2019版高考数学一轮总复习坐标系与参数方程题组训练89坐标系理

题组训练89 坐标系1．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝5x ，y ′＝3y后，曲线C 变为曲线x ′2＋y ′2＝1，则曲线C 的方程为( ) A ．25x 2＋9y 2＝1 B ．9x 2＋25y 2＝1 C ．25x ＋9y ＝1 D.x 225＋y29＝1 答案 A2．化极坐标方程ρ2cos θ－ρ＝0为直角坐标方程为( ) A ．x 2＋y 2＝0或y ＝1 B ．x ＝1 C ．x 2＋y 2＝0或x ＝1 D ．y ＝1答案 C3．在极坐标系中，极坐标为(2，π6)的点到极点和极轴的距离分别为( )A ．1，1B ．1，2C ．2，1D ．2，2答案 C解析 点(ρ，θ)到极点和极轴的距离分别为ρ，ρ|sin θ|，所以点(2，π6)到极点和极轴的距离分别为2，2sin π6＝1.4．在极坐标系中，点(2，－π3)到圆ρ＝－2cos θ的圆心的距离为( ) A ．2 B.4＋π29C.9＋π29D.7答案 D解析 在直角坐标系中，点(2，－π3)的直角坐标为(1，－3)，圆ρ＝－2cos θ的直角坐标方程为x 2＋y 2＝－2x ，即(x ＋1)2＋y 2＝1，圆心为(－1，0)，所以所求距离为（1＋1）2＋（－3－0）2＝7.故选D.5．(2017²皖北协作区联考)在极坐标系中，直线ρ(3cos θ－sin θ)＝2与圆ρ＝4sin θ的交点的极坐标为( )A ．(2，π6)B ．(2，π3)C ．(4，π6)D ．(4，π3)答案 A解析 ρ(3cos θ－sin θ)＝2可化为直角坐标方程3x －y ＝2，即y ＝3x －2. ρ＝4sin θ可化为x 2＋y 2＝4y ，把y ＝3x －2代入x 2＋y 2＝4y ，得4x 2－83x ＋12＝0，即x 2－23x ＋3＝0，所以x ＝3，y ＝1.所以直线与圆的交点坐标为(3，1)，化为极坐标为(2，π6)，故选A. 6．在极坐标系中，与圆ρ＝4sin θ相切的一条直线的方程是( ) A ．ρsin θ＝2 B ．ρcos θ＝2 C ．ρcos θ＝4 D ．ρcos θ＝－4答案 B解析 方法一：圆的极坐标方程ρ＝4sin θ即ρ2＝4ρsin θ，所以直角坐标方程为x 2＋y 2－4y ＝0.选项A ，直线ρsin θ＝2的直角坐标方程为y ＝2，代入圆的方程，得x 2＝4，∴x ＝±2，不符合题意；选项B ，直线ρcos θ＝2的直角坐标方程为x ＝2，代入圆的方程，得(y －2)2＝0，∴y ＝2，符合题意．同理，以后选项都不符合题意． 方法二：如图，⊙C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ，CO ⊥Ox ，OA 为直径，|OA|＝4，直线l 和圆相切， l 交极轴于点B(2，0)，点P(ρ，θ)为l 上任意一点， 则有cos θ＝|OB||OP|＝2ρ，得ρcos θ＝2.7．在极坐标系中，曲线ρ2－6ρcos θ－2ρsin θ＋6＝0与极轴交于A ，B 两点，则A ，B 两点间的距离等于( ) A. 3 B ．2 3 C ．215 D ．4答案 B解析 化极坐标方程为直角坐标方程得x 2＋y 2－6x －2y ＋6＝0，易知此曲线是圆心为(3，1)，半径为2的圆，如图所示．可计算|AB|＝2 3.8．在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的圆心的极坐标是________，它与方程θ＝π4(ρ>0)所表示的图形的交点的极坐标是________． 答案 (1，0)，(2，π4) 解析 ρ＝2cos θ表示以点(1，0)为圆心，1为半径的圆，故圆心的极坐标为(1，0)． 当θ＝π4时，ρ＝2，故交点的极坐标为(2，π4)．9．(2018²广州综合测试一)在极坐标系中，直线ρ(sin θ－cos θ)＝a 与曲线ρ＝2cos θ－4sin θ相交于A ，B 两点，若|AB|＝23，则实数a 的值为________． 答案 －5或－1解析 将直线ρ(sin θ－cos θ)＝a 化为普通方程，得y －x ＝a ，即x －y ＋a ＝0，将曲线ρ＝2cos θ－4sin θ的方程化为普通方程，得x 2＋y 2＝2x －4y ，即(x －1)2＋(y ＋2)2＝5，圆心坐标为(1，－2)，半径长为r ＝ 5.设圆心到直线AB 的距离为d ，由勾股定理可得d ＝r 2－（|AB|2）2＝5－（232）2＝2，而d ＝|1－（－2）＋a|12＋（－1）2＝|a ＋3|2＝2，所以|a ＋3|＝2，解得a ＝－5或a ＝－1.10．(2017²天津，理)在极坐标系中，直线4ρcos(θ－π6)＋1＝0与圆ρ＝2sin θ的公共点的个数为________． 答案 2解析 依题意，得4ρ(32cos θ＋12sin θ)＋1＝0，即23ρcos θ＋2ρsin θ＋1＝0，所以直线的直角坐标方程为23x ＋2y ＋1＝0.由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，所以圆的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y ，即x 2＋(y －1)2＝1，其圆心(0，1)到直线23x ＋2y ＋1＝0的距离d ＝34<1，则直线与圆的公共点的个数是2.11．在极坐标系中，曲线ρ2－10ρcos θ－2ρsin θ＋10＝0与极轴交于M 、N 两点，则|MN|＝________． 答案 215解析 ∵M、N 两点在极轴上，∴其极角θ＝0°，代入方程中得ρ2－10ρ＋10＝0， ∴(ρ－5)2＝15，ρ＝5±15，令M 、N 对应极径为ρM 和ρN ，则|MN|＝|ρM －ρN |＝215.12．(2018²河北冀州中学月考)直线2ρcos θ＝1与圆ρ＝2cos θ相交的弦长为________． 答案3解析 直线的方程为2x ＝1，圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0，圆心为(1，0)，半径r ＝1，圆心到直线的距离为d ＝|2－1|22＋0＝12.设所求的弦长为l ，则12＝(12)2＋(l 2)2，解得l ＝ 3. 13．在极坐标系中，设曲线C 1：ρ＝2sin θ与C 2：ρ＝2cos θ的交点分别为A ，B ，则线段AB 的垂直平分线的极坐标方程为________．答案 ρsin θ＋ρcos θ＝1(或ρsin(θ＋π4)＝22)解析 曲线C 1：ρ＝2sin θ的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 2：ρ＝2cos θ的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，所以AB 的方程为－x ＋y ＝0.又易知AB 的垂直平分线斜率为－1，经过圆C 1的圆心(0，1)，所以AB 的垂直平分线的方程为x ＋y －1＝0，化为极坐标方程为ρsin θ＋ρcos θ＝1，或化成ρsin(θ＋π4)＝22.14．在极坐标系中，直线ρsin(θ＋π4)＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________．答案 4 3解析 直线ρsin(θ＋π4)＝2的直角坐标方程为x ＋y －22＝0，圆ρ＝4的直角坐标方程为x 2＋y 2＝16.圆心的坐标是(0，0)，半径是4，圆心到直线的距离d ＝|－22|12＋12＝2，所以直线ρsin(θ＋π4)＝2被圆ρ＝4截得的弦长是242－22＝4 3.15．(2018²广东肇庆一模)已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2(ρ>0，0≤θ<2π)，曲线C 在点(2，π4)处的切线为l ，以极点为坐标原点，以极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则l 的直角坐标方程为________． 答案 x ＋y －22＝0解析 根据极坐标与直角坐标的转化公式可以得到曲线ρ＝2⇒x 2＋y 2＝4，点(2，π4)⇒(2，2)．因为点(2，2)在圆x 2＋y 2＝4上，故圆在点(2，2)处的切线方程为2x ＋2y＝4⇒x ＋y －22＝0，故填x ＋y －22＝0.16．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C 的圆心的极坐标为(2，π4)，半径r ＝2，点P 的极坐标为(2，π)，过P 作直线l 交圆C 于A ，B 两点．(1)求圆C 的直角坐标方程； (2)求|PA|²|PB|的值．答案 (1)(x －1)2＋(y －1)2＝2 (2)8 解析 (1)圆C 的圆心的极坐标C(2，π4)， ∴x ＝2cos π4＝1，y ＝2sin π4＝1，∴圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.(2)点P 的极坐标为(2，π)，化为直角坐标为P(－2，0)． 当直线l 与圆C 相切于点D 时，则|PD|2＝|PC|2－r 2＝(－2－1)2＋(0－1)2－(2)2＝8. ∴|PA|²|PB|＝|PD|2＝8.17．(2018²河北唐山模拟)在极坐标系Ox 中，直线C 1的极坐标方程为ρsin θ＝2，M 是C 1上任意一点，点P 在射线OM 上，且满足|OP|²|OM|＝4，记点P 的轨迹为C 2. (1)求曲线C 2的极坐标方程；(2)求曲线C 2上的点到直线C 3：ρcos(θ＋π4)＝2距离的最大值．答案 (1)ρ＝2sin θ(ρ≠0) (2)1＋322解析 (1)设P(ρ，θ)，M(ρ1，θ)，依题意有 ρ1sin θ＝2，ρρ1＝4.消去ρ1，得曲线C 2的极坐标方程为 ρ＝2sin θ(ρ≠0)．(2)将C 2，C 3的极坐标方程化为直角坐标方程，得C 2：x 2＋(y －1)2＝1，C 3：x －y ＝2. C 2是以点(0，1)为圆心，以1为半径的圆，圆心到直线C 3的距离d ＝322，故曲线C 2上的点到直线C 3距离的最大值为1＋322.18．(2017²广东珠海质检)在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程是ρcos(θ－π4)＝22，圆C 的极坐标方程是ρ＝4sin θ.(1)求l 与C 交点的极坐标；(2)设P 为C 的圆心，Q 为l 与C 交点连线的中点，已知直线PQ 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t ＋a ，y ＝b 23t ＋1(t 为参数)，求a ，b 的值．答案 (1)(4，π2)或(22，π4) (2)a ＝－1 b ＝2解析 (1)将ρ＝4sin θ代入ρcos(θ－π4)＝22，得sin θcos θ＝cos 2θ，所以cos θ＝0或tan θ＝1，取θ＝π2或θ＝π4.再由ρ＝4sin θ得ρ＝4或ρ＝2 2.所以l 与C 交点的极坐标是(4，π2)或(22，π4)．(2)∵圆C 的极坐标方程是ρ＝4sin θ，∴圆C 的直角坐标方程是x 2＋(y －2)2＝4.即P 点坐标为(0，2)． 由(1)知l 与C 交点的直角坐标为(0，4)，(2，2)．即Q 点的直角坐标为(1，3)．将PQ 的参数方程化为普通方程得y ＝b2(x －a)＋1.将P ，Q 两点坐标代入，得⎩⎪⎨⎪⎧2＝－ab2＋1，3＝b 2（1－a ）＋1，解得a ＝－1，b ＝2.1．(2015²北京)在极坐标系中，点(2，π3)到直线ρ(cos θ＋3sin θ)＝6的距离为________． 答案 1解析 点(2，π3)的直角坐标为(1，3)，直线ρ(cos θ＋3sin θ)＝6的直角坐标方程为x ＋3y －6＝0，所以点(1，3)到直线的距离d ＝|1＋3³3－6|1＋3＝1.2．(2016²北京)在极坐标系中，直线ρcos θ－3ρsin θ－1＝0与圆ρ＝2cos θ交于A ，B 两点，则|AB|＝________． 答案 2解析 将直线ρcos θ－3ρsin θ－1＝0化为直角坐标方程为x －3y －1＝0，将圆ρ＝2cos θ化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x ，则圆心坐标(1，0)，半径为1，由于圆心(1，0)在直线x －3y －1＝0上，因此|AB|＝2.3．(2014²陕西)在极坐标系中，点(2，π6)到直线ρsin(θ－π6)＝1的距离是________．答案 1解析 ρsin(θ－π6)＝ρ(sin θcos π6－sin π6cos θ)＝1，因为在极坐标系中，ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ， 所以直线可化为x －3y ＋2＝0. 同理点(2，π6)可化为(3，1)，所以点到直线距离d ＝|3－3＋2|3＋1＝1.4．在极坐标系中，已知圆ρ＝2cos θ与直线4ρcos θ＋3ρsin θ＋a ＝0相切，则a ＝________． 答案 1或－9解析 圆ρ＝2cos θ即ρ2＝2ρcos θ，即(x －1)2＋y 2＝1，直线4ρcos θ＋3ρsin θ＋a ＝0，即4x ＋3y ＋a ＝0，已知圆ρ＝2cos θ与直线4ρcos θ＋3ρsin θ＋a ＝0相切， ∴圆心到直线的距离等于半径． 即|4＋0＋a|42＋32＝1，解得a ＝1或－9. 5．(2015²安徽)在极坐标系中，圆ρ＝8sin θ上的点到直线θ＝π3(ρ∈R )距离的最大值是________． 答案 6解析 由ρ＝8sin θ⇒ρ2＝8ρsin θ⇒x 2＋y 2－8y ＝0，x 2＋(y －4)2＝16，圆心坐标为(0，4)，半径r ＝4.由θ＝π3⇒y ＝3x ，则圆心到直线的距离d ＝2.∴圆上的点到直线距离的最大值为2＋4＝6.6．在极坐标系中，曲线C 1：ρ＝2与曲线C 2：ρ＝4sin θ(π2<θ<π)交点的极坐标是________．答案 (2，5π6)解析 由题意分析可得，曲线C 1是圆心为(0，0)，半径为2的圆，曲线C 1的方程为x 2＋y2＝4.对ρ＝4sin θ变形得ρ2＝4ρsin θ，所以曲线C 2的方程为x 2＋y 2＝4y.联立两个方程，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝1，或⎩⎨⎧x ＝－3，y ＝1.又∵π2<θ<π，∴交点为(－3，1)，转化为极坐标ρ＝2，tan θ＝1－3，由题意θ＝5π6，所以交点的极坐标为(2，5π6)．7．(2017²唐山模拟)已知圆C ：x 2＋y 2＝4，直线l ：x ＋y ＝2.以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系． (1)将圆C 和直线l 的方程化为极坐标方程；(2)P 是l 上的点，射线OP 交圆C 于点R ，又点Q 在OP 上且满足|OQ|²|OP|＝|OR|2，当点P 在l 上移动时，求点Q 轨迹的极坐标方程．答案 (1)C ：ρ＝2 l ：ρ(cos θ＋sin θ)＝2 (2)ρ＝2(cos θ＋sin θ)(ρ≠0) 解析 (1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入圆C 和直线l 的直角坐标方程得其极坐标方程为 C ：ρ＝2，l ：ρ(cos θ＋sin θ)＝2.(2)设P ，Q ，R 的极坐标分别为(ρ1，θ)，(ρ，θ)，(ρ2，θ)， 则由|OQ|²|OP|＝|OR|2得ρρ1＝ρ22. 又ρ2＝2，ρ1＝2cos θ＋sin θ，所以2ρcos θ＋sin θ＝4，故点Q 轨迹的极坐标方程为ρ＝2(cos θ＋sin θ)(ρ≠0)．8．(2014²辽宁)将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.(1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．答案 (1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cost ，y ＝2sint ，(t 为参数) (2)ρ＝34sin θ－2cos θ解析 (1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为C 上点(x ，y)，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝2y 1，由x 12＋y 12＝1得x 2＋(y 2)2＝1，即曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1.故C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cost ，y ＝2sint ，(t 为参数)(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.不妨设P 1(1，0)，P 2(0，2)，则线段P 1P 2的中点坐标为(12，1)，所求直线斜率为k ＝12，于是所求直线方程为y －1＝12(x －12)，化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，即ρ＝34sin θ－2cos θ.。