数学中的抽象美
浅谈数学中的美
和谐性是数学美中的又一特征，它主要体现在数学图形中的对称美、数量的和谐、空间的协调……
数学知识中的对称主要是轴对称美。像圆，太阳的象征，“一切平面图形中最美的图形”；等腰三角形，埃及金字塔的缩影；形象逼真的扇形；梅花瓣样的组合图形；铜钱式的圆中方；美丽的“雪花”图案，更显示出几何图形的对称美，和谐美。数量中的和谐，比如：加减乘除的运算意义和法则构成整体之间的相依、相反关系。它们既存在着可逆的关系，又存在着相互转换的关系，除法可转化为乘法，乘法也可转化为除法，和谐统一，又各有特点。
数学有时像一本书，一个故事情节，开头以悬念见长，让你充满着神秘，然后一步步去求解，最终得出一个清楚明白的结论，如“鸡兔同笼不知其数，三十六头笼中露，数清脚共50双，多少只鸡多少只兔”，设鸡有x只，兔有y只，容易得出方程组解得。
这就是数学的乐趣，让人们抱着探求事实真相的目的、满怀好奇的求解过程和最终真相大白的快感。这一点，和人们读文学作品所产生的感觉是相似的，难怪有人说，世界本身就是未知数Байду номын сангаас而数学本身就是探索世界之谜的方程式。
总之，数学美的魅力是诱人的，数学美的力量是巨大，数学美的思想是神奇的。它可以改变人们认为对数学枯燥无味的成见，让人们认识到数学也是一个五彩缤纷的美的世界，由此产生学习数学的兴趣。
数学知识大部分由数字和符号组成，从四则运算到比较大小，还有运算中的大、中、小括号，符号都讲究大小适中、上下左右对称。美好的数字：一是万物之始，一统天下、一马当先；二是偶数，双喜临门、比翼双飞；一去二三里，烟村四五家。亭台六七座，八九十枝花（邵雍）；七八个星天外，两三点雨山前（辛弃疾）；一帆一桨一渔舟，一个渔翁一钓钩。一俯一仰一顿笑，一江明月一江秋（纪晓岚）。读了上面的成语、诗，每个人都明显感到，无论是数字的单个应用或重复引用或循环使用，看似毫无感染力的数字竟能表现出各种思想感情。
数学之美内容
“数学之美”的内容
以下是关于“数学之美”内容的描述：
1.数学的对称之美。
在数学中存在着各种形式的对称性，这种对称性可以体现在数学对象
的结构、性质和关系中。
数学中的对称美具体体现为：数学的几何对称美、数学的代数对称美和数学的组合对称美。
这些对称之美不仅有助于我们解决问题，还能够揭示数学对象之间的联系和结构。
2.数学的简洁之美。
数学的简洁之美来源于其简洁而优雅的表达方式、精炼的推理和符号
表示。
数学的简洁美不仅使得数学理论更加易于理解和应用，也给人一种审美上的享受。
如数学中的公式和方程往往以简洁明了的形式来表达复杂的数学关系；数学中的定理和证明也往往具有简洁而优雅的特点。
3.数学的抽象之美。
数学的抽象之美源于其超越具体对象和情境的能力，以及抽象化的思
维和符号系统。
如数学中的概念和理论往往能够超越特定的对象和情境，通过引入符号和符号系统，将复杂的数学概念和关系抽象化，使得数学思维更加灵活和高效。
数学的抽象之美常常会启发人们对世界的深入思考，推动人类创造力的发展。
数学美在哪里
数学美在哪里？数学知识的审美教育主要是通过教学使学生感受数学知识的内在美，诸如数字美、符号美、构图美等，培养和提高学生的审美能力，培养学生对数学知识美的热爱，通过学生的"内化"，逐步迁移为对数学知识的热爱和追求，从而激发学生对数学的学习兴趣，开发学生的智力，从而达到育人的目的。
小学数学课程中隐含着丰富的美育因素，我们要充分发掘数学教材中的美育因素，让孩子感受到数学的美，进而喜欢数学。
数学教材中隐含的美育因素主要包括以下几个方面：（一）、数学的简洁与抽象美：数学的简洁美，并不是指数学内容本身简单，而是指数学的表达形式、数学的证明方法和数学的理论体系的结构简洁。
公式C＝2πR就是其中一例。
几何中完美的图形——圆，内含的周长与半径有着异常简洁和谐的关系，一个传奇的数"π"把它们紧紧相连。
又如，数“1”，小至一个原子、粒子；大至一个太阳、一个宇宙……宇宙万物，均可以用“1”来表示。
几何形体的各种求面积、体积公式，简洁实用，万无一失，只要符合有关条件，计算不出错误，就可以得到正确的结果。
细心的人还可以找到他们之间的内在联系。
再如，许多简便的解法，也是数学简洁美的体现。
简单举例：计算1—+—+—+—+—+—+—+—+—。
面对这个计算题，若贸然用一般的通分的方法来解决，会带来繁杂的计算。
当仔细审视这题的特点，发现每一项的分数的分子皆是1，而分母可分别分拆成两个相连的自然数之积，即1×2,2×3,3×4,4×5,5×6,6×7,7×8,8×9,9×10，于是，立即使我们联想到，把每个分数都分拆成两个分数之差。
这样一来，尽管计算过程中分数的项数增加了一倍，但出现正负相间的两个相同的分数，中间的项对消了，只剩下首末两项，从而很快获得结果，即这一简洁的解法，给人以美的享受。
（二）、数字和符号美。
数学中体现出的各种“美”在哪儿
数学中体现出的各种“美”在哪儿当你倘佯在音乐的殿堂,聆听优美动听的乐曲时,你会体会到音乐带给你的“美”的享受;当你漫步在文学的天地,欣赏着那“惊天地,泣鬼神”的绝妙语句,一定能够领悟文学带给你的的“美”，美的事物，总是为人们乐意醉心追求的。
其实,“哪里有数学,哪里就有美”,这是古代哲学家对数学美的一个高度评价.数学中同样存在着能够启迪智慧,陶冶情操的“美”。
数学的美，质朴，深沉，令人赏心悦目；数学的妙，鬼斧神工，令人拍案叫绝！数学的趣，醇浓如酒，令人神魂颠倒。
一、对称美所谓对称性，既指组成某一事物或对象的两个部分的对等性，从古希腊的时代起，对称性就被认为是数学美的一个基本内容。
毕达哥拉斯就曾说过：“一切平面图形中最美的是圆，在一切立体图形中最美的是球形。
”这正是基于这两种形体在各个方向上都是对称的。
二、和谐美万物都是和谐统一的，现代也提倡建立社会主义和谐社会，可知，和谐的重要性。
数学中也包含着和谐美。
最著名的和谐美的例子就是黄金分割比了。
黄金分割又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值为1∶0.618或1.618∶1，即长段为全段的0.618。
0.618被公认为最具有审美意义的比例数字。
上述比例是最能引起人的美感的比例，因此被称为黄金分割。
有趣的是，这个数字在自然界和人们生活中到处可见：人们的肚脐是人体总长的黄金分割点，人的膝盖是肚脐到脚跟的黄金分割点。
大多数门窗的宽长之比也是0.618。
黄金分割被认为是建筑和艺术中最理想的比例。
建筑师们对数字0.618特别偏爱，无论是古埃及金字塔，还是巴黎圣母院，或者是近世纪的法国埃菲尔铁塔，都有与0.618有关的数据。
还有，在古希腊神庙的设计中就用到了黄金分割。
人们还发现，一些名画、雕塑、摄影作品的主题，大多在画面的0.618处。
艺术家们认为弦乐器的琴马放在琴弦的0.618处，能使琴声更加柔和甜美。
数学之美展示数学的优雅和美妙之处
数学之美展示数学的优雅和美妙之处数学，这门看似冷冰冰的学科却蕴含着无穷的美妙和优雅。
它是人类智慧的结晶，展示着人类思维的精密和推演的力量。
本文将展示数学之美，探索其优雅和奇妙之处。
一、数学的基础美学——几何学几何学是数学中最古老的分支之一，它研究形状、大小、相对位置以及空间中物体的性质。
几何学中包含了许多美妙的概念和定理。
比如，欧几里得几何中的平行公设，通过这一公设，我们可以推导出一系列美妙的结论，如平行线截干线的比例定理、相似三角形定理等。
这些定理通过简洁而优雅的方式展示了几何学的美妙之处。
其次，我们可以通过对几何学中的一些特殊曲线的研究，来展示数学的优雅之美。
例如，圆是最简单的曲线之一，它具有许多奇妙的性质。
圆周率就是其中之一，它是一个无理数，无限不循环的小数。
而圆周率的计算一直是数学家们努力追求的目标，尽管我们至今没有找到一个确定的计算方法，但这也是数学之美的一部分。
二、数学的抽象美学——代数学代数学是数学的另一个重要分支，它研究数和符号之间的关系。
代数学中的符号运算和方程求解等概念，展示了数学的抽象和深邃之美。
一方面，代数学可以用来解决实际的问题。
例如，线性方程组求解在实际生活中有着广泛的应用，它可以描述很多自然界和社会科学中的现象。
通过代数学的工具和方法，我们可以解决这些方程组，从而得到问题的解答，这无疑是数学之美的一种展示。
另一方面，代数学中的抽象概念和结构也展示了数学的优雅之美。
例如，矩阵是代数学中的一种重要工具，它可以用来表示线性变换以及解决线性方程组。
矩阵的运算规则和性质，展示了代数学中的一些基本定律和美妙的结论。
三、数学的应用美学——概率与统计学概率与统计学是数学的应用领域，它研究随机现象的发生规律以及对实际数据的分析和解释。
概率学中的概率分布和统计学中的统计量等概念，展示了数学在实际问题中的运用。
例如，正态分布是概率学中最重要的分布之一，它在自然界和社会科学中的应用非常广泛。
论抽象在数学美中的功能与价值
论抽象在数学美中的功能与价值抽象在数学美中的功能与价值-----近些年来，抽象数学的发展催生了一种新的数学思维，这种思维被称为“抽象数学”，它不仅广泛应用于科学研究，而且也在把握数学美的过程中发挥了重要作用。
本文将从抽象数学在数学美中的功能和价值角度出发，探讨抽象数学在数学美中的地位。
一、抽象数学在数学美中的功能抽象数学是一种新兴的数学思维，它以形式化的方法来描述和分析数学中的概念和定理。
它不仅广泛应用于科学研究，而且也在把握数学美的过程中发挥了重要的作用。
首先，抽象数学有助于更深入地理解数学定理和公式。
抽象数学把数学概念从抽象化的角度出发，如定义、公理、定理、定律等，这样可以把一个复杂的数学问题简化为一个简单的概念，使我们能够更深入地理解数学定理和公式。
其次，抽象数学有助于更好地发现数学的潜在规律。
抽象数学的概念可以把一个问题抽象成一系列的概念，当我们把这些概念连接起来，就可以发现数学的潜在规律，从而解决问题。
最后，抽象数学有助于更好地发掘数学美。
抽象数学为我们提供了一种以形式化方式表达数学概念和定理的方法，这种方法使我们可以以更深层次的思维来理解数学，从而发现数学美。
二、抽象数学在数学美中的价值抽象数学不仅可以帮助我们更深入地理解数学定理和公式，更好地发现数学的潜在规律，还可以帮助我们更好地发掘数学美。
首先，抽象数学可以帮助我们更好地把握数学的精髓。
抽象数学能够把一个复杂的数学问题简化为一个简单的概念，从而使我们可以更好地把握数学的精髓，从而更好地理解数学。
其次，抽象数学可以帮助我们发现数学的更多美。
抽象数学可以帮助我们以更深入的思维方式理解数学，从而发现数学的更多美，从而更好地把握数学美。
最后，抽象数学可以提高数学技能。
抽象数学的概念可以帮助我们建立一种更加系统的思维方式，从而能够更好地把握数学的规律，从而提高数学技能。
总结从上文可以看出，抽象数学在数学美中发挥了重要作用，包括帮助我们更深入地理解数学定理和公式，更好地发现数学的潜在规律，更好地发掘数学美，以及提高数学技能等。
数学中的美
数学中美的欣赏摘要：数学美，是一种科学美，它有着丰富多采的美的因素，许多数学图形、数学表达式给人以美的享受。
数学方法美如同数学图形、公式一样，之所以给人以美的享受，是因为数学方法美中存在着其固有的美因。
而黄金分割无论是在理论上,，还是实际生活中都有着极其广泛而又非常简单的应用，对后来形式美学与实验美学产生了巨大影响，从而在历史上产生了巨大的影响。
本文结合实例，论述数学方法美的美因有简洁性、对称性、抽象性、谐调性、新颖性等，欣赏数学的美, 提高人们的数学素质，从而创造更美的数学解题方法。
关键词：数学方法数学方法美黄金分割1、简洁美简洁美是指各种数学事实都具有简单明了的表述，它是数学事实统一的简化形式的外在表现。
与数学概念、数学定理等相比, 数学方法的简洁美更多地表现在运用数学方法的过程和结果的简洁形式等方面,同时用以表述这种方法的语言也是简洁的、精炼的。
例 1 试证素数有无穷多个。
证:假设P1、P2、…Pn是仅有的有限个素数，n∈N,作自然数g=1+ P1P2…Pn则g也是素数，（否则，必有Pi Ⅰ1即Pi=1矛盾）从而素数个数多于n个与假设矛盾，故，素数有无穷多个。
对于论证与“无穷多”有关的这样一个复杂的命题, 能用如此简洁的方法证明, 不能不令人赞叹不已!这种思想方法如同维纳期塑像一样具有丰富的内在美。
例2某六位数首位是2，乘以3得到的新数恰是把2移至末位，其余数码不变的六位数，求这个六位数。
解设这个六位数是200000+x，则3﹙200000+x﹚=10x+2则x=85714，所求的六位数是285714。
例1证法体现了局部构造及思路的简洁美，例2体现了整体结构的简洁美。
公理法则体现其构建知识系统的简洁美。
如近代数学家皮亚诺仅用“自然数”、“后继”、“1”三个基本概念和五个基本命题，便刻划出整个算术统，体现出自然数结构的有序和完美，更体现出公理化方法的简洁美。
2、对称美“美和对称紧密相连”, 许多重要的数学方法总是成对偶状出现, 表现出数学方法整体结构的对称美。
江西高考数学题中的抽象之美
显的规律， 揭示出这些规律并用直观的形式呈现，
是命题者的独到之处． 将最高点与中心点的轨迹 抽象出来， 检测应试者运用数学思想方法来再现
此特征的能力， 是当今社会需要的创新思维的核
心．
２ 杂乱” ．“ 美中隐藏的抽象美
问题 ３ （００ ２ １ 年高考江西省理科试题） 如图 ７ 一个正五角星薄片 （ ， 其对称轴与水面垂直） 匀
没有变化， 导数取零， 排除 （） 由于总面积一直 Ｃ； 保持增加， 没有负的改变量， 排除（ ）（ ）（ Ｂ ；Ａ 、Ｄ） 的差异在于两肩位置的改变是否平滑， 考虑到导 数的意义， 断此时面积改变为突变， 判 产生中断， 选择 （ ． Ａ）
问题 ４ （０ ０ ２ １ 年高考江西省文科试题） 如图 ８ 四位 同学在同一个坐标系中分别选定了一个 ，
转动， 点 的位置会先变高， 当点 Ｑ到达最低点
时， Ｍ 最高， 点 排除 （ ）（ ） Ｃ 、Ｄ 选项； 对于最高点， 当点 Ｍ 最 高时， 最高 点的高度应该与旋转开始 前相同， 因此排除（ ）故选（ ． Ｂ， Ａ）
Ｐ Ｓ
（） Ａ
（） Ｂ
（） ｃ
（） Ｄ
思考： 最初零时刻和最后终点时刻图形面积
．
弧长时， 点Ｍ 从 处移到 ， ） ＝ ＯＭ１ （ ＝ ， 仍在 Ｏ 上； Ｎ 从 ２ Ｍ１ 点 Ⅳ 处移到 Ⅳ 处，二 ３ （Ⅳ３＝ ）
３０Ａ ￣
＿
示出直观 的美； 有些显得“ 杂乱无章” 有些显得 ； 无序零碎， 但细细品味时又显得魅力无穷． 应试
２
，
仍在＜ 二 ） 上， 排除选项（）最后选 （ ． Ｂ， Ａ）
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２， ａ 则弧 Ｐ的长度为 ２ Ｚ ， ａＸ去＝ 则点Ｐ
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数学中的抽象美在绘画与教学中，美有客观标准。
画家讲究结构、线条、造型、肌理，而教学家则讲究真实、正确、新奇、普遍、……—哈尔莫斯数学家因为对发现的纯粹爱好和其对脑力劳动产品的美的欣赏，创造了抽象和理想化的真理。
—R．D．Carmicheal自然几乎不可能不对数学推理的美抱有偏爱。
—C．N．杨“数学是研究现实中数量关系和空间形式的科学”(恩格斯)。
数学虽不研究事物的质，但任一事物必有量和形，这样两种事物如有相同的量和形，便可用相同的数学方法，因而数学必然也必须抽象。
我们生活在受精确的数学定律制约的宇宙之中，而数学正是书写宇宙的文字(伽利略语)。
物理、化学、工程乃至许多科学技术领域中的基本原理，都是用数学语言表达的。
万有引力的思想，历史上早就有之，但只有当牛顿用精确的数学公式表达时，才成为科学中最重要、最著名的万有引力定律。
爱因斯坦的广义相对论的产生与表达，也得益于黎曼几何所提供的数学框架和手段。
在数学的创造性工作中，抽象分析是一种常用的重要方法，这是基于数学本身的特点——抽象性的。
数学中不少新的概念、新的学科、新的分支的产生，是通过“抽象分析”得到的。
当数学家的思想变得更抽象时，他会发现越来越难于用物理世界检验他的直觉。
为了证实直觉，就必须更详细地进行证明，更细心地下定义，以及为达到更高水平的精确性而进行的持续努力，这样做也使数学本身得以发展了。
数学的简洁性在很大的程度上是源自数学的抽象性，换句话说：数学概念正是从众多事物共同属性中抽象出来的。
而对日益扩展的数学知识总体进行简化、廓清和统一化时，抽象更是必不可少的。
如前所述，微积分的创始人牛顿和莱布尼兹分别从力学(研究物体的速度、加速度)和几何学(讨论曲线的切线)不同角度引入建立同一概念、创立同一学科——微分学；而他们又分别从“反运算”和“微分求和”不同角度建立另一门学科——积分学。
这也使微分、积分(微积分)成为一个不可分离的整体学科。
同一个拉普拉斯(Laplace)方程它既可用来表示稳定的热传导过程平衡态、溶质动态平衡、弹性薄膜的平衡，也可表示静态电磁场的位势、真空中的引力势、不可压流体的定常运动等等。
这个方程由于抽象性而成为普适(当然，方程自身的形式也是很美的，除了符号美外，它还具形式美：对称、整齐)，这显然也是数学本身的一大特点。
抽象是数学的美感中的一个重要部分，还因为数学的抽象可以把人们置于脱开周围事物纷扰的“纯洁”的气氛中，尽管这种气氛有时距离具体经验太遥远。
波兰数学大师H．史坦因豪斯在其名著《数学一瞥》中，有这样一句挑战性的话：七十八位数2257-1=2315841784746323908471419700173758157065399693312811280789151 68015826259279871是合数，可以证明它有因子，尽管这些因子还不知道。
大师是运用了“抽屉原理”得出这个“非构造性”的结论(证明某些东西存在，尽管还没找到它)，数学家正是依据数学抽象的特点，巧运新思才得出这个“未卜先知”的断言(这些因子在八十年代人们利用了电子计算机的帮助而找到了)。
这也是数学用抽象推理去判断以别于其他学科的标志之一。
“抽象”系指不能具体体验到的，这儿我们所谈的抽象有两种含义：(1)我们不容易想象(或意想不到)的；(2)我们无法体验到(或与现实较脱节)的。
对于前者，这也是用数学去“证明”某些难以理解的事实的最好工具；对于后者，说明数学本身具有的特征与魅力。
我们先来谈谈前者。
下图中有一个大的半圆，在其直径上又并列着三个小半圆，请问大的半圆周长与三个小半圆周长之和谁大？乍看上去，似难判断，具体一推算便十分清楚了：设大圆直径为d，三个小半圆直径分别为d1、d2、d3。
因d1+d2+d3=d，有π(d1+d2+d3)=πd，即πd1+πd2+πd3=πd，此即说大半圆周长为三个小半圆周长之和。
再如有一条很长很长的绳子，恰好可绕地球赤道一周。
如果把绳子再接长15米后，绕着赤道一周悬在空中(如果能做到的话)，你能想象得出吗：在赤道的任何地方，一个身高2米39以下的人，都可从绳子下自由穿过！它的道理只须稍加计算便可明晓。
设地球半径为R，则绳子原长为2πR。
当绳子长为2πR+15时，绳子所围圆周的半径是：(2π+15)÷2π=R+15／(2π)=R+2.39(m)。
那么绳子可围成一个与地球相距(即绳子围成的圆圈半径与地球半径之差)2.39米的大圆圈。
这个事实单凭经验去想象，无论如何是想不通的：地球半径那么大，而绳子仅仅接长15米，绳子居然处处离地球2米以上。
然而严谨的数学计算告诉我们：这是千真万确的(可谁又能亲手去试验一下？)。
话还得讲回来，正因为数的抽象，人们难以体会，因而有时也须将它形象化之后，才能为人们接受。
比如提到原子，人们都会觉得它小，从数据上讲它的直径约为10－10m，这看上去很抽象，它到底有多小？如果作个比方：“一个原子与一滴水之比”，就如“一滴水与整个地球之比”一样，你就会觉得形象了。
有些数字看来也许并不起眼，然而它表示的数据之大几乎让人感到吃惊……一位联合国卸任的官员曾说过：1980年在纽约和日内瓦举行联合国会议期间，仅九月至十二月，共印刷二亿三千五百万页文件，而全年共印刷大约十八亿页文件。
如果把这些文件首尾粘起来，将长达二十七万公里。
照此速度印发文件，两年内文件总长可铺至月球。
多米诺骨牌是西方人喜欢玩、且列为竞技项目的游戏。
它是将一些骨牌立着排好，推倒第一张，其余的便会依次倒下。
据计算，一张多米诺骨牌倒下时能推倒下一张尺寸为其1.5倍(指长、宽、高三度)的骨牌。
这样，如果按照l∶1.5的尺寸作一套13张的骨牌，若最小者为9.53×4.76×1.19(mm3)，则第13张尺寸为61×30.5×7.6(cm3)，推倒第一张骨牌仅须0.024微焦耳的能量，而第13张骨牌倒下时却放出51焦耳的能量，即它被放大20多亿倍。
若按此比例，第32张多米诺骨牌将高达415米，它已是纽约帝国大厦高度的两倍，此时它倒下时，释放的能量已达1.24×1015焦耳!苍蝇是四害之一，然而它的繁殖速度却是惊人的。
苍蝇大约在每年四月中旬开始产卵，卵20天可成蝇，这样到每年九月一只苍蝇大约可繁殖七代。
如果一只苍蝇每次可产卵120个(若雌雄各半共60对)，一年中一只苍蝇可繁殖：2×(60+602+603+…+606)=355923200000000只，这些苍蝇可排成大约25亿公里长，它等于地球到太阳距离的十八倍。
相传古印度人西塔发明了(国际)象棋而使当政的国王十分开心，便决定重赏西塔。
“我不要您的重赏，陛下。
”西塔接着说：“我只要您能在我的棋盘上赏些麦子：在第一格放一粒，第二格放2粒，第三格放4粒，以后每格放的麦粒都比它前面一格多一倍，我只求能放满64格就行。
”“区区小数。
几粒麦子，这有何难，来人……”国王命令道。
然而一动手放起来，国王便傻眼了：这些麦粒总数为1+2+23+…+263=264-1，它们的体积有12×1012立方米，若把它们堆成高4米，宽10米的“麦墙”，将有3×108公里长，这大约是全球两千年所产小麦的总和。
印度北部的圣城贝拿勒斯的一座神庙里，佛像前面放着一块黄铜板，板上插着三根宝石针，其中的一根自上而下放着从小到大的64片圆形金片(它在当地称为“梵塔”)。
按教规每天由值班僧侣把金片移到另一根宝石针上，每次只能移动一片，且小片必须放在大片上——当所有金片都移到另一根宝石针上时，所谓的“世界末日”便到了。
经计算发现，按照上面规定当把全部金片移到另一根宝石针上时，需移动264-1次。
倘若每秒移动一次，即使日夜不停地移动金片，仍大约要585亿年(每年按3155800秒计)。
按现代科学推测：太阳系寿命约200亿年——移完金片，地球乃至太阳系或许不复存在了！围棋在我国已有四千余年的历史，宋代科学家沈括在其所著《梦溪笔谈》中谈到，唐代高僧一行曾计算过围棋中不同布局的总局数：棋盘有横、竖直线各19条，它们的交点有361个(放子处)，每点处由于可放白子、也可放黑子、还可空着不放子，这样每点处均有三种不同布局，因而围棋的所有可能布局方式为：3361≈10172(种)。
这些总布局既使让每秒可做10亿次运算的大型高速计算机去运作(姑且认为它每秒钟可完成10亿个布局)，三台计算机每年可完成1017种布局，那么它们完成全部布局约须10155年，这个数比前面提到的太阳系寿命要大的多得多! 古语围棋中“千古无同局”是颇有道理的。
上面的这些例子，正是说明数的抽象，那些“貌不惊人”的数，竟会大得使人难以想象。
如此看来单凭直觉、单靠想象无论如何也难体会到这些数的“惊人”之处。
“两人生日问题”也是一个令人难以捉摸、难以凭空想象的例子。
四个苹果放到三个抽屉里，至少有一个抽屉里放着两个以上的苹果，这在数学上叫“抽屉原理”。
这个简单的事实在数学上却有着意想不到的用途。
367个人中间，肯定会有两个人的生日相同，因为一年至多有366天(闰年才如此)。
人的头发据估计约为15万根左右，那么在一个十五万人口的城市里，肯定至少有两人的头发根数一样，这当然也是须用抽屉原理去解释。
然而话又讲回来，真的让你找出头发一样多的两个人来，这绝非轻而易举的事。
前文我们曾提到过的一个并不显然的事实，也是用抽屉原理去解释的：全世界任找六个人当中，至少有三个人或者彼此都相识，或者彼此都不认识。
中国有十二种属相：鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪，这由某人生于何年(农历)而定。
运用抽屉原理可以断定：13个人中至少有两人属相一样，说来也许令人困惑：任意四个人中，有两人属相一样的可能约有一半，而一个6口之家，几乎可以“断定”他家会有两人属相一样，这种问题是数学的另一个分支概率论研究的对象了。
至于生日问题结论也更使人不解：23个人中有两人生日相同的可能约为一半，50个人中有两人生日相同的可能居然有97％。
下表中的数据是由“概率论”的公式精确计算出的：有人曾查阅资料发现：美国前36任总统中有两人生日一样，3人死在同一天(当然年份不同)。
这种“巧合”从概率角度去分析，似乎不值得大惊小怪了。
下面的事实听起来也许更“玄”了：你把信寄给你的朋友，让他再寄给他的熟人，然后再让这位熟人寄给他的朋友，……如此下去，在无预先约定的情况下，直到此信寄到你认识的人为止，这期间的联系人个数你一定会以为很大很大，其实不然，这个数约为5。
这些事也许使人想不通，但事实却正是如此，它们借助数学方法都可以严格去证明。
数学中的重要常数e、π本身是既具体又抽象的，如果说它们与数学的某些分支有联系，你只凭借“想象”是难以应付的。