平方差公式、完全平方公式(拓展)
平方差公式和完全平方公式因式分解
平方差公式和完全平方公式因式分解平方差公式和完全平方公式是数学中常用的因式分解方法，它们在解题过程中起到了十分重要的作用。
本文将为大家详细介绍这两个公式，帮助大家理解其原理和应用。
首先，我们来了解一下平方差公式。
平方差公式的表达形式为a² - b² = (a + b)(a - b)。
简言之，它告诉我们两个平方数相减的结果可以因式分解为两个因数的乘积：一个因数是两个平方数的和，另一个因数是两个平方数的差。
这个公式可以极大地简化计算，特别是在解方程或因式分解的题目中，往往能起到事半功倍的效果。
那么，我们来看一个应用平方差公式的例子。
假设我们需要将x² - 4x + 4进行因式分解。
我们可以使用平方差公式进行分解，将x² - 4x + 4看作是(a - b)²的形式，其中a为x，b为2。
根据平方差公式，我们可以得到(x - 2)²，也就是x² - 4x + 4的因式分解形式。
通过应用平方差公式，我们可以将一个多项式快速分解为一对平方数的差的乘积。
接下来，我们将介绍完全平方公式。
完全平方公式的表达形式为a² + 2ab + b² = (a + b)²。
它告诉我们一个二次多项式可以因式分解为两个相同的因数的平方。
与平方差公式类似，完全平方公式也可以在解题过程中提供方便。
我们来看一个应用完全平方公式的例子。
假设我们需要将x² + 6x + 9进行因式分解。
根据完全平方公式，我们可以将x² + 6x + 9看作是(a + b)²的形式，其中a为x，b为3。
带入完全平方公式，我们可以得到(x + 3)²，也就是x² + 6x + 9的因式分解形式。
通过应用完全平方公式，我们可以迅速将二次多项式转化为平方的形式。
在实际应用中，平方差公式和完全平方公式可以帮助我们进行因式分解，并简化问题的求解过程。
平方差公式完全平方公式
乘法的平方差公式平方差公式的推导两个数的和与这两个数差的积， 等于这两个数的平方差， 这个公式就叫做乘法的平方差公式，(a+b)(a-b)=a 2-b2，平方差公式构造特色：左侧是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完整同样，另一项互为相反数；① 右侧是乘式中两项的平方差。
即用同样项的平方减去相反项的平方熟习公式：公式中的 a 和 b 既能够表示数字也能够表示字母，还能够表示一个单项式或许一个多项式。
(a+b)(a-b)=a 2 -b 2(5+6x)(5-6x)中 是公式中的 a ， 是公式中的 b (5+6x)(-5+6x)中 是公式中的 a ， 是公式中的 b (x-2y)(x+2y)中 是公式中的 a ， 是公式中的 b (-m+n)(-m-n)中 是公式中的 a ，是公式中的 b（a+b+c ）(a+b-c)中 是公式中的 a ， 是公式中的 b （a-b+c ） (a-b-c)中 是公式中的 a ， 是公式中的 b （a+b+c ）(a-b-c)中 是公式中的 a ，是公式中的 b填空：)=4x 2-1-4x)=16x 2-49y21、(2x-1)(2、(-4x+)(第一种状况：直接运用公式1.（a+3）(a-3)2..( 2a+3b)(2a-3b)3. (1+2c)(1-2c)4. (-x+2)(-x-2)5. (2x+1 )(2x- 1)6. (a+2b)(a-2b)7. (2a+5b)(2a-5b) 8. (-2a-3b)(-2a+3b)2 2第二种状况：运用公式使计算简易1、 1998× 20022、498× 5023、999× 10014、×5、×6、（100- 1 ）×（99- 2）7、（ 20- 1 ）×（19- 8）3399第三种状况：两次运用平方差公式1、（ a+b）(a-b)(a2+b2)2、(a+2)(a-2)(a2+4)3、(x- 1)(x2+1)(x+ 1 ) 242第四种状况：需要先变形再用平方差公式1、（ -2x-y） (2x-y)2、(y-x)(-x-y) 3.(-2x+y)(2x+y) 4.(4a-1)(-4a-1)5.(b+2a)(2a-b)6.(a+b)(-b+a)7.(ab+1)(-ab+1)第五种状况：每个多项式含三项1.（a+2b+c） (a+2b-c)2.(a+b-3)(a-b+3)+z)(x+y-z) 4.(m-n+p)(m-n-p)平方差公式（1）变式训练： 1、2 、填空：（ 1）2x 3y 2x 3y（ 2）4a116a21（ 3）1ab 3 1 a2b29（4）2x 3 y 4 x29 y 2 749② 拓展：1 计算：（ 1）(a b c) 2(a b c) 2（ 2）x42x2 1 2 x21x 2 x2x242．先化简再求值x y x y x2y2的值，此中 x 5, y 23．（ 1）若x2y212 , x y 6 , 则 x y的值是多少（ 2）已知(2a2b 1)( 2a 2b 1) 63 ，则a b_的值是多少平方差公式（2）2．以下哪些多项式相乘能够用平方差公式若能够，请用平方差公式解出（1）(a b c)(a b c)（2）(a b c)( a b c)（ 3）a b c a b c（4）(a2b 2c)(a 2b 2c)变式训练：1、(2 1)(221)(241)(28 1) 12、(2242L 1002 ) (1232L 992)完整平方公式（1）1．完整平方公式222(a+b) =a +2ab+b222(a-b) =a -2ab+b特色：两个公式的左侧都是一个二项式的完整平方，仅有一个符号不一样；右侧都是二次三项式，此中第一项与第三项是公式左侧二项式中的一项的平方；中间一项为哪一项二项式中两项乘积的 2 倍，两者也仅有一个符号不一样 .注意：公式中的 a 和 b 既能够表示数字也能够表示字母，还能够表示一个单项式或许一个多项式。
平方差公式完全平方公式.doc
4、1.01X0. 99乘法的平方差公式平方差公式的推导两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差，这个公式就叫做乘法的平方差公式，(a+b)(a-b)=a 2-b 2, 平方差公式结构特征：左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； ①右边是乘式中两项的平方差。
即用相同项的平方减去相反项的平方熟悉公式：公式中的a 和b 既可以表示数字也可以表示字母，还可以表示一个单项式或者一个多项 式。
(a+b)(a-b)=a 2-b 2(5+6x) (5-6x)中 是公式中的a, 是公式中的b (5+6x) (-5+6x)中 是公式中的a, 是公式中的b (x-2y) (x+2y)中 是公式中的a, 是公式中的b (-m+n) (-m-n)中 是公式中的a, 是公式中的b (a+b+c) (a+b-c)中 是公式中的a, 是公式中的b (a-b+c) (a-b-c)中 是公式中的a, 是公式中的b (a+b+c) (a-b-c)中 是公式中的a, 是公式中的b填空：1、(2xT) ()=4X 2-12、(-4x+) (-4x) =16x 2-49y 2第一种情况：直接运用公式1. (a+3) (a-3)2.. ( 2a+3b) (2a~3b)3. (l+2c) (l-2c)4. (-x+2) (-x~2)第二种情况：运用公式使计算简便1、1998X20022、498X5023、999X10015. (2x+-) (2x--)2 26. (a+2b) (a-2b)7. (2a+5b) (2a-5b)8. (-2a-3b) (-2a+3b)5、30.8X29.26、(lOO-i) X 32 (99--)3 1 Q7、(20--) X (19--)9 91、(a+b) (a~b) (a 2+b J )2、(a+2) (a -2) (a~+4)3、(x- —) (x 2+ —) (x+ —)第四种情况：需要先变形再用平方差公式1> (-2x~y) (2x-y)2> (y-x) (~x-y) 3. (~2x+y) (2x+y)4. (4a-l)(-4a-1)(b+2a) (2a-b) (a+b) (~b+a) (ab+1) (-ab+1)3.x-y+z)(x+y-z)4. (m-n+p)(m-n-p)第三种情况：两次运用平方差公式第五种情况：每个多项式含三项1. (a+2b+c) (a+2b~c)2. (a+b-3)(a _b+3)平方差公式(1)变式训练：1、2、填空：(1) (2x + 3j)(2x-3>,)= (2)(4。
平方差公式和完全平方公式变式
（4）已知x2＋y2 ＝13，xy＝6， 求 x＋y
5.完全平方式 （1）已知，x2______。 （2）已知，4x2 kxy 25y2是完全平方式，
则k ___________。 (3)x2 12x m是完全平方式,则m _____ (4)请把4x4 1添加一项后是完全平方式， 可以添加____________.
7.计算： (1)(a b c)2 (2)(a b c)(a b c) (3)(a b c)(a b c)
(a+b)2= a2 +2ab+b2 公式变形1： (a-b)2= a2 - 2ab+b2
a2 +b2 =(a+b)2 -2ab
a2 +b2 = (a-b)2 +2ab
a2 b2 (a b)2 (a b)2 2
(a+b)2= a2 +2ab+b2 公式变形2： (a-b)2= a2 - 2ab+b2
(a b)2 (a b)2 4ab (a b)2 (a b)2 4ab
(a b)2 (a b)2 4ab
4.公式变形的应用：
（1）已知a b 1, ab 2, 则a2 b2 ________。
（2）已知x y 9, xy 8, 则x2 y2 ________。
公式推广：
(a b c)2 a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc (a b c)2 a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc
平方差公式和完全 平方公式变式
平方差与完全平方公式
）
C.a=2,b=错误!未找
A.2ab
B.-2ab
C.-4ab
D. 4ab
3.若 x2+y2=(x-y)2+p=(x+y)2-Q,则 P，Q 分别为（
）
A.P=2xy,Q=-2xy B. P=-2xy,Q=2xy C. P=2xy,Q=2xy D. P=-2xy,Q=2xy
4.若 m≠n,下列等式中：(m-n)2=(n-m)2, (m+n)(m-n)=(-m-n)(-m+n), (m-n)2=-(n-m)2, (-m-n)2=-(m-n)2,
例 8．解方程： 5x 63x 2 2 3x 54 x 1 x 1 2
3 3
3
【题型六】逆用平方差公式
例 9.已知 x 2 y 2 6, x y 2 0 ，求 x y 5 的值．
【创新题】 例 10．观察下列算式：
32 1 8 8 1,52 32 16 8 2,72 52 24 8 3,92 72 32 8 4,,
A．－15
B．－2
C．－6
D．6
11．已知 x2 2ax 16 是一个完全平方式，则 a 的值等于（ ）
A．8
B．4
C．±4 D．±8
12．乘积 (1 1 )(1 1 ) (1 1 )(1 1 )等于
22
32
92
102
A. 5 12
B. 1 2
C. 11 20
() D. 7 10
13．已知 x, y 满足 x2 y 2 5 2x y,求代数式 xy 的值。
其中错误的有（
）
A.1 个
B. 2 个
C.3 个
D.4 个
5.如果 a+错误!未找到引用源。=3,则 a2+错误!未找到引用源。=(
《完全平方公式》 知识清单
《完全平方公式》知识清单一、完全平方公式的定义完全平方公式是进行代数运算与变形的重要的知识工具，有两个：1、两数和的完全平方公式：（a ＋ b)²＝ a²＋ 2ab ＋ b²2、两数差的完全平方公式：（a b)²＝ a² 2ab ＋ b²这两个公式可以合写成一个公式：（a ± b)²＝ a² ± 2ab ＋ b²二、完全平方公式的特征1、左边是一个二项式的完全平方，右边是一个三项式。
2、右边第一项是左边二项式中第一项的平方，第二项是左边二项式中两项乘积的 2 倍，第三项是左边二项式中第二项的平方。
3、公式中的字母 a、b 可以表示数，也可以表示单项式或多项式。
三、完全平方公式的推导我们可以通过多项式乘法来推导完全平方公式。
以两数和的完全平方公式为例：＼＼begin{align}（a ＋ b)²&＝（a ＋ b)（a ＋ b)＼＼＆＝a×a ＋ a×b ＋ b×a ＋ b×b\＼＆＝a²＋ 2ab ＋ b²＼end{align}＼同理，对于两数差的完全平方公式：＼＼begin{align}（a b)²&＝（a b)（a b)＼＼＆＝a×a a×b b×a ＋ b×b\＼＆＝a² 2ab ＋ b²＼end{align}＼四、完全平方公式的常见变形1、 a²＋ b²＝（a ＋ b)² 2ab2、 a²＋ b²＝（a b)²＋ 2ab3、（a ＋ b)²＝（a b)²＋ 4ab4、（a b)²＝（a ＋ b)² 4ab这些变形公式在解题时非常有用，可以根据具体题目条件灵活选择使用。
平方差公式与完全平方公式的组合运算(一)
平方差公式与完全平方公式的组合运算(一)平方差公式与完全平方公式是初中阶段学习中十分重要的数学知识，而它们的组合运算也是十分常见的。
本文将介绍平方差公式与完全平方公式，探讨它们的组合运算，以及为什么能够达到预期效果。
一、平方差公式平方差公式是指：$(a+b)\times(a-b)=a^2-b^2$。
它的形式可能比较简单，但是应用起来却十分广泛。
例如，当我们需要求出两个数的平方和与平方差时，便可以通过平方差公式来解决。
如果要求$(a+b)^2+(a-b)^2$，那么我们可以先算出$(a+b)\times(a-b)=a^2-b^2$，再把这个结果带入到$(a+b)^2+(a-b)^2$中，得到$(a+b)^2+(a-b)^2=2a^2+2b^2$。
同理，如果要求$(a+b)^2-(a-b)^2$，我们可以先算出$(a+b)\times(a-b)=a^2-b^2$，再把这个结果带入到$(a+b)^2-(a-b)^2$中，得到 $(a+b)^2-(a-b)^2=4ab$。
二、完全平方公式完全平方公式是指：$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$。
这个公式相信大家都非常熟悉，因为在代数式的展开中，非常经常会用到这个公式。
例如，如果要展开$(x+3)^2$，那么我们就可以利用完全平方公式，得到$(x+3)^2=x^2+6x+9$。
三、平方差公式和完全平方公式的组合运算平方差公式和完全平方公式在实际运用中往往也会相互组合，来求解一些更加复杂的数学问题。
例如，如果我们要求$(a+b+c)^2$，那么我们就可以先算出$(a+b)^2$和$c^2$，再通过平方差公式来得到$$(a+b+c)^2=(a+b)^2+c^2+2(a+b)\timesc$$$$=a^2+2ab+b^2+c^2+2ac+2bc$$同样地，如果我们要求$(a-b)^2-(c-d)^2$，那么我们可以先用完全平方公式算出$(a-b)^2$和$(c-d)^2$，再用平方差公式来得到$$(a-b)^2-(c-d)^2=(a-b+c-d)\times(a-b-c+d)$$$$=(a+c-b-d)\times(a-b-c+d)$$$$=(a^2-2ab+b^2-c^2+2cd-d^2)$$综上所述，平方差公式与完全平方公式的组合运算非常灵活，而且可以帮助我们解决许多数学问题。
《完全平方公式》 知识清单
1、左边是一个二项式的完全平方，右边是一个三项式。
2、右边第一项是左边二项式中第一项的平方，第二项是左边二项式中两项乘积的2倍，第三项是左边二项式中第二项的平方。
3、公式中的字母a、b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式。
三、完全平方公式的推导
我们可以通过多项式乘法来推导完全平方公式。
2、公式中的a、b可以是单项式，也可以是多项式，在使用时要注意将多项式看作一个整体。
3、不要与平方差公式混淆，平方差公式是（a＋b）（a b）＝a² b²。
七、完全平方公式的拓展
1、三项的完全平方公式
（a＋b＋c）²＝a²＋b²＋c²＋2ab＋2ac＋2bc
2、多个数的完全平方
（a₁＋a₂＋…＋an）²＝a₁²＋a₂²＋…＋an²＋2a₁a₂＋2a₁a₃＋…＋2an 1an
八、完全平方公式在实际生活中的应用
完全平方公式在实际生活中有着广泛的应用，比如在计算面积、体积、成本、利润等方面。
例如，在一个长方形花园中，长增加a米，宽增加b米，那么面积增加的部分可以用完全平方公式来计算。
又比如，在计算物体运动的路程时，如果速度随时间的变化是一个二次函数，也可能会用到完全平方公式来求。
2、a²＋b²＝（a b）²＋2ab
3、（a＋b）²（a b）²＝4ab
五、完全平方公式的应用
1、用于整式的乘法运算
例如：计算（2x＋3y）²
解：（2x＋3y）²
＝（2x）²＋2×2x×3y＋（3y）²
＝4x²＋12xy＋9y²
2、用于简便计算
例如：计算99²
解：99²＝（100 1）²
＝100² 2×100×1＋1²
＝10000 200＋1
完全平方公式与平方差公式-经典教学教辅文档
第8章整式乘法与因式分解8.3 完全平方公式与平方差公式（续表）_________________________________________________________________________________________________________④[习题反思]好题题号_____________________________________________错题题号_____________________________________________第1课时完全平方公式学案1、完全平方公式有两个：（a+b）2=a2+2ab+b2,（a-b）2=a2-2ab+b2.即，两数和（或差）的平方，等于这两个数的平方和，加上（或者减去）这两个数的积的2倍.这两个公式叫做完全平方公式.它们可以合写在一同，为（a±b）2=a2±2ab+b2.为便于记忆，可抽象的叙说为：“首平方、尾平方，2倍乘积在中央”.几何背景：如图，大正方形的面积可以表示为（a+b）2，也能够表示为S＝SⅠ+ SⅡ+ SⅢ+SⅣ，同时S＝a2+ab+ab+b2＝a2+2ab+b2.从而验证了完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2.2、完全平方公式的特点是：左侧是两个相反的二项式相乘，右侧是三项式，是左侧二项式中两项的平方和，加上（这两项相加时）或减去（这两项相减时）这两项乘积的2倍.公式中的字母可以表示具体的数（正数或负数），也能够表示单项式或多项式等代数式.只需符合这一公式的结构特点，就可以运用这一公式.3、在运用完全平方公式时应留意成绩：（1）千万不要发生类似（a±b）2=a 2±b 2的错误；（2）不要与公式（ab ）2=a 2b 2混淆；（3）切勿把“乘积项”2ab 中的2漏掉；（4）计算时，应先观察所给标题的特点能否符合公式的条件，如符合，则可以直接套用公式进行计算；如不符合，应先变形为公式的结构特点，再利用公式进行计算，如变形后仍不具备公式的结构特点，则应运用乘法法则进行计算.名师导学互动典例精析：知识点1：改变公式中b a ,的符号：例1、运用完全平方公式计算： ()252y x +-【解题思绪】本例改变了公式中b a ,的符号，处理方法之一：把两式分别变形为()()[]225252y x y x --=+-()252y x -=再用公式计算（反思得：()()()()2222;b a b a a b b a +=---=-）；方法二：把两式分别变形为：()()222552x y y x -=+-后直接用公式计算；方法三：把两式分别变形为()()[]225252y x y x +-=+-后直接用公式计算.【解】()252y x +-=()()()22222420252252525x xy y x x y y x y +-=+⨯⨯-=-.【方法归纳】对乘法公式的最初运用是模仿套用，套用的前提是确定能否具备运用公式的条件，关键是正确确定“两数”即“a ”和“b ”.对应练习：()2b a --知识点2：改变公式中的项数 例2、计算：()2c b a ++【解题思绪】完全平方公式的左侧是两个相反的二项式相乘，而本例中出现了三项，故应考虑将其中两项结合运用全体思想看成一项，从而化解矛盾.所以在运用公式时， ()2c b a ++ 可先变形为()[]2c b a ++ 或()[]2c b a ++ 或者()[]2b c a ++ ，再进行计算．【解】()2c b a ++=()[]2c b a ++=()()bc ac ab c b a c c b a b a 222222222+++++=++++.【方法归纳】运用全体思想可以使计算更为简便，快捷. 对应练习：（2a －b ＋4）2知识点3：改变公式的结构例3、运用公式计算： （1）()()y x y x 22++； （2）()()b a b a --+. 【解题思绪】本例中所给的均是二项式乘以二项式，表面看外观结构不符合公式特点，但仔细观察易发现，只需将其中一个因式作适当变形就可以了.【解】（1）()()y x y x 22++=()2222422y xy x y x ++=+；（2）()()b a b a --+=()2222b ab a b a ---=+-.【方法归纳】观察到两个因式的系数有倍数关系或相反关系是正确变形并利用公式的前提条件. 对应练习：计算：()()a b b a --知识点4：利用公式简便运算 例4：计算：9992【解题思绪】本例中的999接近1000，故可化成两个数的差，从而运用完全平方公式计算.【解】()=+-=+-=-=120001000000120001000110009992222998001. 【方法归纳】有些数学计算可拆成两数（式）平方差、完全平方公式的方式，正用乘法公式可使运算简捷、快速. 对应练习：计算：100.12知识点5：公式的逆用例5、计算： ()()()()2233525++++-+x x x x【解题思绪】本题若直接运用乘法公式和法则较繁琐，仔细分析可发现其结构恰似完全平方公式()2222b ab a b a +-=-的右侧，不妨把公式倒过来用.【解】()()()()2233525++++-+x x x x =()()[]4352=+-+x x .【方法归纳】解题中，•若把留意力和着眼点放在成绩的全体上，多方位考虑、联想、探求，进行全体考虑、全体变形，•从不同的方面确定解题策略，能使成绩迅速获解．对应练习：化简()()()()223372272++++-+a a a a 知识点6：公式的变形例6、已知实数a 、b 满足()1,102==+ab b a .求以下各式的值：（1）22b a +；（2）()2b a -【解题思绪】此例是典型的整式求值成绩，若按常规思想把a 、b 的值分别求出来，非常困难；仔细探求易把这些条件同完全平方公式结合起来，运用完全平方公式的变方式很容易找到解决成绩的途径.【解】（1）22b a +=()822=-+ab b a ； （2）()()ab b a b a 422-+=-=6.【方法归纳】()()ab b a b a 422-+=-()(),422ab b a b a +-=+()()ab b a b a ab b a b a 2,2222222+-=+-+=+熟习完全平方公式的变方式，是相关全体代换求知值的关键. 对应练习：已知：x ＋y ＝－1，x 2＋y 2＝5，求xy 的值. 知识点7：乘法公式的综合运用 例7、计算：()()z y x z y x -+++【解题思绪】此例是三项式乘以三项式，特点是：有些项相反，另外的项互为相反数。
平方差公式和完全平方公式习题课
首平方，尾平方，首尾2倍放中央
1、利用公式进行计算：
(1)( x 2 y )( x 2 y) (2)(a 2b)(2b a) (3)(2a 3b)
2 2
(4)(2 x y )
2、化简求值：
（）(x 3) ( x 1)( x 2), 其中x 1 1
+8mn +n2
2 (2)(x-2y)
解：
2= (x-2y)
2 x 2 a
+(2y)2 -2•x •2y - 2 ab +
2 b
(a -
2= b)
2 -4xy =x
+4y2
例2、运用完全平方公式计算：
(1) 1022 解： 1022 = (100+2)2 =10000+400+4 =10404 (2) 992 解： 992 = (100 –1)2 =10000 -200+1 =9801
a +b = (a-b) +2ab
( a b) ( a b) a b 2
2 2 2 2
2
2
2
2
2
(a+b)2= a2 +2ab+b2
公式变形2：
(a-b)2= a2 - 2ab+b2
2
(a b) (a b) 4ab
2
(a b) (a b) 4ab
2 2
(-x +y)2 =x2 -2xy +y2 (4) (2x+y)2 =4x2 +2xy +y2 错
(2x +y)2 =4x2+4xy +y2
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平方差公式、完全平方公式
abbaba2)(222
abbaba2)(222
`
1 `
bcacabcbacba222)(2222
一、填空
1、（－2x+y）（－2x－y）=______
2、（－3x2+2y2）（______）=9x4－4y4
3、（a+b－1）（a－b+1）=（_____）2－（_____）
2
4、两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，
那么较大正方形的面积减去较小的正方形
的面积，差是_____
5、计算：（a+1）（a－1）=______
6、
若a2+b2－2a+2b+2=0,
则a2004+b2005=_
_______
7、一个长方形的长为(2a+3b),宽为(2a－3b),
则长方形的面积为________
8、5－(a－b)2的最大值是________，当5－
(a－b)2取最大值时，a与b的关系是________
9、要使式子0.36x2+41y2成为一个完全平方
式，则应加上________
10、(4am+1－6am)÷2am－1=________. 29
×31×(302+1)=________
11、已知x2－5x+1=0,则x2+21x=________
12、已知(2005－a)(2003－a)=1000,请你猜想
(2005－a)2+(2003－a)2=________
13、若x2－7xy+M是一个完全平方式，那么M
是
14、若x2－y2=30，且x－y=－5，则x+y的值
是
15、若x2－x－m = (x－m)(x+1)且x≠0,则m
等于
16、(x+q)与(x+51)的积不含x的一次项，则q
应是
17、计算［(a2－b2)(a2+b2)］2等于
18、已知(a+b)2=11,ab=2,则(a－b)2的值是
19、已知m2+n2-6m+10n+34=0，则m+n的值
是
20、已知0136422yxyx，
yx、
都是有理数，则yx的值是
21、已知 2()16,4,abab则
22
3
ab
的值是 、2()ab的值是
22、已知()5,3abab，则
2
()ab
的值是 、223()ab的
值是
23、已知6,4abab，则ab的值
是 、22ab的值是
24、已知224,4abab，则
22
ab
的值是 、2()ab的值是
25、已知(a+b)2=60，(a-b)2=80，则a2+b2的值
是 、ab的值是
26、已知6,4abab，则
2222
3ababab
的值是
27、已知222450xyxy，
则21(1)2xxy的值是
28、已知16xx，则221xx的值是
29、0132xx，则221xx的值
是 、441xx的值是
30、当代数式532xx的值为7时,
则代数式2932xx的值是
31、已知4yx，1xy，则代
数式)1)(1(22yx的值是
32、已知2x时，代数式
10835cxbxax
，则当
2x
时，代数式
835cxbxax
的值是
33、已知012aa，则
2007223aa
的值是
34、若123456786123456789M，
123456787123456788N
，则M
与N的大小关系是
35、已知2083xa，1883xb，
1683xc
，则代数式
bcacabcba
222
的值是
36、已知x≠1，（1+x）（1－x）=1－x2，（1－x）
（1+x+x2）=1－x3，（1－x）（•1+x+x2+x3）=1
－x4．，……
（1）观察以上各式并猜想：（1－x）
（1+x+x2+…+xn）=______．（n为正整数）
（2）根据你的猜想计算：
①（1－2）（1+2+22+23+24+25）
=______． ②2+22+23+…+2n=______（n
为正整数）．
③（x－1）（x99+x98+x97+…+x2+x+1）
=_______．
（3）通过以上规律请你进行下面的探索：
①（a－b）（a+b）=_______．
②（a－b）（a2+ab+b2）=______．
③（a－b）（a3+a2b+ab2+b3）=______．
二、选择
1、下列多项式的乘法中，可以用平方差公式
计算的是（ ）
A．（a+b）（b+a） B．（－a+b）（a
－b） C．（13a+b）（b－13a） D．（a
2
－b）（b2+a）
2、下列计算中，错误的有（ ）
①（3a+4）（3a－4）=9a2－4；②（2a2－b）
（2a2+b）=4a2－b2；
③（3－x）（x+3）=x2－9；④（－x+y）·（x+y）
=－（x－y）（x+y）=－x2－y2．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4
个
3、下列运算正确的是（ ）
A．a3+a3=3a6 B．（－a）3·（－
a）5=－a8
C．（－2a2b）·4a=－24a6b3 D．（－13a
－4b）（13a－4b）=16b2－19a
2
4、下列四个算式:①4x2y4÷41xy=xy3；②
16a6b4c÷8a3b2=2a2b2c；③9x8y2÷3x3y=3x5y； ④
(12m3+8m2－4m)÷(－2m)=－6m2+4m+2，
其中正确的有（ ）个
5、若x,y互为不等于0的相反数，n为正整
数,你认为正确的是（ ）
A.xn、yn一定是互为相反数 B.(x1)n、
(y1)n一定是互为相反数
C.x2n、y2n一定是互为相反数 D.x
2n
－1、－y2n－
1
一定相等
三、计算
1、2023×2113
2、（3+1）（32+1）（34+1）…（32008+1）－401632
3、（a+2）（a2+4）（a4+16）（a－2）
4、（2+1）（22+1）（24+1）…（22n+1）+1（n
是正整数）
5、利用平方差公式计算：
2
2007
200720082006
2
2007
200820061
6、（解方程）
x（x+2）+（2x+1）（2x－1）=5（x2+3）
x(9x－5)－(3x－1)(3x+1)=5
7、
(a－2b+3c)2－(a+2b－3c)
2
［ab(3－b)－2a(b－21b2)］
8、(－3a2b3);－2100×0.5100×(－1)2005÷(－1)－5
［(x+2y)(x－2y)+4(x－y)2－6x］÷6x
四、综合应用
1、请写出一个平方差公式，使其中含有字母
m，n和数字4：
2、试说明不论x,y取何值，代数式226415xyxy的
值总是正数。
3、已知三角形 ABC的三边长分别为a,b,c且
a,b,c满足等式
2222
3()()abcabc
，请说明该三
角形是什么三角形？
4、广场内有一块边长为2a米的正方形草坪，
经统一规划后，南北方向要缩短3米，东西方
向要加长3米，则改造后的长方形草坪的面积
是多少？
5、(2+1)(22+1)(24+1)
=(2－1)(2+1)(22+1)(24+1)
=(22－1)(22+1)(24+1)
=(24－1)(24+1)=(28－1).
根据上式的计算方法，请计算
(3+1)(32+1)(34+1)…(332+1)－2364的值等于