变化电磁场的基本规律概论

第十章 变化电磁场的基本规律

一、基本要求

1. 掌握法拉第电磁感应定律。理解动生电动势及感生电动势的本质。

2. 了解自感系数和互感系数。

3. 了解磁能密度的概念。

4. 了解涡旋电场、位移电流的概念以及麦克斯韦方程组（积分形式）的物

理意义，了解电磁场的物质性。

二、基本概念和规律

1． 基本概念包括：法拉第电磁感应定律，动生电动势，感生电动势与涡旋电场，自感，互感，磁场能量。

2．法拉第电磁感应定律 i dt

d m Φ-= 该定律是电磁感应的基本规律，无论是闭合回路还是通过作辅助线形成闭合回路，只要能够求出该回路所围的面积的磁通量，就可以应用定律得到该回路中的感应电动势。自感、互感电动势也是该定律的直接结果。

3．动生电动势 i ?+-??=)()

()(b a l d B v 在磁场中运动的导线，切割磁力线，由于洛沦兹力的作用使得导线的两端出现电动势。对于均匀磁场中匀速运动的直导线的动生电动势，可以直接应用公式θαcos sin blv =得到。其它情况要选择dl 段，先求出d dl blv θαcos sin =，然后积分得到。感应电动势的方向可以用右手叉乘所满足的规律（右手螺旋法则）得到。

4．感生电动势和涡旋电场 ??????-=?)()(L S d t l d S B E

旋 变化的磁场产生电场是麦克斯韦的第一条假设，由此可以知道涡旋电场产生的机理与静电场产生的机理是完全不同的。它的性质与静电场的性质也是截然不同的。如果已知涡旋电场分布，可以通过积分求出一段导线两端的感应电动势,对于特殊的涡旋电场分布，可以通过作辅助线的方法，利用法拉第电磁感应定律求出一段导线两端的感应电动势。

5．自感电动势和自感系数 LI m =ψ

式中比例系数L 为回路的自感系数，简称自感。如果回路周围不存在铁磁质，自感系数L 是一个与电流I 无关，仅取决于线圈自身的大小、几何形状、匝数以及线圈内磁介质的磁导率。

根据法拉第电磁感应定律，自感电动势为

L )(dt

dL I dt dI L dt d m +-=-=ψ 若回路的自感L 不随时间变化，则

L dt

dI L -= 6．互感电动势和互感系数 互感系数满足的规律是 12121I M =ψ

21M 称为线圈Ⅱ对线圈Ⅰ的互感系数，简称互感。

同理线圈Ⅱ的电流强度2I 的磁场，穿过线圈I 的磁通链12ψ与2I 成正比，即

21212I M =ψ

则12M 称为线圈Ⅰ对线圈Ⅱ的互感系数，也称为互感。理论和实验均可证明

21M =12M =M

M 称为互感系数，由两个线圈自身的几何结构、形状、大小，相对位置以及周围磁介质决定，对于非铁磁质，互感系数为常量，与两线圈中的电流无关。

根据法拉第电磁感应定律，互感电动势为

21)(1121dt

dM I dt dI M dt d m +-=-=ψ 若M 不随时间变化，则 21dt

dI M 1-= 同理

12dt dI M

2-= 7．磁场能量密度

ω m =222

12121H BH B μμ== 可见磁场能量密度ω m 是随B 变化的点函数，若ω m 在磁场存在的整个空间V 中的分布已知时，在体元dV 中磁场能量=m dW ω m dV ，那么在V 内的总磁场能量应为

?=)(V m W ω m dV

8．位移电流 dt

d I i i Φ= 变化的电场产生磁场是麦克斯韦的第二条假设，位移电流不产生焦耳热，尽管位移电流与传导电流产生的机理不同，但它们都产生磁场，而且产生磁场的规律是相同的。

9．麦克斯韦方程组

??∑=?S i q d S D

??????-=?L S d t dl S B E

??=?S

dS 0B ??????+=?L S d t dl S D j H

)(0 麦克斯韦方程组是电磁场理论的高度概况，用它可以预言电磁波。

10．电磁场的物质性。近代物理表明，电磁场具有能量、动量和质量，它具有波粒二相性。

三、习题选解

10-1 如图所示，在长直导线中通以

交变电流t i i ωsin 0=，其中i 为瞬时电流，

0i 为其最大值。在与此导线相距为d 远处

有一边长为a 和b 的矩形线圈。求：

⑴在任意时刻穿过线圈的磁通量；

⑵在任意时刻线圈中的感应电动势。（线圈平面与直导线共面)。 解：⑴导线通有交变电流，在周围空间 产生交变磁场，在距导线为r 处磁感应

强度为

t r

i r i B ωπμπμsin 22000== 取顺时针方向为回路绕向，在距导线为r 处

的矩形线圈内取面积元bdr ，通过该面积元

的磁通量为

bdr t r

i BdS S d B d ?==?=Φωπμsin 200 在t 时刻通过线圈的磁通量为

??+=Φ=Φa

d d bdr r

t i d πωμ2sin 00 ?++==a d d d a d t bi r dr t bi ln 2sin 2sin 0000πωμπ

ωμ ⑵由=Φ-dt

d 线圈中的感应电动势 -=Φ-=)(t dt

d t d a d bi ωπωμcos ln 200+ 10-2 如图所示，法拉第圆盘发电机

是一个在磁场中转动的导体圆盘，若圆盘

半径为R ，它的转轴与均匀外磁场的磁感应

强度B 平行，圆盘的转动角速度为ω。求：

⑴盘的边与盘心之间的电势差?=U

⑵当T B m R 60,15.0==，转速为?,6001=?=-U s rad πω

⑶盘边与盘心哪处电势高？若将盘反转，电势高低可否反过来？

解：⑴在连接盘心与盘边的任一半径R 上取一线元dr 与圆心O 距离为r ，该线元切割磁力线所产生的动生电动势大小为

d i dr Br Bvdr ω==

则盘心与盘边之间的电势差 =U i ?=d i ?=R

rdr B 0ω =22

1R B ω ⑵若 1300,60,15.0-?===s r n T B m R

V nR B R B U 7.127122

12122=?==πω ⑶根据右手定则，动生电动势的方向指向盘边，盘边电势高，若将盘反转，则盘心电势高。

10-3 如图所示，质量为M 、长度约为l 的金属棒AB 由静止开始沿倾斜的绝缘框架下滑，设磁场B 竖直向上，求棒内的

动生电动势与时间的函数关系，不计棒与

框架的摩擦。

如果棒AB （金属）是沿光滑的金属斜

框架下滑，结果有何不同？提示：（回路

ABCD 中将产生感应电流，并设回路电阻R 为常量考虑）

。 解：⑴金属棒所受重力加速度沿斜面方向的分量为

g //=θsin g

棒的速度 t g v θsin =

磁场沿垂直于棒运动方向（垂直于斜面）的分量为

θcos B B =⊥

故棒的动生电动势 i lv B ⊥=

=t l B θθsin cos g

θ2sin 2

1t Bl g = ⑵若框架为光滑金属，电阻恒为R ，当棒以速度v 沿斜面下滑时，回路感生电动势

i θcos Blv lv B ==⊥

感生电流

金属棒受安培力沿斜面的分量

L R

lv B B Il B f θθcos cos ==⊥ 由牛顿定律 Il B mg F ⊥-=θsin

dt

dv v MR l B g dt dv M v l R B B mg =-=-=θθθθθ2222cos sin cos cos sin 分离变量 MR

vl B g dv dt θθ222cos sin -= 由初始条件0,0==v t 。两边积分 ??---

=t v v MR l B g d MR vl B g l B MR dt 00222222222)cos sin (cos sin )cos (θθθθθ v

v MR l B g l B MR t 0

222222)cos sin ln()cos (θθθ--= ????????????-=-θθθθsin cos sin ln cos 222222g v MR l B g t MR l B v MR

g l B e t MR l B θθθsin cos 1222cos 222-=- )1()cos (sin 222cos 2t MR l B e Bl MR g v θθθ--=

10-4 如图所示，有一圆筒，半径为R ，其中有方向与轴平行的磁场B ，以1210--?s T 的速率减少着。C B A 、、三点

离轴线的距离均为cm r 0.5=。问电子在

各点处可获得多大的加速度？其方向如何？

如果电子处于轴线上其加速度的大小又如

何？

解：圆筒中变化的磁场产生涡旋电场。在筒内距轴线0.5=r cm 处取一闭合圆形回路，沿回路电场强度的积分

?Φ-=L dt

d Edl 由于对称性 ?-=L dt

BS d dl E )( S dt dB r E -=?π2

dt

dB r dt dB r r E 222-=-=ππ 14105.2--??=C N

各点E 的方向沿顺时针的切线方向

A 、

B 、

C 处电子获加速度 27104.4-??===

s m m eE m F a A 点a 方向向左，B 点a 向右，C 点a 向上。 若电子处于轴线上，由于轴线处涡旋电场强度为零，则该点电子受电场力为零，加速度为零。

10-5 如图所示，设有一金属丝绕成螺绕环，没有铁心。其匝数密度为15000-=m n ，截面积23102m S -?=。金属丝的两端和电源及可变电阻器R 联成闭合回路。若在环上再绕一线圈A ，匝

数为5，电阻Ω=0.2R ，两端与电流计G

接成一个闭合回路。当调节可变电阻使通

过螺绕环的电流强度I 每秒降低A 20。求：

⑴A 线圈中产生的感应电动势和感应电流？

⑵两秒钟内通过线圈A的感应电量？

解：⑴通过线圈A的磁通量与大螺绕环内的磁通量相同。大螺绕环内磁感应强度

nI

B

μ

=

线圈A的磁通链数

NnIS

NBS

N

μ

=

=

Φ

线圈A中的感应电动势

i V

dt

dI

NnS

dt

N

d

3

10

257

.1

)

(

-

?

=

-

=

Φ

-

=μ

感应电流

⑵经过两秒，40

,2-

→

+

→I

I

t

t。线圈A的感应电量

=??-

-

=

Φ

-2

1

40

φ

φ

μ

I

I

nSdI

R

N

d

R

N

C

R

NnS

3

010

257

.1

)

40

(-

?

=

-

-

=

μ

10-6 如图所示，两个同轴的圆周导线，两导线平面间相距为x，并知x＞＞R，当R圆周导线内有恒定电流I流动时，r圆周导线因r较小，在2rπ内磁感

应强度可以认为是均匀的。若x以

dt

dx

v=变化。

⑴求：穿过小圆周线的磁通量

m

Φ与x的关系？

⑵当nR

x=时刻（n为正数r)回路产生感应电

动势的大小？

⑶若v＞0，确定r回路感应电流的方向？

解：⑴R圆周导线在通有电流I时，小圆周导线所在x处的磁感应强度

2

3

2

2

2

)

(2x

R

I

R

B

+

=

μ

穿过小圆周线的磁通量