4.2力的元功.用线积分表示功
动能定理
五、几类约束反力的功
1. 光滑固定面反力的功
dW FN dr 0
FN
dr τ
2. 光滑固定铰链与轴承约束
dW FN dr 0
3. 光滑中间铰链约束
dW FN dr FN dr 0
(FN FN ) dr 0
4. 柔软而不可伸长的绳索约束
FA FB drA cos drB cos
M2 M1
(F1
F2
Fn ) dr
M2 M1
F1
dr
M2 M1
F2
dr
M2 M1
Fn
dr
W1 W2 Wn Wi —— 合力的功等于各分力功的代数和
二、功率的概念及计算
功率： —— 力在单位时间内作的功，用“ P ”表示
若力在Δt 时间内作的功为ΔW ，则其平均功率为
P W t
（12-11）
dW F drP
P
v
F drP dt dt
drP
F vPdt 0
FNP F
P点为瞬心： vP 0
注意：轮子作纯滚动时，接触处的摩擦力不作功。
一、质点的动能
§12 –3 动 能
质点M ：m 、v ，其动能定义为
M
v
T 1 mv2
（1）瞬时量；
2
（2）恒正的标量，无方向性；
(12-21)
角速度为ω，试求其动能。
解： 微段 dx 的质量： m dx l
微段 dx 的速度： x sin
微段 dx 的动能：dT 1 m (x sin )2 dx
2l
杆 的动能： T l 1 m (sin )2 x2dx
02 l
1 m(sin l)2 2
3.1 力的空间积累效应
r r 解： A = F ⋅ dr = Fdx （一维运动可以用标量） 一维运动可以用标量） ∫ ∫
dx = ∫F dt = dt
t
∫ F vdt
5
3.1 力的空间积累效应
2、变力曲线运动的功
第3章 机械运动的守恒定律 解决方法： 解决方法：微元积分法
“化整为零，以直代曲，以恒代变，再求和”。 化整为零，以直代曲，以恒代变，再求和” 把路径分成许多微小的位移元； 把路径分成许多微小的位移元； 位移元 在各段位移元上质点受的力可以看成是恒力 恒力， 在各段位移元上质点受的力可以看成是恒力， 在该微过程中的元功 元功为 在该微过程中的元功为：
t
3 3 4 3 0
t 12t F = 0 + ∫ dt = ∫ dt = 3t 2 v = v0 + ∫ adt 0 m 0 2 0
∴ A = ∫ 12 t ⋅ 3 t dt = ∫ 36 t dt = 9 t
2
3
v v 2 P = F ⋅ v = 12t ⋅ 3t = 288W
0
0
= 729 J
3
3.1 力的空间积累效应
第3章 机械运动的守恒定律
3.1
力的空间积累效应 （功 动能定理） 动能定理）
4
3.1 力的空间积累效应 一、功
第3章 机械运动的守恒定律
力对质点所作的功： 力在质点位移方向的分量 力对质点所作的功： 与位移大小的乘积，即为力与质点位移的点积。 位移大小的乘积，即为力与质点位移的点积 力与质点位移的点积。 的乘积 1、恒力直线运动的功： 恒力直线运动的功：
第14章 动能定理
第14 章动能定理第14 章动能定理能量既可以在不同物体或系统间传递，也可以以不同的形式相互转化。
在涉及工程技术的每门学科或领域中，几乎都要使用能量的方法，因此，本章介绍的概念和方法具有重要的理论和实际意义。
在动力学的三个普遍定理中，动能定理的方法较前者有本质的差别，更有其独到之处。
§14-1 功和功率一、变力在曲线路程中的功常力在直线路程上作功：sF W •=s——力作用点的位移dt d v F r F •=•=W δ元功kj i r k j i F z y x F F F z y x d d d d ++=++=zF y F x F W z y x d d d ++=δ元功的解析表达式：∫∫→→++=•=BA z y x z F y F x F W )d d d (d )(BA r F F 力F 在曲线上由在曲线上由A A 到B 所做的功所做的功：：则)()()(1O M FF W W W ni Ri+=∑=1.1.重力的功重力的功2.2.弹性力的功弹性力的功3。
力偶的功等效力系之功定理二、几种常见力的功},{},,,{21O M F F F F R n =⋯若ymghz z mg W 21=−=)(重力的功取决与始末质点的高度差，与路径无关。
质点系重力的功：g z m g z m z z g m W i i i i i i i )()()(2121∑∑∑−=−=即：Cmgh z z mg W =−=)(21C C 式中为质点系的质量；是重心高度差。
m 21C C z z h C −=2.2.弹性力的功弹性力的功M x)(k W 22212δδ−=变形减小变形减小，，功为正功为正，，反之为负之为负。
2M 弹性力的功取决于弹簧始于弹簧始、、末的变形量变形量，，与弹簧两端的运动轨迹无关无关。
ττϕd d r s =s F W d d δτ=•=r F ϕτd r F =θτcos F F =ϕδd z MW =ϕϕϕd 2112∫=z M W )(12ϕϕ−12ϕ同向为正反向为负3.3.力偶的功力偶的功三、摩擦力的功2.2.动滑动摩擦力的功动滑动摩擦力的功动滑动摩擦力的功（（动滑动摩擦因数为f d ）1.1.静滑动摩擦力的功静滑动摩擦力的功静滑动摩擦力的功（（静滑动摩擦因数为fs ）sF W A A =sF W B B −=0=+=B A W W W )(s s F W A ∆+−=A sF W B B =sF W W W B A ∆⋅−=+=AFAsA四、质点系内力的功2211d d r F r F •+•=W δ)d(d d 2112111r r F r F r F −•=•−•=lF d d 1121−=•−=r F2A 3.滚动摩擦力的功∫→•=BA v F F t W A d )(?)(=F W F比较刚性杆不可伸长的绳索d =l 0F 0F ≠==≠,0d ,0d l l 刚体、、、、不可伸长绳索内力的元功之和为零。
与积分有关的物理公式
与积分有关的物理公式积分是微积分中的一个重要概念，用于描述函数与其自变量之间的关系。
通过对函数的积分，可以求得函数在其中一区间上的面积、体积、质心等物理量，从而对各种物理现象进行描述和分析。
在物理学中，积分广泛应用于描述运动、力学、电磁学、热力学等各个领域。
下面将介绍几个与积分相关的物理公式。
1.牛顿第二定律牛顿第二定律描述了物体的加速度与力的关系，即\[F=ma\]其中，\(F\)表示作用在物体上的外力，\(m\)表示物体的质量，\(a\)表示物体的加速度。
如果外力\(F\)是一个与时间\(t\)有关的函数，那么可以将牛顿第二定律表示为微分方程的形式：\[m\frac{d^2x}{dt^2}=F(t)\]其中，\(x\)表示物体的位移。
2.功的概念功是表示力在物体上做功的物理量，通常用符号\(W\)表示。
根据功的定义，力在物体上做功等于力与物体位移的点积，即\[W=\int F\cdot ds\]其中，\(F\) 表示作用在物体上的力，\(ds\) 表示物体的位移。
如果力是一个与位移有关的函数，那么可以将功表示为积分形式：\[W=\int_{x_1}^{x_2} F(x)dx\]其中，\(x_1\)和\(x_2\)分别表示物体的起始位移和结束位移。
3.质心的坐标质心是一个系统中所有质点所组成的系统的一个特殊点，描述整个系统的质量分布情况。
在一维情况下，系统的质心的坐标可以表示为\[x_{CM}=\frac{\int xdm}{\int dm}\]其中，\(x_{CM}\)表示质心的坐标，\(x\)表示质点的坐标，\(m\)表示质点的质量。
通过对质量分布情况进行积分，可以求得质心的坐标。
4.线密度和曲线质心对于一条连续的曲线，可以定义线密度 \(\lambda\) 表示单位长度上的质量，曲线质心的坐标可以表示为\[x_{CM}=\frac{\int x\lambda ds}{\int \lambda ds}\]其中，\(s\)表示弧长。
刚体的定轴转动
第3章 刚体的定轴转动刚体定轴转动所遵从的力学规律，实际上是质点运动的基本概念和原理在刚体中的应用。
重要的概念有转动惯量和力矩。
刚体的动能和角动量都有其特殊的表达式，但守恒定律同样适用于包括刚体的系统。
§1 刚体的运动一 刚体刚体是固体物件的理想化模型。
实际的固体在受力作用时总是要发生或大或小的形状和体积的改变。
如果在讨论一个固体的运动时，这种形状或体积的改变可以忽略，我们就把这个固体当做刚体处理。
这就是说，刚体是受力时不改变形状和体积的物体。
刚体可以看成由许多质点组成，每一个质点叫做刚体的一个质元，刚体这个质点系的特点是，在外力作用下各质元之间的相对位置保持不变。
既然是一个质点系。
所以关于质点系的基本定律就都可以应用。
当然，由于刚体这一质点系有其特点，所以这些基本定律就表现为更适合于研究刚体运动的特殊形式。
二 刚体的运动形式刚体的运动可以是平动、转动或二者的结合。
如果刚体在运动中，连结体内两点的直线在空间的指向总保持平行，这样的运动就叫平动。
在平动时，刚体内各质元的运动轨迹都一样，而且在同一时刻的速度和加速度都相等。
因此在描述刚体的平动时，就可以用一点的运动来代表，通常就用刚体质心的运动来代表整个刚体的平动。
平动是刚体的基本运动形式之一。
转动也是刚体的基本运动形式之一，它又可分为定轴转动和定点转动。
定轴转动：运动中各质元均做圆周运动，且各圆心都在同一条固定的直线（转轴）上。
定点转动：运动中刚体上只有一点固定不动，整个刚体绕过该定点的某一瞬时轴线转动。
刚体不受任何限制的的任意运动。
它可分解为以下两种刚体的基本运动：随基点（可任选）的平动，绕通过基点的瞬时轴的定点转动。
三 刚体定轴转动的运动学描述刚体的定轴转动是最简单的转动情况。
在这种运动中各质元均做圆周运动，而且各圆的圆心都在一条固定不动的直线上，这条直线叫转轴。
刚体绕某一固定转轴转动时，各质元作圆周运动的轨道半径不同，所以各质元的线速度、加速度一般是不同的。
定积分的物理应用
dW 9.832xdx
88.2xdx
此即功元素.
于是所求的功为
W 0588.2xdx
88.2[ x2
2
]50
88.2
25 2
(kj).
小结
利用“微元法”思想求变力作功、水压力和引 力等物理问题．
k
q r2
dr
即功元素为
dW
k
q r2
dr
.
于是所求的功为
W
b
a
kq r2
dr
kq[
1 r
]ba
kq( 1 a
1) b
.
例3 一圆柱形的贮水桶高为5m 底圆半径为3m 桶内盛满了水. 试问要把桶内 的水全部吸出需作多少功？
解 作x轴如图. 在区间[0 5]上点x处任取一薄层水, 其的高度为dx.
（注意熟悉相关的物理知识）
作业
P285：2（3），4，11，22 P292：1，4
例1 电量为+q的点电荷位于r轴的坐标原点O处 它所产生的电场力使r轴上的 一个单位正电荷从ra处移动到rb(a<b)处 求电场力对单位正电荷所作的功.
解
在 r 轴上 当单位正电荷从 r 移动到 r+dr 时
电场力对它所作的功近似为
k
q r2
dr
提示：
根据物理学 在电量为+q的点电荷所产生的电场中 距离点电荷r处的单位正
电荷所受到的电场力的大小为
F
k
q r2
(k
是常数).
例1 电量为+q的点电荷位于r轴的坐标原点O处 它所产生的电场力使r轴上的 一个单位正电荷从ra处移动到rb(a<b)处 求电场力对单位正电荷所作的功.
流體力學第四章伯努利方程
第四章 伯努利方程4.1 伯努利方程4.1.1 理想流体沿流线的伯努利方程1. 伯努利方程的推导将欧拉运动微分方程式积分可以得到流体的压力分布规律，但只能在特殊的条件下，不可能在任何的情况下都可求得其解，故我们需对流场作出如下假设：（1）理想流体（2）定常流动（3）质量力有势（4）不可压缩流体（5）沿流线积分在定常流动的条件下，理想流体的运动微分方程（欧拉运动微分方程）可以写成 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∂∂+∂∂+∂∂=∂∂-∂∂+∂∂+∂∂=∂∂-∂∂+∂∂+∂∂=∂∂-z v v y v v x v v z p f z v v y v v x v v y p f z v v y v v x v v x p f z z z y z x z y z y y y x y x z x y x x x ρρρ111 (4.1) 将这个方程沿流线积分，如图4.1所示，可得到伯努利方程。
为此，将式(4.1)的第一式乘以x d 得x zv v x y v v x x v v x x p x f x z x y x x x d d d d 1d ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂-ρ （1） 按照流线方程 zy x v z v y v x d d d == 将有，y v x v x y d d =，z v x v x z d d =故式（1）可写成x x x x x x x x x v v z zv v y y v v x x v v x x p x f d d d d d 1d =∂∂+∂∂+∂∂=∂∂-ρ （2） 式(4.1)的另外两式分别乘y d 、z d 后，作类似的代换，可得y y y v v y yp y f d d 1d =∂∂-ρ （3）z z z v v z zp z f d d 1d =∂∂-ρ （4） 将式（2）、（3）和式（4）相加，得 z z y y x x z y x v v v v v v z zp y y p x x p z f y f x f d d d )d d d (1d d d ++=∂∂+∂∂+∂∂-++ρ （5） p 的全微分可以表示为 dz zp dy y p dx x p dp ∂∂+∂∂+∂∂= 质量力有势，则必存在势函数U ，满足y f y f x f z zU y y U x x U U y y x d d d d d d d ++=∂∂+∂∂+∂∂=而 2/d d d d 2v v v v v v v z z y y x x =++式中等号右端的v 为平均速度。
5功、动能定理、保守力
s x L L s m A = ∫ F d x = ∫ fr d x = ∫ gx d x ∫ mg d x 0 L L L L = mg ( + s L) = mg ( s ) 2 2 L 1 2 再由动能定理 mg(s ) = 0 mv0 2 2
9
O
§2-4 保守力 成对力的功
14
A = ∫ dA = ∫ f 2 dr21
一对内力作功之和与参照系选择无关, 一对内力作功之和与参照系选择无关,只决定于两质点 与参照系选择无关 的相对位移 m v 一对摩擦力做功. 例:一对摩擦力做功 f s 力的功 物体所受摩擦力做功 地面所受摩擦力做功 一对力的功 地面参考系 物体参考系 0
dv m = F = kt dt
2.25 107
7
三,动能定理
根据功的积分形式 b b b Aab = ∫ F dr = ∫ F ds = ∫ maτ d s = τ
a
a
1 Ek = m 2 v 定义质点的动能为: 定义质点的动能为: 2 动能定理:合外力对质点所做的功等于质点动能的增量. 动能定理:合外力对质点所做的功等于质点动能的增量.
作功与路径无关
11
2,万有引力 ,
A = ∫ F dr
a
b
Mm 0 F = G 2 r r
b a
b
b
= GMm ∫
= GMm
1 0 r dr 2 r
dr 2 r
r
2
r : 沿位置矢量
的单位矢量
0
∫
r 0 d r cos θ
rb
a
r (t + dt )
dr θ
= GMm ∫
rb
第12章动能定理(删——新)
P 刚体的平面运动动能就等于随质心C的平动动能与绕质心 C转动的动能之和。
思考：图示圆轮只滚不滑，此瞬时轮心速度为vO，则园 轮的动能T=?
1 1 2 T M O ＋ J O 2 2 2 1 1 3 2 2 2 ＝ M O ＋ M O ＝ M O 2 4 4
O
vO
思考：图示圆轮边缘B点绞接杆AB，A端放在水平地面 上，轮与地面只滚不滑，此瞬时A端速度为vA，B点位 于轮上最高点，则系统的动能T=? 1 1 1 2 2 T M A ＋ M O ＋ J O 2 2 2 2 1 1 1 11 2 2 2 2 ＝ M A ＋ M A ＋ M A ＝ M A 2 8 16 16 B vB AB杆瞬时平动
ω
3、平面运动刚体的动能
该瞬时瞬心为P，角速度为ω ，
· v· · v m ·· C · ·
i
i
c
1 2 2 T J P J P＝J C＋Md 2 1 1 2 2 2 T J P ＝ （J C＋Md ） 2 2 1 1 2 ＝ J C ＋ Md 2 2 2 2 1 1 2 2 ＝ J C ＋ M C 2 2
aA
P M
练习题:长为l、重为Q的均质杆AB的A端与一半径为 R、重为P 的均 质圆轮的轮心 绞接在一起，轮与地面间只滚不滑，墙与杆间无摩擦， 系统初始静止，θ0=450，而后自由下落，求轮心A在初瞬时的加速 度。 B D 解： T1 0
1 1 1Q 2 2 2 T2 J P P J C C vC 2 2 2 g 3 P 2 1 1 Q 2 vA 2 vA l ( ) 4g 2 12 g l sin vA 1 Q l vA 2 ( ) 2 g 2 l sin 1 2 3 P 1Q 1 v A[ ] 2 2 2 g 3 g sin l W Q (sin 0 sin ) 2
高等数学第六章定积分的应用习题
那么， 就是区间 所对应的矩形的面积。因此
（3） 求定积分：所求的几何图形的面积表示为
计算上面的积分得：
【例2】求由摆线 , 的一拱
取 x 为积分变量, 其变化区间为[ 0, R ]
引力
质量分别为
的质点 , 相距 r ,
二者间的引力 :
大小:
方向:
沿两质点的连线
若考虑物体对质点的引力, 则需用积分解决 .
( G 为引力系数 )
例5.
设有一长度为 l, 线密度为 的均匀细直棒,
其中垂线上距 a 单位处有一质量为 m 的质点 M, 试计
(3) 求定积分：所求的几何图形的面积可表示为：
【例3】设由曲线 ， 及 围成
平面图形 绕 轴, 轴旋转而成的旋转体的体积。
分析：此题为求解旋转体体积的问题，绕 轴旋转时，
取 为积分变量; 绕 轴旋转时, 取 为积分变量。
x
( kN )
这薄层水吸出桶外所作的功(功元素)为
故所求功为
( kJ )
水压力
1
2
3
4
5
6
7
8
设水密度为
例4.
小窄条[x , x +dx ]上各点的压强近似为
的液体 , 求桶的一个端面所受的压力.
解: 建立坐标系如图.
端面圆的
故压力元素
端面所受压力为
方程为
一水平横放的半径为R 的圆桶, 内盛半桶密度为
01
注：若曲线用极坐标的形式表出，也可转化为直角坐标
02
来做，但积分时要注意积分上下限的确定。
点击此处添加正文，文字是您思想的提炼。
6.3 定积分在物理学上的应用
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0 90 , dA 0
为正功
90 180 , dA 0 为负功 90 F dr dA 0
功的量纲和单位 dim A ML2T2 1J 1N m (3) 作功的图示
F cos
A F cos ds
s1
s2即为图中曲线下所Fra bibliotek的面积。Δr
A lim Fi Δri
n Δr 0
r1
i 1
x
x
A
直角坐标系中：
r0
F dr
A
x1
x0
f x dx
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y1
y0
f y dy
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第四章 动能和势能
注意： ⑴ 功是标量： 若是多个力同时作用在质点上，则合力所作的功为
A F d r ( F1 F2 F3 Fi ) d r
⑴以地面作为参照系 物体受到向右的静摩擦力f的作用 Af fs mas 0 为正功
⑵以传送带作为参照系 ∵ S=0 ∴
f
Af 0
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第四章 动能和势能
但是：若考虑一对相互作用力所作的功，则与 参照系的选择无关，只与两质点间的相对位移有关。
∵
dA对 f1 d r1 f 2 d r2 f 2 d (r2 r1 )
dr dset
F Ft et Fnen
O
s1
dr dset
et
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结束
第四章 动能和势能
§4.2.3力在有限路径上的功
质点 r0 r1
A Fi Δri
n
ri 0 n
i 1
y
F
y
r0
r1
(2) A
F
y
dm
m
O
y
y2
1
( m y ) gdy
(10 0.2 y ) 9.8dy 882 J 0
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10
第四章 动能和势能
作业：P152
4.2.3 (2) ------此题答案中的负号去掉
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结束
其中：
f1 f 2
(5)功的作用：功是能量转换的量度。
a .有力作功的地方，必定伴随着能量的转换和转移;
b .某力作功的多少必定等于相应的能量转换的多少。
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例: 由点(0,0)运动到点(2,4)的过程中力 F 所做的功：(1) 先沿x轴由点(0,0)运动到点(2,0)，再平行y轴由点 (2,0)运动到点(2,4)；(2)沿连接(0,0)，(2,4)两点 的直线；(3)沿抛物线 y x2由点(0,0)到点(2,4)(单 位为国际单位制). 解:(1)由点(0,0)沿x轴到(2,0)，此时 y 0, dy 0 ， 由点(2,0)平行y轴到点(2,4)，此时 x 2, dx 0 ，故
Fn
F cos r
F Ft
r
F r
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结束
第四章 动能和势能 2. 变力的功 力在元位移上的元功.
若 F F1 F2 ΔA ( Fi ) Δr ( Fi Δr )
在SI中功的单位为焦耳
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结束
第四章 动能和势能
(2)因为由原点到点(2,4)的直线方程为y＝2x，所以
A f x dx f y dy (4 x x )dx
2 2 0 0 0 2 4 2 4 0
3 2 y dy 40 J 2
(3)因为 y x2 ，所以
A
2
0
2 ( x x )dx 3 y dy 42 J 0 15
A2 Fy dy 6 ydy 48 J
0 0 4 4
第四章 动能和势能 2 2 质点所受外力 F ( y x )i 3xyj，求质点
A1 Fx dx
0
2
2
0
8 ( x )dx J 3
2
1 A A1 A2 45 J 3
上页
4 2 4
3 2
上页
下页
返回
结束
第四章 动能和势能
[例题3] 从10m深的井中把10kg的水匀速上提,若每升高
1m漏去0.2kg的水. (1)画出示意图,设置坐标轴后,写出力所做元功的表达式. (2)计算把水从井下匀速提到井口外力所做的功. [解] (1)建立坐标并作示意图如右,
F ( m dm ) g ( m y ) g dA F dy (m y) gdy
上页
o s1
下页
ds
返回
s2
s
结束
第四章 动能和势能
(4) 功有相对性。 因为功与位移有关，而位移与参 照系的选择有关，所以功具有相对性。 例：质量为m的物体放在水平传送带上，随同传 送带一起以匀加速度 a 前进，当物体被传送了一段距 离S时，传送带对物体作了多少功？（分别以地面和 传送带作为参照系） a
ΔA P Δt
额定功率——最大输出功率.
在SI单位中功率单位为瓦特 ) , (W
量纲：
1W 1 J/s
ML2T 3
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第四章 动能和势能 2.平面自然坐标
F
s0 dA F dr dA Ft et Fnen）dset Ftds （
F1 d r F2 d r Fi d r
A1 A2 Ai
合力对质点所作的功,等于每个分力所作的功的代数和。
A
F dx F dy F dz
x y z
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第四章 动能和势能
⑵ 功有正负：
ΔA F Δr
Δr
m
F
即合力所做的功等于各分力所做功的代数和.
1J 1N m
1eV 1.602 1019 J
量纲
ML2T2
上页 下页 返回 结束
第四章 动能和势能 3.功率 功率——力在单位时间内所做的功.
平均功率
瞬时功率
ΔA dA F dr P lim F v Δt 0 Δt dt dt P F v
第四章 动能和势能
§4.2 力的功· 用线积分表示功
§4.2.1力的元功和功率 §4.2.2利用不同坐标系表示元功
§4.2.3力在有限路径上的功
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第四章 动能和势能
§4.2 力的功· 用线积分表示功
§4.2.1力的元功和功率
功——力对空间的积累作用. 1. 恒力的功
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