第1讲-绝对值和绝对值不等式的解法

第1讲 绝对值和绝对值不等式的解法

5.1 绝对值的概念

定义：我们把数轴上表示一个数的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值．

例如，2-到原点的距离等于2，所以22-=．这一定义说明了绝对值的几何定义，从这一定义中很容易得到绝对值的求法：,00,0,0a a a a a a >??==??-

．

5.1.1 绝对值的性质

【例1】到数轴原点的距离是2的点表示的数是（ ）

A ．±2

B ．2

C ．-2

D ．4

解：A

【例2】已知|x |=5，|y |=2，且xy ＞0，则x -y 的值等于（ ）

A ．7或-7

B ．7或3

C ．3或-3

D ．-7或-3

解：C

当a 、b 、c 都是正数时，M = ______；

当a 、b 、c 中有一个负数时，则M = ________；

当a 、b 、c 中有2个负数时，则M = ________；

当a 、b 、c 都是负数时，M =__________ ．

解：3；1，1-，3-． 练习1：已知a b c ，，是非零整数，且0a b c ++=，求a b c abc a b c abc

+++的值 解：由于0a b c ++=，且a b c ，，是非零整数，则a b c ，，一正二负或一负二正，

（1）当a b c ，，一正二负时，不妨设000a b c ><<，，，原式11110=--+=；

（2）当a b c ，，一负二正时，不妨设000a b c <>>，，，原式11110=-++-=．

原式0=．

【例4】若42a b -=-+，则_______a b +=．

解：424204,2a b a b a b -=-+?-++=?==-，所以2a b +=．

结论：绝对值具有非负性，即若0a b c ++=，则必有0a =，0b =，0c =．

练习1：()2

120a b ++-=， a =________；b =__________

解：1,2a b =-=．

练习2：若7322102

m n p ++-+-=，则23_______p n m +=＋． 解：由题意，713,,22m n p =-==，所以13237922

p n m m +==+-=-＋． 5.1.2 零点分段法去绝对值

对于绝对值，我们经常用到的一种方法是去绝对值，一般采用零点分段法，零点分段法的一般步骤：①找零

点→②分区间→③定符号→④去绝对值符号．

【例5】阅读下列材料并解决相关问题： 我们知道()()()

0000x x x x x x >??==??-

x x ++-时，可令10x +=和20x -=，分别求得12x x =-=，（称12-，分别为1x +与2x -的零点值）

，在有理数范围内，零点值1x =-和2x =可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下3种情况：

⑴当1x ≤-时，原式()()1221x x x =-+--=-+

⑵当12x -<<时，原式()123x x =+--=

⑶当2x ≥时，原式1221x x x =++-=-

综上讨论，原式()()()

211312212x x x x x -+≤-??=-<

通过阅读上面的文字，请你解决下列的问题：

（1）别求出2x +和4x -的零点值

解：令20x +=，解得2x =-，所以2x =-是2x +的零点；令40x -=，解得4x =，所以4x =是4x -的

零点．

（2）化简代数式24x x ++-

解：⑴当2x ≤-时，原式()()2422x x x =-+--=-+；

⑵当24x -<<时，原式()()246x x =+--=；

⑶当x ≥4时，原式2422x x x =++-=-．

综上讨论，原式()()()

222624224x x x x x -+≤-??=-<

（3）化简代数式122y x x =-+-

解：当1x ≤时，53y x =-；

当12x <<时，3y x =-；

当2x ≥时，35y x =-．

综上讨论，原式

()

()

()

531

312

352

x x

x x

x x

-≤

?

?

=-<<

?

?

-≥

?

．

5.1.3 绝对值函数

常见的绝对值函数是：

,0

,0

x x

y

x

x x

≥

?

==?

-<

?

，其图象是

绝对值函数学习时，要抓关键点，这里的关键点是0

x=．思考如何画y x a

=-的图象？

我们知道，x表示x轴上的点x到原点的距离；x a

-的几何意义是表示x轴上的点x到点a的距离．【例6】画出1

y x

=-的图像

解：（1）关键点是1

x=，此点又称为界点；

（2）接着是要去绝对值

当1

x≤时，1

y x

=-；当1

x>时，1

y x

=-．

（3）图像如右图

说明：此题还可以考虑该图像可由y=|x|的图象向右平移一个单位后得到

练习1.（1）画出2

y x

=-的图像；（2）画出2

y x

=的图像

【例7】画出122

y x x

=-+-的图象

解：（1）关键点是1

x=和2

x=

（2）去绝对值

当1

x≤时，53

y x

=-；

当12

x

<<时，3

y x

=-；

当2

x≥时，35

y x

=-．

（3）图象如右图所示．

【例8】 画出函数223y x x =-++的图像 解：（1）关键点是0x = （2）去绝对值： 当0x ≥时，223y x x =-++； 当0x <时，223y x x =--+

（3）可作出图像如右图

【例9】 画出函数232y x x =-+的图像

解：（1）关键点是1x =和2x =

（2）去绝对值：

当1x ≤或2x ≥时，232y x x =-+；

当12x <<时，232y x x =-+-

（3）可作出图像如右图

1．35

-=________；3π-=________；3.1415π-=_____； 2．2215x y -+-=，4x =，则y =__________．

3．若0a a +=，那么a 一定是（ ）

A ．正数

B ．负数

C ．非正数

D ．非负数

4．若x x >，那么x 是________数．

5．如图，化简22a b b c a c +------=_____________

6．已知2

(2)210x y -+-=，则2x y +=_______．

7．化简12x x +++，并画出12y x x =+++的图象

8．化简523x x ++-．

9.画出23

y x

=+

的图像

10.画出223

y x x

=-++的图像

答案：

1．

3

5

；3

π-； 3.1415

π- 2．2或1

- 3．C 4．负 5．-4 6．3

7．

23,2

1,21

23,1

x x

y x

x x

--≤-

?

?

=-<<-

?

?+≥-

?

，图象如下 8．

32,5

3

8,5

2

3

32,

2

x x

y x x

x x

?

?--≤-

?

?

=--<<

?

?

?

+≥

??

9．如图所示 10．如图所示

5.2 绝对值不等式

到了高中，绝对值不等式需要强调的有两点：一是由定义引出的绝对值的几何意义的应用；二是代数意义上的分类讨论，其中几何意义的应用主要涉及到有关绝对值不等式的解法，而分类讨论的思想就体现为去绝对值、画绝对值函数图象、解绝对值不等式．

【例1】解方程：21

x-=．

解：原方程变为21

x-=±，∴3

x=或1

x=．

【例2】解不等式1

x<．

解：x对应数轴上的一个点，由题意，x到原点的距离小于1，很容易知道到原点距离等于1的点有两个：

1-和1，自然只有在1-和1之间的点，到原点的距离才小于1，所以x 的解集是{|11}x x -<<．

练习1．解不等式：（1）3x <； （2

）

3x > （3）2x ≤

解：（1）{|33}x x -<< （2）{|33}x x x <->或 （3）{|22}x x -≤≤

结论：（1）(0)x a a <>的解集是{|}x a x a -<<，如图1．

（2）(0)x a a >>的解集是{|}x x a x a <->或，如图2．

【例3】解不等式 21x -<． 解：由题意，121x -<-<，解得13x <<，所以原不等式的解集为{|13}x x <<．

结论：（1）(0)ax b c c c ax b c +<>?-<+<．

（2）(0)ax b c c ax b c +>>?+>或ax b c +<-

练习1：解不等式：（1）103x -<；（2）252x ->；（3）325x -≤；

解：（1）由题意，3103x -<-<，解得713x <<，所以原不等式的解集为{|713}x x <<．

（3）由题意，252x ->或252x -<-，解得72x >或32x <，，所以原不等式的解集为73{|}22

x x x ><或． （3）由题意，5325x -<-≤，解得14x -≤≤，所以原不等式的解集为{|14}x x -≤≤．

练习2：解不等式组2405132x x ?--≤??-+>??

． 解：由240x --≤，得424x -≤-≤，解得26x -≤≤，①

由5132x -+>，得133x +<，即3133x -<+<，解得4233

x -

<<，② 由①②得，4233x -<<，所以原不等式的解集为42{|}33x x -<<． 练习3：解不等式1215x ≤-<．

解：方法一：由215x -<，解得23x -<<；由121x ≤-得，0x ≤或1x ≥，

联立得2013x x -<<≤<或，所以原不等式的解集为{|2013}x x x -<<≤<或．

方法二：12151215x x ≤-

【例4】解不等式：4321x x ->+

解：方法一：（零点分段法）

（1）当34x ≤

时，原不等式变为：(43)21x x -->+，解得13x <，所以13

x <； （2）当34

x >时，原不等式变为：4321x x ->+，解得2x >，所以2x >； 综上所述，原不等式的解集为1{|2}3

x x x <>或． 方法二：43214321x x x x ->+?->+或43(21)x x -<-+，解得13

x <或2x >，所以原不等式的解集为1{|2}3

x x x <>或． 结论：（1）()()()ax b f x f x ax b f x +?+>或()ax b f x +<-．

练习4：解不等式：431x x -≤+． 解：由431x x -≤+得(1)431x x x -+≤-≤+，解得

2453x ≤≤，原不等式的解集为24{|}53x x ≤≤．

【例5】解方程：（1）213x x ++-= （2）215x x ++-=

（3）314x x +--= （4）324x x +--=

【初中知识链接】在三角形中，三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，这个结论反映在数轴上是这样的：

若a 和b 是数轴上的两个数，那么当a x b <<时，数x 到a 和b 的距离之和等于a 与b 的距离；当x a <或x b >时，数x 到a 和b 的距离之差的绝对值，等于a 与b 的距离．

以上所有问题都可以用此方法解决．

解：（1）等式左边式子21x x ++-的几何意义是，实数x 到2-和1的距离之和，而2-和1的距离之和也刚好是3，容易知道，当x 位于2-和1之间时，x 到2-和1的距离之和就刚好为3，所以x 的取值范围是21x -≤≤．

（2）等式左边式子的几何意义是，实数x 到2-和1的距离之和，由于2-和1的距离是3，所以x 一定在2-和1的两边，经过计算，可知当x 位于3-和2时，满足条件．

（3）等式左边式子的几何意义是，实数x 到3-和1的距离之差，由于3-和1的距离刚好是4，所以当x 位

于3-到1的两边时，x 到3-和1的距离之差刚好为4，x 的取值范围是3x ≤-或1x ≥．

（4）等式左边式子的几何意义是，实数x 到3-和2的距离之差，由于3-和1的距离刚好是5，所以x 一定位于3-到2之间，可知当x 位于52-和32

时，满足条件． 【例6】解不等式：215x x ++-<

方法1：利用零点分区间法（推荐）

分析:由01=-x ，02=+x ，得1=x 和2=x ．2-和1把实数集合分成三个区间，即2-x ，按这三个区间可去绝对值，故可按这三个区间讨论．

解：当2x <-时，得2(1)(2)5

x x x <-??---+

当12≤≤-x 时，得21(1)(2)5x x x -≤≤??--++

， 解得：12≤≤-x ； 当1>x 时，得1(1)(2)5

x x x >??-++

说明:(1)原不等式的解集应为各种情况的并集；

(2)这种解法又叫“零点分区间法”，即通过令每一个绝对值为零求得零点，求解应注意边界值．

方法2：利用绝对值的几何意义 解：215x x ++-<的几何意义是数轴上的点x 到1和2-的距离之和小于5的点所对应的取值范围，由数轴可知，1(2)35--=<，易知当3x =-或2x =时，215x x ++-=，所以x 位于3-和2之间（不含端点），所以32x -<<，所以原不等式的解集为{}23<<-x x ．

说明：选择题和填空题中，利用绝对值的几何意义解含有两个绝对值不等式优势明显．

练习1．217x x ++-<

解：{|43}x x -<<

练习2．解不等式：324x x +--≤ 解：3{|}2

x x ≤

练习3．23228x x ++-≤

解：97{|}44x x -≤≤ 【例7】解不等式：123x x x -+->+

解：当1x <时，原不等式变为：312x x x -+->+，解得：0x <；

当12x ≤≤时，得312x x x -+->+，无解

当2x >时，得312x x x -+->+，解得：6x >．

综上，原不等式的解集为{|06}x x x <>或．

【例8】解关于x 的不等式231x a +-<

解：原不等式变为231x a +<+

（1）当1a ≤-时，10a +≤，原不等式无解；

（2）当1a >-时，(1)231a x a -+<+<+，解得2122

a a x --<<-． 综上所述，当1a ≤-时，原不等式无解；当1a >-时，原不等式的解集为21{|}22x a a x -

-<<-．

1.已知6a <-，化简26a -( )

A. 6a -

B. 6a --

C. 6a +

D. 6a -

2.不等式23x +<的解是 ，不等式12

11<-

x 的解是______________. 3.不等式830x -≤的解是______________. 4.根据数轴表示,,a b c 三数的点的位置，化简a b a c b c +++--= ___ .

a 0b c

5.解不等式329x ≤-<

6.解不等式124x x ++-<

7.解下列关于x 的不等式：1235x ≤-<

8.解不等式3412x x ->+

9．解不等式：122x x x -+-<+

答案

1.B

2. {|51}x x -<<；{|04}x x <<

3. 3

{}8

4.0

5. {|71511}x x x -<≤-≤<或

6. 3

5

{|}22x x -<<

7. {|1124}x x x -<≤≤<或 8. 3

{|5}5x x x <>或

9．1

{|5}3x x <<