利用导数解参数范围的八种策略讲解

导数解参数问题的八种策略

策略一：分离变量法

所谓分离变量法，是通过将两个变量构成的不等式(方程)变形到不等号(等号)两端，使两端变量各自相同,解决有关不等式恒成立、不等式存在（有）解和方程有解中参数取值范围的一种方法.两个变量，其中一个范围已知，另一个范围未知.

解决问题的关键: 分离变量之后将问题转化为求函数的最值或值域的问题.分离变量后，对于不同问题我们有不同的理论依据可以遵循.以下结论均为已知x的范围，求a的范围：

结论一、不等式()()fxga恒成立min()()fxga（求解()fx的最小值）；不等式()()fxga恒成立max()()fxga（求解()fx的最大值）.

结论二、不等式()()fxga存在解max()()fxga（求解()fx的最大值）；不等式()()fxga存在解min()()fxga（即求解()fx的最小值）.

案例1、（2009福建卷）若曲线3()lnfxaxx存在垂直于y轴的切线，则实数a取值范围是_____________.

分析：)0(12)(xxaxxf

依题意方程120axx在0,内有解，即)0,()0(212axxa

案例2、（2008湖北卷）若21()ln(2)2fxxbx在(-1,+)上是减函数，则b的取值范围是（）

A. [1,) B. (1,) C. (,1] D. (,1)

分析：由题意可知02)(xbxxf，在(1,)x上恒成立，

即1)1()2(2xxxb在(1,)x上恒成立，由于1x，所以1b，

案例3、（2008广东卷）设aR，若函数3axyex，xR有大于零的极值点，则（）

A．3a B．3a C．13a D．13a

分析：'()3axfxae，若函数在xR上有大于零的极值点，即'()30axfxae有正根。当有'()30axfxae成立时,显然有0a,此时13ln()xaa，

由0x得3a.

案例4、（2008江苏卷）设函数3()31()fxaxxxR，若对于任意的1,1x都有0)(xf成立，则实数a的值为

解：当0x，则不论a取何值，0fx显然成立；

当10x时，3()310fxaxx可化为，2331axx

令2331gxxx，则'4312xgxx，

所以gx 在区间10,2上单调递增，在区间1,12上单调递减，

因此max142gxg，从而4a；

当01x时，3()310fxaxx可化为2331axx，'4312xgxx0

gx 在区间1,0上单调递增，因此ma14ngxg，从而4a，

综上4a

分离变量法是近几年高考考查和应用最多的一种。解决问题时需要注意：（1）确定问题是恒成立、存在、方程有解中的哪一类；（2）确定是求最大值、最小值还是值域. 高三复习过程中,很多题目都需要用到分离变量的思想,除了基础题目可以使用分离变量,很多压轴题也开可以用这种方法去求解。

案例5、（2005湖北卷）已知向量a=(2x,1x)，a=(x1,t)，若baxf•)(在区间(-1,1)上是增函数，求t的取值范围.

解析：由向量的数量积定义，)(xf=2x(x1)+(1x)t=3x+2x+tx+t

∴)(xf=23x+x2+t.

若)(xf在区间(-1,1)上是增函数，则有)(xf≥0

t≥23x-x2在 (-1,1)上恒成立.

若令)(xg=23x-x2=-3(31x)2-31

在区间[-1,1]上，max)(xg=)1(g=5，故在区间(-1,1)上使t≥)(xg恒成立，

只需t≥)1(g即可，即t≥5.

即t的取值范围是[5，∞）.

利用导数与函数单调性的关系求解参数问题的题型，是高考命题的一种趋势，它充分体

现了高考 “能力立意”的思想。对此，复习中不能忽视。

案例6、已知函数lg2afxxx，若对任意2,x恒有0fx，试确定a的取值范围。

解：根据题意得：21axx在2,x上恒成立，

即：23axx在2,x上恒成立，

设23fxxx，则23924fxx

当2x时，max2fx 所以2a

案例7、已知,1x时，不等式21240xxaa恒成立，求a的取值范围。

解：令2xt，,1x 0,2t 所以原不等式可化为：221taat，

要使上式在0,2t上恒成立，只须求出21tftt在0,2t上的最小值即可。

22211111124tfttttt 11,2t

min324ftf 234aa 1322a

策略二：主次元变换法

案例1、.（2009北京卷）设函数()(0)kxfxxek（Ⅰ）求曲线()yfx在点(0,(0))f处的切线方程；（Ⅱ）求函数()fx的单调区间；（Ⅲ）若函数()fx在区间(1,1)内单调递增，求k的取值范围.

分析：本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．（Ⅰ）（Ⅱ）题略，对于题（Ⅲ），若借助（Ⅱ）的结论入手，须分1111kk或两种情况求解，学生不一定能考虑得很全面；通过思考，不妨变换一下主次元，转化为一次函数的问题求解。

（Ⅲ）解：由题意上恒成立在)1,1(0)1()(xekxxfkx

即上恒成立在)1,1(01xkx

∴110110)1(1kkkk

又0k

∴k的取值范围是1,00,1.

本题通过变换主元的思想，巧妙地应用函数的单调性，避免了对k的讨论，简化了问题的求解。

案例2、若不等式2211xmx对满足2m的所有m都成立，求x的取值范围。

解：设2121fmmxx，对满足2m的m，0fm恒成立，

2221210202021210xxffxx 解得：171322x

策略三、极值法

有些函数问题，若能适时地借助函数的图象，巧妙地利用函数的极值来求解，可使问题豁然开朗。

案例1.（07全国卷二）已知函数3()fxxx．

（1）求曲线()yfx在点(())Mtft，处的切线方程；（2）设0a，如果过点()ab，可作曲线()yfx的三条切线，证明：()abfa

解：（1）略23(31)2ytxt．

（2）如果有一条切线过点()ab，，则存在t，使23(31)2btat．

若过点()ab，可作曲线()yfx的三条切线，则方程32230tatab有三个相异的实数根．记32()23gttatab，则2()66gttat6()tta．

当t变化时，()()gtgt，变化情况如下表：

t (0)， 0 (0)a， a ()a，

()gt  0  0 

()gt 增函数极大值ab 减函数极小值()bfa 增函数

如果过()ab，可作曲线()yfx三条切线，

即32()23gttatab=0有三个相异的实数根，

则有0()0.abbfa，即 ()abfa．

本题的求解，充分利用函数的极值，把原本复杂的问题转化为极值的正负问题，使问题变得更加直观、充分体现了导数的优越性

案例2、（2009陕西卷）已知函数3()31,0fxxaxa 求()fx的单调区间；

若()fx在1x处取得极值，直线y=m与()yfx的图象有三个不同的交点，求m的取值范围。

解析：（1）略

（2）因为()fx在1x处取得极大值，

所以'2(1)3(1)30,1.faa

所以3'2()31,()33,fxxxfxx

由'()0fx解得121,1xx。

由（1）中()fx的单调性可知，()fx在1x处取得极大值(1)1f，

在1x处取得极小值(1)3f。

因为直线ym与函数()yfx的图象有三个不同的交点，

由()fx的单调性可知，)1,3(m

案例3.（2008四川卷）．已知x=3函数f(x)=a ln(1+x)+x2-10x的一个极值点。

（Ⅰ）求a；（Ⅱ）求函数f(x)的单调区间；（Ⅲ）若直线y=b与函数y=f(x)的图象有3个交点，求b的取值范围。

分析：（Ⅰ）（Ⅱ）略

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，fx在1,1内单调增加，在1,3内单调减少，在3,上单调增加，且当1x或3x时，'0fx

所以fx的极大值为116ln29f，极小值为332ln221f

因此21616101616ln291ff

213211213fef

所以在fx的三个单调区间1,1,1,3,3,直线yb有yfx的图象各有一个交点，当且仅当31fbf

因此，b的取值范围为32ln221,16ln29。

充分利用函数的极值和数形结合的思想，把问题转化为极值问题，进一步分体现了导数在解题中的作用。

策略四、零点法

案例1、（2009浙江文）已知函数32()(1)(2)fxxaxaaxb (,)abR．

（I）若函数()fx的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3，求,ab的值；

（II）若函数()fx在区间(1,1)上不单调．．．，求a的取值范围．

解析：（Ⅰ）略

（Ⅱ）)2()1(23)(2aaxaxxf

函数)(xf在区间)1,1(不单调，等价于

导函数)(xf在)1,1(既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数

即函数)(xf在)1,1(上存在零点，根据零点存在定理，有

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导数题型总结(12种题型)

导数题型总结

1.导数的几何意义

2.导数四则运算构造新函数

3.利用导数研究函数单调性

4.利用导数研究函数极值和最值

5.知零点个数求参数范围含参数讨论零点个数

6.函数极值点偏移问题

7.导函数零点不可求问题

8.双变量的处理策略

9.不等式恒成立求参数范围

10.不等式证明策略

11.双量词的处理策略

12.绝对值与导数结合问题

导数专题一导数几何意义

一.知识点睛

导数的几何意义：函数y=f（x）在点x=x0 处的导数f’（x0）的几何意义是曲线在点x=x0 处切线的斜率。

二.方法点拨：

1.求切线

①若点是切点：(1)切点横坐标x0 代入曲线方程求出 y0 (2)求出导数f′(x)，把x0代入导数求得函数y＝f(x)在点x=x0处的导数f′(x0)(3)根据直线点斜式方程，得切线方程：y－y0＝f′(x0)(x－x0)．

②点（x0，y0）不是切点求切线：（1）设曲线上的切点为(x1，y1)； (2)根据切点写出切线方程y－y1＝f′(x1)(x－x1) (3)利用点（x0，y0）在切线上求出（x1，y1）； (4)把（x1，y1）代入切线方程求得切线。

2.求参数，需要根据切线斜率，切线方程，切点的关系列方程：①切线斜率k=f′(x0) ②切点在曲线上③切点在切线上

三．常考题型：(1)求切线(2)求切点(3)求参数⑷求曲线上的点到直线的最大距离或最小距离(5)利用切线放缩法证不等式

四．跟踪练习

1.（2016全国卷Ⅲ）已知f(x)为偶函数，当x＜0时，f(x)=f（-x）+3x，则曲线y=f（x）在点（1，-3）处的切线方程是

2.（2014新课标全国Ⅱ）设曲线y=ax-ln（x+1）在点（0,0）处的切线方程为y=2x，则a=

导函数隐零点问题的8种解决策略教师版

1 隐零点问题的8种解决策略

我们知道导函数的零点在很多时候是无法直接求解出来的，我们称之为“隐零点”（即能确定其存在，但又无法用显性的代数式进行表达），基本解决思路是：形式上虚设，运算上代换，数值上估算，策略上等价转化，方法上参变分离，技巧上反客为主

一、直接观察

如果导函数存在零点，但令导函数为零后，出现超越方程，直接求解比较困难，此时可先用特殊值试探出方程的一个根，再通过二次求导研究其单调性，并证明其是唯一的。一般的，当导数式含有xln时，可试根1，e或e1等，当导数式含有xe时可试根0或1

例1.（2013北京卷）求证：1lnxxx

证法1：令xxxxgln1)(，则22'ln1)(xxxxg，令xxxhln1)(2，

则012)('xxxh，所以)(xh在),0(单调递增，又0)1(h，故当10x时，0)(xh0)('xg，)(xg递减，当1x时，0)(xh0)('xg，)(xg递增，

所以0)1()(gxg，即1ln0ln1xxxxxx

证法2：（对数单身狗）即证xxx2ln，令xxxxfln)(2，则

)0()1)(12(112)('xxxxxxxf，所以当)1,0(x时，0)('xf，)(xf递减

当),1(x时，0)('xf，)(xf递增，所以0)1()(fxf，即0ln2xxx

所以1lnxxx

例2.已知0ln)1(axx恒成立，求a的取值范围

解：由题意xxaln)1(恒成立，令xxxfln)1()(，则xxxxxf1ln)('

观察知0)1('f，当10x时，0)('xf，1x时，0)('xf

所以)(xf在)1,0(内单调减，在),1(单调增，所以0)1()(minfxf，0a

二、虚设零点

当导函数存在零点，但零点式子非常繁琐或无法求解时，可考虑虚设零点0x，再对 2 0)(0'xf进行合理的变形与代换，将超越式化为普通式，从而达到化简)(0xf的目的

用导数处理不等式问题的策略

警数突　幕等　ｌｌ　一　趣　氛　◇江苏　单志民（特级教师）　李世桂　函数、不等式和方程三者之间是相互联系的，通　过化归与等价转化，往往可使复杂问题简单化，比如　不等式问题可以转化为函数问题来解决，如果这个函　数比较复杂，我们常常会用到导数，下面谈谈用导数　处理不等式问题的常用策略．　１分步多次求导　，　一ｃ　例１　证明：Ｉｎ　（１＋　）≤　广（　＞一１）．　１　ｌ　ｌ』　分析本题中函数由于出现二次的对数形式，所　以一次求导后，仍然有对数和多项式函数类型，所以　一次求导还不能够确定导数值的正、负，也不能求解　导数值为零的方程，这时一般还需要再次求导确定导　数值的正负．　一２　证明　令厂（　）一Ｉｎ　（１＋　）一若　，则函数＿，’（　）　的定义域是（一１，＋　），＿厂　（　）＝　。＋２ｘ　２（１＋　）ｌｎ（１＋　）一　一２ｘ　导数，这在处理比较复杂的问题中是常用的手段．　２变形转化再求导　已知２÷＞　“对任意　Ｅ２　Ｅ（０，１）成立，求实　例　已知２｛＞　“对任意　（，）成立，求实　数ｎ的取值范围．　分析　如果按常规方法，即令＿厂（　）一２寺一ｒ，显　然求导以后函数类型还是不一样，也同样分离不出“，　问题就不能解决，所以我们要先通过变形，求导后是　同种函数，或者不影响解决问题的形式．于是我们想　到两边同时取对数，就可以把指数和幂函数分别变为　、Ｉｎ　，这样就可以处理了．　解　因为２｛＞　＞０，所以　ｌｎ　２＞ａｌｎ　，　Ｅ　（ｏ＇１），所以　＞　，　Ｅ（ｏ，１）．　令　）一　，ｚ∈（　ｆ（　）＝一　，　即函数厂（　）在ｘＥ（０，　ｅ）上单调递增，．ｒ∈（÷，１）上　单调递减．所以／　（　）≤、，’（÷）一一ｅ，故ａ＞…ｅｌｎ　２．　３分开分别求导　例３求证：．Ｉ－一Ｉｎ　＞　』＋　，丁Ｅ（０，ｅ］，例　求证：　一　＞　＋寺，丁　（，ｅ］，其　２１ｎ（Ｉ＋　）　中ｅ是自然常数．　１＋　分析　如果按常规方法，令ｆ（　）一　—Ｉｎ工一　（１＋　）。　（１＋．ｒ）　’　设ｇ（ｘ）一２（１＋　）Ｉｎ（１＋　）一ｌＴ　一２ｘ，求导得　ｇ　（．ｒ）一２１ｎ（１＋　）一２ｘ，令ｈ（　）一２Ｉｎ（１＋　）一２ｘ，　则ｈ　（、ｒ）一＿＿＿｝一２一　墨．　当一１＜　≤０时，ｈ　（　）≥０，ｈ（Ｊ・）在（一１，０］上为　增函数．当　≥０时，ｈ　（　）≤０，ｈ（　）在［Ｏ，＋ＣＸＤ）上为　减函数，所以ｈ（　）在３２—０处取得极大值，也是最大　值，而ｈ（０）一０，所以当　＞一ｌ时，ｈ（　）≤ｈ（０）一０，　ｌｌｇ　（　）≤０，函数ｇ（　）在（一ｌ，＋。。）上为减函数．　于是当一１＜　＜０时，ｇ（　）＞ｇ（０）一０，当ｚ＞０　时，ｇ（　）＜ｇ（０）一０，所以，当一１＜ｚ＜０时，ｆ　（ｚ）＞　０，－，’（ｚ）在（一１，Ｏ）上为增函数；当ｘ＞Ｏ时，ｆ　（ｚ）＜Ｏ，　厂（　）在（Ｏ，＋ｏｏ）上为减函数，故函数　（　）的单调递　增区间为（一１，０），单调递减区间为（０，＋。。），所以　／　（　）一　（０）一０，厂（　）≤ｏ，故Ｉｎ。（１＋　）≤若　．　妄　萼盖　募　塞　数２４　１，发现求导后，厂（　）一　二　，其导　数值的正负不能确定，也无法求出其导数值的零点，　也就说，我们把原来的式子变得复杂了，作为证明，我　们能否分别求出不等式两边的大小呢？如果能求出　左边的最小值大于右边的最大值，也能解决这个　问题．　证明令，（ｚ）一　一Ｉｎ　，ｇ（　）一　＋告，　厂　（　）一　，显然在（０，１）上，函数厂（．ｚ）单调递减，　在（１，ｅ）上，函数厂（　）单调递增，所以厂（ｚ）≥厂（１）一　１，ｇ　（　）：　在（ｏ，ｅ］单调递增，所以ｇ（　）≤　ｇ（ｅ）一÷＋丢＜１，所以ｚ—ｌｎ　＞　＋吉，　∈（ｏ，　ｅ］成立．　４几种方法综合应用　例４　求证：对一切ｚ　Ｅ（ｏ，＋。ｃ）），都有Ｘ３—　２ｅ．ｒ　＋（ｅ　＋１），ｒ＞１１＂１．２－戍守．　

【导数经典技巧与方法】第17讲导数中的整数解问题-解析版

第 1 页共 11 页第17讲导数中的整数解问题

知识与方法

导数中整数解问题是一般含参问题的特殊化，可延用一般策略，但更常用半分离技术解决。通常情况下可利用半分离方法将问题转化为直线与曲线的位置关系，而直线过定点，只需将直线旋转即可得到临界位置，进而列出不等式（组）求出参数的取值范围。

整数解的问题，关键是找出相应的整数解，再求出参数的取值范围．

典型例题

【例1】设函数xxaxxfln1)1(21)(2，其中0a.若存在唯一的正整数0x使得0)(0xf，则a的取值范围是（ )

]22ln1,21(.)2ln2,0(.]1,0(.)1,0.(DCBA

【答案】D

【解析】因为xxaxxfln1)1(21)(2，xxaxxf1)1()('2，故eaeeef121)1(2.因为0a，所以0)1(ef．若10a，则04)1(2a，故01)1(2xax恒成立且不恒为零，所以0)('xf恒成立且不恒为零，故)(xf在),0(上为增函数。又因为存在唯一的正整数0x使得0)(0xf，故0)2(0)1(ff，解得]22ln1,21(a．

若1a，则021)1(af，012ln22ln1)2(af，与题设矛盾，故舍去1a．

故选：D．

【点睛】本题根据函数解析式可得0)1(ef，求出)('xf后就10a，1a分别讨论，30

第 2 页共 11 页前者可得)(xf为),0(上的增函数，结合0)1(ef，可判断出0)2(0)1(ff，从而得到a的取值范围。

【例2】已知函数)0()1(ln)(aaxaxxf.若有且只有两个整数21,xx使得0)(,0)(21xfxf，则a的取值范围是（ )

)23ln3,342ln2[.)2ln2,23ln3[.)2ln2,0(.)23ln3,0.(DCBA

导数的概念及其意义与运算【八大题型】(讲义)(新高考专用)(解析版)2025年高考数学二轮复习专练

专题3.1导数的概念及其意义与运算【八大题型】【新高考专用】

1、导数的概念及其意义与运算

导数是高考数学的必考内容，导数的概念及其意义、导数的运算是高考常考的热点内容，从近几年的

高考情况来看，一般以选择题、填空题的形式考察导数的几何意义、求曲线的切线方程，试题难度属中低档；导数的几何意义也可能会作为解答题中的一问进行考查，复习时要加强这方面的训练.

【知识点1导数的运算的方法技巧】

1．导数的运算的方法技巧

(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.

(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.

(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.

2．求复合函数导数的步骤

第一步：分层：选择中间变量，写出构成它的内、外层函数；

第二步：分别求导：分别求各层函数对相应变量的导数；

第三步：相乘：把上述求导的结果相乘；

第四步：变量回代：把中间变量代回.

【知识点2切线问题的解题策略】

1．求曲线“在”某点的切线方程的解题策略：

(1)求出函数y=f(x)在x=x

0处的导数，即曲线y=f(x)在点(x

0,f(x

0))处切线的斜率；

(2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y=y

0+f'(x

0)(x-x

0).

2．求曲线“过”某点的切线方程的解题通法：

(1)设出切点坐标T(x

0,f(x

0))(不出现y

0)；

(2)利用切点坐标写出切线方程：y=f(x

0)+f'(x

0)(x-x

0)；

(3)将已知条件代入②中的切线方程求解.

3．与切线有关的参数问题的解题策略：

(1)处理与切线有关的参数问题，通常利用曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程(组)并解出参数：

①切点处的导数是切线的斜率；

②切点在切线上，故满足切线方程；

③切点在曲线上，故满足曲线方程.

(2)利用导数的几何意义求参数问题时，注意利用数形结合，化归与转化的思想方法.

4．公切线问题的解题思路

求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰，一般

导数专题：利用导数研究函数零点的4种常见考法(原卷版)

导数专题：利用导数研究函数零点的4种常见考法

一、函数零点问题常规求解步骤：

第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图象与x轴（或y=k）

在某区间上的交点问题；

第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而

画出其图象；

第三步：结合图象判断零点或根据零点分析参数。

二、利用导数确定函数零点的常用方法

1、图象法：根据题目要求画出函数的图象，标明函数极（最）值的位置，借助

数形结合的思想分析问题（画草图时注意有时候需要使用极限）；

2、利用函数零点存在定理：先用该定理判定函数在某区间上有零点，然后利用

导数研究函数的单调性、极值（最值）及区间端点值的符号，进而判断函数在该

区间上零点的个数。

三、利用函数的零点求参数范围的方法

1、分离参数（a=g(x)）后，将原问题转化为y=g(x)的值域（最值）问题或转化

为直线y=a与y=g(x)的图象的交点个数问题（优先分离、次选分类）求解；

2、利用函数零点存在定理构造不等式求解；

3、转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解。

四、导函数的零点不可直接求时的应对策略

1、“特值试探法”：当导函数的零点不可求时，可尝试利用特殊值试探，此时特

殊值的选取应遵循一下原则：

①当含有lnx的函数中，通常选取kxe，特别的，选当0k时，1x来试探；

②在含有xe的函数中，通常选取lnxk，特别的，选取当1k时，0x来试探，

在探得导函数的一个零点后，结合导函数的单调性，确定导函数在零点左右的符

号，进而确定原函数的单调性和极值，使问题得到解决。

2、“虚设和代换法”：当导函数()fx的零点无法求出显性的表达式时，我们可以

先证明零点的存在，再虚设为

0x，接下来通常有两个方向：

①由

0()0fx得到一个关于

0x的方程，再将这个关于

0x的方程的整体或局部代

入

0()fx，从而求得

0()fx，然后解决相关的问题；

②根据导函数()fx的单调性，得出

2025届高考数学一轮复习教案：导数-导数的函数零点问题

第2课时导数的函数零点问题

【命题分析】函数零点问题在高考中占有很重要的地位,主要涉及判断函数零点

的个数或范围.高考常考查基本初等函数、三次函数与复合函数的零点问题,以及

函数零点与其他知识的交汇问题,一般作为解答题的压轴题出现.【核心考点·分类突破】

题型一利用导数探究函数的零点个数[例1]设函数f(x)=lnx+,m∈R,讨论函数g(x)=f'(x)-3零点的个数.

【解析】由题意知g(x)=f'(x)-3=1-2-3(x>0),令g(x)=0,得m=-13x3+x(x>0).设φ(x)=-13x3+x(x>0),

则φ'(x)=-x2+1=-(x-1)(x+1).当x∈(0,1)时,φ'(x)>0,φ(x)在(0,1)上单调递增;

当x∈(1,+∞)时,φ'(x)<0,φ(x)在(1,+∞)上单调递减.

所以x=1是φ(x)的唯一极值点,且是极大值点,

所以x=1也是φ(x)的最大值点,所以φ(x)的最大值为φ(1)=23.

结合y=φ(x)的图象(如图)可知,

①当m>23时,函数g(x)无零点;

②当m=23时,函数g(x)有且只有一个零点;

③当0

④当m≤0时,函数g(x)有且只有一个零点.综上所述,当m>23时,函数g(x)无零点;

当m=23或m≤0时,函数g(x)有且只有一个零点;

当0

【解题技法】

利用导数确定函数零点或方程的根的个数的方法

(1)构造函数:构建函数g(x)(要求g'(x)易求,g'(x)=0可解),转化为确定g(x)的零点个数问题求解,利用导数研究该函数的单调性、极值,并确定定义区间端点值的符号

(或变化趋势)等,画出g(x)的图象草图,数形结合求解函数零点的个数.

(2)应用定理:利用零点存在定理,先用该定理判断函数在某区间上有零点,然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值的符号,进而判断函数在该区

间上零点的个数.

【对点训练】

(2023·郑州质检)已知函数f(x)=ex-ax+2a,a∈R.

利用导数求参数的取值范围

在微积分中，导数是用来描述一个函数在其中一点上的变化率的工具。通过求导，我们可以研究函数的增减性、最值、拐点等性质。而利用导数求参数的取值范围，我们主要关注函数的单调性和极值点，对于包含参数的函数，我们可以利用导数来研究参数的取值范围。

设函数$f(x)$为包含参数$a$的函数，我们的目标是求出参数$a$的取值范围，使得函数$f(x)$满足其中一特定条件。下面将分别讨论求函数单调性和极值点的情况。

一、函数的单调性：

1.1单调递增：

要求函数$f(x)$在其中一区间上单调递增，即对于区间上的任意两个点$x_1$和$x_2$，若$x_1

若函数$f(x)$在区间上是连续的并且可导的，其导函数$f'(x)$在该区间上恒大于零，则函数$f(x)$在该区间上是单调递增的。因此，我们可以利用导数来求解参数$a$的取值范围，使得函数$f(x)$在其中一区间上单调递增。

具体步骤如下：

1)求出函数$f(x)$的导函数$f'(x)$。

2)解方程$f'(x)>0$，求出与参数$a$有关的不等式。

3)解不等式，得到参数$a$的取值范围。

1.2单调递减：要求函数$f(x)$在其中一区间上单调递减，即对于区间上的任意两个点$x_1$和$x_2$，若$x_1f(x_2)$。

若函数$f(x)$在区间上是连续的并且可导的，其导函数$f'(x)$在该区间上恒小于零，则函数$f(x)$在该区间上是单调递减的。因此，我们可以利用导数来求解参数$a$的取值范围，使得函数$f(x)$在其中一区间上单调递减。

具体步骤如下：

1)求出函数$f(x)$的导函数$f'(x)$。

2)解方程$f'(x)<0$，求出与参数$a$有关的不等式。

3)解不等式，得到参数$a$的取值范围。

二、函数的极值点：

要求函数$f(x)$在其中一区间上存在极值点，即在该区间上存在其中一点$x_0$，使得$f'(x_0)=0$。

函数与导数问题中求参数范围的策略

东莞市第六高级中学安娜

【摘要】函数与导数是高考考查的中点内容，一般在压轴题的位置，含有参数的导数问题

一直是高考热点，本文是针对如何求解函数问题中参数的范围进行探讨.

【关键词】导数；参数；范围

1求参数范围的三个策略

1.1分离参数

分离参数即把含参数的方程或不等式中的参数分离出来，如果我们将含参数的方程经过变形，

将参数分离出来，使方程的一端化为只含参数的解析式，而另一端化为与参数方程无关的主变元函

数.此方法的好处是把参数分离出来之后，不等式的另一边便可以看成一个确定的函数，再求新函数

的最值，问题会变得简洁.但分离参数时条件限制的，例如)()(xgxfa，由于不等式的性质，

需要明确)(xf的正负，才能把参数a分离出来.

例1设.3)(,ln)(23

xxxgxx

xf如果对任意的s，]2,

[t，都有)()(tgsf成

立，求实数a的取值范围.

分析：对任意s，]2,

[t，都有)()(tgsf成立

↓（理解“任意”含义，其中s与t取不同的值）

maxmin)()(xgxf

↓求得1)(

maxxg

1lnxx

恒成立

↓分离参数a

xxxaln2

恒成立

↓求xxxxhln)(2

的最大值

max)(xha

解题过程：

对任意的s，]2,

[t，都有)()(tgsf成立等价于在区间









上，函数

maxmin)()(xgxf

因为3)(23

tttg

所以)23(23)('2

tttttg

令0,0)('ttg或

t令2

,0)('ttg令

,0)('ttg

所以)(tg在







21上单调递减，在









上单调递增所以

825

)

(g，1438)2(g

所以1)()(

maxmaxtgxg所以，在区间









21上，1ln)(xx

xf恒成立等价于xx

利用导数求参数的取值范围方法归纳

导数是微积分中的重要概念，可以用于求函数的变化率、极值、最值等问题。利用导数求参数的取值范围可以帮助我们找到函数的关键点、拐点以及定义域的范围等信息。下面是一些常见的方法归纳。

求函数在处的导数：

1.首先，计算函数的导数表达式。

2.将参数值代入导数表达式，得到函数在该处的导数。

3.根据导数值的正负来判断函数在该处的增减性。

求函数的关键点：

1.通过导数求出函数的导数表达式。

2.设置函数的导数等于零的方程，并求解得到参数的取值。

3.将参数的取值代入原函数，得到关键点的横坐标。

4.进一步求得关键点的纵坐标，得到函数的关键点。

求函数的拐点：

1.首先，求出函数的二阶导数表达式。

2.解出二阶导数等于零的方程，得到参数的取值。

3.将参数的取值代入原函数，求出拐点的横坐标。

4.进一步求得拐点的纵坐标，得到函数的拐点。

求函数的定义域范围： 1.首先，确定函数的定义区间，并计算函数在该区间的导数。

2.判断导数的正负情况，以确定函数的单调性。

3.判断函数在定义区间的端点处是否存在极值。若存在，则考虑边界条件。

4.根据以上分析，确定函数在定义区间的取值范围。

举例说明：

1. 求函数 f(x) = ax^2 + bx 的最值：

首先，求出函数的导数 f'(x) = 2ax + b。

令导数等于零，得到 2ax + b = 0，解方程可得 x = -b/(2a)。

将x的值代入原函数，得到最值的纵坐标。

进一步分析函数的单调性和边界条件，得到函数的取值范围。

2. 求函数 g(x) = sin(ax) 的最值：

首先，求出函数的导数 g'(x) = acos(ax)。

判断导数的正负情况，确定函数的单调性。

根据函数的周期性和边界条件，得出函数在定义区间的取值范围。

3. 求函数 h(x) = log(x + a) 的定义域范围：

首先，确定函数的定义区间为x+a>0，即x>-a。

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