人教版A版高中数学高二必修五 3.3线性规划知识梳理
数学 必修5 新课标人教A版 第三章 3.3 3.3.3 简单的线性规划问题(二)[配套课件]
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【学习目标】 1.进一步了解线性规划的意义，了解线性约束条件、线性 目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念. 2.掌握线性规划问题的图解法，会用图解法求目标函数的 最大值、最小值. 3.训练数形结合、化归等常用思想，培养和发展数学应用 意识.
非线性目标函数
【变式与拓展】
1.变量 x，y 满足x3－x＋4y5＋y－3≤250≤，0， x≥1，
设 z＝yx，求 z 的最小
值和最大值.
解：作出可行域，如图D18，当把z 看作 常数时，它表示直线y＝zx 的斜率，因此，当 直线y＝zx 过点A 时，z 最大；当直线y＝zx 过点 B 时，z 最小.
x≤1，
则点 P(2x－y，
x＋y)表示区域的面积为( )
3
4
A.4
B.3
1
C.2
D.1
解析：由x2＋x－y＝y＝b，a， 可得xy＝ ＝a2＋ b3－ 3b， a. 代入 x，y 的关系式，得aa－ ≥b0＋ ，1≤0，
a＋b－3≤0. 如图 D16，易得阴影面积 S＝12×2×1＝1. 答案：D
x＋2y≤24， 3x＋2y≤36， 0≤x≤10， 0≤y≤11.
思维突破：把所求问题看成区域上的点与点(－1，－1)连 线的斜率.
解：作出不等式组表示的可行域如图 D14.
图 D14 当把 z 看作常数时，它表示点(x，y)与点(－1，－1)所在直 线的斜率，点(x，y)在可行域内.因此当点(x，y)是点 A 时，斜率 z 最大.
要求最值中的函数不是关于变量 x，y 的一次解析式.
x－4y＋3≤0， 练习：变量 x，y 满足3x＋5y－25≤0，
x≥1，
设 z＝yx，求 z 的
人教A版高中数学必修五课件3.3简单的线性规划问题.pptx
x、y 吨，获得利润 z 万元，根据题意，得
3x＋y≤13 2x＋3y≤18 x≥0 y≥0
，目标函数 z＝5x＋3y.
• 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部 分所示．令z＝0，作直线l：5x＋3y＝0，易知 当平移直线l至经过点(3,4)时，z取得最大值为 zmax＝15＋12＝27，故选D.
【错因】 因为 A95，2130的坐标不是整数，因此上述方
法是错误的．
• 【正解】 同上述方法作出可行域，因为当直 线l：5x＋4y＝t平移时，从A点起向左下方移时 第一个通过可行域中的整数点是(2,1)，∴(2,1) 是所求的最优解．故Smax＝5×2＋4×1＝14.
• 家庭作业：3.3.2简单的线性规划问题（3） 蓝皮及活页
• (1)求解实际问题时，除严格遵循线性规划求 目标函数最值的方法外，还应考虑实际意义的 约束，要认真解读题意，仔细推敲并挖掘相关 条件，同时还应具备批判性检验思维，以保证 解决问题的准确和完美．
• (2)处理实际问题时，x≥0，y≥0常被忽略，在 解题中应多加注意．
• (3)在求最优解时，一般采用图解法求解．
• [题后感悟] 许多实际问题中需要整数解，而当 解方程得到的解不是整数时，常用下面的方法求 整数解：
• (1)平移直线法：先在可行域中画网格，再描整点， 平移直线l，最先经过或最后经过的整点坐标就是 最优解．
• (2)检验优值法：当可行域中整点个数较少时，可 将整点坐标逐一代入目标函数求值，比较后得出 最优解．
• 答案： [2，＋∞)
• 1．用图解法解决线性目标函数的最优解问题的 一般步骤
• (1)画：根据线性约束条件，在直角坐标系中，把 可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可 以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大 的平面区域．
高中数学线性规划知识点汇总
高中数学线性规划知识点汇总高中数学线性规划知识点汇总一、知识梳理1.目标函数：包含两个变量x和y的函数P=2x+y被称为目标函数。
2.可行域：由约束条件表示的平面区域被称为可行域。
3.整点：坐标为整数的点称为整点。
4.线性规划问题：在线性约束条件下，求解线性目标函数的最大值或最小值的问题被称为线性规划问题。
对于只包含两个变量的简单线性规划问题，可以使用图解法来解决。
5.整数线性规划：要求变量取整数值的线性规划问题被称为整数线性规划。
线性规划是一门研究如何使用最少的资源去最优地完成科学研究、工业设计、经济管理等实际问题的专门学科。
主要应用于以下两类问题：一是在资源有限的情况下，如何最大化任务的完成量；二是如何合理地安排和规划任务，以最小化资源的使用。
1.对于不含边界的区域，需要将边界画成虚线。
2.确定二元一次不等式所表示的平面区域的一种方法是“选点法”：任选一个不在直线上的点，检验它的坐标是否满足所给的不等式，若适合，则该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域；否则，直线的另一端为所求的平面区域。
若直线不过原点，通常选择原点代入检验。
3.平移直线y=-kx+P时，直线必须经过可行域。
4.对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域。
此时，变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点来确定。
5.简单线性规划问题就是求解在线性约束条件下线性目标函数的最优解。
无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：1）寻找线性约束条件和线性目标函数；2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；3）在可行域内求解目标函数的最优解。
积累知识：1.如果点P（x0，y0）在直线Ax+By+C=0上，则点P的坐标满足方程Ax0+y0+C=0.2.如果点P（x0，y0）在直线Ax+By+C=0上方（左上或右下），则当B>0时，Ax0+y0+C>0；当B<0时，Ax0+y0+C<0.3.如果点P（x0，y0）在直线Ax+By+C=0下方（左下或右下），则当B>0时，Ax0+y0+C0.注意：在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点，将它们的坐标（x，y）代入Ax+By+C=0，所得实数的符号都相同。
高中数学全程学习方略配套课件：3.3.2.1简单的线性规划问题(人教A版必修5)
超级记忆法-记忆 规律
记忆中
选择恰当的记忆数量
小值13.故选A.
2x y 4，
3.设x,y满足 x y 1，则z=x+y（ ）
x 2y 2，
（A）有最小值2，最大值3 （B）有最小值2，无最大值
（C）有最大值3，无最小值 （D）既无最大值，也无最小值
【解析】选B.作出可行域如图所示，
作直线l0:x+y=0,平移l0,当l0过点 A（2，0）时，z有最小值2，无最大
标函数z=2x-3y取得最小值. ………………………………4分
由图可见，当直线z=2x-3y经过可行域上的点A时，截距最大，
即z最小.
解方程组
x x
y y
得 A1的坐标为（2，3），
5
∴zmin=2x-3y=2×2-3×3=-5. ……………………………7分
当直线z=2x-3y经过可行域上的点B时，截距最小，即z最大.
6.已知变量x,y满足约束条件 x y 2，若目标函数z=y-ax
0 y 3，
仅在点（5，3）处取得最小值，则实数a的取值范围为____.
【解析】画出可行域，如图所示. 由z=y-ax，得y=ax+z，则z为直 线y=ax+z在y轴上的截距，由于 函数z=y-ax仅在点（5，3）处取 得最小值，直线y=ax+z过点P（5，3）时截距最小，所以直 线y=ax+z的斜率a大于直线x-y=2的斜率，所以a＞1. 答案：（1,+∞）
学习知识的能力 （学习新知识 速度、质量等）
长久坚持的能力 （自律性等）
什么是学习力-常见错误学 习方式
案例式
学习
顺序式 学习
人教A版高中数学必修五讲义及题型归纳：线性规划的概念
线性规划模块一：线性规划的概念1．二元一次不等式表示的区域对于直线，当时，表示直线的右方区域；表示直线的左方区域；当时，表示直线的左方区域；表示直线的右方区域；当时，表示直线的上方区域；表示直线的下方区域；当时，表示直线的下方区域；表示直线的上方区域．可以用推理的方式辅助记忆：当时，随着的增大，会变大，因此直线的右方区域满足，左方区域满足；当时，随着的增大，会变小，因此直线的左方区域满足，右方区域满足．2．可行域⑴ 不等式组是一组对变量、的约束条件，由于这组约束条件都是关于、的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件．另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示． ⑵ 满足线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域． 考点1：求可行域例1.（1）若点(2,1)A -，点(2,1)B -在直线10x ay +-=的两侧，则a 的取值范围是( )0Ax By C ++=0A >0Ax By C ++>0Ax By C ++=0Ax By C ++<0Ax By C ++=0A <0Ax By C ++>0Ax By C ++=0Ax By C ++<0Ax By C ++=0B >0Ax By C ++>0Ax By C ++=0Ax By C ++<0Ax By C ++=0B <0Ax By C ++>0Ax By C ++=0Ax By C ++<0Ax By C ++=0A >x Ax By C ++0Ax By C ++=0Ax By C ++>0Ax By C ++<0A <x Ax By C ++0Ax By C ++=0Ax By C ++>0Ax By C ++<x y x y ()x y ，A ．(1,3)B ．(-∞，1)(3⋃，)∞C ．(3,1)--D ．(-∞，3)(1--⋃，)+∞【解答】解：Q 点(2,1)A -，点(2,1)B -在直线10x ay +-=的两侧， (21)(21)0a a ∴-+---<，即(3)(1)0a a --<，得(3)(1)0a a -->，得3a >或1a <，即实数a 的取值范围是(-∞，1)(3⋃，)∞，故选：B ．（2）不等式组24020x y x y -+⎧⎨-+<⎩…表示的平面区域是( ) A ． B ．C ．D ．【解答】解：240x y -+…表示在直线240x y -+=的下方及直线上， 20x y -+<，表示在直线20x y -+=的上方，则对应的区域为B ，故选：B ．（3）不等式||||x y …所表示的平面区域是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：不等式组等价为x y x y ⎧⎨-⎩……或x y x y ⎧⎨-⎩……， 则对应的平面区域为D ，故选：D ．（4）已知实数x ，y 满足不等式组22020x y x y y -+⎧⎪+⎨⎪⎩………，则该不等式组表示的区域面积为 ．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：则(0,1)A ，(1,0)B -，(2,0)C ，则三角形ABC 的面积13232S =⨯⨯=， 故答案为：3（5）不等式组210y x y kx y -+⎧⎪-⎨⎪⎩………所表示的平面区域的面积等于14，则k = ． 【解答】解：Q 不等式组210y x y kx y -+⎧⎪-⎨⎪⎩………所表示的平面区域三角形，如图：平面为三角形所以过点(2,0)，1y kx =-Q ，与x 轴的交点为1(k，0)， 1y kx =-与2y x =-+的交点为3(1k +，21)1k k -+， 三角形的面积为：11211(2)214k k k --⨯=+， 解得：1k =． 故答案为：1．。
人教A版高中数学必修五3.3.2简单的线性规划 课件
x＝1，
x＝1，
由
得
y＝ax－3 y＝－2a，
∴zmin＝2－2a＝1，解得 a＝12，故选 B.
答案：B
【总结】含参数的线性目标函数问题的求解策略
(1)约束条件中含有参数:此时可行域是可变的,应分情况作出可 行域,结合条件求出不同情况下的参数值.
(2)目标函数中含有参数:此时目标函数对应的直线是可变的,如 果斜率一定,则对直线作平移变换;如果斜率可变,则要利用斜率 与倾斜角间的大小关系分情况确定最优解的位置,从而求出参数 的值.
x-y≥0
y
设x,y满足约束条件： x+y-1 ≤ 0
y=2x
y ≥ -1
求z=2x+y最大值与最小值。
解：①作可行域（如图）
x+y=1 x-y=0
1
②由z=2x+y得y=-2x+z,因此 平行移动直线y=-2x，若直线 截距z取得最大值，则z取得最 大值；截距z取得最小值，则z 取得最小值.
0
y=-1
变式训练
x 0，y 0， 若不等式组x y s 表示的平面区域是一个三角形，
y 2x 4 则 s 的取值范围是_______________
0<s≤2或s≥ 4
题型二：目标函数含参数
(1) 已知x,y满足约束条件
x y 0,
x y 2, 若z=ax+y的最大值为4,则a=
A.y
线性规划 在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或 问题 最小值问题
解线性规划问题的步骤：
（1）画：画出线性约束条件所表示的可行域； （2）移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利 用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或 最小的直线；
人教版A版高中数学高二必修五 3.3线性规划问题错解分类辨析
精心校对线性规划问题错解分类辨析山东 秦振线性规划问题应用广泛、综合性强、解题需要一定的技巧，学生在学习中经常遇到困难，下面就学生在解题中出现的错误分类辨析如下，供大家参考。
一、未弄清题意例1 某人有一面积为1802m 的房间，拟分隔成两类房间作为旅游客房，大房间每间面积182m ，可住游客5名，每名游客每天住宿费40元；小房间每间面积152m ，可住游客3名，每名游客每天住宿费50元；装修大房间每间需1000元，装修小房间每间需要600元；如果他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满客房，在充分利用借款情况下，根据游客的不同需求他应隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大的收益？错解 设他应隔出大房间x 间，小房间y 间，并获得最大收益。
则线性约束条件为*0,0,1815180,10006008000,,.x y x y x y x y N ⎧≥⎪≥⎪⎪+≤⎨⎪+≤⎪⎪∈⎩目标函数：200150z x y =+。
化简线性约束条件：*6560,5340,0,0,,.x y x y x y x y N ⎧+≤⎪+≤⎪⎪≥⎨⎪≥⎪⎪∈⎩作出可行域：如图1所示。
作直线:2001500l x y +=，即430x y +=。
将l 平移至可行域的点A ，这时l 与原点的距离最大，此时：200150z x y =+取最大值。
解方程组6560,5340.x y x y +=⎧⎨+=⎩解得20,760.7x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴2060,77A ⎛⎫ ⎪⎝⎭。
由于最优解(),x y 中x 、y 都是整数，∴可行域内点2060,77A ⎛⎫⎪⎝⎭不是最优解。
可验证：经过可行域的整点且使200150z x y =+取最大值的整点是()0,12和()3,8。
此时max 1800z =元。
答：应隔出小房间12间；或大房间3间，小房间8间，可获最大利润。
辨析错因是未理解题意，仅找出整点使目标函数的利润最大，却忽视了比较两种分隔精心校对方法在使用借款与满足游客的不同需求时的区别。
高中数学人教A版必修五教学课件：第三章 《不等式》 3.3.2 简单的线性规划问题
(2)常见代数式的几何意义主要有： ① x2＋y2表示点(x，y)与原点(0,0)的距离；
x－a2＋y－b2表示点(x，y)与点(a，b)的距离． y－b y ② x 表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率 表示点(x，y)与点(a，b) x－a 连线的斜率．这些代数式的几何意义能使所求问题得以转化，往往 是解决问题的关键．
x＋y＝1， 是直线x＋y＝1与直线y＝0的交点，解方程组 得顶点M的坐标 y ＝ 0 ，
为(1,0)，代入z＝x－y，得zmax＝1，故选B.
答案：B
2x－y＋1≥0， 3．z＝x－y在 x－2y－1≤0， x＋y≤1 可行解为( A．(0,1) C．(1,0) )
的线性约束条件下，取得最大值的
＝216 000.
答案：216 000
对参数的含义不明致误 [典例]
1≤x＋y≤4， 设实数x，y满足不等式组 y＋2≥|2x－3|.
(1)画出点(x，y)所在平面区域； (2)设a>－1，在(1)所求的区域内，求函数z＝y－ax的最大值和最小值．
[解析]
(1)已知不等式组等价于
[解析] 将已知数据列成下表： 商店 每吨运费 仓库 A B 8 3 6 4 9 5 甲 乙 丙
设仓库A运给甲、乙商店的货物分别为x吨，y吨， 则仓库A运给丙商店的货物为(12－x－y)吨，从而仓库B运给甲、 乙、丙商店的货物分别为(7－x)吨、(8－y)吨、[5－(12－x－y)]＝(x ＋y－7)吨，于是总运费为 z＝8x＋6y＋9(12－x－y)＋3(7－x)＋4(8－y)＋5(x＋y－7)＝x－2y＋ 126.
解线性规划应用问题的一般步骤 (1)分析题意，设出未知量； (2)列出线性约束条件和目标函数； (3)作出可行域并利用数形结合求解； (4)作答．
3.3.2 简单的线性规划问题 课件(66张PPT)高中数学必修5(人教版A版)
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带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在 甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大， 最大收益是多少万元？ [分析] 根据题意列出约束条件，写出目标函数．转
化为求最值即可．
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[解]
设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分
别为x分钟和y分钟，总收益为z元，由题意得 x＋y≤300 500x＋200y≤90 000 x≥0 y≥0.
提示：由于作图有误差，有时仅由图形不一定就能准 确而迅速地找到最优解，此时可将几个可能的解逐一检查 即可见分晓．
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典例导悟
类型一 [例1] 求最大值的实际应用题 某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超
过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视 台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，假定 甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司
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将这些点的坐标分别代入z＝x＋y，求出各个对应值， 经验证可知，在整点A3(3,9)和A4(4,8)处z取得最小值． 其解法的思想是找整点、验证算、选优解．
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方法三：调整优值法 18 39 57 由非整点最优解( ， )，得z＝ ，∴z≥12. 5 5 5 令x＋y＝12，将y＝12－x代入约束条件整理得 9 3≤x≤2， ∴x＝3和x＝4，这时最优整点为(3,9)和(4,8)． 调整优值法的解法思路是先求非整点最优解，再借助 不定方程的知识调整最优解，最后筛选出整点最优解．
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解：设甲种产品装x件，乙种产品装y件，总利润为z万 元，则 5x＋4y≤24 2x＋5y≤13 ≥0 y≥0 x∈N，y∈N，
且z＝10x＋20y.
人教A版高中数学必修五《3-3 简单的线性规划问题》PPT课件
ｙ＝-2ｘ+ z
2ｘ+ｙ=0
o
问题4：z几何意义是:
斜率为-2的直线在y轴上的截距
x-4y=-3
A
3x+5y=25
x B 当直线过点 B(1,1)时,z 最小,即zmin=3
当直线过点A(5,2)时,z最大,即zmax＝ 2×5+2＝12
有关概念
约束条件：由ｘ、ｙ的不等式（方程）构成的不等式组。
线性约束条件：约束条件中均为关于x、y的一次不等式或方程。
答 4、 作出答案。
练习1.设z=2x+y，式中变量满足下列条件:
2x 3y 12 0
y
x y 3
x0
y0
求z的最值
x y 3
0
x
2x 3y 12 0
l0:2x+y=0
练习2： 式中x, y满足下列条件 求函数z=7x+y最大值，
y
2x 5 y 15 x y 0 6 x8
x-y=o
0 6
y
o
x
【引例】：
某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品， 每生产一件甲产品使用4个A配件并耗时1h，每生 产一件乙产品使用4个B配件并耗时2h，该厂每天 最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按 每天工作8h计算，该厂所有可能的日生产安排是 什么？
甲产品
每件耗时（ h)
1
A配件(个） 4
产品
原料A数量（kg 原料B数量（kg） 利润（元） ）
生产甲种产
3
品1工时
1
30
生产乙种产
2
品1工时
2
40
限额数量
1200
800
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线性规划知识梳理
四川 何成宝
一、画平面区域的步骤：
（1）画线——画出不等式所对应的方程所表示的直线（如原不等式中带等号，则画成实线，否则画成虚线）；
（2）定侧——将某个区域位置明显的特殊点的坐标代入不等式，根据“同侧同号、异侧异号”的规律确定不等式所表示的平面区域在直线的哪一侧；
（3）求“交”——如果平面区域是由不等式组决定的，则在确定了各个不等式所表示的区域后，再求这些区域的公共部分.这个公共部分就是不等式组所表示的平面区域.
注：①直线1：y=kx+b 把平面上的点分成三类：在直线1上方的点；在直线1下方的点，其中y>kx+b 表示直线上方的半平面区域，y<kx+b 表示直线下方的半平面区域，而直线y=kx+b 是这两个平面区域的分界线。
②二元一次不等式Ax+By+C>0在直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧的所有点组成的平面区域，对于在直线Ax+By+C=0的同一侧的所有点（x ，y ），实数Ax+By+C 的符号都相同，故只需在此直线的某一侧任取一点)(00y x ，（常取（0，0），将它的坐标代入Ax+By+C ，由其值的符号可判定Ax+By+C>0表示直线的那一侧，事实上，这就是所谓的“同侧同号，异侧异号”的符号法则。
二、简单的线性规划问题的求解步骤：
（1）作图——画出约束条件 (不等式或不等式组) 所确定的平面区域和目标函数所表示的平面直线系中的任意一条直线 ；
（2）平移——将 平行移动,以确定最优解所对应的点的位置；
（3）求值—解有关方程组求出最优点的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值. 注：（1）求线性目标函数的线性约束条件下的最值问题，便是线性规划问题。
（2）求线性目标函数在线性约束条件下的最值的一般步骤是：
①列出线性约束条件及写出目标函数；
②求出线性约束条件所表示的平面区域；
③通过平面区域求出满足线性条件下的可行解；
④用图形的直观性求最值；
⑤检验由④求出的解是最优解或最优解的近似值或符合问题的实际意义。
三、简单的线性规划应用题的求解步骤：
（1）转化——设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为数学上的线性规划问题；
（2）求解——接这个纯数学的线性规划问题；
（3）作答——就应用题提出的问题作出回答.
注：线性规划问题的问题的关键是在图上完成的，所以做图应尽可能精确，图上操作尽可能规范.但考虑到作图毕竟还是回有误差，假若图上的最优点并不明显易辨时，不妨将几个有可能是最优点的坐标都求出来，然后逐一检查，以“验明正身”.
四、线性规划的应用问题常见类型：
①物资调运问题：求怎样编制调运方案，能使总运费最少（即给定一项任务，如何安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成这一任务）；
②产品安排问题：求如何组织生产，能使利润最大（即在人力、物力、资金等资源一
定的条件下，如何使用它们来完成最多任务，创造最大的效益）；
③下料问题：求如何下料，能使损耗最少，利用率最高；
④饲料配方问题等。
注：应用线性规划的图解方法，一般必须具备下列条件：
①能够将目标函数表示为最大化或最小化的要求；
②要有不同选择的可能性存在，即所有可行解不止一个；
③所求的目标函数是约束条件的；
④约束条件应明确地表示为线性不等式或等式；
⑤约束条件中所涉及的变量不超过两个。