零极点的一系列分析
8-6 H(z)的零、极点分析
对于阶线性时不变离散时间系统，其系统函数为
式中，均为的多项式，并分别进行因式分解后可写为
(8-60)
式中，是的零点；是的极点；为一个实常数。它们由差分方程的系数决定。
一、H(z)零、极点分布与系统的时域特性观看动画
由于系统函数与单位序列响应是一对z变换，即
所以，完全可以从的零、极点分布情况确定单位序列响应的性质。
对于具有一阶极点的系统函数，由前一节讨论可知，其单位序列响应为
式中，, 取决于的零、极点及常量。这样，上式可表示成
(8-61)
这里，极点可以是实数，也可以是成对的共轭复数。
可见，离散时间系统的时域特性可由反映，而的极点决定的性质，零点只影响的幅度与相位。
对于一阶极点的情况，极点分布与中第个分量形状之间的关系示意于图8-6。图中“×”表示的一阶单极点位置。
对于一阶单极点，若所有极点位于z平面单位圆内，即，随增大而指数衰减，当时，；当含有单位圆即上极点外，其余极点位于单位圆内时，随增大，逐渐稳定在某一有限范围内变化；当含有z平面单位圆外极点时，随增大而增大，当时，。
对于重极点，也可通过极点分布情况研究的特性，可知只要极点位于z平面单位圆内，必有，。当含有上的多重极点时，必有，。
图8-6
二、H(z)零极点分布与系统频率特性
对于线性时不变离散时间系统，当系统函数收敛域包括单位圆时，其频率特性表示为
(8-62)
式中，称为离散时间系统的幅频特性(或幅频响应)；为的幅角，称为离散时间系统的相频特性(或相频响应)。对于由实系数差分方程描述的离散系统，有
, 。
与连续时间系统正弦激励下的响应类似，也可看做离散时间系统激励为正弦序列时的稳态响应“加权”。因当时
有
仅考虑极点位于单位圆内的情况，则
式中，，对于稳态响应部分，可求得
因此，当激励是正弦序列时，系统的稳态响应也是同频率正弦序列，其幅值为激励幅值与系统幅频特性值的乘积，其相位为激励初相位与系统相频特性值之和。
如果已知系统函数在z平面上零、极点的分布，则可通过几何方法简便直观地求出离散系统的频率响应，即已知
有(8-63)
仿照连续时间系统中计算的几何作图法，在z平面也可逐点求得离散时间系统的频率响应。利用极坐标表示形式
有
于是幅频响应为
(8-64)
相频响应为
图8-7
(8-65)
式中，, 分别表示z平面上极点到单位圆上某点的矢量的长度和夹角；,分别表示零点到的矢量的长度和夹角，如图8-7所示。如果单位圆上点不断移动，就可以得到全部的频率响应。显然由于是周期为的周期函数，因而也是周期函数，因此只要点转一周就可以确定系统的频率响应。利用这种方法可以比较方便地由的零、极点位置求出系统的频率响应。可见频率响应的形状取决于的零、极点分布，也就是说，取决于离散时间系统的形式及差分方程各系数的大小。
由的几何表示可以看出，位于z=0处的零点或极点对幅频特性不产生作用，而只影响相频特性。当点旋转移动到某靠近单位圆的极点附近时，由于取最小值，会使相应幅频特性呈现峰值；相反，当点移到某个靠近单位圆的零点附近时，由于
取极小值，而会使相应幅频特性呈现谷值。
图8-8
例8-27图8-8所示为某离散时间系统z域模拟框图，求该系统的频率响应。
解由图8-8可写出系统z域方程为
即
系统函数为
由式(8-62)，得到频率响应为
将上式分母有理化，并整理得
故幅频响应为
相频响应为
幅频响应和相频响应曲线如图8-9所示。可见频率响应呈现周期性变化，在本例中，其周期为。
图8-9
三、H(z)与系统正弦稳态响应
如果系统函数的收敛域包括z平面单位圆，激励信号为
则对应系统的正弦稳态响应为
(8-66)
式中，和分别为系统幅频特性和相频特性。
例8-28已知某离散系统的系统函数。试求激励
，时系统正弦稳态响应。
解因收敛域，包括单位圆，有
将代入上式，得
所以当激励时，系统正弦稳态响应为
关于零点和极点的讨论
【转】关于零点和极点的讨论 2011-08-13 19:46 转载自wycswycs 最终编辑hyleon023 一、传递函数中的零点和极点的物理意义： 零点：当系统输入幅度不为零且输入频率使系统输出为零时，此输入频率值即为零点。极点：当系统输入幅度不为零且输入频率使系统输出为无穷大（系统稳定破坏，发生振荡）时，此频率值即为极点。举例：有时你家音响或电视机壳发出一阵阵尖厉嘶嘶声，此时聪明的你定会知道机壳螺丝松了，拧紧螺丝噪声问题就解决了。其实，你所做的就是极点补偿，拧紧螺丝——你大大降低了系统极点频率。当然此处系统是指机械振动系统不是电路系统，但原理一样。抛砖引玉尔，希望更多答案。（这一段有待讨论） 二、每一个极点之处，增益衰减-3db, 并移相-45度。极点之后每十倍频，增益下降20db.零点与极点相反；每一个零点之处，增益增加3db,并移相45度。零点之后，每十倍频，增益增加20db。波特图如下： 以下是极点图，零点图与极点图相反。极点零点一般用于环路的稳定性分析。 附上一个零点图
1、由于在CMOS里面一般栅端到地的电容较大，所以一般人们就去取这个极点，也就是说输入信号频率使得节点到地的阻抗无穷大（也就是所谓的1/RC）R为到地电阻，C为到地电容（并联产生极点）零点在CMOS中往往是由于信号通路上的电容产生的，即使得信号到地的阻抗为0，在密勒补偿中，不只是将主极点向里推，将次极点向外推（增大了电容），同时还产生了一个零点（与第三极点频率接近），只不过人们一般只关心前者。 2、经验上来讲，放大器电路中高阻抗的节点都要注意，即使这点上电容很小，都会产生一个很大的极点。零点一般就不那么直观了，通常如果两路out of phase的信号相交就会产生零点，但这不能解释所有的零点。 3、个人觉得零点、极点只是电路分析中抽象出来的辅助方法，可以通过零极点分析电路动作特征，然而既然有抽象肯定有它的物理表现，极点从波特图上看两个作用：延时和降低增益，在反馈系统中作用就是降低反馈信号幅度以及反馈回去的时间，所以如果某个节点存在对地电容，必然会对电容充电，同时电容和前级输出电阻还存在分压，所以这个电容会产生极点！而要保持稳定，则要看在激励情况下反馈信号会不会持续增加？而这就需要分析信号在通过电路的过程中的衰减或增加和加快或者减慢，零极点这就表征了电路的这种特性，所以可能某个节点会产生极点，也可能整个系统不同信号通路相互作用产生零极点。 俺也谈谈我的看法： 1。零/极点的产生与反馈与否似乎没有直接联系。一个电路的小信号模型中存在某一个节点，这个节点有两条通路与其
系统函数的零极点分布决定时域特性
摘要 本文详细分析了系统函数零极点的分布与冲击响应时域特性之间的关系。首先论述了如何通过MATLAB软件绘制出系统函数的零极点分布图。然后根据系统函数极点的不同分布情况，通过MATLAB软件绘制出冲击响应的时域函数，通过对图像的观察和比较，得出了极点的类型决定时间函数的时间连续形式，极点在S平面的位置决定时间函数的波形特点。最后，在极点相同，但零点不同的情况下，通过比较时域函数的波形，得出零点分布与时域函数的对应关系，即零点分布的情况只影响到时域函数的幅度和相位。 关键词：系统函数的零极点；时域特性；MATLAB软件
目录 1课程设计目的 (1) 2实验原理 (1) 3实现过程 (1) 3.1MATLAB简介 (1) 3.2系统函数极点分布情况 (2) 3.2.1极点为单实根 (2) 3.2.2极点为共轭复根 (2) 3.2.3极点为重根 (2) 3.2.4用MATLAB绘制系统函数的零极点分布图 (2) 3.3系统函数的零极点分布与冲击响应时域特性的关系 (6) 3.3.1用MATLAB绘制冲击响应的时域函数 (6) 3.3.2极点的类型决定时间函数的时间连续形式 (19) 3.3.3极点在S平面的位置决定时间函数的波形特点 (19) 3.3.4零点分布与时域函数的对应关系 (19) 4设计体会 (23) 5参考文献 (24)
1 课程设计目的 1.掌握系统函数的零极点分布与系统冲激响应时域特性之间的关系。 2.学习MATLAB 软件知识及应用。 3.利用MATLAB 编程，完成相应的信号分析和处理。 2 实验原理 拉普拉斯变换将时域函数f(t)变换为s 域函数F(s)；反之，拉普拉斯逆变换将F(s)变换为相应的f(t)。由于f(t)与F(s)之间存在一定的对应关系，故可以从函数F(s)的典型形式透视出f(t)的内在性质。当F(s)为有理函数时，其分子多项式和分母多项式皆可分解为因子形式，各项因子指明了F(s)零点和极点的位置，显然，从这些零点和极点的分布情况，便可确定原函数的性质。 设连续系统的系统函数为)(s H ，冲激响应为)(t h ，则 ?+∞ -=0)()(dt e t h s H st 显然，)(s H 必然包含了)(t h 的本质特性。 对于集中参数的LTI 连续系统，其系统函数可表示为关于s 的两个多项式之比，即 其中),,2,1(M j q j =为)(s H 的M 个零点，),,2,1(N i p i =为)(s H 的N 个极点。 3 实现过程 3.1 MATLAB 简介 MALAB 译于矩阵实验室（MATrix LABoratory ），是用来提供通往 LINPACK 和EISPACK 矩阵软件包接口的。后来，它渐渐发展成了通用科技计算、图视交互系统和程序语言。 MATLAB 的基本数据单位是矩阵。它的指令表达与数学、工程中常用的习惯形式十分相似。比如，矩阵方程Ax=b ，在MATLAB 中被写成A*x=b 。而若要通过A ，b 求x ，那么只要写x =A \b 即可，完全不需要对矩阵的乘法和求逆进行编程。因此，用MATLAB 解算问题要比用C 、Fortran 等语言简捷得多。 MATLAB 发展到现在，已经成为一个系列产品：MATLAB “主包”和各种可选的toolbox “工具包”。主包中有数百个核心内部函数。迄今所有的三十几个工具包又可分为两类：功能性工具包和学科性工具包。功能性工具包主要用来扩充MATLAB 的符号计 ∏∏1 1) -()-() () ()(N i i M j j p s q s C s A s B s H ====
零极点对系统的性能影响分析
零极点对系统性能的影响分析 1任务步骤 1.分析原开环传递函数G0（s）的性能，绘制系统的阶跃响应曲线得到系 统的暂态性能（包括上升时间，超调时间，超调量，调节时间）； 2.在G0（s）上增加零点，使开环传递函数为G1（s），绘制系统的根轨迹, 分析系统的稳定性； 3.取不同的开环传递函数G1（s）零点的值，绘制系统的阶跃响应曲线得 到系统的暂态性能（包括上升时间，超调时间，超调量，调节时间）； 4.综合数据，分析零点对系统性能的影响 5.在G0（s）上增加极点，使开环传递函数为G2（s），绘制系统的根轨迹， 分析系统的稳定性； 6.取不同的开环传递函数G2（s）极点的值，绘制系统的阶跃响应曲线得 到系统的暂态性能（包括上升时间，超调时间，超调量，调节时间）； 7.综合数据，分析极点对系统性能的影响。 8.增加一对离原点近的偶极子和一对距离原点远的偶极子来验证偶极子 对消的规律。
2原开环传递函数G0（s）的性能分析 2.1 G0（s）的根轨迹 取原开环传递函数为： Matlab指令： num=[1]; den=[1,0.8,0.15]; rlocus(num,den); 得到图形： 图1 原函数G0(s)的根轨迹 根据原函数的根轨迹可得：系统的两个极点分别是-0.5和-0.3，分离点为-0.4，零点在无限远处，系统是稳定的。 2.2 G0（s）的阶跃响应 Matlab指令： G=zpk([],[-0.3,-0.5],[1]) sys=feedback(G,1) step(sys) 得到图形：
图2 原函数的阶跃响应曲线 由阶跃响应曲线分析系统暂态性能： 曲线最大峰值为1.12，稳态值为0.87， 上升时间tr=1.97s 超调时间tp=3.15s 调节时间ts=9.95s ，2=? 超调量% p σ=28.3%
绘制离散系统零极点图.
绘制离散系统零极点图：zplane() 滤波器 绘制离散系统零极点图：zplane() zplane(Z,P) 以单位圆为基准绘制零极点图，在图中以'o'表示零点，以'x'表示极点，如果存在重零极点，则在它们的右上方显示其数目。如果零极点是用矩阵来表示，在不同行内的零极点用不同的颜 色来表示。 zplane(B, A) 输入的是传递函数模型，则函数将首先调用root 函数以求出它们的零极点。 [H1, H2, H3]=zplane(Z,P) 函数返回图形对象的句柄。其中，H1返回的是零点线的句柄；H2返回的是极点线的句柄；H3返回的是轴和单位圆线条句柄。如果有重零极点，它还包括显示在其右上方 的文本句柄。 例：设计一个数字椭圆带阻滤波器，具体要求是：通带截止频率是 wp1=1500Hz，wp2=2500Hz，阻带截止频率是ws1=1000Hz，ws2=3000Hz，在通带内的最大衰减为0.5dB，在阻带内的最小衰减 为60dB 程序设计如下： wp1=1500; wp2=2500; ws1=1000; ws2=3000; Fs=100 00Hz; rp=0.5; rs=60; wp=[wp1,wp2]; ws=[ws1,ws2]; [n,wn]=ellipord(wp/(Fs/2), ws/(Fs/2), rp, rs); [num,den]=ellip(n, rp, rs, wn, 'stop'); [H, W]=freqz(num, den); figure; plot(W*Fs/(2*pi), abs(H)); grid; xlabel('频率/Hz'); ylabel('幅值'); figure; impz(num, den); figure; grpdelay(num, den); figure; zplane(num, den); FREQZ 是计算数字滤波器的频率响应的函数
零极点分布对系统频率响应的影响
备注：(1)、按照要求独立完成实验内容。 (2)、实验结束后，把电子版实验报告按 要求格式改名(例：09 号_张三 _实验七.doc)后，实验室统一刻 盘留档。 实验三零极点分布对系统频 率响应的影响 一、实验目的 1. 掌握系统差分方程得到系统函数的方法； 2. 掌握系统单位脉冲响应获取系统函数的方法； 3. 掌握用系统函数零级点分布的几何方法分析研究系统的频率响应 二、实验原理 在MA TLAB 中，可以用函数[z，p，K]=tf2zp ( num ，den)求得有理分式形式的系统转移函数的零、极点，用函数zplane( z，p)绘出 零、极点分布图；也可以用函数 zplane( num，den)直接绘出有理分式形式的系统转移函数的零、极点分布图。 另外，在MA TLAB 中，可以用函数[r，p，k]=residuez(num，den)完成部分分式展开计算；可以用函数sos=zp2sos( z，p，K )完成三、实验内容(包括代码与产生的图形) 1. 假设系统用下面差分方程描述： y(n)=x(n)+ay(n-1) 假设a=0.7, 0.8, 0.9 ，分别在三种情况下分析系统的频率特性，并打印幅度特性曲线。 B=1; A=[1,-0.7]; subplot(3,3,1);zplane(B,A); xlabel(' 实部Re'); ylabel(' 虚部Im'); title('y(n)=x(n)+0.7y(n-1) 传输函数零、极点分布'); grid on [H,w]=freqz(B,A,'whole'); subplot(3,3,4); 将高阶系统分解为 2 阶系统的串联。plot(w/pi,abs(H),'linewidth',2);
零极点分布对系统频率响应的影响
备注：（1）、按照要求独立完成实验内容。 （2）、实验结束后，把电子版实验报告 按要求格式改名（例：09号_张 三_实验七.doc）后，实验室统一 刻盘留档。 实验三零极点分布对系统频 率响应的影响 一、实验目的 1.掌握系统差分方程得到系统函数的方法； 2.掌握系统单位脉冲响应获取系统函数的方法； 3.掌握用系统函数零级点分布的几何方法分析研究系统的频率响应 二、实验原理 在MA TLAB中，可以用函数[z，p，K]=tf2zp （num，den）求得有理分式形式的系统转移函数的零、极点，用函数zplane（z，p）绘出零、极点分布图；也可以用函数zplane（num，den）直接绘出有理分式形式的系统转移函数的零、极点分布图。 另外，在MA TLAB中，可以用函数 [r，p，k]=residuez（num，den）完成部分分式展开计算；可以用函数sos=zp2sos（z，p，K）完成将高阶系统分解为2阶系统的串联。三、实验内容（包括代码与产生的图形） 1. 假设系统用下面差分方程描述： y(n)=x(n)+ay(n-1) 假设a=0.7, 0.8, 0.9 ，分别在三种情况下分析系统的频率特性，并打印幅度特性曲线。 B=1; A=[1,-0.7]; subplot(3,3,1);zplane(B,A); xlabel('实部Re'); ylabel('虚部Im'); title('y(n)=x(n)+0.7y(n-1)传输函数零、极点分布'); grid on [H,w]=freqz(B,A,'whole'); subplot(3,3,4); plot(w/pi,abs(H),'linewidth',2);
matlab实验四 系统的零极点分析
实验四连续时间系统复频域分析和离散时间系统z域分析 一.实验目的： 1.掌握连续信号拉氏变换和拉氏反变换的基本实现方法。 2.熟悉laplace函数求拉普拉斯变换，ilaplace函数求拉氏反变换 的使用。 3.掌握用ztrans函数，iztrans函数求离散时间信号z变换和逆z 变换的基本实现方法。 4.掌握用freqs函数，freqz函数由连续时间系统和离散时间系统 系统函数求频率响应。 5.掌握zplane零极点绘图函数的使用并了解使用零极点图判断系 统稳定性的原理。 二、实验原理： 1.拉氏变换和逆变换 原函数()() ?象函数 f t F s 记作：[()]() =→拉氏变换 L f t F s 1[()]() -=→拉氏反变换 L F s f t 涉及函数：laplace,ilapace. 例如：
syms t;laplace(cos(2*t)) 结果为：ans =s/(s^2+4) syms s;ilaplace(1./(s+1)) 结果为：ans = exp(-t) 2. 系统传递函数H(s)或H(z)。 12121212...()()()...m m m n n n b s b s b B s H s A s a s a s a ----+++==+++ 112112...()()()...m m m n n n b z b z b B z H z A z a z a z a --+--++++==+++ 其中，B 为分子多项式系数，A 为分母多项式系数。 涉及函数：freqz,freqs. 3. 系统零极点分布与稳定性的判定。 对于连续时间系统，系统极点位于s 域左半平面，系统稳定。 对于离散时间系统，系统极点位于z 域单位圆内部，系统稳定。 涉及函数：zplane. 三、 实验内容 1． 验证性实验 a) 系统零极点的求解和作图
零点、极点和偶极子对系统性能的影响
零点、极点和偶极子对系统性能的影响 我们知道在系统之中，适当的加入零点，极点还有偶极子，可以在某些方面提升系统的性能。但是加入某项时候，到底是如何提升的呢？为此，我们用matlab 软件来帮助我们分析，以方便我们进行比较。为了方便我们的比较，我们还将零点，极点还有偶极子对系统性能的影响分开来进行一个一个的讨论。这样我们可以更加直观的感受到他们的影响。（在分析的时候选择稳定的原始系统） 在分析的时候我们选择的原系统的闭环传递函数为： 通过matlab 编程和绘图我们可以得到()s G 的单位阶跃响应曲线如下图：
现在我们开始分析加入零点，极点和偶极子对系统性能的影响！ 一、零点 为了在方程之中添加一个零点，我们将系统的闭环传递函数变为: 我们可以通过matlab 编程，绘出 () 1s G 和()s G 的响应曲线，通过分析相应的 响应曲线，我们就可以得出相应的结论！ matlab 的编程为： n=4; d=[4,1,4]; t1=0:0.1:15; y1=step(n,d,t1); n1=[3,4]; y2=step(n1,d,t1); plot(t1,y1,'-r',t1,y2,'-g'),grid xlabel('t'),ylabel('c(t)'); title('单位阶跃响应')
两者的响应曲线为： 通过对两条响应曲线的分析我们不难得出以下的结论： （1）系统的稳定性没变，还是稳定系统； （2）系统的上升时间r t 减小； （3）系统的超调时间p t 减小； （4）系统的超调量 % p 变长； （5）系统的调节时间 s t 变长；
实验Z变换离散系统零极点分布和频率分析
实验三 Z 变换、离散系统零极点分布和频率分析 一、 实验目的 ● 学会运用MATLAB 求离散时间信号的z 变换和z 反变换； ● 学会运用MATLAB 分析离散时间系统的系统函数的零极点； ● 学会运用MATLAB 分析系统函数的零极点分布与其时域特性的关系； ● 学会运用MATLAB 进行离散时间系统的频率特性分析。 二、 实验仪器：电脑一台，MATLAB6.5或更高级版本软件一套。 三、 实验原理及实例分析 （一）离散时间信号的Z 变换 1．利用MATLAB 实现z 域的部分分式展开式 MATLAB 的信号处理工具箱提供了一个对F(Z)进行部分分式展开的函数residuez()，其调用形式为： [r,p,k]=residuez(num,den) 式中，num 和den 分别为F(Z)的分子多项式和分母多项式的系数向量，r 为部分分式的系数向量，p 为极点向量，k 为多项式的系数向量。 【实例3-1】 利用MATLAB 计算3 21431818 ) (-----+z z z z F 的部分分式展开式。 解：利用MATLAB 计算部分分式展开式程序为 % 部分分式展开式的实现程序 num=[18]; den=[18 3 -4 -1]; [r,p,k]=residuez(num,den) 2．Z 变换和Z 反变换 MATLAB 的符号数学工具箱提供了计算Z 变换的函数ztrans()和Z 反变换的函数iztrans （），其调用形式为 )()(F iztrans f f ztrans F ==
上面两式中，右端的f 和F 分别为时域表示式和z 域表示式的符号表示，可应用函数sym 来实现，其调用格式为 ()A sym S = 式中，A 为待分析的表示式的字符串，S 为符号化的数字或变量。 【实例3-2】求（1）指数序列()n u a n 的Z 变换;(2)()() 2 a z az z F -= 的Z 反变换。 解 （1）Z 变换的MATLAB 程序 % Z 变换的程序实现 f=sym('a^n'); F=ztrans(f) 程序运行结果为： z/a/(z/a-1) 可以用simplify( )化简得到 : -z/(-z+a) （2）Z 反变换的MATLAB 程序 % Z 反变换实现程序 F=sym('a*z/(z-a)^2'); f=iztrans(F) 程序运行结果为 f = a^n*n （二）系统函数的零极点分析 1. 系统函数的零极点分布 离散时间系统的系统函数定义为系统零状态响应的z 变换与激励的z 变换之比，即 ) () ()(z X z Y z H = （3-1） 如果系统函数)(z H 的有理函数表示式为：
离散系统的频率响应分析和零极点分布
离散系统的频率响应分析和零极点分布 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
实验2 离散系统的频率响应分析和零、极点分布一、实验目的 通过MATLAB仿真简单的离散时间系统，研究其时域特性，加深对离散系统的冲激响应，频率响应分析和零、极点分布的概念的理解。 二、基本原理 离散系统的时域方程为 其变换域分析方法如下： 频域 ) ( ) ( ) ( ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ω ω ωj j j m e H e X e Y m n h m x n h n x n y= ? - = * =∑∞ -∞ = 系统的频率响应为 ω ω ω ω ω ω ω jN N j jM M j j j j e d e d d e p e p p e D e p e H - - - - + + + + + + = = ... ... ) ( ) ( ) ( 1 1 Z域 ) ( ) ( ) ( ] [ ] [ ] [ ] [ ] [z H z X z Y m n h m x n h n x n y m = ? - = * =∑∞ -∞ = 系统的转移函数为 N N M M z d z d d z p z p p z D z p z H - - - - + + + + + + = = ... ... ) ( ) ( ) ( 1 1 1 1 分解因式 ∏- ∏- = ∑ ∑ = = - = - = - = - N i i M i i N i i k M i i k z z K z d z p z H 1 1 1 1 ) 1( ) 1( ) ( λ ξ ，其中i ξ 和i λ 称为零、极点。 在MATLAB中，可以用函数[z，p，K]=tf2zp（num，den）求得有理分式形式的系统转移函数的零、极点，用函数zplane（z，p）绘出零、极点分布图；也可以用函数zplane（num，den）直接绘出有理分式形式的系统转移函数的零、极点分布图。 另外，在MATLAB中，可以用函数 [r，p，k]=residuez（num，den）完成部分分式展开计算；可以用函数sos=zp2sos（z，p，K）完成将高阶系统分解为2阶系统的串联。
零极点对系统性能的影响分析
摘要 本次课程设计主要是分析零极点对系统性能的影响。首先从根轨迹、奈奎斯特 曲线、伯德图和阶跃响应四方面分析原开环传递函数时的系统性能，然后在原开环 传递函数基础上增加一个零点，并且让零点的位置不断变化，分析增加零点之后系 统的性能，同时与原系统进行分析比较，发现增加的零点与虚轴的距离决定了对系 统影响的大小；再在原开环传递函数基础上增加一个极点，并且令极点位置不断变 化，分析增加极点后系统的性能，同时与原系统进行分析比较，同样发现增加的极 点与虚轴的距离决定了对系统的影响大小。 关键词：零极点开环传递函数系统性能 MATLAB 谐振带宽 The curriculum design is mainly the analysis of effect of zero pole on the performance of the system. First from the root locus, Nyquist curve, Bode diagram and step response analysis of four aspects of the original open-loop transfer function of the system performance, and then in the original open-loop transfer function is added on the basis of a zero, and let the zero point position changes continuously, increase system performance analysis of zero, at the same time and the original system analysis that increase, the zeros and the imaginary axis distance determines the impact on the system size; adding a pole in the original open-loop transfer function based on pole position, and make the changes, analysis of increasing performance point system, at the same time and the analysis of the original system, also found that increasing pole and the imaginary axis distance determines the impact on the size of the system. Keywords: zero pole open loop transfer function of system performance of MATLAB resonant bandwidth
系统的零极点分布决定时域特性
目录 一、引言 (1) 二、Matlab入门 (2) 2.1 Matlab7.0介绍 (2) 2.2利用Matlab7.0编程完成习题设计 (2) 三、利用Matlab7.0实现系统函数的零极点分布决定 时域特性的设计 (4) 3.1系统函数的零极点分布决定时域特性的基本原理 (4) 3.2编程设计及实现 (5) 3.3运行结果及其分析 (6) 四、结论 (11) 五、参考文献 (12)
一、引言 《信号与系统》课程是一门实用性较强、涉及面较广的专业基础课，该课程是将学生从电路分析的知识领域引入信号处理与传输领域的关键性课程,对后续专业课起着承上启下的作用. 该课的基本方法和理论大量应用于计算机信息处理的各个领域,特别是通信、数字语音处理、数字图像处理、数字信号分析等领域,应用更为广泛。 我们选择Matlab语言作为辅助教学工具，借助Matlab强大的计算能力和图形表现能力，将《信号与系统》中的概念、方法和相应的结果，以图形的形式直观地展现给我们，大大的方便我们迅速掌握和理解老师上课教的有关信号与系统的知识。 Matlab是当前最优秀的科学计算软件之一，也是许多科学领域中分析、应用和开发的基本工具。Matlab全称是Matrix Laboratory,是由美国Mathworks公司于20世纪80年代推出的数学软件，最初它是一种专门用于矩阵运算的软件，经过多年的发展，Matlab 已经发展成为一种功能全面的软件，几乎可以解决科学计算中的所有问题。而且MATLAB 编写简单、代码效率高等优点使得Matlab在通信、信号处理、金融计算等领域都已经被广泛应用。它具有强大的矩阵计算能力和良好的图形可视化功能，为用户提供了非常直观和简洁的程序开发环境，因此被称为第四代计算机语言。Matlab 强大的图形处理功能及符号运算功能，为我们实现信号的可视化及系统分析提供了强有力的工具。Matlab强大的工具箱函数可以分析连续信号、连续系统，同样也可以分析离散信号、离散系统，并可以对信号进行各种分析域计算，如相加、相乘、移位、反折、傅里叶变换、拉氏变换、z变换等等多种计算。 作为信号与系统的基本分析软件之一，利用Matlab进行信号与系统的分析与设计是通信以及信息工程学科的学生所要掌握的必要技能之一。通过学习并使用Matlab语言进行编程实现课题的要求，对学生能力的培养极为重要。尤其会提高综合运用所学理论知识进行分析问题、解决问题的能力，也便于将理论知识与实践相结合，并得以更好地掌握信号分析与处理的基本方法与实现。这也将为后续相关的课程学习打下一定的基础,从而在以后相关课程设计与分析的时候达到对Matlab的熟练应用与融会贯通。 二、Matlab入门 2.1 Matlab7.0介绍
零点与极点计算和分析
关于放大器极、零点与频率响应的初步实验 1．极零点的复杂性与必要性 一个简单单级共源差分对就包含四个极点和四个零点，如下图所示： 图1 简单单级共源全差分运放极零点及频率、相位响应示意图 上图为简单共源全差分运放的极零点以及频率响应的示意图，可以看到，运放共有四个极点，均为负实极点，共有四个零点，其中三个为负实零点，一个为正实零点。后面将要详细讨论各个极零点对运放的频率响应的影响。 正在设计中的折叠共源共栅运算放大器的整体极零点方针则包括了更多的极零点（有量级上的增长），如下图所示：
图2 folded-cascode with gain-boosting and bandgap all-poles details
图3 folded-cascode with gain-boosting and bandgap all-zeros details 从上述两张图可以看到，面对这样数量的极零点数量（各有46个），精确的计算是不可能的，只能依靠计算机仿真。但是手算可以估计几个主要极零点的大致位置，从而预期放大器的频率特性。同时从以上图中也可以看到，详细分析极零点情况也是很有必要的。可以看到46个极点中基本都为左半平面极点（负极
点）而仿真器特别标出有一个正极点（RHP ）。由于一般放大器的极点均应为LHP ，于是可以预期这个右半平面极点可能是一个设计上的缺陷所在。（具体原因现在还不明，可能存在问题的方面：1。推测是主放大器的CMFB 的补偿或者频率响应不合适。 2。推测是两个辅助放大器的带宽或频率响应或补偿电容值不合适）其次可以从极零点的对应中看到存在众多的极零点对（一般是由电流镜产生），这些极零点对产生极零相消效应，减少了所需要考虑的极零点的个数。另外可以看到46个零点中45个为负零点，一个为正零点，这个正零点即是需要考虑的对放大器稳定性产生直接影响的零点。 以上只是根据仿真结果进行的一些粗略的分析，进一步的学习和研究还需要 进行一系列实验。 1． 单极点传输函数——RC 低通电路 首先看一个最简单的单极点系统——RC 低通电 路，其中阻值为1k ，电容为1p ，传输函数为： sRC s H +=11)( 则预计极点p0=1/（2πRC ）=1.592e8 Hz ，仿真得 到结果与此相同。 而从输出点的频率响应图中可以得到以下几个结 论： 图4 一阶RC 积分电路 1）-3dB 带宽点（截止频率）就是传输函数极点，此极点对应相位约为-45°。 2）相位响应从0°移向高频时的90°，即单极点产生+90°相移。 3）在高于极点频率时，幅度响应呈现-20dB/十倍频程的特性。 图5 一阶RC 电路极点与频率响应（R=1k C=1p ）
实验-Z变换、零极点分析
（一）离散时间信号的Z 变换 1．利用MATLAB 实现z 域的部分分式展开式 MATLAB 的信号处理工具箱提供了一个对F(Z)进行部分分式展开的函数residuez()，其调用形式为： [r,p,k]=residuez(num,den) 式中，num 和den 分别为F(Z)的分子多项式和分母多项式的系数向量，r 为部分分式的系数向量，p 为极点向量，k 为多项式的系数向量。 【实例1】 利用MATLAB 计算321431818)(-----+z z z z F 的部分分式展开式。 解：利用MATLAB 计算部分分式展开式程序为 % 部分分式展开式的实现程序 num=[18]; den=[18 3 -4 -1]; [r,p,k]=residuez(num,den) 2．Z 变换和Z 反变换 MATLAB 的符号数学工具箱提供了计算Z 变换的函数ztrans()和Z 反变换的函数iztrans （），其调用形式为
)()(F iztrans f f ztrans F == 上面两式中，右端的f 和F 分别为时域表示式和z 域表示式的符号表示，可应用函数sym 来实现，其调用格式为 ()A sym S = 式中，A 为待分析的表示式的字符串，S 为符号化的数字或变量。 【实例2】求（1）指数序列()n u a n 的Z 变换;(2)()()2a z az z F -= 的Z 反变换。 解 （1）Z 变换的MATLAB 程序 % Z 变换的程序实现 f=sym('a^n'); F=ztrans(f) 程序运行结果为： z/a/(z/a-1) 可以用simplify( )化简得到 : -z/(-z+a) （2）Z 反变换的MATLAB 程序 % Z 反变换实现程序 F=sym('a*z/(z-a)^2'); f=iztrans(F) 程序运行结果为 f = a^n*n （二）系统函数的零极点分析 1. 系统函数的零极点分布 离散时间系统的系统函数定义为系统零状态响应的z 变换与激励的z 变换之比，即 )()()(z X z Y z H = （3-1）
已知系统的开环零极点分布如图B41所示
B4.1 已知系统的开环零极点分布如图B4.1所示，试绘制各系统的概略根轨迹。 图B4.1控制系统的开环零极点分布图 B4.2 设系统的开环传递函数如下所示： 试绘制各系统的根轨迹。 B4.3 证明题B4.2各系统在复平面上的根轨迹均为一圆或圆弧，并求出它们的圆心和半径。 B4.4 已知系统的开环传递函数如下所示，试绘制各系统的根轨迹。 B4.5 设单位反馈系统的开环传递函数为 要求： (1)绘制系统的根轨迹； (2)确定系统的临界开环增益； (3)当系统的暂态响应为欠阻尼、临界阻尼或过阻尼时，试分别求其开环增益的取值范围。B4.6 已知单位反馈系统的开环传递函数为
若要求系统的性能满足σp≤5%,t s≤8(s)，试求开环增益的取值范围。 B4.7 设系统的开环传递函数如下所示，其中a和b为可变参量，试绘制各系统的根轨迹： B4.8 设单位反馈系统的开环传递函数为 当微分时间常数T d可变时试绘制系统的根轨迹；并确定使复数极点的阻尼比为0.707的T d值。 B4.9 已知系统的特征方程如下所示，试绘制各系统的根轨迹： B4.10 设某复杂系统的开环传递函数为 试应用MATLAB： (1)绘制系统的根轨迹； (2)确定分离点的位置及对应的开环增益值； (3)确定使系统稳定时开环增益的取值范围，以及临界稳定时闭环零极点的分布。 B4.11 设某单位负反馈系统的开环传递函数为 安装时不慎将反馈的极性接反了，变成正反馈系统。试分别绘制负反馈系统和正反馈系统的根轨迹；并以系统的稳定性为例，分析说明反馈极性接反了的后果。 B4.12 图B3.32所示的某记录仪位置随动系统，其结构图重画在图B4.12上。如果在安装时出现以下差错：(1)把测速反馈的极性接反了；(2)测速反馈的极性是正确的，但把位置反馈的极性接反了，试问它们的后果如何?习题B3.22是用时域分析法来讨论的，现要求将它视为多回路系统，用根轨迹法来分析讨论。从B4.11和B4.12的求解中，您有何感想或体会?
实验z变换、零极点分析
1. 学会运用MATLAB 求离散时间信号的z 变换和z 反变换； （一）离散时间信号的Z 变换 1．利用MATLAB 实现z 域的部分分式展开式 MATLAB 的信号处理工具箱提供了一个对F(Z)进行部分分式展开的函数residuez()，其调用形式为： [r,p,k]=residuez(num,den) 式中，num 和den 分别为F(Z)的分子多项式和分母多项式的系数向量，r 为部分分式的系数向量，p 为极点向量，k 为多项式的系数向量。 【实例1】 利用MATLAB 计算3 21431818 ) (-----+z z z z F 的部分分式展开式。 解：利用MATLAB 计算部分分式展开式程序为 % 部分分式展开式的实现程序 num=[18]; den=[18 3 -4 -1]; [r,p,k]=residuez(num,den)
2．Z 变换和Z 反变换 MATLAB 的符号数学工具箱提供了计算Z 变换的函数ztrans()和Z 反变换的函数iztrans （），其调用形式为 )() (F iztrans f f ztrans F == 上面两式中，右端的f 和F 分别为时域表示式和z 域表示式的符号表示，可应用函数sym 来实现，其调用格式为 ()A sym S = 式中，A 为待分析的表示式的字符串，S 为符号化的数字或变量。 【实例2】求（1）指数序列()n u a n 的Z 变换;(2)()() 2 a z az z F -= 的Z 反变换。 解 （1）Z 变换的MATLAB 程序 % Z 变换的程序实现 f=sym('a^n'); F=ztrans(f) 程序运行结果为： z/a/(z/a-1) 可以用simplify( )化简得到 : -z/(-z+a) （2）Z 反变换的MATLAB 程序 % Z 反变换实现程序 F=sym('a*z/(z-a)^2'); f=iztrans(F) 程序运行结果为 f = a^n*n （二）系统函数的零极点分析
电路中极点与零点的产生与影响
请问电路中极点与零点的产生与影响 一、电路中经常要对零极点进行补偿，想问，零点是由于前馈产生的吗？ 它产生后会对电路造成什么样的影响？是说如果在该频率下，信号通过 这两条之路后可以互相抵消还是什么？？ 极点又是怎么产生的呢？是由于反馈吗？那极点对电路的影响又是什么？ 产生振荡还是什么？？ 请大家指教一下。 1．(不能这么简单的理解 其实电路的每个node都有一个极点 只是大部分的极点相对与所关心的频率范围太大而忽略了 运放中我们一般关心开环的0dB带宽那么>10*带宽频率的极点我们就不管了 因为它们对相位裕度贡献太小而被忽略; 只要输入和输出之间有两条通路就会产生一个零点: 同样的高于所关心频率范围的零点也不用管 一个在所关心频率范围内的零点需要看是左半平面还是右半平面的 左半平面的零点有利于环路稳定右半平面的则不利 具体的看拉扎维的书吧写的还是蛮详细的看不懂就多看几遍 自己做个电路仿下) 2．好问题，希望彻底了解的人仔细解答。我也同样疑惑。
但是我总觉得极点，零点并不能单单的说是由于前馈，反馈，或者串联并联一个电容产生的。 产生的原因还是和具体的电路结构相关联的。 比如一个H(s)的系统和一个电容并联或串联在输入输出之间，谁能说他一定产生一个极点或零点呢？这因该和H(s)的具体形式有关。 大多书上说的应该大多针对的是运放结构，它的结构具有特殊性。具有以点盖全的嫌疑。 还请达人细说。 3．一般的说，零点用于增强增益（幅度及相位），极点用于减少增益（幅度及相位），电路中一般零点极点是电容倒数的函数（如1/C）。 当C变大时，比如对极点来说，会向原点方向变化，造成增益减少加快（幅度及相位）～一般运放电路的米勒效应电容就是这个原理，当增益迅速下降倒－3dB时，其他的零点极点都还没对系统增益起到啥作用（或作用很小，忽略了），电路就算七窍通了六窍半了～你就可以根据自己的需要补上带宽，多少多大的裕度就KO了 极点是由于结点和地之间有寄生电容造成的,零点是由于输入和输出之间有寄生电容造成的,一般输入和输出之间的零极点考虑多一点,主要是因为输入输出有较大的电阻,造成了极点偏向原点. 4．个人的一点理解 极点决定的是系统的自然响应频率，通常在电路中就是对地电容所看进去的R和对地电容C共同决定的。 零点是由于在输入输出间存在两条信号路径，两个信号路径强度相消即可，通常在电路中表现为反馈或前馈通路。 5．一个电路中有多少个极点和多少个零点取决你的器件模型，
数字信号处理实验报告——离散系统的频率响应分析和零极点分布
实验3 离散系统的频率响应分析和零、极点分布 实验目的：加深对离散系统的频率响应分析和零、极点分布的概念理解。 实验原理：离散系统的时域方程为 ∑∑==-=-M k k N k k k n x p k n y d 00)()( 其变换域分析方法如下： 频域 )()()(][][][][][ωωωj j j m e H e X e Y m n h m x n h n x n y =?-= *=∑∞-∞= 系统的频率响应为 ωωω ωωωω jN N j jM M j j j j e d e d d e p e p p e D e p e H ----++++++==......)()()(1010 Z 域 )()()(][][][][][z H z X z Y m n h m x n h n x n y m =?-= *=∑∞-∞= 系统的转移函数为 N N M M z d z d d z p z p p z D z p z H ----++++++==......)()()(110110 分解因式 ∏-∏-=∑∑= =-=-=-=-N i i M i i N i i k M i i k z z K z d z p z H 111100) 1()1()(λξ ，其中i ξ和i λ称为零、极 点。 在MATLAB 中，可以用函数[z ，p ，K]=tf2zp （num ，den ）求得有理分式形式的系统转移函数的零、极点，用函数zplane （z ，p ）绘出零、极点分布图；也可以用函数zplane （num ，den ）直接绘出有理分式形式的系统转移函数的零、极点分布图。 另外，在MATLAB 中，可以用函数 [r ，p ，k]=residuez （num ，den ）完成部分分式展开计算；可以用函数sos=zp2sos （z ，p ，K ）完成将高阶系统分解为2阶系统的串联。 实验内容：求系统 12345123450.05280.7970.12950.12950.7970.0528()1 1.8107 2.4947 1.88010.95370.2336z z z z z H z z z z z z ----------+++++=-+-+- 的零、极点和幅度频率响应。
三个因果稳定系统的零点极点分布分别如图所示
三个因果稳定系统123(),(),()H z H z H z 的零点、极点分布分别如图所示。 三个系统的极点相同，120.9,0.9p p =-=。由图可见，1()H z 为最小相位系统，2()H z 为混合相位系统，3()H z 为最大相位系统。设图中0.5,/3r ?π==。试分别写出系统函数 123(),(),()H z H z H z 的数学表达式，并绘制其幅频特性、相频特性曲线、单位脉冲响应 123(),(),()h n h n h n 的波形图以及相应的累计能量曲线。由此验证最小相位系统的性质 %program %compute freqz z1=[0.5*exp((pi/3)*j),0.5*exp((pi/3)*j),0.5*exp((-pi/3)*j),0.5*exp((-pi /3)*j)]'; p1=[0.9,-0.9];
k1=1; [b1,a1]=zp2tf(z1,p1,k1); [H1,w1]=freqz(b1,a1,256,1); mag1=abs(H1); phs1=angle(H1); z2=[0.5*exp((pi/3)*j),0.5*exp((-pi/3)*j),2*exp((pi/3)*j),2*exp((-pi/3)* j)]'; p2=[0.9,-0.9]; k2=0.5^2; [b2,a2]=zp2tf(z2,p2,k2); [H2,w2]=freqz(b2,a2,256,1); mag2=abs(H2); phs2=angle(H2); for n=1:255 if (phs2(n+1)-phs2(n))>=6 for m=n+1:256 phs2(m)=-2*pi+phs2(m); end end end z3=[2*exp((pi/3)*j),2*exp((pi/3)*j),2*exp((-pi/3)*j),2*exp((-pi/3)*j)]' ; p3=[0.9,-0.9]; k3=0.5^4; [b3,a3]=zp2tf(z3,p3,k3); [H3,w3]=freqz(b3,a3,256,1); mag3=abs(H3); phs3=angle(H3); for n=1:255 if (phs3(n+1)-phs3(n))>=6 for m=n+1:256 phs3(m)=-2*pi+phs3(m); end end end %plot h1(n),h2(n),h3(n): subplot(231); impz(b1,a1,20);ylabel('h1(n)');xlabel('n'); subplot(232); impz(b2,a2,20);ylabel('h2(n)');xlabel('n'); subplot(233); impz(b3,a3,20);ylabel('h3(n)');xlabel('n'); %plot H(ejw): subplot(234); plot(w1,mag1);hold on; plot(w2,mag2);hold on; plot(w3,mag3); ylabel('|H(ejw)|');xlabel('w/2pi'); %plot phase subplot(235); plot(w1,phs1);hold on; plot(w2,phs2);hold on; plot(w3,phs3); ylabel('phase');xlabel('w/2pi');