08年试题及解答

考试时间：2008年6月12日
北京化工大学2007——2008学年第二学期
《 离散数学（I） 》期末考试试卷
课程代码 M A T 2 1 3 2 T
班级： 姓名： 学号： 分数：
题号 一 二 三 四 总分
得分

一、填空题（共20分，每小题2分）

1.已知命题公式A(P,Q,R)的主析取范式为m1∨m2∨m5∨m6，它的主合取范式为
M0∧M3∧M4∧M7。
2.任意两个不同极小项的合取为 永假 式。
3.命题公式P∨(Q∧~R)的真值为真的解释为 100，101，110，111，010 。
4.设个体域D={1,2}，命题xy(x+y=3)的真值为 1 。
5.设I为整数集合，A={x| x2＜30,xI }，B={x| x是素数，x＜20}，C={1,3,5}则
(C-A)∩(B-A)= Φ 。
6.设{0,1}上的关系R={<0,0>,<0,1>}，则R的自反闭包r(R)= R∪{<1,1>} 。
7.设R是集合{1,2,„,10}上的模7等价关系，则[2]R= {2,9} 。
8.设A={a,b,c,d,e,f,g}，A上的一个划分={{a,b},{c,d,e},{f,g}}，则所诱导
的等价关系R应有 17 个元素（序偶）。
9.设个体域D={0,1}，消去公式xP(x)∧yQ(y)中的量词，可得
P(0)∧P(1)∧(Q(0)∨Q(1)) 。
10.谓词公式xyP(x,y)的否定式为 xy~P(x,y) 。

二、判断题（共20分，每小题2分，正确的在题号前打，错误的在题号前打×）
1.对于任意集合S，都有{S}P(S)。（Y）
2.若R是集合X上的等价关系，则商集X/R是X的一个划分。（Y）
3.若P∪Q=Q，P∩Q=Φ，则P=Φ （Y）
4.给定命题公式A,B,C，若AB，BC，则AC。（Y）
5.设A,B是集合，则AB和AB可能同时成立。（Y）
6.一个不是自反的二元关系一定是反自反的。（N）
7.集合{1,2,3}上的一个关系R={<1,2>,<1,3>}，R显然不是传递关系。（N）
8.一个命题的析取范式是唯一的。(N)
9.对于任意的集合A,B,C，都有A(B∪C)=(AB)∪(AC)。（Y）
10.在谓词公式中，一个变元要么是自由的，要么是约束的。（N）

三、选择题（共20分，每小题2分）
1.设A,B,C都是集合，若A∪B=A∪C，则 D 。
A BC B CB C C=B D C和B不一定相等
2.若A是素数集合，B是奇数集合，则A-B= A 。
A {2} B {3} C {5} D {0}
3.设S是一任意集合，且|S|=3，则S上不同的等价关系有 C 个。
A 8 B 9 C 5 D 6
4.下面的命题中， C 是假命题。
A 若2是奇数，则一个公式的合取范式是唯一的。
B 若2是奇数，则一个公式的合取范式不唯一。
C 若2是偶数，则一个公式的合取范式是唯一的。
D 若2是偶数，则一个公式的合取范式不唯一。
5.设有命题“x是偶数或y是负数”，则该命题的否定是 D 。
A x是偶数或y不是负数 B x是奇数或y不是负数
C x是奇数且y不是负数 D x不是偶数且y不是负数
6.在谓词演算中，P(a)是xP(x)的有效结论，其理论根据是 A 。
A US规则 B UG规则 C ES规则 D EG规则
7.重言式的否定式是 B 。
A 重言式 B 矛盾式 C 可满足式 D 蕴涵式
8.给定命题公式P,Q，若 A 为永真式，则称Q为P的有效结论。
A P→Q B Q→P C P↓Q D P↑Q
9.如果PQ成立，则 C 也成立。
A QP B ~P~Q C ~Q~P D ~PQ
10.若个体域为整数域，则下列公式中 A 为真。
A xy(x+y=0) B xy(x+y=0)
C xy(x+y=0) D yx(x+y=0)

四、计算与证明题
1.（共5分）证明：((A∪B)∩(A∪B∪C))-( ( (A-B)∩C)∪(A-B))=B。
解 ((A∪B)∩(A∪B∪C))-( ( (A-B)∩C)∪(A-B))
=(A∪B)-((A-B)∩C)∪(A-B))
=(A∪B)-(A-B)
=B

2.（共5分）令S(x,y,z)表示“x+y=z”，G(x,y)表示“x=y”，其中个体域为自然数
集，用以上符号表示命题：对任意的x，x+y=x当且仅当y=0。
解：x(S(x,y,x)G(y,0))
3.（共10分）证明如下推理：
前提：p→﹁q,r→q,r
结论：﹁p
证明：证明序列如下：

(1) r
P规则

(2) r→q P规则
(3) q
T规则,(1)(2)

(4) p→﹁q P规则
(5) q→﹁p T规则,(4)
(6) ﹁p T规则,(3)(5)

4.（共10分）设A={a,b,c,d}，R是A上的等价关系，且
R={,,,,,,,}
求：
（1）证明R是等价关系；(4分)
（2）求每一个元素的等价类；(3分)
（3）求A/R及由等价关系R诱导的A的划分AR。(3分)
解 （1）1100110000110011RM
可见该矩阵的对角元均为1，故R是自反的。
又该矩阵是对称的，故R是对称的。

RRR
MM
110011000011001111001100001100111100
1100

0011

0011



可见R是传递的。故R是等价关系。
（2）[a]R=[b]R={a,b},[c]R=[d]R={c,d}
（3）A/R={{a,b},{c,d}}，AR={{a,b},{c,d}}

5.（共10分）设X={1,2,3,4}是集合
（1）证明：<(X),>是偏序集；(4分)
（2）对集合(X)，求其最大元和最小元，极大元和极小元，上确界和下确界。
其中(X)是X的幂集，是集合的包含关系。(6分)
证明：① A(X)，则有AA，故，即是自反的。
② A,B(X)，若且，则必有AB且BA，因此A=B，
故是反对称的。
③ A,B,C(X)，若且，则有AB且BC，必有AC，
故是传递的。
综上证明，知是偏序关系，即<(X),>是偏序集。
P(X)={ {} {1} {2} {3} {4}
{1,2} {1,3} {1,4} {2,3} {2,4} {3,4}
{1,2,3} {1,2,4} {2,3,4} {1,3,4}
{1,2,3,4} }
对于集合P(X)，其最大元是集合X，最小元是空集Ø，
极大元是集合X， 极小元是空集Ø，
上确界是集合X， 下确界是空集Ø。