扬州闰土教育初三圆 第二课时--垂径定理
九年级数学《垂径定理应用》课件
求证：AC＝BD。
O.
A
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，
E C
DB
则AE＝BE，CE＝DE。
AE－CE＝BE－DE。
所以，AC＝BD
实际上，往往只需从圆心作一条与弦垂直的 线段.就可以利用垂径定理来解决有关问题了.
1、两条辅助线：
·O
半径、圆心到弦的垂线段
2、一个Rt△：
AC B
半径、圆心到弦的垂线段、半弦
于E，CE=1，AB=10，求直径CD的长。
A
C E O·
D
B
3、⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD， AB=16，CD=12，则AB、CD间的 距离是___2cm 或14cm.
1.两条弦在圆心的同侧
2.两条弦在圆心的两侧
A
●O
B
C
D
A C
B ●O
D
全品第8页11题
4：已知：如图，在以O为圆心的两 个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于 C，D两点。
3、两个定理： 垂径定理、勾股定理
圆 你能破镜重 吗？
n
m C
A
B
·O
圆 破镜重
m
n
C
A
作图依据：
B
·O
弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧。
思考：如何等分一段弧呢？
如图，MN是⊙O的直径，MN=2，点A在⊙O上， ∠AMN=30°，B为 AN的中点，P是直径MN上一动
点，则PA+PB的最小值为
的中点，⌒C是AB的中点，CD就是
拱∴ 高A.B=37.4m，
O
C∴DA=D7=.21m/2 AB=18.7m，OD=OC-
∵CD=OrA-72 .2OD2 AD2
人教版九年级上册《垂径定理》教案
人教版九年级上册《垂径定理》教案
《人教版九年级上册《垂径定理》教案》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！
教学背景
学生在学习了圆的基本定义(旋转定义和集合定义)和相关弦，弧等概念后，结合轴对称性质来探讨的定理。
教学目标
1、知识目标：
(1)充分认识圆的轴对称性;
(2)利用轴对称探索垂直于弦的直径的有关性质，掌握垂径
定理及其推论;
(3)运用垂径定理进行简单的证明、计算和作图。
2、能力目标：
(1)让学生经历“实验—观察—猜想—验证—归纳”的研究
过程，培养学生动手实践、观察分析、归纳问题和解决
问题的能力。
(2)让每个学生动手、动口、动眼、动脑，培养学生直觉思
维能力。
3、情感目标：
通过实验操作探索数学规律，激发学生的好奇心和求知
欲，同时培养学生勇于探索的精神。
教学重点
垂直于弦的直径的性质及其应用
教学难点
(1)垂径定理的证明
(2)垂径定理的题设与结论的区分
教学辅助
多媒体
教学方法
本节课采用的教学方法是“主体探究式。
整堂课充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用，注重学生探究能力的培养，鼓励学生认真观察、大胆猜想、小心求证。
令学生参与到“实验--观察--猜想--验证--归纳”的活动中，与教师共同探究新知识最后得出定理。
学生不再是知识的接受者，而是知识的发现者，是学习的主人。
教学过程
教学总结
人教版九年级上册《垂径定理》教案这篇文章共6626字。
第2课时 垂径定理(解析版)九年级数学-下册
27.1.2第2课时垂径定理姓名：_______班级_______学号：________1．（2022·云南·中考真题）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是OO的弦，AB⟂CD．垂足为E．若AB=26，CD=24，则∠OCE的余弦值为（）A．713B．1213C．712D．1312【答案】B【分析】先根据垂径定理求出12CE CD=，再根据余弦的定义进行解答即可．【详解】解：∵AB是⊙O的直径，AB⟂CD．∴112,902CE CD OEC==∠=︒，OC=12AB=13，∴12 cos13CEOCEOC∠==．故选：B．【点睛】此题考查的是垂径定理，锐角三角函数的定义，熟练掌握垂径定理，锐角三角函数的定义是解答此题的关键．2．（2022·湖北荆门·统考中考真题）如图，CD是圆O的弦，直径AB⊥CD，垂足为E，若AB＝12，BE＝3，则四边形ACBD的面积为()A．363B．243∵AB＝12，BE＝3，【答案】76OH =【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理、余弦的定义，连接90OHD BHD ∠=∠=︒则3OD OB x ==+，由勾股定理可得 AB 是O 的直径，且经过弦AB CD ∴⊥，90OHD BHD ∴∠=∠=︒，4cos 5DH CDB BD ∠== ，（2）解：记OD与AC的交点为F，如下图所示：∵OD⊥AC，∴F为AC中点，∴OF是△ABC的中位线，∴OF=12BC=3，∵OF⊥AC，∴OF的长就是点O到AC的距离；Rt△ABC中，∵AC=8，BC=6，题型2利用垂径定理求平行弦问题5．（2023上·天津和平·九年级校考期末）O 半径为5，弦AB CD ∥，6AB =，8CD =，则AB 与CD 间的距离为（）A ．1B ．7C ．1或7D ．3或4【答案】C 【分析】过O 点作OE AB ⊥，E 为垂足，交CD 与F ，连OA ，OC ，由AB CD ∥，得到OF CD ⊥，根据垂径定理得3AE =，4CF =，再在Rt OAE △中和在Rt OCF 中分别利用勾股定理求出OE ，OF ，然后讨论：当圆O 点在AB 、CD 之间，AB 与CD 之间的距离OE OF =+；当圆O 点不在AB 、CD 之间，AB 与CD 之间的距离OE OF =-．【详解】解：过O 点作OE AB ⊥，E 为垂足，交CD 与F ，连OA ，OC ，如图，AB CD ∥ ，OF CD ∴⊥，AE BE ∴=，CF DF =，而6AB =，8CD =，过O作OE⊥CD，交CD于点E，交∵AB∥CD，∴OE⊥AB，∴E、F分别为CD、AB的中点，∴CE=DE=12CD=3cm，AF=BF=12AB=4cm【答案】70或170/170或【分析】过圆心作垂直于弦的线段，种情况去讨论，垂径定理与勾股定理结合求解即可．【详解】解：如图所示：,OE CD OF AB ⊥⊥根据垂径定理，1120cm 2DE CD ==直径为260cm ，半径OD OB =∴在Rt OED V 中，22OE OD =∴50cmOE =【答案】32【分析】连接OF ，过点O 作OH ⊥EF ，垂足为计算．【详解】如图，连接OF ，过点O 作OH 则EH=FH=1EF=2，∵GB=5，∴OF=OB=52，在△OHF 中，勾股定理，得OH=2253()222-=，∵四边形ABCD 是矩形，【答案】5【分析】先设大圆半径为然后过点O 分别作OM 定理，得22MO AO =-222275R r -=-，同理得由垂径定理可得12EM =在Rt AOM △和Rt EOM 由勾股定理得2MO AO =A．6B．【答案】C【分析】作OD⊥AB于C，交小圆于然后运用勾股定理即可求得∵OA=OD=4，CD=2，∴OC=2，∴AC=2223OA OC -=，∴AB=2AC=43.【答案】42【分析】连接OD，交AC于F 根据三角形中位线定理求得AC．∵D是 AC的中点，∴OD⊥AC，AF=CF，∴∠DFE=90°，∵OA=OB，AF=CF，1BC，∴OF=A．3B【答案】D【分析】过点O作OC⊥出OD的长；根据垂径定理的推论可得的长度．根据题意可得：OD CD=∵OC AB⊥，∴12AD BD AB==，在Rt OAD△中，AD=A ．8【答案】C 【分析】连接OA ，OB OC AB ⊥，再利用勾股定理即可求解．OA 和OB 是O 的半径，OA OB ∴=，又 C 为AB 的中点，且132AC AB ∴==，OCD ．若弦AC 平分半径OB ．则半径OB 平分弦AC【答案】B【分析】根据圆的有关性质、垂径定理及其推论、特殊平行四边形的判定与性质依次对各项判断即可．【详解】A ．∵半径OB 平分弦AC ，∴OB ⊥AC ，AB=BC ，不能判断四边形OABC 是平行四边形，假命题；B ．∵四边形OABC 是平行四边形,且OA=OC,∴四边形OABC 是菱形，∴OA=AB=OB ，OA ∥BC ，∴△OAB 是等边三角形，∴∠OAB=60º,∴∠ABC=120º,真命题；C ．∵120ABC ∠=︒，∴∠AOC=120º，不能判断出弦AC 平分半径OB ，假命题；D ．只有当弦AC 垂直平分半径OB 时，半径OB 平分弦AC ，所以是假命题，故选：B ．【点睛】本题主要考查命题与证明，涉及垂径定理及其推论、菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，解答的关键是会利用所学的知识进行推理证明命题的真假．17．下列命题中假命题是（）A ．平分弦的半径垂直于弦B ．垂直平分弦的直线必经过圆心C ．垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧D ．平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦【答案】A【分析】根据垂径定理及其推论分别进行判断．【详解】A 、平分弦（非直径）的半径垂直于弦，所以A 为假命题；B 、垂直平分弦的直线必经过圆心，所以B 选项为真命题；C 、垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧，所以C 选项为真命题；A．4cm B．5cm 【答案】B【分析】由折叠性质得AA′⊥CD=AD=BD=A′D，可证得A形的中位线性质证得DE=1 2【详解】解：由折叠性质得AA′∵90ACB∠= ，点D是AB的中点，理的推论，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．【答案】7.5【分析】如详解中图所示，将题中主视图做出来，用垂径定理、勾股定理计算即可【详解】如下图所示，设球的半径为则OG=EG-r=EF-GF-r=EF-AB-r=32-20-r=∵EG 过圆心，且垂直于AD ∴G 为AD 的中点，则AG=0.5AD=0.5×12=6cm 在Rt OAG 中，由勾股定理可得，222OA OG AG =+，即222(12)6r r =-+，【点睛】本题考查了主视图、题的关键．21．（2022·浙江宁波·统考模拟预测）AB=垂足为M，且8cmA．25cm B【答案】C【分析】先画好一个圆，标上直径情况AB与OD相交，第二种情况AC的长；【详解】连接AC，AO23．（2023·安徽·统考中考真题）(1)如图1，求ADB ∠的大小；(2)已知点D 和边AC 上的点E 满足,ME AD DE AB ⊥∥．（ⅰ）如图2，连接CD ，求证：BD CD =；8,6AC BC ==∵ME AD ⊥，90ADB ∠=∴EM BD ∥．又∵DE AB ∥，∴BD DF =，即点D 是Rt BCF 斜边的中点．∴BD CD =．证法二：∵90ACB ADB ∠=∠=︒，M 是斜边AB 的中点，∴点A C D B 、、、在以M 为圆心，AB 为直径的M 上．∵ME AD ⊥，∴ME 垂直平分AD ．∴EA ED =．∴EAD EDA ∠=∠．∵DE AB ∥，∴BAD EDA ∠=∠．∴EAD BAD ∠=∠．∴BD CD =．证法三：∵ME AD ⊥，90ADB ∠=︒∴EM BD ∥．又∵DE AB ∥，∴四边形BDEM 是平行四边形．∴DE BM =．∵M 是AB 的中点，，∴AM BM =．∴DE AM =．∴四边形AMDE 是平行四边形．∵ME AD ⊥，∴AMDE 是菱形．∵8,6AC BC ==，∴2210AB AC BC =+=,EAH BAC ACB ∠=∠∠。
垂径定理及其推论完整ppt课件
③④ ①②⑤ 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，垂直于弦
③⑤ ①②④ ，并且平分弦所对的另一条弧．
④⑤ ①②③ 平分弦所对的两条弧精的品直课件线经过圆心，并且垂直平分弦．24
小练习 C
且平分弦所对的两条弧
已知：如图：AB是⊙O的一条弦.
C
求证CD：是A直M径=B,且MCDA⊥⌒CA=BB⌒,C垂, 足A⌒为DM=B.⌒D.
A
M└
●O
B
证明：连接OA,OB
∵OA=OB,OM⊥AB
符号语言： D
∴AM=BM. ∴点A和点B关于CD对称.
如图∵ CD是直径,
∵⊙O关于直径CD对称,
CD⊥AB,
作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.
（1）下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
（2）你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说 说你的想法和理由.
C
等量关系：
A M└ ●O
B
AM=BM
⌒⌒
AC =BC,
⌒⌒
AD =BD.
D
你能用一句话表达上述
结论吗？
精品课件
4
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并
① 直径过圆心 ② 垂直于弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
③ 平分弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
① 直径过圆心 ② 垂直于弦 ④ 平分弦所对优弧
（5）平分弦并且平分弦所对的一条弧的直径过 圆心，垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧 ．
精品课件
22
④ 平分弦所对优弧 ⑤ 平分弦所对的劣弧
① 直径过圆心 ② 垂直于弦 ③ 平分弦
垂径定理及其推论
圆部分知识点总结垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
垂径定理及其推论可概括为： 过圆心 垂直于弦直径平分弦知二推三 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理1：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
2：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
点和圆的位置关系设⊙O 的半径是r ，点P 到圆心O 的距离为d ，则有：d<r ⇔点P 在⊙O 内；d=r ⇔点P 在⊙O 上； d>r ⇔点P 在⊙O 外。
过三点的圆1、不在同一直线上的三个点确定一个圆。
2、经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。
3、三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。
直线与圆的位置关系直线和圆有三种位置关系，具体如下：（1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点； （2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线， （3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。
如果⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线L 的距离为d,那么：直线L 与⊙O 相交⇔d<r ；直线L 与⊙O 相切⇔d=r ； 直线L 与⊙O 相离⇔d>r ；圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
人教版九年级数学上册课件：第24章圆2 垂径定理的四种应用技巧(共14张PPT)
技巧
2 巧用垂径定理解决最值问题(转化思想)
2．如图，AB，CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB＝8，
CD＝6，MN是直径，AB⊥MN 于点E，CD⊥MN于点F，P为直
线EF上的任意一点．求PA＋PC 的最小值．
9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/82021/9/8Wednesday, September 08, 2021 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 12:24:57 AM 11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/82021/9/82021/9/8Sep-218-Sep-21 12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/82021/9/82021/9/8Wednesday, September 08, 2021
(2)如图②，当AB与线段CD相交时，CE＝DF是否仍
然成立？请说明理由．
解：CE＝DF仍然成立．理由如下： 过点A作AM∥EF交⊙O于点M，连接FM，则四边形 AEFM为矩形，B，F，M共线．过点O作OG⊥AM于 点G，OG交EF于点N.则CN＝DN.
∵AE⊥CD，BF⊥CD，OG⊥AM，AM∥CD， ∴AE∥OG∥BM.
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/82021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月8日星期三2021/9/82021/9/82021/9/8 15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/82021/9/8September 8, 2021 17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/82021/9/82021/9/82021/9/8
九年级数学垂径定理16页PPT
51、山气日夕佳，飞鸟相与还。 52、木欣欣以向荣，泉涓涓而始流。
53、富贵非吾愿，帝乡不可期。 54、雄发指危冠，猛气冲长缨。 55、土地平旷，屋舍俨然，有良田美 池桑竹 之属， 阡陌交 通，鸡 犬相闻 。
24.1.2 垂径定理
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石 拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧 形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦 的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
证明： OE AC OD AB AB AC
OEA 90 EAD 90 ODA 90
∴四边形ADOE为矩形， AE 1 AC，AD 1 AB
2
2
又 ∵AC=AB
C
∴ AE=AD
E
·O
∴ 四边形ADOE为正方形.
A
D
B
判断下列说法的正误
①平分弧的直径必平分弧所对的弦 ②平分弦的直线必垂直弦
并且平分 A B 及 ACB
A
垂径定理：垂直于弦的直径平分 弦，并且平分弦所对的两条弧．
C
·O
E B
D
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦 所对的两条弧．
解决求赵州桥拱半径的问题
A
B
AB AB
如 AB
图
在，图 A AB D =1 3A 7.4 ，B 1 C 3 D. =4 7 7 .1 2，.7 8 ,
在Rt△中O用 表 示ADO7中.D2，=O2 由C勾－股C2 D定=理R－，得
C
主 OA2=AD2+OD2
A
D
B
九年级数学下册 第2章 圆2.3 垂径定理课件(新版)湘教版
课堂小结
垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦， 并且平分弦所对的两条弧.
A
C
O
E B
D
结束语
九年级数学下册 第2章 圆2.3 垂径定理课件（新 版）湘教版
A
C
O
E B
D
如图，弦AB = 8 cm，CD是⊙O 的直径，CD⊥AB， 垂足为 E，DE ＝ 2 cm，求⊙O 的直径 CD 的长.【教材P59页】
解 连接 OA. 设 OA = r cm， 则 OE ＝ r - 2 （cm）. ∵ CD⊥AB，
由垂径定理得 AE AB4cm.
2
在 Rt△AEO 中， 由勾股定理得 OA2 ＝ OE2 + AE2. 即 r2 ＝ （r-2）2 + 42. 解得 r ＝ 5 . ∴ CD = 2r = 10 （cm）.
练习
如图， AB 是⊙O 的直径， C 是⊙O上一点，AC ＝ 8 cm， AB ＝ 10 cm， OD⊥BC于点 D， 求 BD 的长. 【教材P59页】 解 ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°； ∵OD⊥BC，∴OD∥AC，又∵AO=OB， ∴OD是△ABC的中位线，即BD= 1 BC；
2
证明：圆的两条平行弦所夹的弧相等． 已知：如图， 在⊙O 中，弦 AB 与弦 CD 平行． 求证：ACBD【教材P59页】 证明： 作直径 EF⊥ AB，∴ AEBE . 又∵AB∥CD， EF ⊥ AB ， ∴ EF ⊥ CD. ∴ CEDE . 因此 A E C E B E D E. 即 ACBD.
复习课件
九年级数学下册 第2章 圆2.3 垂径定理课件（新版）湘教版
垂径定理
九年级中考数学复习 垂径定理的复习 课件
变：求证PB=PD
【用】
考点三：垂径定理在生活中的应用
例3：一根排水管的横截面如图所示（排水管的厚度忽略不计），已知排水管的半径
AO=10，排水管中水面宽AB=12.
（1）求圆心O到水面的距离OC.
（2）此时排水管中水的最大深度是多少？
（3）若水量增大，请问排水管中水上涨多少米后，
O
水面宽会变为16?
A
C
B
一根排水管的横截面如图所示（排水管的厚度忽略不计），已知排水管的
半径AO=10，排水管中水面宽AB=12.
（1）求圆心O到水面的距离OC.
解 由题意得，OC⊥AB，
1
1
∴AC=BC= AB= ×12=6.
2
2
由勾股定理，得
OC= 2 − 2 =8 .
O
A
C
半径
B
思考2：根据题目信息，你能求出圆弧形隧道的半径吗？
C
中点
C为
OD=6-R
OA=R
O
A
D
（圆心O在AB上方）
找圆心，连圆心和弧中点
B
O在CD上
OC⊥AB
1
AD =2 =4
CD⊥AB
Rt△OAD中，R2=(6-R)2+42，
13
解得：R= .
3
车辆只走一侧
变式 如图，有一个双车道隧道，横截面呈圆弧形，隧道内路面宽为
如图，在⊙O中，半径OC⊥AB于点D.且AB＝8cm，OC=5cm,求DC的长
【思想方法】 求圆中的弦长或其他线段长时，通常
连半径，由半径、弦的一半以及圆心到弦的距离构成
直角三角形进行求解．
第2课时 垂径定理(2)1
即⊙0的半径长为5cm.
课堂小结
垂径定理的推论有哪些？
课后作业
1.判断： (1）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧.( ） (2）平分弦的直线，必定过圆心. ( ） (3）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么
上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其 他三个结论.
(1)平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且 平分弦所对的两条弧. (2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对 的两条弧. (3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦， 并且平分弦所对的另一条弧.
运用新知
如图所示，OC交AB于点DAD=DB，AB=6cm， CD=1cm，
这条直线垂直这条弦. ( ）
(4）弦的垂直平分线一定是圆的直径. ( ） (5）平分弧的直线，平分这条弧所对的弦.( ） (6）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分.( ） 2.完成练习册中本课时的练习.
“先生不应该专教书，他的责任是教人做 人；学生不应该专读书，他的责任是学习人生 之道。”。 —— 陶行知
※3 垂径定理
第2课时 垂径定理(2)
北师版 九年级下册
新课导入
提问：上节课所学的垂径定理是什么？ 回答:垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对 应的两条弧.
思考探究
AB是⊙0的一条弦（非直径），且AM=BM.过 点M作直径CD.
如图（1）是轴对称图形吗？如果是， 其对称轴是什么？ 你能发现图中有哪些等量关系？与同伴 说说你的想法和理由.我们发现图中有：
理由是：如图（2）连接0A，0B，则0A=0B 在△0AM和△0BM中， ∵0A=0B，0M=0M，AM=BM ∴△0AM≅△0BM. ∴∠AM0=∠BM0. ∴CD丄AB
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24.1 圆（第二课时 ）
------ 垂径定理
知识点
1、垂径定理：垂直于弦的直径 ，并且平分弦所对的 。
2、推论：平分弦（不是直径）的直径 ，并且平分弦所对的 。
【特别注意：1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分弦⑷平分弦所对的优弧⑸
平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，那么可推出其中三个，注意解题过程中的灵活运用；2、圆中常作的辅助线
是过圆心作弦的垂线；3、垂径定理常用作计算，在半径r、弦a、弦心d、和拱高h中已知两个可求另外两个】
一、选择题
1.如图，在⊙O中，OC⊥弦AB于点C，AB=4，OC=1，则OB的长是（ ）
A． B． C． D．
2.如图，⊙O的半径为5，弦AB=8，M是弦AB上的动点，则OM不可能为（ ）．
A.2 B.3 C.4 D.5
3.在半径为5cm的圆中，弦AB∥CD,AB=6cm，CD=8cm，则AB和CD的距离是（ ）．
A.7cm B.1cm C.7cm 或4cm D.7cm或1cm
4.如图，AB是⊙O的弦，半径OA＝2，∠AOB＝120°，则弦AB的长是（ ）．B
（A）22 （B）32 （C）5 （D）53
B
O
A
5.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是（ ）
A．CM=DM B． CBDB C．∠ACD=∠ADC D．OM=MD
·
A
O
M
B
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6．如图，在半径为5的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为（ ）
A．3 B．4 C．32 D．42
7．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，已知CD=12，BE=2，则⊙O的直径为（ ）
A．8 B．10 C．16 D．20
8、如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB宽为8cm，水面最深地方的高度为2cm，
则该输水管的半径为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
二、填空题
1.如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC，垂足为D，已知OD=5，则弦AC= ．
A
·
B
C
O
D
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2、如图AB是⊙O的直径，∠BAC=42°，点D是弦AC的中点，则∠DOC的度数是 度．
3、如图，M是CD的中点，EM⊥CD，若CD=4，EM=8，则所在圆的半径为 ．
4、如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC，垂足为D，若⊙O的半径为2，则弦AB的长为 ．
5、如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，P与x轴交于O,A两点，点A
的坐标为
（6,0），P的半径为13，则点P的坐标为
____________.
6．如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB，垂足为E，已知CD=6，AE=1，则⊙0的半径
为 ．
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B
A
C
E
D
O
F
7．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C．若AB=23，0C=1，则半径OB的长为 ．
8.如图，⊙O的半径为5，P为圆内一点，P到圆心O的距离为4，则过P点的弦长的最小值是 ．
O
P
9.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的AB︵），点O是这段弧的圆心，C是AB︵上一点，OC⊥AB，垂足为D，
AB＝300m，CD＝50m，则这段弯路的半径是 m.
D
10.如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为 cm．
三、解答题
1．如图，AB和CD是⊙O的弦，且AB=CD， E、F分别为弦AB、CD的中点，
证明：OE=OF。
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B
O
E
D
C
A
2.如图，在⊙O中，AB，AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证：四边形ADOE是正
方形.
3.如图，⊙O的半径为17cm，弦AB∥CD，AB=30cm，CD=16cm，圆心O位于AB，CD的上方，求AB和CD的
距离．
4.某机械传动装置在静止时如图，连杆PB与点B运动所形成的⊙O交于点A，测得PA=4cm，AB=6cm，⊙O半径为5cm，
求点P到圆心O的距离．
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24.1 圆（第二课时 ）
------ 垂径定理
知识点
1.平分弦 两条弧
2.垂直于弦 两条弧
一、选择题
1.B ;2.A; 3.D; 4.B; 5.D; 6.C; 7.D; 8.C.
二、填空题
1.10
2、48°
3、174
4、23
5、(3,2)
6．5
7．2
8.6
9.250
10. 23
三、解答题
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B
O
E
D
C
A
11AB,OEAE21CD,OFCD2ABCDAECFtOAEtOCFAECFOAOCtOAEtOCFOEOF、证明：连接OA、OC
E是AB的中点
AE=
F是CD的中点
CF=
在R和R中
R≌R
1
ADAB,ODA902OEAC1AEAC,OEA902ABACEAD90ABACADAE
2、证明：ODAB四边形ADOE是矩形
四边形ADOE是正方形
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2222
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31CD82OEOACF17815ABCDOFAB1AEAB152OEOAAE17158OFOE1587cmAB7cm、解：连接OA、OC
过O作OFCD于F,与AB交于点E
CF=
和CD的距离为
4．某机械传动装置在静止时如图，连杆PB与点B运动所形成的⊙O交于点A，测得PA=4cm，AB=6cm，⊙O半径为
5cm，求点P到圆心O的距离．
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41AB32PDPAAD437AODOAAD534ODPD4765、解：连接OA，过O作ODAB于D
则AD=BD=
在Rt中,OA=5
OD=
在RtOPD中,OP=
O
F
E
D
C
B
A
D
PO
B
A