利用导数解参数范围的八种策略讲解

导数解参数问题的八种策略
策略一：分离变量法
所谓分离变量法，是通过将两个变量构成的不等式(方程)变形到不等号(等号)两端，使两端变量各自相同,解决有关不等式恒成立、不等式存在（有）解和方程有解中参数取值范围的一种方法.两个变量，其中一个范围已知，另一个范围未知.
解决问题的关键: 分离变量之后将问题转化为求函数的最值或值域的问题.分离变量后，对于不同问题我们有不同的理论依据可以遵循.以下结论均为已知x 的范围，求a 的范围：
结论一、 不等式()()f x g a ≥恒成立⇔[]min ()()f x g a ≥（求解()f x 的最小
值）；不等式()()f x g a ≤恒成立⇔[]max ()()f x g a ≤（求解()f x 的最大值）.
结论二、 不等式()()f x g a ≥存在解⇔[]max ()()f x g a ≥（求解()f x 的最大
值）；不等式()()f x g a ≤存在解⇔[]min ()()f x g a ≤（即求解()f x 的最小值）.
案例1、（2009福建卷）若曲线3()ln f x ax x =+存在垂直于y 轴的切线，则实数a 取值范围是_____________. 分析：)0(12)(>+='x x
ax x f 依题意方程120ax x +=在()0,+∞内有解，即)0,()0(212-∞∈⇒>-=a x x
a 案例2、（2008湖北卷）若21()ln(2)2
f x x b x =-++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值范围是（ ）
A. [1,)-+∞
B. (1,)-+∞
C. (,1]-∞-
D. (,1)-∞- 分析：由题意可知02
)(≤++-='x b x x f ，在(1,)x ∈-+∞上恒成立， 即1)1()2(2-+=+≤x x x b 在(1,)x ∈-+∞上恒成立，由于1x ≠-，所以1b ≤-， 案例3、（2008广东卷）设a ∈R ，若函数3ax y e x =+，x ∈R 有大于零的极值点，则（ ）
A ．3a >-
B ．3a <-
C ．13a >-
D ．13
a <- 分析：'()3ax f x ae =+，若函数在x R ∈上有大于零的极值点，即'()30
ax f x ae =+=有正根。

当有'()30ax f x ae =+=成立时,显然有0a <,此时13ln()x a a
=
-， 由0x >得3a <-.
案例4、（2008江苏卷）设函数3()31()f x ax x x R =-+∈，若对于任意的[]1,1-∈x 都有0)(≥x f 成立，则实数a 的值为
解：当0x =，则不论a 取何值，()0f x ≥显然成立；
当10≤<x 时，3()310f x ax x =-+≥可化为，23
31a x x ≥
- 令()2331g x x x =-，则()()'4312x g x x -=， 所以()g x 在区间10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递减， 因此()max 142g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭
，从而4a ≥； 当01<≤-x 时，3()310f x ax x =-+≥可化为2331a x x
≤-，()()'4312x g x x -=0> ()g x 在区间[)1,0-上单调递增，因此()()ma 14n g x g =-=，从而4a ≤，
综上4a =
分离变量法是近几年高考考查和应用最多的一种。

解决问题时需要注意：（1）确定问题是恒成立、存在、方程有解中的哪一类；（2）确定是求最大值、最小值还是值域. 高三复习过程中,很多题目都需要用到分离变量的思想,除了基础题目可以使用分离变量,很多压轴题也开可以用这种方法去求解。

案例5、（2005湖北卷）已知向量a =(2x ,1+x )，a =(x -1,t )，若b a x f •=)(在区间(-1,1)上是增函数，求t 的取值范围.
解析：由向量的数量积定义，)(x f =2x (x -1)+(1+x )t =3x -+2
x +tx +t
∴)(x f '=23x -+x 2+t .
若)(x f 在区间(-1,1)上是增函数，则有)(x f '≥0 ⇔t ≥23x -x 2在 (-1,1)上恒成立.
若令)(x g =23x -x 2=-3(3
1-x )2-31 在区间[-1,1]上，max
)(x g =)1(-g =5，故在区间(-1,1)上使t ≥)(x g 恒成立， 只需t ≥)1(-g 即可，即t ≥5.
即t 的取值范围是[5，∞）.
利用导数与函数单调性的关系求解参数问题的题型，是高考命题的一种趋势，它充分体
现了高考 “能力立意”的思想。

对此，复习中不能忽视。

案例6、已知函数()lg 2a f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭
，若对任意[)2,x ∈+∞恒有()0f x >，试确定a 的取值范围。

解：根据题意得：21a x x
+->在[)2,x ∈+∞上恒成立， 即：23a x x >-+在[)2,x ∈+∞上恒成立，
设()23f x x x =-+，则()23924f x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝
⎭ 当2x =时，()max 2f x = 所以2a >
案例7、已知(],1x ∈-∞时，不等式()21240x x a a ++-⋅>恒成立，求a 的取值范
围。

解：令2x t =，(],1x ∈-∞ (]0,2t ∴∈ 所以原不等式可化为：221t a a t +-<， 要使上式在(]0,2t ∈上恒成立，只须求出()21t f t t +=
在(]0,2t ∈上的最小值即可。

()22211111124t f t t t t t +⎛⎫⎛⎫==+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 11,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭ ()()min 324f t f ∴== 234a a ∴-< 1322
a ∴-<<
策略二：主次元变换法
案例1、.（2009北京卷）设函数()(0)kx f x xe k =≠（Ⅰ）求曲线()y f x =在点
(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若函数()f x 在区间(1,1)-内单调递增，求k 的取值范围.
分析：本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，
考查综合分析和解决问题的能力．（Ⅰ）（Ⅱ）题略，对于题（Ⅲ），若借
助（Ⅱ）的结论入手，须分1111≥--≤-k
k 或两种情况求解，学生不一定能考虑得很全面；通过思考，不妨变换一下主次元，转化为一次函数的问题求解。

（Ⅲ）解：由题意上恒成立在)1,1(0)1()(-∈≥+='x e kx x f kx
即上恒成立在)1,1(01-∈≥+x kx
∴⎩
⎨⎧-≥≤⇒⎩⎨⎧≥⋅+≥-⋅+110110)1(1k k k k 又0≠k
∴k 的取值范围是[)(]1,00,1-.
本题通过变换主元的思想，巧妙地应用函数的单调性，避免了对k 的讨论，简化了问题的求解。

案例2、若不等式()2211x m x ->-对满足2m ≤的所有m 都成立，求x 的取值范围。

解：设()()()2121f m m x x =---，对满足2m ≤的m ，()0f m <恒成立，
()()()()()()2221210202021210
x x f f x x ⎧----<-<⎧⎪⎪∴∴⎨⎨<---<⎪⎪⎩⎩
解得：1122x -+<<
策略三、极值法
有些函数问题，若能适时地借助函数的图象，巧妙地利用函数的极值来求解，可使问题豁然开朗。

案例1.（07全国卷二）已知函数3()f x x x =-．
（1）求曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程；（2）设0a >，如果过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，证明：()a b f a -<<
解：（1）略23(31)2y t x t =--．
（2）如果有一条切线过点()a b ，，则存在t ，使23(31)2b t a t =--．
若过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，则方程32230t at a b -++=有三个相异的实数根．记32()23g t t at a b =-++，则2()66g t t at '=-6()t t a =-． 当t 变化时，()()g t g t '，变化情况如下表：
如果过()a b ，可作曲线()y f x =三条切线，
即32()23g t t at a b =-++=0有三个相异的实数根，
则有0()0.a b b f a +>⎧⎨-<⎩，即
()a b f a -<<．
本题的求解，充分利用函数的极值，把原本复杂的问题转化为极值的正负问题，使问题变得更加直观、充分体现了导数的优越性
案例2、（2009陕西卷）已知函数3()31,0f x x ax a =--≠ ()I 求()f x 的单调区间； ()II 若()f x 在1x =-处取得极值，直线y=m 与()y f x =的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围。

解析：（1）略
（2）因为()f x 在1x =-处取得极大值，
所以'2(1)3(1)30, 1.f a a -=⨯--=∴=
所以3'2()31,()33,f x x x f x x =--=-
由'()0f x =解得121,1x x =-=。

由（1）中()f x 的单调性可知，()f x 在1x =-处取得极大值(1)1f -=，
在1x =处取得极小值(1)3f =-。

因为直线y m =与函数()y f x =的图象有三个不同的交点，
由()f x 的单调性可知，)1,3(-∈m
案例3.（2008四川卷）．已知x=3函数f(x)=a ln(1+x)+x 2-10x 的一个极值点。

（Ⅰ）求a ；（Ⅱ）求函数f(x)的单调区间；（Ⅲ）若直线y=b 与函数y=f(x)的图象有3个交点，求b 的取值范围。

分析：（Ⅰ） （Ⅱ）略
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，()f x 在()1,1-内单调增加，在()1,3内单调减少，在()3,+∞上单调增加，且当1x =或3x =时，()'0f x =
所以()f x 的极大值为()116ln 29f =-，极小值为()332ln 221f =-
因此()()21616101616ln 291f f =-⨯>-=
()()213211213f e f --<-+=-<
所以在()f x 的三个单调区间()()()1,1,1,3,3,-+∞直线y b =有()y f x =的图象各有一个交点，当且仅当()()31f b f <<
因此，b 的取值范围为()32ln 221,16ln 29--。

充分利用函数的极值和数形结合的思想，把问题转化为极值问题，进一步分体现了导数在解题中的作用。

策略四、零点法
案例1、（2009浙江文）已知函数32()(1)(2)f x x a x a a x b =+--++ (,)a b ∈R ． （I ）若函数()f x 的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3-，求,a b 的值； （II ）若函数()f x 在区间(1,1)-上不单调．．．
，求a 的取值范围． 解析：（Ⅰ）略
（Ⅱ）)2()1(23)(2+--+='a a x a x x f
函数)(x f 在区间)1,1(-不单调，等价于
导函数)(x f '在)1,1(-既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数 即函数)(x f '在)1,1(-上存在零点，根据零点存在定理，有
0)1()1(<'-'f f ， 即：0)]2()1(23)][2()1(23[<+---+--+a a a a a a 整理得：0)1)(1)(5(2<-++a a a ，解得15-<<-a
案例2、(2004新课程卷 )若函数y =31x 3－2
1ax 2+（a －1）x +1在区间
（1，4）内为减函数，在区间（6，+∞）内为增函数，试求实数a 的取值范围. 解：[])1()1()1()(2---=-+-='a x x a ax x x f 令0)(='x f ，解得x=1或x=a-1，并且 a≠2,否则f (x)在整个定义域内单调。

由题意，函数f(x)的图象应有三个单调区间且先增后减再增，而已知f(x)在(1,4)内为减函数，在区间(6,+∞)内为增函数，可知函数f(x)在x=1处取得极大值，在x=a-1处取得极小值。

∴ 4≤a -1≤6 得5≤a≤7 所以a 的取值范围是[5,7]
应用函数的零点问题，解决相关的问题，也能取到意想不到的功效。

策略五、构造新函数法 一定分类讨论？
对于某些不容易分离出参数的恒成立问题，可利用构造函数的方法，再借助新函数的图像、性质等来求解，可以开拓解题思路、化难为易。

案例1、若[]2,2x ∈-时，不等式23x ax a ++≥恒成立，求a 的取值范围。

解：设()23f x x ax a =++-，则问题转化为当[]2,2x ∈-时，()f x 的最小值非负。

（1） 当22a -<-即：4a >时，()()min 2730f x f a =-=-≥ 73
a ∴≤又4a >所以a 不存在；
（2） 当222a -≤≤即：44a -≤≤时，()2min 3024a a f x f a ⎛⎫=-=--≥ ⎪⎝⎭
62a ∴-≤≤ 又44a -≤≤ 42a ∴-≤≤
（3） 当22
a -> 即：4a <-时，()()min 270f x f a ==+≥ 7a ∴≥-又4a <-74a ∴-≤<-
综上所得：72a -≤≤
案例2、（2007全国卷一）设函数()e e x x f x -=-．（Ⅰ）证明：()f x 的导数()2f x '≥； （Ⅱ）若对所有0x ≥都有()f x ax ≥，求a 的取值范围．
解：（Ⅰ）()f x 的导数()e e x x f x -'=+．而22=⋅≥+--x x x x e e e e ，故()2f x '≥． （当且仅当0x =时，等号成立）．
（Ⅱ）法一：令()()g x f x ax =-，
于是不等式f (x )≥ax 成立即为g (x )≥g (0)成立．
则()()e e x x g x f x a a -''=-=+-，
由（Ⅰ）可知a a e e x g x x ->-+='-2)(，
由202≤⇒≥-a a
∴当2≤a 时，()g x 在(0)+，∞上为增函数，
从而有0x ≥时，()(0)g x g ≥，即()f x ax ≥．
案例3、（2006全国卷II ）设函数f (x )＝(x ＋1)ln(x ＋1)，若对所有的x ≥0，都有f (x )≥ax 成立，求实数a 的取值范围．
解：令g (x )＝(x ＋1)ln(x ＋1)－ax （x>-1）
于是不等式f (x )≥ax 成立即为g (x )≥g (0)成立．
对函数g (x )求导数：g ′(x )＝ln(x ＋1)＋1－a
令g ′(x )＝0，解得11-=-a e x
当11->-a e x 时，g ′(x )＞0，g (x )为增函数，
当111-<<--a e x ，g ′(x )＜0，g (x )为减函数，
所以要对所有x ≥0都有g (x )≥g (0)等价条件为e a-1－1≤0．
由此得a ≤1，即a 的取值范围是（－∞，1]．
通过适时构造新的函数，简化了问题，把求参数的范围转化为函数的最值问题，对解题起到了画龙点睛的作用。

策略六、二次函数法
某些函数可转化为二次函数的模型，则可利用二次函数的性质来求解。

案例1.（2008天津卷）已知函数432()2f x x ax x b =+++（x R ∈），其中R b a ∈,． （Ⅰ）当103
a =-时，讨论函数()f x 的单调性； （Ⅱ）若函数()f x 仅在0x =处有极值，求a 的取值范围；
（Ⅲ）若对于任意的[2,2]a ∈-，不等式()1f x ≤在[1,1]-上恒成立，求b 的取值范围．
分析：本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的最大值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．
（Ⅰ）略
（Ⅱ）解：2()(434)f x x x ax '=++，显然0x =不是方程24340x ax ++=的根． 为使()f x 仅在0x =处有极值，必须24403x ax +≥+成立，即有29640a ∆=-≤．
解些不等式，得3
838a -≤≤．这时，(0)f b =是唯一极值． 因此满足条件的a 的取值范围是88[,]33
-． （Ⅲ）解：由条件[2,2]a ∈-，可知29640a ∆=-<，从而24340x ax ++>恒成立． 当0x <时，()0f x '<；当0x >时，()0f x '>．
因此函数()f x 在[1,1]-上的最大值是(1)f 与(1)f -两者中的较大者．
为使对任意的[2,2]a ∈-，不等式()1f x ≤在[1,1]-上恒成立，当且仅当111))1
((f f ≤-≤⎧⎨⎩，
即22b a b a ≤--≤-+⎧⎨⎩
，在[2,2]a ∈-上恒成立． 所以4b ≤-，因此满足条件的b 的取值范围是(,4]-∞-．
案例2、（2004河北卷）已知f(x)=1323+-+x x ax 在R 上是减函数，求实数a 的取值范围.
解： 163)(2-+='x ax x f . ∵f(x)在R 上是减函数，∴0)(≤'x f 恒成立，
∴1632-+x ax ≤0在x ∈R 上恒成立，即a a 12360+=∆<且≤ 0，
因此 a ≤－3.
策略七：利用集合与集合间的关系
在给出的不等式中，若能解出已知取值范围的变量，就可利用集合与集合之间的包含关系来求解，即：[]()(),,m n f a g a ⊂⎡⎤⎣⎦，则()f a m ≤且()g a n ≥，不等式的解即为实数a 的取值范围。

案例1、当1,33x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，log 1a x <恒成立，求实数a 的取值范围。

解：1log 1a x -<<
（1） 当1a >时，1x a a <<，则问题转化为11,3,3a a ⎛⎫⎛⎫⊆ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 3113
a a ≥⎧⎪∴⎨≤⎪⎩ 3a ∴≥ （2） 当01a <<时，1a x a <<，则问题转化为11,3,3a a ⎛⎫⎛⎫⊆ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1313a a
⎧≤⎪⎪∴⎨⎪≥⎪⎩103a ∴<≤ 综上所得：103
a <≤或3a ≥ 策略八：数形结合
数形结合法是先将不等式两端的式子分别看作两个函数，且正确作出两个函数的图象，然后通过观察两图象（特别是交点时）的位置关系，列出关于参数的
不等式。

案例1、若不等式23log 0a x x -<在10,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
内恒成立，求实数a 的取值范围。

解：由题意知：23log a x x <在10,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
内恒成立， 在同一坐标系内，分别作出函数
23y x =和log a y x = 观察两函数图象，当10,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，若1a >函数log a y x =的图象显然
在函数23y x =图象的下方，所以不
成立；
当01a <<时，由图可知，log a y x
=的图象必须过点11,33⎛⎫ ⎪⎝⎭
或在这个点的上方，则，11log 33a ≥ 127a ∴≥ 1127
a ∴>≥ 综上得：1127
a >≥
导数是研究函数的重要工具，借助导数，可以对函数进行更加透彻的研究。

在利用导数求参数的取值范围问题时，分离变量、主次元变换、极值法、构造新函数等都是行之有效的方法。

在教学中要充分穿插、渗透，并及时加以总结、应用和巩固，促进知识的网络化、系统化。