高中数学 第二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明创新应用学案 新人教A版选修12

第1课时 综合法和分析法[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P 36～P 41的内容，回答下列问题．(1)阅读教材P 36“已知a ，b >0，求证a (b 2＋c 2)＋b (c 2＋a 2)≥4abc ”的证明过程，思考下列问题：①该题的条件和结论各是什么？提示：条件：a ，b >0；结论：a (b 2＋c 2)＋b (c 2＋a 2)≥4abc .②本题的证明过程是从“已知条件”出发，还是从“要证明的结论”出发？即证明该题的顺序是什么？提示：本题是从已知条件a ，b >0出发，借助基本不等式证明待证结论的． (2)阅读教材中证明基本不等式“a ＋b2≥ab (a >0，b >0)”的过程，回答下列问题：①该证明过程是从“条件”还是从“结论”开始证明的？ 提示：从结论开始证明的． ②该证明过程是综合法吗？ 提示：不是．③该证明过程的实质是寻找使结论成立的什么条件？ 提示：充分条件． 2．归纳总结，核心必记 (1)综合法 ①综合法的定义利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．②综合法的框图表示P ⇒Q 1→Q 1⇒Q 2→Q 2⇒Q 3→…→Q n ⇒Q(P 表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q 表示所要证明的结论) (2)分析法 ①分析法的定义从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)，这种证明的方法叫做分析法．②分析法的框图表示Q ⇐P 1→P 1⇐P 2→P 2⇐P 3→…→得到一个明显成立的条件[问题思考](1)综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？提示：综合法与分析法的推理过程是演绎推理，它们的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”．(2)综合法与分析法有什么区别？提示：综合法是从已知条件出发，逐步寻找的是必要条件，即由因导果；分析法是从待求结论出发，逐步寻找的是充分条件，即执果索因．(3)已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥8.证明过程如下：∵a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1.∴1a －1＝b ＋c a ＞0，1b －1＝a ＋c b ＞0，1c －1＝a ＋b c＞0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c－1＝b ＋c a·a ＋c b·a ＋b c≥2bc ·2ac ·2ab abc＝8， 当且仅当a ＝b ＝c 时取等号， ∴不等式成立．这种证明方法是综合法还是分析法？ 提示：综合法．[课前反思](1)综合法的定义是什么？如何用框图表示综合法？ ；(2)分析法的定义是什么？如何用框图表示分析法？.讲一讲1．设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1.证明： (1)ab ＋bc ＋ac ≤13；(2)a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1.[尝试解答] (1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ， 得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca . 由题设得(a ＋b ＋c )2＝1， 即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1. 所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1， 即ab ＋bc ＋ca ≤13.(2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a ＋a ≥2c ，故a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )， 即a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c . 所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1.利用综合法证明问题的步骤(1)分析条件选择方向：仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法．(2)转化条件组织过程：把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的相互转化，组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路．(3)适当调整回顾反思：解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法的选取．练一练1．已知x ＋y ＋z ＝m .求证：x 2＋y 2＋z 2≥m 23.证明：∵x ＋y ＋z ＝m ，∴(x ＋y ＋z )2＝x 2＋y 2＋z 2＋2(xy ＋yz ＋zx )＝m 2. 又∵x 2＋y 2≥2xy ，y 2＋z 2≥2yz ，z 2＋x 2≥2xz ， ∴2(x 2＋y 2＋z 2)≥2(xy ＋yz ＋zx )， 即x 2＋y 2＋z 2≥xy ＋yz ＋zx ，∴m 2＝x 2＋y 2＋z 2＋2(xy ＋yz ＋zx )≤3(x 2＋y 2＋z 2)． ∴x 2＋y 2＋z 2≥m 23.[思考1] 分析法的证明过程是什么？名师指津：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理的过程，实际上是寻找使结论成立的充分条件．[思考2] 分析法的书写格式是什么？ 名师指津：分析法的书写格式是： “要证……， 只需证……， 只需证……， …由于…显然成立(已知，已证…)，所以原结论成立．”其中的关联词语不能省略． 讲一讲2．已知a ＞0，求证： a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2.[尝试解答] 要证a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2.只需证a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a＋ 2.因为a ＞0，故只需证⎝⎛⎭⎪⎫ a 2＋1a2＋22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋22，即a 2＋1a2＋4a 2＋1a 2＋4≥a 2＋2＋1a 2＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋2，从而只需证2a 2＋1a 2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ， 只需证4⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋2＋1a 2，即a 2＋1a2≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立．(1)当问题的证明用综合法不易寻找思路时，可从待证的结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后得到一个明显成立的条件，从而得原问题成立．(2)含有根号、绝对值的等式或不等式的证明，若从正面不易推导时，可以考虑用分析法．(3)书写形式：要证……，只需证……，即证……，然后得到一个明显成立的条件，所以结论成立．练一练2．当a ≥2时，求证：a ＋1－a <a －1－a －2. 证明：要证a ＋1－a <a －1－a －2， 只需证a ＋1＋a －2<a ＋a －1， 只需证(a ＋1＋a －2)2<(a ＋a －1)2， 只需证a ＋1＋a －2＋2a ＋a －<a ＋a －1＋2a a －，只需证a ＋a －<a a －，只需证(a ＋1)(a －2)<a (a －1)， 即证－2<0，而－2<0显然成立， 所以a ＋1－a <a －1－a －2成立．讲一讲3．已知a ，b ，c 表示△ABC 的三边长，m ＞0，求证：aa ＋m ＋bb ＋m ＞cc ＋m.先用分析法将要证明的不等式进行转化，然后利用综合法证明．[尝试解答] 要证明aa ＋m ＋bb ＋m ＞cc ＋m.只需证明a a ＋m ＋b b ＋m －cc ＋m＞0即可．而aa ＋m ＋bb ＋m －cc ＋m＝a b ＋mc ＋m ＋b a ＋m c ＋m －c a ＋mb ＋ma ＋mb ＋mc ＋m.因为a ＞0，b ＞0，c ＞0，m ＞0， 所以(a ＋m )(b ＋m )(c ＋m )＞0.因为a (b ＋m )(c ＋m )＋b (a ＋m )(c ＋m )－c (a ＋m )(b ＋m )＝abc ＋abm ＋acm ＋am 2＋abc ＋abm ＋bcm ＋bm 2－abc －bcm －acm －cm 2＝2abm ＋am 2＋abc ＋bm 2－cm 2＝2abm ＋abc ＋(a ＋b －c )m 2.因为△ABC 中任意两边之和大于第三边， 所以a ＋b －c ＞0， 所以(a ＋b －c )m 2＞0，所以2abm ＋abc ＋(a ＋b －c )m 2＞0， 所以aa ＋m ＋bb ＋m ＞cc ＋m.对于比较复杂的证明题，常用分析综合法，即先从结论进行分析，寻求结论与条件之间的关系，找到解决问题的思路，再运用综合法证明，或在证明过程中将两种方法交叉使用．练一练3．已知a 、b 、c 是不全相等的正数，且0<x <1. 求证：log xa ＋b2＋log xb ＋c2＋log xa ＋c2<log x a ＋log x b ＋log x c .证明：要证log xa ＋b2＋log xb ＋c2＋log xa ＋c2<log x a ＋log x b ＋log x c ，只需要证明log x ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2<log x(abc )，由0<x <1知，只需证明a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2>abc .由基本不等式得a ＋b2≥ab >0，b ＋c2≥bc >0，a ＋c2≥ac >0，又∵a ，b ，c 是不全相等的正数， ∴a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2>a 2b 2c 2＝abc . 即a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2>abc 成立． ∴log x a ＋b2＋log xb ＋c 2＋log xa ＋c2<log x a ＋log x b ＋log x c 成立．————————————[课堂归纳——感悟提升]———————————1．本节课的重点是综合法和分析法的应用，难点是分析综合法的应用． 2．本节课要重点掌握的规律方法 (1)利用综合法解决问题，见讲1； (2)利用分析法解决问题，见讲2； (3)利用分析综合法解决问题，见讲3.3．在利用分析法证明问题时，一定要恰当使用好“要证”、“只需证”、“即证”等词语，这也是本节课的易错点．课下能力提升(五) [学业水平达标练]题组1 综合法的应用1．在△ABC 中，若sin A sin B ＜cos A cos B ，则△ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形解析：选C 由sin A sin B ＜cos A cos B 得cos A cos B －sin A sin B ＞0，即cos(A ＋B )＞0，－cosC ＞0，cos C ＜0，从而角C 必为钝角，△ABC 一定为钝角三角形．2．使不等式3＋8＞1＋a 成立的正整数a 的最大值是( ) A ．13 B ．12 C ．11 D ．10解析：选B 由a ＜3＋8－1得a ＜(3＋8－1)2.而(3＋8－1)2＝3＋8＋1＋224－23－28＝12＋46－23－42≈12.68. 因此使不等式成立的正整数a 的最大值为12.3．在锐角△ABC 中，已知3b ＝23a sin B ，且cos B ＝cos C ，求证：△ABC 是等边三角形．证明：∵△ABC 为锐角三角形，∴A ，B ，C ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，由正弦定理及条件，可得3sin B ＝23sin A sin B .∵B ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2， ∴sin B ≠0.∴3＝23sin A ．∴sin A ＝32. ∵A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴A ＝π3. 又cos B ＝cos C ，且B ，C ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.∴B ＝C .又B ＋C ＝2π3，∴A ＝B ＝C ＝π3.从而△ABC 是等边三角形． 题组2 分析法的应用4. 3a －3b <3a －b 成立的充要条件是( ) A ．ab (b －a )>0 B ．ab >0且a >b C ．ab <0且a <b D ．ab (b －a )<0解析：选D 3a －3b <3a －b ， ⇔(3a －3b )3<(3a －b )3， ⇔a －b －33a 2b ＋33ab 2<a －b ， ⇔ 3ab 2< 3a 2b ， ⇔ab 2<a 2b ，⇔ab (b －a )<0. 5．将下面用分析法证明a 2＋b 22≥ab 的步骤补充完整：要证a 2＋b 22≥ab ，只需证a 2＋b 2≥2ab ，也就是证________，即证________，由于________显然成立，因此原不等式成立．解析：用分析法证明a 2＋b 22≥ab 的步骤为：要证a 2＋b 22≥ab 成立，只需证a 2＋b 2≥2ab ，也就是证a 2＋b 2－2ab ≥0，即证(a －b )2≥0.由于(a －b )2≥0显然成立，所以原不等式成立． 答案：a 2＋b 2－2ab ≥0 (a －b )2≥0 (a －b )2≥06．已知a ≥－12，b ≥－12，a ＋b ＝1，求证：2a ＋1＋2b ＋1≤2 2.证明：要证2a ＋1＋2b ＋1≤22，只需证2(a ＋b )＋2＋22a ＋1·2b ＋1≤8. 因为a ＋b ＝1，即证2a ＋1·2b ＋1≤2.因为a ≥－12，b ≥－12，所以2a ＋1≥0,2b ＋1≥0， 所以2a ＋1·2b ＋1≤a ＋＋b ＋2＝a ＋b ＋2＝2.即2a ＋1·2b ＋1≤2成立，因此原不等式成立． 题组3 综合法与分析法的综合应用7．设a ，b ∈(0，＋∞)，且a ≠b ，求证：a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2. 证明：法一：要证a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2成立， 只需证(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)＞ab (a ＋b )成立． 又因为a ＋b ＞0，所以只需证a 2－ab ＋b 2＞ab 成立．即需证a 2－2ab ＋b 2＞0成立， 即需证(a －b )2＞0成立．而依题设a ≠b ，则(a －b )2＞0显然成立． 由此命题得证．法二：a ≠b ⇔a －b ≠0⇔(a －b )2＞0⇔a 2－2ab ＋b 2＞0⇔a 2－ab ＋b 2＞ab . 因为a ＞0，b ＞0， 所以a ＋b ＞0，(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)＞ab (a ＋b )． 所以a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2.8．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 为等差数列，且a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，求证：(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1.证明：法一：(分析法)要证(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1， 即证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c， 只需证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋cb ＋c＝3， 化简，得c a ＋b ＋ab ＋c＝1，即c (b ＋c )＋(a ＋b )a ＝(a ＋b )(b ＋c )， 所以只需证c 2＋a 2＝b 2＋ac .因为△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列， 所以B ＝60°，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，即a 2＋c 2－b 2＝ac 成立．所以(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1成立． 法二：(综合法)因为△ABC 的三内角A ，B ，C 成等差数列， 所以B ＝60°.由余弦定理，有b 2＝c 2＋a 2－2ac cos 60°. 所以c 2＋a 2＝ac ＋b 2， 两边加ab ＋bc ，得c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )，两边同时除以(a ＋b )(b ＋c )，得ca ＋b ＋ab ＋c＝1，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋b ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋c ＋1＝3，即1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c， 所以(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1.[能力提升综合练]1．下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)”的是( )A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e xD ．f (x )＝ln(x ＋1)解析：选A 本题就是找哪一个函数在(0，＋∞)上是减函数，A 项中，f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x′＝－1x 2＜0，∴f (x )＝1x在(0，＋∞)上为减函数．2．已知a ＞0，b ＞0，m ＝lg a ＋b2，n ＝lga ＋b2，则m 与n 的大小关系为( )A ．m ＞nB ．m ＝nC ．m ＜nD ．不能确定解析：选A 由a ＞0，b ＞0，得ab ＞0， 所以a ＋b ＋2ab ＞a ＋b ， 所以(a ＋b )2＞(a ＋b )2， 所以a ＋b2＞a ＋b2，所以lga ＋b 2＞lga ＋b2，即m ＞n ，故选A.3．设函数f (x )是定义在R 上的以3为周期的奇函数，若f (1)＞1，f (2)＝3a －4a ＋1，则a的取值范围是( )A ．a ＜34B ．a ＜34，且a ≠－1C ．a ＞34或a ＜－1D ．－1＜a ＜34解析：选D ∵f (x )以3为周期， ∴f (2)＝f (－1)． 又f (x )是R 上的奇函数， ∴f (－1)＝－f (1)， 则f (2)＝f (－1)＝－f (1)． 再由f (1)＞1，可得f (2)＜－1， 即3a －4a ＋1＜－1，解得－1＜a ＜34. 4．已知a ，b ，c ，d 为正实数，且a b ＜cd，则( ) A.a b ＜a ＋cb ＋d ＜cd B.a ＋c b ＋d ＜a b ＜cdC.a b ＜c d ＜a ＋cb ＋dD ．以上均可能解析：选A 先取特殊值检验，∵a b ＜c d， 可取a ＝1，b ＝3，c ＝1，d ＝2， 则a ＋cb ＋d ＝25，满足a b ＜a ＋c b ＋d ＜cd . 要证a b ＜a ＋cb ＋d，∵a ，b ，c ，d 为正实数，∴只需证a (b ＋d )＜b (a ＋c )，即证ad ＜bc . 只需证a b ＜c d .而a b ＜c d成立， ∴a b ＜a ＋cb ＋d .同理可证a ＋c b ＋d ＜cd.故A 正确．5．若lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，则log 2xy＝________. 解析：由条件知lg xy ＝lg(x －2y )2， 所以xy ＝(x －2y )2，即x 2－5xy ＋4y 2＝0， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫x y 2－5⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋4＝0，所以x y ＝4或x y＝1. 又x ＞2y ，故x y ＝4，所以log 2x y＝log 24＝4.答案：46．已知sin θ＋cos θ＝15且π2≤θ≤3π4，则cos 2θ＝________.解析：因为sin θ＋cos θ＝15，所以1＋sin 2θ＝125，所以sin 2θ＝－2425.因为π2≤θ≤3π4，所以π≤2θ≤3π2.所以cos 2θ＝－1－sin 22θ＝－725.答案：－7257．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，2S n n ＝a n ＋1－13n 2－n －23，n ∈N *.(1)求a 2的值；(2)证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列；(3)若T n 是数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和，求证：T n ＜74.解：(1)当n ＝1时，2S 11＝2a 1＝a 2－13－1－23＝2，解得a 2＝4.(2)证明：2S n ＝na n ＋1－13n 3－n 2－23n .①当n ≥2时，2S n －1＝(n －1)a n －13(n －1)3－(n －1)2－23(n －1)．②①－②，得2a n ＝na n ＋1－(n －1)a n －n 2－n . 整理得na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)， 即a n ＋1n ＋1＝a n n ＋1，a n ＋1n ＋1－a nn＝1， 当n ＝1时，a 22－a 11＝2－1＝1.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以1为首项，1为公差的等差数列．(3)由(2)可知a n n＝n ，即a n ＝n 2. ∵1a n ＝1n 2＜1nn －＝1n －1－1n(n ≥2)， ∴T n ＝1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝112＋122＋132＋…＋1n 2＜1＋14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＝1＋14＋12－1n ＝74－1n ＜74. 8．设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，若函数f (x ＋1)与f (x )的图象关于y 轴对称，求证：f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12为偶函数．证明：要证f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12为偶函数，只需证明其对称轴为直线x ＝0，即只需证－b 2a －12＝0， 只需证a ＝－b (中间结果)，由已知，抛物线f (x ＋1)的对称轴x ＝－b 2a －1与抛物线f (x )的对称轴x ＝－b2a 关于y轴对称．所以－b2a －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a .于是得a ＝－b (中间结果)．所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12为偶函数．第2课时 反 证 法[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P 42～P 43的内容，回答下列问题．著名的“道旁苦李”的故事：王戎小时候爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动．等到小朋友摘了李子一尝，原来是苦的．他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这棵树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．”王戎的论述运用了什么推理思想？ 提示：反证法思想． 2．归纳总结，核心必记 (1)反证法假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．(2)反证法常见矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等．[问题思考](1)反证法解题的实质是什么？提示：反证法解题的实质就是否定结论，导出矛盾，从而证明原命题结论正确． (2)用反证法证明命题时，“a 、b 、c 都是偶数”的否定是什么？ 提示：a 、b 、c 不都是偶数．[课前反思]通过以上预习，必须掌握的几个知识点． (1)反证法的定义是什么？ ；(2)反证法常见的矛盾类型有哪些？.讲一讲1．已知f (x )＝a x＋x －2x ＋1(a >1)，证明方程f (x )＝0没有负实根． [尝试解答] 假设方程f (x )＝0有负实根x 0， 则x 0<0且x 0≠－1且ax 0＝－x 0－2x 0＋1， 由0<ax 0<1⇒0<－x 0－2x 0＋1<1， 解得12<x 0<2，这与x 0<0矛盾．故方程f (x )＝0没有负实根．(1)用反证法证明否定性命题的适用类型结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法．(2)用反证法证明数学命题的步骤练一练1．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中，a ，b ，c 均为整数，且f (0)，f (1)均为奇数．求证：f (x )＝0无整数根．证明：假设f (x )＝0有整数根n ， 则an 2＋bn ＋c ＝0(n ∈Z )， 而f (0)，f (1)均为奇数， 即c 为奇数，a ＋b 为偶数， 则an 2＋bn ＝－c 为奇数， 即n (an ＋b )为奇数． ∴n ，an ＋b 均为奇数， 又∵a ＋b 为偶数， ∴an －a 为奇数， 即a (n －1)为奇数，∴n －1为奇数，这与n 为奇数矛盾． ∴f (x )＝0无整数根．讲一讲2．已知a ，b ，c ∈(0,1)，求证：(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能都大于14.[尝试解答] 假设(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 都大于14.因为a ，b ，c ∈(0,1)， 所以1－a ＞0,1－b ＞0,1－c ＞0. 所以－a ＋b2＞－a b ＞14＝12. 同理－b ＋c 2＞12，－c ＋a 2＞12.三式相加得 －a ＋b2＋－b ＋c2＋－c ＋a 2＞32， 即32＞32，矛盾． 所以(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能都大于14.证明时常见的“结论词”与“反设词”练一练2．已知函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上是增函数．求证：函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上至多有一个零点．证明：假设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上至少有两个零点，设x 1，x 2(x 1≠x 2)为函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上的两个零点，且x 1＜x 2，则f (x 1)＝f (x 2)＝0.因为函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上为增函数，x 1，x 2∈(a ，b )且x 1＜x 2，∴f (x 1)＜f (x 2)，与f (x 1)＝f (x 2)＝0矛盾，假设不成立，故原命题正确.讲一讲3．已知：一点A 和平面α.求证：经过点A 只能有一条直线和平面α垂直． [尝试解答] 根据点A 和平面α的位置关系，分两种情况证明．(1)如图，点A 在平面α内，假设经过点A 至少有平面α的两条垂线AB ，AC ，那么AB ，AC 是两条相交直线，它们确定一个平面β，平面β和平面α相交于经过点A 的一条直线a .因为AB ⊥平面α，AC ⊥平面α，a ⊂α，所以AB ⊥a ，AC ⊥a ，在平面β内经过点A 有两条直线都和直线a 垂直，这与平面几何中经过直线上一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾．(2)如图，点A在平面α外，假设经过点A至少有平面α的两条垂线AB，AC(B，C为垂足)，那么AB，AC是两条相交直线，它们确定一个平面β，平面β和平面α相交于直线BC，因为AB⊥平面α，AC⊥平面α，BC⊂α，所以AB⊥BC，AC⊥BC.在平面β内经过点A有两条直线都和BC垂直，这与平面几何中经过直线外一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾．综上，经过一点A只能有平面α的一条垂线．证明“唯一性”问题的方法“唯一性”包含“有一个”和“除了这个没有另外一个”两层意思．证明后一层意思时，采用直接证明往往会相当困难，因此一般情况下都采用间接证明，即用反证法(假设“有另外一个”，推出矛盾)或同一法(假设“有另外一个”，推出它就是“已知那一个”)证明，而用反证法有时比用同一法更方便．提醒：证明“有且只有”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．练一练3．用反证法证明：过已知直线a外一点A有且只有一条直线b与已知直线a平行．证明：由两条直线平行的定义可知，过点A至少有一条直线与直线a平行．假设过点A 还有一条直线b′与已知直线a平行，即b∩b′＝A，b′∥a.因为b∥a，由平行公理知b′∥b.这与假设b∩b′＝A矛盾，所以假设错误，原命题成立．—————————————[课堂归纳——感悟提升]—————————————1．本节课的重点是反证法及其应用，难点是用反证法证明相关问题．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)用反证法证明“否定性”命题，见讲1；(2)用反证法证明“至多”、“至少”型命题，见讲2；(3)用反证法证明“唯一性”命题，见讲3.3．要正确掌握常见“结论词”的“反设词”，这是本节课的易错点．课下能力提升(六) [学业水平达标练]题组1 用反证法证明“否定性”命题1．应用反证法推出矛盾的推理过程中，可作为条件使用的是( ) ①结论的否定；②已知条件；③公理、定理、定义等；④原结论． A ．①② B ．②③ C ．①②③ D ．①②④解析：选C 根据反证法的基本思想，应用反证法推出矛盾的推导过程中可把“结论的否定”、“已知条件”、“公理、定理、定义”等作为条件使用．2．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①∠A ＋∠B ＋∠C ＝90°＋90°＋∠C >180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误．②所以一个三角形不能有两个直角．③假设△ABC 中有两个直角，不妨设∠A ＝90°，∠B ＝90°. 上述步骤的正确顺序为________． 答案：③①②3．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2. (1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S n n(n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．解：(1)设公差为d ，由已知得⎩⎨⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，解得d ＝2，故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)． (2)证明：由(1)得b n ＝S n n＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r 互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r ，即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)， 所以(q 2－pr )＋(2q －p －r )2＝0. 又p ，q ，r ∈N *，所以⎩⎪⎨⎪⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0.所以⎝⎛⎭⎪⎫p ＋r 22＝pr .(p －r )2＝0，所以p ＝r ，这与p ≠r 矛盾．所以数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列． 题组2 用反证法证明“至多”、“至少”型命题4．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，假设正确的是( )A ．假设三内角都不大于60°B ．假设三内角都大于60°C ．假设三内角至少有一个大于60°D ．假设三内角至多有两个大于60°解析：选B “至少有一个”即“全部中最少有一个”．5．设实数a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝1，则a 、b 、c 中至少有一个数不小于________． 解析：假设a 、b 、c 都小于13，则a ＋b ＋c ＜1与a ＋b ＋c ＝1矛盾． 故a 、b 、c 中至少有一个不小于13.答案：136．若x >0，y >0，且x ＋y >2，求证：1＋x y 与1＋yx中至少有一个小于2.解：假设1＋x y 与1＋y x都不小于2，即1＋x y ≥2，1＋yx≥2.又∵x >0，y >0， ∴1＋x ≥2y,1＋y ≥2x .两式相加得2＋x ＋y ≥2(x ＋y )， 即x ＋y ≤2.这与已知x ＋y >2矛盾．所以假设不成立，所以1＋x y 与1＋y x中至少有一个小于2. 题组3 用反证法证明“唯一性”命题7．用反证法证明命题“关于x 的方程ax ＝b (a ≠0)有且只有一个解”时，反设是关于x 的方程ax ＝b (a ≠0)( )A ．无解B ．有两解C ．至少有两解D ．无解或至少有两解解析：选D “唯一”的否定上“至少两解或无解”．8．“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”的否定正确的为( )A ．a ，b ，c 都是奇数B ．a ，b ，c 都是偶数C ．a ，b ，c 中至少有两个偶数D ．a ，b ，c 中都是奇数或至少有两个偶数解析：选D 自然数a ，b ，c 的奇偶性共有四种情形：(1)3个都是奇数；(2)2个奇数，1个偶数；(3)1个奇数，2个偶数；(4)3个都是偶数．所以否定正确的是a ，b ，c 中都是奇数或至少有两个偶数．9．求证：两条相交直线有且只有一个交点．证明：因为两直线为相交直线，故至少有一个交点，假设两条直线a ，b 不只有一个交点，则至少有两个交点A 和B ，这样同时经过点A ，B 的直线就有两条，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾．综上所述，两条相交直线有且只有一个交点．[能力提升综合练]1．用反证法证明命题“a ，b ∈N ，如果ab 可被5整除，那么a ，b 至少有1个能被5整除”，则假设的内容是( )A ．a ，b 都能被5整除B ．a ，b 都不能被5整除C ．a 不能被5整除D ．a ，b 有1个不能被5整除解析：选B 用反证法只否定结论即可，而“至少有一个”的反面是“一个也没有”，故B 正确．2．有以下结论：①已知p 3＋q 3＝2，求证p ＋q ≤2，用反证法证明时，可假设p ＋q ≥2；②已知a ，b ∈R ，|a |＋|b |<1，求证方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x 1的绝对值大于或等于1，即假设|x 1|≥1.下列说法中正确的是( )A ．①与②的假设都错误B ．①与②的假设都正确C ．①的假设正确；②的假设错误D ．①的假设错误；②的假设正确解析：选D 用反证法证题时一定要将对立面找准．在①中应假设p ＋q >2. 故①的假设是错误的，而②的假设是正确的．3．设a 、b 、c 都是正数，则三个数a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a( ) A ．都大于2 B ．至少有一个大于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于2解析：选D 因为a 、b 、c 都是正数，则有⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c ≥6.故三个数中至少有一个不小于2. 4．已知数列{a n }，{b n }的通项公式分别为a n ＝an ＋2，b n ＝bn ＋1(a ，b 是常数)，且a ＞b ，那么两个数列中序号与数值均相同的项的个数有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无穷多个解析：选A 假设存在序号和数值均相等的项，即存在n 使得a n ＝b n ，由题意a ＞b ，n ∈N *，则恒有an ＞bn ，从而an ＋2＞bn ＋1恒成立，∴不存在n 使得a n ＝b n .5．已知平面α∩平面β＝直线a ，直线b ⊂α，直线c ⊂β，b ∩a ＝A ，c ∥a ，求证：b 与c 是异面直线，若利用反证法证明，则应假设________．解析：∵空间中两直线的位置关系有3种：异面、平行、相交，∴应假设b 与c 平行或相交．答案：b 与c 平行或相交6．完成反证法证题的全过程．题目：设a 1，a 2，…，a 7是1,2，…，7的一个排列，求证：乘积p ＝(a 1－1)(a 2－2)…(a 7－7)为偶数．证明：假设p 为奇数，则________均为奇数．①因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数＝________②＝________③＝0.这与0为偶数矛盾，说明p 为偶数．解析：证明过程应为：假设p 为奇数，则有a 1－1，a 2－2，…，a 7－7均为奇数，因为奇数个奇数之和为奇数，故有奇数＝(a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7)＝(a 1＋a 2＋…＋a 7)－(1＋2＋…＋7)＝0.这与0为偶数矛盾，说明p 为偶数．答案：a 1－1，a 2－2，…，a 7－7(a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7)(a 1＋a 2＋...＋a 7)－(1＋2＋ (7)7．设a ，b 是异面直线，在a 上任取两点A 1，A 2，在b 上任取两点B 1，B 2，试证：A 1B 1与A 2B 2也是异面直线．证明：假设A 1B 1与A 2B 2不是异面直线，则A 1B 1与A 2B 2可以确定一个平面α，点A 1，A 2，B 1，B 2都在平面α内，于是A 1A 2⊂α，B 1B 2⊂α，即a ⊂α，b ⊂α，这与已知a ，b 是异面直线矛盾，所以假设错误．所以A 1B 1与A 2B 2也是异面直线．8．用反证法证明：对于直线l ：y ＝x ＋k ，不存在这样的非零实数k ，使得l 与双曲线C ：3x 2－y 2＝1的交点A 、B 关于直线y ＝－x 对称．证明：假设存在非零实数k ，使得A 、B 关于直线y ＝－x 对称，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)， 则线段AB 的中点M ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22在直线y ＝－x 上， 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋k ，y 2＝3x 2－1得2x 2－2kx －1－k 2＝0.∴x 1＋x 2＝k ，可得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2，3k 2. 这与M 在直线y ＝－x 上矛盾．所以假设不成立，故不存在非零实数k ，使得A 、B 关于直线y ＝－x 对称．。