一般混合变分不等式的捆集近似算法

解 ， 而得 到迭 代点 ． 进 我们 首先介 绍迭代 序列 的构造 方法 以及近似 点 Ｙ 适 当性 的判 断条件 ， 其次 ，在迭 代步 长远 离零 点有 界 和映 象 满 足 伪 Ｄ ｎ ｕ ｎ性质 的条 件下 ，证 明迭 代 序列 的有 界性 ，最后 证 明迭代 序列 的 弱极 限点都 是 问题 （） １ 的解 ．我 们所获 得 的结果 推广 了 Ｃ ｈｎ３ ｏｅ ［， ］ Ｓ ｌ ｎ Ｓｒｄｏ 和 Ｎｇ ｙ ｎ１ ， ｗ ｅ［】 ａ ｍｏ ， ｔｏ ｉｔ ｕ ｅ ［ＪＫｉ ｉ １ 以及 Ｚ ｕ和 Ｍａｃｔｅ ３ 中的相应 结果 ． ７ ｌ１ ｈ ｒｏｔ［ 】 ２
Ｎ． ｏ ４
夏福全等：一般混合变分不等式的捆集近似算法
８７ ６
另一方 面 ，当 ｆ＝０时 ，问题 （） 化为 经典 的变分 不等 式 问题 ：求 Ｘ １退 ∈Ｘ， 使得 对任 意 的 Ｙ∈Ｘ， 有 （ ｘ ）Ｙ—Ｘ ） ０ Ｔ（ ， ． （） ２
对于经典变分不等式 （ 的研究已有很多结果，可参见文献 ［ １，０． ２ ） ７ ８ ２］ ， 由于一般混合变分不等式在很多方面都有着重要的应用， 比如， 机械 问题 （ 参见文献 【 ］ １） ４， 平衡 问题 （ 文献 ［ １］ 故 求解 一般混 合变 分不 等 式的算 法及 其变 形 有很 多 （ 文献 参见 ４ ０） ， ， 参见 ［ ， １２】 当 是极 大单调 映象 时 ，最 著名 的方法 之 一是近 似算 法 （ 见 Ｒ ｃａｅａ［】 １ ２—２） ７ ． 参 ｏｋｆｌｒ５ ， ｌ １） 具体方 法是 求算 子 ＋Ｏｆ＋Ｃ 的零 点 ，其迭 代步 骤是 （ ｘ） Ｘ＋ ＝［＋ｕ （ ｋ Ｔ＋Ｏ ｆ ｘ ） ） （ ＋ ）一 （ ， ］ 其中 ｛ ｝ 是正实数序列． Ｃ ｈｎ。在 Ｈｌｅｔ空间 中发展 了求解 广义 混合 变分 不等 式的 一般算 法 ，其理 论 依据在 ｏｅ ［ 】 ｉ ｒ ｂ 于辅助 原理 ．他 的方法 推广 了所 谓的 向前 一向后 算法 ，具体 是 ：设 Ｑ 在 空间 上是 强单 调 Ｌｐｃｉ ｉｓｈｔ ｚ连续 的 ， ｛ ）∈ 是 正实数 序列 ．在 迭代 的第 ｋ步所考 虑 的子 问题如 下 Ⅳ
－
Ｘ＋ ∈［ Ｑ＋＃ Ｏｆ Ｋ ］ ［ ｋ （＋ ） 一 Ｑ一
】 ， （ ）
即选 取 ｒｘ ） （ ∈Ｔ（ ， Ｘ ＋ ｘ ）求 ∈Ｘ， 使得对 任意 的 ∈Ｘ， 有
（ Ｐ ） （ ） ｉ ［（ ＋ ） （ ） —Ｘ＋ ） （） 厂 ０ Ａ （ ＋ ｘ 一Ｑ 】 ａ ， ＋ｆｘ 一． ＋ ） （
在 Ｃ ｈ ｎ。 ｏｅ ［ 】中， Ｑ选 取 为某个 连续 可微 且强 凸泛 函 ｈ的梯度 ，而 且假 设 Ｑ是 Ｌｐｃ ｉ ｉｓｈｔ ｚ连
续的．在这些假设下，上述的迭代子问题等价于下面的优化 问题：选取 ｒ ∈Ｔ ｘ ） 求 （） ｘ （ ，
＋ ∈Ｘ， 使得
ｘｋ １ ＋
＝ａｇ ｛ ） ｒ ｋ， ） ［（） （ｋ 一（ ｈｘ ） ～ ） ｒ ＋（ ｘ ） （ 一 ＋ ＾ｚ 一ｈｘ ） Ｖ （ｋ， ］ ｚ ｝
摘要：该文研究 了一般混合变分不等式解 的捆集近似算法 ．该方法综合应用 Ｃ ｈ ｎ圳所介绍 ｏｅ［ 的辅助原理 和 Ｋｉ ｅ［ １ ｗｉｌ 所介绍的关于非光滑凸优 化的捆集 Ｂ ｅ ｍａ ｕ ｒｇ ｎ近似方法，构造迭代序
列 ｛“． ｝ 在迭代算法的每一步，通过 求解 迭代 子问题获得当前迭代点 ｚ ． 一方面 ， ｚ 是迭 代子问题的近似极小值点 （ 非精确极小值 点） 另一方 面， ； 在迭代的每一子问题 中， 根据 非光滑 凸泛函 ＿ 厂的次梯度，构造分段光滑的 凸泛函 用以替代非光滑泛函 ． 这两方面使得迭代算 厂 ，
界 （ｏｎ ｅ ａ ｏ ｒ） ｂ ｕ ｄｄａ ｙ ｒｍ ｚ ｏ 的条件下讨论了迭代序列的收敛性．当迭代步长趋近于零时， ｗ ｆ ｅ
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数
学
物
理
学
报
Ｖ １１ ｏ． Ａ ３
他 们在 映象仿 单调 Ｌｐｅｉ ｉｓｈｔ ｚ连续 以及 弱 闭，或者 映象是 强单 调 以及在 ｘ 的有 界子 集上 有界 的条 件下证 明了迭代 序列收 敛于 广义 混合变 分不 等式 的解 ．当迭 代步 长远离 零 点有界 时 ， 作 者在 映象 为单 值 以及 满足 伪 Ｄ ｎ ｕ ｎ性 质和 其 他一些 单调 性质 的条 件 下，研 究 了迭 代 序列
２ 预 备 知 识
对任意 的凸泛函 ，： 一 （ ｏ， 。］ｄ ｍｆ＝ ｛ Ｈ 一 。＋ 。 ｏ ， ｚ∈Ｈ ： （）＜ 。 ）表示其有效域 ｆｘ 。 （ｆ ｃｉｅｄ ｍａｎ ， ｅ ｅｔ ｏ ｉ）而 ｖ
，・＝ ｛ （ ） ｐ∈Ｈ ： （） ．・＋ （， ・一Ｅ Ｖ ｆｙ 厂 ） ＰＹ一 ） ， ｙ∈Ｈ） （ 表 示其 ｅ次 微分 且 ｏ 一 ｆ＝０ｆ表 示其 次微 分 ． ０ 定 义 ２１１，］ 设 是 Ｈｉ ｅｔ空 间 口 中的 非空子 集 ， Ｔ ： — Ｈ 是单 值 映象 ， ．［ ２ ６３ ｌｒ ｂ Ｘ ，： 一 （ 。＋。］ 给定 的泛 函 ．称 映象 满 足 伪 Ｄｕ ｎ性 质，如 果存 在 ＞０ 对 任意 的 一。， Ｃ 是 ｎ ， Ｙ∈Ｘ， 有
，
（ ｚ， ） （） （） ０ （）Ｙ— ＋ｆＹ ～ｆｘ
（ ， （）Ｙ～ｚ ４ｆＹ 一ｆｘ ＿６１ ｘ 一Ｉ（）。 ）－ （） （） １ ） ＂ ｌ． ＞ Ｔ（ ｙ Ｌ
定义 ２２ｌ 设 Ｅ， ．【 ］ ３ Ｆ都 是拓 扑 空 间，称 Ｔ ： — Ｆ 在 点 Ｘ 序 列连 续 ，如果 对任 意 收敛 Ｅ 。
法的每个子问题都容 易求解 ，迭代点 容易获得．该文首先介绍如何构造作者的迭 代算法 ， 如何判别当前迭代 点的好 坏以及算 法的终止条件 ．其次，在映象 满足 伪 Ｄｕ ｎ性质的条件 ｎ
下，证 明了迭代算法产生的迭代序列 ｛ ” ｚ ｝收敛于一般混合变分 不等 式的解 ．
关键词：迭代算法；近 似方法；捆集方法 ；强 凸泛函；伪 Ｄｕ ｎ性质． ｎ
Ｙ 。＝ Ｘ ， ｋ ＝ ０ Ｏ ，ｉ＝ １ ．
Ｓｅ 选 取分段 光滑 线性泛 函 ０ ｆ且 求解 下列 的优 化 问题 ｔｐ１ ｉ
（ Ｐ）
｛ ＋（（ ， ） ［（） （ 一（ ｈｘ ） 一 ） ， （） ｒ 一 ） ＋ 一 ） Ｖ （ ， 】 ）
获 得其 最优解 Ｙ． Ｓｅ 若最 优解 Ｙ 是 适 当的 ， ｉ． ｔｐ２ ．， ｅ
ｆｘ ） （ ） ｍ［（ ） （ ］ １ （ 一ｆｙ 。 ， 一 ）＋（ 一ｍ） （ ） ｋ， （ ， 一Ｘ ） ｒ Ｙ
则令 ＋ Ｙ， ＝ 计算 ｒｘ＋ ） （ ∈Ｔ（ 且 让 ｋ增 加 １ ｘ＋ ） ． Ｓｅ 让 ｉ 加 １ 转到 Ｓｅ ． ｔｐ３ 增 并 ｔｐ １ 在 Ｓｌ ｎ Ｓｒｄｏ 和 Ｎ ｕｅ ［】 作者分 别在迭代 步 长 趋近 于零 以及 远离零 点有 ａｍｏ ， ｔ ｉｔ ｏ ｇｙｎ 中， ７
秀
数学物理学报
２ １ ，１ ４ ： ６ ８ ９ ０ １３ Ａ（） ６ ７ ８ ｈｔ ： ａ ｔｍｓｗ ｐ ａ ．ｎ ｔｐ／ ｃａ ．ｉｍ．ｃ ／ ｃ
一
般混合变分不等式的捆集近似算法
夏福 全 黄 南京
（ 四） 师范大学数学与软件科 学学院 成都 ６ ０ ６ ； 四） 大学数学科学学院 成都 ６ ０ ６ ） Ｊ ｌ １０６ ｌ ｌ １ ０ ４
般混合变分不等式 （） １ 可表述为下列变分包含问题：求 ＥＸ， 使得 ０Ｅ Ｔ ｘ ） （ ＋ Ｏｆ＋ （ ｘ） ） 其 中 表 示 集合 的指 标泛 函 （ 当 ＸＥＸ 时， ｘ（）＝ ０ 其 它情 况 （ ， 即 ， ｘ（） Ｘ 分 ．这表 明问题 （） １ 是求 两 个 映象和 的零 点 的特殊 形式 ．
一
收稿 日期： ０ ９０ — １ 修订 日期： ０ ０１ — ０ ２ ０ —９２ ； ２ １ —０３
Ｅ— ｉ ｆ ｑ ａ ｘａ ｉａｃ ｍ； ａ ｊｎ ｈ ａ ｇ ｏ ｍａｌ ｏ ｍａｌ ｕ ｕ ｎ ｉ＠ｓｎ ．ｏ ｎ ｎｉｇ ｕ ｎ ＠ｈ ｔ ｉ． ｍ ： ｃ
基金项 目：国家 自然科学基 金 （０ ７ １５ ７８ １０ ） １６ １３ ， ０３ ０５ 、四川省教育厅重点项 目 （９ Ａ ９）、四川省应用基础项 ０Ｚ ０１ 目 （００Ｙ０ ２） ２１Ｊ １１ 和教育部博士点基金 （０ ０ １４２０ ２ ２ １５ ３１０ ０）资助
于点 。的序 列 ｘ ）都有 Ｔ（ 一 Ｔ（。． ｘ） ｘ ）称 在 上 序列连 续 ，如果 在 中的 每一 点 处都 序列 连续 ． 定义 ２３ 设 ｘ 是 Ｈｉ ｅｔ空间 Ｈ 的非空 闭 凸子 集 ． 可微泛 函 ｈ： 一 是强 凸 的， ． ｌｒ ｂ 称 Ｘ 如果 对任 意 的 Ｘ Ｙ∈Ｘ 都存 在常 数 ＞０使得 ， ｈｙ 一ｈｘ 一（ （）Ｙ—ｚ ｍｌ Ｊ （） （） ， ） ｌ ｘ— ｌ 其 中 Ｖｈ表 示连续 可微 泛 函 ｈ的 梯度 ． 我 们需要 下 面的 引理 ． 引理 ２１ 】 设 Ｊ 是拓扑矢量空间 Ｅ 中的非空子集， 咖： ．［ 。 ［ ） Ｄ×Ｄ 一 Ｕ｛ ∞） ＋ 满足 （ ｉ 任意 ∈Ｄ， ）对 ， ｕ一 （，） 每 一个 非空 紧子 集 Ｄ 上是 上半 连续 的， 乱 在 （） 对 任意 非 空 有 限集 ｛１… ， ） Ｃ Ｄ 和 乱 ＝ ∑ ，ｖ 九 ０ ∑ ＝ １，都有 ｉ ｉ ＂， Ｘ ｉ（ ｉ ， ）
的 收敛性 ．
众所 周 知 ，对每 一个 给定 的 点 ， 解优 化 问题 （ ， 般不 可能 得到精 确 的解 Ｙ， 求 Ｐ ）一 ｚ故 需要 我 们近似 的求 解优 化 问题 （ 得 到其 近似 解 Ｙ．另一方 面，从 实际应 用看 ，一般 只需 Ｐ） 。 近似 解 ．因而 ，在本 文 中，我们 应用辅 助 原理 ，将混合 变分 不等 式转 化 为近似极 小化 问题 ， 再 应用 类似 于 Ｋｉ ｅｎ 求解 非光 滑优 化 问题 的 Ｂ ｎ ｌ 似 方法 ，求该 近似 极 小化 问题 的 ｗｉ［］ ｌ ｕ ｄｅ近