相似与动点问题专题
《相似三角形动点问题》教学课件
当堂测评
正方形ABCD边长为4，点M为BC上动点，当M点 在BC上运动时，MN和AM垂直交DC于点N （1）证明Rt△ABM∽Rt△MCN
(2) 设BM=x,梯形ABCN面积为y，求y与x函数关 系式，当M运动到什么位置时，梯形ABCN面积最 大，最大为多少？
（3）当M点运动到什么位置时 Rt△ABM∽Rt△AMN
拓展提升. 如图1,在△ABC中,己知AB=AC=10,BC=16,点p在线段BC 上运动(P不与B,C重合)，连接AP，做∠APM=∠B，PM交 AC于点M (1) 求证：△ABP∽△PCM； (2) 在P点运动过程中,若PM∥AB，请求出线段BP的长； (3)探究：如图2，在P点运动过程中，连接BM，设 △ABM的面积为S，试分析S是否存在最小值，如果存在， 求出这个最小值；如果不存在， ∠ADE=∠C
C.AE：AB=AD：AC D.AE：AC=AD：AB
例2 . 在△ABC中∠C=90°,BC=16cm,AC=12cm, 点P从点B出发，沿着BC向点C以4cm/s的速度移 动；点Q从点C出发，沿CA向点A以2cm/s的速度 移动，如果P、Q分别从B、C同时出发，两动点 与三角形顶点不重合，问
A M
B
P
图1
C 图2
常见相似三角形基本图形
（A字形）
(X字形)
（旋转形）
作业 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6,BC=8,点D在 边AB的延长线上运动，DE平分∠CDB交于点E， EM⊥BD,EN⊥CD
(1)当AD=CD时，求证DE//AC (2)探究AD为何值时，△BME与△CNE相似
中考数学专项提升——动点相似存在性问题(共20张PPT)
1.如图1，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y＝ax2＋bx（a＞0）经过点A和x轴正 半轴上的点B，AO＝BO＝2，∠AOB＝120°．
（3）如果点C在x轴上，且△AB1，已知抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B。 ⑴求抛物线的解析式； ⑵若点C在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形， 求D点的坐标；
动点相似存在性问题
相似模型
相似模型
1.如图1，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y＝ax2＋bx（a＞0）经过点A和x轴正 半轴上的点B，AO＝BO＝2，∠AOB＝120°．
（1）求这条抛物线的表达式； （2）连结OM，求∠AOM的大小；
1.如图1，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y＝ax2＋bx（a＞0）经过点A和x轴正 半轴上的点B，AO＝BO＝2，∠AOB＝120°．
2.图1，已知抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B。 ⑴求抛物线的解析式； ⑵若点C在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形， 求D点的坐标；
⑶连接OA、AB，如图2，在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使得△OBP与△OAB相似？若存在，求出P点 的坐标；若不存在，说明理由。
（2）如图2，抛物线的对称轴交BC于点D，E为对称轴右侧抛物线上的一点，延长ED交y轴于点F，若
S△CDF ＝2S△BDE ，求E点的坐标；
（3）如图3，P为抛物线对称轴上的一个动点，点Q在B点右侧的抛物线上，且PQ⊥AQ，当P点运动时，是否存在 这样的点P，使得以P、A、Q为顶点的三角形与△COA相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
动点相似问题
动点问题1：相似三角形问题例1：如图①，在△ABC 中，AB=AC ，BC=acm ，∠B=30°．动点P 以1cm/s 的速度从点B 出发，沿折线B ﹣A ﹣C 运动到点C 时停止运动．设点P 出发x s 时，△PBC 的面积为y cm 2．已知y 与x 的函数图象如图②所示．请根据图中信息，解答下列问题：（1）试判断△DOE 的形状，并说明理由； （2）当a 为何值时，△DOE 与△ABC 相似？例2：矩形OABC 在平面直角坐标系中位置如图所示，A 、C 两点的坐标分别为A （6，0），C （0，－3），直线y ＝－43x 与BC 边相交于D 点． （1）求点D 的坐标；（2）若抛物线y ＝ax2－49x 经过点A ，试确定此抛物线的表达式； （3）设（2）中的抛物线的对称轴与直线OD 交于点M ，点P 为对称轴上一动点，以P 、O 、M 为顶点的三角形与△OCD例3.如图，抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上求点M，使△MOB的面积是△AOB面积的3倍；（3）连结OA，AB，在x轴下方的抛物线上是否存在点N，使△OBN与△OAB相似？若存在，求出N点的坐标；若不存在，说明理由．作业1.如图，已知抛物线y ＝x2－1与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．（1）求A 、B 、C 三点的坐标．（2）过点A 作AP ∥CB 交抛物线于点P ，求四边形ACBP 的面积．（3）在x 轴上方的抛物线上是否存在一点M ，过M 作MG ⊥x 轴于点G ，使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与△PCA 相似？若存在，请求出M 点的坐标；否则，请说明理由．2.如图，已知抛物线y ＝43x 2＋bx ＋c 与坐标轴交于A 、B 、C 三点，A 点的坐标为（－1，0），过点C 的直线y ＝t43x －3与x 轴交于点Q ，点P 是线段BC 上的一个动点，过P 作PH ⊥OB 于点H ．若PB ＝5t ，且0＜t ＜1．（1）填空：点C 的坐标是___________，b ＝_______，c ＝_______； （2）求线段QH 的长（用含t 的式子表示）；（3）依点P 的变化，是否存在t 的值，使以P 、H 、Q 为顶点的三角形与△COQ 相似？若存在，求出所有t3.已知，如图1，过点B (0，－1)作平行于x 轴的直线l ，抛物线y ＝41x2上的两点A 、B 的横坐标分别为－1和4，直线AB 交y 轴于点F ，过点A 、B 分别作直线l 的垂线，垂足分别为点C 、D ，连接CF 、DF ． （1）求点A 、B 、F 的坐标； （2）求证：CF ⊥DF ；（3）点P 是抛物线y ＝41x2对称轴右侧图象上的一动点，过点P 作PQ ⊥OP 交x 轴于点Q ，是否存在点P 使得△OPQ 与△CDF 相似？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．(备用图)(图1)。
相似三角形的动点问题(共6张PPT)
如图，AD∥BC，∠D=90°，DC=7，AD=2，BC=4．若在边DC上有动点P，当△PAD∽△PBC时，求PD的值。
如图，AD∥BC，∠D=90°，DC=7，AD=2，BC=4．若在边DC上有动点P使
①经过多少秒时⊿CPQ∽ ⊿CBA;
当△ABC与△ADE相似时,会有什么情况？
② 经过多少秒时以C、P、Q为顶点的三角形恰好与⊿ABC相似？
如图，AD∥BC，∠D=90°，DC=7，AD=2，
BC=4．若在边DC上有动点P使
当∠ B =_______或
时△ABC∽△AED
△PAD和△PBC相似，求PD的值。 当∠ B =_______或
时△ABC∽△ADE
点P从点B出发，沿着BC向点C以2cm/秒的速度移动;点Q从点C出发，沿着CA向点A以1cm/秒的速度移动。
在△ABC中，点D、E分别是边AB、 AC上的动点：
当∠ B =_______或
时△ABC∽△ADE
①经过多少秒时⊿CPQ∽ ⊿CBA;
点P从点B出发，沿着BC向点C以2cm/秒的速度移动;点Q从点C出发，沿着CA向点A以1cm/秒的速度移动。
当∠ B =_______或
时△ABC∽△ADE
点P从点B出发，沿着BC向点C以2cm/秒的速度移动;点Q从点C出发，沿着CA向点A以1cm/秒的速度移动。
相似三ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ形的动点问题
常见的相似三角形的基本图形：
（7）
在△ABC中，点D、E分别是边AB、 AC上的动点：
当∠ B =_______或
=
时△ABC∽△ADE
当∠ B =_______或
=
时△ABC∽△AED
思考： 当△ABC与△ADE相似时,会有什么情况？
相似三角形与动点问题练习题(带答案
∵将
沿直线 翻折后，顶点 恰好落在 边上的点 处，
∴
，且
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵在
中，
，
∴
∴
∴ 四边形 故选： ．
，
，
， ，
．
2
【标注】【知识点】相似A字型
3. 如图，矩形 ，
中， 是 的中点，将 ，则 的长为（ ）．
沿 折叠后得到
．延长 交 于 点．若
A.
B.
C.
D.
【答案】 B 【解析】 方法一：连接 ，
．④
沿 折叠，点 恰落在边 上的点 处，有下列结论：①
．其中正确的是（ ）．
A. 个
B. 个
C. 个
6
D. 个
【答案】 C
【解析】 ①∵ 将 ∴ ∴ ②在 ∴ 设 在 ∴ ∴ ∴ ③∵ ∴ ∴ 而 ∴ ∴ ∴ ∴ 而 ∴ ∴ ④∵ ∴
沿 折叠，点 恰落在边 上的点 处．点 在
沿 折叠，点 恰落在线段 上的点 处，
4. 如图，将正方形
折叠，使顶点 与 边上的一点 重合（ 不与端点 ， 重合），折痕交
于点 ，交 于点 ，边 折叠后与边 交于点 ．设正方形
的周长为 ，
的周长为
，则 的值为（ ）．
A.
B.
C.
D. 随 点位置的变化而变化
【答案】 B
【解析】 方法一：设
，
，
则
，
，
∵
，
∴
．
∵
，
∴
，
又∵
，
，
∴
，
即
，
∴
相似三角形动点问题题型
x A O Q P B y动点问题 题型方法归纳动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
） 动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。
下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。
一、三角形边上动点 1、直线364y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿路线O →B →A 运动．（1）直接写出A B 、两点的坐标；（2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式； （3）当485S =时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标．提示：第（2）问按点P 到拐点B 所有时间分段分类；第（3）问是分类讨论：已知三定点O 、P 、Q ，探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同分类-----①OP 为边、OQ 为边，②OP 为边、OQ 为对角线，③OP 为对角线、OQ 为边。
然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。
图（3）ABC OEF AB CO D图（1）ABOE FC 图（2） 2、如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC=2cm ， ∠ABC=60º．（1）求⊙O 的直径；（2）若D 是AB 延长线上一点，连结CD ，当BD 长为多少时，CD 与⊙O 相切；（3）若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着AB 方向运动，同时动点F 以1cm/s 的速度从B 点出发沿BC 方向运动，设运动时间为)20)((<<t s t ，连结EF ，当t 为何值时，△BEF 为直角三角形．注意：第（3）问按直角位置分类讨论xy M CD P QOAB 3、如图，已知抛物线(1)233(0)y a x a =-+≠经过点(2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ．（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？ （3）若OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长．注意：发现并充分运用特殊角∠DAB=60°当△OPQ 面积最大时，四边形BCPQ 的面积最小。
相似的判定与性质、相似与圆、相似动点问题 2022-2023学年人教版九年级数学下册相似专项训练
相似三角形判定和性质专项训练1、如图，已知△ABC中，点D在AC上且∠ABD=∠C，求证：AB2=AD•AC．2、如图，D是△ABC的边AC上的一点，连接BD，已知∠ABD=∠C，AB=6，AD=4，求线段CD的长．3、如图，在平行四边形ABCD中，过B作BE⊥CD，垂足为点E，连接AE，F 为AE上一点，且∠BFE=∠C．（1）求证：△ABF∽△EAD；（2）若AB=4，∠BAE=30°，求AE的长．4、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB 上的点E处．（1）求证：△BDE∽△BAC；（2）已知AC=6，BC=8，求线段AD的长度．5、如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于F．（1）△ABE与△ADF相似吗？请说明理由．（2）若AB=6，AD=12，BE=8，求DF的长．6、在平行四边形ABCD中，E为BC边上的一点．连结AE．（1）若AB=AE，求证：∠DAE=∠D；（2）若点E为BC的中点，连接BD，交AE于F，求EF：FA的值．7、如图，平行四边形ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，DE=CD．（1）求证：△ABF∽△CEB；（2）若△DEF的面积为2，求平行四边形ABCD的面积．8、如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．（1）求证：△ABM∽△EFA；（2）若AB=12，BM=5，求DE的长．9、如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长．10、如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E、H分别在AB、AC上，已知BC=40cm，AD=30cm．（1）求证：△AEH∽△ABC；（2）求这个正方形的边长与面积．11、如图，已知EC∥AB，∠EDA=∠ABF．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）求证：OA2=OE•OF．12、如图，已知正方形ABCD中，BE平分∠DBC且交CD边于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置，并延长BE交DF于点G．（1）求证：△BDG∽△DEG；（2）若EG•BG=4，求BE的长．13、如图：梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=9，BC=12，AB=6，在线段BC上任取一点P，连接DP，作射线PE⊥DP，PE与直线AB交于点E．（1）试确定当CP=3时，点E的位置；（2）若设CP=x，BE=y，试写出y关于自变量x的函数关系式．14、如图，直角△ABC中，∠BAC=90°，D在BC上，连接AD，作BF⊥AD分别交AD于E，AC于F．（1）如图1，若BD=BA，求证：△ABE≌△DBE；（2）如图2，若BD=4DC，取AB的中点G，连接CG交AD于M，求证：①GM=2MC；②AG2=AF•AC．15、四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2=CE •CA．（1）求证：BC=CD；（2）分别延长AB，DC交于点P，过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F，若PB=OB，CD=，求DF的长．16如图，在正方形ABCD中，点M是BC边上的任一点，连接AM并将线段AM绕M 顺时针旋转90°得到线段MN，在CD边上取点P使CP=BM，连接NP，BP．（1）求证：四边形BMNP是平行四边形；（2）线段MN与CD交于点Q，连接AQ，若△MCQ∽△AMQ，则BM与MC存在怎样的数量关系？请说明理由．17、如图，在矩形ABCD中，AD=4cm，AB=m（m＞4），点P是AB边上的任意一点（不与点A、B重合），连接PD，过点P作PQ⊥PD，交直线BC于点Q．（1）当m=10时，是否存在点P使得点Q与点C重合？若存在，求出此时AP的长；若不存在，说明理由；（2）连接AC，若PQ∥AC，求线段BQ的长（用含m的代数式表示）；18、已知锐角△ABC中，边BC长为12，高AD长为8．（1）如图，矩形EFGH的边GH在BC边上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC 边上，EF交AD于点K．①求的值；②设EH=x，矩形EFGH的面积为S，求S与x的函数关系式，并求S的最大值；（2）若AB=AC，正方形PQMN的两个顶点在△ABC一边上，另两个顶点分别在△ABC的另两边上，直接写出正方形PQMN的边长．相似与圆1、如图，DB为半圆的直径，A为BD延长线上的一点，AC切半圆于点E，BC⊥AC于点C，交半圆于点F.已知AC＝12，BC＝9，求AO的长．2、如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，O是AC边上的一点，以O为圆心，OC 为半径的圆与AB相切于点D，连结OD.(1)求证：△ADO∽△ACB；(2)若⊙O的半径为1，求证：AC＝AD·BC.3、如图，已知Rt△ABC，∠C＝90°，D为BC的中点，以AC为直径的⊙O交AB于点E.(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若AE∶EB＝1∶2，BC＝6，求AE的长．4．如图，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB，连结OC，弦AD∥OC，直线CD交BA 的延长线于点E.(1)求证：直线CD是⊙O的切线；(2)若DE＝2BC，求AD∶OC的值．5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，∠ABC＝30°.过点B作⊙O 的切线BD，与CA的延长线交于点D，与半径AO的延长线交于点E.过点A作⊙O的切线AF，与直径BC的延长线交于点F.(1)求证：△ACF∽△DAE；(2)若S△AOC＝34，求DE的长；(3)连结EF，求证：EF是⊙O的切线．6．如图，AB为⊙O的一条弦，点C为劣弧AB的中点，E为优弧AB上一点，点F 在AE的延长线上，且BE＝EF，线段CE交弦AB于点D.(1)求证：CE∥BF；(2)若BD＝2，且EA∶EB∶EC＝3∶1∶5，求△BCD的面积．7．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AE和过点C的切线互相垂直，垂足为E，AE交⊙O于点D，直线EC交AB的延长线于点P，连结AC，BC，PB∶PC＝1∶2.(1)求证：AC平分∠BAD；(2)探究线段PB，AB之间的数量关系，并说明理由．8．如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，P是⊙O外一点，连结PA，PB，AB，已知∠PBA＝∠C.(1)求证：PB是⊙O的切线；(2)连结OP，若OP∥BC，且OP＝8，⊙O的半径为22，求BC的长．9．如图，⊙O是△ABC的外接圆，O点在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连结BD，CD，过点D作BC的平行线，与AB的延长线相交于点P.(1)求证：PD是⊙O的切线；(2)求证：△PBD∽△DCA；(3)当AB＝6，AC＝8时，求线段PB的长．10、如图，AB为⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，且OD⊥BC，垂足为F，OD交⊙O于点E.证明：(1)∠D＝∠AEC；(2)OA2＝OD·OF.相似三角形动点问题1．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；（2）连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值．2．如图，矩形ABCD中，AB=20，BC=10，点P为AB边上一动点，DP交AC于点Q．（1）求证：△APQ∽△CDQ；（2）P点从A点出发沿AB边以每秒1个单位长度的速度向B点移动，移动时间为t秒，t为何值时，DP⊥AC．3．如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6），点B（8，0）．动点P从A 开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P，Q移动的时间为t秒．（1）求直线AB的解析式；（2）当t为何值时，△APQ与△AOB相似，并求出此时点P的坐标．4．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，点P从点A出发沿AB方向向终点B运动，速度为1cm/s，同时点Q从点B出发沿B﹣C﹣A方向向终点A运动，速度为2cm/s，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动．（1）求AC，BC的长．（2）设点P的运动时间为x（秒），△PBQ的面积为y（cm2），当△PBQ存在时，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（3）x=5秒时，在直线PQ上是否存在一点M，使△BCM的周长最小，若存在，求出最小周长，若不存在，请说明理由．5．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，点D是BC上一个动点（不与B、C 重合），在AC上取E点，使∠ADE=45度．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式；（3）当：△ADE是等腰三角形时，求AE的长．6.如图△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=12厘米，D是BC的中点，点P从B出发，以a厘米/秒（a＞0）的速度沿BA匀速向点A运动，点Q同时以1厘米/秒的速度从D出发，沿DB匀速向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设它们运动的时间为t秒．（1）若a=2，△BPQ∽△BDA，求t的值；（2）设点M在AC上，四边形PQCM为平行四边形．①若a=，求PQ的长；②是否存在实数a，使得点P在∠ACB的平分线上？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．7、如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5 cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4 cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；（2）如图2，连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值；（3）试证明：PQ的中点在△ABC的一条中位线上．8、如图1，在直角梯形ABCD中，AB//CD，AD⊥AB，∠B＝60°，AB＝10，BC＝4，点P沿线段AB从点A向点B运动，设AP＝x．2·1·c·n·j·y（1）求AD的长；（2）点P在运动过程中，是否存在以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相似？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由；（3）设△ADP与△PCB的外接圆的面积分别为S1、S2，若S＝S1＋S2，求S的最小值.。
相似动点问题(初学动点的可以看看)
相似动点问题1. 如图，在直角梯形ABCD 中，︒=∠90D ，,10cm AB =cm BC 6=，AB ∥CD ,BC AC ⊥, F 点以s cm /2的速度在线段AB 上由A 向B 匀速运动，E 点同时以s cm /1的速度在线段BC 上由B 向C 匀速运动，设运动的时间为t （0＜t ＜5）.（1）求证：△ACD ∽△BAC ；（2）求DC 的长（3）当t 为何值时，△FEB 为直角三角形？2. 如图，△ABC 中，AB=6 cm ，AC=12 cm ，动点D 从点A 出发到点B 止．动点E 从点C 出发到点A 止．点D 运动的速度为1 cm ／s ，点E 运动的速度为2 cm ／s ．如果两点同时运 动，那么以点A 、D 、E 为顶点的三角形与△ABC 相似时．运动的时间是多少？3. 如图，△ABC 中，∠C=90°,AC=3cm,BC=4cm,动点P 从点B 出发以2cm/s 的速度向点C 移动，动点Q 从C 出发以1cm/s 的速度向点A 移动，如果动点P 、Q 同时出发，要使△CPQ 与△CBA 相似，所需要的时间是多少秒？4. 已知：Rt △OAB 在直角坐标系中的位置如图所示，P(3，4)为OB 的中点，点C 为折线OAB 上的动点，线段PC 把Rt △OAB 分割成两部分．问：点C 在什么位置时，分割得到的三角形与Rt △OAB 相似？（注：在图上画出所有符合要求的线段PC ，并求出相应的点C 的坐标）．5. 如图，直线21+=kx y 的图象与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，点C 是直线与双曲线x m y = 的一个交点，过点C 作CD ⊥y 轴，垂足为D ，且△BCD 的面积为1。
（1）求双曲线的解析 式与直线AB 的解析式；（2）若在y 轴上有一点E ，使得以E 、A 、B 为顶点的三角形与△BCD 相似，求点E 的坐标.6. 如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，点D 是BC 边的中点，动点P 从点C 出发，沿C →A →B 的方向在AC 、AB 边上以每秒2个单位的速度向点B 移动，运动至点B 即停止。
相似三角形的动点问题题型(整理)
相似三角形的动点问题题型(整理) 相似三角形的动点问题一、动点型例1、已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形。
当点M在点B左侧时，可以得出结论：EN与MF相等且点F不在直线NE上。
当点M在BC上时，该结论仍然成立，可以利用图2证明。
若点M在点C右侧时，画出相应的图形，可以直接得出结论，不必证明或说明理由。
例2、在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm。
点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动。
点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G时，三个点随之停止移动。
设移动开始后第t秒时，△EFG的面积为S（cm2）。
1）当t=1秒时，S的值为多少？2）S与t之间的函数解析式为S=2t^2+4t，自变量t的取值范围为0<t<2.3）若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似。
理由是BC与FG平行，因此△BEF与△FCG相似，当EF=FG 时，两个三角形相似，即t=1秒。
二、迁移应用1、已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s）。
1）当t＝2时，可以判断△BPQ为等腰三角形，因为BP=2PQ，且∠BPQ=120°。
2）设△BPQ的面积为S（cm2），则S=6t/(5+t)，其中0<t<2.3）作QR//BA交AC于点R，连结PR，当t=2时，可以得出△APR∽△PRQ，因为∠RAP=∠QRP且∠APR=∠RPQ。
2、在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=90o，AC⊥BC，AB=10cm,BC=6cm，F点以2cm／秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以1cm／秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒(0<t<5)。
(word完整版)相似三角形动点问题题型
动点问题 题型方法归纳动态几何特点—---问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置.） 动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。
下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨. 一、三角形边上动点1、直线364y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点,动点P Q 、同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度,点P 沿路线O →B →A 运动．（1）直接写出A B 、两点的坐标；（2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ,求出S 与t 之间的函数关系式；（3）当485S =时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标．提示:第（2)问按点P 到拐点B 所有时间分段分类；图（3）B图（1）B图（2）2、如图,AB 是⊙O 的直径，弦BC=2cm ，∠ABC=60º． （1）求⊙O 的直径;(2）若D 是AB 延长线上一点,连结CD,当BD 长为多少时，CD 与⊙O 相切；（3）若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着AB 方向运动，同时动点F 以1cm/s 的速度从B 点出发沿BC 方向运动，设运动时间为)20)((<<t s t ，连结EF ，当t 为何值时，△BEF 为直角三角形． 注意：第（3）问按直角位置分类讨论OM AD∥．过顶点D平行于x轴的直线交射线OM于点C，B在x轴正半轴上，连结BC．（1）求该抛物线的解析式；t s．问当t （2）若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为()为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？直角梯形?等腰梯形？，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位（3)若OC OB的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t()s，连接PQ,当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值及此时PQ的长．Array注意：发现并充分运用特殊角∠DAB=60°当△OPQ面积最大时，四边形BCPQ的面积最小。
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相似与动点问题专题
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动态几何中的相似三角形
例1、如图，在梯形ABCD中，ADBC∥，3AD，5DC，10BC，梯形的高为4．动
点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点
出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t（秒）．
（1）当MNAB∥时，求t的值；
（2）试探究：t为何值时，MNC△为直角三角形．
变式练习1：如图所示，在ΔABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从A点出发，沿着AB以
每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，
设运动时间为x。（1）当x为何值时，PQ∥BC？（2）当31ABCBCQSS，求ABCBPQSS的值；（3）
ΔAPQ能否与ΔCQB相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由。
变式练习2：如图，已知直线l的函数表达式为483yx，且l与x轴，y轴分别交于
AB，
两点，动点Q从B点开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，同时动点
P
从A点开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，设
点QP，移动的时间为t秒．
（1）求出点AB，的坐标；
（2）当t为何值时，APQ△与AOB△相似？
（3）求出（2）中当APQ△与AOB△相似时，线段PQ所在直线的
函数表达式．
O P A Q B y x
DNCMBA
相似与动点问题专题
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变式练习1：已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90º，∠A＝30º，点P在AC上，且∠MPN＝90
当点P为线段AC的中点，点M、N分别在线段AB、BC上时（如图1），过点P作PE
⊥AB于点E，PF⊥BC于点F，可证t△PME∽t△PNF，得出PN＝3PM．（不需证明）
当PC＝2PA，点M、N分别在线段AB、BC或其延长线上，如图2、图3这两种情况
时，请写出线段PN、PM之间的数量关系，并任选取一给予证明．
变式练习2（备用）：如图1，在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放
在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为2，若∆ABC固定不动，∆
AFG
绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E(点D不与点B重合,点E不与点C重合),
设BE=m，CD=n.
（1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明.
（2）求m与n的函数关系式，直接写出自变量n的取值范围.
（3）以∆ABC的斜边BC所在的直线为x轴，BC边上的高所在的直线为y轴，建立平面直角
坐标系(如图12).在边BC上找一点D，使BD=CE，求出D点的坐标，并通过计算验证BD2＋
CE2=DE
2
.
（4）在旋转过程中,(3)中的等量关系BD2＋CE2=DE2是否始终成立,若成立,请证明,若不成
立,请说明理由.
G y x 图2 O F E D
C
B
A
G
图1
F
E
D
C
B
A
相似与动点问题专题
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例3、如图１，PMNRt△中，90P，PMPN，8MNcm，矩形ABCD的长和
宽分别为8cm和2cm，C点和M点重合，BC和MN在一条直线上．令PMNRt△不动，
矩形ABCD沿MN所在直线向右以每秒1cm的速度移动（如图２），直到C点与N点重合
为止．设移动x秒后，矩形ABCD与PMN△重叠部分的面积为y2cm．求y与x之间的函
数关系式．
变式练习1：如图，在等腰梯形ABCD中，ABDC∥，45A∠，10cmAB，
4cmCD．等腰直角三角形PMN的斜边10cmMN
，A点与N点重合，MN和AB在
一条直线上，设等腰梯形ABCD不动，等腰直角三角形PMN沿AB所在直线以1cm/s 的
速度向右移动，直到点N与点B重合为止．
（1）等腰直角三角形PMN在整个移动过程中与等腰梯形ABCD重叠部分的形状
由 形变化为 形；
（2）设当等腰直角三角形PMN移动(s)x时，等腰直角三角形PMN与等腰梯形ABCD重
叠部分的面积为2(cm)y，求y与x之间的函数关系式；
（3）当4(s)x时，求等腰直角三角形PMN与等腰梯形ABCD重叠部分的面积．
变式练习1：如图，在梯形ABCD中，ADBC∥，6cmAD，4cmCD，
10cmBCBD
，点P由B出发沿BD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，线段EF由
DC出发沿DA方向匀速运动，速度为1cm/s，交BD于Q，连接PE．若设运动时间为t（s）
A
B
D
P
N
C(M)
２
２
图２
图１
A
（N）
M P D C B A N M
P
D
C
B
相似与动点问题专题
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（05t）．解答下列问题：
（1）当t为何值时，PEAB∥？
（2）设PEQ△的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使225PEQBCDSS△△？
变式练习2：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单
位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿
AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，
且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，
点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．
（1）当t = 2时，AP = ，点Q到AC的距离是 ；
（2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与
t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）
（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成
为直角梯形？若能，求t的值．若不能，请说明理由；
（4）当DE经过点C 时，请直接．．写出t的值．
A
E
D
Q
P
B
F
C
A C
B
P
Q
E
D
题9