力分量。看起
来还是第一种方法比较简单。
应力平面
把轴力和弯矩引起的应力叠加，得到一个应力分布平面，它与杆件的相交线
就是中性轴。
4、关于中性轴的概念
中性轴
横截面上正应力为零的点连成的直线就是中性轴。如图是在不同情
况下
的中性轴。请思考，是否在所有平行载荷作用下都有中性轴？为什么中性轴
通过截面形心？
中
性
轴
的
位
置
这就是两种平面弯曲、一种斜弯曲和一个偏心载荷下的中性轴。
平面弯曲：中性层、中性轴；加载方向与中性轴之间的关系。
斜弯曲：中性轴位置；加载方向与中性轴之间的关系。这与平面弯曲情形下
是否相同？
偏心载荷：有没有中性轴？是否通过截面形心？
MIDAS GEN中如果是按单元坐标系输出，则：
Fx：单元局部坐标系X轴方向的轴力。
Fy：单元局部坐标系Y轴方向的剪力。
Fz：单元局部坐标系Z轴方向的剪力。
Mx：绕单元局部坐标系X轴方向的扭矩。
My：绕单元局部坐标系Y轴方向的弯矩。
Mz：绕单元局部坐标系Z轴方向的弯矩。