第六讲反比例函数图像与性质
6.2.1 反比例函数的图像和性质
2 4 6 8
x
x 如图所示,P为该图象上任意一点,PQ⊥y轴于Q
反比例函数 y=
k
(k>0)在第一象限内的图象
,MN⊥x轴于N,△POM的面积与梯形PQNM面积
之间的关系
y
P
·
0
M
Q N
x
如图，已知双曲线 y= x （x＞0）经 过矩形OABC的边AB、BC上的点F、E，
其中CE=
1 3
k
CB，AF=
知识回顾
作一次函数图象的一般步骤：
y 6x
列 表
一条直线
描点法
描 点
连 线
反比例函数的图象是怎样的？
6 y x
x 1. 列表
6 y x 6 y x
在同一个坐标系中画出 6 和 y 6 的图像 y
x
... -4 -3 -2 -1 1
x
2 3
4
...
2. 描点
y
O
x
3. 连线
（3）研究表明，每立方米的
y（mg）
含药量不低于3mg且持续时间
不低于10min时，才能有效杀
6 o
灭空气中的病菌，那么此次消
毒是否有效？为什么？
8
x(min) 胜利 之舟
想一想
例、如图，已知反比例函数 y=
12
x 的图象与一次函数
y= kx+4的图象相交于P、Q两点，且P点的纵坐标是6. （1）求这个一次函数的解析式 （2）求△POQ的面积
m2 2、函数 y x 的图象在二、四象限，
m<2 则m的取值范围是 _______
1 3、对于函数 y ，当 x<0时，图象在 2x
第六章 反比例函数反比例函数的图象与性质
作业
（A层）如图，当 x 0 时， 下列图象中，
有可能表示 y 2 的图象的是
.
x
（B层）
1、已y2与知xy2 成反y1+比y例2 ，，y且1与当x x成=正2与比x例=3，时，
y的值都等于19. y与x间的系数关系式， 并求x=4时y的值.
2、习题6.2 联系拓广
数学核心素养
一、什么是数学核心素养 二、如何在数学教学活动中体现数学核心素养 三、如何在数学教学评价中考查数学核心素养
挑战自我 能力提升
问题: 1、反比例函数图象是中心对称图形吗？
若是的话，请找出对称中心.
2、反比例函数图象是轴对称图形吗？ 若是的话，你能试着说明它的对称轴 是什么吗？
分层达标 课后延伸
A层
1、y 3(x 0) 的图象叫
，
x
图象位于
象限.
2、写出一个图象分布在二、四象限内的
反比例函数解析式
.
B层
1、已知函数 y(m2)xm22m9是反比例函数，
且图象经过 一、三象限， 求m的值
2、u与t成反比，且当u=6时，t 1 8
这个函数关系式为
.
Hale Waihona Puke 归纳总结 纳入系统反比例函数图象分别都是由两支曲线组成， 因此称反比例函数的图象为双曲线
反比例函数的图象由k决定 当k>0时,两支双曲线分别位于一,三象限内; 当k<0时,两支双曲线分别位于二,四象限内;
第六章 反比例函数
反比例函数的图象与性质
设疑激思 复习引入
1.我们通常从哪几方面研究函数？ 2.画一次函数图象的步骤是什么？ 3.借助图象我们研究了一次函数的哪些
性质？
合作探究 发现问题
反比例的图像与性质ppt课件
-8
归纳：
反比例 yk(函 k0)的 数图 双_象 曲_线_是 ___
x
1、双曲线无限接近坐标轴，但不与坐标轴
相交；
2、同一坐标 y系 k与中 y， k的图象
x
x
关于 _x_轴_或_y轴__对 __称 __
精选ppt课件
8
反比例函数的性质：
y= k
k>0
k<0
x
图 象
当k＞0时，函数图象 当k＜0时，函数图象
8
２、函数图象分别
6
位于哪几个象限？
4
y 4 x
３、y随的x变化 有怎样的变化？
2
-10
-5
反比例函数的图象是 由两支双曲线组成的. 因此称反比例函数的 图象为双曲线;
5
10
-2
当k>0时,两支双曲线分
-4
位于第一,三象限内; -6 当k<0时,两支双曲线分别 精选ppt课件 位于第二,四象限内; 7
y
=
6 x
…
-1 -1.2 -1.5 -2 -3
-6
63
2 1.5 1.2 1 …
y=
6 x
…
1
1.2 1.5
2
3 6 -6 -3 -2 -1.5 -1.2 -1 …
y
y
6
6
5
4 3
y
=
6 x
5
y =-
6 x
4
3
2
2
1
1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x
-1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x
反比例函数图象与性质--PPT课件
y2 x
的图象上有
三个点A（-1，y1)，点B（4，y2），点
C（1，y3）,则y1、 y2、 y3的大小关
系是（ y1＜y2＜ y3 ）。
C B
A
7、己知点A（x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，
y3)都在
yk x
(k ＞ 0着怎样的大小关系？
的图象在第二、四象限，那么m的取值范
围是（ C
（A）m＜0 (C) m＞ 1
2
）。
(B)m＜
1 2
(D)m≤ 1
2
当堂检测
4、甲乙两地相距100km，一辆火车从甲 地开往乙地，把火车到达乙地所用的时间 y(h)表示为汽车的平均速度x(km/h)的函数， 则这个函数的图象大致是（ C ）
y
y
y
x
x
x
(A)
(B)
(C)
(D)
5、反比例函数 y 4 图象上有两点
x
A（1，y1)、B(2，y2) ,试比较y1与 y2的大
小。( Y1＜y2 )
点C（-1，y3)也在这个函数的图象上 请比较y2与 y3的大小。( Y2＜y3 )
(-1,y3) y3
y2 y1
(1,(y21),y2)
当堂检测
6、已知反比例函数
(x1,y1) (x2,y2)
(x3,y3)
谈谈收获
反比例函数
yk x
图象的特征和性质
反比例函数 图象形状
yk
k＞0
双 曲
x k＜0 线
图象位置
一、三象限
图象变 函数增减性 化趋势 (每个象限内）
呈下降 趋势
Y随X的增 大而减小
二、四象限
反比例函数的图象和性质 公开课一等奖课件
学习目标：
1. 掌握用“描点”法画出反比例函数的图象。 2. 观察图象归纳反比例函数的图象特征和性质。
三 减少
四
双曲线
双曲线
双曲线
一
二 增大
例1
画出反比例函数 y =
探究园，任你驰骋 活动2：类比探究
回顾以上研究过程，你能用类似的方法研究函
y k (k 0)
数x
的图象和性质吗？
结论2：一般地，当 k
0
时，反比例函数
y
k x
的图象是双曲线，双曲线的两支分别位于第二、第四
象限，在每一个象限内, y 随x 的增大而增大.
探究园，任你驰骋
活动3：归纳性质
你能归纳出反比例函数 y k (k 0) 的性质吗？
反思小结认知内化函数名称自变量取值图像形状位置分布增减性反比例函数正比例函数任意实数增大而减小增大而增大减小作业坊各显其能教材第8页习题261第3题第9页第8题
第26章 反比例函数
26.1 反比例函数
26.1.2 反比例函数的图象和性质
（第1课时）
情境层，请君入内
1. 我们学习一次函数和二次函数时，研究了函 数的哪些内容?是如何进行研究的?
位置分布
k>0 k<0
增减性
k>0 k<0 在每一 在每一 个象限 个象限 内，y 内，y 随x的 随x的 增大而 增大而
减小 增大
y随x 的增 大而 增大
y随x 的增 大而 减小
作业坊，各显其能
教材第8页习题26.1第3题，第9页第8题.
《反比例函数的图象与性质》PPT课件
描点：在平面直角坐标 系内，以自变量 x 的取值 为横坐标，以相应的函 数值y为纵坐标，描出相 应的点，如图所示. 问题：
观察图中 y 轴右边的各点，当横坐标 x 逐渐增大时， 纵坐标 y 如何变化?
y 轴左边的各点是否也有相同的规律?
解答：
我们可以证明：对于反比例函数 y = 6 ，当x＞0
第一章 反比例函数
1.2 反比例函数的图象及性质
第1课时 反比例函数 y = k (k＞0)
x
的图象与性质
1 课堂讲解 反比例函数 y = k (k＞0) 的图象的画法
x
反比例函数
y
=
k x
(k＞0)
的图象与性质
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
我们已经学习了用“描点法”画一次函数的图
x
时，函数值 y 随自变量 x 的增大而减小；当 x ＜0 时， 也有这一 规律.
连线：根据以上分析，我们可
以把 y 轴右边各点和左边各点，
分别用一条光滑曲线顺次连接
起来. 从 y = 6 可以看出，x取任
x
意非零实数，都有 y≠ 0，因此
这两条曲线与 x 轴都不相交. 由
于x 不能取 0，因此这两支曲线与 y 轴也都不相交，这样就
x
1 ﹣ 3 ﹣3 3
2
3 1…
2
描点、连线，画出函数图象，如图所示．
知识点
2
反比例函数 y = k (k＞0) 的图象与性质 x
观察画出的 y = 6 ，y = 3 的图象，思考下列问题：
x
x
(1) 每个函数的图象分别位于哪些象限?
(2) 在每一个象限内，函数值 y 随自变量 x 的变化如何
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反比例函数的图像与性质
一、知识回顾：
1、 反比例函数图像的画法与一次函数图像的画法类似：列表、描点、连线。
（1）、列表：因为反比例函数的自变量的取值范围是x≠0，故在画反比例函
数的图像时，为了使描出的点具有代表性，x应该取一部分正数、一部分负
数，一般是正数、负数各取一半，并且互为相反数，这样既可简化运算，又
便于描点。
（2）、描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点，注意
要尽量多取一些数值，多描一些点，这样方便连线。
（3）、连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起
来并延伸。
2、反比例函数的图像
反比例函数y=（k≠0）的图像由位于两个象限的两支曲线组成，这样的曲
线叫做双曲线，所以反比例函数y=（k≠0）的图像也叫做双曲线y=（k≠0）。
3、 反比例函数的性质
关于反比例函数的性质，主要研究它的图像的位置和函数值的增减情况，
这里列表归纳如下：
反比例函数
y=（k≠0）
K的符号 K＞0 K＜0
图像
性质 ① X的取值范围是x≠0，y的取值范围是y≠0； ② 当k＞0时，函数图像的两个分支分别在第一、第三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小 ① X 的取值范围是x≠
0，y的取值范围是y
≠0；
② 当k＜0时，函数图
像的两个分支分别
在第二，四象限，在
每个象限内，y随x
的增大而增大
4、由反比例函数自变量的大小比较函数值大小的方法
方法一：根据反比例函数的增减性来确定。
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方法二：利用反比例函数的草图来确定，这种方法简单易行，直观好懂，是
个重点。
4、 反比例函数y=（k≠0）中的比例系数k的几何意义：
如图所示：过双曲线y=（k≠0）上任一点p（x，y）作x轴，y轴的垂线
PM、PN，垂足分别为M、N，所得矩形PMON的面积S=PM·PN|y|·|x|=
又∵y=，
∴xy=k。
∴S=|k|。
这就是说，过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得的矩形的面积为
常数|k|。这是系数的几何意义，明确了k的几何意义，会给解题带来许多方便。
5、 双曲线y=是中心对称图形的运用
双曲线上一点（a，b）关于原点对称的点（-a，-b）可以解决下列问题：
（1）、在画反比例函数的图像时，可先用描点法画出双曲线的一个分支，再
画出关于原点对称的另一个分支；
（2）、已知反比例函数图像上某一点的坐标，可以得到图像上这一点关于原
点成中心对称的点的坐标。
7、反比例函数与一次函数的交点问题
联立两个方程解方程组：所以存在三种情况：（1）、0个交点（2）、1个交点
（3）、2个交点。
二、典型例题：
1、在同一坐标系中画出反比例函数y=与y=的图像。
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2、 已知反比例函数y=，分别根据下列条件求出字母k的取值范围。
（1） 函数图像位于第二、四象限；
（2） 在每一个象限内，y随x的增大而减小。
3、已知k≠0，在同一坐标系中，函数y=k（x+1）与y=的图像大致为（ ）
A B C D
4、若M（-，y1）、N（，y2）、P（，y3）三点都在函数y=（k＜0）的图像
上，则y1、y2、y3的大小关系为（ ）
A、y2＞y3＞y1 B、y2＞y1＞y3 C、y3＞y1＞y2 D、y3＞y2＞y1
5、点A、B是双曲线y=上的点，分别过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，
若S阴影=1，则S1+S2=( )
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6、如图所示：若点A在反比例函数y=（k≠0）的图像上，AM⊥x轴于点M，
△AMO的面积为3，则k=（ ）。
7如图所示：正比例函数y=kx（k＞0）与反比例函数y=的图像相交A、C两点，
过A作x轴的垂线段，交x轴于B，过C作x轴的垂线，交x轴于D。
求证：当K取不同正数时，四边形ABCD的面积是常数。
A
D B
C
8、 已知反比例函数y=（k≠0）和一次函数y=-x-6.
（1）、若一次函数和反比例函数的图像交于点（-3，m），求m和k的值；
（2）、当k满足什么条件时，这两个函数的图像有两个不同的交点？
（3）、当k=-2时，设（2）中的两个函数的图像的交点分别为A、B，试判断此时A、B
两点分别在第几象限？∠AOB是锐角还是钝角（只要求直接写出结论）？
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家庭作业：
1、已知反比例函数y=的图像上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若当x1＜0＜x2时，有
y1＜y2，则m的取值范围是（ ）。
A、m＜0 B、m＞0 C、m＜ D、m＞
2、如图：点A（x1，y1）、B（x2，y2）都在双曲线y=（x＞0）上，且x2-x1=4，y1-y2=2；分别
过点A、B向x轴、y轴作垂线段，垂足分别为C、D、E、F、AC与BF相交于G点，四边形
FOCG的面积为2，五边形AEODB的面积为14，那么双曲线的解析式为（ ）。
A（x1，y1）
B（x2，y2）
9、 如图：已知一次函数y1=x+m（m为常数）的图像与反比例函数y2=（k为常数，k≠0）
的图像相交于点A（1,3）。
（1）、求这两个函数的解析式及其图像的另一交点B的坐标。
（2）、观察图像，写出是函数值y1≥y2的自变量x的取值范围。
A（1,3）
B
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10、 如图：Rt△ABO的顶点A是双曲线y=与直线y=-x+（k+1）在第四象限的交点，AB
⊥x轴于点B，且S△ABO=.
（1）、求这两个函数的解析式；
（2）、求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标和△ABC的面积。
C
B
O
A
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5、已知一次函数y=2x+4和反比例函数y=（k≠0），若这两个函数的图像在同一坐标系中有
两个交点A、B，试求k的取值范围，并判断∠AOB与90°的大小关系。