压杆稳定的概念及三种平衡状态
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力学与结构 07压杆稳定
7.3
第7章
压杆稳定
建筑结构中受压构件的应用十分广泛, 建筑结构中受压构件的应用十分广泛,如:桁架结构,网架结构 桁架结构, 中的腹杆和上弦杆,框架结构中的轴心受压柱,都是受压构件. 中的腹杆和上弦杆,框架结构中的轴心受压柱,都是受压构件.按压 力作用位置不同,分为轴心受压和偏心受压两类. 力作用位置不同,分为轴心受压和偏心受压两类.工程中常把轴心受 压的直杆称为压杆.本章主要介绍压杆稳定的基本概念, 压的直杆称为压杆.本章主要介绍压杆稳定的基本概念,三种杆端支 承情况的细长压杆的临界荷载及临界应力计算, 承情况的细长压杆的临界荷载及临界应力计算,受压直杆的稳定校核 和截面设计以及提高压杆稳定性的一些措施. 和截面设计以及提高压杆稳定性的一些措施.
π2 EI 3.142 × 210 × 109 × 64.4 × 104 × 1012 Pcr = = ≈ 102.9kN 2 2 (l ) (1 × 3.6)
(2) 计算屈服力: 计算屈服力:
Ps = Aσ s = 21.5 × 104 × 240 × 106 = 516kN
由以上计算可知,压杆的屈服力为压杆稳定临界力的 倍多 倍多, 由以上计算可知,压杆的屈服力为压杆稳定临界力的5倍多,可见细长压杆在发生强度破 坏之前,首先会发生失稳破坏. 坏之前,首先会发生失稳破坏.
第7章
Pcr =
压杆稳定
π 2 EI
临界荷载和临界应力
( l )
2
(7-1)
式中, 为压杆的实际长度 为压杆的实际长度. 为长度系数 为长度系数, 为压杆的计算长度 其他参数同式(7-1),长度系 为压杆的计算长度, 式中,l为压杆的实际长度.为长度系数,l为压杆的计算长度,其他参数同式 , 的选取见表7-1. 数的选取见表 . 的选取见表
材料力学第9章 压杆稳定
第9章 压杆稳定 图9－6
第9章 压杆稳定
9.2.3 两端非铰支细长压杆的临界载荷 1.一端固定一端自由的细长压杆的临界载荷 图9－7所示为一端固定、一端自由的长为l的细长压杆。
当轴向压力F=Fcr时，该杆的挠曲轴与长为2l的两端铰支细 长压杆的挠曲轴的一半完全相同。因此，如果二杆各截面的 弯曲刚度相同，则临界载荷也相同。所以，一端固定一端自 由、长为l的细长压杆的临界载荷为
第9章 压杆稳定
9.2.2 大挠度理论与实际压杆 式（9－1）与式（9－2）是对于理想压杆根据小挠度挠
曲轴近似微分方程得到的。如果采用大挠度挠曲轴的微分方
程 ddx1xM ExI进行理论分析，则轴向压力F与压杆最
大挠度wmax之间存在着如图9－6中的曲线AB所示的确定关 系，其中A点为曲线的极值点，相应之载荷Fcr即为上述欧拉 临界载荷。
Fcr
2 EI
2l 2
（9－3）
第9章 压杆稳定
图9－7
第9章 压杆稳定
2.两端固定的细长压杆的临界载荷 图9－8所示为两端固定的长为l的细长压杆，当轴向压 力F=Fcr时，该杆的挠曲轴如图9－8(a)所示，在离两固定端 各l/4处的截面A、B存在拐点，A、B截面的弯矩均为零。因 此，长为l/2的AB段的两端仅承受轴向压力Fcr（见图9－8 (b)），受力情况与长为l/2的两端铰支压杆相同。所以，两 端固定的压杆的临界载荷为
Fcr
2EI
0.5l 2
（9－4）
第9章 压杆稳定
图9－8
第9章 压杆稳定
3.一端固定一端铰支的细长压杆的临界载荷 图9－9所示为一端固定一端铰支的长为l的细长压杆， 在微弯临界状态，其拐点与铰支端之间的正弦半波曲线长为
《土木工程力学》第6章
φ
λ
0 20 40 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 1.000 0.981 0.927 0.842 0.789 0.731 0.669 0.604 0.536 0.466 0.401 0.349 0.306 0.272 0.243 0.218 0.197 0.180 0.164 0.151 0.139 0.129 0.120 1.000 0.973 0.895 0.776 0.705 0.627 0.546 0.462 0.384 0.325 0.279 0.242 0.213 0.188 0.168 0.151 0.136 0.124 0.113 0.104 0.096 0.089 0.082 1.00 0.91 0.69 0.44 0.34 0.26 0.20 0.16
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四、临界应力的经验公式
对于中长杆和粗短杆，临界应力可以用经验公式（抛物线公
式）：
cr ＝ 0 –k2
(6-7)
来进行计算， 0、k都是和材料有关的参数。例如：
Q235钢
cr =(235-0.0068λ２)MPa
16Mn钢
(<p=132 ) (<p=109)
cr =(343-0.00161λ２)MPa
重复二、三次便可达到目的。
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例6-2 图示一根钢管支柱，管长l=2.5m，两端铰支，承受 轴向压力F=250kN 。截面尺寸为D=102mm ， d=86mm ，材料
采用Q235钢，其容许应力[]=160MPa 。校核该柱的稳定性。 F 解 1）计算柱的长细比
压杆稳定 (2)
安全系数
Fcr 314 .4 n 2 .1 F 150
§9-4 一、稳定条件
1、安全系数法: Fcr F F st . nst
压杆的稳定计算
nst
－稳定安全系数；
cr
nst
[ F ]st －稳定许用压力。 [ ]st －稳定许用压应力。
st .
2、折减系数法:
d2y 2 k w0 2 dx
二阶常系数线性齐次微分方程
d 2w 2 k w0 2 dx
(k
2
Fcr ) EI
（二阶常系数线性齐次微分方程）
w
微分方程的解:
FN
w=Asinkx + Bcoskx
w(0)=0 , w(l)=0 0•A+1•B=0 sinkl • A +coskl • B=0
§9-5
F F st
提高压杆的稳定的措施
2 EI 2 E Fcr A, 2 2 ( l )
I Fcr
约束越牢固
F cr , nst
l
i
,
i
I A
1、选择合理的截面形状： 2、改变压杆的约束形式： 3、选择合理的材料：
Fcr 。
l
i
柔度是影响压杆承载能力的综合指标。
与杆件的长度、截面形状和尺寸、约束条件有关。
cr
压杆容易失稳
二、欧拉公式的适用范围 推导欧拉公式时所用的挠曲线近似微分方程
d2y 2 k y0 2 dx
(k
2
Fcr ) EI
是以材料服从虎克定律为基础导得的，所以欧拉 公式仅适用于线弹性范围。
Fcr 314 .4 n 2 .1 F 150
§9-4 一、稳定条件
1、安全系数法: Fcr F F st . nst
压杆的稳定计算
nst
－稳定安全系数；
cr
nst
[ F ]st －稳定许用压力。 [ ]st －稳定许用压应力。
st .
2、折减系数法:
d2y 2 k w0 2 dx
二阶常系数线性齐次微分方程
d 2w 2 k w0 2 dx
(k
2
Fcr ) EI
（二阶常系数线性齐次微分方程）
w
微分方程的解:
FN
w=Asinkx + Bcoskx
w(0)=0 , w(l)=0 0•A+1•B=0 sinkl • A +coskl • B=0
§9-5
F F st
提高压杆的稳定的措施
2 EI 2 E Fcr A, 2 2 ( l )
I Fcr
约束越牢固
F cr , nst
l
i
,
i
I A
1、选择合理的截面形状： 2、改变压杆的约束形式： 3、选择合理的材料：
Fcr 。
l
i
柔度是影响压杆承载能力的综合指标。
与杆件的长度、截面形状和尺寸、约束条件有关。
cr
压杆容易失稳
二、欧拉公式的适用范围 推导欧拉公式时所用的挠曲线近似微分方程
d2y 2 k y0 2 dx
(k
2
Fcr ) EI
是以材料服从虎克定律为基础导得的，所以欧拉 公式仅适用于线弹性范围。
第9章-压杆稳定
第9章 压杆稳定
压杆稳定
§９-1
§９-2 §９-3 §９-4 §９-5 §９-6
压杆稳定的概念
两端铰支细长压杆的临界压力 其他支座条件下压杆的临界压力 压杆的临界应力 压杆的稳定校核 提高压杆稳定性的措施
压杆稳定
§９-1 压杆稳定的概念 1、杆件在轴向拉力的作用下：
塑性材料：工作应力达到屈服极限时出现屈服失效； 脆性材料： 工作应力达到强度极限时断裂；
B 0.7 1
F
C 1 2
F
D 2
题1图
题2图
压杆稳定
压杆稳定
例
如图所示一细长的矩形截面 压杆，一端固定，一端自由。材 料为钢，弹性模量E = 200GPa， 几何尺寸为：l=2.5m , b =40mm ， h=90mm 。试计算此压杆的临界 压力。若b=h=60mm ，长度相等， 则此压杆的临界压力又为多少？ （压杆满足欧拉公式计算条件*）
半波正弦曲线的一段长度。 长为L的一端固定一端自由的压杆的挠曲线与长为2L的两 端铰支的细长杆相当。 长为L的一端固定、另端铰支的压杆，约与长为0.7L的 两端铰支压杆相当。 长为L的两端固定压杆与长为0.5L的两端铰支压杆相当;
压杆稳定
讨论：
（2）横截面对某一形心主惯性轴的惯性矩 I
若杆端在各个方向的约束情况相同（球形铰等），则 I 应取最小的形心主惯性矩。 若杆端在各个方向的约束情况不同（柱形铰），应分 别计算杆在不同方向失稳时的临界力。I 为其相应的对 中性轴的惯性矩。
这类杆又称中柔度杆。 中柔度压杆失稳时，横截面上的应力已超过比例极限， 故属于弹塑性稳定问题。
压杆稳定
类比法： 根据力学性质将某些点类比为支座点。 其它约束——折算成两端铰支。
压杆稳定
§９-1
§９-2 §９-3 §９-4 §９-5 §９-6
压杆稳定的概念
两端铰支细长压杆的临界压力 其他支座条件下压杆的临界压力 压杆的临界应力 压杆的稳定校核 提高压杆稳定性的措施
压杆稳定
§９-1 压杆稳定的概念 1、杆件在轴向拉力的作用下：
塑性材料：工作应力达到屈服极限时出现屈服失效； 脆性材料： 工作应力达到强度极限时断裂；
B 0.7 1
F
C 1 2
F
D 2
题1图
题2图
压杆稳定
压杆稳定
例
如图所示一细长的矩形截面 压杆，一端固定，一端自由。材 料为钢，弹性模量E = 200GPa， 几何尺寸为：l=2.5m , b =40mm ， h=90mm 。试计算此压杆的临界 压力。若b=h=60mm ，长度相等， 则此压杆的临界压力又为多少？ （压杆满足欧拉公式计算条件*）
半波正弦曲线的一段长度。 长为L的一端固定一端自由的压杆的挠曲线与长为2L的两 端铰支的细长杆相当。 长为L的一端固定、另端铰支的压杆，约与长为0.7L的 两端铰支压杆相当。 长为L的两端固定压杆与长为0.5L的两端铰支压杆相当;
压杆稳定
讨论：
（2）横截面对某一形心主惯性轴的惯性矩 I
若杆端在各个方向的约束情况相同（球形铰等），则 I 应取最小的形心主惯性矩。 若杆端在各个方向的约束情况不同（柱形铰），应分 别计算杆在不同方向失稳时的临界力。I 为其相应的对 中性轴的惯性矩。
这类杆又称中柔度杆。 中柔度压杆失稳时，横截面上的应力已超过比例极限， 故属于弹塑性稳定问题。
压杆稳定
类比法： 根据力学性质将某些点类比为支座点。 其它约束——折算成两端铰支。
工程力学压杆的稳定问题
稳定安全系数一般大于强度安全系数。
例题 ： 1000吨双动薄板液压冲压机的顶出器杆为一
端 固 定 、 一 端 铰 支 的 压 杆 。 已 知 杆 长 l=2m ， 直 径 d=65mm，材料的E=210GPa，p=288MPa，顶杆工作 时承受压力F=18.3吨，取稳定安全系数nst=3.0。试校 核该顶杆的稳定性。
①
90
②
l
解：由静力平衡条件可解得两杆的压力分别为：
N1 P cos ， N 2 P sin
两杆的临界压力分别为：
2E I 2E I Pcr 1 2 ， Pcr 2 2 l1 l2
要使P最大，只有 N1、 N2 都达
到临界压力，即
P
（） 1 （） 2
①
P cos P sin
2E cr 2 p
或写成：
2E p
令： 2 E p
p
欧拉公式的 适用范围：
p
满足该条件的杆称为细长杆或大柔度杆
如对A3钢，当取E=206GPa，σp=200MPa,则
E p p
2
2 206 109
200 106
应用欧拉公式
654 1012 2 (210 109 ) ( ) 2 EI 64 Fcr N 925.2kN 2 2 (l ) (0.7 2)
Fcr 925.2 103 5.16 n 3 18.3 10 9.8 F
该杆满足稳定性要求
＞ nst 3.0
x l时：v 0
sin kl 0
kl n (n 0,1, 2,)
n k l
第19章 压杆稳定
1 压杆稳定性的基本概念
（a）
（b） 图19-2
（c）
02
欧拉公式
欧拉公式 临界应力与柔度 欧拉公式的适用范围 临界应力经验公式
2.1 欧拉公式
研究压杆的稳定性问题，关键在于确定压杆的临界力，建立压杆的稳定条件，从而进行稳定
性计算。通过试验及理论分析，人们得出了不同约束条件下细长压杆临界力 Fcr 的计算公式，即欧
讨论，可令临界应力 σcr σs 。
综上所述，各类柔度杆的临界应力计算公式归纳如下。
（1）大柔度杆：柔度范围为 λ
λp
，可利用欧拉公式 σcr
π2E λ2
计算。
（2）中柔度杆：柔度范围为 λs λ λp ，可利用经验公式 σcr a bλ 计算。 （3）小柔度杆：柔度范围为 λ λs ，可利用压缩强度公式 σcr σs 计算。
如图192c所示压杆在轴向力f和横向干扰力f增大到某一值cr压杆将保持弯曲的平衡状态而无法恢复到原来的直线平衡状态即此时压杆由原来稳定的平衡状态过渡到不稳定的平衡状态在这种临界状态下压杆所受到的轴向力cr压杆稳定性的基本概念图192临界应力经验公式21欧拉公式研究压杆的稳定性问题关键在于确定压杆的临界力建立压杆的稳定条件从而进行稳定性计算
如图 19-1 所示为两根横截面面积相等的塑性杆件。
图19-1
1 压杆稳定性的基本概念
当短粗杆受压时，在压力 F 由小增大的过程中，杆件始终保持原有的直线平衡状态，直至压 应力 σ 达到屈服强度极限 σs 而导致杆件发生屈服破坏；当细长杆受压时，在压力 F 比较小时，杆件
可以保持直线稳定状态，但当压力 F 超过某一个临界值 Fcr 时，杆件将会突然变弯，失去承载能力， 即出现失稳。
第十章压杆稳定
工程实际中的压杆，由于种种原因不可 能达到理想的中心受压状态，制作的误差、 材料的不均匀性、周围物体振动的影响都相 当于一种“干扰力”，所以当压杆上的荷载 达到临界力Pcr时，就会使直线形状的平衡状 态变成不稳定，在这些不可避免的干扰下， 即会发生“丧失稳定”的破坏。
因此，压杆的稳定性计算关键在于确定 各种杆件的临界力，使杆上压力大小不超过 它，以确保杆件不发生丧失稳定的破坏。
cr
Fcr A
2EI
l2 A
因I/A=I2，令λ=μl/i，则压杆临界应力欧
cr
Fcr A
2E
2
式中，λ称为压杆的柔度或长细比，是一个无 量纲的量，它综合反映了压杆的长度、支承情 况、截面形状与尺寸等因素对临界应力的影响。 λ大，表示压杆细而长，临界应力就小，压杆 容易失稳；λ小，压杆粗短，临界应力就大， 临界力也大，压杆不易失稳。所以，柔度λ
第二节 细长压杆的临界力公式 ——欧拉公式
压杆的临界力大小可以由实验测试或理论推 导得到。临界力的大小与压杆的长度、截面形状 及尺寸、材料以及两端的支承情况有关。
一、 两端铰支压杆的临界力
如图所示为两端铰支的受压杆件， 由实验分别测试不同长度、不同截面、 不同材料的压杆在杆内应力不超过材料 的比例极限时发生丧失稳定的临界力值 Plj，可得到如下关系：
二、
如果压杆两端不全是铰支，而是其他约束形 式，临界力的大小会受到影响。杆端的约束越 强，压杆越不容易失稳，临界力就越大。各种 杆端支承杆件的临界力计算式，可以以两端铰 支的压杆作为基本情况，通过其临界状态时挠 曲线形状的比较而推出。可归纳为一个统一的
三、
在临界力作用下，压杆截面上的平均正应力
压杆稳定的概念
§压杆稳定的概念构件除了强度、刚度失效外，还可能发生稳定失效。
例如，受轴向压力的细长杆，当压力超过一定数值时，压杆会由原来的直线平衡形式突然变弯（图15-1a），致使结构丧失承载能力；又如，狭长截面梁在横向载荷作用下，将发生平面弯曲，但当载荷超过一定数值时，梁的平衡形式将突然变为弯曲和扭转（图15-1b）；受均匀压力的薄圆环，当压力超过一定数值时，圆环将不能保持圆对称的平衡形式，而突然变为非圆对称的平衡形式（图15-1c）。
上述各种关于平衡形式的突然变化，统称为稳定失效，简称为失稳或屈曲。
工程中的柱、桁架中的压杆、薄壳结构及薄壁容器等，在有压力存在时，都可能发生失稳。
由于构件的失稳往往是突然发生的，因而其危害性也较大。
历史上曾多次发生因构件失稳而引起的重大事故。
如1907年加拿大劳伦斯河上，跨长为548米的奎拜克大桥，因压杆失稳，导致整座大桥倒塌。
近代这类事故仍时有发生。
因此，稳定问题在工程设计中占有重要地位。
“稳定”和“不稳定”是指物体的平衡性质而言。
例如，图15-2a所示处于凹面的球体，其平稳是稳定的，当球受到微小干扰，偏离其平衡位置后，经过几次摆动，它会重新回到原来的平衡位置。
图15-2b所示处于凸面的球体，当球受到微小干扰，它将偏离其平衡位置，而不再恢复原位，故该球的平衡是不稳定的。
受压直杆同样存在类似的平衡性质问题。
例如，图15-3a所示下端固定、上端自由的中心受压直杆，当压力小于某一临界值时，杆件的直线平衡形式是稳定的。
此时，杆件若受到某种微小干扰，它将偏离直线平衡位置，产生微弯（15-3b）；当干扰撤除后，杆件又回到原来的直线平衡位置（图15-3c）。
但当压力超过临界值时，撤除干扰后，杆件不再回到直线平衡位置，而在弯曲形式下保持平衡（图15-3d），这表明原有的直线平衡形式是不稳定的。
使中心受压直杆的直线平衡形式，由稳定平衡转变为不稳定平衡时所受的轴向压力，称为临界载荷，或简称为临界力，用表示。
第六章 压杆稳定
工程上两端约束最典型有四种情况： 两端铰支 一端自由 一端固定 一端铰支 一端固定 两端固定
P
P
两端铰支约束压杆受力 模型 P
一端自由一端固定约束 受力模型 P
一端铰支一端固定约束 受力模型
两端固定约束受力模型
这四种约束的压杆临界压力计算， 采用相当长度法 相当长度法——在压杆某一相当长度内 任何约束压杆 其失稳挠 曲线均为半波正弦曲线， 由此将其它约束压杆转化 为两端铰支压杆，利用欧 拉公式计算临界压力。
注意: 有局部削弱压杆的安全校核方法： ①首先进行稳定性校核， 此时不必考虑削弱处结构与尺寸。 按临界无缺陷压杆计算 P ≤ ②对削弱处进行强度计算
Plj nW
P σ= ≤ [σ ] A __
两者均安全，则此压杆才是安全的
二、压杆稳定安全系数法
如果计算出临界压力Plj ，压杆工作时载荷P 压杆工作安全系数
二、平衡的稳定性
平衡稳定性 ①稳定平衡 ②不稳定平衡 ③随遇平衡
1、稳定平衡 如图：小球受一瞬间推力，小球在凹面往 复摆动，最后总停在最低位置点，位能 极小，属于稳定平衡。
F
2、不稳定平衡 如图：
F
凸面小球加一瞬间推力，小球沿 表面滚下，无法回到原位置， 凸面上小球处于不稳定平衡。
3、随遇平衡 如图：
h
b
二、欧拉公式适用范围 M ( x) 欧拉公式由近似微分方程导出，y ' ' = 在小 EI 变形下服从虎克定律 欧拉公式适用范围： ①σlj ≤ σP 压杆临界应力不大于材料比例极限， 此时压杆失稳为弹性失稳。 如果 σlj ＞σP，材料发生了塑性变形，不服从虎 克定理 ， M ( x) 不成立，欧拉公式也不存在。 y' ' = EI
P
P
两端铰支约束压杆受力 模型 P
一端自由一端固定约束 受力模型 P
一端铰支一端固定约束 受力模型
两端固定约束受力模型
这四种约束的压杆临界压力计算， 采用相当长度法 相当长度法——在压杆某一相当长度内 任何约束压杆 其失稳挠 曲线均为半波正弦曲线， 由此将其它约束压杆转化 为两端铰支压杆，利用欧 拉公式计算临界压力。
注意: 有局部削弱压杆的安全校核方法： ①首先进行稳定性校核， 此时不必考虑削弱处结构与尺寸。 按临界无缺陷压杆计算 P ≤ ②对削弱处进行强度计算
Plj nW
P σ= ≤ [σ ] A __
两者均安全，则此压杆才是安全的
二、压杆稳定安全系数法
如果计算出临界压力Plj ，压杆工作时载荷P 压杆工作安全系数
二、平衡的稳定性
平衡稳定性 ①稳定平衡 ②不稳定平衡 ③随遇平衡
1、稳定平衡 如图：小球受一瞬间推力，小球在凹面往 复摆动，最后总停在最低位置点，位能 极小，属于稳定平衡。
F
2、不稳定平衡 如图：
F
凸面小球加一瞬间推力，小球沿 表面滚下，无法回到原位置， 凸面上小球处于不稳定平衡。
3、随遇平衡 如图：
h
b
二、欧拉公式适用范围 M ( x) 欧拉公式由近似微分方程导出，y ' ' = 在小 EI 变形下服从虎克定律 欧拉公式适用范围： ①σlj ≤ σP 压杆临界应力不大于材料比例极限， 此时压杆失稳为弹性失稳。 如果 σlj ＞σP，材料发生了塑性变形，不服从虎 克定理 ， M ( x) 不成立，欧拉公式也不存在。 y' ' = EI