正交曲线坐标系

P (x, y, z)
P,, z
三维空间中同一点可以用不同的 正交曲线坐标系描述。不同坐标 系之间存在相互变换关系，这种 变换关系只能是一一对应的
1.1.2 不同坐标系之间的变换
qi qi (x, y, z) C, i 1,2,3
正交曲线坐标系与直角坐标系之间的转换公式
eˆqi
ee M e e e e
x qi
2
＋
y qi
2
z 2
qi
dqi h di q
i
hi
x
2 ＋
y
2系数
i 1,2,3
1.1.3 弧长：一般公式
例：求球坐标系的Lame系数
x r sin cos y r sin sin z r cos
x sin cos
1.1 正交曲线坐标系
自强●弘毅●求是●拓新
1.1 正交曲线坐标系
z P (x, y, z)
y x
三维空间任意点的位置可 通过三条相互正交曲线的 交点来确定。该三条正交 曲线组成确定三维空间任 意点位置的体系称为正交 曲线坐标系，三条正交曲 线称为坐标轴，描述坐标 轴的量称为坐标变量。
1.1.1 单位矢量
z
x2 y2 z2
cos1 x
x2 y2
x r sin cos y r sin sin z r cos
r x sin cos
x r
r y
ry
sin
sin
r z cos
z r
eˆ cos cos 球坐标 系
x
r sin
y
cos
seiˆn
x
y
cos
sin
0
e z
i
i
i
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1.1.3 弧长：柱坐标系
d
d
ds de de dze
r
z
ds d 2 (d)2 dz2
1.1.3 弧长：球坐标系
ds drer rde rsinde ds dr2 (rd)2 (r sind)2
1.1.3 弧长：一般公式
ds dqi dx2 dy2dz2
r
y r
sin
sin
h1
1
z r
cos
x r cos cos
y
r
cos
sin
h 2
r
z
rsin
x r sin sin
y r sin cos
h3 r sin
z 0
qi
x,
y,
z
2
x
q
1
1
qq2i x,y, z2
q 3 y
x
qi
xy, y,
z
2
zz
qi
q i qi
x, y,
x
x, y,
y
x, y,
z
zeeˆˆxy
z
eˆz
z
1.1.2 不同坐标系之间的变换
例：求球坐标系与直角坐标系之间的转换公式
r x2 y2 z2
cos 1
z
e eer
sin cos cos cos sin
sin sin cos sin
cos
cso0isneeezxy
1.1.3 弧长
在直角坐标系中，空间任意点的坐标变量的微小变 化，变化前后的弧长是：
ds dx2 dy2 dz2
在正交曲线坐标系中，坐标变量的微小变
化 q q dq，对应的弧长改变量？
在任何正交曲线坐标系有一组
与坐标轴对应的单位矢量
直角坐标系
P P e P e Pe
Pex
x
P ey
y
P ez
zz
z
eˆ, eˆ, eˆ xyz
柱坐标系
eˆ,eˆ,eˆz
空间某点坐标变量的单位矢量 的方向为对应坐标变量为常数 的曲面的法矢所在方向
1.1.1 单位矢量
q1 = g1(x , y , z) q2 = g2(x , y , z) q3 = g3(x , y , z) x = f1(q1 , q2 , q3) y = f2(q1 , q2 , q3) z = f3(q1 , q2 , q3)