初等数论相关问题

初等数论相关求解问题

——计算机辅助研究

日期：2010年11月29日星期一作者：青海师范大学数学系08A班程康初等数论是研究数的规律，特别是整数性质的数学分支。它以算术方法为主要研究方法，主要内容有整数的整除理论、同余理论、连分数理论和某些特殊不定方程。换言之，初等数论就是用初等、朴素的方法去研究数论。

由于自然数的后继性，即它的无穷大性，给我们实际研究工作带来了困难，因此本文介绍如何用计算机来辅助研究初等数论相关问题，并列举实例予以说明。

实例一：完全数

完全数（Perfect number），又称完美数或完备数，是一些特殊的自然数。它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和（即因子函数），恰好等于它本身。

例如：第一个完全数是6，它有约数1、2、3、6，除去它本身6外，其余3个数相加，1+2+3＝6。第二个完全数是28，它有约数1、2、4、7、14、28，除去它本身28外，其余5个数相加，1+2+4+7+14＝28。后面的数是496、8128等等。

例如：

6＝1+2+3

28＝1+2+4+7+14

496＝1+2+4+8+16+31+62+124+248

8128＝1+2+4+8+16+32+64+127+254+508+1016+2032+4064

．．．．．．

对于“4”这个数，它的真因子有1、2，其和是3。由于4本身比其真因子之和要大，这样的数叫做亏数。对于“12”这个数，它的真因子有1、2、3、4、6，其和是16。由于12本身比其真因子之和要小，这样的数就叫做赢数。那么有没有既不盈余，又不亏欠的数呢？即等于它自己的所有真因子之和的数，这样的数就叫做完全数。

完全数有许多有趣的性质：

1、它们都能写成连续自然数之和

例如：

6＝1+2+3

28＝1+2+3+4+5+6+7

496＝1+2+3+……+30+31

2、每个都是调和数

它们的全部因数的倒数之和都是2，因此每个完全数都是调和数。例如：

1/1+1/2+1/3+1/6＝2

1/1+1/2+1/4+1/7+1/14+1/28＝2

3、可以表示成连续奇立方数之和

除6以外的完全数，还可以表示成连续立方和之和。例如：

28＝1^3+3^3

496＝1^3+3^3+5^3+7^3

8128＝1^3+3^3+5^3+……+15^3

33550336＝1^3+3^3+5^3+……+125^3+127^3

4、都可以表达为2的一些连续正整数次幂之和

例如：

6＝2^1+2^2

28＝2^2+2^3+2^4

8128＝2^6+2^7+2^8+2^9+2^10+2^11+2^12

33550336＝2^12+2^13+……+2^24

5、完全数都是以6或8结尾

如果以8结尾，那么就肯定是以28结尾。

6、位数字相加直到变成个位数则一定是1

除6以外的完全数，把它的各位数字相加，直到变成个位数，那么这个个位数一定是1。（亦即：除6以外的完全数，被9除都余1）

28：2+8＝10，1+0＝1

496：4+9+6＝19，1+9＝10，1+0＝1

关于完全数的有关知识，我们先介绍到这里，下面我们介绍用计算机来辅助研究完全数。由于笔者只学习过Ｃ语言和Visual FoxPro两种程序语言，因此用这两种语言来介绍它的寻找过程。

【利用C语言编程求1000以内完全数】

main()

{ int i,j,sum;

for(i=2;i<1000;i++) { sum=0;

for(j=1;j<=i/2;j++) {if(i%j==0) sum=sum+j;}

if(sum==i) printf("%4d",i); } }

【利用Visual FoxPro语言编程求1000以内完全数】

clear

for a=3 to 10000

c=0

for b=1 to a-1

if a%b=0

c=c+b

endif

endfor

if c=a

??c

endif

endfor

运行效果：

笔者用Visual FoxPro编写了一个求10000以内的完全数的程序，运行结果为：如图所示的自然数6,28,496,8128四个数字。此程序的运算次数为：ｎ＝2＋3+4+……+9999=9998*10001=49994999乘法，实际利用计算机运算时间为4秒。如此繁琐庞大的计算过程，计算机轻松帮我们完成。

现在将程序中的第一个循环中的条件变化：

（1）：将数字10000改为15000,运行效果：

此结果说明在10000到15000之间，没有符合条件的完全数。此例我们可以看到计算机帮助我们寻找完全数十分方便，效果事半功倍。庞大的计算量，计算机轻松完成任务。

（2）检验在某个区间内是否存在完全数，例如在3350到34000之间是否存在完全数，运行效果：

我们看到3350和34000之间仅有8128一个完全数。整个检验过程两秒完成。此例同样说明计算机是十分有用的工具，为我们的研究工作节约了大量时间。

（3）检验某个数字是否为完全数，例如检验78088和8128两个数字，运行效果：

同样十分便捷，结果精确简明，一目了然！（4）将完全数的定义性质用计算机演示，效果如下：

（5）性质1的研究，效果演示：

由(4)和(5)可以看出，计算机很迅速的帮我们验证原始定义和性质1.，节约我们时间。

实例二：质数

质数又称素数。指在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，没法被其他自然数整除的数。换句话说，只有两个正因数（1和自己）的自然数即为素数。比1大但不是素数的数称为合数。1和0既非素数也非合数。

质数的一种英文解释：

mathematics, a prime number (or prime) is a natural number greater than one whose only positive divisors are one and itself. Or for short: A prime number is a natural number with exactly two natural divisors. A natural number that is greater than one and is not a prime is called a composite number. The numbers zero and one are neither prime nor composite. The property of being a prime is called primality. Prime numbers are of fundamental importance in number theory.

【利用C语言编程求1000以内质数】

#include

#include

/* input: num, num should >0

return: 1 - 是质数

0 - it is NOT a prime number 不是质数

note: 只需要计算到num的平方根处。 */

int isprime( int num )

{ int i ; int sq； if ( num <= 1) return 0; sq= ( int )sqrt( num ); for ( i = 2 ; i <= sq ; i++ ) { if ( num % i == 0 ) { break ; } } if ( i <= sq ) return 0;

else return 1 ; }

int main(void)

{ int pnPrimeList[100]={0}; int ntotal = 0;

for(int i=0;i<=100;i++)

{ if(1==isprime(i))

{ pnPrimeList[ntotal]=i; ntotal++; } }

for(int j=0;j

printf("\ntotal number = %d\n",ntotal); return 0; }

【利用Visual FoxPro语言编程求1000以内质数】

clear

for a=2 to 1000

c=0

for b=1 to a

if a%b=0

c=c+1

endif

endfor

if c=2

??a

endif

endfor

运行效果：

计算机快速帮我们列出了1000以内的质数表。

【利用Visual FoxPro语言编程求前100个质数】clear

n=１

for a=2 to 1000

c=0

for b=1 to a

if a%b=0

c=c+1

endif

endfor

if n<=100

if c=2

??a

n=n+1

endif

endif

endfor

运行效果：

计算机快速帮我们列出了前100个的质数表。

【利用Visual FoxPro语言编程检验某个数是否为质数】clear

a=9755

c=0

for b=1 to a

if a%b=0

c=c+1

endif

endfor

if c=2

??a

??”是质数！”

else

??a

??”不是质数！”

endif

运行效果：

同理，替换需要检验的数字ａ，举例：

……

利用计算机检验某个数字是否为质数，快捷明了，得心应手！

实例三：利用Visual FoxPro语言编程检验哥德巴赫猜想

哥德巴赫猜想（Goldbach Conjecture) ：

（a）所有的不小于6的偶数，都可以表示为两个奇素数之和(一般用代号“1+1”表示)。

（b）每个不小于9的奇数都可以表示为三个奇素数之和。

问题的第二部分，利用解析数论中的圆法估计，已被证明。真正困难的是第一部分。

Visual FoxPro此问题第一部分的程序：

clear

for i=6 to 26

if i%2=0

for x=3 to (0.5*i)

c=0

for b=1 to x

if x%b=0

c=c+1

endif

endfor

if c=2

?i

??"="

??x

??"+"

for y=(0.5*i) to (i-3)

c=0

for b=1 to y

if y%b=0

c=c+1

endif

endfor

if c=2

if y+x=i

??y

endif

endif

endfor

endif

endfor

endif

endfor

运行效果：

由图可以看到我们用程序验证了从6到26的偶数每个数至少可以写成两个奇质数（奇素数之和，下面取28到38的偶数演示效果：

同样我们对每个偶数的可以表示方法进行计数，这里我们认为例如z=38,x=7,y=31与z=38,x=31,y=7是同种分解法，写出计数程序：

clear

for i=6 to 38

if i%2=0

n=0

for x=3 to (0.5*i)

c=0

for b=1 to x

if x%b=0

c=c+1

endif

endfor

if c=2

for y=(0.5*i) to (i-3)

c=0

for b=1 to y

if y%b=0

c=c+1

endif

endfor

if c=2

if y+x=i

n=n+1

endif

endif

endfor

endif

endfor

??n

endif

endfor

演示从6到200的偶数满足哥德巴赫猜想第一部分分法的个数序列：

演示从6到500的偶数满足哥德巴赫猜想第一部分分法的个数序列：

我们从2开始演示效果：

看起来似乎杂乱无章，但是总趋势是分法数目不断增大，由于自然数的去穷大性和连续性，我们可以断定对任意的大于6的偶数总能找到分成两个奇素数之和的分法，因此我们可以间接推理性的肯定哥德巴赫猜想第一部分是正确的，即第一部分成立。

以每行5个数目的显示方法演示2到350之间所有偶数的分法：

此图更直观的展示分法的变化，总体上分法增多。只要分法数大于1，就可以验证哥德巴赫猜想第一部分成立。那么到底有没有某个非常大的自然数，分法为0呢？结果是否定的，因为在从0到（0.5*i）之间质数的数目是不断增大的，因此不会导致x为空，同样y也不会为空，因此任何一个自然数终能分解为两个奇素数之和。

任意改动初值循环条件，程序帮我们完成任务！

有上述三个实例，我们可以看到，计算机是我们进行学习和研究初等数论的有力工具和得力助手。因此，我们要充分利用好这个工具，去尝试解决所遇到的数论问题和探索新的数学领域。

本文到此结束，如有疑问请联系作者。本文旨在抛砖引玉，对于各位高人前辈大见，洗耳恭听，不胜感激！

参考文献及资料来源；

（1）https://www.360docs.net/doc/cf11786767.html,/

（2）https://www.360docs.net/doc/cf11786767.html,/

（3）《初等数论》，高等教育出版社

（4）《Visual FoxPro数据库管理及程序设计》，高等教育出版社，（5）《C语言程序设计》，高等教育出版社。