江苏2013届高三数学(文)试题分类汇编: 导数及其应用
广东省13大市2013届高三上期末考数学文试题分类汇编
导数及其应用
一、选择题、填空题 1、(潮州市2013届高三上学期期末)定义域R 的奇函数()f x ,当(,0)x ∈-∞时
()'()0f x xf x +<恒成立,若3(3)a f =,()b f =1,2(2)c f =--,则 A .a c b >> B .c b a >> C .c a b >> D . a b c >> 答案:A
2、(广州市2013届高三上学期期末)已知e 为自然对数的底数,函数y x =e x 的单调递增区间是
A . )1,?-+∞?
B .(1,?-∞-?
C .)1,?+∞?
D .(
1,?-∞? 答案:B
3、(增城市2013届高三上学期期末)函数x x f ln )(=的图像在点1=x 处的切线方程是 . 答案:1-=x y
4、(中山市2013届高三上学期期末)若曲线4
y x =的一条切线与直线480x y +-=垂直,
则的方程为 。 答案:4x -y -3=0
5、(中山市2013届高三上学期期末)函数2()f x x bx a =-+的图象如图所示,则函数
()ln ()g x x f x '=+的零点所在的区间是( )
A .11(,)
42 B .1
(,1)2
C .(1,2)
D . (2,3) 答案:B
二、解答题
1、(潮州市2013届高三上学期期末)二次函数()f x 满足(0)(1)0f f ==,且最小值是1
4
-.
(1)求()f x 的解析式;
(2)实数0a ≠,函数2
2
()()(1)g x xf x a x a x =++-,若()g x 在区间(3,2)- 上单调递减,求实数a 的取值范围. 解:(1)由二次函数()f x 满足(0)(1)0f f ==.设()(1)(0)f x ax x a =-≠,
则221()()24a
f x ax ax a x =-=--.
又()f x 的最小值是14-,故
1
44
a -=-.解得1a =. ∴2()f x x x =-; …… 4分
(2)2
2
3
2
2
2
2
3
2
2
()()(1)g x xf x a x a x x x ax x a x x ax a x =++-=-++-=+-.
∴2
2'()32(3)()g x x ax a x a x a =+-=-+. ………… 6分
由'()0g x =,得3a x =
,或x a =-,又0a ≠,故3
a
a ≠-.………… 7分 当3a a >-,即0a >时,由'()0g x <,得3
a
a x -<<. ………… 8分 ∴()g x 的减区间是(,)3
a
a -,又()g x 在区间(3,2)-上单调递减,
∴3
23a a -≤-??
?≥??,解得36a a ≥??≥?,故6a ≥(满足0a >); ……… 10分
当
3a a <-,即0a <时,由'()0g x <,得3
a
x a <<-. ∴()g x 的减区间是(,)3
a
a -,又()g x 在区间(3,2)-上单调递减,
∴3
32
a
a ?≤-???-≥?,解得92a a ≤-??≤-?,故9a ≤-(满足0a <). ……… 13分
综上所述得9a ≤-,或6a ≥.
∴实数a 的取值范围为(,9][6,)-∞-+∞ . ……… 14分 2、(东莞市2013届高三上学期期末)已知函数()ln f x ax b x c =++,(,,a b c 是常数)在x=e 处的切线方程为(1)0e x ey e -+-=,1x =既是函数()y f x =的零点,又是它的极值点.
(1)求常数a,b,c 的值;
(2)若函数2
()()()g x x mf x m R =+∈在区间(1,3)内不是单调函数,求实数m 的取
值范围;
(3)求函数()()1h x f x =-的单调递减区间,并证明:
ln 2ln 3ln 4ln 20121
23420122012????<
解:(1)由c x b ax x f ++=ln )(知,)(x f 的定义域为),0(+∞,x
b
a x f +=)(', …1分 又)(x f 在e x =处的切线方程为0)1(=-+-e ey x e ,所以有 e
e e b a e
f 1
)('--
=+
=,① …………2分 由1=x 是函数)(x f 的零点,得0)1(=+=c a f ,② …………3分 由1=x 是函数)(x f 的极值点,得0)1('
=+=b a f ,③ …………4分 由①②③,得1-=a ,1=b ,1=c . …………5分 (2)由(1)知)0(1ln )(>++-=x x x x f ,
因此,2
2
()()ln (0)g x x mf x x mx m x m x =+=-++>,所以
)0)(2(1
2)(2'>+-=+
-=x m mx x x
x m m x x g . …………6分 要使函数)(x g 在)3,1(内不是单调函数,则函数)(x g 在)3,1(内一定有极值,而 )2(1
)(2'm mx x x
x g +-=
,所以函数)(x g 最多有两个极值. …………7分 令2
()2(0)d x x mx m x =-+>.
(ⅰ)当函数)(x g 在)3,1(内有一个极值时,0)('
=x g 在)3,1(内有且仅有一个根,即
02)(2
=+-=m mx x x d 在)3,1(内有且仅有一个根,又因为(1)20d =>,当
0)3(=d ,即9=m 时,02)(2=+-=m mx x x d 在)3,1(内有且仅有一个根
3
2
x =
,当0)3(≠d 时,应有0)3(
.(ⅱ)当函数)(x g 在)3,1(内有两个极值时,0)('
=x g 在)3,1(内有两个根,即二次函 数02)(2
=+-=m mx x x d 在)3,1(内有两个不等根,所以
???
??
??<<>+-?=>+-=>??-=?,
341,0332)3(,
02)1(,02422m m m d m m d m m 解得98< 综上,实数m 的取值范围是),8(+∞. …10分 (3)由1)()(-=x f x h )0(ln >+-=x x x ,得x x x h -= 1)(', 令0)(' ≤x h ,得1≥x ,即)(x h 的单调递减区间为[)+∞,1. 由函数)(x h )0(ln >+-=x x x 在[)+∞,1上单调递减可知, 当),1(+∞∈x 时, )1()(h x h <,即1ln -<+-x x , …………11分 亦即ln 1x x <-对一切(1,)x ∈+∞都成立, 亦即x x x x 1 ln 0-< <对一切(1,)x ∈+∞都成立, …………12分 所以2122ln 0<<, 3233ln 0<<, 4 3 44ln 0<<, … 2012 2011 20122012ln 0< < , …………13分 所以有 2012 2011 43322120122012ln 44ln 33ln 22ln ? ?????? , 所以2012 1 20122012ln 44ln 33ln 22ln < ???? . …………14 3、(佛山市2013届高三上学期期末)设函数1 ()x e f x x -=,0x ≠. (1)判断函数()f x 在()0,+∞上的单调性; (2)证明:对任意正数a ,存在正数x ,使不等式()1f x a -<成立. 解析:(1)22 (1)(1)1 ()x x x xe e x e f x x x ---+'==, -----------2分 令()(1)1x h x x e =-+,则()(1)x x x h x e e x xe '=+-=, 当0x >时,()0x h x xe '=>,∴()h x 是()0,+∞上的增函数, ∴()(0)0h x h >=, 故2 () ()0h x f x x '= >,即函数()f x 是()0,+∞上的增函数. -----------------6分 (2)11 ()11x x e e x f x x x ----=-=, 当0x >时,令()1x g x e x =--,则()10x g x e '=->, ---8分 故()(0)0g x g >=,∴1 ()1x e x f x x ---=, 原不等式化为1 x e x a x --<,即(1)10x e a x -+-<,-----------------10分 令()(1)1x x e a x ?=-+-,则()(1)x x e a ?'=-+, 由()0x ?'=得:1x e a =+,解得ln(1)x a =+, 当0ln(1)x a <<+时,()0x ?'<;当ln(1)x a >+时,()0x ?'>. 故当ln(1)x a =+时,()x ?取最小值[ln(1)](1)ln(1)a a a a ?+=-++,-----------------12分 令()ln(1),01a s a a a a = -+>+,则22 11()0(1)1(1)a s a a a a '=-=-<+++. 故()(0)0s a s <=,即[ln(1)](1)ln(1)0a a a a ?+=-++<. 因此,存在正数ln(1)x a =+,使原不等式成立.----------------14分 4、(广州市2013届高三上学期期末)已知()f x 是二次函数,不等式() 0f x <的解集是 ()05,,且()f x 在点()()11f ,处的切线与直线610x y + +=平行. (1)求()f x 的解析式; (2)是否存在t ∈N * ,使得方程()370f x x +=在区间()1t t ,+内有两个不等的实数 根?若存在,求出t 的值;若不存在,说明理由. (1)解法1:∵()f x 是二次函数,不等式()0f x <的解集是()05,, ∴可设()()5f x ax x =-,0a >. …………… 1分 ∴25f x ax a / ()=-. …………… 2分 ∵函数()f x 在点()()11f ,处的切线与直线610x y + +=平行, ∴() 16f / =-. …………… 3分 ∴256a a -=-,解得2a =. …………… 4分 ∴()()225210f x x x x x =-=-. …………… 5分 解法2:设() 2f x ax bx c =++, ∵不等式() 0f x <的解集是()05,, ∴方程2 0ax bx c ++=的两根为05,. ∴02550c a b ,=+=. ① …………… 2分 ∵2f x ax b / ()=+. 又函数()f x 在点()()11f ,处的切线与直线610x y + +=平行, ∴() 16f / =-. ∴26a b +=-. ② …………… 3分 由①②,解得2a =,10b =-. …………… 4分 ∴() 2210f x x x =-. …………… 5分 (2)解:由(1)知,方程()37 0f x x +=等价于方程32210370x x -+=. …………… 6分 设() h x =3221037x x -+, 则() ()26202310h x x x x x / =-=-. …………… 7分 当1003x , ??∈ ? ? ?时,()0h x / <,函数()h x 在1003,?? ??? 上单调递减; ……… 8分 当103x ,??∈+∞ ???时,()0h x />,函数()h x 在103,?? +∞ ??? 上单调递增. … 9分 ∵() ()101 3100450327h h h ,,??=>=-<=> ? ?? , …………… 12分 ∴方程() 0h x =在区间1033,?? ???,1043,?? ??? 内分别有唯一实数根,在区间()03,, () 4,+∞内没有实数根. …………… 13分 ∴存在唯一的自然数3t =,使得方程()37 0f x x + =在区间()1t t ,+内有且只有两个不等的实数根. …………… 14分 5、(惠州市2013届高三上学期期末)已知函数3 ()3()f x x ax a R =-∈ (1)当1a =时,求()f x 的极小值; (2)若直线0x y m ++=对任意的m R ∈都不是曲线()y f x =的切线,求a 的取值范围; (3)设()|()|,[1,1]g x f x x =∈-,求()g x 的最大值()F a 的解析式. 解:(1)11,0)(,33)(,1' 2 ' =-==-==x x x f x x f a 或得令时当 …………1分 当)1,1(-∈x 时,),1[]1,(,0)(' +∞--∞∈< x x f 当时,0)(' >x f , 上单调递增在上单调递减在),1[],1,(,)1,1()(+∞--∞-∴x f …………2分 )(x f ∴的极小值是(1)2f =- …………………3分 (2)法1:/ 2 ()33f x x a =-,直线0=++m y x 即y x m =-+, 依题意,切线斜率/ 2 ()331k f x x a ==-≠-,即2 3310x a -+=无解……………4分 043(31)0a ∴?=-?-+< 3 1 < ∴a ………………6分 法2:f x x a a =-≥-/ 2 ()333,……………4分 要使直线0=++m y x 对任意的m R ∈都不是曲线()y f x =的切线,当且仅当a -<-13时成立,3 1 < ∴a ………………6分 (3)因,]1,1[|3||)(|)(3 上是偶函数在--==ax x x f x g 故只要求在]1,0[上的最大值. …………7分 ①当0≤a 时,)()(,0)0(]1,0[)(,0)(/ x f x g f x f x f =∴=≥上单调递增且在 .31)1()(a f a F -== …………………9分 ②当0>a 时,),)((333)(2 ' a x a x a x x f -+ =-= (ⅰ)当1,1≥≥a a 即 ()|()|(),g x f x f x ==- ()f x -在[0,1]上单调递增,此时()(1)31F a f a =-=- …………………10分 (ⅱ)当10,10<<<< a a 即时,,],0[)(上单调递减在a x f 在]1,[a 单调递增; 1°当13 1 ,031)1(<≤≤-=a a f 即时, ,]1,[,],0[)(),(|)(|)(上单调递减在上单调递增在a a x f x f x f x g --==a a a f a F 2)()(=-=; 2°当3 10,031)1(< <>-=a a f 即 (ⅰ)当a f a F a a f a f 31)1()(,4 1 0,31)1()(-==≤ <-=≤-时即 (ⅱ)当a a a f a F a a f a f 2)()(,3 1 41,31)1()(=-=<<-=>-时即……13分 综上 ??? ? ?? ?? ? ≥-<<≤-=)1(,13)141(,2)41(,31)(a a a a a a a x F ………………14分 6、(江门市2013届高三上学期期末)已知函数x x a x x f ln )1( 2 1 )(2--- =,其中R a ∈. ⑴若2=x 是)(x f 的极值点,求a 的值; ⑵若0>?x ,1)(≥x f 恒成立,求a 的取值范围. 解:⑴x x a x f 1 )1( 1)(/ - --=……2分, 因为2=x 是)(x f 的极值点,所以0)2(/ =f ……3分, 解021)12( 1=---a 得2 1 =a ……4分, ⑵(方法一)依题意1ln )1( 2 12 ≥---x x a x ,)ln 1(2)1( 2x x x a --≤-,0>x ……5分。 1=x 时,)ln 1(2)1( 2x x x a --≤-恒成立……6分 0>x 且1≠x 时,由)ln 1(2)1( 2x x x a --≤-得)ln 1()1(2 2 x x x a ---≤ …8分 设x x x g ln 1)(--=,0>x ,x x g 11)(/- =……9分,当10< >x g ……10分,所以0>?x ,0)1()(=≥g x g ……12分 所以,当0>x 且1≠x 时,0)ln 1()1(2 2 >---x x x ,从而0≤a ……13分, 综上所述,a 的取值范围为]0 , (-∞……14分. (方法二)由⑴)1(1 1)1( 1)(/ax x x x x a x f --=---=……5分, 若0≤a ,则01>-ax ,由0)(/=x f 得1=x ……7分,且当10< 当1>x 时0)(/ >x f ……8分,所以0>?x ,1)1()(=≥f x f ……10分 若0>a ,由0)(/ =x f 得1=x 或a x 1= ……11分,取? ?? ???=a m 1 , 1max 为1与a 1两数的较大者,则当m x >时0)(/ x x a x x f ln )1( 2 1 )(2---=无最小值,1)(≥x f 不恒成立……13分。 (说明一:本段解答如举反例亦可,评分如下:若0>a ,取)3(2 30>+=a x (11) 分,)23ln()123(2123)(2 0a a a a x f +--+-+=10)23ln(21<<+---=a a ,1 )(≥x f 不恒成立……13分。说明二:若只讨论一个特例,例如1=a ,给1分) 综上所述,a 的取值范围为]0 , (-∞……14分. 7、(茂名市2013届高三上学期期末)已知函数32 1()223 g x ax x x =+-,函数()f x 是函数 ()g x 的导函数. (1)若1a =,求()g x 的单调减区间; (2)当(0,)a ∈+∞时,若存在一个与a 有关的负数M ,使得对任意[],0x M ∈时, 4()4f x -≤≤恒成立,求M 的最小值及相应的a 值。 8、(汕头市2013届高三上学期期末)设函数a x a e a x x f x +-+-=)1()()(,R a ∈.(注:e 为自然对数的底数.) (1)当1=a 时,球的单调区间; (2)(i)设)(x g 是)(x f 的导函数,证明:当2>a 时,在),0(+∞上恰有—个0x 使得0)(0=x g (ii)求实数a 的取值范围,使得对任意的]2,0[∈x ,恒有0)(≤x f 成立. 解:(1)当1=a 时,x x xe x f e x x f =∴+-=)(,1)1()( …………1分 0>x e ,令0)(' 所以函数)(x f 的减区间是)0,(-∞;增区间是),0(+∞ …………3分 (2)(i)证明: )1()(')(+-==a x e x f x g x )2()('),1(+-=∴-+a x e x g a x ………4分 02,2>-∴>a a ,且0,0>>x e x , 令0)(' 则函数)(x g 在)2,0(-a 上递减;在),2(+∞-a 上递增 ………6分 0)2(,0)0(<-∴=a g g ,又01)(>-+=a e a g a 所以函数)(x g 在)2,0(-a 上无零点,在),2(+∞-a 上有惟一零点 因此在),0(+∞上恰有一个0x 使得0)(0=x g . …………8分 (ii)若2≤a ,则02≥+-a ,对0)2()('],2,0[≥+-=∈?a x e x g x x 恒成立, 故函数)(x g 在]2,0[上是增函数,0)0()(=≥∴g x g ,因此函数)(x f 在]2,0[内单调递增, 而0)0(=f ,0)0()(=≥∴f x f ,不符题意。 ………10分 2>∴a ,由(i)知)(x f 在),0(0x 递减,),(0+∞x 递增, 设)(x f 在[0,2]上最大值为M ,则)}2(),0(max{f f M =, 故对任意的]2,0[∈x ,恒有0)(≤x f 成立等价于?? ?≤≤0 )2(0 )0(f f , ……12分 由0)2(≤f 得:022)2(2 ≤+-+-a a e a ,23 4 2322222>-+=--≥∴e e e a , 又0)0(=f ,3 2 222--≥∴e e a 。 ……14分 9、(增城市2013届高三上学期期末)圆2 2 1x y +=内接等腰梯形ABCD ,其中AB 为圆的直径(如图). (1)设(,)(0)C x y x >,记梯形ABCD 的周长为 ()f x ,求()f x 的解析式及最大值; C D y (2)求梯形ABCD 面积的最大值. 解:(1)过点C 作AB CE ⊥于E , 则)10(<<=x x OE x EB -=∴1 1分 222 2)1(,1x y CB y x -+= ∴=+ 2分 x 22-= 3分 )10(22222)(<<-++=∴x x x x f 4分 令t x =-22,则)20(222 < <-=t t x 5分 55)1(24)(2 2≤+--=+-=∴t t t x f 6分 当1=t ,即2 1 =x 时)(x f 有最大值5 7分 一、设)0)(,(>x y x C ,则y DC AB x S )(21 )(+= 8分 )10(1)1()22(2 12 <<-+=+=x x x y x 9分 22 1221)1(1)(x x x x x S --?+ ++-='∴ 10分 2 211 2x x x -+--= =0 11分 2 1 ,0)1)(12(,0122 =∴=+-=-+∴x x x x x 12分 且当210< 1 < 1 =x 时,)(x S 有最大值433,即 14分 或解:设)900(?<<=∠ααBAC ,过点C 作AB CE ⊥于E AB 是直径,?=∠∴90ACB αcos 2=∴AC 8分 ααααα c o s s i n 2s i n ,c o s 2c o s 2 =?==?=∴AC CE AC AE 9分 1c o s s i n 2-=∴ααOE 10分 αααααααc o s s i n 4c o s s i n 2)2c o s s i n 42(2 1)(3 =-+= S 11分 )s i n (s i n 4c o s c o s s i n 34)(3 2 αααα αα-+?='S 0)tan 3(cos sin 4)sin cos 3(sin 42 2 2 2 2 2 =-=-=αααααα 12分 ?=∴=∴60,3tan αα 13分 当?<<600α时,0)(>'αS ,当?<9060α时,0)(<'αS 所以当?=60α时)(αS 有最大值4 3 3 14分 或解:设)0)(,(>x y x C ,则y DC AB x S )(2 1 )(+= 8分 )10(1)1()22(2 1 2<<-+=+=x x x y x 9分 )1()1(3x x -+= 10分 )33)(1)(1)(1(3 1 x x x x -+++= 11分 4 33)26(314=≤ 12分 当且仅当331-=+x x ,即2 1 = x 时等号成立 13分 所以 14分 10、(湛江市2013届高三上学期期末)设函数2 ()(2)(0)x f x x e ax x =--≥,其中e 是自然对数的底,a 为实数。 (1)若a =1,求f (x )的单调区间; (2)当a ≠1时,f (x )≥-x 恒成立,求实数a 的取值范围。 11、(肇庆市2013届高三上学期期末)已知函数2 ()()x f x ax x e =+,其中e 是自然对数的底数,a R ∈. (1)当0a >时,解不等式()0f x ≤; (2)当0a =时,求整数t 的所有值,使方程()2f x x =+在[,1]t t +上有解; (3)若()f x 在[1,1]-上是单调增函数,求a 的取值范围. 解:(1)因为e 0x >,所以不等式()0f x ≤即为20ax x +≤,又因为0a >,所以不等式可化为1()0x x a +≤, 所以不等式()0f x ≤的解集为1 ,0a ?? -???? . (4 分) (2)当0a =时, 方程即为e 2x x x =+,由于e 0x >,所以0x =不是方程的解,所以原方程 等价于2e 10x x --=,令2()e 1x h x x =--,因为22 ()e 0x h x x '=+>对于()(),00,x ∈-∞+∞ 恒 成立, 所以()h x 在(),0-∞和()0,+∞内是单调增函数, 又(1)e 30h =-<,2(2)e 20h =->,31 (3)e 03h --=-<,2(2)e 0h --=>,所以方程()2f x x =+有且只有两个实数根,且分别 在区间[]12, 和[]32--,上,所以整数t 的所有值为{}3,1-. (8分) (3)22()(21)e ()e [(21)1]e x x x f x ax ax x ax a x '=+++=+++, ①当0a =时,()(1)e x f x x '=+,()0f x '≥在[11]-,上恒成立,当且仅当1x =-时取等号, 故 0a =符合要求; (10 分) ②当0a ≠时,令2()(21)1g x ax a x =+++,因为22(21)4410a a a ?=+-=+>, 所以()0g x =有两个不相等的实数根1x ,2x ,不妨设12x x >,因此()f x 有极大值又有极小值. 若0a >,因为(1)(0)0g g a -?=-<,所以()f x 在(11)-,内有极值点, 故()f x 在[]11-,上不单调. (12分) 若0a <,可知120x x >>, 因为()g x 的图象开口向下,要使()f x 在[11]-,上单调,因为(0)10g =>,必须满足(1)0,(1)0.g g ?? -?≥≥即320,0. a a +??-?≥≥所以2 03a -<≤. 综上可知,a 的取值范围是2,03?? -???? . (14分) 12、(中山市2013届高三上学期期末)已知函数()b ax x x f +-=3 3 1,其中实数b a ,是常数. (Ⅰ)已知{}2,1,0∈a ,{}2,1,0∈b ,求事件A :“()01≥f ”发生的概率; (Ⅱ)若()x f 是R 上的奇函数,()a g 是()x f 在区间[]1,1-上的最小值,求当1≥a 时 ()a g 的解析式; (Ⅲ)记()x f y =的导函数为()x f ',则当1=a 时,对任意[]2,01∈x ,总存在[]2,02∈x 使得12()()f x f x '=,求实数b 的取值范围. 解:(Ⅰ)当{}{}0,1,2,0,1,2a b ∈∈时,等可能发生的基本事件(,)a b 共有9个: (00)(01)(02),(10)(11)(12)(20)(21)(22).,,,,,,,,,,,,,,,, 其中事件A : “1 (1)03 f a b = -+≥”,包含6个基本事件: (00)(01)(02)(11)(12)(22).,,,,,,,,,,, 故62()93P A = =. 即事件“(1)0f ≥”发生的概率2 3 (Ⅱ)31 (),3f x x ax b =-+是R 上的奇函数,得(0)0,0.f b ==(5分) ∴31(),3 f x x ax =- 2 ()f x x a '=-, 16.当1a ≥时,因为11x -≤≤,所以()0f x '≤,()f x 在区间[]1,1-上单调递减, 从而1 ()(1)3 g a f a == -; 17.当1a ≤-时,因为11x -≤≤,所以()0f x '>,()f x 在区间[]1,1-上单调递增, 从而1 ()(1)3g a f a =-=- +, 综上,知1 ,13 ().1,13a a g a a a ?-≤-??=??-+≥?? (Ⅲ)当1=a 时, ()()1,3 123 -='∴+-= x x f b x x x f 当()()()()02,1,01,0>'∈<'∈x f x x f x 时当时 ()()()上递增上递减,在在2,11,0x f ∴,即()()b f x f +-==3 2 1min 又()()()0322,0f b f b f >+== ,[]()??????++-∈∈∴b b x f x 32,3 2 20时,,当 而()[]2 10,2f x x x '=-∈在上递增,()[1,3]f x '∈- 对任意[]2,01 ∈x ,总存在[]2,02 ∈x 使得)()(21x f x f '= ()()f x f x '∴?的值域的值域,[]22-,1,333b b ?? ++?-???? 即 ∴ 2-13b +≥-且233b +≤,解得13-7 3 b ≤≤ 13、(珠海市2013届高三上学期期末)已知函数()ln a x f x x x -=+ ,其中a 为常数,且0>a . (1)若曲线()y f x =在点(1,(1)f )处的切线与直线12 1 +=x y 垂直,求a 的值; (2)若函数()f x 在区间[1,2]上的最小值为2 1 ,求a 的值. 解:2221()1'()x a x a x a f x x x x x x ----= +=-=(0x >) ………………… 2分 (1)因为曲线()y f x =在点(1,(1)f )处的切线与直线12 1 +=x y 垂直,, 所以'(1)-2f =,即12, 3.a a -=-=解得 ……………………………………4分 (2)当01a <≤时,'()0f x >在(1,2)上恒成立, 这时()f x 在[1,2]上为增函数 min ()(1)1f x f a ∴==- ………………………………………6分 当12a <<时,由'()0f x =得,(1,2)x a =∈ 对于(1,)x a ∈有'()0,f x <()f x 在[1,a ]上为减函数, 对于(,2)x a ∈有'()0,f x >()f x 在[a ,2]上为增函数, min ()()ln f x f a a ∴== …………………………………8分 当2a ≥时,'()0f x <在(1,2)上恒成立, 这时()f x 在[1,2]上为减函数, min ()(2)ln 212 a f x f ∴==+-.…………………………………10分 于是,①当01a <≤时,min ()1f x a =-0≤ ②当12a <<时,min ()ln f x a =,令2 1 ln =a ,得e a =…11分 ③当a ≤2时,min ()ln 212a f x =+-2 1 2ln >≥…12分 综上,e a = ……………………………14分