相似与动点问题专题
《相似三角形动点问题》教学课件

当堂测评
正方形ABCD边长为4,点M为BC上动点,当M点 在BC上运动时,MN和AM垂直交DC于点N (1)证明Rt△ABM∽Rt△MCN
(2) 设BM=x,梯形ABCN面积为y,求y与x函数关 系式,当M运动到什么位置时,梯形ABCN面积最 大,最大为多少?
(3)当M点运动到什么位置时 Rt△ABM∽Rt△AMN
拓展提升. 如图1,在△ABC中,己知AB=AC=10,BC=16,点p在线段BC 上运动(P不与B,C重合),连接AP,做∠APM=∠B,PM交 AC于点M (1) 求证:△ABP∽△PCM; (2) 在P点运动过程中,若PM∥AB,请求出线段BP的长; (3)探究:如图2,在P点运动过程中,连接BM,设 △ABM的面积为S,试分析S是否存在最小值,如果存在, 求出这个最小值;如果不存在, ∠ADE=∠C
C.AE:AB=AD:AC D.AE:AC=AD:AB
例2 . 在△ABC中∠C=90°,BC=16cm,AC=12cm, 点P从点B出发,沿着BC向点C以4cm/s的速度移 动;点Q从点C出发,沿CA向点A以2cm/s的速度 移动,如果P、Q分别从B、C同时出发,两动点 与三角形顶点不重合,问
A M
B
P
图1
C 图2
常见相似三角形基本图形
(A字形)
(X字形)
(旋转形)
作业 在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,点D在 边AB的延长线上运动,DE平分∠CDB交于点E, EM⊥BD,EN⊥CD
(1)当AD=CD时,求证DE//AC (2)探究AD为何值时,△BME与△CNE相似
中考数学专项提升——动点相似存在性问题(共20张PPT)

1.如图1,在平面直角坐标系xOy中,顶点为M的抛物线y=ax2+bx(a>0)经过点A和x轴正 半轴上的点B,AO=BO=2,∠AOB=120°.
(3)如果点C在x轴上,且△AB1,已知抛物线的顶点为A(2,1),且经过原点O,与x轴的另一个交点为B。 ⑴求抛物线的解析式; ⑵若点C在抛物线的对称轴上,点D在抛物线上,且以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形, 求D点的坐标;
动点相似存在性问题
相似模型
相似模型
1.如图1,在平面直角坐标系xOy中,顶点为M的抛物线y=ax2+bx(a>0)经过点A和x轴正 半轴上的点B,AO=BO=2,∠AOB=120°.
(1)求这条抛物线的表达式; (2)连结OM,求∠AOM的大小;
1.如图1,在平面直角坐标系xOy中,顶点为M的抛物线y=ax2+bx(a>0)经过点A和x轴正 半轴上的点B,AO=BO=2,∠AOB=120°.
2.图1,已知抛物线的顶点为A(2,1),且经过原点O,与x轴的另一个交点为B。 ⑴求抛物线的解析式; ⑵若点C在抛物线的对称轴上,点D在抛物线上,且以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形, 求D点的坐标;
⑶连接OA、AB,如图2,在x轴下方的抛物线上是否存在点P,使得△OBP与△OAB相似?若存在,求出P点 的坐标;若不存在,说明理由。
(2)如图2,抛物线的对称轴交BC于点D,E为对称轴右侧抛物线上的一点,延长ED交y轴于点F,若
S△CDF =2S△BDE ,求E点的坐标;
(3)如图3,P为抛物线对称轴上的一个动点,点Q在B点右侧的抛物线上,且PQ⊥AQ,当P点运动时,是否存在 这样的点P,使得以P、A、Q为顶点的三角形与△COA相似?若存在,求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.
动点相似问题

动点问题1:相似三角形问题例1:如图①,在△ABC 中,AB=AC ,BC=acm ,∠B=30°.动点P 以1cm/s 的速度从点B 出发,沿折线B ﹣A ﹣C 运动到点C 时停止运动.设点P 出发x s 时,△PBC 的面积为y cm 2.已知y 与x 的函数图象如图②所示.请根据图中信息,解答下列问题:(1)试判断△DOE 的形状,并说明理由; (2)当a 为何值时,△DOE 与△ABC 相似?例2:矩形OABC 在平面直角坐标系中位置如图所示,A 、C 两点的坐标分别为A (6,0),C (0,-3),直线y =-43x 与BC 边相交于D 点. (1)求点D 的坐标;(2)若抛物线y =ax2-49x 经过点A ,试确定此抛物线的表达式; (3)设(2)中的抛物线的对称轴与直线OD 交于点M ,点P 为对称轴上一动点,以P 、O 、M 为顶点的三角形与△OCD例3.如图,抛物线的顶点为A(2,1),且经过原点O,与x轴的另一个交点为B.(1)求抛物线的解析式;(2)在抛物线上求点M,使△MOB的面积是△AOB面积的3倍;(3)连结OA,AB,在x轴下方的抛物线上是否存在点N,使△OBN与△OAB相似?若存在,求出N点的坐标;若不存在,说明理由.作业1.如图,已知抛物线y =x2-1与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C .(1)求A 、B 、C 三点的坐标.(2)过点A 作AP ∥CB 交抛物线于点P ,求四边形ACBP 的面积.(3)在x 轴上方的抛物线上是否存在一点M ,过M 作MG ⊥x 轴于点G ,使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与△PCA 相似?若存在,请求出M 点的坐标;否则,请说明理由.2.如图,已知抛物线y =43x 2+bx +c 与坐标轴交于A 、B 、C 三点,A 点的坐标为(-1,0),过点C 的直线y =t43x -3与x 轴交于点Q ,点P 是线段BC 上的一个动点,过P 作PH ⊥OB 于点H .若PB =5t ,且0<t <1.(1)填空:点C 的坐标是___________,b =_______,c =_______; (2)求线段QH 的长(用含t 的式子表示);(3)依点P 的变化,是否存在t 的值,使以P 、H 、Q 为顶点的三角形与△COQ 相似?若存在,求出所有t3.已知,如图1,过点B (0,-1)作平行于x 轴的直线l ,抛物线y =41x2上的两点A 、B 的横坐标分别为-1和4,直线AB 交y 轴于点F ,过点A 、B 分别作直线l 的垂线,垂足分别为点C 、D ,连接CF 、DF . (1)求点A 、B 、F 的坐标; (2)求证:CF ⊥DF ;(3)点P 是抛物线y =41x2对称轴右侧图象上的一动点,过点P 作PQ ⊥OP 交x 轴于点Q ,是否存在点P 使得△OPQ 与△CDF 相似?若存在,请求出所有符合条件的点P 的坐标;若不存在,请说明理由.(备用图)(图1)。
相似三角形的动点问题(共6张PPT)

如图,AD∥BC,∠D=90°,DC=7,AD=2,BC=4.若在边DC上有动点P,当△PAD∽△PBC时,求PD的值。
如图,AD∥BC,∠D=90°,DC=7,AD=2,BC=4.若在边DC上有动点P使
①经过多少秒时⊿CPQ∽ ⊿CBA;
当△ABC与△ADE相似时,会有什么情况?
② 经过多少秒时以C、P、Q为顶点的三角形恰好与⊿ABC相似?
如图,AD∥BC,∠D=90°,DC=7,AD=2,
BC=4.若在边DC上有动点P使
当∠ B =_______或
时△ABC∽△AED
△PAD和△PBC相似,求PD的值。 当∠ B =_______或
时△ABC∽△ADE
点P从点B出发,沿着BC向点C以2cm/秒的速度移动;点Q从点C出发,沿着CA向点A以1cm/秒的速度移动。
在△ABC中,点D、E分别是边AB、 AC上的动点:
当∠ B =_______或
时△ABC∽△ADE
①经过多少秒时⊿CPQ∽ ⊿CBA;
点P从点B出发,沿着BC向点C以2cm/秒的速度移动;点Q从点C出发,沿着CA向点A以1cm/秒的速度移动。
当∠ B =_______或
时△ABC∽△ADE
点P从点B出发,沿着BC向点C以2cm/秒的速度移动;点Q从点C出发,沿着CA向点A以1cm/秒的速度移动。
相似三ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ形的动点问题
常见的相似三角形的基本图形:
(7)
在△ABC中,点D、E分别是边AB、 AC上的动点:
当∠ B =_______或
=
时△ABC∽△ADE
当∠ B =_______或
=
时△ABC∽△AED
思考: 当△ABC与△ADE相似时,会有什么情况?
相似三角形与动点问题练习题(带答案

∵将
沿直线 翻折后,顶点 恰好落在 边上的点 处,
∴
,且
,
∴
,
∵
,
∴
,
∴
,
∴
,
∵在
中,
,
∴
∴
∴ 四边形 故选: .
,
,
, ,
.
2
【标注】【知识点】相似A字型
3. 如图,矩形 ,
中, 是 的中点,将 ,则 的长为( ).
沿 折叠后得到
.延长 交 于 点.若
A.
B.
C.
D.
【答案】 B 【解析】 方法一:连接 ,
.④
沿 折叠,点 恰落在边 上的点 处,有下列结论:①
.其中正确的是( ).
A. 个
B. 个
C. 个
6
D. 个
【答案】 C
【解析】 ①∵ 将 ∴ ∴ ②在 ∴ 设 在 ∴ ∴ ∴ ③∵ ∴ ∴ 而 ∴ ∴ ∴ ∴ 而 ∴ ∴ ④∵ ∴
沿 折叠,点 恰落在边 上的点 处.点 在
沿 折叠,点 恰落在线段 上的点 处,
4. 如图,将正方形
折叠,使顶点 与 边上的一点 重合( 不与端点 , 重合),折痕交
于点 ,交 于点 ,边 折叠后与边 交于点 .设正方形
的周长为 ,
的周长为
,则 的值为( ).
A.
B.
C.
D. 随 点位置的变化而变化
【答案】 B
【解析】 方法一:设
,
,
则
,
,
∵
,
∴
.
∵
,
∴
,
又∵
,
,
∴
,
即
,
∴
相似三角形动点问题题型

x A O Q P B y动点问题 题型方法归纳动态几何特点----问题背景是特殊图形,考查问题也是特殊图形,所以要把握好一般与特殊的关系;分析过程中,特别要关注图形的特性(特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
) 动点问题一直是中考热点,近几年考查探究运动中的特殊性:等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。
下面就此问题的常见题型作简单介绍,解题方法、关键给以点拨。
一、三角形边上动点 1、直线364y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点,动点P Q 、同时从O 点出发,同时到达A 点,运动停止.点Q 沿线段OA运动,速度为每秒1个单位长度,点P 沿路线O →B →A 运动.(1)直接写出A B 、两点的坐标;(2)设点Q 的运动时间为t 秒,OPQ △的面积为S ,求出S 与t 之间的函数关系式; (3)当485S =时,求出点P 的坐标,并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标.提示:第(2)问按点P 到拐点B 所有时间分段分类;第(3)问是分类讨论:已知三定点O 、P 、Q ,探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同分类-----①OP 为边、OQ 为边,②OP 为边、OQ 为对角线,③OP 为对角线、OQ 为边。
然后画出各类的图形,根据图形性质求顶点坐标。
图(3)ABC OEF AB CO D图(1)ABOE FC 图(2) 2、如图,AB 是⊙O 的直径,弦BC=2cm , ∠ABC=60º.(1)求⊙O 的直径;(2)若D 是AB 延长线上一点,连结CD ,当BD 长为多少时,CD 与⊙O 相切;(3)若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着AB 方向运动,同时动点F 以1cm/s 的速度从B 点出发沿BC 方向运动,设运动时间为)20)((<<t s t ,连结EF ,当t 为何值时,△BEF 为直角三角形.注意:第(3)问按直角位置分类讨论xy M CD P QOAB 3、如图,已知抛物线(1)233(0)y a x a =-+≠经过点(2)A -,0,抛物线的顶点为D ,过O 作射线OM AD ∥.过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ,B 在x 轴正半轴上,连结BC .(1)求该抛物线的解析式;(2)若动点P 从点O 出发,以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动,设点P 运动的时间为()t s .问当t 为何值时,四边形DAOP 分别为平行四边形?直角梯形?等腰梯形? (3)若OC OB =,动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发,分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动,当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动.设它们的运动的时间为t ()s ,连接PQ ,当t 为何值时,四边形BCPQ 的面积最小?并求出最小值及此时PQ 的长.注意:发现并充分运用特殊角∠DAB=60°当△OPQ 面积最大时,四边形BCPQ 的面积最小。
相似的判定与性质、相似与圆、相似动点问题 2022-2023学年人教版九年级数学下册相似专项训练
相似三角形判定和性质专项训练1、如图,已知△ABC中,点D在AC上且∠ABD=∠C,求证:AB2=AD•AC.2、如图,D是△ABC的边AC上的一点,连接BD,已知∠ABD=∠C,AB=6,AD=4,求线段CD的长.3、如图,在平行四边形ABCD中,过B作BE⊥CD,垂足为点E,连接AE,F 为AE上一点,且∠BFE=∠C.(1)求证:△ABF∽△EAD;(2)若AB=4,∠BAE=30°,求AE的长.4、如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,△ACD沿AD折叠,使得点C落在斜边AB 上的点E处.(1)求证:△BDE∽△BAC;(2)已知AC=6,BC=8,求线段AD的长度.5、如图,矩形ABCD中,E为BC上一点,DF⊥AE于F.(1)△ABE与△ADF相似吗?请说明理由.(2)若AB=6,AD=12,BE=8,求DF的长.6、在平行四边形ABCD中,E为BC边上的一点.连结AE.(1)若AB=AE,求证:∠DAE=∠D;(2)若点E为BC的中点,连接BD,交AE于F,求EF:FA的值.7、如图,平行四边形ABCD中,E是CD的延长线上一点,BE与AD交于点F,DE=CD.(1)求证:△ABF∽△CEB;(2)若△DEF的面积为2,求平行四边形ABCD的面积.8、如图,正方形ABCD中,M为BC上一点,F是AM的中点,EF⊥AM,垂足为F,交AD的延长线于点E,交DC于点N.(1)求证:△ABM∽△EFA;(2)若AB=12,BM=5,求DE的长.9、如图,在平行四边形ABCD中,过点A作AE⊥BC,垂足为E,连接DE,F为线段DE上一点,且∠AFE=∠B.(1)求证:△ADF∽△DEC;(2)若AB=8,AD=6,AF=4,求AE的长.10、如图,△ABC为锐角三角形,AD是BC边上的高,正方形EFGH的一边FG在BC上,顶点E、H分别在AB、AC上,已知BC=40cm,AD=30cm.(1)求证:△AEH∽△ABC;(2)求这个正方形的边长与面积.11、如图,已知EC∥AB,∠EDA=∠ABF.(1)求证:四边形ABCD是平行四边形;(2)求证:OA2=OE•OF.12、如图,已知正方形ABCD中,BE平分∠DBC且交CD边于点E,将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置,并延长BE交DF于点G.(1)求证:△BDG∽△DEG;(2)若EG•BG=4,求BE的长.13、如图:梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AD=9,BC=12,AB=6,在线段BC上任取一点P,连接DP,作射线PE⊥DP,PE与直线AB交于点E.(1)试确定当CP=3时,点E的位置;(2)若设CP=x,BE=y,试写出y关于自变量x的函数关系式.14、如图,直角△ABC中,∠BAC=90°,D在BC上,连接AD,作BF⊥AD分别交AD于E,AC于F.(1)如图1,若BD=BA,求证:△ABE≌△DBE;(2)如图2,若BD=4DC,取AB的中点G,连接CG交AD于M,求证:①GM=2MC;②AG2=AF•AC.15、四边形ABCD内接于⊙O,AB是⊙O的直径,AC和BD相交于点E,且DC2=CE •CA.(1)求证:BC=CD;(2)分别延长AB,DC交于点P,过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F,若PB=OB,CD=,求DF的长.16如图,在正方形ABCD中,点M是BC边上的任一点,连接AM并将线段AM绕M 顺时针旋转90°得到线段MN,在CD边上取点P使CP=BM,连接NP,BP.(1)求证:四边形BMNP是平行四边形;(2)线段MN与CD交于点Q,连接AQ,若△MCQ∽△AMQ,则BM与MC存在怎样的数量关系?请说明理由.17、如图,在矩形ABCD中,AD=4cm,AB=m(m>4),点P是AB边上的任意一点(不与点A、B重合),连接PD,过点P作PQ⊥PD,交直线BC于点Q.(1)当m=10时,是否存在点P使得点Q与点C重合?若存在,求出此时AP的长;若不存在,说明理由;(2)连接AC,若PQ∥AC,求线段BQ的长(用含m的代数式表示);18、已知锐角△ABC中,边BC长为12,高AD长为8.(1)如图,矩形EFGH的边GH在BC边上,其余两个顶点E、F分别在AB、AC 边上,EF交AD于点K.①求的值;②设EH=x,矩形EFGH的面积为S,求S与x的函数关系式,并求S的最大值;(2)若AB=AC,正方形PQMN的两个顶点在△ABC一边上,另两个顶点分别在△ABC的另两边上,直接写出正方形PQMN的边长.相似与圆1、如图,DB为半圆的直径,A为BD延长线上的一点,AC切半圆于点E,BC⊥AC于点C,交半圆于点F.已知AC=12,BC=9,求AO的长.2、如图,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,O是AC边上的一点,以O为圆心,OC 为半径的圆与AB相切于点D,连结OD.(1)求证:△ADO∽△ACB;(2)若⊙O的半径为1,求证:AC=AD·BC.3、如图,已知Rt△ABC,∠C=90°,D为BC的中点,以AC为直径的⊙O交AB于点E.(1)求证:DE是⊙O的切线;(2)若AE∶EB=1∶2,BC=6,求AE的长.4.如图,已知AB是⊙O的直径,BC⊥AB,连结OC,弦AD∥OC,直线CD交BA 的延长线于点E.(1)求证:直线CD是⊙O的切线;(2)若DE=2BC,求AD∶OC的值.5.如图,⊙O是△ABC的外接圆,BC是⊙O的直径,∠ABC=30°.过点B作⊙O 的切线BD,与CA的延长线交于点D,与半径AO的延长线交于点E.过点A作⊙O的切线AF,与直径BC的延长线交于点F.(1)求证:△ACF∽△DAE;(2)若S△AOC=34,求DE的长;(3)连结EF,求证:EF是⊙O的切线.6.如图,AB为⊙O的一条弦,点C为劣弧AB的中点,E为优弧AB上一点,点F 在AE的延长线上,且BE=EF,线段CE交弦AB于点D.(1)求证:CE∥BF;(2)若BD=2,且EA∶EB∶EC=3∶1∶5,求△BCD的面积.7.如图,AB是⊙O的直径,C为⊙O上一点,AE和过点C的切线互相垂直,垂足为E,AE交⊙O于点D,直线EC交AB的延长线于点P,连结AC,BC,PB∶PC=1∶2.(1)求证:AC平分∠BAD;(2)探究线段PB,AB之间的数量关系,并说明理由.8.如图,AC是⊙O的直径,BC是⊙O的弦,P是⊙O外一点,连结PA,PB,AB,已知∠PBA=∠C.(1)求证:PB是⊙O的切线;(2)连结OP,若OP∥BC,且OP=8,⊙O的半径为22,求BC的长.9.如图,⊙O是△ABC的外接圆,O点在BC边上,∠BAC的平分线交⊙O于点D,连结BD,CD,过点D作BC的平行线,与AB的延长线相交于点P.(1)求证:PD是⊙O的切线;(2)求证:△PBD∽△DCA;(3)当AB=6,AC=8时,求线段PB的长.10、如图,AB为⊙O的直径,CD与⊙O相切于点C,且OD⊥BC,垂足为F,OD交⊙O于点E.证明:(1)∠D=∠AEC;(2)OA2=OD·OF.相似三角形动点问题1.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6cm,BC=8cm,动点P从点B出发,在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动,同时动点Q从点C出发,在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动,运动时间为t秒(0<t<2),连接PQ.(1)若△BPQ与△ABC相似,求t的值;(2)连接AQ、CP,若AQ⊥CP,求t的值.2.如图,矩形ABCD中,AB=20,BC=10,点P为AB边上一动点,DP交AC于点Q.(1)求证:△APQ∽△CDQ;(2)P点从A点出发沿AB边以每秒1个单位长度的速度向B点移动,移动时间为t秒,t为何值时,DP⊥AC.3.如图,在平面直角坐标系内,已知点A(0,6),点B(8,0).动点P从A 开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动,同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动,设点P,Q移动的时间为t秒.(1)求直线AB的解析式;(2)当t为何值时,△APQ与△AOB相似,并求出此时点P的坐标.4.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10cm,AC:BC=4:3,点P从点A出发沿AB方向向终点B运动,速度为1cm/s,同时点Q从点B出发沿B﹣C﹣A方向向终点A运动,速度为2cm/s,当一个运动点到达终点时,另一个运动点也随之停止运动.(1)求AC,BC的长.(2)设点P的运动时间为x(秒),△PBQ的面积为y(cm2),当△PBQ存在时,求y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.(3)x=5秒时,在直线PQ上是否存在一点M,使△BCM的周长最小,若存在,求出最小周长,若不存在,请说明理由.5.如图,△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=1,点D是BC上一个动点(不与B、C 重合),在AC上取E点,使∠ADE=45度.(1)求证:△ABD∽△DCE;(2)设BD=x,AE=y,求y关于x的函数关系式;(3)当:△ADE是等腰三角形时,求AE的长.6.如图△ABC中,AB=AC=10厘米,BC=12厘米,D是BC的中点,点P从B出发,以a厘米/秒(a>0)的速度沿BA匀速向点A运动,点Q同时以1厘米/秒的速度从D出发,沿DB匀速向点B运动,其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动,设它们运动的时间为t秒.(1)若a=2,△BPQ∽△BDA,求t的值;(2)设点M在AC上,四边形PQCM为平行四边形.①若a=,求PQ的长;②是否存在实数a,使得点P在∠ACB的平分线上?若存在,请求出a的值;若不存在,请说明理由.7、如图1,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6 cm,BC=8 cm,动点P从点B出发,在BA边上以每秒5 cm的速度向点A匀速运动,同时动点Q从点C出发,在CB边上以每秒4 cm的速度向点B匀速运动,运动时间为t秒(0<t<2),连接PQ.(1)若△BPQ与△ABC相似,求t的值;(2)如图2,连接AQ、CP,若AQ⊥CP,求t的值;(3)试证明:PQ的中点在△ABC的一条中位线上.8、如图1,在直角梯形ABCD中,AB//CD,AD⊥AB,∠B=60°,AB=10,BC=4,点P沿线段AB从点A向点B运动,设AP=x.2·1·c·n·j·y(1)求AD的长;(2)点P在运动过程中,是否存在以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相似?若存在,求出x的值;若不存在,请说明理由;(3)设△ADP与△PCB的外接圆的面积分别为S1、S2,若S=S1+S2,求S的最小值.。
相似动点问题(初学动点的可以看看)
相似动点问题1. 如图,在直角梯形ABCD 中,︒=∠90D ,,10cm AB =cm BC 6=,AB ∥CD ,BC AC ⊥, F 点以s cm /2的速度在线段AB 上由A 向B 匀速运动,E 点同时以s cm /1的速度在线段BC 上由B 向C 匀速运动,设运动的时间为t (0<t <5).(1)求证:△ACD ∽△BAC ;(2)求DC 的长(3)当t 为何值时,△FEB 为直角三角形?2. 如图,△ABC 中,AB=6 cm ,AC=12 cm ,动点D 从点A 出发到点B 止.动点E 从点C 出发到点A 止.点D 运动的速度为1 cm /s ,点E 运动的速度为2 cm /s .如果两点同时运 动,那么以点A 、D 、E 为顶点的三角形与△ABC 相似时.运动的时间是多少?3. 如图,△ABC 中,∠C=90°,AC=3cm,BC=4cm,动点P 从点B 出发以2cm/s 的速度向点C 移动,动点Q 从C 出发以1cm/s 的速度向点A 移动,如果动点P 、Q 同时出发,要使△CPQ 与△CBA 相似,所需要的时间是多少秒?4. 已知:Rt △OAB 在直角坐标系中的位置如图所示,P(3,4)为OB 的中点,点C 为折线OAB 上的动点,线段PC 把Rt △OAB 分割成两部分.问:点C 在什么位置时,分割得到的三角形与Rt △OAB 相似?(注:在图上画出所有符合要求的线段PC ,并求出相应的点C 的坐标).5. 如图,直线21+=kx y 的图象与x 轴、y 轴分别交于点A ,B ,点C 是直线与双曲线x m y = 的一个交点,过点C 作CD ⊥y 轴,垂足为D ,且△BCD 的面积为1。
(1)求双曲线的解析 式与直线AB 的解析式;(2)若在y 轴上有一点E ,使得以E 、A 、B 为顶点的三角形与△BCD 相似,求点E 的坐标.6. 如图,Rt △ABC 中,∠C =90°,AC =8,BC =6,点D 是BC 边的中点,动点P 从点C 出发,沿C →A →B 的方向在AC 、AB 边上以每秒2个单位的速度向点B 移动,运动至点B 即停止。
相似三角形的动点问题题型(整理)
相似三角形的动点问题题型(整理) 相似三角形的动点问题一、动点型例1、已知等边三角形ABC中,点D,E,F分别为边AB,AC,BC的中点,M为直线BC上一动点,△DMN为等边三角形。
当点M在点B左侧时,可以得出结论:EN与MF相等且点F不在直线NE上。
当点M在BC上时,该结论仍然成立,可以利用图2证明。
若点M在点C右侧时,画出相应的图形,可以直接得出结论,不必证明或说明理由。
例2、在矩形ABCD中,AB=12cm,BC=8cm。
点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发,沿矩形的边按逆时针方向移动。
点E、G的速度均为2cm/s,点F的速度为4cm/s,当点F追上点G时,三个点随之停止移动。
设移动开始后第t秒时,△EFG的面积为S(cm2)。
1)当t=1秒时,S的值为多少?2)S与t之间的函数解析式为S=2t^2+4t,自变量t的取值范围为0<t<2.3)若点F在矩形的边BC上移动,当t为何值时,以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似。
理由是BC与FG平行,因此△BEF与△FCG相似,当EF=FG 时,两个三角形相似,即t=1秒。
二、迁移应用1、已知△ABC是边长为6cm的等边三角形,动点P、Q同时从A、B两点出发,分别沿AB、BC匀速运动,其中点P运动的速度是1cm/s,点Q运动的速度是2cm/s,当点Q到达点C时,P、Q两点都停止运动,设运动时间为t(s)。
1)当t=2时,可以判断△BPQ为等腰三角形,因为BP=2PQ,且∠BPQ=120°。
2)设△BPQ的面积为S(cm2),则S=6t/(5+t),其中0<t<2.3)作QR//BA交AC于点R,连结PR,当t=2时,可以得出△APR∽△PRQ,因为∠RAP=∠QRP且∠APR=∠RPQ。
2、在直角梯形ABCD中,AB∥DC,∠D=90o,AC⊥BC,AB=10cm,BC=6cm,F点以2cm/秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动,E点同时以1cm/秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动,设运动时间为t秒(0<t<5)。
(word完整版)相似三角形动点问题题型
动点问题 题型方法归纳动态几何特点—---问题背景是特殊图形,考查问题也是特殊图形,所以要把握好一般与特殊的关系;分析过程中,特别要关注图形的特性(特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置.) 动点问题一直是中考热点,近几年考查探究运动中的特殊性:等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。
下面就此问题的常见题型作简单介绍,解题方法、关键给以点拨. 一、三角形边上动点1、直线364y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点,动点P Q 、同时从O 点出发,同时到达A 点,运动停止.点Q 沿线段OA运动,速度为每秒1个单位长度,点P 沿路线O →B →A 运动.(1)直接写出A B 、两点的坐标;(2)设点Q 的运动时间为t 秒,OPQ △的面积为S ,求出S 与t 之间的函数关系式;(3)当485S =时,求出点P 的坐标,并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标.提示:第(2)问按点P 到拐点B 所有时间分段分类;图(3)B图(1)B图(2)2、如图,AB 是⊙O 的直径,弦BC=2cm ,∠ABC=60º. (1)求⊙O 的直径;(2)若D 是AB 延长线上一点,连结CD,当BD 长为多少时,CD 与⊙O 相切;(3)若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着AB 方向运动,同时动点F 以1cm/s 的速度从B 点出发沿BC 方向运动,设运动时间为)20)((<<t s t ,连结EF ,当t 为何值时,△BEF 为直角三角形. 注意:第(3)问按直角位置分类讨论OM AD∥.过顶点D平行于x轴的直线交射线OM于点C,B在x轴正半轴上,连结BC.(1)求该抛物线的解析式;t s.问当t (2)若动点P从点O出发,以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动,设点P运动的时间为()为何值时,四边形DAOP分别为平行四边形?直角梯形?等腰梯形?,动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发,分别以每秒1个长度单位和2个长度单位(3)若OC OB的速度沿OC和BO运动,当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动.设它们的运动的时间为t()s,连接PQ,当t为何值时,四边形BCPQ的面积最小?并求出最小值及此时PQ的长.Array注意:发现并充分运用特殊角∠DAB=60°当△OPQ面积最大时,四边形BCPQ的面积最小。
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相似与动点问题专题
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动态几何中的相似三角形
例1、如图,在梯形ABCD中,ADBC∥,3AD,5DC,10BC,梯形的高为4.动
点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动;动点N同时从C点
出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动.设运动的时间为t(秒).
(1)当MNAB∥时,求t的值;
(2)试探究:t为何值时,MNC△为直角三角形.
变式练习1:如图所示,在ΔABC中,BA=BC=20cm,AC=30cm,点P从A点出发,沿着AB以
每秒4cm的速度向B点运动;同时点Q从C点出发,沿CA以每秒3cm的速度向A点运动,
设运动时间为x。(1)当x为何值时,PQ∥BC?(2)当31ABCBCQSS,求ABCBPQSS的值;(3)
ΔAPQ能否与ΔCQB相似?若能,求出AP的长;若不能,请说明理由。
变式练习2:如图,已知直线l的函数表达式为483yx,且l与x轴,y轴分别交于
AB,
两点,动点Q从B点开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动,同时动点
P
从A点开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动,设
点QP,移动的时间为t秒.
(1)求出点AB,的坐标;
(2)当t为何值时,APQ△与AOB△相似?
(3)求出(2)中当APQ△与AOB△相似时,线段PQ所在直线的
函数表达式.
O P A Q B y x
DNCMBA
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变式练习1:已知在Rt△ABC中,∠ABC=90º,∠A=30º,点P在AC上,且∠MPN=90
当点P为线段AC的中点,点M、N分别在线段AB、BC上时(如图1),过点P作PE
⊥AB于点E,PF⊥BC于点F,可证t△PME∽t△PNF,得出PN=3PM.(不需证明)
当PC=2PA,点M、N分别在线段AB、BC或其延长线上,如图2、图3这两种情况
时,请写出线段PN、PM之间的数量关系,并任选取一给予证明.
变式练习2(备用):如图1,在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放
在一起,A为公共顶点,∠BAC=∠AGF=90°,它们的斜边长为2,若∆ABC固定不动,∆
AFG
绕点A旋转,AF、AG与边BC的交点分别为D、E(点D不与点B重合,点E不与点C重合),
设BE=m,CD=n.
(1)请在图中找出两对相似而不全等的三角形,并选取其中一对进行证明.
(2)求m与n的函数关系式,直接写出自变量n的取值范围.
(3)以∆ABC的斜边BC所在的直线为x轴,BC边上的高所在的直线为y轴,建立平面直角
坐标系(如图12).在边BC上找一点D,使BD=CE,求出D点的坐标,并通过计算验证BD2+
CE2=DE
2
.
(4)在旋转过程中,(3)中的等量关系BD2+CE2=DE2是否始终成立,若成立,请证明,若不成
立,请说明理由.
G y x 图2 O F E D
C
B
A
G
图1
F
E
D
C
B
A
相似与动点问题专题
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例3、如图1,PMNRt△中,90P,PMPN,8MNcm,矩形ABCD的长和
宽分别为8cm和2cm,C点和M点重合,BC和MN在一条直线上.令PMNRt△不动,
矩形ABCD沿MN所在直线向右以每秒1cm的速度移动(如图2),直到C点与N点重合
为止.设移动x秒后,矩形ABCD与PMN△重叠部分的面积为y2cm.求y与x之间的函
数关系式.
变式练习1:如图,在等腰梯形ABCD中,ABDC∥,45A∠,10cmAB,
4cmCD.等腰直角三角形PMN的斜边10cmMN
,A点与N点重合,MN和AB在
一条直线上,设等腰梯形ABCD不动,等腰直角三角形PMN沿AB所在直线以1cm/s 的
速度向右移动,直到点N与点B重合为止.
(1)等腰直角三角形PMN在整个移动过程中与等腰梯形ABCD重叠部分的形状
由 形变化为 形;
(2)设当等腰直角三角形PMN移动(s)x时,等腰直角三角形PMN与等腰梯形ABCD重
叠部分的面积为2(cm)y,求y与x之间的函数关系式;
(3)当4(s)x时,求等腰直角三角形PMN与等腰梯形ABCD重叠部分的面积.
变式练习1:如图,在梯形ABCD中,ADBC∥,6cmAD,4cmCD,
10cmBCBD
,点P由B出发沿BD方向匀速运动,速度为1cm/s;同时,线段EF由
DC出发沿DA方向匀速运动,速度为1cm/s,交BD于Q,连接PE.若设运动时间为t(s)
A
B
D
P
N
C(M)
2
2
图2
图1
A
(N)
M P D C B A N M
P
D
C
B
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(05t).解答下列问题:
(1)当t为何值时,PEAB∥?
(2)设PEQ△的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式;
(3)是否存在某一时刻t,使225PEQBCDSS△△?
变式练习2:在Rt△ABC中,∠C=90°,AC = 3,AB = 5.点P从点C出发沿CA以每秒1个单
位长的速度向点A匀速运动,到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回;点Q从点A出发沿
AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动.伴随着P、Q的运动,DE保持垂直平分PQ,
且交PQ于点D,交折线QB-BC-CP于点E.点P、Q同时出发,当点Q到达点B时停止运动,
点P也随之停止.设点P、Q运动的时间是t秒(t>0).
(1)当t = 2时,AP = ,点Q到AC的距离是 ;
(2)在点P从C向A运动的过程中,求△APQ的面积S与
t的函数关系式;(不必写出t的取值范围)
(3)在点E从B向C运动的过程中,四边形QBED能否成
为直角梯形?若能,求t的值.若不能,请说明理由;
(4)当DE经过点C 时,请直接..写出t的值.
A
E
D
Q
P
B
F
C
A C
B
P
Q
E
D
题9