《间接证明》教学设计
直接证明和间接证明(4个课时)教案
2．2直接证明与间接证明教学目标：〔1〕理解证明不等式的三种方法：比拟法、综合法和分析法的意义；〔2〕掌握用比拟法、综合法和分析法证明简单的不等式；〔3〕能根据实际题目灵活地选择适当地证明方法；〔4〕通过不等式证明，培养学生逻辑推理论证的能力和抽象思维能力. 教学建议：1．知识结构:〔不等式证明三种方法的理解〕==〉〔简单应用〕==〉〔综合应用〕2．重点、难点分析重点：不等式证明的主要方法的意义和应用；难点：①理解分析法与综合法在推理方向上是相反的；②综合性问题证明方法的选择．〔1〕不等式证明的意义不等式的证明是要证明对于满足条件的所有数都成立〔或都不成立〕，而并非是带入具体的数值去验证式子是否成立．〔2〕比拟法证明不等式的分析①在证明不等式的各种方法中，比拟法是最根本、最重要的方法．②证明不等式的比拟法，有求差比拟法和求商比拟法两种途径．由于a>b<==>a-b>0，因此，证明a>b，可转化为证明与之等价的a-b>0．这种证法就是求差比拟法．由于当b>0时,a>b<==>(a／b)>1，因此，证明a>b(b>0),可以转化为证明与之等价的(a／b)>1(b>0)．这种证法就是求商比拟法，使用求商比拟法证明一定要注意(b>0)这一前提条件．③求差比拟法的根本步骤是：“作差→变形→断号〞．其中，作差是依据，变形是手段，判断符号才是目的．变形的方法一般有配方法、通分法和因式分解法等，变成能够判断出差的符号是正或负的数(或式子)即可.④作商比拟法的根本步骤是：“作商→变形→判断商式与1的大小关系〞，需要注意的是，作商比拟法一般用于证明不等号两侧的式子同号的不等式．〔3〕综合法证明不等式的分析①利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法．②综合法的思路是“由因导果〞：从的不等式出发，通过一系列条件推导变换，推导出求证的不等式．③综合法证明不等式的逻辑关系是：〔〕==〉〔逐步推演不等式成立的必要条件〕==〉〔结论〕〔4〕分析法证明不等式的分析①从求证的不等式出发，逐步寻求使不等式成立的充分条件，直至所需条件被确认成立，就断定求证的不等式成立，这种证明方法就是分析法．有时，我们也可以首先假定所要证明的不等式成立，逐步推出一个成立的不等式，只要这个推出过程中的每一步都是可以逆推的，那么就可以断定所给的不等式成立．这也是用分析法，注意应强调“以上每一步都可逆〞，并说出可逆的根据．②分析法的思路是“执果导因〞：从求证的不等式出发，探索使结论成立的充分条件直至已成立的不等式．它与综合法是对立统一的两种方法．③用分析法证明不等式的逻辑关系是：〔〕<==〔逐步推演不等式成立的必要条件〕<==〔结论〕④分析法是证明不等式时一种常用的根本方法．当证明不知从何入手时，有时可以运用分析法而获得解决．特别对于条件简单而结论复杂的题目往往更实用.〔5〕关于分析法与综合法关系①分析法与综合法是思维方向相反的两种思考方法．②在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，逐步地推导，最后到达题设的条件．即推理方向是：结论.综合法那么是从数学题的条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后到达待证结论或需求问题．即：结论．③分析法的特点是：从“结论〞探求“需知〞，逐步靠拢“〞，其逐步推理实际上是要寻找结论的充分条件．综合法的特点是：从“〞推出“可知〞，逐步推向“未知〞，其逐步推理实际上是要寻找的必要条件．④一般来说，对于较复杂的不等式，直接运用综合法往往不易入手，用分析法来书写比拟麻烦．因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法经常是结合在一起使用的．第一课时不等式的证明〔比拟法〕教学目标1．掌握证明不等式的方法——比拟法；2．熟悉并掌握比拟法证明不等式的意义及根本步骤．教学重点:比拟法的意义和根本步骤.教学难点:常见的变形技巧.教学方法；启发引导法.教学过程：〔－〕导入新课教师提问：根据前一节学过〔不等式的性质〕的知识，我们如何用实数运算来比拟两个实数与的大小？找学生答复以下问题．〔学生答复：，，，〕［点评］要比拟两个实数与的大小，只要考察与的差值的符号就可以了，这种证明不等式的方法称为比拟法．现在我们就来学习：用比拟法证明不等式．目的：通过教师设置问题，引导学生回忆所学的知识，引出用比拟法证明不等式，导入本节课学习的知识．〔二〕新课讲授【尝试探索，建立新知】作差比拟法[问题] 求证教师引导学生分析、思考，研究不等式的证明．学生研究证明不等式，尝试完成问题．［本问点评］①通过确定差的符号，证明不等式的成立．这一方法，在前面比拟两个实数的大小、比拟式子的大小、证明不等式性质就已经用过．②通过求差将不等问题转化为恒等问题，将两个一般式子大小比拟转化为一个一般式子与0的大小比拟，使问题简化．③理论依据是：④由，，知：要证明只需证；需证明这种证明不等式的方法通常叫做比拟法．目的：帮助学生构建用比拟法证明不等式的知识体系，培养学生化归的数学思想．【例题示范，学会应用】教师板书例题，引导学生研究问题，构思证题方法，学会解题过程中的一些常用技巧，并点评．例1．求证［分析］由比拟法证题的方法，先将不等式两边作差，得，将此式看作关于的二次函数，由配方法易知函数的最小值大干零，从而使问题获证．证明：∵＝＝，∴．［本例点评］①作差后是通过配方法对差式进行恒等变形，确定差的符号;②作差后，式子符号不易确定，配方后变形为一个完全平方式子与一个常数和的形式，使差式的符号易于确定;③不等式两边的差的符号是正是负，一般需要利用不等式的性质经过变形后，才能判断;④例1介绍了变形的一种常用方法——配方法．例2 .都是正数，并且，求证：［分析］这是分式不等式的证明题，依比拟法证题将其作差，确定差的符号，应通分，由分子、分母的值的符号推出差值的符合，从而得证．证明：＝＝．因为都是正数，且，所以．∴．即：[本例点评]①作差后是通过通分法对差式进行恒等变形，由分子、分母的值的符号推出差的符号;②本例题介绍了对差变形，确定差值的符号的一种常用方法——通分法;3322例、已知都是实数且求证≠+>+a b a b a b a b ab3,,,33223223:()()()()a b a b ab a a b ab b +-+=---证明2222()()()()a a b b a b a b a b =---=--2()()a b a b =+-,0,0a b a b >∴+>2()0a b a b ≠∴->又23322()()0()()0a b a b a b a b ab +->+-+>故即3322a b a b ab ∴+>+[本例点评]①作差后是通过分组，提取公因式对差式进行恒等变形，化成n 个括号相乘的形式，从而推出差的符号;②本例题介绍了对差变形，确定差值的符号的一种常用方法——分组，提取公因式法;求商比拟法：1 ,,,,.a b b a a b a b a b a b ≥=例已知是正数求证当且仅当时等号成立:a b a b a b b a b a a b a a b a b b ---⎛⎫== ⎪⎝⎭证明(,,)0,1,0,1,.a b a b a a a b a b b b a b -⎛⎫≥>≥-≥∴≥ ⎪⎝⎭=根据要证的不等式的特点交换的位置不等式不变不妨设则当且仅当时等号成立,,.a b b a a b a b a b ∴≥=当且仅当时等号成立小结：作商比拟法的根本步骤是：“作商→变形→判断商式与1的大小关系〞，需要注意的是，作商比拟法一般用于证明不等号两侧的式子同号的不等式． 〔最后是与1比拟〕(三)课堂练习教师指定练习题，要求学生独立思考．完成练习；请甲、乙两学生板演；巡视学生的解题情况，对正确的证法给予肯定和鼓励，对偏差点拨和纠正；点评练习中存在的问题．练习：1．求证2． ， ， ，d 都是正数，且，求证 目的:掌握用比拟法证明不等式，并会灵活运用配方法和通分法变形差式，确定差式符号．反应课堂教学效果，调节课堂教学．〔四〕布置作业2、：a ，b ∈R ＋．求证：a 5＋b 5≥a 3b 2＋a 2b 3 2211x x ≤+3、求证： ．7341(0)q q q q +≥+>4、求证： 2,()a ba b R a b ab ++∈≥5、设a,b 求证：第二课时 综合法●教学目标(一)教学知识点综合法证明不等式.(二)能力训练要求1.理解综合法证明不等式的意义.2.熟练掌握过去学过的重要不等式,并用这些不等式来证明新的不等式.(三)德育渗透目标掌握综合法、分析法证明不等式,培养学生严谨周密的逻辑思维习惯,加强学生实践能力的训练,由因导果,进一步稳固学生辩证唯物主义思想观念的教育,确实提高学生的思想道德品质.●教学重点1.掌握综合法证明不等式的根本思路,即“由因导果〞,从条件及不等式出发,不断用必要条件替换前面的不等式,直至推出要证的结论.2.理解掌握用综合法证明不等式的逻辑关系.即A ()⇒B 1⇒B 2⇒…⇒B n ⇒B(结论).运用不等式的性质和已证明过的不等式时,要注意它们各自成立的条件.这样才能使推理正确,结论无误.3.在综合法证明不等式的过程中常用的关系有:(1)a 2≥0或(a ±b )2≥0.(2)a 2+b 2≥2ab ,a 2+b 2≥-2ab 即a 2+b 2≥2|ab |. (3)ab b a ≥+2,对a >0,b >0,当且仅当a =b 时取“=〞号. (4)当a ,b 同号时有ab b a +≥2,当且仅当a =b 时取“=〞号. (5)33abc c b a ≥++ (a >0,b >0,c >0),当且仅当a =b =c 时取“=〞号. (6)a 3+b 3+c 3≥3abc (a >0,b >0,c >0),当且仅当a =b =c 时取“=〞号.●教学难点“由因导果〞时,从哪个不等式出发适宜是综合法证明不等式的难点.●教学过程1.课题导入［师］同学们,前面我们学习了两个正数的算术平均数与几何平均数的关系定理及其几个重要的不等式.(打出投影片§6.3.3 A,引导学生复习“算术平均数与几何平均数〞的关系定理，阅读投影片§6.3.3 A)我们要掌握下面重要的不等关系:(1)a 2≥0,或(a ±b )2≥0;(2)a 2+b 2≥2ab ,a 2+b 2≥-2ab ,即a 2+b 2≥2|ab |; (3)ab b a ≥+2,(a ,b ∈R +),当且仅当a =b 时取“=〞号; (4)ab ≤222b a +,(a ,b ∈R );ab ≤(2ab )2,(a ,b ∈R +),当且仅当a =b 时取“=〞号;(5)abb a +≥2,(ab >0),当且仅当a =b 时取“=〞号； 〔6〕33abc c b a ≥++,(a ,b ,c ∈R +),当且仅当a =b =c 时取“=〞号； 〔7)a 3+b 3+c 3≥3abc ,(a ,b ,c ∈R +),当且仅当a =b =c 时取“=〞号.今天，我们在上一节课学习“比拟法〞证明不等式的根底上，继续学习证明不等式的一种常用的重要的方法——综合法.2.讲授新课一般地，从条件出发，利用定义、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法。
直接证明和间接证明(4个课时)教案
直接证明和间接证明(4个课时)教案2．2直接证明与间接证明教学目标：（1）理解证明不等式的三种方法：比较法、综合法和分析法的意义；（2）掌握用比较法、综合法和分析法证明简单的不等式；（3）能根据实际题目灵活地选择适当地证明方法；（4）通过不等式证明，培养学生逻辑推理论证的能力和抽象思维能力. 教学建议：1．知识结构:（不等式证明三种方法的理解）==〉（简单应用）==〉（综合应用）2．重点、难点分析重点：不等式证明的主要方法的意义和应用；难点：①理解分析法与综合法在推理方向上是相反的；②综合性问题证明方法的选择．（1）不等式证明的意义不等式的证明是要证明对于满足条件的所有数都成立（或都不成立），而并非是带入具体的数值去验证式子是否成立．（2）比较法证明不等式的分析①在证明不等式的各种方法中，比较法是最基本、最重要的方法．②证明不等式的比较法，有求差比较法和求商比较法两种途径．由于a>b<==>a-b>0，因此，证明a>b，可转化为证明与之等价的a-b>0．这种证法就是求差比较法．由于当b>0时,a>b<==>(a／b)>1，因此，证明a>b(b>0),可以转化为证明与之等价的(a／b)>1(b>0)．这种证法就是求商比较法，使用求商比较法证明一定要注意(b>0)这一前提条件．③求差比较法的基本步骤是：“作差→变形→断号”．其中，作差是依据，变形是手段，判断符号才是目的．变形的方法一般有配方法、通分法和因式分解法等，变成能够判断出差的符号是正或负的数(或式子)即可.④作商比较法的基本步骤是：“作商→变形→判断商式与1的大小关系”，需要注意的是，作商比较法一般用于证明不等号两侧的式子同号的不等式．（3）综合法证明不等式的分析①利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法．②综合法的思路是“由因导果”：从已知的不等式出发，通过一系列已知条件推导变换，推导出求证的不等式．③综合法证明不等式的逻辑关系是：（已知）==〉（逐步推演不等式成立的必要条件）==〉（结论）（4）分析法证明不等式的分析①从求证的不等式出发，逐步寻求使不等式成立的充分条件，直至所需条件被确认成立，就断定求证的不等式成立，这种证明方法就是分析法．有时，我们也可以首先假定所要证明的不等式成立，逐步推出一个已知成立的不等式，只要这个推出过程中的每一步都是可以逆推的，那么就可以断定所给的不等式成立．这也是用分析法，注意应强调“以上每一步都可逆”，并说出可逆的根据．②分析法的思路是“执果导因”：从求证的不等式出发，探索使结论成立的充分条件直至已成立的不等式．它与综合法是对立统一的两种方法．③用分析法证明不等式的逻辑关系是：（已知）<==（逐步推演不等式成立的必要条件）<==（结论）④分析法是证明不等式时一种常用的基本方法．当证明不知从何入手时，有时可以运用分析法而获得解决．特别对于条件简单而结论复杂的题目往往更实用.（5）关于分析法与综合法关系①分析法与综合法是思维方向相反的两种思考方法．②在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，逐步地推导，最后达到题设的已知条件．即推理方向是：结论已知.综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题．即：已知结论．③分析法的特点是：从“结论”探求“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理实际上是要寻找结论的充分条件．综合法的特点是：从“已知”推出“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理实际上是要寻找已知的必要条件．④一般来说，对于较复杂的不等式，直接运用综合法往往不易入手，用分析法来书写比较麻烦．因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法经常是结合在一起使用的．第一课时不等式的证明（比较法）教学目标1．掌握证明不等式的方法——比较法；2．熟悉并掌握比较法证明不等式的意义及基本步骤．教学重点:比较法的意义和基本步骤.教学难点:常见的变形技巧.教学方法；启发引导法.教学过程：（－）导入新课教师提问：根据前一节学过（不等式的性质）的知识，我们如何用实数运算来比较两个实数与的大小？找学生回答问题．（学生回答：，，，）［点评］要比较两个实数与的大小，只要考察与的差值的符号就可以了，这种证明不等式的方法称为比较法．现在我们就来学习：用比较法证明不等式．目的：通过教师设置问题，引导学生回忆所学的知识，引出用比较法证明不等式，导入本节课学习的知识．（二）新课讲授【尝试探索，建立新知】作差比较法[问题] 求证教师引导学生分析、思考，研究不等式的证明．学生研究证明不等式，尝试完成问题．［本问点评］①通过确定差的符号，证明不等式的成立．这一方法，在前面比较两个实数的大小、比较式子的大小、证明不等式性质就已经用过．②通过求差将不等问题转化为恒等问题，将两个一般式子大小比较转化为一个一般式子与0的大小比较，使问题简化．③理论依据是：④由，，知：要证明只需证；需证明这种证明不等式的方法通常叫做比较法．目的：帮助学生构建用比较法证明不等式的知识体系，培养学生化归的数学思想．【例题示范，学会应用】教师板书例题，引导学生研究问题，构思证题方法，学会解题过程中的一些常用技巧，并点评．例1．求证［分析］由比较法证题的方法，先将不等式两边作差，得，将此式看作关于的二次函数，由配方法易知函数的最小值大干零，从而使问题获证．证明：∵＝＝，∴．［本例点评］①作差后是通过配方法对差式进行恒等变形，确定差的符号;②作差后，式子符号不易确定，配方后变形为一个完全平方式子与一个常数和的形式，使差式的符号易于确定;③不等式两边的差的符号是正是负，一般需要利用不等式的性质经过变形后，才能判断;④例1介绍了变形的一种常用方法——配方法．例2 .已知都是正数，并且，求证：［分析］这是分式不等式的证明题，依比较法证题将其作差，确定差的符号，应通分，由分子、分母的值的符号推出差值的符合，从而得证．证明：＝＝．因为都是正数，且，所以．∴．即：[本例点评]①作差后是通过通分法对差式进行恒等变形，由分子、分母的值的符号推出差的符号;②本例题介绍了对差变形，确定差值的符号的一种常用方法——通分法;3322例、已知都是实数且求证≠+>+a b a b a b a b ab3,,,33223223:()()()()a b a b ab a a b ab b +-+=---证明2222()()()()a a b b a b a b a b =---=--2()()a b a b =+-,0,0a b a b >∴+>Q 2()0a b a b ≠∴->Q 又23322()()0()()0a b a b a b a b ab +->+-+>故即3322a b a b ab ∴+>+[本例点评]①作差后是通过分组，提取公因式对差式进行恒等变形，化成n 个括号相乘的形式，从而推出差的符号;②本例题介绍了对差变形，确定差值的符号的一种常用方法——分组，提取公因式法;求商比较法：1 ,,,,.a b b a a b a b a b a b ≥=例已知是正数求证当且仅当时等号成立:a b a b a b b a b a a b a a b a b b ---⎛⎫== ⎪⎝⎭证明(,,)0,1,0,1,.a b a b a a a b a b b b a b -⎛⎫≥>≥-≥∴≥ ⎪⎝⎭=根据要证的不等式的特点交换的位置不等式不变不妨设则当且仅当时等号成立,,.a b b a a b a b a b ∴≥=当且仅当时等号成立 小结：作商比较法的基本步骤是：“作商→变形→判断商式与1的大小关系”，需要注意的是，作商比较法一般用于证明不等号两侧的式子同号的不等式． （最后是与1比较）(三)课堂练习教师指定练习题，要求学生独立思考．完成练习；请甲、乙两学生板演；巡视学生的解题情况，对正确的证法给予肯定和鼓励，对偏差点拨和纠正；点评练习中存在的问题．练习：1．求证2．已知 ， ， ，d 都是正数，且，求证 目的:掌握用比较法证明不等式，并会灵活运用配方法和通分法变形差式，确定差式符号．反馈课堂教学效果，调节课堂教学．（四）布置作业2、已知：a ，b ∈R ＋．求证：a 5＋b 5≥a 3b 2＋a 2b 3 2211x x ≤+3、求证： ．7341(0)q q q q +≥+>4、求证： 2,()a ba b R a b ab ++∈≥5、设a,b 求证：第二课时 综合法●教学目标(一)教学知识点 综合法证明不等式. (二)能力训练要求1.理解综合法证明不等式的意义.2.熟练掌握过去学过的重要不等式,并用这些不等式来证明新的不等式. (三)德育渗透目标 掌握综合法、分析法证明不等式,培养学生严谨周密的逻辑思维习惯,加强学生实践能力的训练,由因导果,进一步巩固学生辩证唯物主义思想观念的教育,确实提高学生的思想道德品质.●教学重点1.掌握综合法证明不等式的基本思路,即“由因导果”,从已知条件及已知不等式出发,不断用必要条件替换前面的不等式,直至推出要证的结论.2.理解掌握用综合法证明不等式的逻辑关系.即A (已知)⇒B 1⇒B 2⇒…⇒B n ⇒B(结论).运用不等式的性质和已证明过的不等式时,要注意它们各自成立的条件.这样才能使推理正确,结论无误.3.在综合法证明不等式的过程中常用的关系有: (1)a 2≥0或(a ±b )2≥0.(2)a 2+b 2≥2ab ,a 2+b 2≥-2ab 即a 2+b 2≥2|ab |.(3)ab ba ≥+2,对a >0,b >0,当且仅当a =b 时取“=”号. (4)当a ,b 同号时有abb a +≥2,当且仅当a =b 时取“=”号.(5)33abc c b a ≥++ (a >0,b >0,c >0),当且仅当a =b =c 时取“=”号. (6)a 3+b 3+c 3≥3abc (a >0,b >0,c >0),当且仅当a =b =c 时取“=”号. ●教学难点“由因导果”时,从哪个不等式出发合适是综合法证明不等式的难点. ●教学过程 1.课题导入［师］同学们,前面我们学习了两个正数的算术平均数与几何平均数的关系定理及其几个重要的不等式.(打出投影片§6.3.3 A,引导学生复习“算术平均数与几何平均数”的关系定理，阅读投影片§6.3.3 A)我们要掌握下面重要的不等关系: (1)a 2≥0,或(a ±b )2≥0;(2)a 2+b 2≥2ab ,a 2+b 2≥-2ab ,即a 2+b 2≥2|ab |;(3)ab ba ≥+2,(a ,b ∈R +),当且仅当a =b 时取“=”号; (4)ab ≤222b a +,(a ,b ∈R);ab ≤(2ab )2,(a ,b ∈R +),当且仅当a =b 时取“=”号;(5)abb a +≥2,(ab >0),当且仅当a =b 时取“=”号； （6）33abc c b a ≥++,(a ,b ,c ∈R +),当且仅当a =b =c 时取“=”号；（7)a 3+b 3+c 3≥3abc ,(a ,b ,c ∈R +),当且仅当a =b =c 时取“=”号.今天，我们在上一节课学习“比较法”证明不等式的基础上，继续学习证明不等式的一种常用的重要的方法——综合法.2.讲授新课一般地，从已知条件出发，利用定义、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法。
《2.2.2 间接证明》课件1-优质公开课-苏教选修2-2精品
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3．情感、态度与价值观 在观察、操作、推理等探索过程中，体验数学活动充满 探索性和创造性． ●重点难点 重点：体会反证法证明命题的思路方法，用反证法证明 简单的命题． 难点：用反证法证明简单的命题，证明方法的选择．
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人教版数学高二人教 《直接证明与间接证明》 精品导学案
8、证明： 是不等正数，且 ，
9、（1）由 及 ，可归纳证明 ，从而有 ，所以，对 总有 ；（2）当 因为 ，所以 ，故对 总有 成立。
证明：要证明 ，考虑到所要证明的式子中 的位置是对称的， 只与 建立不等式的关系，同样 只与 建立不等式的关系， 只与 建立不等式的关系，因而要证明结果，只要证明 ，即证明： ，即证明 ，而此式成立。 ，
同理： ，
三式相加得
【点评】在证明时，我们有时找不到解题思路或直接证明比较繁琐，常常要观察结论的形式和结构有什么特点，注意与题设之间的联系，去探求解题的路子，在上例中，若用常见的方法两边平方分析就比较麻烦，但是考虑到 的轮换性，从而确定只要证明 成立，在复杂的证明过程中，常常是分析法和综合法交叉混合使用，不要截然分开两种证明的方法。
2.2.1直接证明与间接证明(1)
直接证明
【要点梳理】
1、直接从原命题的条件逐步推得命题成立的，这种证明通常称为，它的一般形式为
2、从出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的为止，这种证明方法称为
3、从问题的出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到
为止，这种证明方法称为
4、综合法和分析法的推证过程是来自综合法分析法【指点迷津】
1、分析法和综合法各有怎样的优缺点？
综合法和分析法是直接证明的两种基本方法，两种方法各有优缺点，分析法解题方法较为明确，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不偏于思考，实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后用综合法有条理地表述解题过程。
综合法的特点：广泛应用于数学知识的各个方面，是解决问题非常重要的方法。分析法是和综合法相比较而清晰的，综合法逐步推求已知条件的必要条件，而分析法步步逆向寻求未知事项成立的充分条件，所以分析法和综合法思维过程看是互逆的，叙述形式也有区别。
直接证明和间接证明(4个课时)课程教案
2．2直接证明与间接证明教学目标：（1）理解证明不等式的三种方法：比较法、综合法和分析法的意义；（2）掌握用比较法、综合法和分析法证明简单的不等式；（3）能根据实际题目灵活地选择适当地证明方法；（4）通过不等式证明，培养学生逻辑推理论证的能力和抽象思维能力. 教学建议：1．知识结构:（不等式证明三种方法的理解）==〉（简单应用）==〉（综合应用）2．重点、难点分析重点：不等式证明的主要方法的意义和应用；难点：①理解分析法与综合法在推理方向上是相反的；②综合性问题证明方法的选择．（1）不等式证明的意义不等式的证明是要证明对于满足条件的所有数都成立（或都不成立），而并非是带入具体的数值去验证式子是否成立．（2）比较法证明不等式的分析①在证明不等式的各种方法中，比较法是最基本、最重要的方法．②证明不等式的比较法，有求差比较法和求商比较法两种途径．由于a>b<==>a-b>0，因此，证明a>b，可转化为证明与之等价的a-b>0．这种证法就是求差比较法．由于当b>0时,a>b<==>(a／b)>1，因此，证明a>b(b>0),可以转化为证明与之等价的(a／b)>1(b>0)．这种证法就是求商比较法，使用求商比较法证明一定要注意(b>0)这一前提条件．③求差比较法的基本步骤是：“作差→变形→断号”．其中，作差是依据，变形是手段，判断符号才是目的．变形的方法一般有配方法、通分法和因式分解法等，变成能够判断出差的符号是正或负的数(或式子)即可.④作商比较法的基本步骤是：“作商→变形→判断商式与1的大小关系”，需要注意的是，作商比较法一般用于证明不等号两侧的式子同号的不等式．（3）综合法证明不等式的分析①利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法．②综合法的思路是“由因导果”：从已知的不等式出发，通过一系列已知条件推导变换，推导出求证的不等式．③综合法证明不等式的逻辑关系是：（已知）==〉（逐步推演不等式成立的必要条件）==〉（结论）（4）分析法证明不等式的分析①从求证的不等式出发，逐步寻求使不等式成立的充分条件，直至所需条件被确认成立，就断定求证的不等式成立，这种证明方法就是分析法．有时，我们也可以首先假定所要证明的不等式成立，逐步推出一个已知成立的不等式，只要这个推出过程中的每一步都是可以逆推的，那么就可以断定所给的不等式成立．这也是用分析法，注意应强调“以上每一步都可逆”，并说出可逆的根据．②分析法的思路是“执果导因”：从求证的不等式出发，探索使结论成立的充分条件直至已成立的不等式．它与综合法是对立统一的两种方法．③用分析法证明不等式的逻辑关系是：（已知）<==（逐步推演不等式成立的必要条件）<==（结论）④分析法是证明不等式时一种常用的基本方法．当证明不知从何入手时，有时可以运用分析法而获得解决．特别对于条件简单而结论复杂的题目往往更实用.（5）关于分析法与综合法关系①分析法与综合法是思维方向相反的两种思考方法．②在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，逐步地推导，最后达到题设的已知条件．即推理方向是：结论已知.综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题．即：已知结论．③分析法的特点是：从“结论”探求“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理实际上是要寻找结论的充分条件．综合法的特点是：从“已知”推出“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理实际上是要寻找已知的必要条件．④一般来说，对于较复杂的不等式，直接运用综合法往往不易入手，用分析法来书写比较麻烦．因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法经常是结合在一起使用的．第一课时不等式的证明（比较法）教学目标1．掌握证明不等式的方法——比较法；2．熟悉并掌握比较法证明不等式的意义及基本步骤．教学重点: 比较法的意义和基本步骤.教学难点: 常见的变形技巧.教学方法；启发引导法.教学过程：（－）导入新课教师提问：根据前一节学过（不等式的性质）的知识，我们如何用实数运算来比较两个实数与的大小？找学生回答问题．（学生回答：，，，）［点评］要比较两个实数与的大小，只要考察与的差值的符号就可以了，这种证明不等式的方法称为比较法．现在我们就来学习：用比较法证明不等式．目的：通过教师设置问题，引导学生回忆所学的知识，引出用比较法证明不等式，导入本节课学习的知识．（二）新课讲授【尝试探索，建立新知】作差比较法[问题] 求证教师引导学生分析、思考，研究不等式的证明．学生研究证明不等式，尝试完成问题．［本问点评］①通过确定差的符号，证明不等式的成立．这一方法，在前面比较两个实数的大小、比较式子的大小、证明不等式性质就已经用过．②通过求差将不等问题转化为恒等问题，将两个一般式子大小比较转化为一个一般式子与0的大小比较，使问题简化．③理论依据是：④由，，知：要证明只需证；需证明这种证明不等式的方法通常叫做比较法．目的：帮助学生构建用比较法证明不等式的知识体系，培养学生化归的数学思想．【例题示范，学会应用】教师板书例题，引导学生研究问题，构思证题方法，学会解题过程中的一些常用技巧，并点评．例1．求证［分析］由比较法证题的方法，先将不等式两边作差，得，将此式看作关于的二次函数，由配方法易知函数的最小值大干零，从而使问题获证．证明：∵＝＝，∴．［本例点评］①作差后是通过配方法对差式进行恒等变形，确定差的符号;②作差后，式子符号不易确定，配方后变形为一个完全平方式子与一个常数和的形式，使差式的符号易于确定;③不等式两边的差的符号是正是负，一般需要利用不等式的性质经过变形后，才能判断;④例1介绍了变形的一种常用方法——配方法．例2 . 已知都是正数，并且，求证：［分析］这是分式不等式的证明题，依比较法证题将其作差，确定差的符号，应通分，由分子、分母的值的符号推出差值的符合，从而得证．证明：＝＝．因为都是正数，且，所以．∴．即：[本例点评]①作差后是通过通分法对差式进行恒等变形，由分子、分母的值的符号推出差的符号;②本例题介绍了对差变形，确定差值的符号的一种常用方法——通分法;3322例、已知都是实数且求证≠+>+a b a b a b a b ab3,,,33223223:()()()()a b a b ab a a b ab b +-+=---证明2222()()()()a a b b a b a b a b =---=--2()()a b a b =+-,0,0a b a b >∴+>2()0a b a b ≠∴->又23322()()0()()0a b a b a b a b ab +->+-+>故即3322a b a b ab ∴+>+[本例点评]①作差后是通过分组，提取公因式对差式进行恒等变形，化成n 个括号相乘的形式，从而推出差的符号;②本例题介绍了对差变形，确定差值的符号的一种常用方法——分组，提取公因式法;求商比较法：1 ,,,,.a b b a a b a b a b a b ≥=例已知是正数求证当且仅当时等号成立:a ba b a b b a b a a b a a b a b b ---⎛⎫== ⎪⎝⎭证明(,,)0,1,0,1,.a ba b a a a b a b b b a b -⎛⎫≥>≥-≥∴≥ ⎪⎝⎭=根据要证的不等式的特点交换的位置不等式不变不妨设则当且仅当时等号成立,,.a b b a a b a b a b ∴≥=当且仅当时等号成立小结：作商比较法的基本步骤是：“作商→变形→判断商式与1的大小关系”，需要注意的是，作商比较法一般用于证明不等号两侧的式子同号的不等式．（最后是与1比较）(三)课堂练习教师指定练习题，要求学生独立思考．完成练习；请甲、乙两学生板演；巡视学生的解题情况，对正确的证法给予肯定和鼓励，对偏差点拨和纠正；点评练习中存在的问题． 练习：1．求证2．已知 ， ， ，d 都是正数，且，求证目的:掌握用比较法证明不等式，并会灵活运用配方法和通分法变形差式，确定差式符号．反馈课堂教学效果，调节课堂教学． （四）布置作业2、已知：a ，b ∈R ＋．求证：a 5＋b 5≥a 3b 2＋a 2b 32211xx ≤+3、求证： ．7341(0)q q q q +≥+>4、求证：2,()a ba bR a b ab ++∈≥5、设a,b 求证：第二课时综合法●教学目标(一)教学知识点综合法证明不等式.(二)能力训练要求1.理解综合法证明不等式的意义.2.熟练掌握过去学过的重要不等式,并用这些不等式来证明新的不等式.(三)德育渗透目标掌握综合法、分析法证明不等式,培养学生严谨周密的逻辑思维习惯,加强学生实践能力的训练,由因导果,进一步巩固学生辩证唯物主义思想观念的教育,确实提高学生的思想道德品质.●教学重点1.掌握综合法证明不等式的基本思路,即“由因导果”,从已知条件及已知不等式出发,不断用必要条件替换前面的不等式,直至推出要证的结论.2.理解掌握用综合法证明不等式的逻辑关系.即A(已知)⇒B1⇒B2⇒…⇒B n⇒B(结论).运用不等式的性质和已证明过的不等式时,要注意它们各自成立的条件.这样才能使推理正确,结论无误.3.在综合法证明不等式的过程中常用的关系有:(1)a2≥0或(a±b)2≥0.(2)a2+b2≥2ab,a2+b2≥-2ab即a2+b2≥2|ab|.(3)ab ba ≥+2,对a >0,b >0,当且仅当a =b 时取“=”号. (4)当a ,b 同号时有abb a +≥2,当且仅当a =b 时取“=”号.(5)33abc c b a ≥++ (a >0,b >0,c >0),当且仅当a =b =c 时取“=”号.(6)a 3+b 3+c 3≥3abc (a >0,b >0,c >0),当且仅当a =b =c 时取“=”号. ●教学难点“由因导果”时,从哪个不等式出发合适是综合法证明不等式的难点. ●教学过程 1.课题导入［师］同学们,前面我们学习了两个正数的算术平均数与几何平均数的关系定理及其几个重要的不等式.(打出投影片§6.3.3 A,引导学生复习“算术平均数与几何平均数”的关系定理，阅读投影片§6.3.3 A)我们要掌握下面重要的不等关系: (1)a 2≥0,或(a ±b )2≥0;(2)a 2+b 2≥2ab ,a 2+b 2≥-2ab ,即a 2+b 2≥2|ab |; (3)ab ba ≥+2,(a ,b ∈R +),当且仅当a =b 时取“=”号; (4)ab ≤222b a +,(a ,b ∈R );ab ≤(2ab )2,(a ,b ∈R +),当且仅当a =b 时取“=”号;(5)abb a +≥2,(ab >0),当且仅当a =b 时取“=”号； （6）33abc c b a ≥++,(a ,b ,c ∈R +),当且仅当a =b =c 时取“=”号； （7)a 3+b 3+c 3≥3abc ,(a ,b ,c ∈R +),当且仅当a =b =c 时取“=”号.今天，我们在上一节课学习“比较法”证明不等式的基础上，继续学习证明不等式的一种常用的重要的方法——综合法.2.讲授新课一般地，从已知条件出发，利用定义、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法。
高中数学_直接证明与间接证明教学设计学情分析教材分析课后反思
1．知识与技能目标
(1)了解直接证明的两种基本方法：综合法和分析法．
(2)了解综合法和分析法的思维过程和特点．
2．过程与方法目标
(1)通过对实例的分析、归纳与总结，增强学生的理性思维能力．
(2)通过实际演练，使学生体会证明的必要性，并增强他们分析问题、解决问题的能力．
3．情感、态度及价值观
通过本节课的学习，了解直接证明的两种基本方法，感受逻辑证明在数学及日常生
结论的一种证明方法
3.框图表示：(P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q表示要证明的结论)
练习:已知a,b>0,求证
设计意图：引导学生应用不等式证明以上问题，引出综合法的定义.
证明:
.
再给大家出一句诗：问渠那得清如许，接下一句，点题引入分析法。
二.分析法
1.定义：一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判断一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止,这种证明方法叫做分析法.
教材分析
《直接证明与间接证明》是在学习了推理方法的基础上学习的，研究的是如何正确利用演绎推理来证明问题．本节课是《直接证明与间接证明》的第一节，主要介绍了两种证明方法的定义和逻辑特点，并引导学生比较两种证明方法的优点，进而灵活选择证明方法，规范证明步骤．本节课的学习需要学生具有一定的认知基础，应尽量选择学生熟悉的例子．
9.已知a,b,c∈R且不全相等,求证:a2+b2+c2>ab+bc+ca.
10.如图,在四棱台ABCD-A1B1C1D1中,D1D⊥平面ABCD,底面ABCD是平行四边形,AB=2AD,AD=A1B1,∠BAD=60°.
【高中教育】人教版高中数学2.2.2间接证明学案.doc
2.2.2《间接证明》导学案学习目标[来&源:zz~s#t*ep.@]结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程、特点。
学习重点、难点了解反证法的思考过程、特点[来&^源#:中国~教育出版网@]学习过程一、自学导航1、复习综合法与分析法的推理过程及注意点2、问题：如图，四边形ABCD 是平行四边形求证：AB=CD ，BC=DA[来源:中国教^~育出版网%#@]二、探究新知1．定义：从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明命题成立，这样的证明方法叫反证法。
[来^源%:中*@~教网]即：欲证p 则q ，证：p 且非q （反证法）反证法的步骤：是异面直线”的？与中，体如何证明命题“在长方（必修）》第三章中，在《数学C A AB D C B A ABCD 111112三、例题精讲：[中@#国教育出~&版*网]例1例2、证明2不是有理数（课本例2）例3、设233=+b a ，求证.2≤+b a [来%^~&源#:中教网][来源@:zzs*te#%^p.]例4、设二次函数q px x x f ++=2)(，求证：)3(,)2(,)1(f f f 中至少有一个不小于21..2小的正周期求证：正弦函数没有比π例5、设0 < a, b,c < 1，求证：(1 -a)b, (1 -b)c, (1 -c)a,不可能同1时大于4[来源:^~%中*国教育出版网#]注意事项[w~ww.zzs%tep*&.co@m][%@z&zste*#p.]三、巩固练习：1、课本83页的练习（1、2、3、4、5、6）2、用反证法证明“如果a b>>，假设的内容是．3、用反证法证明：“ a>b”. 应假设（）A．a>b B．a<b C．a=b D．a≤ b4、用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是（）A．假设至少有一个钝角B．假设至少有两个钝角C．假设没有一个钝角D．假设没有一个钝角或至少有两个钝角[来源^:*&@中~教网]5、有关反证法中假设的作用，下面说法正确的是（）.A ．由已知出发推出与假设矛盾B ．由假设出发推出与已知矛盾C ．由已知和假设出发推出矛盾D ．以上说法都不对四、回顾小结反证法的定义，步骤，注意点[来@~源:中*%国教育出版#网] 六、拓展延伸 已知函数1x 2x －)(++=x a x f （a >1） （1）证明)(x f 在（－1，+∞）上为增函数；（2）用反证法证明0)(=x f 没有负根。
教学设计2：直接证明与间接证明
7.5 直接证明与间接证明【考纲分析】1．在历年的高考中，证明方法是常考内容，考查的主要方式是对它们原理的理解和用法．难度多为中档题，也有高档题．2．从考查形式上看，主要以不等式、立体几何、解析几何、函数与方程、数列等知识为载体，考查综合法、分析法、反证法等方法．【复习指导】在备考中，对本部分的内容，要抓住关键，即分析法、综合法、反证法，要搞清三种方法的特点，把握三种方法在解决问题中的一般步骤，熟悉三种方法适用于解决的问题的类型，同时也要加强训练，达到熟能生巧，有效运用它们的目的．【基础梳理】1．直接证明(1)综合法①定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．②框图表示：P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Q n⇒Q(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示要证的结论)．(2)分析法①定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止．这种证明方法叫做分析法．②框图表示：Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件.2．间接证明一般地，由证明p⇒q转向证明：¬q⇒r⇒…⇒t.t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾．从而判定¬q为假，推出q为真的方法，叫做反证法．【助学微博】一个关系综合法与分析法的关系分析法与综合法相辅相成，对较复杂的问题，常常先从结论进行分析，寻求结论与条件、基础知识之间的关系，找到解决问题的思路，再运用综合法证明，或者在证明时将两种方法交叉使用．两个防范(1)利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．(2)用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)…”“即要证…”“就要证…”等分析到一个明显成立的结论P ，再说明所要证明的数学问题成立．【考向探究】考向一 综合法的应用【例1】►设a ，b ，c ＞0，证明：a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c .【训练1】 设a ，b 为互不相等的正数，且a ＋b ＝1，证明：1a ＋1b＞4.考向二 分析法的应用【例2】►已知m ＞0，a ，b ∈R ，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋mb 1＋m 2≤a 2＋mb 21＋m.【训练2】 已知a ，b ，m 都是正数，且a ＜b .考向三 反证法的应用【例3】►已知函数f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a ＞1)． (1)证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．(2)用反证法证明f (x )＝0没有负根．【训练3】 已知a ，b 为非零向量，且a ，b 不平行，求证：向量a ＋b 与a －b 不平行．答案【例1】[审题视点] 用综合法证明，可考虑运用基本不等式．证明 ∵a ，b ，c ＞0，根据均值不等式，有a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a＋a ≥2c . 三式相加：a 2b ＋b 2c ＋c 2a＋a ＋b ＋c ≥2(a ＋b ＋c )． 当且仅当a ＝b ＝c 时取等号．即a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c . 综合法是一种由因导果的证明方法，即由已知条件出发，推导出所要证明的等式或不等式成立．因此，综合法又叫做顺推证法或由因导果法．其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，这就要保证前提正确，推理合乎规律，才能保证结论的正确性．【训练1】证明 1a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ·(a ＋b )＝2＋b a ＋a b≥2＋2＝4. 又a 与b 不相等．故1a ＋1b＞4. 【例2】[审题视点] 先去分母，合并同类项，化成积式．证明 ∵m ＞0，∴1＋m ＞0.所以要证原不等式成立，只需证明(a ＋mb )2≤(1＋m )(a 2＋mb 2)，即证m (a 2－2ab ＋b 2)≥0，即证(a －b )2≥0，而(a －b )2≥0显然成立，故原不等式得证．逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件，正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键．【训练2】证明 要证明a ＋m b ＋m ＞a b，由于a ，b ，m 都是正数， 只需证a (b ＋m )＜b (a ＋m )，只需证am ＜bm ，由于m ＞0，所以，只需证a ＜b .已知a ＜b ，所以原不等式成立．(说明：本题还可用作差比较法、综合法、反证法)【例3】[审题视点] 第(1)问用单调增函数的定义证明；第(2)问假设存在x 0＜0后，应推导出x 0的范围与x 0＜0矛盾即可．证明 (1)法一 任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)，不妨设x 1＜x 2，则x 2－x 1＞0，ax 2－x 1＞1，且ax 1＞0.所以ax 2－ax 1＝ax 1(ax 2－x 1－1)＞0.又因为x 1＋1＞0，x 2＋1＞0，所以x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1＝x 2－2x 1＋1－x 1－2x 2＋1x 2＋1x 1＋1＝3x 2－x 1x 2＋1x 1＋1＞0， 于是f (x 2)－f (x 1)＝ax 2－ax 1＋x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1＞0， 故函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．法二 f ′(x )＝a x ln a ＋3x ＋12＞0，∴f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．(2)假设存在x 0＜0(x 0≠－1)满足f (x 0)＝0，则ax 0＝－x 0－2x 0＋1，又0＜ax 0＜1，所以0＜－x 0－2x 0＋1＜1，即12＜x 0＜2，与x 0＜0(x 0≠－1)假设矛盾．故f (x 0)＝0没有负根． 当一个命题的结论是以“至多”，“至少”、“唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证，反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是：①与已知条件矛盾；②与假设矛盾；③与定义、公理、定理矛盾；④与事实矛盾等方面，反证法常常是解决某些“疑难”问题的有力工具，是数学证明中的一件有力武器．【训练3】证明 假设向量a ＋b 与a －b 平行，即存在实数λ使a ＋b ＝λ(a －b )成立，则(1－λ)a ＋(1＋λ)b ＝0，∵a ，b 不平行，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－λ＝0，1＋λ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，λ＝－1， 所以方程组无解，故假设不成立，故原命题成立．。
2019-2020学年苏教版选修2-2 2.2.2 间接证明 教案
2.2.2间接证明学习目标 1.了解反证法是间接证明的一种基本方法.2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题．知识点一间接证明思考阅读下列证明过程，若a2＋b2＝c2，则a，b，c不可能都是奇数．证明：假设a，b，c都是奇数，则a2，b2，c2都是奇数，∴a2＋b2为偶数，∴a2＋b2≠c2，这与已知矛盾．∴a，b，c不可能都是奇数．请问上述证法是直接证明吗？为什么？答案不是直接证明，因为这种证明既不是直接从条件出发，也不是从结论出发．梳理间接证明不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立，像这种不是直接证明的方法通常称为间接证明．反证法就是一种常用的间接证明方法．间接证明还有同一法、枚举法等．知识点二反证法王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动，等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．”思考1本故事中王戎运用了什么论证思想？答案运用了反证法思想．思考2反证法解题的实质是什么？答案否定结论，导出矛盾，从而证明原结论正确．梳理(1)反证法证明过程反证法证明时，要从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)，用反证法证明命题“若p则q”的过程可以用下图表示：导致逻辑矛盾“若p则q”为真(2)反证法证明命题的步骤①反设——假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真．②归谬——从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果．③存真——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立．类型一用反证法证明否定性命题例1设{a n}是公比为q的等比数列．设q≠1，证明：数列{a n＋1}不是等比数列．证明假设{a n＋1}是等比数列，则对任意的k∈N*，(a k＋1＋1)2＝(a k＋1)(a k＋2＋1)，∴a2k＋1＋2a k＋1＋1＝a k a k＋2＋a k＋a k＋2＋1，即a21q2k＋2a1q k＝a1q k－1·a1q k＋1＋a1q k－1＋a1q k＋1，∵a1≠0，∴2q k＝q k－1＋q k＋1.∵q≠0，∴q2－2q＋1＝0，∴q＝1，这与已知矛盾．∴假设不成立，故{a n＋1}不是等比数列．反思与感悟(1)用反证法证明否定性命题的适用类型：结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法．(2)用反证法证明数学命题的步骤跟踪训练1已知三个正数a，b，c成等比数列但不成等差数列．求证：a，b，c不成等差数列．证明 假设a ，b ，c 成等差数列， 则2b ＝a ＋c ， ∴4b ＝a ＋c ＋2ac . ①∵a ，b ，c 成等比数列， ∴b 2＝ac ，② 由②得b ＝ac ，代入①式， 得a ＋c －2ac ＝(a －c )2＝0， ∴a ＝c ，从而a ＝b ＝c .这与已知a ，b ，c 不成等差数列相矛盾， ∴假设不成立．故a ，b ，c 不成等差数列．类型二 用反证法证明“至多、至少”类问题例2 a ，b ，c ∈(0,2)，求证：(2－a )b ，(2－b )c ，(2－c )a 不能都大于1. 证明 假设(2－a )b ，(2－b )c ，(2－c )a 都大于1. 因为a ，b ，c ∈(0,2)， 所以2－a >0,2－b >0,2－c >0. 所以(2－a )＋b 2≥(2－a )b >1.同理，(2－b )＋c 2≥(2－b )c >1，(2－c )＋a2≥(2－c )a >1.三式相加，得(2－a )＋b 2＋(2－b )＋c 2＋(2－c )＋a2>3， 即3>3，矛盾．所以(2－a )b ，(2－b )c ，(2－c )a 不能都大于1. 引申探究已知a ，b ，c ∈(0,1)，求证：(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能都大于14.证明 假设(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 都大于14.∵a ，b ，c 都是小于1的正数， ∴1－a,1－b,1－c 都是正数． ∴(1－a )＋b2≥(1－a )b >14＝12. 同理，(1－b )＋c 2>12，(1－c )＋a 2>12.三式相加，得(1－a )＋b 2＋(1－b )＋c 2＋(1－c )＋a 2>32，即32>32，显然不成立． ∴(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能都大于14.反思与感悟 应用反证法常见的“结论词”与“反设词”当命题中出现“至多”“至少”等词语时，直接证明不易入手且讨论较复杂．这时，可用反证法证明，证明时常见的“结论词”与“反设词”如下：跟踪训练2 已知a ，b ，c ，d ∈R ，且a ＋b ＝c ＋d ＝1，ac ＋bd >1.求证：a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．证明 假设a ，b ，c ，d 都不是负数， 即a ≥0，b ≥0，c ≥0，d ≥0. ∵a ＋b ＝c ＋d ＝1，∴b＝1－a≥0，d＝1－c≥0，∴ac＋bd＝ac＋(1－a)(1－c)＝2ac－(a＋c)＋1＝(ac－a)＋(ac－c)＋1＝a(c－1)＋c(a－1)＋1.∵a(c－1)≤0，c(a－1)≤0，∴a(c－1)＋c(a－1)＋1≤1，即ac＋bd≤1，与ac＋bd>1相矛盾，∴假设不成立，∴a，b，c，d中至少有一个是负数．类型三用反证法证明惟一性命题例3求证：方程2x＝3有且只有一个根．证明∵2x＝3，∴x＝log23.这说明方程2x＝3有根．下面用反证法证明方程2x＝3的根是惟一的．假设方程2x＝3至少有两个根b1，b2(b1≠b2)，2b b ＝1，则12b＝3,22b＝3，两式相除得12∴b1－b2＝0，则b1＝b2，这与b1≠b2矛盾．∴假设不成立，从而原命题得证．反思与感悟用反证法证明惟一性命题的一般思路：证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和惟一性．当证明结论以“有且只有”“只有一个”“惟一存在”等形式出现的命题时，可先证“存在性”，由于假设“惟一性”结论不成立易导出矛盾，因此可用反证法证其惟一性．跟踪训练3若函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，求证：方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个实根．证明假设方程f(x)＝0在区间[a，b]上至少有两个实根，设α、β为其中的两个实根．因为α≠β，不妨设α<β，又因为函数f(x)在[a，b]上是增函数，所以f(α)<f(β)．这与假设f(α)＝0＝f(β)矛盾，所以方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个实根．1．证明“在△ABC中至多有一个直角或钝角”，第一步的假设应是________．答案三角形中至少有两个直角或钝角2．用反证法证明“在三角形中至少有一个内角不小于60°”，应先假设这个三角形中________．答案每一个内角都小于60°3．“a<b”的反面应是________．答案a＝b或a>b4．用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设________．答案a与b相交5．求证：过一点只有一条直线与已知平面垂直．已知：平面α和一点P.求证：过点P与α垂直的直线只有一条．证明如图所示，不论点P在α内还是在α外，设P A⊥α，垂足为A(或P)．假设过点P不止有一条直线与α垂直，如还有另一条直线PB⊥α，设P A，PB确定的平面为β，且α∩β＝a，于是在平面β内过点P有两条直线P A，PB垂直于a，这与过一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾，∴假设不成立，原命题成立．用反证法证题需把握三点(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不全面的．(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法．(3)反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾，但推导出的矛盾必须是明显的．课时作业一、填空题1．反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是下列叙述中的某些情况，则叙述正确的序号是________．①与已知条件矛盾；②与假设矛盾；③与定义、公理、定理矛盾；④与事实矛盾．答案①②③④2．命题“a，b是实数，若|a－1|＋|b－1|＝0，则a＝b＝1”用反证法证明时应假设为________________________________________________________________________．答案a≠1或b≠1解析“a＝b＝1”是“a＝1且b＝1”，又“p且q”的否定为“綈p或綈q”，所以“a＝b＝1”的否定为“a≠1或b≠1”．3．有下列叙述：①“a>b”的反面是“a<b”；②“x＝y”的反面是“x>y或x<y”；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；④“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角”．其中正确叙述的序号为________．答案②解析①错，应为a≤b；②对；③错，应为三角形的外心在三角形内或在三角形的边上；④错，应为三角形有2个或2个以上的钝角．4．已知平面α∩平面β＝直线a，直线b⊂a，直线c⊂β，b∩a＝A，c∥a，求证：b与c是异面直线，若利用反证法证明，则应假设________．答案b与c共面解析“异面”的否定为“共面”．5．(1)已知p3＋q3＝2，证明：p＋q≤2.用反证法证明时，可假设p＋q≥2；(2)若a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证：方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.以下结论正确的是________．①(1)与(2)的假设都错误；②(1)的假设正确；(2)的假设错误； ③(1)与(2)的假设都正确； ④(1)的假设错误；(2)的假设正确． 答案 ④解析 对于(1)，结论的否定是p ＋q >2，故(1)中的假设错误；对于(2)，其假设正确． 6．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是________________________________________________________________________. 答案 存在一个三角形，其外角最多有一个钝角解析 “任何三角形”的否定是“存在一个三角形”，“至少有两个”的否定是“最多有一个”．7．用反证法证明命题“若x 2－(a ＋b )x ＋ab ≠0，则x ≠a 且x ≠b ”时，应假设__________． 答案 x ＝a 或x ＝b8．设a ，b ，c 都是正数，则三个数a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a 不能都________于2.(填“大”或“小”)答案 小解析 假设a ＋1b <2，b ＋1c <2，c ＋1a <2，则(a ＋1b )＋(b ＋1c )＋(c ＋1a )<6.又(a ＋1b )＋(b ＋1c )＋(c ＋1a)＝(a ＋1a )＋(b ＋1b )＋(c ＋1c)≥2＋2＋2＝6，这与假设得到的不等式相矛盾，从而假设不正确，所以这三个数至少有一个不小于2. 9．设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b ＝1；②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④a 2＋b 2>2.其中能推出“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是________．(填序号) 答案 ③10．某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝．甲：我没有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我没有偷． 根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是________． 答案 甲解析 假如甲：我没有偷是真的，则乙：丙是小偷；丙：丁是小偷是假的；丁：我没有偷就是真的，与他们四人中有一人说真话矛盾．假如甲：我没有偷是假的，则丁：我没有偷就是真的，乙：丙是小偷，丙：丁是小偷是假的，成立．∴可以判断偷珠宝的人是甲．11．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①∠A ＋∠B ＋∠C ＝90°＋90°＋∠C ＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误； ②所以一个三角形不能有两个直角；③假设△ABC 中有两个直角，不妨设∠A ＝90°，∠B ＝90°. 上述步骤的正确顺序为__________．(填序号) 答案 ③①② 二、解答题12．若a ，b ，c 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋π2，b ＝y 2－2z ＋π3，c ＝z 2－2x ＋π6.求证a ，b ，c 中至少有一个是大于0的．证明 假设a ，b ，c 都不大于0， 则a ≤0，b ≤0，c ≤0， ∴a ＋b ＋c ≤0，而a ＋b ＋c ＝(x 2－2y ＋π2)＋(y 2－2z ＋π3)＋(z 2－2x ＋π6)＝(x 2－2x )＋(y 2－2y )＋(z 2－2z )＋π＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋π－3， ∴a ＋b ＋c >0.这与a ＋b ＋c ≤0矛盾， ∴假设不成立，故a ，b ，c 中至少有一个是大于0的．13．已知f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a >1)，求证：方程f (x )＝0没有负数根．证明 假设x 0是f (x )＝0的负数根， 则x 0<0且x 0≠－1，且ax 0＝－x 0－2x 0＋1，∴0<ax 0<1，∴0<－x 0－2x 0＋1<1，解得12<x 0<2，这与x 0<0矛盾，故方程f (x )＝0没有负数根． 三、探究与拓展14．若下列两个方程x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0中至少有一个方程有实根，则实数a 的取值范围是____________________． 答案 (－∞，－2]∪[－1，＋∞) 解析 若两方程均无实根，则Δ1＝(a －1)2－4a 2＝(3a －1)(－a －1)<0， ∴a <－1或a >13.Δ2＝(2a )2＋8a ＝4a (a ＋2)<0， ∴－2<a <0，故－2<a <－1.若两个方程至少有一个方程有实根， 则a ≤－2或a ≥－1.15．对于直线l ：y ＝kx ＋1，是否存在这样的实数k ，使得l 与双曲线C ：3x 2－y 2＝1的交点A 、B 关于直线y ＝ax (a 为常数)对称？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由． 考点 反证法及应用 题点 反证法的应用解 假设存在实数k ，使得A 、B 关于直线y ＝ax 对称，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧ka ＝－1，①y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2，y 1＋y 22＝a x 1＋x 22，②③由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＝3x 2－1⇒(3－k 2)x 2－2kx －2＝0.④由②③得a (x 1＋x 2)＝k (x 1＋x 2)＋2， ⑤由④知x 1＋x 2＝2k 3－k2， 代入⑤整理得ak ＝3，与①矛盾．故不存在实数k，使得A、B关于直线y＝ax对称．。
人教版数学高二新课标 《直接证明与间接证明》 精品学案
例1、求证：当 有两个不相等的非零实数根时，
证明：假设 ，则有三种情况出现；
（1）若 方程变为 ，这与已知方程中有两个不相等的实根矛盾；
（2）若 矛盾
（3）若 ，这与已知条件：方程有两个非零实根矛盾。
综上所述，
【点评】当结论的反面的情形比较多时，要对每一种情形分别推出矛盾
例2、已知：
（1）求证：
若 矛盾
【点评】证明两直线异面常用反证法，证明异面的反面平行，相交都不成立
【阶梯练习】
★基础练习★
1、应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用（）
（1）结论相反判断，即假设；（2）原命题的条件；（3）公理、定理、定义等；（4）原结论
A、（1）（2）B、（1）（2）（4）C、（1）（2）（3）D、（2）（3）
★能力训练★
5、已知数列 的通项公式分别为： ，（ 是常数），且 ，那么两个数列中序号与数值均相同的项的个数是（）
A、0个B、1个C、2个D、无穷多个
6、若
7、已知 ，求证： 中至少有一个大于
8、实数 ，求证： 中至少有一个是负数
2.2.2直接证明与间接证明(2)
1、C 2、B 3、D 4、C 5、A
（2）求证： 中至少有一个不小于
证明：（1）
（2）假设 中至少有一个不小于 不成立，则假设 都小于 ，则
，这与 相矛盾，从而假设不成立，从而原命题成立，即 中至少有一个不小于 。
例3、平面 交平面 于直线a，直线b在平面 内，直线c在平面 内，
求证： 是异面直线
证明：假设 不是异面直线，则 平行或相交
2.2.2直接证明与间接证明(2)
间接证明
【要点梳理】
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学科：数学
年级：高一
教材：
学校：江苏省羊尖高级中学
作者：夏晓静
《间接证明》教学设计
知识背景：教材在紧接着直接证明开展了本节内容，实际是要求学生能够根据不同的题目类
型采取不一样的证明方法。感受不同证明方法的逻辑性，体会逻辑证明在数学以及日常生活
中的作用，养成言之有理、论证有据的习惯，从而有助于发展学生的数学思维能力，形成理
性思维和科学精神。
教材分析：历年高考中都要考察证明，以考察综合法为主，有时也考察到反证法，涉及立体
几何，解析几何，不等式，方程等知识，因此把握好反证法这种证明方法的思考过程和步骤
是关键。教材在接着直接证明安排了间接证明的内容，主要是在两种证法的比较之下学生更
好的比较学习、更好的理解间接证明的逻辑依据和证明步骤。教材内容从定义——逻辑依据
——证明步骤——例题分析。符合学生的学习习惯思维。
教学目标：
知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反
证法的思考过程、特点。
过程与方法: 多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解
决问题的能力；
情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。
教学重点：理解反证法的思考过程、特点
教学难点：反证法的思考过程、特点，归谬的过程
教具准备：与教材内容相关的资料。
教学过程：
1.情境设置
（配合幻灯片讲述）
（1）古时候，王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结满
了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动．等到小朋友们摘了李子一尝，原来是
苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路
人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．”
（2）2000多年前，亚里士多德认为：物体自由下落时，重的比轻的快。16世纪末，伽利略
用下面的思想实验反驳了亚里士多得的结论。
假设亚里士多德的结论是正确的。现在有两个重量不同的物体A与B,A比B重。则A下落
得比B快。如果把A和B栓一起（记为A+B），B会把A+B下落得速度拖慢。因此，A+B下
落的速度应该比A慢。另一方面，因为A+B比B重，按照亚里士多德的理论，A+B的下落
速度比A快。这样就产生了矛盾。因而亚里士多德的理论是错误的。
（以问题2为例）问题设置1：伽利略是怎样驳斥亚里士多德的论断的？
问题设置2：能否将这种方法用在数学的命题证明中呢？
设计意图：学生的学习效果与学生的学习动机、学习兴趣有非常直接的关系。所以通过实例
引出间接证明，既加深了学生对间接证明的映像，同时也为后面理解间接证明的逻辑依据做
好了铺垫。
2.学生活动：
在长方体中，证明是异面直线
问题设置：请同学回忆一下异面直线的定义是什么？
分析：由于定义所知证明异面直线需证明此两条直线不同在任何一个平面中，直接证明不可
完成。故正难则反：先假设共面，由于经过点的平面只能有一个（即面）,所以直线都应在
平面内，于是
点A在平面，这与点A 在平面外矛盾。因此，假设不成立，是异面直线。
设计意图：在学习立体几何中证明异面直线时，其实已经介绍过反证法，只是没有系统讲解，
将此问题设计于此，一方面让学生在回顾以前知识的同时实现新旧知识的统一，另一方面，
“正难则反”这种思维方式在高中数学的各个章节中都有涉及到，最重要的是为学生自己总
结反证法的证明步骤做好铺垫。
3.建构数学：（1）间接证明，（2）反证法：上述证明不是直接从原命题的条件逐步推得命题
成立，像这种不是直接证明的方法通常称为间接证明。反证法是一种常用的间接证明的方法。
4.学生活动：讨论问题：
反证法可分为几个步骤？（反设，归谬，存真）
每个步骤在证明中起到了怎样的作用？（略）
能给出反证法的证明过程示意图吗？（肯定条件p并否定结论q——导致逻辑矛盾——p且
非q为假——若p则q为真）
你能举出一个可以用反证法证明命题的例子吗？（教材P83练习3）
设计意图：
问题（1）（2）（3）希望学生自行归纳反证法的证明步骤，锻炼其综合概括能力；问题（4）
是提高学生的应用能力，也培养学生对需要用反证法来证明的命题产生“敏感”反映。
并总结这类命题的一般“形式特征”，以便学生灵活运用。
5.数学应用：
例1.证明：不是有理数
证明：假设是有理数，则可设=，其中为互素的整数——反设
两边平方变形得：说明是2的倍数，从而也必是2的倍数。
这样又可以设代入整理后得表明是2的倍数从而也必是2的倍数。这样，都是2的倍数，他
们有公约数2，这与为互素的假设相矛盾。————————————归谬
假设不成立，原命题得证。—————————————————存真
例2求证：正弦函数没有比小的正周期
证：假设T是正弦函数的周期，且，则对任意实数x都有
所以，假设不成立，正弦函数没有比小的正周期
设计意图：通过这两个例题帮助学生总结一下三点：
要反证法证明的命题本身往往带有“没有、不是”等否定关键词。
证法除了在步骤格式上严格要求外，真正的核心在于“归谬”。这也是反证法证明命题的难
点。
“归谬”的常见几种形式：和定理、公理矛盾；和题目条件相矛盾；和假设相矛盾等。
6.回顾与小结：以问题的形式呈现
怎样的证明方法叫间接证明？
反证法与间接证明的关系？
反证法的证明步骤是怎样的？
7.作业布置：教科书P84 4,5
8．板书设计：
2.2.2 间接证明
间接证明：┅证明长方体┅例2证明：正弦函数┅
反证法：┅┅┅
反证法的步骤：┅
9.教学反思这节课结合教材内容，教学目标以及学生认知水平，重在让学生了解间接证明中
反证法的思想，所以就典型的例题分析再分析，本着重视探究、重视交流、重视过程的课改
理念，让学生经历“创设情境——了解探究——归纳总结”的活动过程,体验参与数学知识
的发生、发展过程，培养“用数学”的意识和能力,成为知识的积极主动的建构者。