2015届高考数学总复习 第二章 第九节函数的图象及其变换课时精练 理
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第九节 函数的图象及其变换
1.函数y＝2x与y＝－2－x的图象( )
A．关于直线y＝x轴对称
B．关于x轴对称
C．关于y轴对称
D．关于原点对称
答案：D
2．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的
行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是( )
答案：A
3．(2013·潍坊重点中学仿真)函数y＝ x－aax|x－a|(a＞0且a≠1)的图象可以是
( )
解析：当x＞a时，y＝ax，当x＜a时，y＝－ax＜0，排除A、B.y＝ax与y＝－ax关于
x
轴对称，单调性相反，所以选项C正确．
答案：C
4．如果函数f(x)＝ax＋b－1(a＞0，且a≠1)的图象经过第一、二、四象限，不经过第
三象限，那么一定有( )
A．0＜a＜1且b＞0
B．0＜a＜1且0＜b＜1
C．a＞1且b＜0
D．a＞1且b＞0
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解析：由题意知函数单调递减，所以0＜a＜1.又f(x)过第一、二、四象限，不经过第
三象限，所以－1＜b－1＜0，所以0＜b＜1.故选B.
答案：B
5．(2013·淮南模拟)已知f(x)＝ x＋1，x∈[－1，，x2＋1，x∈[0，1].对于下列三个函数图象和
三个函数①y＝f(－x) ②y＝f(x－1)
③y＝f(|x|)
其对应的函数依次是( )
A．①③② B．②③①
C．①②③ D．②①③
解析：作出f(x)的图象后，分别作对称、平移、翻折变换．即可得到答案．
答案：D
6．将函数y＝2x＋1的图象按向量a平移得到函数y＝2x＋1的图象，则( )
A．a＝(－1，－1) B．a＝(1，－1)
C． a＝(1,1) D．a＝(－1,1)
答案：A
7．定义运算a⊕b＝ a，a≤b，b，a>b，则函数f(x)＝1⊕2x 的图象是( )
解析：当x＜0时，2x＜1，f(x)＝2x；当x＞0时，2x＞1，f(x)＝1.故选A.
答案：A
8．(2013·辽宁卷)已知函数f(x)＝x2－2(a＋2)x＋a2， g(x)＝－x2＋2(a－2)x－a2＋
8.设H1(x)＝max{f(x)，g(x)}，H2(x)＝min{f(x)，g(x)} (max{p，q}表示p，q中的较大值，
min{p，q}表示p，q中的较小值)．记H1(x)的最小值为A，H2(x)的最大值为B，则A－B＝( )
A．16 B．－16
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C．a2－2a－16 D．a2＋2a－16
解析：f(x)＝[x－(a＋2)]2－4－4a，g(x)＝－[x－(a－2)]2＋12－4a，在同一坐标系内
作f(x)与g(x)的图象(如图)．
依题意知，函数H1(x)的图象(实线部分)，函数H2(x)的图象(虚线部分)．
∴H1(x)的最小值A＝f(a＋2)＝－4－4a，
H2(x)的最大值B＝g(a－2)＝12－4a
，
因此A－B＝(－4－4a)－(12－4a)＝－16.
答案：B
9．把函数y＝log3(x－1)的图象向右平移12个单位，再把横坐标缩小为原来的12，所得图
象的函数解析式是________________________．
解析：y＝log3(x－1)的图象向右平移12个单位得到y＝log3x－32，再把横坐标缩小为
原来的12，得到y＝log32x－32.故应填y＝log32x－32.
答案：y＝log32x－32
10．使log2(－x)＜x＋1成立的x的取值范围是________________．
解析：
在同一坐标系内作出y＝log2(－x)，y＝x＋1的图象，知满足条件的x∈(－1,0)．
答案：(－1,0)
11．对函数y＝f(x)定义域中任一个x，均有f(x＋a)＝f(a－x)．
(1)求证：y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；
(2)若函数f(x)对一切实数x都有f(x＋2)＝f (2－x)，且方程f(x)＝0恰好有四个不
同实根，求这些实根之和．
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(1)证明：设(x0，y0)是函数y＝f(x)图象上任一点，则y0＝f(x0)，
∵（2a－x0）＋x02＝a，
∴点(x0，y0)与(2a－x0，y0)关于直线x＝a对称．
又f(a＋x)＝f(a－x)，
∴f (2a－x0)＝f[a＋(a－x0)]＝f[a－(a－x0)]＝f(x0)＝y0.
∴点(2a－x0，y0)也在函数的图象上．
∴y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
(2)解析：由f(2＋x)＝f(2－x)，得y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，
若x0是f(x)＝0的根，则4－x0也是f(x)＝0的根．
若x1是f(x)＝0的根，则4－x1也是f(x)＝0的根．
∴x0＋(4－x0)＋ x1＋(4－x1)＝8，
即f(x)＝0的四根之和为8.
12．已知函数f(x)＝2x－a2x，将y＝f(x)的图象向右平移两个单位，得到y＝g(x)的图
象．
(1)求函数y＝g(x)的解析式；
(2)若函数y＝h(x)与函数y＝g(x)的图象关于直线y＝1对称，求函数y＝h(x)的解析
式．
解析：(1)由题设，g(x)＝f(x－2)＝2x－2－a2x－2.
(2)设(x，y)在y＝h(x)的图象上 ，(x1，y1)在y＝g(x)的图象上，则 x1＝x，y1＝2－y，
∴2－y＝g(x)，y＝2－g(x)，
即h(x)＝2－2x－2＋a2x－2.
2015高中数学精讲精练 第二章 函数 第5课 函数的图象
2015高中数学精讲精练 第二章 函数
第5课 函数的图象
【考点导读】
1．掌握基本初等函数的图像特征，学会运用函数的图像理解和研究函数的性质； 2．掌握画图像的基本方法：描述法和图像变换法． 【基础练习】
1．根据下列各函数式的变换，在箭头上填写对应函数图像的变换：
（1）2x y =1−−−−−−→向右平移个单位132x y -=−−−−−−→向上平移个单位
123x y -=+；
（2）2log y y x =−−−−−−−→作关于轴对称的图形()()322log log 3y x y x =-−−−−−−→=-向右平移个单位
．
2．作出下列各个函数图像的示意图： （1）31x y =-；
（2）()2log 2y x =-；
（3）21
x
y x -=
-． 3．作出下列各个函数图像的示意图： （1）()12
log y x =-；
（2）12x
y ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
；
（3）12
log y x =；
（4）21y x =-．
4．函数()1f x x =-的图象是（ B ）
【范例解析】
例1 作出函数()2223f x x x =-++及()f x -，()f x -，()2f x +，()f x ，()f x 的图像． 分析：根据图像变换得到相应函数的图像． 解：()y f x =-与()y f x =的图像关于y 轴对称；
A B C D。
2015届高考数学总复习配套课件：2-1 函数及其表示
提升
(2)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9，求f(x)．
提素能
高效
训练
[解析] (1)解法一 (换元法)设x＋1＝t，则x＝t－1，
∴f(t)＝(t－1)2＋4(t－1)＋1，
山
东
即f(t)＝t2＋2t－2.
金 太
∴所求函数为f(x)＝x2＋2x－2.
阳 书
业
有
限
公
司
阳
书
业
有
限
公
司
菜 单 隐藏
第十一页，编辑于星期五：十点 十一分。
高考总复习 A 数学（文）
抓主干 考点 解密
研考向要点探究____________________[通关方略]____________________
悟典题 能力
1．分段函数实质上是一个函数，其定义域、值域为各段定义域、
提升
值域的并集．
第二章 函数、导数及其应用
第一页，编辑于星期五：十点 十一分。
高考总复习 A 数学（文）
抓主干 考点 解密
研考向
要点
探究
第一节 函数及其表示
悟典题
能力
提升
[最新考纲展示]
提素能
高效 训练
1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了
解映射的概念． 2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法 山
训练
定系数法；
山
(3)换元法：已知复合函数 f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注
东 金
意新元的取值范围；
太 阳
(4)解方程组法：已知关于 f(x)与 f1x或 f(－x)的表达式，可根据已知
2015届高考数学二轮复习专题讲解 课件 第二讲 函数的图象与性质(选择、填空题型)
高考专题辅导与测试·数学
第十七页，编辑于星期五：十点 三分。
创新方案系列丛书
2.函数 f(x)的定义域为{x∈R|x≠1},对定义域中任意的 x,都有 f(2 －x)＝f(x),且当 x<1 时,f(x)＝2x2－x.那么当 x>1 时,f(x)的递增区间是
()
A.54，＋∞
B.1，54
C.74，＋∞
高考专题辅导与测试·数学
第十六页，编辑于星期五：十点 三分。
创新方案系列丛书
1.(2014·内江模拟)若函数 f(x)＝1－x 2x－2x,则函数 f(x)(
)
A.是偶函数,在(－∞,0)是增函数
B.是偶函数,在(－∞,0)是减函数
C.是奇函数,在(－∞,0)是增函数
D.是奇函数,在(－∞,0)是减函数
2)<0(x>0),
当 x>0 时,－ln 2×(2－x＋2x－2)<－ln 2×(2－2)＝0,所以 g(x)＝2－
x＋2x×ln 2－2x在 x>0 时单调递减,g(x)<g(0)＝0,从而 f′(x)<0,所以 f(x)
＝1－x 2x－2x在(0,＋∞)上是减函数,由偶函数的对称性知,f(x)＝1－x 2x－
2.(2014·长春模拟)已知函数 f(x)＝－21x，a≤x<0，
的值域是
－x2＋2x，0≤x≤4
[－8,1],则实数 a 的取值范围是( A.(－∞,－3] C.[－3,－1]
) B.[－3,0) D.{－3}
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第十二页，编辑于星期五：十点 三分。
创新方案系列丛书
3.(2014·三 明 模 拟 ) 已 知 函 数
2015高考数学(理)(新课标)二轮复习配套试题第二章函数的概念与基本初等函数I函数及其表示
精品题库试题理数1. (2014大纲全国,12,5分)函数y=f(x)的图象与函数y=g(x)的图象关于直线x+y=0对称,则y=f(x)的反函数是()A.y=g(x)B.y=g(-x)C.y=-g(x)D.y=-g(-x)1.D1.∵y=g(x)关于x+y=0对称的函数为-x=g(-y),即y=-g-1(-x),∴y=f(x)=-g-1(-x),对换x,y位置关系得:x=-y-1(-y),反解该函数得y=-g(-x),所以y=f(x)的反函数为y=-g(-x).2. (2014四川,9,5分)已知f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),x∈(-1,1).现有下列命题:①f(-x)=-f(x);②f=2f(x);③|f(x)|≥2|x|.其中的所有正确命题的序号是()A.①②③B.②③C.①③D.①②2.A2.f (-x)=ln(1-x)-ln(1+x)=-=-f(x),①正确.f=ln-ln=ln-ln,∵x∈(-1,1),∴f=2ln(1+x)-2ln(1-x)=2=2f(x),②正确.当x∈ 3.D3.作出f(x)的图象如图所示,可排除A,B,C,故D正确.4.(2014山东,3,5分)函数f(x)=的定义域为()A. B.(2,+∞) C.∪(2,+∞) D.∪4.C4.要使函数f(x)有意义,需使(log2x)2-1>0,即(log2x)2>1,∴log2x>1或log2x<-1.解之得x>2或0<x<.故f(x)的定义域为∪(2,+∞).5. (2014山西太原高三模拟考试（一），1) 已知U={y|}, P={y|}, 则C U P=( )5. A5. U={y|}=, P={y|}=, 所以6.(2014安徽合肥高三第二次质量检测，5) 为了得到函数的图像，可将函数的图像（）A. 向左平移B. 向右平移C. 向左平移D. 向右平移6. C6.因为，把其图象平移个单位长得函数图象，所以，解得，故可将函数的图像向左平移得函数的图像.7. (2014河北石家庄高中毕业班复习教学质量检测（二），11) 已知函数其中为自然对数的底数，若关于的方程有且只有一个实数解，则实数的取值范围为( )A. B. C. D.7. B7. 先令，则，所以，从而方程只有一个解，即的图像与的图像只有一个交点. 由数形结合可知：当时，应满足；当时交点有且只有一个；综上所述，实数的取值范围为.选B.8. (2014广东广州高三调研测试，8) 对于实数和，定义运算“*” ：*设*，且关于的方程为恰有三个互不相等的实数根，，，则的取值范围是（）A.B.C.D.8.A8. 由已知可得，作出的图像，不妨设，由图像可得，且，由重要不等式。
2015年高考数学总复习(人教A版,理科)配套教案：第九章 解析几何 9.1
§9.1 直线的方程1.直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角①定义：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角.当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. ②倾斜角的范围为[0°，180°). (2)直线的斜率①定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan_α，倾斜角是90°的直线斜率不存在. ②过两点的直线的斜率公式经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2) (x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1.2.直线方程的五种形式名称 方程 适用范围 点斜式 y －y 0＝k (x －x 0) 不含垂直于x 轴的直线 斜截式 y ＝kx ＋b 不含垂直于x 轴的直线 两点式 y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1不含直线x ＝x 1 (x 1≠x 2)和直线y ＝y 1 (y 1≠y 2)截距式x a ＋y b＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)平面直角坐标系内的直线都适用3.过P 1(x 11222(1)若x 1＝x 2，且y 1≠y 2时，直线垂直于x 轴，方程为x ＝x 1； (2)若x 1≠x 2，且y 1＝y 2时，直线垂直于y 轴，方程为y ＝y 1； (3)若x 1＝x 2＝0，且y 1≠y 2时，直线即为y 轴，方程为x ＝0； (4)若x 1≠x 2，且y 1＝y 2＝0时，直线即为x 轴，方程为y ＝0.4.线段的中点坐标公式若点P 1、P 2的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，且线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝x 1＋x22y ＝y 1＋y 22，此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式.1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置. ( √ ) (2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率. ( × ) (3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大. ( × ) (4)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.( × ) (5)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.( × ) (6)经过定点A (0，b )的直线都可以用方程y ＝kx ＋b 表示. ( × ) (7)不经过原点的直线都可以用x a ＋yb＝1表示.( × )(8)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示.( √ ) 2.如果A ·C <0，且B ·C <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案 C解析 由已知得直线Ax ＋By ＋C ＝0在x 轴上的截距－C A >0，在y 轴上的截距－CB >0，故直线经过一、二、四象限，不经过第三象限.3.若直线斜率的绝对值等于1，则直线的倾斜角为________________________________. 答案 45°或135°解析 由|k |＝|tan α|＝1，知：k ＝tan α＝1或k ＝tan α＝－1.又倾斜角α∈[0°，180°)，∴α＝45°或135°.4.直线l 经过A (2,1)，B (1，m 2)(m ∈R )两点.则直线l 的倾斜角的取值范围为____________. 答案 ⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎭⎫π2，π 解析 直线l 的斜率k ＝m 2－11－2＝1－m 2≤1.若l 的倾斜角为α，则tan α≤1. 又∵α∈[0，π)，∴α∈⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎭⎫π2，π. 5.过点M (3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为____________. 答案 x ＋y ＋1＝0或4x ＋3y ＝0 解析 ①若直线过原点，则k ＝－43，∴y ＝－43x ，即4x ＋3y ＝0.②若直线不过原点.设x a ＋ya ＝1，即x ＋y ＝a .∴a ＝3＋(－4)＝－1，∴x ＋y ＋1＝0.题型一 直线的倾斜角与斜率例1 经过P (0，－1)作直线l ，若直线l 与连接A (1，－2)，B (2,1)的线段总有公共点，则直线l 的斜率k 和倾斜角α的取值范围分别为________，________.思维启迪 本题考查斜率求解公式以及k 与α的函数关系，解题关键是在求倾斜角时要对其分锐角、钝角的讨论. 答案 [－1,1] [0，π4]∪[3π4，π)解析 如图所示，结合图形：为使l 与线段AB 总有公共点，则 k P A ≤k ≤k PB ，而k PB >0，k P A <0，故k <0时，倾斜角α为钝角，k ＝0时， α＝0，k >0时，α为锐角.又k P A ＝－2－(－1)1－0＝－1，k PB ＝－1－10－2＝1，∴－1≤k ≤1. 又当0≤k ≤1时，0≤α≤π4；当－1≤k <0时，3π4≤α<π.故倾斜角α的取值范围为α∈[0，π4]∪[3π4，π).思维升华 直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分⎣⎡⎭⎫0，π2与⎝⎛⎭⎫π2，π两种情况讨论.由正切函数图象可以看出当α∈⎣⎡⎭⎫0，π2时，斜率k ∈[0，＋∞)；当α＝π2时，斜率不存在；当α∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，斜率k ∈(－∞，0).(1)若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )A.13B.－13C.－32D.23(2)直线x cos α＋3y ＋2＝0的倾斜角的范围是( )A.⎣⎡⎭⎫π6，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，5π6B.⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎭⎫5π6，π C.⎣⎡⎦⎤0，5π6D.⎣⎡⎦⎤π6，5π6答案 (1)B (2)B解析 (1)依题意，设点P (a,1)，Q (7，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋7＝2b ＋1＝－2，解得a ＝－5，b ＝－3，从而可知直线l 的斜率为－3－17＋5＝－13.(2)由x cos α＋3y ＋2＝0得直线斜率k ＝－33cos α. ∵－1≤cos α≤1，∴－33≤k ≤33.设直线的倾斜角为θ，则－33≤tan θ≤33. 结合正切函数在⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎝⎛⎭⎫π2，π上的图象可知， 0≤θ≤π6或5π6≤θ<π.题型二 求直线的方程例2 根据所给条件求直线的方程： (1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为1010； (2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12； (3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为5.思维启迪 本题考查直线方程的三种形式，解题关键在于设出正确的方程形式. 解 (1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式. 设倾斜角为α，则sin α＝1010(0<α<π)， 从而cos α＝±31010，则k ＝tan α＝±13.故所求直线方程为y ＝±13(x ＋4).即x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0.(2)由题设知截距不为0，设直线方程为x a ＋y12－a ＝1，又直线过点(－3,4)，从而－3a ＋412－a ＝1，解得a ＝－4或a ＝9.故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0. (3)当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0； 当斜率存在时，设其为k ，则所求直线方程为y －10＝k (x －5)， 即kx －y ＋(10－5k )＝0.由点线距离公式，得|10－5k |k 2＋1＝5，解得k ＝34.故所求直线方程为3x －4y ＋25＝0.综上知，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0.思维升华 在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件.用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线.故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况.求适合下列条件的直线方程：(1)经过点P (3,2)，且在两坐标轴上的截距相等；(2)经过点A (－1，－3)，倾斜角等于直线y ＝3x 的倾斜角的2倍. 解 (1)设直线l 在x 、y 轴上的截距均为a ， 若a ＝0，即l 过点(0,0)和(3,2)， ∴l 的方程为y ＝23x ，即2x －3y ＝0.若a ≠0，则设l 的方程为x a ＋ya ＝1，∵l 过点(3,2)，∴3a ＋2a ＝1，∴a ＝5，∴l 的方程为x ＋y －5＝0.综上可知，直线l 的方程为2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0.(2)由已知：设直线y ＝3x 的倾斜角为α ，则所求直线的倾斜角为2α. ∵tan α＝3，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－34.又直线经过点(－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y ＋15＝0.题型三 直线方程的综合应用例3 已知直线l 过点P (3,2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，如图所示，求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程. 思维启迪 先求出AB 所在的直线方程，再求出A ，B 两点的坐标，表示出△ABO 的面积，然后利用相关的数学知识求最值. 解 方法一 设直线方程为x a ＋yb ＝1 (a >0，b >0)，点P (3,2)代入得3a ＋2b＝1≥26ab，得ab ≥24， 从而S △AOB ＝12ab ≥12，当且仅当3a ＝2b 时等号成立，这时k ＝－b a ＝－23，从而所求直线方程为2x ＋3y －12＝0.方法二 依题意知，直线l 的斜率k 存在且k <0. 则直线l 的方程为y －2＝k (x －3) (k <0)， 且有A ⎝⎛⎭⎫3－2k ，0，B (0,2－3k )， ∴S △ABO ＝12(2－3k )⎝⎛⎭⎫3－2k ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋(－9k )＋4(－k ) ≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋2 (－9k )·4(－k )＝12×(12＋12)＝12. 当且仅当－9k ＝4－k ，即k ＝－23时，等号成立.即△ABO 的面积的最小值为12. 故所求直线的方程为2x ＋3y －12＝0.思维升华 直线方程综合问题的两大类型及解法(1)与函数相结合的问题：解决这类问题，一般是利用直线方程中的x ，y 的关系，将问题转化为关于x (或y )的函数，借助函数的性质解决.(2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识(如方程解的个数、根的存在问题，不等式的性质、基本不等式等)来解决.已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R ).(1)证明：直线l 过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l 的方程.(1)证明 直线l 的方程是k (x ＋2)＋(1－y )＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2＝01－y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝1， ∴无论k 取何值，直线总经过定点(－2,1).(2)解 由方程知，当k ≠0时直线在x 轴上的截距为－1＋2k k ，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎨⎧－1＋2kk ≤－21＋2k ≥1，解之得k >0；当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意，故k ≥0.(3)解 由l 的方程，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k ).依题意得⎩⎨⎧－1＋2kk <0，1＋2k >0，解得k >0.∵S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k | ＝12·(1＋2k )2k ＝12⎝⎛⎭⎫4k ＋1k ＋4 ≥12×(2×2＋4)＝4， “＝”成立的条件是k >0且4k ＝1k ，即k ＝12，∴S min ＝4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.分类讨论思想在求直线方程中的应用典例：(5分)与点M (4,3)的距离为5，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为________.思维启迪 解答本题应抓住直线在两坐标轴上的截距相等，分类设出直线的方程求解. 解析 当截距不为0时，设所求直线方程为x a ＋ya ＝1，即x ＋y －a ＝0，∵点M (4,3)与所求直线的距离为5， ∴|4＋3－a |2＝5，∴a ＝7±5 2.∴所求直线方程为x ＋y －7－5 2 ＝0或x ＋y －7＋52＝0.当截距为0时，设所求直线方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0. 同理可得|4k －3|1＋k 2＝5，∴k ＝－43.∴所求直线方程为y ＝－43x ，即4x ＋3y ＝0.综上所述，所求直线方程为x ＋y －7－52＝0或x ＋y －7＋52＝0或4x ＋3y ＝0. 答案 x ＋y －7－52＝0或x ＋y －7＋52＝0或4x ＋3y ＝0 温馨提醒 在选用直线方程时常易忽视的情况有 (1)选用点斜式与斜截式时忽视斜率不存在的情况； (2)选用截距式时，忽视截距为零的情况； (3)选用两点式时忽视与坐标轴垂直的情况.方法与技巧1.要正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值范围，熟记斜率公式：k ＝y 2－y 1x 2－x 1，该公式与两点顺序无关，已知两点坐标(x 1≠x 2)时，根据该公式可求出经过两点的直线的斜率.当x 1＝x 2，y 1≠y 2时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°.2.求斜率可用k ＝tan α(α≠90°)，其中α为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分割， 牢记：“斜率变化分两段，90°是分界，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论”.3.求直线方程中一种重要的方法就是先设直线方程，再求直线方程中的系数，这种方法叫待定系数法. 失误与防范1.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率.2.根据斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围；二是要考虑正切函数的单调性.3.利用一般式方程Ax ＋By ＋C ＝0求它的方向向量为(－B ，A )不可记错，但同时注意方向向量是不唯一的.A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)一、选择题1.如图中的直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则( ) A.k 1<k 2<k 3 B.k 3<k 1<k 2 C.k 3<k 2<k 1D.k 1<k 3<k 2答案 D解析 直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1<0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2>α3，所以0<k 3<k 2，因此k 1<k 3<k 2，故选D.2.已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( )A.1B.－1C.－2或－1D.－2或1答案 D解析 由题意得a ＋2＝a ＋2a，∴a ＝－2或a ＝1.3.已知直线PQ 的斜率为－3，将直线绕点P 顺时针旋转60°所得的直线的斜率为( ) A. 3B.－ 3C.0D.1＋ 3答案 A解析直线PQ的斜率为－3，则直线PQ的倾斜角为120°，所求直线的倾斜角为60°，tan 60°＝ 3.4.两条直线l 1：x a －y b ＝1和l 2：x b －ya＝1在同一直角坐标系中的图象可以是( )答案 A解析 化为截距式x a ＋y －b ＝1，x b ＋y－a ＝1.假定l 1，判断a ，b ，确定l 2的位置，知A 项符合.5.设直线l 的方程为x ＋y cos θ＋3＝0 (θ∈R )，则直线l 的倾斜角α的范围是 ( )A.[0，π)B.⎣⎡⎭⎫π4，π2C.⎣⎡⎦⎤π4，3π4D.⎣⎡⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，3π4答案 C解析 当cos θ＝0时，方程变为x ＋3＝0，其倾斜角为π2；当cos θ≠0时，由直线方程可得斜率k ＝－1cos θ. ∵cos θ∈[－1,1]且cos θ≠0，∴k ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)， 即tan α∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，又α∈[0，π)， ∴α∈⎣⎡⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，3π4.综上知，倾斜角的范围是⎣⎡⎦⎤π4，3π4，故选C. 二、填空题6.直线l 与两直线y ＝1，x －y －7＝0分别交于P 、Q 两点，线段PQ 中点是(1，－1)，则l 的斜率是________. 答案 －23解析 设P (m,1)，则Q (2－m ，－3)，∴(2－m )＋3－7＝0，∴m ＝－2，∴P (－2,1)， ∴k ＝1＋1－2－1＝－23.7.直线l ：ax ＋(a ＋1)y ＋2＝0的倾斜角大于45°，则a 的取值范围是________________. 答案 (－∞，－12)∪(0，＋∞)解析 当a ＝－1时，直线l 的倾斜角为90°，符合要求；当a ≠－1时，直线l 的斜率为－a a ＋1，只要－a a ＋1>1或者－a a ＋1<0即可，解得－1<a <－12或者a <－1或者a >0.综上可知，实数a 的取值范围是(－∞，－12)∪(0，＋∞).8.若ab >0，且A (a,0)、B (0，b )、C (－2，－2)三点共线，则ab 的最小值为________. 答案 16解析 根据A (a,0)、B (0，b )确定直线的方程为x a ＋yb ＝1，又C (－2，－2)在该直线上，故－2a ＋－2b＝1，所以－2(a ＋b )＝ab .又ab >0，故a <0，b <0. 根据基本不等式ab ＝－2(a ＋b )≥4ab ，从而ab ≤0(舍去)或ab ≥4，故ab ≥16，当且仅当a ＝b ＝－4时取等号.即ab 的最小值为16. 三、解答题9.已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程： (1)过定点A (－3,4)；(2)斜率为16.解 (1)设直线l 的方程是y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k －3,3k ＋4，由已知，得(3k ＋4)⎝⎛⎭⎫－4k －3＝±6， 解得k 1＝－23或k 2＝－83.故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0. (2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程是 y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ，由已知，得|－6b·b|＝6，∴b＝±1.∴直线l的方程为x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0.10.如图，射线OA 、OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1,0) 作直线AB 分别交OA 、OB 于A 、B 两点，当AB 的中点C 恰好落 在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程.解 由题意可得k OA ＝tan 45°＝1，k OB ＝tan(180°－30°)＝－33， 所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x . 设A (m ，m )，B (－3n ，n )， 所以AB 的中点C ⎝⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2， 由点C 在y ＝12x 上，且A 、P 、B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A (3，3).又P (1,0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32，所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)，即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0.B 组 专项能力提升 (时间：25分钟)1.直线l 沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来位置，那么l 的斜率为( )A.－13B.－3C.13D.3答案 A解析 结合图形可知选A.2.直线2x －my ＋1－3m ＝0，当m 变动时，所有直线都通过定点( )A.⎝⎛⎭⎫－12，3 B.⎝⎛⎭⎫12，3 C.⎝⎛⎭⎫12，－3D.⎝⎛⎭⎫－12，－3答案 D解析 ∵(2x ＋1)－m (y ＋3)＝0恒成立，∴2x ＋1＝0，y ＋3＝0，∴x ＝－12，y ＝－3，定点为(－12，－3).3.经过点P (1,4)的直线的两坐标轴上的截距都是正的，且截距之和最小，则直线的方程为( )A.x ＋2y －6＝0B.2x ＋y －6＝0C.x －2y ＋7＝0D.x －2y －7＝0答案 B解析 方法一 直线过点P (1,4)，代入选项，排除A 、D ， 又在两坐标轴上的截距均为正，排除C.方法二 设所求直线方程为x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)，将(1,4)代入得1a ＋4b＝1，a ＋b ＝(a ＋b )(1a ＋4b )＝5＋(b a ＋4ab)≥9，当且仅当b ＝2a ，即a ＝3，b ＝6时，截距之和最小， ∴直线方程为x 3＋y6＝1，即2x ＋y －6＝0.4.已知A (3,0)，B (0,4)，直线AB 上一动点P (x ，y )，则xy 的最大值是________. 答案 3解析 直线AB 的方程为x 3＋y4＝1，设P (x ，y )，则x ＝3－34y ，∴xy ＝3y －34y 2＝34(－y 2＋4y )＝34[－(y －2)2＋4]≤3. 即当P 点坐标为⎝⎛⎭⎫32，2时，xy 取最大值3.5.设点A (－1,0)，B (1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________. 答案 [－2,2]解析 b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1,0)和点B (1,0)时b 分别取得最小 值和最大值.∴b 的取值范围是[－2,2].6.直线l 过点P (1,4)，分别交x 轴的正方向和y 轴的正方向于A 、B 两点. (1)当|P A |·|PB |最小时，求l 的方程； (2)当|OA |＋|OB |最小时，求l 的方程. 解 依题意，l 的斜率存在，且斜率为负. 设l ：y －4＝k (x －1)(k <0).令y ＝0，可得A (1－4k ，0)；令x ＝0，可得B (0,4－k ).(1)|P A |·|PB |＝(4k)2＋16·1＋k 2 ＝－4k (1＋k 2)＝－4(1k ＋k )≥8.(注意k <0)∴当且仅当1k ＝k 且k <0即k ＝－1时，|P A |·|PB |取最小值.这时l 的方程为x ＋y －5＝0. (2)|OA |＋|OB |＝(1－4k )＋(4－k )＝5－(k ＋4k )≥9.∴当且仅当k ＝4k 且k <0，即k ＝－2时，|OA |＋|OB |取最小值.这时l 的方程为2x ＋y －6＝0.。
专题11 函数的图象-备战2015高考理数热点题型和提分秘籍(原卷版)
【高频考点解读】1．在实际情境中，会根据不同的需要选择图象法、列表法、解析法表示函数．2.会运用函数图象理解和研究函数的性质．【热点题型】题型一 函数的图象的画法【例1】分别画出下列函数的图象．(1)y ＝|lg(x －1)|；(2)y ＝2x ＋1－1； (3)y ＝x 2－|x |－2.【提分秘籍】画函数图象的一般方法(1)直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征直接作出．(2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．【举一反三】已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈，5]. (1)在如图给定的直角坐标系内画出f (x )的图象；(2)写出f (x )的单调递增区间．【热点题型】题型二 函数的图象的识别【例2】 (1)函数y ＝x 33x －1的图象大致是( ) (2)已知定义在区间[0,2]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝－f (2－x )的图象为( )【提分秘籍】 识图的要点及方法(1)识图的要点：重点根据图象看函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、特殊点(与x 、y 轴的交点，最高、最低点等)．(2)识图的方法①定性分析法：对函数进行定性分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决；②定量计算法：通过定量的计算来分析解决；③排除法：利用本身的性能或特殊点进行排除验证．【举一反三】函数y ＝x cos x ＋sin x 的图象大致为( )【热点题型】题型三 函数的图象的应用【例3】 已知函数y ＝|x 2－1|x －1的图象与函数y ＝kx －2的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是________．【提分秘籍】函数的图象常应用于以下几点(1)研究函数性质时一般要借助于函数图象，体现了数形结合思想；(2)有些不等式问题常转化为两函数图象的上、下关系来解决；(3)方程解的问题常转化为两熟悉的函数图象的交点个数问题来解决.【举一反三】已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ，x ≥2，x －3，x <2.若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________．【热点题型】题型四 数形结合思想在函数图象交点问题中的应用例4、若直角坐标平面内两点P 、Q 满足条件：①P 、Q 都在函数f (x )的图象上；②P 、Q 关于原点对称，则称点对(P ，Q )是函数f (x )的一个“友好点对”(点对(P ，Q )与点对(Q ，P )看作同一个“友好点对”)．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋4x ＋1，x <0，2e x ，x ≥0，则f (x )的“友好点对”有________个． 【提分秘籍】“以形助数”是研究两函数图象交点问题常用到的方法，近几年来高考在此处不断创新命题，着重考查应用图象解决问题的能力．解决此类问题的关键在于准确作出已知函数的图象，并标清一些关键点，作图的规范性与准确性及识图用图的能力，是此类问题考查的核心．【举一反三】函数y ＝11－x的图象与函数y ＝2sin πx (－2≤x ≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于( ) A ．2 B ．4C ．6D ．8【高考风向标】1．（2014·福建卷）若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像如图所示，则下列函数图像正确的是( )A BC D2．（2014·湖北卷）已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝12(|x －a 2|＋|x －2a 2|－3a 2)．若∀x ∈R ，f (x －1)≤f (x )，则实数a 的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤－16，16B.⎣⎡⎦⎤－66，66 C.⎣⎡⎦⎤－13，13 D.⎣⎡⎦⎤－33，33 3．（2014·山东卷）已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx ，若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )A. ⎝⎛⎭⎫0，12B. ⎝⎛⎭⎫12，1 C. (1，2) D. (2，＋∞) 4．（2014·浙江卷）在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x >0)，g (x )＝log a x 的图像可能是( )A BC D 图1-25．（2013·江西卷）如图1－3所示，半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线l 1，l 2之间，l ∥l 1，l 与半圆相交于F ，G 两点，与三角形ABC 两边相交于E ，D 两点．设弧FG 的长为x(0<x<π)，y ＝EB ＋BC ＋CD ，若l 从l 1平行移动到l 2，则函数y ＝f(x)的图像大致是( )6．（2013·新课标全国卷Ⅱ）已知函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，下列结论中错误的是( )A ．x 0∈R ，f(x 0)＝0B ．函数y ＝f(x)的图像是中心对称图形C ．若x 0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x 0)单调递减D ．若x 0是f(x)的极值点，则f′(x 0)＝0【随堂巩固】1．函数y ＝e sin x (－π≤x ≤π)的大致图象为 ( )．2．已知函数f (x )＝4|x |＋2－1的定义域是[a ，b ](a ，b ∈Z)，值域是[0,1]，则满足条件的整数对(a ，b )共有( )． A ．2对 B ．5对 C ．6对D ．无数对 3．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫1e x －tan x ⎝⎛⎭⎫－π2<x <π2，若实数x 0是函数y ＝f (x )的零点，且0<t <x 0，则f (t )的值 ( )．A ．大于1B ．大于0C ．小于0D ．不大于0 4．如图，正方形ABCD 的顶点A ⎝⎛⎭⎫0，22，B ⎝⎛⎭⎫22，0，顶点C 、D 位于第一象限，直线l ：x ＝t (0≤t ≤2)将正方形ABCD 分成两部分，记位于直线l 左侧阴影部分的面积为f (t )，则函数S ＝f (t )的图象大致是 ( )． 5．函数＝ln 1|2x －3|的大致图象为(如图所示) ( )．6．如右图，已知正四棱锥S －ABCD 所有棱长都为1，点E 是侧棱SC 上一动点，过点E 垂直于SC 的截面将正四棱锥分成上、下两部分．记SE ＝x (0<x <1)，截面下面部分的体积为V (x )，则函数y ＝V (x )的图象大致为 ( )．7．设函数f (x )＝|x ＋2|＋|x －a |的图象关于直线x ＝2对称，则a 的值为________． 8．函数y ＝11－x的图象与函数y ＝2sin πx (－2≤x ≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于________． 9．使log 2(－x )<x ＋1成立的x 的取值范围是________．10．讨论方程|1－x |＝kx 的实数根的个数．11．已知函数f (x )＝x 1＋x. (1)画出f (x )的草图；(2)指出f (x )的单调区间．12．已知函数f (x )＝x |m －x |(x ∈R)，且f (4)＝0.(1)求实数m 的值；(2)作出函数f (x )的图象并判断其零点个数；(3)根据图象指出f (x )的单调递减区间；(4)根据图象写出不等式f (x )>0的解集；(5)求集合M ＝{m |使方程f (x )＝m 有三个不相等的实根}．13．设函数f (x )＝x ＋1x(x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞))的图象为C 1，C 1关于点A (2,1)的对称的图象为C 2，C 2对应的函数为g (x )．(1)求函数y ＝g (x )的解析式，并确定其定义域；(2)若直线y＝b与C2只有一个交点，求b的值，并求出交点的坐标．。
2015高考数学一轮配套课件：2-7函数的图象及其应用
辨析感悟
1．图象变换问题
(1)为了得到函数y＝lg
x＋3 10
的图象，只需把函数y＝lg
x的图
象上所有的点向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长
度．
(√)
(2)若函数y＝f(x)满足f(x－1)＝f(x＋1)，则函数
诊断·基础知识
突破·高频考第六点页，编辑于星期培五养：十·解四点题二能分。力
• 2．识图的要点：重点根据图象看函数的定义域 、值域、奇偶性、单调性、特殊点(与x、y轴的 交点，最高、最低点等)．
• 3．识图的方法
•
(1) 定 性 分 析 法 ： 对 函 数 进 行 定 性 分 析 ， 从 诊断·基础知识
突破·高频考第二点十二页，编辑于培星养期五·解：十题四点能二力分。
• 4．研究函数性质时一般要借助于函数图象，体 现了数形结合思想；
• 解析 (1)画出两个函数图象可看出交点有10个 ．
诊断·基础知识
突破·高频考第十点八页，编辑于星培期养五：·解十四题点 能二分力。
(2)y＝xx22－＋xx＋＋aa，，xx≥＜00，， 作出图象，如图所示．
此曲线与y轴交于(0，a)点，最小值为a－14，要使y＝1与其有 四个交点，只需a－14＜1＜a，∴1＜a＜54. 答案 (1)10 (2)1，54
• 5．方程解的问题常转化为两熟悉的函数图象的 交点个数问题来解决．
诊断·基础知识
突破·高频考第二点十三页，编辑于培星养期五·解：十题四点能二力分。
思想方法2——利用数形结合思想求参数的范围 【典例】 已知不等式x2－loga x＜0，当x∈ 0，12 时恒成立，求
实数a的取值范围． 解 由x2－loga x＜0， 得x2＜logax. 设f(x)＝x2，g(x)＝logax.
2015届高考数学总复习 第二章 第一节函数及其表示课时精练试题 文(含解析)
第二章 函数、导数及其应用第一节 函数及其表示1.函数f (x )＝log 3x的定义域为( )A ．(0，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(0,1)D ．(0,1)∪(1，＋∞)解析：由log 3x ≠0得x >0且x ≠1，因此，函数f (x )＝2x －1log 3x的定义域是(0,1)∪(1，＋∞)，故选D.答案：D2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0，log 2x ，x ＞0，则f (f (－1))＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2答案：B3．(2012·柳州检测) 已知函数f (x )的定义域为[－3,4]，在同一坐标系下，函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝3的交点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．0或1答案：B4．(2013·济宁模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a等于( )A.12B.45 C ．2 D ． 9解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋1，x <1，x 2＋ax ，x ≥1.∵0<1，∴f (0)＝20＋1＝2.∵f (0)＝2≥1，∴f (f (0))＝22＋2a ＝4a ，∴a ＝2.故选C.答案：C5. (2013·湖南五市十校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋，x ＞3，2x －3＋1，x ≤3，满足f (a )＝3，则f (a －5)的值为( )A ．log 23 B.1716 C.32 D.32或1解析：当a ＞3时，log 2(a ＋1)＝3，得a ＋1＝23＝8，所以a ＝7，于是f (a －5)＝f (2)＝2－1＋1＝32.当a ≤3时，2a －3＋1＝3，得a ＝4，不符合条件．故选C.答案：C6．(2013·南京盐城三模)记函数f (x )＝3－x 的定义域为A ，函数g (x )＝lg(x －1)的定义域为B ，则A ∩B ＝________.解析：因为函数f (x )＝3－x 的定义域为A ，所以A ＝{x |x ≤3}；因为函数g (x )＝lg(x －1)的定义域为B ，所以B ＝{x |x ＞1}．所以A ∩B ＝{x |1＜x ≤3}． 答案：(1,3]7则f (f (2))＝．答案：1 1或38．(2013·福建卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3，x ＜0，－tan x ，0≤x ＜π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝__________.解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝f ⎝⎛⎭⎪⎫－tan π4＝f (－1)＝2(－1)3＝－2.答案：－29．下图是一个电子元件在处理数据时的流程图：(1)试确定y 与x 的函数关系式； (2)求f (－3)，f (1)的值； (3)若f (x )＝16，求x 的值．解析：(1)由流程图可知，当x ≥1时，y ＝y 21＝(x ＋2)2；当x ＜1时，y ＝y 2＋2＝x 2＋2.所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≥1，x 2＋2，x ＜1.(2)f (－3)＝(－3)2＋2＝11，f (1)＝(1＋2)2＝9.(3)若x ≥1，则(x ＋2)2＝16， 解得x ＝2或x ＝－6(舍去)．若x <1，则x 2＋2＝16，解得x ＝14(舍去)或x ＝－14.综上所述，x ＝2或x ＝－14.10．(2013·珠海模拟)甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2 km ，甲10时出发前往乙家．如图所示，表示甲从家出发到达乙家为止经过的路程y (km)与时间x (min)的关系．试写出y ＝f (x )的函数解析式．解析：当x ∈[0,30]，设y ＝k 1x ＋b 1，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝0，30k 1＋b 1＝2.∴k 1＝115，b 1＝0，y ＝115x .当x ∈(30,40)时，y ＝2；当x ∈[40,60]时，设y ＝k 2x ＋b 2. 由⎩⎪⎨⎪⎧40k 2＋b 2＝2，60k 2＋b 2＝4， ∴k 2＝110，b 2＝－2，y ＝110x －2，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧115x ，x ∈[0，30]，2，x ∈30，40，110x －2，x ∈[40，60].。
2015届高考数学第二轮高效精练9
专题五 空间立体几何第14讲 空间几何体的表面积与体积1. 与正方体各面都相切的球，它的表面积与正方体表面积之比为________．答案：π∶6解析：正方体的棱长与球的直径相等．2. 在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，以BC 边所在直线为轴旋转一周，则形成的几何体的侧面积为_________．答案：12π解析：将矩形ABCD 以BC 边所在直线为轴旋转一周后得到的几何体为是以2为底面半径，以3为高的圆柱体，故它的侧面积为2π×2×3＝12π.3. 在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是____________．(填序号)① 矩形；② 不是矩形的平行四边形；③ 有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④ 每个面都是等边三角形的四面体；⑤ 每个面都是直角三角形的四面体．答案：①③④⑤4. 如图，在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝3 cm ，AA 1＝2 cm ，则四棱锥ABB 1D 1D的体积为________ cm 3.答案：6 解析：连结AC 交BD 于点O ，则AO ⊥平面BB 1D 1D ，则四棱锥ABB 1D 1D 的体积为13SBB 1D 1D ·AO ＝6.5. 在棱长为1的正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，若点P 是棱上一点，则满足|PA|＋|PC 1|＝2的点P 的个数为__________．答案：6解析：点P 在以A 、C 1为焦点的椭圆上，若P 在AB 上，设AP ＝x ，有PA ＋PC 1＝x ＋（1－x ）2＋（2）2＝2，解得x ＝12.故AB 上有一点P(AB 的中点)满足条件． 同理在AD ，AA 1，C 1B 1，C 1D 1，C 1C 上各有一点满足条件．又若点P 在BB 1上，则PA ＋PC 1＝1＋BP 2＋1＋B 1P 2>2.故BB 1上不存在满足条件的点P ，同理DD 1，BC ，A 1D 1，DC ，A 1B 1上不存在满足条件的点P.6. 如图，半径为R 的球O 中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是____________．答案：2πR 2解析：设球的一条半径与圆柱相应的母线夹角为α，则圆柱的侧面积S ＝2π·Rsin α·2Rcosα＝2πR 2sin2α，当α＝π4时，S 取最大值2πR 2，此时球的表面积与该圆柱的侧面积之差为2πR 2.7. 如图，三棱柱ABCA 1B 1C 1的所有棱长均等于1，且∠A 1AB ＝∠A 1AC ＝60°，则该三棱柱的体积是________．答案：24 解析：∵ A 1A ＝A 1B ＝A 1C ＝AB ＝AC ＝BC.∴ A 1ABC 为正四棱锥，∴ A 1在△ABC 上的射影O 为△ABC 的中心．∴32A 1O ＝1×22A 1O ＝63，∴ V ＝S △ABC ·A 1O ＝24. 8. 已知直三棱柱ABCA 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上．若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12.则球O 的半径为______________． 答案：132 解析：由题意将直三棱柱ABCA 1B 1C 1还原为长方体ABDCA 1B 1D 1C 1，则球的直径即为长方体ABDCA 1B 1D 1C 1的体对角线AD 1，所以球的直径AD 1＝AB 2＋AC 2＋AA 21＝32＋42＋122＝13，则球的半径为132. 9. 若将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开，其展开图是半径为2 cm 的半圆，则该圆锥的高为____________ cm.答案：3解析：圆锥的母线长即为展开半圆的半径，圆锥底面圆的半径设为r ，则2πr ＝π×2，r ＝1，圆锥高为22－1＝ 3.10. 某种卷筒卫生纸绕在盘上，空盘时盘芯直径为40 mm ，满盘时直径为120 mm.已知卫生纸的厚度为0.1 mm ，则满盘时卫生纸的总长度大约是________m(π取3.14，精确到1 m)．答案：100解析：纸的厚度为0.1 mm ，可以把绕在盘上的纸近似的看做是一组同心圆，然后分别计算各圆的周长，再算总和．由内向外各圈的半径分别为20.05, 20.15，…，59.95.因此，各圈的周长分别为40.1π，40.3π，…，119.9π.因此各圈半径组成首项为20.05，公差为0.1的等差数列，设圈数为n ，则59.95＝20.05＋0.1(n －1)，解得n ＝400，显然各圈的周长组成一个首项为40.1π，公差为0.2π，项数为400的等差数列．根据等差数列的求和公式，得S ＝400×40.1π＋400×（400－1）2×0.2π＝32 000π mm ≈100 m. 11. 如图，已知四棱锥PABCD 的底面为等腰梯形，AB ∥CD ，AC ⊥BD ，垂足为H ，PH 是四棱锥的高．(1) 证明：平面PAC ⊥平面PBD ；(2) 若AB ＝6，∠APB ＝∠ADB ＝60°，求四棱锥PABCD 的体积．(1) 证明：因为PH 是四棱锥PABCD 的高，则PH ⊥BD ，又AC ⊥BD ，PH Ì平面PBD ，BD 平面PBD ，PH ∩BD ＝H ，所以AC ⊥平面PBD.因为AC Ì平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面PBD.(2) 解：因为ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，AC ⊥BD ，AB ＝6， 所以HA ＝HB ＝ 3.因为∠APB ＝∠ADB ＝60°，所以PA ＝PB ＝6，HD ＝HC ＝1，可得PH ＝ 3.S 梯形ABCD ＝12AC ·BD ＝2＋ 3.所以四棱锥的体积为V ＝13(2＋3)·3＝3＋233. 12. 某商场为促销要准备一些正三棱锥形状的装饰品，用半径为10 cm 的圆形包装纸包装．要求如下：正三棱锥的底面中心与包装纸的圆心重合，包装纸不能裁剪，其边缘恰好达到三棱锥的顶点，如图所示．设正三棱锥的底面边长为x cm ，体积为V cm 3.在所有能用这种包装纸包装的正三棱锥装饰品中，V 的最大值是多少？并求此时x 的值．解：正三棱锥展开如图所示．当按照底边包装时体积最大．设正三棱锥侧面的高为h 0，高为h.由题意得36x ＋h 0＝10，解得h 0＝10－36x. 则h ＝h 20－x 212＝⎝⎛⎭⎫10－36x 2－x 212＝100－1033，x ∈(0，103)． 所以正三棱锥体积V ＝13Sh ＝13×34x 2×100－1033x ＝3x 212100－1033x. 设y ＝V 2＝x 448⎝⎛⎭⎫100－1033x ＝100x 448－10x 5483， 求导得y′＝100x 312－50x 4483，令y′＝0，得x ＝83， 当x ∈(0，83)时，y ′＞0，y 随着x 的增加而增大，当x ∈(83，103)时，y ′＜0，y 随着x 的增加而减小，所以当x ＝8 3 cm 时，y 取得极大值也是最大值．此时y ＝15 360，所以V max ＝3215 cm 3.答：当底面边长为8 3 cm 时，正三棱锥的最大体积为3215 cm 3.13. 已知四棱锥SABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，侧面SAB是等边三角形，侧面SCD是以CD为斜边的直角三角形，E为CD的中点，M为SB的中点．(1) 求证：CM∥平面SAE；(2) 求证：SE⊥平面SAB；(3) 求三棱锥SAED的体积．(1) 证明：取SA的中点N，连结MN、EM，∵M为SB的中点，N为SA的中点，∴MN∥AB，且MN＝12AB.又E为CD的中点，∴CE∥AB，且CE＝12AB.∴MN∥CE且MN＝CE，∴CENM为平行四边形，∴CM∥EN.又ENÌ平面SAE，CM平面SAE，∴CM∥平面SAE.(2) 证明：∵侧面SCD是直角三角形，∠CSD为直角，E为CD的中点，∴SE＝1.又SA＝AB＝2，AE＝5，∴SA2＋SE2＝AE2.则ES⊥SA.同理可证ES⊥SB.∵SA∩SB＝S，∴SE⊥平面SAB.(3) 解：V SAED＝12V SAEB＝12V ESAB＝12×13×34×4×1＝36.薄雾浓云愁永昼，瑞脑消金兽。
2015年高考数学总复习(人教A版,理科)配套教案：第九章 解析几何 9.8
§9.8曲线与方程1.曲线与方程一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解.(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线.2.求动点的轨迹方程的一般步骤(1)建系——建立适当的坐标系.(2)设点——设轨迹上的任一点P(x，y).(3)列式——列出动点P所满足的关系式.(4)代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y的方程式，并化简.(5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程.3.两曲线的交点(1)由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点.(2)两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解.可见，求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题.1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件. (√)(2)方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线. (×)(3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2＝y2. (×)(4)方程y＝x与x＝y2表示同一曲线. (×)2.方程(x 2＋y 2－4)x ＋y ＋1＝0的曲线形状是 ( )答案 C解析 由题意可得x ＋y ＋1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4＝0，x ＋y ＋1≥0，它表示直线x ＋y ＋1＝0和圆x 2＋y 2－4＝0在直线x ＋y ＋1＝0右上方的部分.3.已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1,2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且|PM |＝|MQ |，则Q 点的轨迹方程是( )A.2x ＋y ＋1＝0B.2x －y －5＝0C.2x －y －1＝0D.2x －y ＋5＝0答案 D解析 由题意知，M 为PQ 中点，设Q (x ，y )，则P 为(－2－x,4－y )，代入2x －y ＋3＝0得2x －y ＋5＝0.4.已知点A (－2,0)、B (3,0)，动点P (x ，y )满足P A →·PB →＝x 2－6，则点P 的轨迹方程是__________. 答案 y 2＝x解析 PB →＝(3－x ，－y )，P A →＝(－2－x ，－y )，∴P A →·PB →＝(3－x )(－2－x )＋y 2＝x 2－x －6＋y 2＝x 2－6，∴y 2＝x .5.已知两定点A (－2,0)、B (1,0)，如果动点P 满足|P A |＝2|PB |，则点P 的轨迹所包围的图形的面积为________. 答案 4π解析 设P (x ，y )，由|P A |＝2|PB |， 得(x ＋2)2＋y 2＝2(x －1)2＋y 2， ∴3x 2＋3y 2－12x ＝0，即x 2＋y 2－4x ＝0.∴P 的轨迹为以(2,0)为圆心，半径为2的圆. 即轨迹所包围的面积等于4π.题型一 定义法求轨迹方程例1 已知两个定圆O 1和O 2，它们的半径分别是1和2，且|O 1O 2|＝4.动圆M 与圆O 1内切，又与圆O 2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线. 思维启迪 利用两圆内、外切的充要条件找出点M 满足的几何条件，结合双曲线的定义求解. 解 如图所示，以O 1O 2的中点O 为原点，O 1O 2所在直线为x 轴建立平面直角坐标系.由|O 1O 2|＝4，得O 1(－2,0)、O 2(2,0).设动圆M 的半径为r ，则由动 圆M 与圆O 1内切，有|MO 1|＝r －1； 由动圆M 与圆O 2外切，有|MO 2|＝r ＋2. ∴|MO 2|－|MO 1|＝3.∴点M 的轨迹是以O 1、O 2为焦点，实轴长为3的双曲线的左支. ∴a ＝32，c ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝74.∴点M 的轨迹方程为4x 29－4y 27＝1 (x ≤－32).思维升华 求曲线的轨迹方程时，应尽量地利用几何条件探求轨迹的曲线类型，从而再用待定系数法求出轨迹的方程，这样可以减少运算量，提高解题速度与质量.已知点F ⎝⎛⎭⎫14，0，直线l ：x ＝－14，点B 是l 上的动点.若过B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹是( )A.双曲线B.椭圆C.圆D.抛物线答案 D解析 由已知得，|MF |＝|MB |.由抛物线定义知，点M 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线.题型二 相关点法求轨迹方程例2设直线x－y＝4a与抛物线y2＝4ax交于两点A，B(a为定值)，C为抛物线上任意一点，求△ABC的重心的轨迹方程.思维启迪设△ABC的重心坐标为G(x，y)，利用重心坐标公式建立x，y与△ABC的顶点C的关系，再将点C的坐标(用x，y表示)代入抛物线方程即得所求.解 设△ABC 的重心为G (x ，y )，点C 的坐标为C (x 0，y 0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).由方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝4a ，y 2＝4ax消去y 并整理得：x 2－12ax ＋16a 2＝0. ∴x 1＋x 2＝12a ，y 1＋y 2＝(x 1－4a )＋(x 2－4a )＝(x 1＋x 2)－8a ＝4a . 由于G (x ，y )为△ABC 的重心， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋x 1＋x 23＝x 0＋12a3，y ＝y 0＋y 1＋y 23＝y 0＋4a 3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3x －12a ，y 0＝3y －4a .又点C (x 0，y 0)在抛物线上，∴将点C 的坐标代入抛物线的方程得： (3y －4a )2＝4a (3x －12a )， 即(y －4a 3)2＝4a3(x －4a ).又点C 与A ，B 不重合，∴x ≠(6±25)a ，∴△ABC 的重心的轨迹方程为(y －4a 3)2＝4a3(x －4a )(x ≠(6±25)a ).思维升华 “相关点法”的基本步骤：(1)设点：设被动点坐标为(x ，y )，主动点坐标为(x 1，y 1)；(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝f (x ，y )，y 1＝g (x ，y )；(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程.设F (1,0)，M 点在x 轴上，P 点在y 轴上，且MN →＝2MP →，PM →⊥PF →，当点P在y 轴上运动时，求点N 的轨迹方程. 解 设M (x 0,0)，P (0，y 0)，N (x ，y )，∵PM →⊥PF →，PM →＝(x 0，－y 0)，PF →＝(1，－y 0)， ∴(x 0，－y 0)·(1，－y 0)＝0，∴x 0＋y 20＝0. 由MN →＝2MP →得(x －x 0，y )＝2(－x 0，y 0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －x 0＝－2x 0y ＝2y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－x y 0＝12y. ∴－x ＋y 24＝0，即y 2＝4x .故所求的点N 的轨迹方程是y 2＝4x . 题型三 直接法求轨迹方程例3 (2013·陕西)已知动圆过定点A (4,0)，且在y 轴上截得弦MN 的长为8. (1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)已知点B (－1,0)，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是∠PBQ 的角平分线，证明：直线l 过定点.思维启迪 (1)利用曲线的求法求解轨迹方程，但要注意结合图形寻求等量关系； (2)设出直线方程，结合直线与圆锥曲线的位置关系转化为方程的根与系数的关系求解，要特别注意判别式与位置关系的联系.(1)解 如图，设动圆圆心为O 1(x ，y )，由题意，得|O 1A |＝|O 1M |，当O 1不在y 轴上时，过O 1作O 1H ⊥MN 交MN 于H ，则H 是MN 的中点， ∴|O 1M |＝x 2＋42， 又|O 1A |＝(x －4)2＋y 2，∴(x －4)2＋y 2＝x 2＋42，化简得y 2＝8x (x ≠0).又当O 1在y 轴上时，O 1与O 重合，点O 1的坐标为(0,0)也满足方程y 2＝8x ， ∴动圆圆心的轨迹C 的方程为y 2＝8x . (2)证明 由题意，设直线l 的方程为 y ＝kx ＋b (k ≠0)， P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋b 代入y 2＝8x 中， 得k 2x 2＋(2bk －8)x ＋b 2＝0. 其中Δ＝－32kb ＋64>0.由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝8－2bkk 2，① x 1x 2＝b 2k2，②因为x 轴是∠PBQ 的角平分线，所以y 1x 1＋1＝－y 2x 2＋1，即y 1(x 2＋1)＋y 2(x 1＋1)＝0， (kx 1＋b )(x 2＋1)＋(kx 2＋b )(x 1＋1)＝0， 2kx 1x 2＋(b ＋k )(x 1＋x 2)＋2b ＝0③将①，②代入③得2kb 2＋(k ＋b )(8－2bk )＋2k 2b ＝0， ∴k ＝－b ，此时Δ>0，∴直线l 的方程为y ＝k (x －1)，即直线l 过定点(1,0).思维升华 直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性.通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略.如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步.求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性.如图所示，过点P (2,4)作互相垂直的直线l 1，l 2，若l 1交x 轴于A ，l 2交y 轴于B ，求线段AB 中点M 的轨迹方程. 解 设点M 的坐标为(x ，y )， ∵M 是线段AB 的中点，∴A 点的坐标为(2x,0)，B 点的坐标为(0,2y ). ∴P A →＝(2x －2，－4)，PB →＝(－2,2y －4). 由已知P A →·PB →＝0，∴－2(2x －2)－4(2y －4)＝0， 即x ＋2y －5＝0.∴线段AB 中点M 的轨迹方程为x ＋2y －5＝0.分类讨论思想在曲线与方程中的应用典例：(12分)已知抛物线y 2＝2px 经过点M (2，－22)，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的右焦点恰为抛物线的焦点，且椭圆的离心率为12.(1)求抛物线与椭圆的方程；(2)若P 为椭圆上一个动点，Q 为过点P 且垂直于x 轴的直线上的一点，|OP ||OQ |＝λ(λ≠0)，试求Q 的轨迹.思维启迪 由含参数的方程讨论曲线类型时，关键是确定分类标准，一般情况下，分类标准的确立有两点：一是二次项系数分别为0时的参数值，二是二次项系数相等时的参数值，然后确定分类标准进行讨论，讨论时注意表述准确. 规范解答解 (1)因为抛物线y 2＝2px 经过点M (2，－22)， 所以(－22)2＝4p ，解得p ＝2.[2分]所以抛物线的方程为y 2＝4x ，其焦点为F (1,0)， 即椭圆的右焦点为F (1,0)，得c ＝1.又椭圆的离心率为12，所以a ＝2，可得b 2＝4－1＝3，故椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.[6分](2)设Q (x ，y )，其中x ∈[－2,2]，设P (x ，y 0)， 因为P 为椭圆上一点，所以x 24＋y 203＝1，解得y 20＝3－34x 2.由|OP ||OQ |＝λ可得|OP |2|OQ |2＝λ2， 故x 2＋3－34x 2x 2＋y2＝λ2.得(λ2－14)x 2＋λ2y 2＝3，x ∈[－2,2].[9分]当λ2＝14，即λ＝12时，得y2＝12，点Q的轨迹方程为y＝±23，x∈[－2,2]，此轨迹是两条平行于x轴的线段；当λ2<14，即0<λ<12时，得到x23λ2－14＋y23λ2＝1，此轨迹表示实轴在y轴上的双曲线满足x∈[－2,2]的部分；[11分]当λ2>14，即λ>12时，得到x23λ2－14＋y23λ2＝1，此轨迹表示长轴在x轴上的椭圆满足x∈[－2,2]的部分.[12分]温馨提醒此题求轨迹既有直接法，又有相关点法.求出轨迹方程后，容易忽略x的范围，导致轨迹图形出错.备考建议：(1)区分求轨迹方程与求轨迹的问题.(2)对常见的曲线特征要熟悉掌握.(3)除此之外，正确进行化简与计算是必须具备的基本能力.方法与技巧求轨迹的常用方法(1)直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量(如距离与角)的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只需把这种关系转化为x、y的等式就得到曲线的轨迹方程. (2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程——先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数.(3)定义法：其动点的轨迹符合某一基本轨迹(如直线或圆锥曲线)的定义，则可根据定义采用设方程，求方程系数得到动点的轨迹方程.(4)代入法(相关点法)：当所求动点M是随着另一动点P(称之为相关点)而运动.如果相关点P所满足某一曲线方程，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，再把相关点代入曲线方程，就把相关点所满足的方程转化为动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做相关点法或代入法.失误与防范1.求轨迹方程时，要注意曲线上的点与方程的解是一一对应关系.检验可从以下两个方面进行：一是方程的化简是否是同解变形；二是是否符合题目的实际意义.2.求点的轨迹与轨迹方程是不同的要求，求轨迹时，应先求轨迹方程，然后根据方程说明轨迹的形状、位置、大小等.A组专项基础训练(时间：40分钟)一、选择题1.已知命题“曲线C 上的点的坐标是方程f (x ，y )＝0的解”是正确的，则下列命题中正确的是 ( )A.满足方程f (x ，y )＝0的点都在曲线C 上B.方程f (x ，y )＝0是曲线C 的方程C.方程f (x ，y )＝0所表示的曲线不一定是CD.以上说法都正确答案 C解析 曲线C 可能只是方程f (x ，y )＝0所表示的曲线上的某一小段，因此只有C 正确.2.设圆C 与圆x 2＋(y －3)2＝1外切，与直线y ＝0相切，则C 的圆心轨迹为( ) A.抛物线B.双曲线C.椭圆D.圆 答案 A解析 设圆C 的半径为r ，则圆心C 到直线y ＝0的距离为r .由两圆外切可得，圆心C 到点(0,3)的距离为r ＋1，也就是说，圆心C 到点(0,3)的距离比到直线y ＝0的距离大1，故点C 到点(0,3)的距离和它到直线y ＝－1的距离相等，符合抛物线的特征，故点C 的轨迹为抛物线.3.设点A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，P A 是圆的切线，且|P A |＝1，则P 点的轨迹方程为( )A.y 2＝2xB.(x －1)2＋y 2＝4C.y 2＝－2xD.(x －1)2＋y 2＝2 答案 D解析 由题意知P 到圆心(1,0)的距离为2，∴P 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝2.4.△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是( ) A.x 29－y 216＝1B.x 216－y 29＝1C.x 29－y 216＝1 (x >3) D.x 216－y 29＝1 (x >4) 答案 C解析 如图，|AD |＝|AE |＝8，|BF |＝|BE |＝2，|CD |＝|CF |，所以|CA |－|CB |＝8－2＝6.根据双曲线定义，所求轨迹是以A 、B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为x 29－y 216＝1 (x >3). 5.有一动圆P 恒过定点F (a,0)(a >0)且与y 轴相交于点A 、B ，若△ABP 为正三角形，则点P 的轨迹为( ) A.直线B.圆C.椭圆D.双曲线 答案 D解析 设P (x ，y )，动圆P 的半径为R ，由于△ABP 为正三角形，∴P 到y 轴的距离d ＝32R ，即|x |＝32R . 而R ＝|PF |＝(x －a )2＋y 2， ∴|x |＝32·(x －a )2＋y 2. 整理得(x ＋3a )2－3y 2＝12a 2，即(x ＋3a )212a 2－y 24a2＝1. ∴点P 的轨迹为双曲线.二、填空题6.设P 是圆x 2＋y 2＝100上的动点，点A (8,0)，线段AP 的垂直平分线交半径OP 于M 点，则点M 的轨迹为__________.答案 椭圆解析 如图，设M (x ，y )，由于l 是AP 的垂直平分线，于是|AM |＝|PM |，又由于10＝|OP |＝|OM |＋|MP |＝|OM |＋|MA |，即|OM |＋|MA |＝10，也就是说，动点M 到O (0,0)及A (8,0 )的距离之和是10，故动点M 的轨迹是以O (0,0)、A (8,0)为焦点，中心在(4,0)，长半轴长是5的椭圆.7.已知△ABC 的顶点B (0,0)，C (5,0)，AB 边上的中线长|CD |＝3，则顶点A 的轨迹方程为________________.答案 (x －10)2＋y 2＝36(y ≠0)解析 设A (x ，y )，则D (x 2，y 2)，∴|CD |＝ (x 2－5)2＋y 24＝3， 化简得(x －10)2＋y 2＝36，由于A 、B 、C 三点构成三角形，∴A 不能落在x 轴上，即y ≠0.8. P 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1上的任意一点，F 1，F 2是它的两个焦点，O 为坐标原点，OQ →＝PF 1→＋PF 2→，则动点Q 的轨迹方程是________________.答案 x 24a 2＋y 24b2＝1 解析 由于OQ →＝PF 1→＋PF 2→，又PF 1→＋PF 2→＝PM →＝2PO →＝－2OP →，设Q (x ，y )，则OP →＝－12OQ → ＝(－x 2，－y 2)， 即P 点坐标为(－x 2，－y 2)， 又P 在椭圆上，则有(－x 2)2a 2＋(－y 2)2b 2＝1上， 即x 24a 2＋y 24b2＝1. 三、解答题9.已知曲线E ：ax 2＋by 2＝1(a >0，b >0)，经过点M (33，0)的直线l 与曲线E 交于点A ，B ，且MB →＝－2MA →.若点B 的坐标为(0,2)，求曲线E 的方程.解 设A (x 0，y 0)，∵B (0,2)，M (33，0)， 故MB →＝(－33，2)，MA →＝(x 0－33，y 0). 由于MB →＝－2MA →，∴(－33，2)＝－2(x 0－33，y 0). ∴x 0＝32，y 0＝－1，即A (32，－1). ∵A ，B 都在曲线E 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ·02＋b ·22＝1a ·(32)2＋b ·(－1)2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1b ＝14.∴曲线E 的方程为x 2＋y 24＝1. 10.已知点P 是圆O ：x 2＋y 2＝9上的任意一点，过P 作PD 垂直x 轴于D ，动点Q 满足DQ →＝23DP →. (1)求动点Q 的轨迹方程；(2)已知点E (1,1)，在动点Q 的轨迹上是否存在两个不重合的点M 、N ，使OE →＝12(OM →＋ON →)(O 是坐标原点).若存在，求出直线MN 的方程；若不存在，请说明理由.解 (1)设P (x 0，y 0)，Q (x ，y )，依题意，则点D 的坐标为D (x 0,0)，∴DQ →＝(x －x 0，y )，DP →＝(0，y 0)，又DQ →＝23DP →，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －x 0＝0y ＝23y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝x y 0＝32y . ∵P 在圆O 上，故x 20＋y 20＝9，∴x 29＋y 24＝1. ∴点Q 的轨迹方程为x 29＋y 24＝1. (2)存在.假设椭圆x 29＋y 24＝1上存在两个不重合的点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)满足OE →＝12(OM →＋ON →)，则E (1,1)是线段MN 的中点，且有⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 22＝1y 1＋y 22＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2y 1＋y 2＝2. 又M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)在椭圆x 29＋y 24＝1上， ∴⎩⎨⎧ x 219＋y 214＝1x 229＋y 224＝1，两式相减，得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)9＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)4＝0. ∴k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－49， ∴直线MN 的方程为4x ＋9y －13＝0.∴椭圆上存在点M 、N 满足OE →＝12(OM →＋ON →)， 此时直线MN 的方程为4x ＋9y －13＝0.B 组 专项能力提升(时间：30分钟)1.已知定点P (x 0，y 0)不在直线l ：f (x ，y )＝0上，则方程f (x ，y )－f (x 0，y 0)＝0表示一条( )A.过点P 且平行于l 的直线B.过点P 且垂直于l 的直线C.不过点P 但平行于l 的直线D.不过点P 但垂直于l 的直线答案 A解析 由题意知f (x 0，y 0)≠0，又f (x 0，y 0)－f (x 0，y 0)＝0，∴直线f (x ，y )＝0与直线f (x ，y )－f (x 0，y 0)＝0平行，且点P 在直线f (x ，y )－f (x 0，y 0)＝0上.2.平面直角坐标系中，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满足OC →＝λ1OA →＋λ2OB →(O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹是( )A.直线B.椭圆C.圆D.双曲线 答案 A解析 设C (x ，y )，则OC →＝(x ，y )，OA →＝(3,1)，OB →＝(－1,3)， ∵OC →＝λ1OA →＋λ2OB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3λ1－λ2y ＝λ1＋3λ2， 又λ1＋λ2＝1，∴x ＋2y －5＝0，表示一条直线.3.点P 是以F 1、F 2为焦点的椭圆上一点，过焦点作∠F 1PF 2外角平分线的垂线，垂足为M ，则点M 的轨迹是( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线答案 A解析 如图，延长F 2M 交F 1P 延长线于N .∵|PF 2|＝|PN |，∴|F 1N |＝2a .连接OM ，则在△NF 1F 2中，OM 为中位线，则|OM |＝12|F 1N |＝a .∴M 的轨迹是圆. 4.已知M (－2,0)，N (2,0)，则以MN 为斜边的直角三角形的直角顶点P 的轨迹方程是______________.答案 x 2＋y 2＝4 (x ≠±2)解析 设P (x ，y )，因为△MPN 为直角三角形，∴|MP |2＋|NP |2＝|MN |2，∴(x ＋2)2＋y 2＋(x －2)2＋y 2＝16，整理得，x 2＋y 2＝4.∵M ，N ，P 不共线，∴x ≠±2，∴轨迹方程为x 2＋y 2＝4 (x ≠±2).5.如图所示，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M 在AB 上，且AM＝13AB ，点P 在平面ABCD 上，且动点P 到直线A 1D 1的距离的平方与 P 到点M 的距离的平方差为1，在平面直角坐标系xAy 中，动点P 的轨迹方程是____________.答案 y 2＝23x －19解析 过P 作PQ ⊥AD 于Q ，再过Q 作QH ⊥A 1D 1于H ，连接PH 、PM ， 可证PH ⊥A 1D 1，设P (x ，y )，由|PH |2－|PM |2＝1，得x 2＋1－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －132＋y 2＝1，化简得y 2＝23x －19.6.如图，DP ⊥x 轴，点M 在DP 的延长线上，且|DM |＝2|DP |.当点P 在圆 x 2＋y 2＝1上运动时.(1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)过点T (0，t )作圆x 2＋y 2＝1的切线l 交曲线C 于A 、B 两点，求△AOB 面积S 的最大值和相应的点T 的坐标.解 (1)设点M 的坐标为(x ，y )，点P 的坐标为(x 0，y 0)，则x ＝x 0，y ＝2y 0，所以x 0＝x ，y 0＝y 2，① 因为P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上，所以x 20＋y 20＝1.② 将①代入②，得点M 的轨迹C 的方程为x 2＋y 24＝1.(2)由题意知，|t |≥1.当t ＝1时，切线l 的方程为y ＝1，点A 、B 的坐标分别为(－32，1)，(32，1)，此时|AB |＝3，当t ＝－1时，同理可得|AB |＝3；当|t |>1时，设切线l 的方程为y ＝kx ＋t ，k ∈R ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋tx 2＋y24＝1得(4＋k 2)x 2＋2ktx ＋t 2－4＝0.③设A 、B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则由③得x 1＋x 2＝－2kt 4＋k 2，x 1x 2＝t 2－44＋k 2.又由l 与圆x 2＋y 2＝1相切，得|t |k 2＋1＝1，即t 2＝k 2＋1，所以|AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝ (1＋k 2)[4k 2t 2(4＋k 2)2－4(t 2－4)4＋k 2]＝43|t |t 2＋3. 因为|AB |＝43|t |t 2＋3＝43|t |＋3|t |， 且当t ＝±3时，|AB |＝2，所以|AB |的最大值为2. 依题意，圆心O 到直线AB 的距离为圆x 2＋y 2＝1的半径，所以△AOB 面积S 的最大值为12×2×1＝1， 此时t ＝±3，相应的点T 的坐标为(0，－3)或(0，3).。