定积分的基本性质
定积分的性质
x, x Δ i
x , x Δ i
g i
Mif Mig .
于是
i T
fg
x i M i x i M x i
f
M i f xi M ig xi
最小值 m. 由于 m f ( x ) M , x [a , b], 因此
m(b a ) mdx f ( x )dx
a a
b
b
Mdx M (b a ),
a
b
前页 后页 返回
即
1 b m a f ( x )dx M . ba
由连续函数的介值性定理， [a , b], 使 1 b f ( ) a f ( x )dx. ba
T g i
T
2M
.
前页 后页 返回
令T T T ( T 表示把 T 与 T 的所有分割点合
并而成的新分割 ), 则
ifg sup f ( x) g( x) f ( x) g( x)
sup g( x) f ( x) f ( x)
前页 后页 返回
分割 , 且
f ( )Δx f ( )Δx f ( )Δx .
i i T T i i T i i
令 T 0, 则 T 0, T 0, 即得
b a
b
a
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx .
可积, 且
b
a
( f ( x ) g( x ))dx f ( x )dx g( x )dx .
定积分的概念、性质
三、定积分的性质
§5.1 定积分的概念与性质
一、定积分问题举例
演讲人姓名
二、定积分定义
一、定积分问题举例
曲边梯形 设函数yf(x)在区间[a, b]上非负、连续. 由直线xa、xb、y0及曲线yf (x)所围成的图形称为 曲边梯形, 其中曲线弧称为曲边.
曲边梯形的面积
*
观察与思考
定积分的定义
*
二、定积分定义
例1 用定积分表示极限 解 定积分的定义
*
二、定积分定义
定积分的定义
注: 设f (x)在[0, 1]上连续, 则有
*
定积分的几何意义
这是因为 曲边梯形面积 曲边梯形面积的负值
*
定积分的几何意义
各部分面积的代数和 曲边梯形面积 曲边梯形面积的负值
*
例2
在曲边梯形内摆满小的矩形, 当小矩形的宽度减少时, 小矩形面积之和与曲边梯形面积之间的误差将如何变化? 怎样求曲边梯形的面积？
*
(2)近似代替:
求曲边梯形的面积
(1)分割:
ax0< x1< x2< < xn1< xn b, Dxi=xi-xi1;
小曲边梯形的面积近似为f(xi)Dxi (xi1<xi<xi);
如果在区间[a b]上 f (x)g(x) 则
如果在区间[a b]上 f (x)0 则
性质5
推论2
性质6
设M及m分别是函数f(x)在区间[a b]上的最大值及最小值 则
例4 试证:
证明 设 则在 上, 有 即 故 即
*
性质7(定积分中值定理)
如果函数f(x)在闭区间[a b]上连 续 则在积分区间[a b]上至少存在一个点x 使下式成立 这是因为, 由性质6 ——积分中值公式 由介值定理, 至少存在一点x[a, b], 使 两端乘以ba即得积分中值公式.
高中数学积分与定积分
高中数学积分与定积分1. 引言数学中的积分与定积分是高中数学的重要内容，它们被广泛应用于微积分、物理学等许多领域。
本文将重点介绍高中数学中的积分与定积分的定义、性质和应用。
2. 积分的定义积分是微积分的重要概念，它是对函数在某个区间上的累积变化的度量。
在高中数学中，我们主要学习了定积分的概念和性质。
定积分是把曲线下的面积分成无穷小的矩形，然后对这些矩形的面积进行求和得到的极限。
3. 定积分的基本性质定积分具有一些基本的性质。
首先，定积分与原函数具有关系，定积分可以看作是函数的反导函数在区间上的表现。
其次，定积分的值与区间的选取有关，选取不同的区间可能得到不同的定积分值。
此外，定积分具有线性性质，即对于任意常数a和b，有∫(af(x)+bg(x))dx=a∫f(x)dx+b∫g(x)dx。
4. 定积分的计算方法在高中数学中，我们主要学习了用换元法和分部积分法进行定积分的计算。
换元法是通过变量代换，将原函数的变量转化为另一个新的变量，从而简化定积分的计算。
分部积分法是积分算法中的一种方法，它将一个复杂函数的积分转化为两个简单函数的积分，通过计算这两个简单函数的积分再进行求和得到最终的结果。
5. 定积分的应用定积分在实际问题中具有广泛的应用。
例如，在物理学中，定积分可以用来计算物体的质量、体积和物体受力作用下的功率等。
在经济学中，定积分可以用来计算市场供需曲线之间的面积，从而得到市场的总消费和总生产等。
6. 积分的进一步学习高中数学中所学习的积分与定积分只是微积分的基础部分，随着学习的深入，我们可以进一步学习不定积分、曲线积分等更高级的积分概念和技巧。
掌握这些更高级的积分知识将为我们在大学或进一步的研究中打下坚实的数学基础。
7. 结论通过本文对高中数学中的积分与定积分的介绍，我们可以看到它们在数学和科学领域中的重要性和应用价值。
定积分作为积分的一种重要形式，其定义、性质和计算方法都需要我们进行深入的学习与理解。
《定积分的计算方法》课件
代换积分法
通过变量替换将一个 积分转化为另一个形 式的积分。
分式分解法
将复杂的有理函数进 行分解，再进行积分。
定积分的应用
定积分在几何、物理、经济学和生态学等领域有着广泛的应用。
1
几何应用
定积分可以计算曲线与坐标轴所围成的
物理应用
2
面积、曲线的弧长和旋转体的体积。
定积分可以描述物理量的累积变化，例
3 保号性质
对于非负函数，定积分的结果也是非负的。
4 中值定理
如果函数在区间上连续，那么存在一个点， 使得该点的函数值等于定积分的平均值。
定积分的计算方法
计算定积分有多种方法，包括函数积分法、分部积分法、代换积分法和分式将一个积分转化为两 个函数的乘积求积分。
定积分在实际中的应用
定积分在几何、物理、经济学和生态学等领域有着 广泛的应用。
学习定积分的建议
理解概念，多做练习，掌握不同的计算方法，加深 应用理解。
定积分等于曲线下的面积，可以用来计算不规则形状的面积。
物理意义
定积分可以表示物理量的累积变化，例如速度与时间的关系。
定积分的基本性质
定积分具有多个重要的性质，包括线性性质、区间可加性质、保号性质和中值定理。
1 线性性质
定积分具有线性运算，可以对函数的和、差 进行积分。
2 区间可加性质
定积分可以通过分割区间，并对每个子区间 进行积分，然后累加得到。
如速度、加速度和功的计算。
3
经济学应用
定积分可用于计算边际效益、成本和收
生态学应用
4
益等经济指标。
定积分可以计算物种的种群数量、生态 系统的稳定性等生态学指标。
示例分析
通过一些具体的例题，我们将深入了解定积分的计算方法和应用。
定积分知识点和例题
定积分知识点和例题
定积分是积分的一种，是函数在某个区间上的积分和的极限。
定积分的概念起源于求图形面积和其他实际应用的问题。
下面我将列举一些定积分的知识点和例题：
知识点：
1. 定积分的定义：定积分是积分和的极限，即对一个给定区间[a,b]上的函数f(x)和任意分割法，求各小区间上函数值的点乘积和的极限。
如果存在一个常数I，对于任意给定的正数ε，总存在一个δ>0，使得当|ΔSi|<δ时，对区间[a,b]的任意分割法，和Si与I的差的绝对值都小于ε，则称I为f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作∫abf(x)dx，其中a、b和I分别为定积分的下限、上限和值。
2. 定积分的几何意义：定积分的值等于由曲线y=f(x)与直线x=a、x=b 以及x轴所围成的曲边梯形的面积。
3. 定积分的性质：定积分的性质包括线性性质、积分中值定理、积分上限函数与被积函数的联系等。
4. 定积分的计算方法：主要包括基本初等函数的积分公式和不定积分的性质及计算方法，如换元法、分部积分法等。
例题：
1. 计算定积分∫10(x^2+1)dx的值。
2. 计算定积分∫π20(sinx+cosx)dx的值。
3. 计算定积分∫10|x-1|dx的值。
4. 计算定积分∫10x^2dx的值。
5. 计算定积分∫21(1/x)dx的值。
第五章 积分 5-1 定积分的概念与基本性质
b
b
|
a
f (x)d
x|
|
a
f (x)|d
x.
证明 由于 | f (x) | f (x) | f (x) |, 应用性质 3
b
b
b
a | f (x)|d x | a f (x) d x a | f (x)|d x,
43
4
1
1
1
2
7 1 sin 2
1 sin 2 x 1 sin 2
, 3
3
4
所以
21
3
4
4 7
d
x
3
4
dx 1 sin 2
x
3
4
2 3
d
x
.
18
《高等数学》课件 (第五章第一节)
推论 2 设 f R [a, b], 且在 [a, b] 上 f (x) 0, 则
b
a f ( x) d x 0.
性质 2 (积分对区间的可加性) 设 a c b, f R [a, b], 则 f R [a, c], f R [c, b],
且
b
c
b
f (x) d x f (x) d x f (x) d x.
a
a
c
一般, 当上式中三个积分都存在时, 无论 a, b, c 之间具有怎样 的大小关系, 等式都成立.
当 f (x) R [a, b] 时, 可在积分的定义中, 对 [a, b] 作特殊的分
划, 并取特殊的 i [x i 1, x i] , 计算和式. 如等分区间 [a, b], 并取 点 i 为 [x i 1, x i] 的右端点 x i 或左端点 x i 1 或中点.
( 人教A版)高中数学选修22：1.5.3定积分的概念课件 (共35张PPT)
a
a
所以c2f(x)dx＋b2f(x)dx
a
c
＝2(cf(x)dx＋bf(x)dx)
a
c
＝2bf(x)dx＝4. a
答案：4
3．计算定积分3(2x＋1)dx＝________. 0
解析：3(2x＋1)dx 表示直线 f(x)＝2x＋1，x＝0，x＝3 围成的直角梯形 OABC 的 0
a
＝b，y＝0，再明确被积函数 f(x)，从而确定曲边梯形的曲边，这样就可以通过求 曲边梯形的面积 S 而得到定积分的值： 当 f(x)≥0 时，bf(x)dx＝S；
a
当 f(x)<0 时，bf(x)dx＝－S. a
2．利用定积分的几何意义，求：
3
9－x2dx.
－3
解析：(1)在平面上 y＝ 9－x2表示的几何图形为以原点为圆心以 3 为半径的上半圆如
2
3552－x2dx＝21×2×1＝1，
∴5f(x)dx＝2xdx＋3(4－x)dx＋
0
0
2
3552－x2dx＝2＋23＋1＝29.
利用定积分的性质计算定积分的步骤： (1)如果被积函数是几个简单函数的和的形式，可以利用定积分的线性性质计 算，可以简化计算． (2)如果被积函数含有绝对值或被积函数为分段函数，一般利用积分区间的连 续可加性质计算．
dx
1
1
＝32.
(3)
1
1－x2dx 表示的是图(3)中阴影所示半径为 1 的半圆的面积，其值为π2，
-1
所以1
1－x2dx＝π2.
-1
由定积分的几何意义求定积分的步骤： (1)当 f(x)≥0 时，bf(x)dx 等于由直线 x＝a，x＝b，y＝0 与曲线 y＝f(x)围 成曲边
定积分的定义和性质
定积分的定义和性质定积分是微积分中的重要概念，用以计算曲线下的面积或曲线所围成的图形的面积。
在本文中，我们将介绍定积分的定义和性质，并探讨其在数学和实际问题中的应用。
一、定积分的定义定积分是将曲线下的面积分成无穷多个无穷小的矩形，并对它们进行求和的过程。
它可用以下形式进行定义：设f(x)在区间[a, b]上连续，将[a, b]分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx = (b - a)/n。
选择每个小区间上的任意一个点ξi，计算出相应的函数值f(ξi)，然后将这些函数值与Δx相乘并求和，即可得到定积分的值：∫[a, b]f(x)dx = lim(n→∞)Σf(ξi)Δx二、定积分的性质1. 可加性：对于函数f(x)在区间[a, b]上可积分，并且c位于该区间内，则有∫[a, b]f(x)dx = ∫[a, c]f(x)dx + ∫[c, b]f(x)dx。
这意味着可以将区间进行分割，根据不同段的定积分值进行求和。
2. 线性性质：对于函数f(x)和g(x)在区间[a, b]上可积分，以及任意实数k，则有∫[a, b](kf(x) + g(x))dx = k∫[a, b]f(x)dx + ∫[a, b]g(x)dx。
这表明可以将函数进行线性组合后再进行积分。
3. 区间可变性：如果函数f(x)在区间[a, b]上可积分，并且在区间[a,b']上也连续（其中b' > b），则有∫[a, b']f(x)dx = ∫[a, b]f(x)dx + ∫[b,b']f(x)dx。
这意味着可以扩展区间并计算新增部分的定积分值。
三、定积分的应用定积分在数学和实际问题中具有广泛的应用。
下面列举一些典型的应用场景：1. 面积计算：通过计算定积分可以求得曲线和坐标轴所围成图形的面积。
例如，可以利用定积分计算圆的面积、椭圆的面积等。
2. 弧长计算：通过计算定积分可以求得曲线的弧长。
这在工程学、物理学和几何学等领域中都有应用。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
定积分的基本性质
一、定积分的基本性质
性质1:∫b a1dx=∫b a dx=b-a
证: f(ξi)Δx i＝
1·Δx i＝ (b-a)=b-a
所以
∫b a1dx=∫b a dx=b-a
性质2:(线性运算法则):设f(x),g(x)在［a,b］上可积，对任何常数α、β，则αf(x)+βg(x)在［a,b］上可积，且
∫b a［αf(x)+βg(x)］dx=α∫b a f(x)dx+β∫b a g(x)dx 证：设F(x)=αf(x)+βg(x),由
F(ξi)Δx i＝［αf(ξi)+βg(ξi)］Δx i
＝［αf(ξi)Δx i＋βg(ξi)Δx i］
＝α∫b a f(x)dx+β∫b a g(x)dx，因此
αf(x)+βg(x)在［a,b］上可积，且
∫b a［αf(x)+βg(x)］dx=α∫b a f(x)dx+β∫b a g(x)dx
特别当α=1,β=±1时，有
∫b a［f(x)±g(x)］dx=∫b a f(x)dx±∫b a g(x)dx
当β=0时
∫b aαf(x)dx=α∫b a f(x)dx
性质2主要用于定积分的计算
性质3:对于任意三个实数a,b,c，若f(x)在任意两点构成的区间上可积，则
∫b a f(x)dx=∫c a f(x)dx+∫b c f(x)dx
证:a,b,c的位置，由排列知有六种顺序
(i)当a<c<b，按定义，定积分的值与区间分法无关，在划分区间［a,b］时，可以让点C是一个固定的分点，则有
∫b a f(x)dx=
f(ξi)Δx i
＝［f(ξi)Δx i＋f(ξi)Δx i］
＝f(ξi)Δx i＋f(ξi)Δx i
＝∫c a f(x)dx+∫b c f(x)dx
(ii)当c<b<a
由(i)知∫a c f(x)dx=∫b c f(x)dx+∫a b f(x)dx有
-∫c a f(x)dx=∫b c f(x)dx-∫b a f(x)dx,则
∫b a f(x)dx=∫c a f(x)dx+∫b c f(x)dx
对于其它4种位置与(ii)证明类似。
性质3主要用于分段函数的计算及定积分说明。
性质4:若f(x)在［a,b］上可积，f(x)≥0，则∫b a f(x)dx ≥0
证:由f(ξi)≥0,Δx i>0，有f(ξi)Δx i>0有
f(ξi)Δx i>0，由函数极限不等式知
∫b a f(x)dx=f(ξi)Δx i≥0
性质4用于不通过计算，判别定积分的符号。
性质5:若f(x),g(x)在［a,b］上可积，f(x)≥g(x)，且a<b，则
∫b a f(x)dx≥∫b a g(x)dx
证：由f(x)-g(x)≥0，由性质2，4知。
∫b a f(x)dx-∫b a g(x)dx＝∫b a［f(x)-g(x)］dx≥0
性质5:用于不通过计算，比较两定积分大小。
性质6:若f(x)在［a,b］上连续f(x)≥0但f(x)0，则∫
b
f(x)dx>0
a
证:由f(x)=0，则存在x0∈［a,b］，不妨设x0∈(a,b)，有f(x0)>0，由f(x)在［a,b］上连续，所以在点x0处连续，即
f(x)=f(x0)>0，由连续保号性知，对0<<f(x0)，存在δ1>0，
当x∈(x0-δ1,x0＋δ1)时，有f(x)> x∈［x0－，x0＋］ (x0－δ1，x0＋δ1)时，f(x)> ，则∫b a f(x)dx=∫x0－a f(x)dx+f(x)dx+∫b x0＋
f(x)dx≥f(x)dx≥
∫b a f(x)dx=∫x0－a f(x)dx+f(x)dx+∫b x0＋
f(x)dx≥f(x)dx≥
dx=dx=>0
性质6用于判断定积分值的符号
推论若f(x),g(x)在［a,b］上连续，f(x)≥g(x)，且f(x)≠g(x)，a<b，则∫b a f(x)dx>∫b a g(x)dx
该推论用于不通过计算比较两定积分的大小
若将性质5用不等式
－｜f(x)｜≤f(x)≤｜f(x)｜，有
－∫b a｜f(x)｜dx≤∫b a f(x)dx≤∫b a｜f(x)｜dx，于是有
性质7若f(x)在［a,b］上连续，则
｜∫b a f(x)｜dx≤∫b a｜f(x)｜dx
性质8 若f(x)在［a,b］上连续，m、M是f(x)区间［a,b］上的最小值与最大值，则
m(b-a)≤∫b a f(x)dx≤M(b-a)
该性质用于估计定积分值的范围
证：由m≤f(x)≤M,x∈［a,b］ a<b
由性质5知
m(b-a)=∫b a mdx≤∫b a f(x)dx≤∫b a mdx=M(b-a)
性质9(积分中值定理)若f(x)在闭区间［a,b］上连续，则至少存一点ξ∈［a,b］，使
∫b a f(x)dx=f(ξ)(b-a) (2．1)
证：由性质8知
证：由性质8知
m(b-a)≤∫b a f(x)dx≤M(b-a)
不等式两边同除b-a，由b-a>0，有
m≤≤M
又f(x)在［a,b］上连续，则［m,M］为函数值域，故至少存在一点ξ∈［a,b］，使
＝f(ξ) (2.2)
则∫b a f(x)dx=f(ξ)(b-a)
积分中值定理的几何意义：设f(x)≥0，则∫b a f(x)dx的数值表示曲线y=f(x),y=0,x=a,x=b同成的曲边梯形面积，如图5-5表明，在区间［a,b］上至少存在一点ξ，以ξ处的纵坐标f(ξ)为高，(b-a)为底的矩形面积，等于该曲边梯形的面积。
f(ξ)即(2.2)式左边所确定的值，称为函数f(x)在区间［a,b］上的平均值。
图5-5 积分中值定理与微分中值定理同样重要，利用积
分中值定理可以证明方程根的存在性，适合某种
条件ξ的存在性及不等式，有时与微分中值定理
综合运用解决一些问题。
例设函数f(x)在［0,1］上连续，(0，1)内可导，且3
f(x)dx=f(0),证明在(0,1)内存在一点ξ，使f′(ξ)=0
证：由积分中值定理知，在［，1］上存在一点c,使
３f(x)dx=３·f(c)(1－)＝f(c)=f(0)
故f(x)在区间［0,c］上满足罗尔定理条件，因此至少存在一点
ξ∈(0,c) (0,1)
使f′(ξ)=0
例证明dx=0
证由积分中值定理
0≤dx
＝ 0≤ξn≤，有
0≤ξn n≤()n，由()n=0，由夹逼定理知ξn n＝0，而0<≤1
有·ξn n·＝0，由夹逼定理知
dx=0。