高考数学复习系列专题例题习题及解析：高考递推数列题型分类归纳解析

高考递推数列题型分类归纳解析

各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列

通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。本文总结出几种求解数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。类型1

)(1n f a a n n +=+

解法：把原递推公式转化为)(1

n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。例:已知数列{}n a 满足211=a ，n n a a n n ++=+211

，求n a 。

解：由条件知：1

1)1(1121+-=+=+=-+n n n n n n a a n n

分别令)1(,,3,2,1-??????=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累加之，即

)()()()(1342312--+??????+-+-+-n n a a a a a a a a )1

11()4131()3121()211(n

n --+??????+-+-+-=

所以n a a n 111-=- 211=a ，n

n a n 1

231121-=-+=∴

变式:（2004，全国I ，个理22．本小题满分14分）

已知数列1}{1

=a a n 中，且a 2k =a 2k

－1

+(－1)K , a 2k+1=a 2k +3k , 其中k=1,2,3,…….

（I ）求a 3, a 5；

（II ）求{ a n }的通项公式. 解：

k k k a a )1(122-+=-，k k k a a 3212+=+

∴k k k k k k a a a 3)1(312212+-+=+=-+，即k k k k a a )1(31212-+=--+

∴)1(313-+=-a a ，2235)1(3-+=-a a ，…… ……k k k k a a )1(31212-+=--+

将以上k 个式子相加，得

]1)1[(2

)13(23])1()1()1[()333(22112--+-=-+???+-+-++???++=-+k k k k k a a

将11=a 代入，得1)1(21321112--+?=++k k k a ， 1)1(2

321)1(122--+?=-+=-k k k k k a a 。

经检验11=a 也适合，∴???????--?+?--?+?=-+)(1)1(2132

1)(1)1(21321222

21为偶数为奇数n n a n

n n n n

类型2 n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为)(1

n f a a n

n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。例:已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n

a 1

1+=

+，求n a 。解：由条件知1

1+=+n n

a a n n ，分别令)1(,,3,2,1-??????=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累乘之，即 1342312-??????????n n a a a a a a a a n n 1433221-??????????=n a a n 11=? 又321=a ，n

a n 32

=∴ 例:已知31=a ，n n a n n a 2

31+-=

+ )1(≥n ，求n a 。

解：

32231232)2(31)2(32)1(31)1(3a n n n n a n +-?+?-??????+---?+---=

3437

52633134

8531n n n n n --=

????=---。

变式:（2004，全国I,理15．）已知数列{a n }，满足a 1=1，1321)1(32--+???+++=n n

a n a a a a (n ≥2)，则{a n }的

通项1___n

a ?=?

12n n =≥ 解：由已知，得n n n na a n a a a a +-+???+++=-+13211)1(32，用此式减去已知式，得当2≥n 时，n n n na a a =-+1，即n n a n a )1(1+=+，又112==a a ，

n a a a a a a a a a n n =???====∴-13423121,,4,3,1,1，将以上n 个式子相乘，得2

n a n =)2(≥n

类型3 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。

解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中p

t -=1，再利用换元法转化为等比数列

求解。例:已知数列

{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a .

解：设递推公式

321+=+n n a a 可以转化为)(21t a t a n n -=-+即321-=?-=+t t a a n n .故递推公式为

)3(231+=++n n a a ,令3+=n n a b ，则4311=+=a b ,且

11=++=++n n n n a a b b .所以{}n b 是以41=b 为首项，2为公比的等比数列，则11224+-=?=n n n b ,所以321-=+n n a .

变式:（2006，重庆,文,14）在数列

{}n a 中，若111,23(1)n n a a a n +==+≥，则该数列的通项n a =_______________

（key:321-=+n n a ）

变式:（2006. 福建.理22.本小题满分14分）

已知数列

{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈

（I ）求数列{}n a 的通项公式；

（II ）若数列{b n }滿足1

2111

*44

4(1)(),n n b b b b n a n N ---=+∈证明：数列{b n }是等差数列；

（Ⅲ）证明：*122311...().232

n n a a a n n

n N a a a +-<

+++<∈ （I ）解：*121(),n n a a n N +=+∈ 112(1),n n a a +∴+=+

{}1n a ∴+是以112a +=为首项，2为公比的等比数列 12.n n a ∴+=即*21().n n a n N =-∈

（II ）证法一：

1211144...4(1).n n k k k k n a ---=+

12(...)42.n n k k k n nk +++-∴=

122[(...)],n n b b b n nb ∴+++-=

①

12112[(...)(1)](1).n n n b b b b n n b ++++++-+=+

②

②－①，得112(1)(1),n n n b n b nb ++-=+-即1(1)20,n n n b nb +--+= 21(1)20.n n nb n b ++-++=

③－④，得2

120,n n n nb nb nb ++-+=即2120,n n n b b b ++-+=

*211(),n n n n b b b b n N +++∴-=-∈ {}n b ∴是等差数列

（III ）证明：

1121211

,1,2,...,,1212

2(2)2

k k k k k k a k n a ++--==<=--

12231 (2)

n n a a a n

a a a +∴+++< 111211111111.,1,2,...,,2122(21)2 3.222232k k k k k k k

k a k n a +++-==-=-≥-=--+-

1222311111111

...(...)(1),2322223223

n n n n a a a n n n a a a +∴+++≥-+++=-->-

*122311...().232

n n a a a n n

n N a a a +∴-<+++<∈ 变式:递推式：()n f pa a n n +=+1。解法：只需构造数列{}n b ，消去()n f 带来的差异．

类型4

n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）。（或1n

n n a pa rq +=+,其中p ，q, r

均为常数）。

解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以1

+n q ，得：

q q a q p q a n n n n 111+?=++引入辅助数列{}n b （其中n

q a b =），

得：q

b q p b n n 1

+再待定系数法解决。例:已知数列{}n a 中，651=a ,1

1)2

1(31+++=n n n a a ，求n a 。

解：在11)21(31+++=n n n a a 两边乘以1

2+n 得：1)2(3

2211+?=?++n n n n a a

令n n

n a b ?=2，则1321+=+n n b b ,解之得：n n b )32(23-= 所以n n n n n b a )31(2)21(32

-==

变式:（2006，全国I,理22,本小题满分12分）

设数列

{}n a 的前n 项的和1412

2333

n n n S a +=

-?+，1,2,3,n = （Ⅰ）求首项1a 与通项n a ；（Ⅱ）设2n

n n T S =，1,2,3,n =，证明：1

32n

i i T =<∑

解：（I ）当1=n 时，32

3434111+-==a S a 21=?a ；

当2≥n 时，)3

23134(3223134111+?--+?-=-=-+-n n n n n n n a a S S a ，即n n n a a 241+=-，利用

n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）。（或1n

n n a pa rq +=+,其中p ，q, r 均

为常数）的方法，解之得：n n n a 24-=

(Ⅱ)将n n n

a 24-=代入①得

S n = 43×(4n －2n )－13×2n+1 + 23 = 13×(2n+1－1)(2n+1－2)= 2

3×(2n+1－1)(2n －1)

T n = 2n S n = 32×2n (2n+1－1)(2n －1) = 32×(12n －1 － 12n+1－1) 所以,

i T =∑= 3

i =∑12i －1 － 12i+1－1) = 32×(121－1 － 12i+1－1) < 3

类型5 递推公式为n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。

解法一(待定系数法)：先把原递推公式转化为)(112n n n n sa a t sa a -=-+++

其中s ，t 满足?

?-==+q st p

t s

解法二(特征根法)：对于由递推公式

n n qa pa a +=++12，

α==21,a a 给出的数列

{}n a ，方程

02=--q px x ，叫做数列{}n a 的特征方程。若21,x x 是特征方程的两个根，当21x x ≠时，数列{}n a 的通项为

11--+=n n n Bx Ax a ，其中A ，B 由

α==21,a a 决定（即把

121,,,x x a a 和

,1=n ，代入

1211--+=n n n Bx Ax a ，得到关于A 、B 的方程组）；当21x x =时，数列{}n a 的通项为1

1)(-+=n n x Bn A a ，其中A ，

B 由βα==21,a a 决定（即把2121,,,x x a a 和2,1=n ，代入11)(-+=n n x Bn A a ，得到关于A 、B 的方程组）。

解法一（待定系数——迭加法）: 数列

{}n a ：),0(025312N n n a a a n

n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,，求数列{}n a 的通项公式。

由025312

=+-++n n n a a a ，得

)(3

112n n n n a a a a -=-+++，

且a b a a -=-12。

则数列{}n n a a -+1是以a b -为首项，32为公比的等比数列，于是11)3

)((-+-=-n n

n a b a a 。

把n n

,,3,2,1???=代入，得

a b a a -=-12，)32()(23?-=-a b a a ，234)32()(?-=-a b a a ，???21)3

)((---=-n n n a b a a 。

把以上各式相加，得])3

2()32(321)[(21-+???+++-=-n n a b a a )(3

21)32(11

a b n ---=

-。 a b b a a a b a n n n 23)3

)((3)]()32(33[11-+-=+--=∴--。

解法二（特征根法）：数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,的特征方程是：

02532=+-x x 。32,121==x x ,∴1

211--+=n n n Bx Ax a 1)3

2(-?+=n B A 。

又由b a a a ==21,，于是

???-=-=???

??+=+=)(32332b a B a b A B A b B

A a 故1)32)((323--+-=n n

b a a b a 例:已知数列{}n a 中，11=a ,22=a ,n n n a a a 3

3212+=++，求n a 。

解：由n n n a a a 3

3212+=++可转化为)(112n n n n sa a t sa a -=-+++

即n n n sta a t s a -+=++12)(???

????

-==+?313

2st t s ?????-==?311t s 或????

?=-=131t s

这里不妨选用

???-==311t s （当然也可选用

???

=-=1

31t s ，大家可以试一试），则

)(3

1112n n n n a a a a --=-+++{}n n a a -?+1是以首项为112=-a a ，公比为31

-的等比数列,所以

11)3

(-+-=-n n n a a ,应用类型1的方法，分别令)1(,,3,2,1-??????=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累加之，即

2101)3

1()31()31(--+??????+-+-=-n n a a 3

11)31(11

+--=

-n 又11=a ，所以1

1(4347---=n n a 。

变式:（2006，福建,文,22,本小题满分14分）

已知数列

{}n a 满足*12211,3,32().n n n a a a a a n N ++===-∈

（I ）证明：数列{}1n n a a +-是等比数列；（II ）求数列{}n a 的通项公式；

（III ）若数列{}n b 满足1

111

*44 (4)

(1)(),n

b b b b n a n N ---=+∈证明{}n b 是等差数列（I ）证明：

2132,n n n a a a ++=-

21112*21

12(),

1,3,2().

n n n n n n n n

a a a a a a a a n N a a ++++++∴-=-==-∴

=∈-

{}1n n a a +∴-是以21a a -2=为首项，2为公比的等比数列

（II ）解：由（I ）得*12(),n n n

a a n N +-=∈

112211()()...()n n n n n a a a a a a a a ---∴=-+-++-+

12*

22 (21)

21().

n n n

n N --=++++=-∈

（III ）证明：12111

44...4(1),n n b b b b n a ---=+

12(...)42,n n b b b nb +++∴=

122[(...)],n n b b b n nb ∴+++-=

①

12112[(...)(1)](1).n n n b b b b n n b ++++++-+=+

②

②－①，得112(1)(1),n n n b n b nb ++-=+-

即1(1)20.n n n b nb +--+=

③

21(1)20.n n nb n b ++-++=

④

④－③，得2120,n n n nb nb nb ++-+=

即2

120,n n n b b b ++-+=*211(),n n n n b b b b n N +++∴-=-∈{}n b ∴是等差数列

类型6 递推公式为n S 与n a 的关系式。(或()n n S f a =)

解法：这种类型一般利用??

?≥???????-=????????????????=-)

2()

1(11n S S n S a n n n 与

)

()(11---=-=n n n n n a f a f S S a 消去

n S

)2(≥n 或与)(1--=n n n S S f S )2(≥n 消去n a 进行求解。

例：已知数列

{}n a 前n 项和2

4--

-=n n n a S .

（1）求1+n a 与n a 的关系；（2）求通项公式n a .

解：（1）由2214---=n n n a S 得：1112

4-++--=n n n a S

于是)21

21()(1211--++-+-=-n n n n n n a a S S

所以11121-+++-=n n n n a a a n n n a a 21

211+=?+.

（2）应用类型4（n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ））的方法，上式两边同乘以1

+n 得：22211

+=++n n n n a a

由12

412

1111

=?-

-==-a a S a .于是数列{}n n a 2是以2为首项，2为公差的等差数列，所以n n a n n

2)1(222=-+=12

-=?n n n a

变式:（2006，陕西,理,20本小题满分12分)

已知正项数列{a n }，其前n 项和S n 满足10S n =a n 2+5a n +6且a 1,a 3,a 15成等比数列，求数列{a n }的通项a n 解: ∵10S n =a n 2+5a n +6， ① ∴10a 1=a 12+5a 1+6，解之得a 1=2或a 1=3 又10S n －1=a n －12+5a n －1+6(n ≥2)，②

由①－②得 10a n =(a n 2－a n －12)+6(a n －a n －1)，即(a n +a n －1)(a n －a n －1－5)=0 ∵a n +a n －1>0 ， ∴a n －a n －1=5 (n ≥2)

当a 1=3时，a 3=13，a 15=73 a 1， a 3，a 15不成等比数列∴a 1≠3;

当a 1=2时， a 3=12， a 15=72，有 a 32=a 1a 15 ， ∴a 1=2， ∴a n =5n －3 变式: (2005,江西,文,22．本小题满分14分）

已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n －S n －2=3,2

,1),3()21(211-==≥-

-S S n n 且求数列{a n }的通项公式. 解： 12--+=-n n n n a a S S ，∴)3()2

1(311≥-?=+--n a a n n n ，两边同乘以n

)1(-，可得

1111)21

(3)21()1(3)1()1(----?-=--?=---n n n n n n n a a

令n n

n a b )1(-=∴)3()2

1(311≥?-=---n b b n n n

221)21(3---?-=-n n n b b ，…… ……，223)2

(3?-=-b b

∴2

11)

21(41413])2

1()21()21[(3222212-?-?-=+???++?-=---n n n n b b b )3()21(32312≥?+-=-n b n

又 111==S a ，2

123122-=--=-=S S a ，

∴1)1(111-=-=a b ，25)1(222-=-=a b ∴)1()2

(34)21(3232511≥?+-=?+--=--n b n n n 。

∴???

???

?+-?-=?-?+--=-=---.,)21(34,,)21(34)2

1()1(3)1(4)1(111

为偶数为奇数n n b a n n n n n n n n

类型7

b an pa a n n ++=+1)001(≠≠，a 、p

解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令)()1(1y xn a p y n x a n n ++=++++，与已知递推式比

较，解出y x ,,从而转化为{}y xn a n ++是公比为p 的等比数列。

例:设数列{}n a ：)2(,123,411≥-+==-n n a a a n n

，求n a .

解：设B An b a B ，An a b n n n n

--=++=则，将1,-n n a a 代入递推式，得

[]12)1(31-+---=---n B n A b B An b n n )133()23(31+----=-A B n A b n

??????+-=-=∴1332

3A B B A A ?

??==11B A

1++=∴n a b n n 取…（１）则13-=n n b b ,又61=b ，故n n n b 32361?=?=-代入（１）得132--?=n a n n

说明：（1）若

)(n f 为n 的二次式，则可设C Bn An a b n n +++=2;(2)本题也可由1231-+=-n a a n n ,1)1(2321--+=--n a a n n （3≥n ）两式相减得

2)(3211+-=----n n n n a a a a 转化为n n n qb pb b +=++12求之.

变式:（2006，山东,文,22,本小题满分14分）

已知数列｛n a ｝中，1

n n a n a a +=-、点（、）

在直线y=x 上，其中n=1,2,3… (Ⅰ)令{}是等比数列；求证数列n n n n b a a b ,31--=-

(Ⅱ)求数列

{}的通项；n a

解：（I ）由已知得

111

,2,2

n n a a a n +==+

2213313

,11,4424

a a a =--=--=- 又11,n n n

b a a +=-- 1211,n n n b a a +++=--

11112111(1)1

11222.1112

n n n n n n n n n n n n n n a n a n a a b a a b a a a a a a +++++++++++---

--∴====------ {}n b ∴是以34-为首项，以1

为公比的等比数列

（II ）由（I ）知，13131()

,4222n n n b -=-?=-?131

1,22n n n a a +∴--=-? 21311,22a a ∴--=-?322311,22a a --=-???????1131

1,22

n n n a a --∴--=-?

将以上各式相加得：1213111

(1)(),2222

n n a a n -∴---=-++???+

11111(1)

31313221(1)(1) 2.12222212

n n n n a a n n n ---∴=+--?=+---=+-- 3 2.2n n a n ∴=+-

类型8 r

n n pa a =+1)0,0(>>n a p

解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为q pa a n n +=+1，再利用待定系数法求解。

例：已知数列｛n a ｝中，2

111,1n n a a

a a ?==+)0(>a ，求数列{}

.的通项公式n a

解：由21

1n n a a a ?=

+两边取对数得a

a a n n 1lg lg 2lg 1+=+，令n n a

b lg =，则a b b n n 1lg 21+=+，再利用待定系数法解得：1

2)1(-=n n a

a a 。

变式:（2005，江西,理,21．本小题满分12分）

已知数列:,}

{且满足的各项都是正数n a .),4(2

,110N n a a a a n n n ∈-=

=+ （1）求数列}{n a 的通项公式a n .

解：用数学归纳法并结合函数

)4(2

)(x x x f -=

的单调性证明：（1）解法一：],4)2([2

1)4(212

1+--=-=+n n n n a a a a

所以 2

1)2()2(2--=-+n n a a

n n n n n n n n b b b b b a b 222121

22222112)2

1()21(21)21(2121,2-+++----==?-=--=-=-= 则令, 又b n =－1，所以1212)2

1(22,)21(---=+=-=n

n n n n

b a b 即

解法二： ,2)2(2

1)4(212

1+--=-=+n n n n a a a a ∴21)2(212n n a a -=-+

由（I ）知，02>-n a ，两边取以2为底的对数，∴)2(log 21)2(log 212n n a a -+-=-+

令=n b )2(log 2n a -,则n n b b 211+-=+n n b 21-=?∴n

n a 2122--=或12)2

1(2--=n n a

变式:（2006,山东,理,22,本小题满分14分）

已知a 1=2，点(a n ,a n+1)在函数f (x )=x 2+2x 的图象上，其中=1，2，3，… （1）证明数列｛lg(1+a n )｝是等比数列；

（2）设T n =(1+a 1) (1+a 2) …(1+a n )，求T n 及数列｛a n ｝的通项；记b n =

211++n n a a ，求｛b n ｝数列的前项和S n ，并证明S n +1

32-n T =1 解：（Ⅰ）由已知2

12n n n a a a +=+， 211(1)n n a a +∴+=+

12a =

11n a ∴+>，两边取对数得

1lg(1)2lg(1)n n a a ++=+，即1lg(1)

2lg(1)

n n a a ++=+

{lg(1)}n a ∴+是公比为2的等比数列

（Ⅱ）由（Ⅰ）知11lg(1)2lg(1)n n a a -+=?+

2lg3lg3n n --=?=

13n n a -∴+= （*）

12(1)(1)n T a a ∴=++n …(1+a )0

222333=????n-1

…3 21223

+++=n-1

…+2=n 2-1

由（*）式得1

1n n

a -=-

（Ⅲ）

102n n a a a +=+， 1(2)n n n a a a +∴=+，11111()22

n n n a a a +∴

=-+ 11122n n n a a a +∴=-+，又112n n n b a a =++，1

112()n n n b a a +∴=-

12n S b b ∴=++n …+b 122311111112(

)n n a a a a a a +=-+-+-…+11

112()n a a +=- 1

22113

1,2,31n n

n n a a a -+=-==-

22131n n S ∴=--，又21

3n n T -=，2131n n

S T ∴+=- 类型9 )

()()(1n h a n g a n f a n n

n +=+

解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为q pa a n n +=+1。

例：已知数列｛a n ｝满足：1,1

3111

=+?=

--a a a a n n n ，求数列｛a n ｝的通项公式。解：取倒数：1

1113131---+=+?=n n n n a a a a ?

?????∴n a 1是等差数列，

3)1(111?-+=n a a n 3)1(1?-+=n 231

-=?n a n 变式:（2006，江西,理,22,本大题满分14分）已知数列｛a n ｝满足：a 1＝

，且a n ＝n 1n 13na n 2n N 2a n 1*≥∈－－（，）＋－

（1）求数列｛a n ｝的通项公式；解：（1）将条件变为：1－

a ＝

n 11n 113a －－（－），因此｛1－n

n a ｝为一个等比数列，其首项为

1－11a ＝13，公比1

，从而1－

n n a ＝n

，据此得a n ＝n

n 331

?－（n ≥1）…………1?

类型10 h

ra q

pa a n n n ++=+1

解法：如果数列}{n a 满足下列条件：已知1a 的值且对于N ∈n ，都有h

ra q

pa a n n n ++=

+1（其中p 、q 、r 、h 均为常数，

且

r h a r qr ph -

≠≠≠1,0,），那么，可作特征方程h

rx q px x ++=,当特征方程有且仅有一根0x 时,则01n a x ?

?-??

是

等差数列;当特征方程有两个相异的根1x 、2x 时，则12n n a x a x ??

-??-??

是等比数列。

例：已知数列}{n a 满足性质：对于,3

,N 1++=

∈-n n n a a a n 且,31=a 求}{n a 的通项公式.

解: 数列}{n a 的特征方程为,3

++=

x x x

变形得,04222=-+x x 其根为.2,121-==λλ故特征方程有两个相

异的根，使用定理2的第（2）部分，则有

.N ,)221211(2313)(11212111∈?-?-?+-=--?--=

--n r p r p a a c n n n λλλλ ∴.N ,)5

(521∈-=-n c n n

∴.N ,1)51(521

)51

(52211112∈----?-=--=--n c c a n n n n n λλ 即.N ,)5(24)5(∈-+--=n a n

n n

例：（2005，重庆,文,22,本小题满分12分）数列).1(0521681}{111

≥=++-=++n a a a a a a n n n n n 且满足记).1(2

≥-

n a b n n

（Ⅰ）求b 1、b 2、b 3、b 4的值；（Ⅱ）求数列}{n b 的通项公式及数列}{n n b a 的前n 项和.n S

解法一：由已知,得n n n a a a 816521-+=+,其特征方程为x x x 81652-+=解之得,211=x 或45

2=x

∴n n n a a a 816)21(6211--=-+,n n n a a a 816)45(12451

--=-+

∴452121452111--?=--++n n n n a a a a , ∴n n n n a a a a 24)21(4

5214521111-=?-

=--- ∴42521++=-n

n n a 解法二：（I ）;22

111

,111=-

==b a 故22718,;718382a b ==

=-故 3331

,4;31442

a b ===-故441320,.203a b ==故

解法三：（Ⅰ）由,052168,21

1111=++-+=-

=++n n n n n n n n a a a a b a a b 代入递推关系得

整理得

2,0364111-==+-+++n n n n n n b b b b b b 即 .3

,4,38,2,143211=====b b b b a 所以有由

（Ⅱ）由,03

34),34(234,342111≠=--=--=++b b b b b n n n n

所以故的等比数列公比是首项为,2,3

}34{=-q b n 41142,2(1).3333n n n n b b n -=?=?+≥即

1,122

n n n n n b a b b a ==+-由得

1122n n n S a b a b a b =+++故121()2n b b b n =++++1

(12)

3123

n n -=+-1(251).3n n =+-

类型11 q pn a a n n +=++1或n

n n pq a a =?+1

解法：这种类型一般可转化为{}12-n a 与{}n a 2是等差或等比数列求解。

例：（I ）在数列}{n a 中，n n a n a a -==+6,111

，求n a （II ）在数列}{n a 中，n n n a a a 3,111

==+，求n a

历年高考数学真题(全国卷整理版)43964

参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+ 24S R π= 如果事件A 、B 相互独立，那么其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B = 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 33 4 V R π= n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径 ()(1)(0,1,2,)k k n k n n P k C p p k n -=-=… 普通高等学校招生全国统一考试一、选择题 1、复数 131i i -++= A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i 2、已知集合A ＝，B ＝{1，m} ,A B ＝A, 则m= A 0 B 0或3 C 1 D 1或3 3 椭圆的中心在原点，焦距为 4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为 A 216x +212y =1 B 212x +28y =1 C 28x +24y =1 D 212x +24 y =1 4 已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中，AB=2，CC 1=为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为 D 1 （5）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5=5，S 5=15，则数列的前100项和为 (A) 100101 (B) 99101 (C) 99100 (D) 101 100 （6）△ABC 中，AB 边的高为CD ，若 a ·b=0，|a|=1，|b|=2，则 (A) （B ） (C) (D)

（7）已知α为第二象限角，sinα＋sinβ =，则cos2α= (A) （B ） (C) (D) （8）已知F1、F2为双曲线C：x2-y2=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=|2PF2|，则cos∠F1PF2= (A)1 4（B） 3 5 (C) 3 4 (D) 4 5 （9）已知x=lnπ，y=log52， 1 2 z=e，则 (A)x＜y＜z （B）z＜x＜y (C)z＜y＜x (D)y＜z＜x (10) 已知函数y＝x2-3x+c的图像与x恰有两个公共点，则c＝（A）-2或2 （B）-9或3 （C）-1或1 （D）-3或1 （11）将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，梅列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（A）12种（B）18种（C）24种（D）36种（12）正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE＝BF＝7 3。动点P从 E出发沿直线喜爱那个F运动，每当碰到正方形的方向的边时反弹，反弹时反射等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为（A）16（B）14（C）12(D)10 二。填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上。（注意：在试题卷上作答无效）（13）若x，y 满足约束条件则z=3x-y的最小值为_________。（14）当函数取得最大值时，x=___________。（15）若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为_________。（16）三菱柱ABC-A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等， BAA1=CAA1=50° 则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为____________。三.解答题：（17）（本小题满分10分）（注意：在试卷上作答无效） △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知cos（A-C）＋cosB=1，a=2c，求c。

高考数学数列题型专题汇总

高考数学数列题型专题汇总公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]

高考数学数列题型专题汇总一、选择题 1、已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且S S n n =∞ →lim .下列条件中，使得()*∈q a （B ）6.07.0,01-<<-q a （D ）7.08.0,01-<<-

A ．{}n S 是等差数列 B ．2{}n S 是等差数列 C ．{}n d 是等差数列 D ．2{}n d 是等差数列【答案】A 二、填空题 1、已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若16a =，350a a +=，则 6=S _______.. 【答案】6 2、无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意 *∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为________. 【答案】4 3、设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2a n 的最大值为 . 【答案】64 4、设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=4，a n +1=2S n +1，n ∈N *，则 a 1= ，S 5= . 【答案】1 121

高考数学《数列》大题训练50题含答案解析

一．解答题（共30小题） 1．（2012?上海）已知数列{a n}、{b n}、{c n}满足．（1）设c n=3n+6，{a n}是公差为3的等差数列．当b1=1时，求b2、b3的值；（2）设，．求正整数k，使得对一切n∈N*，均有b n≥b k；（3）设，．当b1=1时，求数列{b n}的通项公式． 2．（2011?重庆）设{a n}是公比为正数的等比数列a1=2，a3=a2+4．（Ⅰ）求{a n}的通项公式； ( （Ⅱ）设{b n}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n+b n}的前n项和S n． 3．（2011?重庆）设实数数列{a n}的前n项和S n满足S n+1=a n+1S n（n∈N*）．（Ⅰ）若a1，S2，﹣2a2成等比数列，求S2和a3．（Ⅱ）求证：对k≥3有0≤a k≤． 4．（2011?浙江）已知公差不为0的等差数列{a n}的首项a1为a（a∈R）设数列的前n 项和为S n，且，，成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式及S n； ` （Ⅱ）记A n=+++…+，B n=++…+，当a≥2时，试比较A n与B n的大小． 5．（2011?上海）已知数列{a n}和{b n}的通项公式分别为a n=3n+6，b n=2n+7（n∈N*）．将集合{x|x=a n，n∈N*}∪{x|x=b n，n∈N*}中的元素从小到大依次排列，构成数列c1，c2，

（1）写出c1，c2，c3，c4；（2）求证：在数列{c n}中，但不在数列{b n}中的项恰为a2，a4，…，a2n，…；（3）求数列{c n}的通项公式． 6．（2011?辽宁）已知等差数列{a n}满足a2=0，a6+a8=﹣10 * （I）求数列{a n}的通项公式；（II）求数列{}的前n项和． 7．（2011?江西）（1）已知两个等比数列{a n}，{b n}，满足a1=a（a＞0），b1﹣a1=1，b2﹣a2=2，b3﹣a3=3，若数列{a n}唯一，求a的值；（2）是否存在两个等比数列{a n}，{b n}，使得b1﹣a1，b2﹣a2，b3﹣a3．b4﹣a4成公差不为0的等差数列若存在，求{a n}，{b n}的通项公式；若不存在，说明理由． 8．（2011?湖北）成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n}中的b3、b4、b5．（I）求数列{b n}的通项公式； ] （II）数列{b n}的前n项和为S n，求证：数列{S n+}是等比数列． 9．（2011?广东）设b＞0，数列{a n}满足a1=b，a n=（n≥2）（1）求数列{a n}的通项公式；（4）证明：对于一切正整数n，2a n≤b n+1+1．

春季高考数学数列历年真题

精品文档第五章：数列历年高考题一、单项选择题 1、（2003）已知数列{a n }是等差数列，如果a 1 =2，a 4 =-6则前4项的和S 4 是（） A -8 B -12 C -2 D 4 2、（2004年）在?ABC中，若∠A、∠B、∠C成等差数列，且BC=2，BA=1，则AC 等于（） A 33 2 B 1 C 3 D 7 3、（2004）在洗衣机的洗衣桶内用清水洗衣服，如果每次能洗去污垢的 3 2，则要使存留在衣服上的污垢不超过最初衣服上的2℅，该洗衣机至少要清洗的次数是（）A 2 B 3 C 4 D 5 4、（2005年）在等差数列{a n }中，若a 1 +a 12 =10，则a 2 +a 3 + a 10 +a 11 等于（） A 10 B 20 C 30 D 40 5、（2005年）在等比数列{a n }中，a 2 =2,a 5 =54,则公比q=（） A 2 B 3 C 9 D 27 6、（2006年）若数列的前n项和S n =3n n - 2,则这个数列的第二项a 2 等于（） A 4 B 6 C 8 D 10 7、（2007）为了治理沙漠，某农场要在沙漠上栽种植被，计划第一年栽种15公顷，以后每一年比上一年多栽种4公顷，那么10年后该农场栽种植被的公顷数是（）A 510 B 330 C 186 D 51 8、（2007年）如果a,b,c成等比数列，那么函数y=ax2+bx+c的图像与x轴的交点个数是（） A 0 B 1 C 2 D 1或2 9、（2007年）小王同学利用在职业学校学习的知识，设计了一个用计算机进行数字变换的游戏，只要游戏者输入任意三个数a 1 ，a 2 ，a 3 ，计算机就会按照规则：a 1 + 2a 2 - a 3 ，a 2 + 3a 3 ,5a 3 进行处理并输出相应的三个数，若游戏者输入三个数后，计算机输出了29,50,55三个数，则输入的三个数依次是（） A 6,10,11 B 6,17,11 C 10,17,11 D 6,24,11 10、（2008年）在等差数列{a n }中，若a 2 +a 5 =19，则a 7 =20，则该数列的前9项和是（） A 26 B 100 C 126 D 155 11、（2009年）在等差数列{a n }中，若a 1 +a 8 =15，则S 8 等于（） A 40 B 60 C 80 D 240 12、（2009年）甲、乙两国家2008年的国内生产总值分别为a（亿元）和4a(亿元)，甲国家计划2028年的国内生产总值超过乙国，假设乙国的年平均增长率为，那么甲国的年平均增长率最少应为（） A 9.6℅ B 9.2℅ C 8.8℅ D 8.4℅ 13、（2009年）如果三个实数a,b,c成等比数列，那么函数y=ax2+bx+c与y=ax+b 在同一坐标系中的图像可能是（） 14、（2010年）已知2，m，8构成等差数列，则实数m的值是（） A 4 B 4或-4 C 10 D 5 x

春季高考数学数列历年真题

第五章：数列历年高考题一、单项选择题 1、（2003）已知数列{a n }是等差数列，如果a 1 =2，a 4 =-6则前4项的和S 4 是（） A -8 B -12 C -2 D 4 2、（2004年）在?ABC中，若∠A、∠B、∠C成等差数列，且BC=2，BA=1，则AC 等于（） A 33 2 B 1 C 3 D 7 3、（2004）在洗衣机的洗衣桶内用清水洗衣服，如果每次能洗去污垢的 3 2，则要使存留在衣服上的污垢不超过最初衣服上的2℅，该洗衣机至少要清洗的次数是（）A 2 B 3 C 4 D 5 4、（2005年）在等差数列{a n }中，若a 1 +a 12 =10，则a 2 +a 3 + a 10 +a 11 等于（） A 10 B 20 C 30 D 40 5、（2005年）在等比数列{a n }中，a 2 =2,a 5 =54,则公比q=（） A 2 B 3 C 9 D 27 6、（2006年）若数列的前n项和S n =3n n - 2,则这个数列的第二项a 2 等于（） A 4 B 6 C 8 D 10 7、（2007）为了治理沙漠，某农场要在沙漠上栽种植被，计划第一年栽种15公顷，以后每一年比上一年多栽种4公顷，那么10年后该农场栽种植被的公顷数是（）A 510 B 330 C 186 D 51 8、（2007年）如果a,b,c成等比数列，那么函数y=ax2+bx+c的图像与x轴的交点个数是（） A 0 B 1 C 2 D 1或2 9、（2007年）小王同学利用在职业学校学习的知识，设计了一个用计算机进行数字变换的游戏，只要游戏者输入任意三个数a 1 ，a 2 ，a 3 ，计算机就会按照规则：a 1 + 2a 2 - a 3 ，a 2 + 3a 3 ,5a 3 进行处理并输出相应的三个数，若游戏者输入三个数后，计算机输出了29,50,55三个数，则输入的三个数依次是（） A 6,10,11 B 6,17,11 C 10,17,11 D 6,24,11 10、（2008年）在等差数列{a n }中，若a 2 +a 5 =19，则a 7 =20，则该数列的前9项和是（） A 26 B 100 C 126 D 155 11、（2009年）在等差数列{a n }中，若a 1 +a 8 =15，则S 8 等于（） A 40 B 60 C 80 D 240 12、（2009年）甲、乙两国家2008年的国内生产总值分别为a（亿元）和4a(亿元)，甲国家计划2028年的国内生产总值超过乙国，假设乙国的年平均增长率为，那么甲国的年平均增长率最少应为（） A 9.6℅ B 9.2℅ C 8.8℅ D 8.4℅ 13、（2009年）如果三个实数a,b,c成等比数列，那么函数y=ax2+bx+c与y=ax+b 在同一坐标系中的图像可能是（） 14、（2010年）已知2，m，8构成等差数列，则实数m的值是（） A 4 B 4或-4 C 10 D 5 15、（2010年）已知数列的前n项和S n =n n + 2,则第二项a 2 的值是（） A 2 B 4 C 6 D 8 16、（2011年）如果三个正数a,b,c成等比数列，那么lga,lgb,lgc（） x

历年高考数学真题(全国卷整理版)

参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+ 24S R π= 如果事件A 、B 相互独立，那么其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B =g g 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 33 4 V R π= n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径 ()(1)(0,1,2,)k k n k n n P k C p p k n -=-=… 普通高等学校招生全国统一考试一、选择题 1、复数 131i i -++= A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i 2、已知集合A ＝{1.3. m }， B ＝{1， m} ,A U B ＝A, 则m= A 0或3 B 0或3 C 1或3 D 1或3 3 椭圆的中心在原点，焦距为 4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为 A 216x +212y =1 B 212x +28y =1 C 28x +24y =1 D 212x +24 y =1 4 已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中， AB=2， CC 1=22 E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为 A 2 B 3 C 2 D 1 （5）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ， a 5=5， S 5=15，则数列的前100项和为 (A) 100101 (B) 99101 (C) 99100 (D) 101 100 （6）△ABC 中， AB 边的高为CD ，若 a·b=0， |a|=1， |b|=2，则 (A) （B ） (C) (D)

07-13年广东高考数学理科数列真题(含答案)

07-13年广东高考数学理科数列真题(含答案) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

5.已知数列{a n }的前n 项和29n S n n =-，第k 项满足58k a <<,则k = A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 21.（本小题满分14分）已知函数2()1, f x x x αβ=+-、是方程()0f x =的两个根()αβ>,()f x '是()f x 的导数.设11() 1,(1,2,)() n n n n f a a a a n f a +==- =', (1)求αβ、的值； (2)证明：对任意的正整数n ，都有n a α>; (3)记ln (1,2,)n n n a b n a β α -==-,求数列{}n b 的前n 项和n S .

2．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11 2 a =，420S =，则6S =（） A ．16 B ．24 C ．36 D ．48 21．（本小题满分12分）设p q ，为实数，αβ，是方程20x px q -+=的两个实根，数列{}n x 满足1x p =， 22x p q =-，12n n n x px qx --=-（34n =，， …）．（1）证明：p αβ+=，q αβ=；（2）求数列{}n x 的通项公式；（3）若1p =，1 4 q = ，求{}n x 的前n 项和n S ．

４．巳知等比数列{}n a 满足0,1,2, n a n >=，且25252(3)n n a a n -?=≥，则当1n ≥时， 2123221log log log n a a a -++ +=（）Ａ．(21)n n - Ｂ．2(1)n + Ｃ．2n Ｄ．2(1)n - 21．（本小题满分14分）已知曲线22:20(1,2,)n C x nx y n -+==．从点(1,0)P -向曲线n C 引斜率为 (0)n n k k >的切线n l ，切点为(,)n n n P x y ．（１）求数列{}{}n n x y 与的通项公式；（２）证明：13521n n n x x x x x y -??? ?< <

(完整版)历年数列高考题及答案

1. （福建卷）已知等差数列 }{n a 中，12497,1,16a a a a 则==+的值是（） A ．15 B ．30 C ．31 D ．64 2. （湖南卷）已知数列 }{n a 满足 ) (1 33,0*11N n a a a a n n n ∈+-= =+，则 20a = （） A ．0 B ．3- C ．3 D ．23 3. （江苏卷）在各项都为正数的等比数列｛a n ｝中，首项a 1=3 ，前三项和为21，则a 3+ a 4+ a 5=( ) ( A ) 33 ( B ) 72 ( C ) 84 ( D )189 4. (全国卷II ) 如果数列{}n a 是等差数列，则( ) (A)1845a a a a +<+ (B) 1845a a a a +=+ (C) 1845a a a a +>+ (D) 1845a a a a = 5. (全国卷II ) 11如果128,,,a a a L 为各项都大于零的等差数列，公差0d ≠，则( ) (A)1845a a a a > (B) 1845a a a a < (C) 1845a a a a +>+ (D) 1845a a a a = 6. （山东卷） {}n a 是首项1a =1，公差为d =3的等差数列，如果n a =2005，则序号n 等于( ) （A ）667 （B ）668 （C ）669 （D ）670 7. (重庆卷) 有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点。已知最底层正方体的棱长为2，且改塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)超过39，则该塔形中正方体的个数至少是( ) (A) 4； (B) 5； (C) 6； (D) 7。 8. （湖北卷）设等比数列 }{n a 的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n+1,S n ，S n+2成等差数列，则q 的值为 . 9. (全国卷II ) 在83和27 2之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为______ 10. （上海）12、用n 个不同的实数 n a a a ,,,21Λ可得到!n 个不同的排列，每个排列为一行写成一个!n 行的数阵。对第i 行in i i a a a ,,,21Λ，记in n i i i i na a a a b )1(32321-++-+-=，!,,3,2,1n i Λ=。例如：用1，2，3可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以，2412312212621-=?-?+-=+++b b b Λ，那么，在用1，2，3，4，5形成的数阵中， 12021b b b +++Λ=_______。 11. （天津卷）在数列{a n }中, a 1=1, a 2=2,且 )( )1(12* +∈-+=-N n a a n n n ，

历届高考数学压轴题汇总及答案

历届高考数学压轴题汇总及答案一、2019年高考数学上海卷：（本题满分18分）已知等差数列{}n a 的公差(0,]d π∈，数列{}n b 满足()sin n n b a =，集合 {}*|,n S x x b n N ==∈．（1）若120,3 a d π ==，求集合S ；（2）若12 a π = ，求d 使得集合S 恰好有两个元素；（3）若集合S 恰好有三个元素：n T n b b +=，T 是不超过7的正整数，求T 的所有可能的值．二、2019年高考数学浙江卷：(本小题满分15分) 已知实数0a ≠,设函数()=ln 0.f x a x x +> (Ⅰ)当34 a =-时,求函数()f x 的单调区间； (Ⅱ)对任意21[ ,)e x ∈+∞均有()2f x a ≤ 求a 的取值范围. 注： 2.71828e =为自然对数的底数.

设2 *012(1),4,n n n x a a x a x a x n n +=+++ +∈N .已知2 3242a a a =. （1）求n 的值；（2）设(1n a =+*,a b ∈N ，求223a b -的值. 四、2018年高考数学上海卷：(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分) 给定无穷数列{}n a ，若无穷数列{}n b 满足：对任意*n N ∈，都有1n n b a -≤，则称{}n b 与{}n a “接近”。 (1)设{}n a 是首项为1，公比为1 2 的等比数列，11n n b a +=+，*n N ∈，判断数列{}n b 是否与{}n a 接近，并说明理由； (2)设数列{}n a 的前四项为：12341,248a a a a ====,,，{}n b 是一个与{}n a 接近的数列，记集合1,2,|,4{3,}i M x x b i ===，求M 中元素的个数m ； (3)已知{}n a 是公差为d 的等差数列，若存在数列{}n b 满足：{}n b 与{}n a 接近，且在 2132201200,,,b b b b b b ﹣﹣﹣中至少有100个为正数，求d 的取值范围．

全国卷高考数学真题数列

高考数学——数列 17年全国I卷17、设为等比数列的前项和,已知 , (1)求的通项公式 (2)求，并判断是否成等差数列 17年全国II卷17题、已知等差数列的前n项和为，等比数列的前n项和为， (1)若，求的通项公式 (2)若求 17年全国III卷17题、设数列满足 (1)求的通项公式 (2)求数列的前n项和 16年全国I卷17题、已知是公差3为的等差数列，数列满足,

(1) 求的通项公式 (2) 求数列的前n项和 16年全国II卷17题、等差数列中， (1) 求的通项公式 (2设，求数列的前10项和，其中表示不超过x的最大整数，如 16年全国III卷17题、已知各项都为正数的数列满足 (1)求 (2) 求的通项公式 15年全国I卷7题、已知是公差为1的等差数列，为的前n项和，若，则 12 15年全国I卷13题、在数列中，为的前n项和.若（）

15年全国II卷5题、设为等差数列的前n项和，若 ,则 11 15年全国II卷9题、已知等比数列满足则 14年全国I卷17题、已知是递增的等差数列，是方程的根 (1) 求的通项公式 (2) 求数列的前n项和 14年全国II卷5题、等差数列的公差为2，若成等差数列，则的前n项和 14年全国II卷16题、数列满足 13年全国I卷6题、设首项为1，公比为的等比数列的前n项

和，则 13年全国I卷17题、已知等差数列的前n项和满足 (1) 求的通项公式 (2) 求数列的前n项和 13年全国II卷17题、已知等差数列的公差不为零，且成等比数列 (1) 求的通项公式 (2)求

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高考文科数学真题汇编：数列高考题老师版

-年高考文科数学真题汇编：数列高考题老师版

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学科教师辅导教案学员姓名年级高三辅导科目数学授课老师课时数 2h 第次课授课日期及时段 2018年月日： — ： 1．（2013安徽文）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，8374,2S a a ==-，则9a =（）（A ）6- （B ）4- （C ）2- （D ）2 【答案】A 2．（2012福建理）等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】B 3．（2014福建理）等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若132,12a S ==，则6a =( ) .8A .10B .12C .14D 【答案】C 4．(2017·全国Ⅰ理)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 【解析】设{a n }的公差为d ，由????? a 4＋a 5＝24， S 6＝48，得? ? ??? (a 1＋3d )＋(a 1＋4d )＝24， 6a 1＋6×5 2 d ＝48，解得d ＝4.故选C. 5．（2012辽宁文）在等差数列{a n }中，已知a 4+a 8=16，则a 2+a 10= (A) 12 (B) 16 (C) 20 (D)24 【答案】B 6.(2014新标2文) 等差数列{}n a 的公差是2，若248,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =（） A. (1)n n + B. (1)n n - C. (1)2n n + D. (1) 2 n n - 【答案】A 7．（2012安徽文）公比为2的等比数列{n a } 的各项都是正数，且 3a 11a =16，则5a =（） ()A 1 ()B 2 ()C 4 ()D 8 【答案】A 历年高考试题集锦——数列

高考数学真题汇编数列理(解析版)

2012高考真题分类汇编：数列一、选择题 1.【2012高考真题重庆理1】在等差数列}{n a 中，12=a ，54=a 则}{n a 的前5项和5S = A.7 B.15 C.20 D.25 【答案】B 【解析】因为12=a ，54=a ，所以64251=+=+a a a a ，所以数列的前5项和1562 52)(52)(542515=?=+=+=a a a a S ,选B. 2.【2012高考真题浙江理7】设n S 是公差为d （d ≠0）的无穷等差数列﹛a n ﹜的前n 项和，则下列命题错误的是 A.若d ＜0，则数列﹛S n ﹜有最大项 B.若数列﹛S n ﹜有最大项，则d ＜0 C.若数列﹛S n ﹜是递增数列，则对任意*N n ∈，均有0>n S D. 若对任意*N n ∈，均有0>n S ，则数列﹛S n ﹜是递增数列【答案】C 【解析】选项C 显然是错的，举出反例：—1，0，1，2，3，…．满足数列{S n }是递增数列，但是S n ＞0不成立．故选C 。 3.【2012高考真题新课标理5】已知{} n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=（） ()A 7 ()B 5 ()C -5 ()D -7 【答案】D 【解析】因为}{n a 为等比数列，所以87465-==a a a a ，又274=+a a ，所以2474-==a a ，或4274=-=a a ，.若2474-==a a ，，解得18101=-=a a ，，7101-=+a a ；若4274=-=a a ，，解得18110=-=a a ，，仍有7101-=+a a ，综上选 D. 4.【2012高考真题上海理18】设25 sin 1πn n a n =，n n a a a S +++= 21，在

高中数学数列练习题及答案解析

高中数学数列练习题及答案解析第二章数列 1．{an}是首项a1＝1，公差为d＝3的等差数列，如果an＝005，则序号n等于． A．667B．668C．669D．670 2．在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1＝3，前三项和为21，则a3＋a4＋a5＝． A．33B．7C．84D．189 3．如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，则． A．a1a8＞a4a5B．a1a8＜a4a5C．a1＋a8＜a4＋a5D．a1a8＝a4a5 4．已知方程＝0的四个根组成一个首项为｜m－n｜等于． A．1B．313C．D．8421的等差数列，则 5．等比数列{an}中，a2＝9，a5＝243，则{an}的前4项和为. A．81 B．120 C．1D．192 6．若数列{an}是等差数列，首项a1＞0，a003＋a004＞0，a003·a004＜0，则使前n项和Sn＞0成立的最大自然数n是． A．005B．006C．007D．008

7．已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列, 则a2＝． A．－4B．－6C．－8D．－10 8．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若 A．1B．－1 C．2D．1 a2?a1的值是． b2a5S5＝，则9＝． a3S599．已知数列－1，a1，a2，－4成等差数列，－1，b1，b2，b3，－4成等比数列，则 A．11111B．－C．－或D．2222 210．在等差数列{an}中，an≠0，an－1－an＋an＋1＝0，若S2n－1＝38，则n＝．第 1 页共页 A．38B．20 C．10D．9 二、填空题 11．设f＝1 2?x，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得f＋f＋…＋f＋…＋ f＋f的值为12．已知等比数列{an}中，若a3·a4·a5＝8，则a2·a3·a4·a5·a6＝．若a1＋a2＝324，a3＋a4＝36，则a5＋a6＝．若S4＝2，S8＝6，则a17＋a18＋a19＋a20＝. 82713．在和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，

三年高考(2016-2018)数学(理)真题分类解析：专题14-与数列相关的综合问题

专题14 与数列相关的综合问题考纲解读明方向分析解读 1.会用公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法求解不同类型数列的和.2.能综合利用等差、等比数列的基本知识解决相关综合问题.3.数列递推关系、非等差、等比数列的求和是高考热点,特别是错位相减法和裂项相消法求和.分值约为12分,难度中等. 2018年高考全景展示 1．【2018年浙江卷】已知成等比数列，且．若，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析:先证不等式，再确定公比的取值范围，进而作出判断. 详解：令则，令得，所以当时，，当时，，因此，若公比，则，不合题意；若公比，则

但，即，不合题意；因此，，选B. 点睛：构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方法.如 2．【2018年浙江卷】已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为________．【答案】27 【解析】分析：先根据等差数列以及等比数列的求和公式确定满足条件的项数的取值范围，再列不等式求满足条件的项数的最小值. 点睛：本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和.分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如），符号型（如），周期型（如）. 3．【2018年理数天津卷】设是等比数列，公比大于0，其前n项和为，是等差数列.已知，，，.

（I）求和的通项公式；（II）设数列的前n项和为，（i）求；（ii）证明. 【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)（i）.（ii）证明见解析. 【解析】分析：（I）由题意得到关于q的方程，解方程可得，则.结合等差数列通项公式可得（II）（i）由（I），有，则. （ii）因为，裂项求和可得. 详解：（I）设等比数列的公比为q.由可得.因为，可得，故.设等差数列的公差为d，由，可得由，可得从而故所以数列的通项公式为，数列的通项公式为（II）（i）由（I），有，故 . （ii）因为，所以. 点睛：本题主要考查数列通项公式的求解，数列求和的方法，数列中的指数裂项方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

2011到2016历年高考数学真题

参考公式：如果事件A、B互斥，那么球的表面积公式P(A B ) P(A)P(B) S 4R2 如果事件A、B相互独立，那么P(A B)P(A)P(B) 其中R表示球的半径球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么V 3 4 R3 n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率其中R表示球的半径 P(k)C n k n p k(1p)n k(k 0,1,2,…n) 2012年普通高等学校招生全国统一考试一、选择题 1、复数 13i 1i = A2+I B2-I C1+2i D1-2i 2、已知集合A＝{1.3.m}，B＝{1，m},A B＝A,则m= A0或3B0 或3C1或3D1或3 3椭圆的中心在原点，焦距为4一条准线为x=-4，则该椭圆的方程为x2y2x2y2 A+=1 B+=1 1612128 x2y2x2y2 C+=1D+=1 84124 4已知正四棱柱ABCD-A B C D中，AB=2，CC= 11111与平面BED的距离为22E为CC的中点，则直线AC 1 1 A2B3C2D1 （5）已知等差数列{a}的前n项和为S，a =5，S=15，则数列 n n55 的前100项和为 (A)100 101 (B) 99 101 (C) 99101 (D) 100100 （6）△ABC中，AB边的高为CD，若a·b=0，|a|=1，|b|=2，则

(A) （B ） (C) (D) 3 （7）已知α 为第二象限角，sin α ＋sin β = ，则 cos2α = (A) - 5 3 （B ） - 5 5 5 9 9 3 （8）已知 F1、F2 为双曲线 C ：x 2-y 2=2 的左、右焦点，点 P 在 C 上，|PF1|=|2PF2|，则 cos ∠F1PF2= 1 3 3 4 (A) 4 （B ） 5 (C) 4 (D) 5 1 （9）已知 x=ln π ，y=log52，，则 (A)x ＜y ＜z （B ）z ＜x ＜y (C)z ＜y ＜x (D)y ＜z ＜x (10) 已知函数 y ＝x 2-3x+c 的图像与 x 恰有两个公共点，则 c ＝（A ）-2 或 2 （B ）-9 或 3 （C ）-1 或 1 （D ）-3 或 1 （11）将字母 a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，梅列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（A ）12 种（B ）18 种（C ）24 种（D ）36 种 7 （12）正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 在边 AB 上，点 F 在边 BC 上，AE ＝BF ＝。动点 P 从 E 出发沿直线喜爱那个 F 运动，每当碰到正方形的方向的边时反弹，反弹时反射等于入射角，当点 P 第一次碰到 E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为（A ）16（B ）14（C ）12(D)10 二。填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上。（注意：在试题卷上作答无效）（13）若 x ，y 满足约束条件（14）当函数则 z=3x-y 的最小值为_________。取得最大值时，x=___________。（15）若的展开式中第 3 项与第 7 项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为 _________。（16）三菱柱 ABC-A1B1C1 中，底面边长和侧棱长都相等， BAA1=CAA1=50° 则异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为____________。三.解答题：（17）（本小题满分 10 分）（注意：在试卷上作答无效） △ABC 的内角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ，已知 cos （A-C ）＋cosB=1，a=2c ，求 c 。 3 (C) (D) z=e 2 3

历年高考理科数学真题汇编+答案解析(4)：数列

历年高考理科数学真题汇编+答案解析专题4数列（2020年版）考查频率：一般为2个小题或1个大题考试分值：10分~12分知识点分布：必修5 一、选择题和填空题（每题5分） 1．（2019全国I 卷理9）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则 A ．25n a n =- B ． 310n a n =- C ．228n S n n =- D ．2122 n S n n =-【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，依题意有???=+=+5 406411d a d a ，解之得???=-=231d a .∴1(1)25n a a n d n =+-=-，21(1)42n n n S na d n n -=+ =-.【答案】A 【考点】必修5等差数列 2.（2019全国I 卷理14）记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若2 14613a a a ==，，则S 5=____________．【解析】由246a a =可得，26511a q a q =，11a q =，∴3q =.∴551(13)1213133 S -==-.【考点】必修5等比数列 3．（2019全国III 卷理5）已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5=3a 3+4a 1，则a 3=A ．16B ．8C ．4D ．2 【解析】由题意可得，23142111 (1)1534a q q q a q a q a ?+++=?=+?，解得2q =，11a =.∴2314a a q ==.【答案】C 【考点】必修5等比数列

4．（2019全国III 卷理14）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，12103a a a =≠，，则 105S S =___________.【解析】∵12103a a a =≠，，∴2113a a d a =+=，即12d a =.∵1011111091010901002S a d a a a ?=+ =+=，51111545520252 S a d a a a ?=+=+=.∴ 1054S S =.【答案】4 【考点】必修5等差数列5．（2018全国I 卷理4）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若3243S S S =+，12a =，则= 5a A ．12-B ．10-C ．10D ．12 【解析】由4213S S S +=得，)64()2()33(3111d a d a d a +++=+，解得32 31-=- =a d ，∴10122415-=-=+=d a a . 【答案】B 【考点】必修5等差数列6．（2018全国I 卷理14）记n S 为数列{}n a 的前n 项和.若21n n S a =+，则6S =_____________．【解析】当n ＝1时，1121a a =+，解得11a =-；当n ≥2时，有1121n n S a --=+，21n n S a =+，二式相减，得122n n n a a a -=-，化简得12n n a a -=. 所以{a n }是一个以－1为首项，以2为公比的等比数列.所以661(12)6312 S -?-==--.【答案】－63 【考点】必修5等比数列 7．（2017全国I 卷理4）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为 A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 【解析】由题意得4512724a a a d +=+=，6161548S a d =+=，解得4d =. 【答案】C 【考点】必修5等差数列 8．（2017全国I 卷理11）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知

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