抽象数学具体化

让抽象的数学变得具体化形象化

——谈小学数学的操作实验教学 大家知道，数学是一门具有高度抽象性和概括性的自然科学。正因为它的高度抽象性和概括性，使它具有了普遍存在性和广泛应用性，成为了人类认识自然改造自然所必须具备的基础知识。

儿童心理学的研究发现，刚入学的小学儿童，大脑思维方式刚从具体思维进入形象思维时期，抽象思维才处于萌芽状态。因此，要让适于具体形象思维的小学儿童学习抽象的数学知识就必须把高度抽象的数学知识，先用具体形象的方法呈现给学生，然后让学生通过由“具体—形象—抽象”的思维规律来认识掌握数学知识，并通过多次的这种思维方法训练，培养发展学生的抽象思维能力。这就是说，运用具体形象的方法教学小学数学知识，即是使学生理解掌握数学知识的科学方法；也是培养发展学生抽象思维能力的必要手段。因此，如何把小学数学知识用具体形象的方法呈现给学生，如何在教学中用具体形象的方法让学生认识研究抽象的数学知识，就成了小学数学教学成败的一个关键问题，成了广大小学数学教师进行教学改革所集中的一个焦点问题。

下面就如何运用方格认数学具进行具体形象的操作实验教学谈一下我的一些做法与设想：

一、让抽象的数量变成看得见摸得着的具体实物 要让小学儿童从千差万别的自然物品中认识发现它们之间存在的共性，抽象出它们之间的数量关系，形成数的概念，既是小学数学教学中的第一个大难点，也是小学生认识学习数学知识的第一个关键问题。为了解决这一教学难点，把握好这第一教学关键，运用方格认数学具，我采用把小学生日常生活中熟悉的千差万别的自然物品（如：小兔、小鸟、苹果、汽车、红旗……）用同一大小的方格图片展示给学生，让学生能由图片想象出实物。然后让学生用一一对应的方法把这些物品图片按同种物品装在同一个方格卡片上，并对这些物品所占的方格个数进行数数和比较个数多少。通过这种由“实物——图片——方格——数量”的由“不同——半相同——相同”转化，使学生从千差万别的实物中抽象出数量这一共性，从而正确地形成数的概念。

在教学认识1、2、3、……9这些数字时，我采用分别把带有1、2、3、……9个方格的9个不同长度的卡片，用1、2、3、……9这9个数字符号起名表示，使学生把1—9这9个数字看成是9个不同长度卡片的代号名称。学生在把这9个数具体到实物时，可以由某个数字想到有这个数字代表的方格卡片，再由方格卡片想象到各个方格内贴着某种实物的图片，然后再由图片想象出实物，从而把数量具体到实物上。运用方格卡片代表数字，不但可以使数字变成看得见，摸得着的实物，使学生能具体形象地认识记忆数，而且在认识数的大小、顺序，数的组成、分解时都能以进行实际操作和形象记忆。 在教学100以内和万以内数的认识时，我采用把10个方格的卡片尺用一个照相动作演示，把它用画有10个方格的图片来代表；同理：把一百个方格的卡片尺用一个画有10个十个方格卡片的图片来代表，把一千个方格的卡片尺用画有10个一百个方格的图片来代表。然后让学生运用方格认数学具中的这种方格图片和方格卡片尺来拼组认识 100以内和万以内的数，并进行具体形象地理解记忆这些数。如在认识325这个数时，学生可用3个代表一百的图片，2个代表十个的图片和有5个方格的卡片摆出这个数，并形象地认识这个数的组成和大小及这个数的数位表示法的实际意义。

运用这种用方格图片和方格卡片尺相结合来具体形象表示数的方法，既可以使学生容易地想象出数的大小、组成；又可以使学生形象地认识理解十进制计数法和数位、计数单位这些概念的实际意义，从而使学生把抽象的数量具体化、形象化。

二、让四则计算变成能够进行实际操作的计算 把数量变成具体形象的实物后，可以使数量间的四则计算变成能够动手操作的计算。在小学阶段让学生认识研究的实际物品间的数量关系，主要是同种物品间数量的合分和不同种物品间数量关系的比较。不同种物品间的数量关系比较经分析又可以转化成对同一种物品间数量的合分。因此通过运用方格认数学具把现实生活中的实物数量与数学中的数字符号有机结合后，可以使学生清楚地看到：研究实物间的数量关系可以转化成研究方格卡片间的数量关系。由同种物品间数量的合分可转化为方格卡片间的合分，由对方格卡片间的合分操作用符号式子表达便产生出四则计算算式。

例如：把两个卡片的方格数量合并成一个数量的操作，叫做加法操作，加法操作用符号式子表达出来就是加法算式。把一卡片上的方格数量按某一要求（已知一个数量）分成两个数量的操作叫做减法操作，减法操作用符号式子表达出来就是减法算式。把加法操作和减法操作进行比较分析，可以让学生形象地认识发现加、减之间的关系，以及加、减法各部分之间的关系。

在引入乘法时，通过让学生操作把多个相同个数方格卡片进行合并时，如何把这些合并起来的相同个数方格卡片摆放更好，这种摆放能否用一个简单摆法表示，从而为学生创设出一个形成乘法概念的情境。然后教师稍加点拨，便可使学生认识理解了乘法操作的意义和这一操作的表达式——乘法算式的意义。例如：在把4条有6个方格的卡片合并起来时，根据加法拼接，拼起来卡片太长，这时教师可让学生思考讨论：这4条卡片可以怎样排放更好？这种排放能否用一个简单摆放表示？从而使学生想到：这4条卡片可以并排摆放，这种摆法可以用横放一条6个方格的卡片表示每行有6个方格，纵放一条4个方格的卡片表示有4行。然后教师指出：这种把两卡片交叉摆放的操作，叫做乘法操作，这一操作用式子表示就是6×4=24。

在让学生正确地认识了乘法操作的意义后，学生会迫不及待的想把乘法操作表示出的方格数量能不用数，一看表示法就知道是多少个方格。这时教师可应学生所急，告诉学生用乘法口诀便可以达到这一目的，从而激起学生编记乘法口诀的自觉积极性。然后，通过教师的指导，让学生根据乘法操作的意义，用加法计算法自己编记住九九乘法口诀。

在教学认识除法时，教师通过把实际生活中的平均分问题引入课堂，让学生用实物图片代表实物进行平均分的实际操作。然后通过让学生把对实物图片的平均分，转化成对方格卡片的方格数平均分操作，并把这种平均分操作叫做除法操作；除法操作的表达式就是除法算式。在让学生认识除法操作的两种平均分法时，可以让学生通过实际分法的操作对比，发现两种分法虽分时摆法不同（平均分是先摆份数，包含分是先摆每份数），但分时每次的取法是相同的，都是每次按一个已知的相同数（即除数）来取，取的次数是所求的数。从而使学生正确认识为什么两种分法可以用同样的操作式子表示的原因。在学生对除法操作有了充分的认识后，再让学生把除法操作和乘法操作进行联系对比，可以使学生发现：用乘法操作表示出的方格数，能直接看出平均分成几份后每份是多少个方格。例如上面的用乘法操作表示出的24（6 × 4）个方格，可以看出平均分成4份，每份是6个方格，每份是6个方格可以平均分成4份。从而使学生形象地认识理解乘、除之间的关系，发现运用乘法口诀计算除法的方法；并且能形象地认识理解乘除法各部分间的关系。

通过运用方格卡片、图片进行四则计算的实际操作，既可以使学生认识四则计算的实际意义，理解四则计算法则，运算定律和运算性质、规律的产生由来，又可以使学生对四则计算的笔算结果和计算法则、运算定律、运算性质的正确性、进行实际操作检验，还可以使学生发现计算中的进位、退位、简算的特点规律。例如：学生在操作计算325 + 287时可以让学生先用方格图片和卡片摆出325和287这两个数，然后让学生把两数合并在一起看是几个百、几个十、几个一，学生在数几个百、几个十、几个一时，自然的就把百和百、十和十、个和个分别合在了一起。当学生在读写合并起来的数时，发现10个十、12个一没法用一个数字表示时，教师用提问式稍加点拨，学生自然就想到了进位。通过这一实际操作学生既理解了加法的计算法则的含义，又认识了加法交换律和"凑十法"进位等规律，看到了计算结果的正确性等。

运用学具卡片的多种长度和容易等分等特点，可以方便地进行分数意义和分数四则计算的教学。例如：根据用线段图表示单位1时，线段长度可以任意选定这一特点，可让学生认识任一条卡片尺都可以作为单位1。若选用6个方格的卡片作为单位1，让学生找出与它的 1/2、1/3、1/6 同样长的卡片。学生在找出这些卡片后，很容易地就会发现 1/2 = 3/6 ， 1/3 =2/6

1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6 1/2 － 1/3 ＝3/6 － 2/6 ＝ 1/6 1/2 ＋1/3 ＋1/6 ＝ 3/6 ＋2/6 ＋1/6 ＝6/6 =1

1又1/6 － 2/3 ＝ 7/6 － 4/6 ＝ 3/6 ＝ 1/2 …… 再如：若选用10个方格的卡片作为单位1，让学生找出与它的 1/2 、4/5 、3/10 同样长的卡片，可直观地操作比较 1/2 、4/5 、3/10 三个分数的大小。根据分数加减法的意义可直接操作计算 1/2 + 4/5 、1/2 － 3/10 、1/2 + 3/10 － 4/5 ……

根据分数乘以整数和一个数乘以分数的意义，可操作计算： 3/10 × 3（把3个 3/10 合并后看是单位1的几分之几），3 × 3/10 （把3个单位１并排在一起，取它的 3/10 后，再把取下的部分合并看是单位１的几分之几）； 1/2 × 4/5 （把与单位1的 1/2 同样长的卡片再平均分成5份取其中的4份，然后看取下的4份是单位1的几分之几），4/5 × 1/2（把与单位1的 4/5 同样长的卡片再平均分成2份取其中的1份，然后看取下的1份是单位1的几分之几）。

通过这些操作学生不但正确理解了分数的意义、性质和计算法则，而且还可以从中发现分数四则计算的一些运算定律、性质和简算方法，领悟到分数四则计算与整数四则计算的相通性。

三、让应用题中抽象的数量关系分析变成具体的操作分作 应用题教学既是小学数学教学中的重点，也是教学中的一大难点。是造成小学生数学成绩差的主要原因。

分析小学生解答应用题能力差的主要原因，可以发现一是：教学中缺乏理论联系实际的教学情境，在教学应用题时不能使学生真正地想象联系到实际物品上去分析数量关系；二是：学生对四则计算的实际意义缺乏正确理解，不能把应用题中叙述的实际问题中存在的数量关系用数学式子表达出来。即教学中缺乏帮助学生把具体实物间的数量关系抽象为数学表达式的过渡桥梁。应用了方格认数学具把数量具体化、四则计算操作化后，这两个主要原因使迎刃而解了。

首先，学生在学习四则计算时，就把一步应用题溶化在了四则计算意义的操作计算教学法中，使学生把认识四则计算意义和一步应用题融为了一体。例如：在教学加法意义时，教师让学生先拿出2个方格的卡片并在上面夹上2只白兔，再拿一有3个方格的卡片在上面夹上3只黑兔。然后教师说：“小明家养了2只白兔3只黑兔，小明家一共养了几只兔？”让学生先用卡片操作出小明家一共养的兔只数，并举起让教师看，然后再数一数共是几只兔。教师由此揭示出加法的意义；象刚才同学们把两个卡片上的只数合并成一个只数的做法，叫做加法操作；这个操作可用一个式子“2+3=5”表示出来，读作2加3等于5。然后让学生根据这个操作：作出其它一些实物图片数的加法操作，并让学生用式子把操作表示出来。