数学物理方法简明教程 林福民编 北京大学出版社 第1-6章总结

第一章 复数与复变函数1. 复数的定义2. 区域与复变函数 区域 具备：1. 开集性；2. 连通性符合上述两个性质的复平面上的点集称为区域复变函数当复变数z 在复平面上变动时，如果复数ω的值随着复数z 的值而定，就称ω为z 的函数，记作()f z ω=复数的表示形式直角坐标表示形式 z x iy =+Re Im x z y z i ==实部：；虚部：；虚数单位三角函数表示形式()cos sin z i ρθθ=+ 22arctan y x y xθρ==+辐角；模：指数形式 i z e θρ= 相等 121212x x y y z z ===当，时，则称 共轭12121212x x y y z z z z ==-==当，时，则称或运算规则加法 ()()121212z z z x x i y y =+=+++ 减法 ()()121212z z z x x i y y =-=-+-乘法()()()()()121211221212122112121212exp i i z z z x iy x iy x x y y i x y x y z z z e ei θθρρρρθθ==++=-++==⋅=+⎡⎤⎣⎦或除法()12111121221122222222222211112222exp i i z x iy x x y y x y x y z i z x iy x y x y z e z i z e θθρρθθρρ++-===++++===-⎡⎤⎣⎦或乘方()()cos sin cos sin nn i n in nz e e i n i n θθρρθθθθ==+=+里莫夫公式开方()cos sin 22(cossin)0,1, (1)nnz i k k z i k n nnρθθθπθπωρ=+++==+=-3. 单值函数和多值函数单值函数幂函数 n z n ω= 为整数指数函数()exp z e z ω==三角函数 sin ,cos ,,z z tgz ctgz 双曲函数 ,,,shz chz thz cthz多值函数根函数1n n z z n ω== 为整数对数函数ln ln z z iArgz ω==+第二章 复变函数微积分1. 极限与连续 极限000()(,)(,)lim (,);lim (,)lim ()x x x x z z y y y y f z u x y iv x y u x y a v x y b f z a ib →→→→→=+==⇒=+连续 00lim ()()z z f z f z →=2. 复变函数的导数定义00000()()lim()z f z z f z z zf z z ∆→+∆-∆对于点，如果存在，则此极限称为在的导数。

函数在点z 导数存在的充要条件 ()(,)(,)()(,),(,)(,)- ,f z u x y iv x y D f z D u x y v x y x y u vu v x yy x=+∂∂∂∂==-∂∂∂∂设定义在区域内，则在内一点可导的充要条件是：在点处可微，并且在该点满足柯西黎曼条件：3. 复变函数的解析 定义函数不仅在一点可导，而且在该点的ε邻域内点点是可导的，则称函数在该点是解析的。

函数在点z 解析的充要条件 ()()1 (,),(,)2-z u v u vu x y v x y x y y xε∂∂∂∂∂∂∂∂在点的邻域内的各点：连续且，，，存在；柯西黎曼条件成立。

4. 调和函数与解析函数 调和函数 ()22220,u uu x y x y∂∂+=∂∂满足拉普拉斯方程解的称为调和函数共轭调和函数 满足柯西-黎曼条件的两个调和函数(),u x y 和(),v x y 称为一对共轭调和函数解析函数与调和函数的关系 解析函数()()(),,f z u x y iv x y =+的实部(),u x y 与虚部(),v x y 是一对共轭调和函数5. 复变函数的积分定义 ()11()lim ()nk k k cn k f z dz f z z ξ-→∞==-∑⎰分解成两个实变函数的积分 ()()()()(),,,,cc c f z dz u x y dx v x y dy i v x y dx u x y dy =-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰ 积分曲线用参数方程表示 积分曲线可用参数方程()z t 表示，线积分可写成()()21()t t ct t f z dz f z t z t dt =='=⎡⎤⎣⎦⎰⎰6. 柯西定理柯西定理若函数()f z 在单连通区域D 内解析，则(1) 只要起点和终点固定不变，积分路径连续变形时，函数的积分值不变 (2) ()0cf z dz =⎰多连通区域的柯西定理1()()0i ni cc f z dz f z dz =+=∑⎰⎰1()()ini cc f z dz f z dz ==∑⎰⎰7. 柯西公式柯西公式000()1()()2cf z B c B z B f z f z dz i z z π=-⎰ 若在闭单连通区域上解析，为的边界线，为内的任一点，则有n 阶导数的柯西公式 ()010!()()(1,2,...)2()n n cn f z f z dz n i z z π+==-⎰第三章 复变函数的幂级数展开1. 复数项级数的收敛和绝对收敛收敛各项为复数的级数0k k a ∞=∑的部分和0nk k a =∑在n →∞时趋于有限的极限，则称级数收敛，并称S 为它的和。

绝对收敛 如果级数中各复数项模所构成的级数0k k a ∞=∑收敛，就称级数0nk k a =∑绝对收敛。

2. 复变函数项级数的收敛收敛121120000()()()...()...()()()...()lim ()()nn n n n n n fz f z f z f z n S z f z f z f z D z S z S z z ∞=→∞=++++=+++=∑其前面项的和，如果对于内的某一点，极限存在，则称级数在处收敛。

3. 收敛的性质 连续函数项收敛(1) 级数的和是连续函数；(2) 级数可以逐项积分。

解析函数项收敛 (1) 级数的和是解析函数；(2) 级数可以逐项求导；(3) 级数可以逐项积分，且积分与路径无关。

4. 幂级数的性质阿贝尔定理000100(0)n n n c z z z z z z z z z z z z ∞==≠<=>∑如果级数在收敛，则对满足的一切，级数绝对收敛。

如果在级数发散，则对满足的，级数发散。

幂级数的收敛半径 1limnn n c R c →∞+=5. 解析函数展开成泰勒级数泰勒级数()00()000()()()()!n nn n n f z z z R f z z f z f z c z z c n ∞=-==-=∑设在圆的内部解析，则在点的幂级数展开称为泰勒级数：其中系数泰勒展开式和收敛半径R201......2!!!n nzn z z z e z R n n ∞==+++++==+∞∑3521210sin ...(1)...3!5!(21)!(1)(21)!n nn nn z z z z z n zR n ++∞==-+-+-++=-=+∞+∑24220cos 1...(1)...2!4!(2)!(1)(2)!nn nnn z z z z n zR n ∞==-+-+-+=-=+∞∑2341ln(1)...(1) (12341)n n z z z z z z z n ++=-+-+-+ <+ 2(1)(1)(2)(1)1...2!3!(1)[(1)]1!n z z z n zz n αααααααααα---+=++++-⋅⋅⋅--+<6. 解析函数的洛朗展开洛朗级数 (双边幂级数)()()102010()()1()(0,1,2,...)2()C nnn n n C f z R z z R z f z f z c z z f z c dz n i z z π∞=-∞+<-<=-==±±-∑⎰ 设函数在圆环域内解析，则对环域上任一点，可展开成洛朗级数：系数积分路径为环域内按逆时针方向绕内圆一周的任一闭合曲线。

第四章 留数及其应用1. 解析函数的奇点 孤立奇点 ()()()00000z f z f z z z z R z f z <-<若点是的奇点，但在的某一个去心邻域内解析，则称是函数的孤立奇点。

2. 孤立奇点的分类 奇点名称 极限性质以0z z =为中心，在去心邻域中()f z 的洛朗级数展开形式可去奇点 ()0lim z z f z →=有限值 不含负幂项极点 ()0lim z z f z →=∞含有限个负幂项 本性奇点 ()0lim z z f z →不存在含无限个负幂项3. 留数定理和留数的求法留数定理11()22Res ()nk ck f z dz ici f z ππ-===∑⎰()()Res k k f z f z z 称为函数在点的留数0z 是()f z 的可去奇点0Res ()0f z =0z 是()f z 的本性奇点把()f z 在0z 展开成洛朗级数求1c -0z 是()f z 的极点如果0z 是()f z 的一阶极点，000Res ()lim()()z z f z z z f z →=-如果0z 是()f z 的m 阶极点，010011Res ()lim {()()}(1)!m m m z z d f z z z f z m dz--→=--()()()P z f z Q z =，()P z 、()Q z 都在0z 处解析，如果0()0P z ≠，0()0Q z '≠，0()0Q z =，则0z 为()f z 的一阶极点，且000()Res ()()P z f z Q z ='4. 三类典型的实函数的定积分类型I20(sin ,cos )R d πθθθ⎰22111()(,)22z z f z R iz iz z-+=令201(sin ,cos )2Res ()nk k R d i f z πθθθπ==∑⎰类型II()R x dx +∞-∞⎰若实轴上没有奇点，则{}1()()2Res ()()()2()n k k P x R x dx dx i R z Q x R x dx i R z ππ+∞+∞-∞-∞=+∞-∞===∑⎰⎰⎰即在上半平面所有奇点的留数之和若实轴上有有限个一阶极点，则()2Res ()+Res ()R x dx iR z iR z ππ+∞-∞==∑∑⎰上半平面实轴上类型III (0)a >()aix R x e dx +∞-∞⎰()cos R x axdx +∞-∞⎰ ()sin R x axdx +∞-∞⎰{}1()2Res ()()2()knaiz aixk k aix aiz R x e dx i R z e R x e dx i R z e ππ+∞-∞=+∞-∞⎡⎤=⎣⎦=∑⎰⎰即在上半平面所有奇点的留数之和1()cos Re 2Res ()k naiz k k R x axdx i R z e π+∞-∞=⎧⎫⎡⎤=⎨⎬⎣⎦⎩⎭∑⎰1()sin Im 2Res ()k naiz k k R x axdx i R z e π+∞-∞=⎧⎫⎡⎤=⎨⎬⎣⎦⎩⎭∑⎰第五章 拉普拉斯变换及其应用1. 拉普拉斯变换定义()()()[]()()0-1()0()00()()()()()()()pt pt t t t t p t e dtt t e dt t p p t L t p L p t ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ∞-∞- (≤<+∞)⎧=⎨(<)⎩===⎡⎤⎣⎦⎰⎰设函数则称为的拉普拉斯变换，其中称为拉普拉斯积分。