2019东城区高三二模数学试题及答案(理科)

北京市东城区2019年第二学期高三综合练习（二）

数学 （理科）

学校_____________班级_______________姓名______________考号___________

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的

一项。

（1）若复数2()i i

x x x z +-=（x ∈R ）为纯虚数，则x 等于

（A ）0 （B ）1 （C ）-1 （D ）0或1 （2）给出下列三个命题：

①x ?∈R ，02

>x ；

②0x ?∈R ，使得2

00x x ≤成立；

③对于集合,M N ，若x M N ∈，则x M ∈且x N ∈.

其中真命题的个数是

（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3

（3）沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的左视图为

（A ） （B ） （C ） （D ）

（4）极坐标方程02sin =θ（0≥ρ）表示的图形是

（A ）两条直线 （B ）两条射线 （C ）圆 （D ）一条直线和一条射线

（5）已知正项数列{}n a 中，11=a ，22=a ，222

112(2)n n n a a a n +-=+≥，则6a 等于

（A ）16 （B ）8 （C ）22 （D ）4

（6）已知双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于,M N 两

点，O 为坐标原点.若OM ON ⊥，则双曲线的离心率为

B

（

A ）

12-

（B ）12+

（C ）12- （

D ）12

+ （7）△ABC 外接圆的半径为1，圆心为O ，且2OA AB AC ++=0， ||||OA AB =，则CA CB

?等于 （A ）

3

2

（B （C ）3 （

D ）（8）已知函数2

1,

0,()log ,0,x x f x x x +≤?=?>?则函数1)]([+=x f f y 的零点个数是

（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1

第Ⅱ卷（共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）2

51

()x x

+的展开式中，4

x 的系数为 ．（用数字作答）

（10）某地为了调查职业满意度，决定用分层抽样的方法从公务员、教师、自由职业者三个群体的

相关人员中，抽取若干人组成调查小组，有关数据见下表，则调查小组的总人数为 ；若从调查小组中的公务员和教师中随机选2人撰写调查报告，则其中恰好有1人来自公务员的概率为 ．

（11）在△ABC

中，若π

,4

B b ∠=

=，则C ∠= ． （12）如图，BC 是半径为2的圆O 的直径，点P 在BC 的延长线上，PA 是圆O 的切线，点A 在

直径BC 上的射影是OC 的中点，则ABP ∠= ；PB PC ?= ．

（13）已知点(2,)P t 在不等式组40,

30

x y x y --≤??

+-≤?表示的平面区域内，则点(2,)P t 到直线

34100x y ++=距离的最大值为____________．

（14）对任意x ∈R ，函数()f x 满足1

(1)2

f x +=

，设)()]([2n f n f a n -=，

数列}{n a 的前15项的和为31

16

-

，则(15)f = ． 三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （15）（本小题共13分）

已知πsin()410A +

=，ππ

(,)42

A ∈． （Ⅰ）求cos A 的值； （Ⅱ）求函数5

()cos 2sin sin 2

f x x A x =+的值域．

（16）（本小题共14分）

如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，5AB AC ==，D ，E 分别为BC ，1BB 的中点，四

边形11B BCC 是边长为6的正方形． （Ⅰ）求证：1A B ∥平面1AC D ； （Ⅱ）求证：CE ⊥平面1AC D ； （Ⅲ）求二面角1C AC D --的余弦值．

（17）（本小题共13分）

甲，乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多

2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为1

()2

p p >，且各局胜负相互独立．已知第二

局比赛结束时比赛停止的概率为59

． （Ⅰ）求p 的值；

（Ⅱ）设ξ表示比赛停止时比赛的局数，求随机变量ξ的分布列和数学期望E ξ．

(18) （本小题共13分）

已知函数x a x x f ln )(2

-=(R a ∈)．

（Ⅰ）若2=a ，求证：)(x f 在(1,)+∞上是增函数； （Ⅱ）求)(x f 在[1，e]上的最小值．

（19）（本小题共13分）

在平面直角坐标系xOy 中，动点P 到定点1

(0,)4F 的距离比点P 到x 轴的距离大

14

，设动点P 的轨迹为曲线C ，直线:1l y kx =+交曲线C 于,A B 两点，M 是线段AB 的中点，过点M 作x 轴的垂线交曲线C 于点N ． （Ⅰ）求曲线C 的方程；

（Ⅱ）证明：曲线C 在点N 处的切线与AB 平行；

（Ⅲ）若曲线C 上存在关于直线l 对称的两点，求k 的取值范围．

（20）（本小题共14分）

在单调递增数列}{n a 中，21=a ，不等式n a n )1(+n na 2≥对任意*

n ∈N 都成立.

（Ⅰ）求2a 的取值范围；

（Ⅱ）判断数列}{n a 能否为等比数列？说明理由； （Ⅲ）设11(11)(1)

(1)2

2n n b =+++

，)2

11(6n n c -=， 求证：对任意的*

n ∈N ，012

≥--n n

n a c b .

北京市东城区2019年第二学期高三综合练习（二）

高三数学（理科）参考答案及评分标准

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

（1）B （2）C （3）B （4）A （5）D （6）D （7）C （8）A 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

（9）10 （10）9

5

3 （11）

7π

12

（12）30 12 （13）4

（14）3

4

注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分． 三、解答题（本大题共6小题，共80分） （15）（共13分）

解：（Ⅰ）因为

ππ

42A <<，且πsin()410A +=

，

所以

ππ3π

244

A <+<

，πcos()410A +=-． 因为π

πππππcos cos[()]cos()cos

sin()sin 444444

A A A A =+-=+++

3

1021025

=-

?+?=． 所以3

cos 5

A =

． ……………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可得4sin 5

A =． 所以5

()cos 2sin sin 2

f x x A x =+

2

12sin 2sin x x =-+ 2

13

2(sin )2

2

x =--+

，x ∈R ． 因为sin [1,1]x ∈-，所以，当1sin 2x =

时，()f x 取最大值32

；

1

当sin 1x =-时，()f x 取最小值3-．

所以函数()f x 的值域为3

[3,]2

-． ……………………13分 （16）（共14分）

（Ⅰ）证明：连结1A C ，与1AC 交于O 点，连结OD ．

因为O ，D 分别为1AC 和BC 的中点，

所以OD ∥1A B ． 又OD ?平面1AC D ，

1A B ?平面1AC D ，

所以1A B ∥平面1AC D ． ……………………4分 （Ⅱ）证明：在直三棱柱111ABC A B C -中，

1BB ⊥平面ABC ，又AD ?平面ABC ， 所以1BB AD ⊥．

因为AB AC =，D 为BC 中点， 所以AD BC ⊥．又1BC

BB B =，

所以AD ⊥平面11B BCC ． 又CE ?平面11B BCC ，

所以AD ⊥CE ．

因为四边形11B BCC 为正方形，D ，E 分别为BC ，1BB 的中点， 所以Rt △CBE ≌Rt △1C CD ，1CC D BCE ∠=∠． 所以190BCE C DC ∠+∠=．

所以1C D ⊥CE ．

又1AD

C D D =，

所以CE ⊥平面1AC D ． ……………………9分 （Ⅲ）解：如图，以11B C 的中点G 为原点，建立空间直角坐标系． 则1(0,6,4),(3,3,0),(3,6,0),(3,0,0)A E C C --．

由（Ⅱ）知CE ⊥平面1AC D ，所以(6,3,0)CE =-为平面1AC D 的一个法向量．

设(,,)x y z =n 为平面1ACC 的一个法向量，

(3,0,4)AC =--，1(0,6,0)CC =-．

由10,0.

AC CC ??=??

?=??n n 可得340,

60.

x z y --=??

-=?

令1x =

，则3

0,4

y z ==-．

所以3(1,0,)4

=-n ．

从而cos ||||CE CE,CE ?<>=

=

?n n n ．

因为二面角1C AC D --为锐角， 所以二面角1C AC D --．……………………14分 （17）（共13分）

解：（Ⅰ）当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛停止，

故2

2

5(1)9

p p +-=， 解得13p =或23

p =． 又12p >

，所以2

3

p =． …………………6分 （Ⅱ）依题意知ξ的所有可能取值为2，4，6．

5(2)9

P ξ==，

5520

(4)(1)9981P ξ==-?=

， 52016

(6)198181

P ξ==--=，

所以随机变量ξ的分布列为：

所以ξ的数学期望2469818181

E ξ=?

+?+?=．………………13分

（18）（共13分）

（Ⅰ）证明：当2=a 时，x x x f ln 2)(2-=，

当),1(+∞∈x 时，0)

1(2)(2>-='x

x x f ，

所以)(x f 在),1(+∞上是增函数． ………………5分

（Ⅱ）解：)0(2)(2>-=

'x x

a

x x f ，当[1,e]x ∈，222[2,2e ]x a a a -∈--． 若2≤a ，则当x ∈[1,e]时，0)(≥'x f ， 所以)(x f 在[1,e]上是增函数，

又1)1(=f ，故函数)(x f 在[1,e]上的最小值为1． 若2

2e a ≥，则当x ∈],1[e 时，0)(≤'x f ， 所以)(x f 在[1,e]上是减函数，

又(e)f =2e a -，所以)(x f 在[1,e]上的最小值为2

e a -．

若2

22e a <<，则当2

1a

x <

≤时，0)(<'x f ，此时)(x f 是减函数；

e x <≤时，0)(>'x

f ，此时)(x f 是增函数．

又ln 222

a a a f =-， 所以)(x f 在[1,e]上的最小值为

ln 222

a a a

-． 综上可知，当2≤a 时，)(x f 在[1,e]上的最小值为1； 当2

22e a <<时，)(x f 在[1,e]上的最小值为

ln 222

a a a -； 当2

2e a ≥时，)(x f 在[1,e]上的最小值为2

e a -．………………13分

（19）（共13分）

（Ⅰ）解：由已知，动点P 到定点1

(0,)4F 的距离与动点P 到直线1

4

y =-

的距离相等． 由抛物线定义可知，动点P 的轨迹为以1(0,)4

为焦点，直线1

4

y =-

为准线的抛物线．

所以曲线C 的方程为2

y x =． ………………3分

（Ⅱ）证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ．

由2,1,

y x y kx ?=?=+?得210x kx --=． 所以12x x k +=，121x x =-． 设00(,)M x y ，则02

k x =． 因为MN x ⊥轴， 所以N 点的横坐标为

2

k ． 由2

y x =，可得'2y x = 所以当2

k

x =

时，'y k =． 所以曲线C 在点N 处的切线斜率为k ，与直线AB 平行．………………8分 （Ⅲ）解：由已知，0k ≠．

设直线l 的垂线为'l ：1

y x b k

=-

+． 代入2

y x =，可得2

1

0x x b k

+

-= （*） 若存在两点3344(,),(,)D x y E x y 关于直线l 对称，

则

34122x x k +=-，3421

22y y b k +=+

又3434

(

,)22

x x y y ++在l 上， 所以

211()122b k k k +=-+， 2

11

22b k

=-． 由方程（*）有两个不等实根 所以2

1

()40b k

?=+>，即

22

1220k k +->

所以

2

1

2k

<，解得k <或k >． ………………13分 （20）（共14分）

（Ⅰ）解：因为}{n a 是单调递增数列，

所以12a a >，22>a . 令1=n ，12a 2a ≥，42≤a ，

所以(]4,22∈a . ………………4分

（Ⅱ）证明：数列}{n a 不能为等比数列.

用反证法证明：

假设数列}{n a 是公比为q 的等比数列，021>=a ，1

2-=n n q a .

因为}{n a 单调递增，所以1>q .

因为*

n ∈N ，n a n )1(+n na 2≥都成立.

所以*

n ∈N ，n

1

1+

n q ≥ ① 因为1>q ，所以0n ?*

∈N ，使得当0n n ≥时，2>n q .

因为21

1≤+

n

*()n ∈N . 所以0n ?*

∈N ，当0n n ≥时，n

q n

1

1+

>，与①矛盾，故假设不成立. ………………9分

（Ⅲ）证明：观察： 113b c ==，4152=

b 292=<

c ，321353=b 4

21

3=

…，猜想：n n c b ≤. 用数学归纳法证明：

（1）当1n =时，31=b 31=≤c 成立； （2）假设当n k =时，k k c b ≤成立；

当时，

)211(11+++

=k k k b b )2

11(1

++≤k k c )211(6k -=)2

1

1(1++k )212121

1(6121

++--

+

=k k k )21211(6121++--=k k )2

1

1(61+-

根据（1）（2）可知，对任意*

n ∈N ，都有n n c b ≤，即0≤-n n c b .

由已知得，n n a n

a )1

1(2+≤. 所以11221

(1)2

n

n n a

a --≤+

≤≤11

)11)(21

1()2

1

1(a n +++

- . 所以当2≥n 时，122-≤n n

b a

12-≤n c )211(121

--

=n 12<.

因为1242<

∈N ，122

a

.

对任意n *∈N ，存在m *∈N ，使得m

n 2<， 因为数列{n a }单调递增， 所以122<

n a

a ，012<-n a .

因为0≤-n n c b ， 所以012

≥--n n

n a c b . ………………14分