2012高考总复习《走向清华北大》精品课件35合情推理与演绎推理
第四节 合情推理与演绎推理
第四节合情推理与演绎推理高考概览：1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用；2.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的“三段论”，并能运用“三段论”进行一些简单推理；3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异．[知识梳理]1．合情推理类型定义特点归纳推理根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的全部对象都具有这种性质的推理由部分到整体、由个别到一般类比推理根据两类事物之间具有某些类似(一致)性，推测一类事物具有另一类事物类似(或相同)的性质的推理由特殊到特殊(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．[辨识巧记]1．类比推理的注意点在进行类比推理时要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷惑，如果只抓住一点表面现象的相似甚至假象就去类比，那么就会犯机械类比的错误．2．合情推理的关注点(1)合情推理是合乎情理的推理．(2)合情推理既可以发现结论也可以发现思路与方向．3．演绎推理的特征演绎推理是由一般到特殊的推理．它常用来证明和推理数学问题，解题时应注意推理过程的严密性，书写格式的规范性．[双基自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．()(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．()(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．()(4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．()[答案](1)×(2)√(3)×(4)×2．数列2,5,11,20，x,47，…中的x等于()A．28 B．32 C．33 D．27[解析]从第2项起每一项与前一项的差构成公差为3的等差数列，所以x＝20＋12＝32.故选B.[答案] B3．(选修2－2P77练习T1改编)已知数列{a n}中，a1＝1，n≥2时，a n＝a n－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想a n的表达式是()A．a n＝3n－2 B．a n＝4n－3C．a n＝n2D．a n＝3n－1[解析]由a1＝1，a n＝a n－1＋2n－1，得a2＝4，a3＝9，a4＝16.猜得a n＝n2.故选C.[答案] C4．演绎推理“因为对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)是增函数，而函数y ＝log 12x 是对数函数，所以y ＝log 12x 是增函数”所得结论错误的原因是( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．大前提和小前提都错误[解析] 因为当a >1时，y ＝log a x 在定义域内单调递增，当0<a <1时，y ＝log a x 在定义域内单调递减，所以大前提错误．故选A.[答案] A5．(选修2－2P 84A 组T 5改编)在等差数列{a n }中，若a 10＝0，则有a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n <19，且n ∈N *)成立．类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b 9＝1，则存在的等式为_______________________________．[解析] 由等比数列的性质b n ＋1·b 17－n ＝b n ＋2·b 16－n ＝…＝b 29＝1，得b 1b 2…b n ＝b 1b 2b 3b 4…b 17－n (n <17，n ∈N *)．[答案] b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 17－n (n <17，n ∈N *)考点一 归纳推理归纳推理是每年高考的常考内容，题型多为选择、填空题，难度稍大，属中高档题．常见的命题角度有：(1)数字的归纳；(2)式子的归纳；(3)图形的归纳．角度1：数字的归纳【例1－1】 观察下列各式：71＝7,72＝49,73＝343,74＝2401,75＝16807，…，则72018的末两位数字为( )A ．49B ．43C ．07D ．01[思路引导] 观察幂的末2位数字的规律→得出结果 [解析] 71,72,73,74,75，…的末两位数字分别为07,49,43,01,07，…，周期性出现(周期为4)，而2018＝4×504＋2，所以72018的末两位数字必定和72的末两位数字相同．故选A.[答案] A角度2：式子的归纳【例1－2】 已知f (x )＝x e x ，f 1(x )＝f ′(x )，f 2(x )＝[f 1(x )]′，…，f n ＋1(x )＝[f n (x )]′，n ∈N *，经计算：f 1(x )＝1－x e x ，f 2(x )＝x －2e x ，f 3(x )＝3－xe x ，…，照此规律，则f n (x )＝________.[思路引导] 观察分式中分子的规律→得出结果[解析] 因为f 1(x )＝(－1)(x －1)e x ，f 2(x )＝(－1)2(x －2)e x，f 3(x )＝(－1)3(x －3)e x ，…，所以f n (x )＝(－1)n (x －n )e x. [答案] (－1)n (x －n )e x角度3：图形的归纳【例1－3】 如图都是由边长为1的正方体叠成的几何体，例如第(1)个几何体的表面积为6个平方单位，第(2)个几何体的表面积为18个平方单位，第(3)个几何体的表面积是36个平方单位．以此规律，则第n 个几何体的表面积是________个平方单位．[思路引导]用式子表达几何体的表面积→分析式子的规律→归纳第n个几何体的表面积[解析]从前面看这些正方体叠成的几何体，看到边长为1的正方形的面的个数依次为1,1＋2,1＋2＋3,1＋2＋3＋4，….而每一个这样叠成的几何体，从其前面、后面、左面、右面、上面、下面看到的边长为1的正方形的面数是一样多的，所以由这些正方体叠成的几何体的表面积依次为6×1,6×(1＋2)，6×(1＋2＋3)，…，所以第n个几何体的表面积为6×(1＋2＋3＋…＋n)＝3n(n ＋1)．[答案]3n(n＋1)归纳推理问题的常见类型及解题策略(1)与数字有关的等式的推理．观察数字的变化特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解．(2)与式子有关的归纳推理：①与不等式有关的推理．观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解．②与数列有关的推理．通常是先求出几个特殊现象，采用不完全归纳法，找出数列的项与项数的关系，列出即可．(3)与图形变化有关的推理．合理利用特殊图形归纳推理得出结论，采用赋值检验法验证其真伪性．[对点训练]1．(2019·山东日照模拟)对于实数x，[x]表示不超过x的最大整数，观察下列等式：[ 1 ]＋[ 2 ]＋[ 3 ]＝3；[ 4 ]＋[ 5 ]＋[ 6 ]＋[7 ]＋[8 ]＝10；[9 ]＋[10 ]＋[11 ]＋[12 ]＋[13 ]＋[14 ]＋[15 ]＝21；…按照此规律第n 个等式的等号右边的结果为________．[解析] 因为[x ]表示不超过x 的最大整数，所以[1]＝[ 2 ]＝[ 3 ]＝1，[4]＝[ 5 ]＝…＝[8 ]＝2，…，因为等式：[ 1 ]＋[ 2 ]＋[ 3 ]＝3， [ 4 ]＋[ 5 ]＋[ 6 ]＋[7 ]＋[8 ]＝10， [9 ]＋[10 ]＋[11 ]＋[12 ]＋[13 ]＋[14 ]＋[15 ]＝21，…，所以第1个式子的左边有3项、右边1＋1＋1＝1×3＝3，第2个式子的左边有5项、右边2＋2＋2＋2＋2＝2×5＝10，第3个式子的左边有7项、右边3×7＝21，…，则第n 个式子的左边有(2n ＋1)项、右边＝n (2n ＋1)＝2n 2＋n ，故答案为2n 2＋n .[答案] 2n 2＋n2．设n 为正整数，f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，观察上述结果，可推测一般的结论为________．[解析] ∵f (21)＝32，f (22)>2＝42，f (23)>52，f (24)>62，∴归纳得f (2n)≥n ＋22(n ∈N *)． [答案] f (2n)≥n ＋22(n ∈N *) 3．分形几何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．按照如图(1)所示的分形规律可得如图(2)所示的一个树形图．若记图(2)中第n 行黑圈的个数为a n ，则a 2018＝________.[解析] 根据题图(1)所示的分形规律，可知1个白圈分形为2个白圈1个黑圈，1个黑圈分形为1个白圈2个黑圈，把题图(2)中的树形图的第1行记为(1,0)，第2行记为(2,1)，第3行记为(5,4)，第4行的白圈数为2×5＋4＝14，黑圈数为5＋2×4＝13，所以第4行的“坐标”为(14,13)，同理可得第5行的“坐标”为(41,40)，第6行的“坐标”为(122,121)，….各行黑圈数乘2，分别是0,2,8,26,80，…，即1－1,3－1,9－1,27－1,81－1，…，所以可以归纳出第n 行的黑圈数a n＝3n －1－12(n ∈N *)．所以a 2018＝32017－12.[答案] 32017－12考点二 类比推理【例2】 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，设a ，b ，c 分别表示三条边的长度，由勾股定理，得c 2＝a 2＋b 2.类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想．[解] 如题图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°.设a ，b ，c 分别表示3条边的长度，由勾股定理，得c 2＝a 2＋b 2. 类似地，在四面体PDEF 中，∠PDF ＝∠PDE ＝∠EDF ＝90°.设S 1，S 2，S 3和S 分别表示△PDF ，△PDE ，△EDF 和△PEF 的面积，相应于直角三角形的2条直角边a ，b 和1条斜边c ，图中的四面体有3个“直角面”S 1，S 2，S 3和1个“斜面”S .于是，类比勾股定理的结构，我们猜想S 2＝S 21＋S 22＋S 23成立．[拓展探究] 若本例条件“由勾股定理，得c 2＝a 2＋b 2”换成“cos 2A ＋cos 2B ＝1”，则在空间中，给出四面体性质的猜想．[解] 如图，在Rt △ABC 中，cos 2A ＋cos 2B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＝a 2＋b 2c 2＝1. 于是把结论类比到四面体P －A ′B ′C ′中，我们猜想，四面体P A ′B ′C ′中，若三个侧面P A ′B ′，PB ′C ′，PC ′A ′两两互相垂直，且分别与底面所成的角为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.类比推理的分类类比定义→在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解类比性质→从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键类比方法→有一些处理问题的方法具有类比性，我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移[对点训练](2019·杭州模拟)已知命题：“若数列{a n }是等比数列，且a n >0，b n ＝n a 1a 2…a n (n ∈N *)，则数列{b n }也是等比数列”．类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论．[解] 类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：若数列{a n }是等差数列，b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n(n ∈N *)， 则数列{b n }也是等差数列．证明如下：设等差数列{a n }的公差为d ，则b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n ＝na 1＋n (n －1)d 2n＝a 1＋d 2(n －1)，所以数列{b n }是以a 1为首项，d 2为公差的等差数列．考点三 演绎推理【例3】 数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2nS n (n ∈N *)．证明：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .[证明] (1)因为a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n ，所以(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n .故S n ＋1n ＋1＝2·S n n ，(小前提) 故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以1为首项，2为公比的等比数列．(结论) (大前提是等比数列的定义)(2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)， 所以S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n ≥2)．(大前提) 又因为a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提) 所以对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论)演绎推理的推证规则(1)演绎推理是从一般到特殊的推理，其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略；(2)在推理论证过程中，一些稍复杂一点的证明题常常要由几个三段论才能完成．[对点训练]已知函数y＝f(x)满足：对任意a，b∈R，a≠b，都有af(a)＋bf(b)>af(b)＋bf(a)，试证明：f(x)为R上的单调增函数．[证明]设x1，x2∈R，取x1<x2，则由题意得x1f(x1)＋x2f(x2)>x1f(x2)＋x2f(x1)，所以x1[f(x1)－f(x2)]＋x2[f(x2)－f(x1)]>0，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)>0，因为x1<x2，所以f(x2)－f(x1)>0，f(x2)>f(x1)．所以y＝f(x)为R上的单调增函数．创新交汇系列⑤——合情推理在高考中的创新应用素养解读：合情推理中运用猜想时不能凭空想象，要有猜想或拓展的依据．【典例】(1)(2017·全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则()A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可知知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩(2)(2017·北京卷)某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：(ⅰ)男学生人数多于女学生人数；(ⅱ)女学生人数多于教师人数；(ⅲ)教师人数的两倍多于男学生人数．①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________．②该小组人数的最小值为________．[切入点](1)对每个人是否知道自己的成绩逐一进行推理；(2)设出男生、女生及教师人数，列关系式进行推理．[关键点](1)对甲不知道自己成绩进行推理；(2)设量列出不等关系．[规范解答](1)根据已知信息，推断如下表：因此，由以上推理可知，乙、丁可以知道自己的成绩．故选D.(2)令男学生、女学生、教师人数分别为x，y，z，则2z>x>y>z，①若教师人数为4，则4<y<x<8，当x＝7时，y取得最大值6.②当z ＝1时，1＝z<y<x<2，不满足条件；当z＝2时，2＝z<y<x<4，不满足条件；当z＝3时，3＝z<y<x<6，y＝4，x＝5，满足条件．所以该小组人数的最小值为3＋4＋5＝12.[答案](1)D(2)①6②12合情推理是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想，要合乎情理地进行推理，充分挖掘已给的事实，寻求规律，类比则要比较类比源和类比对象的共有属性，不能盲目进行类比．[感悟体验]1．(2019·南宁市联考)甲、乙、丙三人中，一人是工人，一人是农民，一人是知识分子．已知：丙的年龄比知识分子大；甲的年龄和农民不同；农民的年龄比乙小．根据以上情况，下列判断正确的是( )A ．甲是工人，乙是知识分子，丙是农民B ．甲是知识分子，乙是农民，丙是工人C ．甲是知识分子，乙是工人，丙是农民D ．甲是农民，乙是知识分子，丙是工人[解析] 由“甲的年龄和农民不同”和“农民的年龄比乙小”可以推得丙是农民，所以丙的年龄比乙小；再由“丙的年龄比知识分子大”，可知甲是知识分子，故乙是工人．故选C.[答案] C2．有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．[解析] 由丙说的话可知，丙的卡片上的数字可能是“1和2”或“1和3”．若丙的卡片上的数字是“1和2”，则由乙说的话可知，乙的卡片上的数字是“2和3”，甲的卡片上的数字是“1和3”，此时与甲说的话一致；若丙的卡片上的数字是“1和3”，则由乙说的话可知，乙的卡片上的数字是“2和3”，甲的卡片上的数字是“1和2”，此时与甲说的话矛盾．综上可知，甲的卡片上的数字是“1和3”．[答案] 1和3课后跟踪训练(四十二)基础巩固练一、选择题1．观察下面关于循环小数化分数的等式：0.3·＝39＝13，0.1· 8·＝1899＝211，0.3· 5· 2·＝352999，0.0005· 9·＝11000×5999＝5999000，据此推测循环小数0.23·可化成分数()A.2390 B.9923 C.815 D.730[解析]0.23·＝0.2＋0.1×0.3·＝15＋110×39＝730.故选D.[答案] D2．(2019·兰州模拟)如图所示，把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形，试求第七个三角形数是()A．27 B．28 C．29 D．30[解析]a1＝1，a2＝a1＋2，a3＝a2＋3，a4＝a3＋4，∴a n－a n－1＝n，∴a n＝n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1＝n(n＋1)2，∴a7＝7×82＝28，故选B.[答案] B3．(2019·惠州市高三二调)《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：卦名符号表示的二进制数表示的十进制数坤0000艮001 1坎010 2巽011 3依次类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号为“”，其表示的十进制数是( )A ．33B ．34C ．36D ．35 [解析] 由题意可知，六十四卦中的“屯”卦的符号“”表示的二进制数为100010，转化为十进制数为0×20＋1×21＋0×22＋0×23＋0×24＋1×25＝34.故选B.[答案] B 4．(2019·安徽省知名示范高中高三联考)某参观团根据下列约束条件从A ，B ，C ，D ，E 五个镇选择参观地点：①若去A 镇，也必须去B 镇；②D ，E 两镇至少去一镇；③B ，C 两镇只去一镇；④C ，D 两镇都去或者都不去；⑤若去E 镇，则A ，D 两镇也必须去．则该参观团至多去了( )A ．B ，D 两镇 B ．A ，B 两镇C ．C ，D 两镇 D ．A ，C 两镇[解析] 若去A 镇，根据①可知一定去B 镇，根据③可知不去C 镇，根据④可知不去D 镇，根据②可知去E 镇，与⑤矛盾，故不能去A 镇；若不去A 镇，根据⑤可知也不去E 镇，根据②知去D 镇，根据④知去C 镇，根据③可知不去B 镇，然后检验每个条件都成立，所以该参观团至多去了C ，D 两镇．故选C.[答案] C5.如图所示，面积为S 的平面凸四边形的第i 条边的边长记为a i (i ＝1,2,3,4)，此四边形内任一点P 到第i 条边的距离记为h i (i ＝1,2,3,4)，若a 11＝a 22＝a 33＝a 44＝k ，则1×h 1＋2×h 2＋3×h 3＋4×h 4＝2S k .类比以上性质，体积为V 的三棱锥的第i 个面的面积记为S i (i ＝1,2,3,4)，此三棱锥内任一点Q 到第i 个面的距离记为H i (i ＝1,2,3,4)，若S 11＝S 22＝S 33＝S 44＝k ，则H 1＋2H 2＋3H 3＋4H 4值为( )A.4V kB.3V kC.2V kD.V k[解析] ∵V ＝13S 1H 1＋13S 2H 2＋13S 3H 3＋13S 4H 4＝13(kH 1＋2kH 2＋3kH 3＋4kH 4)∴H 1＋2H 2＋3H 3＋4H 4＝3V k .故选B.[答案] B二、填空题6．(2019·长春市高三质量监测)将1,2,3,4…这样的正整数按如图所示的方式排成三角形数组，则第10行左数第10个数为________．[解析] 由三角形数组可推断出，第n 行共有2n －1个数，且最后一个数为n 2，所以第10行共19个数，最后一个数为100，左数第10个数是91.[答案] 917．(2019·兰州市高考实战模拟)观察下列式子：1,1＋2＋1,1＋2＋3＋2＋1,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1，…，由以上可推测出一个一般性结论：对于n ∈N *,1＋2＋…＋n ＋…＋2＋1＝________.[解析] 因为1＝12,1＋2＋1＝22,1＋2＋3＋2＋1＝32,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝42，…，所以归纳可得1＋2＋…＋n ＋…＋2＋1＝n 2.[答案] n 28．(2019·河北卓越联盟月考)在平面内，三角形的面积为S ，周长为C ，则它的内切圆的半径r ＝2S C .在空间中，三棱锥的体积为V ，表面积为S ，利用类比推理的方法，可得三棱锥的内切球(球面与三棱锥的各个面均相切)的半径R ＝________.[解析] 若三棱锥表面积为S ，体积为V ，则其内切球半径R ＝3V S .理由如下：设三棱锥的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，由于内切球的球心到各面的距离等于内切球的半径，所以V ＝13S 1R ＋13S 2R ＋13S 3R ＋13S 4R ＝13SR ，所以内切球的半径R ＝3V S .[答案] 3V S三、解答题9．已知数列{a n }的前n 项和S n ，a 1＝－23，且S n ＋1S n＋2＝a n (n ≥2)，计算S 1，S 2，S 3，S 4，并猜想S n 的表达式．[解] n ≥2时，a n ＝S n －S n －1，∴S n ＋1S n ＋2＝S n －S n －1，∴1S n＋S n －1＋2＝0. 当n ＝1时，S 1＝a 1＝－23；当n ＝2时，1S 2＝－2－S 1＝－43， ∴S 2＝－34；当n ＝3时，1S 3＝－2－S 2＝－54，∴S 3＝－45； 当n ＝4时，1S 4＝－2－S 3＝－65，∴S 4＝－56.猜想：S n ＝－n ＋1n ＋2，n ∈N *. 10．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .(1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )；(2)若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值．[解] (1)证明：∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b .由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B .∵sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )，∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )．(2)∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac .由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac≥2ac －ac 2ac ＝12， 当且仅当a ＝c 时等号成立．∴cos B 的最小值为12.能力提升练11．(2019·贵州省高三适应性考试)我国南北朝时代的数学家祖暅提出体积的计算原理(祖暅原理)：“幂势既同，则积不容异”，“幂”是截面积，“势”是立体的高．意思是：如果两个等高的几何体在同高处截得两个几何体的截面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个形状不规则的封闭图形，图2是一个上底长为1，下底长为2的梯形，且当实数t 取[0,3]上的任意值时，直线y ＝t 被图1和图2所截得的两线段长总相等，则图1的面积为( )A ．4 B.92 C ．5 D.112[解析] 由题意可知，S 图1＝S 图2＝12×(1＋2)×3＝92.故选B.[答案] B12．(2019·上海师大附中检测)若数列{a n }满足：对任意的n ∈N *，只有有限个正整数m 使得a m <n 成立，记这样的m 的个数为(a n )*，则得到一个新数列{(a n )*}．例如，若数列{a n }是1,2,3，…，n ，…，则数列{(a n )*}是0,1,2，…，n －1，….已知对任意的n ∈N *，a n ＝n 2，则((a n )*)*＝( )A ．2nB ．2n 2C ．nD ．n 2[解析] 对任意的n ∈N *，a n ＝n 2，则(a 1)*＝0，(a n )*＝(a 3)*＝(a 4)*＝1，(a 5)*＝(a 6)*＝…＝(a 9)*＝2，(a 10)*＝(a 11)*＝…＝(a 16)*＝3，……，所以((a 1)*)*＝1，((a 2)*)*＝4，((a 3)*)*＝9，……，由此猜想((a n )*)*＝n 2.故选D.[答案] D13．(2019·沧州联考)在一次连环交通事故中，只有一个人需要负主要责任，但在警察询问时，甲说：“主要责任在乙”；乙说：“丙应负主要责任”；丙说：“甲说的对”；丁说：“反正我没有责任”．四个人中只有一个人说的是真话，则该事故中需要负主要责任的人是________．[解析] 若负主要责任的人是甲，则甲、乙、丙说的都是假话，只有丁说的是真话，符合题意；若负主要责任的人是乙，则甲、丙、丁说的都是真话，不合题意；若负主要责任的人是丙，则乙、丁说的都是真话，不合题意；若负主要责任的人是丁，则甲、乙、丙、丁说的都是假话，不合题意．故该事故中需要负主要责任的人是甲．[答案] 甲14．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝2S n ＋1n ＋2(n ∈N *)，求数列{a n }的通项公式．[解] 因为a n ＝2S n ＋1n ＋2，所以S n ＝(n ＋2)a n －12，所以a 1＝S 1＝3a 1－12，解得a 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n ＋2)a n －12－(n ＋1)a n －1－12， 所以na n ＝(n ＋1)a n －1(n ≥2)，即a n ＝n ＋1n a n －1(n ≥2)．所以a 2＝32a 1，a 3＝43a 2，a 4＝54a 3，…a n ＝n ＋1n a n －1，将以上(n －1)个式子相乘，得a n ＝n ＋12a 1＝n ＋12(n ≥2)，又当n ＝1时，a 1＝1也适合，故a n ＝n ＋12.拓展延伸练15．(2018·黑龙江大庆模拟)从1开始的自然数按如图所示的规则排列，现有一个三角形框架在图中上下或左右移动，使每次恰有九个数在此三角形内，则这九个数的和可以为( )A ．2097B ．2112C ．2012D ．2090[解析] 当三角形在移动时，观察其规律，如果设三角形内部第一行的数为a ∈N *，则第二行的数为a ＋7，a ＋8，a ＋9，其和为3(a ＋8)，第三行的数为a ＋14，a ＋15，a ＋16，a ＋17，a ＋18，其和为5(a ＋16)，所以这九个数的和为S ＝a ＋3(a ＋8)＋5(a ＋16)＝9a ＋104，代入到各个选项中看能否算出a 即可．通过计算可得9a ＋104＝2012时，a＝212.由图示规律知212位于第27行第4列，符合题意．故选C.[答案] C16．(2018·济南市高考模拟)如图，将平面直角坐标系中的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上标签：原点处标数字0，记为a0；点(1,0)处标数字1，记为a1；点(1，－1)处标数字0，记为a2；点(0，－1)处标数字－1，记为a3；点(－1，－1)处标数字－2，记为a4；点(－1,0)处标数字－1，记为a5；点(－1,1)处标数字0，记为a6；点(0,1)处标数字1，记为a7；……；以此类推，格点坐标为(i，j)的点处所标的数字为i＋j(i，j均为整数)，记S n＝a1＋a2＋…＋a n，则S2018＝________.[解析]设a n的坐标为(x，y)，则a n＝x＋y.第一圈从点(1,0)到点(1,1)共8个点，由对称性可知a1＋a2＋…＋a8＝0；第二圈从点(2,1)到点(2,2)共16个点，由对称性可知a9＋a10＋…＋a24＝0；……；以此类推，可得第n圈的8n个点对应的这8n项的和也为0.设a2018在第k圈，则8＋16＋…＋8k＝4k(k＋1)，由此可知前22圈共有2024个数，故S2024＝0，则S2018＝S2024－(a2024＋a2023＋…＋a2019)，a2024所在点的坐标为(22,22)，a2024＝22＋22，a2023所在点的坐标为(21,22)，a2023＝21＋22，以此类推，可得a2022＝20＋22，a2021＝19＋22，a2020＝18＋22，a2019＝17＋22，所以a2024＋a2023＋…＋a2019＝249，故S2018＝－249.[答案]－249。
北师版高考总复习一轮理科数精品课件 第7章 不等式、推理与证明 第3节 合情推理与演绎推理
2
3
4
答案:(1)C (2)C
解析:(1)由题意,设 1 + =x,则 x2-x-1=0(x>0),
解得
1+ 5
1- 5
x= 2 或 2 (舍),∴式子
1+ 1+ 1+
1+ 5
…的值为 2 .
(2)将△ABC的边长a,b,c类比三棱锥P-ABC的四个面的面积S1,S2,S3,S4,
1
1
将三角形面积公式中的系数 2 类比三棱锥体积公式中的系数 3 ,从而可知C
选择的课程(
A.可能是乒乓球
)
B.可能是足球
C.可能是羽毛球
D.一定是篮球
(2)(2021四川乐山诊断测试)某医院医疗小组有七名护士,每名护士从周一
到周日轮流安排一个夜班.若甲的夜班比丙晚一天,丁的夜班比戊晚两天,
乙的夜班比庚早三天,己的夜班在周四,且恰好在乙和丙的正中间,则周五
值夜班的护士为(
A.甲
定义 有某种属性,推断该类事物中
每一个事物 都有这种属性
由 部分 到 整体 、由
特点
个别 到 一般 的推理
类比推理
由两类不同对象具有某些类似特征,
在此基础上,根据一类对象的
其他特征 ,推断另一类对象也具
有类似的其他特征的推理
两类事物特征之间的推理
(1)找出两类事物之间的相似性或一
(1)通过个别情况发现某些相同
故点(2,3,4)到平面 x+2y+2z-4=0 的距离 d=
12 +22 +22
=4.
考点三
演绎推理
典例突破
例4.(1)(2021江苏徐州一中高三期末)习近平总书记在2022年北京冬奥会筹
高考数学 第六章 第五节合情推理和演绎推理课件 理
热点考向 1 归纳 【方法点睛】
归纳的特点 (1)归纳是由部分到整体、由特殊到一般的推理. (2)由归纳所得的结论不一定正确，通常归纳的个数越多，越 具有代表性，推广的一般性结论也会越可靠，它是一种发现一 般性规律的重要方法.
【例1】(1)已知：f(x)= x ,设f1(x)=f(x),fn(x)=
第五节 合情推理和演绎推理
1.合情推理
归纳
定 义
由一系列有限的_特__殊__ _事__例__得出一__般__结__论__的
推理方法叫作归纳.
模
从个别事实中概括出 一般原理的一种推理
式 模式
类比
根据两个不同的对象在某方 面的_相__似__之__处__，推测出这 两个对象在其他方面也可能 有__相__似__之__处__，这就是类比.
1 x
fn-1(fn-1(x))(n>1且n∈N*),则f3(x)的表达式为________，猜想 fn(x)(n∈N*)的表达式为_________.
1=1
(2)观察式子： 3+5=8 你可以猜出的一个一般性结论是____.
7+9+11=27 (3)设f(x)= 1 ，先分别求f(0)+f(1),f(-1)+f(2),
,
1 4x
故猜想fn(x)=
1
x 2 n 1
x
.
答案：f3
x
1
x 22
x
fn
x
1
x 2 n 1
x
(2)由前三个等式得 13+15+17+19=64=43,21+23+25+27+29= 125=53，所 以第n个等式的第一［ 2个数n 应1为n 第1］［11+n2+n …1+ (1n, -1)
2012届高三数学复习课件广东文第15章第1节合情推理与演绎推理
三段论推理
例 题 3 ： 证 明 ： 函 数 f x x 2 2 x 在 ( ， 1 ] 上 是 增 函 数 ．
解析：任取x1，x2 (，1]，x1 x2，
A .3 B .4 C .32 D .42
解析：依题意设直线AB的方程为yxb，A(x1，y1)、
B(x2，y2)．由yyxx2b3，消去y得x2xb30，则
x1x2
1.故线段AB的中点M(1， 1b)． 22
又由M(1， 1b)在直线xy0上，可求得b1. 22
所以x2x20.
由弦长公式可求得AB 112 12423 2.
提 是 函 数 fxx22x在 ( ， 1]上 满 足 增 函 数 的 定 义 ．
本 题 的 大 前 提 很 明 显 ， 所 以 可 以 省 略 大 前 提 ．
拓 展 练 习 ： 已 知 抛 物 线 yx2 3上 存 在 关 于 直 线 xy0
对 称 的 相 异 两 点 A 、 B ， 则 A B等 于
反 思 小 结 ： 1不 仅 要 注 意 形 式 的 类 比 ， 还 要 注 意 方 法 的 类 比 ； 2类 比 推 理 常 见 的 情 形 有 ： 平 面 向 空 间 类 比 ；
低 维 向 高 维 类 比 ； 等 差 数 列 与 等 比 数 列 类 比 ； 实 数 集 的 性 质 向 复 数 集 的 性 质 类 比 ； 圆 锥 曲 线 间 的 类 比 ； 等 等 ．
推理一般包括合情推理与演绎推理，合情推理是 指根据已有的事实和正确的结论(包括公理、定理、常 用的结论)导出合理结果的推理过程，或根据个人的经 验和直觉推测出某些结果的推理过程．因此，当前提 为真时，结论可能为真的推理就是合情推理．最常见 的合情推理有归纳推理和类比推理．在解决问题时， 合情推理具有猜测、设想和发现结论及探索和提供思 路的作用，有利于创新意识的培养．演绎推理是根据 已有的事实和正确的前提，按照严格的逻辑法则得出 新的结论的推理过程，其特点是，当前提为真时，结 论必然为真．
复习：合情推理与演绎推理
8.1合情推理与演绎推理教学目标1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用.2.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的三段论模式，并能运用它们进行一些简单推理．3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异．重点：利用归纳推理、类比推理去发现新的结论，新方法，并进一步用演绎推理证明.难点：在类比推理中如何找出类比对象的相似性与区别.能力点：综合运用合情推理与演绎推理解决一些简单的推理问题.教育点：了解合情推理在数学发现中的作用及演绎推理的重要性,及时总结学习方法.自主探究点：对典型例题与变式训练中解题思路的探究.易错点：在进行归纳推理时，不会化简整理代数式或运算错误，导致找不到规律而误解.学法与教具 1.学法：讨论法 2.教具：投影仪二、【知识梳理】1．合情推理（1）归纳推理：由某类事物的具有某些特征，推出该类事物的都具有这些特征的推理；或者由概括出的推理，称为归纳推理．简言之，归纳推理是由部分到、由到的推理.【归纳推理可以发现新事实，获得新结论.归纳推理是研究数列常用的方法.】（2）类比推理：由两类对象具有和其中一类对象的某些，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理．简言之，类比推理是由到的推理.【我们进行类比推理时，要尽量从本质上去类比，不要被表面形式所迷惑.】（3）合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过、、、，再进行、，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理.【合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论，证明一个数学命题之前，合情推理往往能为我们提供证明的思路和方向.合情推理的结论不一定正确.】2．演绎推理（1）演绎推理：从 出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由 到 的推理．（2）“三段论”是演绎推理的一般模式，它包括： ①大前提— ； ②小前提— ； ③结论— ．三、【范例导航】(一)归纳推理例1：在数列{}n a 中，*1121,,2nn na a a n N a +==∈+，猜想这个数列的通项公式，这个猜想正确吗？ 请说明理由.【设计意图】本题是课本选修2-2第71页例1的变式题，精讲课本例题可以强化学生回扣课本的意识，这是抓好一轮复习的关键.【分析】归纳推理的一般步骤：列举个别情况，发现某些共同性质；从已发现的共同性质中归纳出一个明确表达的一般性结论.解：在数列{}n a 中，1121221,,23a a a a ===+232212,224a a a ===+34322,25a a a ==+ 所以猜想数列{}n a 的通项公式为*2,()1n a n N n =∈+.猜想正确，证明如下： 111221111,,222n n n n n n n a a a a a a a a +++==∴==++， 即数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以111a =为首相，以12为公差的等差数列.*11121(1),,221n n n n a n N a n +∴=+-=∴=∈+ 【点评】先归纳猜想，再用数学知识证明，这在数列和三角函数中经常出现. 变式训练1：（2012福建）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： (1)︒︒-︒+︒17cos 13sin 17cos 13sin 22； (2)︒︒-︒+︒15cos 15sin 15cos 15sin 22； (3)︒︒-︒+︒12cos 18sin 12cos 18sin 22； (4)︒︒--︒+︒-48cos )18sin(48cos )18(sin 22； (5)︒︒--︒+︒-55cos )25sin(55cos )25(sin 22. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．【分析】先选取特殊角进行运算，再对已知几个式子进行探究，分析式子的结构特征，和数据关系规律，归纳出一般结论，然后进行三角变换，运算证明.答案：推广的三角恒等式为43)30cos(sin )30(cos sin 22=-︒--︒+αααα. 【点评】(1)从特殊值出发进行计算.(2)证明方法一直接代入两角差的余弦公式，展开运算，方法二先用二倍角余弦公式降幂，再代入差的余弦公式.变式训练2.(2013陕西理14)观察下列等式：22222222211,123,1236,123410,,=-=--+=-+-=-⋅⋅⋅照此规律，第n 个等式可为答案：22121(1)12(1)(1)2n n n n n +++-+⋅⋅⋅+-=- (二)类比推理例2.已知O 是ABC ∆内任意一点，连接,,AO BO CO 并延长交对边于,,A B C '''.则1OA OB OC OA OB OC'''++=. 这是一道平面几何中的一个命题，其证明常用“面积法”：1OBC OAC OABABC ABC ABCS S S OA OB OC OA OB OC S S S ∆∆∆∆∆∆'''++=++=. 请运用类比思想，对于空间中的四面体V BCD -，存在什么类似的结论？并对此结论进行证明. 【设计意图】本题是课本选修2-2第98页第5题.数学中非常有意义的一对类比对象就是三角形和四面体.【分析】类比推理要确定合适的类比对象，明确类比对象的相似性及本质性区别，才能使类比结论更为合理.类比三角形的面积分割思想，可以类比到四面体的体积分割法.1O BCD O ACD O ABD O ABCA BCD A BCD A BCD A BCDV V V V OA OB OC OD OA OB OC OD V V V V --------''''+++=+++= 【点评】三角形与是四面体是一对很好的类比对象，如课本第74页例3，第78页练习3，第82页“阅读与思考”如类比三角形内切圆的半径2S r a b c =++可得四面体的内切球半径12343Vr S S S S =+++.数学中常用的类比对象还有：“等差数列与等比数列”，“椭圆与双曲线”“实数与复数的类比”等.变式训练1:已知数列{}n a 是公差为d 的等差数列，其前n 项和为n S ，则有n m n m S S S mnd +=++，对于公比为q 的等比数列数列{}n b 来说，其前n 项积为n T ，则关于n m T +，n T ，m T 及q 的一个关系式为（ ）. 【分析】等差数列{}n a 与等比数列{}n b 能够类比的原因是它们有很多相似之处，了解了相似性并认识到本质性区别，就可以进行新的类比.对比（1）定义：1n n a a d +-=，1n nb q b +=； （2）通项公式1(1)n a a n d =+-，11n n b b q -=⋅可以发现等差数列与等比数列的类比是“运算法则”的比较，是等差数列中的“和、差、积、商”与等比数列中的“积、商、幂、开方”一一对应.所以nm n m n m T T T q +=⋅⋅【点评】应用方法类比思考是类比的重点，也是学习数学的重要方法.推导方法对比：121n m n n n m S a a a a a +++=++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+12()n m n m S a nd a nd a nd S S mnd =+++++⋅⋅⋅++=++12112[()()()]n n n n m n n n m n m T bb b b b T b q b q b q +++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅nmn m T T q= 变式训练2.先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：已知1212,,1,a a R a a ∈+=求证221212a a +≥. 证明：构造函数2212()()(),f x x a x a =-+-2212,()0,48()0x R f x a a ∀∈≥∴=-+≤，即221212a a +≥. (1)请写出上述结论的推广式；（2）参考上述证明方法，对推广的结论加以证明.答案：（1）若1212,,1,n n a a a R a a a ⋅⋅⋅∈++⋅⋅⋅+=则222121n a a a n++⋅⋅⋅+≥ （2）证明：构造函数22212()()()(),n f x x a x a x a =-+-+⋅⋅⋅+-化简整理得22222222121212()2()()2()n n n f x nx a a a x a a a nx x a a a =-++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅=-+++⋅⋅⋅ 22212,()0,44()0n x R f x n a a a ∀∈≥∴=-++⋅⋅⋅≤，即222121n a a a n++⋅⋅⋅≥. 【点评】类比推广即是“举一反三”的学习方法，希望大家能在学习中加以应用.四、【解法小结】1．运用归纳推理时，要认真分析所给式子的结构特征，数据变化规律等，尽量多对比几个特殊结果，从而得到一般结论．2．运用类比推理时，要领悟类比对象的相似性及其本质性区别，尽量从方法内涵上进行类比推广. 3．运用演绎推理解决具体问题时，要掌握三段论模式及特点，应当明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可能被省略．五、【布置作业】 必做题：1.观察下列等式：4360cos 30sin 60cos 30sin 22=︒︒+︒+︒4350cos 20sin 50cos 20sin 22=︒︒+︒+︒ 4345cos 15sin 45cos 15sin 22=︒︒+︒+︒分析上述各式的共同特点，猜想反映一般规律的等式为 2.数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,⋅⋅⋅的第1000项是（ ） A .42 B. 45 C. 48 D. 51 3.（2013陕西文13） 观察下列不等式：23(11)21,(21)(22)213,(31)(32)(33)2135,+=⨯++=⨯⨯+++=⨯⨯⨯……照此规律，第n 不等式为______________．4. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则4S ，48S S -，812S S -，1216S S -成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{}n b 的前n 项积为n T ，则4T ， ， ，1216T T 成等比数列． 5.在平面中，ABC ∆的角C 的内角平分线CE 分ABC ∆面积所成的比BCACS S BEC AEC =∆∆.将这个结论类比到空间：在三棱锥BCD A -中，平面DEC 平分二面角B CD A --且与AB 交于E ，则类比的结论为________．必做题答案：1.43)30cos(sin )30(cos sin 22=︒++︒++αααα；2.A ；3.(1)(2)()213(21)nn n n n n ++⋅⋅⋅+=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯-；4.48T T ,812T T 5.BCD ACD CDE B CDE A S S V V ∆∆--=．选做题：1.椭圆与双曲线有许多优美的对偶性质，如对于椭圆有如下命题：AB 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的不平行于对称轴且不过原点的弦，M 为AB 的中点，则22OM ABb k k a=-.那么对于双曲线有如下的命题：AB 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的不平行于对称轴且不过原点的弦，M 为AB 的中点，则OM AB k k =_______2.（2013湖北理14）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10,⋅⋅⋅，第n 三角形数为2(1)22n n n n++=.记第n 个k 边形数为(,)(3)N n k k ≥，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数2(,3)22n n N n =+，正方形数2(,4)N n n =，五边形数23(,5)22n n N n =-，六边形数2(,6)2N n n n =-……可以推测(,)(3)N n k k ≥的表达式，由此计算(10,24)N =_______选做题答案：1.22ba；2. 2(,)(1)(2)22k kN n k n n=---，(10,24)1000N=六、【教后反思】1.本教案的亮点：（1）针对合情推理和演绎推理的应用，设计了两类题型及变式训练，分析引导注重学法教育，落实较好；（2）演绎推理没有单独举例，在合情推理后都有演绎推理，这正好符合“合情推理发现新结论，演绎推理来证明”,节约了课堂时间也突出了数学方法的教学.(3)作业布置分为必做题和选做题，可以激发优秀学生的探究热情，题目选择针对性强，有利于对本节课的进一步巩固，提高学生解决问题的能力2.不足之处：演绎推理的三段论涉及少.。
数学：2[1].1《合情推理与演绎证明--合情推理》PPT课件(新人教A版-选修1-2)
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2
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解;设an表示移动n块金属片时的移动次数. 当n=1时,a1=1 当n=2时,a2= 3 猜想 an= 2n -1 当n=3时,a3= 7 当n=4时,a4= 15
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歌德巴赫猜想的提出过程：
…
这种由某类事物的部分对象具有某些特征, 推出该类事物的全部对象都具有这些特征 的推理,或者由个别事实概栝出一般结论 的推理,称为归纳推理.(简称;归纳) 归纳推理的几个特点;
1.归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳 所得的结论超越了前提所包容的范围. 2.归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚 属未知的现象,因而结论具有猜测性. 3.归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观 察、经验和实验的基础之上. 归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分 析的基础上.提出带有规律性的结论. 需证明
这就是著的哥德巴赫猜想。欧拉在6月30日给他的回信中说， 他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。叙述如此简单的问 题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引 起了许多数学家的注意。从提出这个猜想至今，许多数学家都 不断努力想攻克它，但都没有成功。当然曾经有人作了些具体 的验证工作，例如: 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 + 11, 18 = 5 + 13, . . . . 等等。有人对33×108以内且大过6之偶数一 一进行验算，哥德巴赫猜想(a)都成立。但严格的数学证明尚 待数学家的努力。从此，这道著名的数学难题引起了世界上成 千上万数学家的注意。200年过去了，没有人证明它。哥德巴 赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。到了 20世纪20年代，才有人开始向它靠近。
高中数学一轮复习课件：合情推理和演绎推理
• A．①② B．①③ • C．①②④ D．②④ • 解析：①是类比推理，②④是归纳推理， ③是非合情推理． • 答案：C
• 2．下面给出了关于复数的四种类比推理： • ①复数的加减法运算可以类比多项式的加 减法运算法则； • ②由向量a的性质|a|2＝a2类比得到复数z 的性质|z|2＝z2；
• 变式迁移 3 用三段论的形式写出下列演 绎推理． • (1)若两角是对顶角，则该两角相等，所 以若两角不相等，则该两角不是对顶角； • (2)矩形的对角线相等，正方形是矩形， 所以，正方形的对角线相等；
• (4)y＝sinx(x∈R)是周期函数．
• 解：(1)两个角是对顶角，则两角相等， 大前提 • ∠1和∠2不相等，小前提 • ∠1和∠2不是对顶角，结论 • (2)每一个矩形的对角线相等，大前提 • 正方形是矩形，小前提 • 正方形的对角线相等，结论
(2)设 a100＝2s0＋2t0，只需确定正整数 s0，t0，数列 {an}中小于 2t0 的项构成的集合为{2t＋2s|0≤s<t，s， t∈Z， t0≥2}． 由三角形数表构造及(1)可知从上面第一 行到 a100 所在行的上面一行共有元素个数为 C2t0 ＝ t0(t0－1) t0(t0－1) 1＋ 801 ，依题意得 ≤100，解得 t0≤ 2 2 2 <15，满足不等式的最大整数 t0＝14，因为 100－C2 14＝ s0＋1，由此解得 s0＝8， 所以 a100＝28＋214＝16640.
• 解析：两组对边分别平行类比可得三组对 面分别平行．一组对边平行且相等类比可 得两组对面分别平行且全等． • 答案：①三组对面分别平行 • ②两组对面分别平行且全等
a 【例 3】 已知函数 f(x)＝－ x (a>0 且 a≠1)， a＋ a 1 1 (1)证明：函数 y＝f(x)的图象关于点(2，－2)对称； (2)求 f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)的值．
合情推理与演绎推理
合情推理与演绎推理一、推理：1、推理的定义：从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理2、推理的结构：推理的前提：所依据的命题，它告诉我们已知的知识是什么；推理的结论：根据前提推得的命题，它告诉我们推出的知识是什么。
3、推理的一般形式：推理可看作是用连接词将前提和结论连结起来的一个逻辑连接。
常用的连接有：“因为…所以…”、“如果…那么…”、“根据…可知…”等等形式。
下面是三个推理案例：① 前提：当0=n 时，11112=+-n n ② 前提：矩形的对角线的平方等于长和宽的平方和当1=n 时，11112=+-n n 结论：长方体对角线的平方等于长、宽、高的平方和当2=n 时，13112=+-n n ③ 前提：所有的树都是植物，梧桐是树当3=n 时，17112=+-n n 结论：梧桐是植物当4=n 时，23112=+-n n当5=n 时，31112=+-n n31,23,17,13,11,11都是质数结论：对于所有的自然数11,2+-n n n 的值都是质数4、推理的分类：推理一般可分为“合情推理”和“演绎推理”两种类型。
二、合情推理：合情推理只有两种形式，那就是归纳推理和类比推理。
观察、比较、估算、联想是归纳和类比的方法；自觉、顿悟、灵感是产生合情推理的心理活动形式；归纳推理是由特殊到一般的推理，类比推理是特殊到特殊的推理。
合情推理过程概括为：可见，归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理、我们把它们统称为合情推理1、归纳推理（1）定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论性的结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)。
（2）特点：① 归纳推理是“由部分到整体，由个体到一般”的推理；② 归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，结论是尚属未知的一般现象；③ 归纳推理具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验。
2012高考总复习《走向清华北大》精品课件2命题及其关系_充分条件与必要条件
第二讲命题及其关系､充分条件与必要条件回归课本1.命题(1)一般地,我们把用语言､符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫命题,其中判断为真的语句叫真命题,判断为假的语句叫假命题.(2)“若p则q”是数学中常见的命题形式,其中p叫做命题的条件,q叫做命题的结论.(3)若原命题为“若p则q”,则它的逆命题为若q则p,它的否命题为若¬ p则¬q,它的逆否命题为若 ¬ q则¬ p. (4)互为逆否的命题是等价的,它们同真同假,在同一个命题的四种命题中,真命题的个数可能为0､2､4个.(5)否命题与命题的否定的区别:首先,只有“若p则q”形式的命题才有否命题,其形式为“若⌝ p则⌝q.”其他形式的命题只有“否定”,而没有否命题,其次,命题的否定与原命题一真一假,而“若p则q”形式的命题的否命题与原命题的真假可能相同也可能相反.2.充要条件(1)“若p则q”为真命题是指由p通过推理可以得出q,这时我们就说由p可以推出q,记作p⇒q,并说p是q的充分条件,q是p的必要条件.(2)若既有p⇒ q又由q ⇒ p,则p是q的充分必要条件,记作p⇔q.(3)从集合的角度认识充分条件､必要条件.设A ､B 为两个集合,A={x|p(x)},B={x|q(x)}则①若AB,则p 是q 的充分条件,q 是p 的必要条件;②若B A,则p 是q 的必要条件;③若A=B,则p 是q 的充要条件.(4“)q ⇒ p ”⇔“⌝p ⇒ ⌝q ”“;p ⇒ q ”⇔“⌝q ⇒ ⌝p ”.3.反证法证明命题的一般步骤(1)否定结论,(2)从假设出发,经过推理论证得出矛盾,(3)断定假设错误,肯定结论成立.反证法属于间接证法,当证明一个结论成立,已知条件较少,或结论的情况较多,或结论是以否定形式出现,如某些结论中含有“至多”､“至少”､“惟一”､“不可能”､“不都”等指示性词语时往往考虑采用反证法证明结论成立.考点陪练1.若p是q的充分条件, r是q的必要条件, 则()A.⌝p ⇒ rB.⌝r ⇒ ⌝pC.⌝p ⇒ ⌝rD.p ⇔ r解析: p是q的充分条件,∴p⇒q,∴⌝q ⇒ ⌝p.r是q的必要条件,∴q ⇒ r,∴⌝r ⇒ ⌝q, 又⌝q ⇒ ⌝p,∴⌝r ⇒ ⌝p,∴选B.答案:B2.“m>2”是“方程x2-mx+m+3=0的两根都大于1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.不充分不必要条件解析 : 设方程有两根x 1 , x 2 , 则∆ ≥ 0且x1 + x2 = m, x 1 x 2 = m + 3.(1) ⎧x 1 > 1, ⎧x 1 + x 2 > 2, ⎧m > 2, ⇒ m > 2;⎨ ⇒ ⎨ ⇒ ⎨ ⎩x 2 > 1, ⎩x 1 x 2 > 1, ⎩m + 3 > 1,又∆≥0, 即: m 2 - 4m -12≥0; 解之得m ≥ 6 或m ≤- 2;综上可知m ≥6.(2)m>2时,取m=3,此时方程为x2-3x+6=0无实根,即m>2不能推出x1>1且x2>1.由(1)(2)知m>2是方程的两根都大于1的必要不充分条件. 答案:B3.(2010·陕西)对于数列{a n},“a n+1>|a n|(n=1,2,…)”是“{a n}为递增数列”的( )A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:因为a n+1>|a n|a n+1>a n{a n}为递增数列,但{a n}为递增数列a n+1>a n推不出a n+1>|a n|,故“a n+1>|a n|(n=1,2,…)”是“{a n}为递增数列”的充分不必要条件,选B. 答案:B4.(2010·山东)设{a n}是等比数列,则“a1<a2<a3”是“数列{a n}是递增数列”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析:由题可知,若a1<a2<a3,即⎧a1 < a1 q,⎨⎩a1 q < a1 q2当a1>0时,解得q>1,此时数列{a n}是递增数列,当a1<0时,解得0<q<1,此时数列{a n}是递增数列;反之,若数列{a n}是递增数列,则a1<a2<a3成立,所以“a1<a2<a3”是“数列{a n}是递增数列”的充分必要条件,故选C.答案:C5.(2010·深圳模拟题)若命题p的逆命题是q,命题p的否命题是r,则q是r的()A.逆命题B.否命题C.逆否命题D.以上结论都不对解析:设p为A⇒B,则q为B⇒A,r为¬A⇒¬B.∴q是r的逆否命题.答案:C类型一判断命题及其真假解题准备:1.判断一个语句是否是命题的依据是命题的概念.2.判断命题的真假,首先分清命题的条件和结论,直接判断.如果不易直接判断,可根据互为逆否命题的等价关系来判断.【典例1】(反例法)有下列四个命题:(1)“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题;(2)“若a>b,则a2>b2”的逆否命题;(3)“若x≤-3,则x2+x-6>0”的否命题;(4)“若a b是无理数,则a､b是无理数”的逆命题. 其中真命题的个数是()A.0B.1C.2D.3[解] (1)逆命题为“若x､y互为相反数,则x+y=0”是真命题.(2)∵原命题为假,∴其逆否命题为假.(3)否命题为“若x>-3,则x2+x-6≤0”,假如x=4>-3,但x2+x-6=14>0,故为假.(4)逆命题“若a､b是无理数,则a b也是无理数”,假如a =(2)2 ,b= 2, 则a b=2是有理数.故为假.[答案] B[反思感悟] 判断一个命题为假命题,只需举出一个反例,无需证明.类型二四种命题及其关系解题准备:互为逆否关系的命题是等价命题:原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假.所以:①当判断一个命题的真假有困难时,可以判断它的逆否命题的真假;②原命题､逆命题､否命题､逆否命题这四个命题中真命题的个数可能是0个､2个､4个.【典例2】分别写出下列命题的逆命题､否命题､逆否命题､命题的否定,并判断它们的真假:(1)若q≤1,则方程x2+2x+q=0有实根;(2)若xy=0,则x=0或y=0;(3)若x2+y2=0,则x、y全为0.[解] (1)原命题是真命题;逆命题:若方程x 2+2x+q=0有实根,则q≤1,为真命题; 否命题:若q>1,则方程x 2+2x+q=0无实根,为真命题; 逆否命题:若方程x 2+2x+q=0无实根,则q>1,为真命题; 命题的否定:若q≤1,则方程x 2+2x+q=0无实根,为假命题.(2)原命题为真命题;逆命题:若x=0或y=0,则xy=0,是真命题; 否命题:若xy≠0,则x≠0且y≠0,是真命题; 逆否命题:若x≠0且y≠0,则xy≠0,是真命题;命题的否定:若xy=0,则x≠0且y≠0,是假命题.(3)原命题为真命题.逆命题:若x 、y 全为0,则x 2+y 2=0,为真命题; 否命题:若x 2+y 2≠0,则x 、y 不全为0,为真命题; 逆否命题:若x 、y 不全为0,则x 2+y 2≠0,为真命题;命题的否定:若x 2+y 2=0,则x 、y 不全为0,是假命题.[反思感悟] (1)注意:①“都是”的否定是“不都是”,而不是“都不是”,因为“x、y不都是奇数”包含“x是奇数y不是奇数”､“x不是奇数y是奇数”､“x、y都不是奇数”三种情况;②“x=0或y=0”的否定是“x≠0且y≠0”,而不是“x≠0或y≠0”,因为“x=0或y=0”包含“x=0且y≠0”、“x≠0且y=0”､“x=0且y=0”三种情况.(2)要注意区别“否命题”与“命题的否定”:否命题要对命题的条件和结论都否定,而命题的否定仅对命题的结论否定.类型三充分必要条件的判定与证明解题准备:判断一个命题是另一个命题的什么条件,关键是利用定义:如果p⇒q,则p叫做q的充分条件,原命题(或逆否命题)成立,命题中的条件是充分的,也可称q是p的必要条件;如果q⇒p,则p叫做q的必要条件,逆命题(或否命题)成立,命题中的条件为必要的,也可称q 是p 的充分条件;如果既有 p ⇒q,又有q ⇒p,记作pq,则p 叫做q 的充分必要条件,简称充要条件,原命题和逆命题(或逆否命题和否命题)都成立, 命题中的条件是充要的.【典例3】求证方程ax2+2x+1=0有且只有一个负实数根的充要条件是a≤0或a=1.[思路点拨] 首先应从充分性和必要性两个方面进行证明,其次要注意对参数a的分类讨论.[证明] 充分性:当a=0时,方程变为2x+1=0,其根为x=- ,方程只有一负根.当a=1时,方程为x 2+2x+1=0,其根为x=-1.方程只有一负根.当a<0时,Δ=4(1-a)>0,方程有两个不相等的根,且 1a 0,方程有一正一负根.必要性:若方程ax 2+2x+1=0有且仅有一负根.当a=0时,适合条件.当a≠0时,方程ax 2+2x+1=0有实根,则Δ=4-4a≥0,∴a≤1,当a=1时,方程有一负根x=-1. ⎧a <1 若方程有且仅有一负根,⎪ ,∴a < 0. 则⎨1⎪< 0⎩a 综上方程ax 2+2x+1=0有且仅有一负实数根的充要条件为a≤0或a=1.[反思感悟] (1)这类证明问题需要证明充分性和必要性两个方面,因此应分清条件和结论,由条件证明结论成立是充分性,由结论证明条件成立是必要性,不能将二者混淆;(2)涉及一元二次方程根的问题,主要利用根的判别式进行求解,同时不能忘记对x 2项系数的分类讨论.[探究] 是否存在实数p,使“4x+p<0”是“x2-x-2>0”的充分条件?如果存在,求出p的取值范围.[分析] “4x+p<0”是条件,“x2-x-2>0”是结论,先解出这两个不等式,再探求符合条件的p的范围.[解]x2- x - 2 > 0的解是x > 2或x < -1,由4x + p < 0得 x < -4p.要想使x < -4p时x > 2或x < -1成立,必须有-4p≤-1,即p≥4,所以当p≥4时,-4p≤-1⇒x< -1⇒x2- x - 2 > 0, 所以p≥4时“,4x + p < 0”是“x2- x - 2 > 0”的充分条件.[反思感悟] 本题用集合的包含关系去理解更容易解答,注意结合数轴确定p的范围.错源一判断充分必要条件时不注意设问方式【典例1】 使不等式2x 2-5x-3≥0成立的一个充分不必要条件是( )A.x≥0B.x<0或x>2C.x ∈{-1,3,5}D.x≤- 或x≥3[错解] 由2x 2-5x-3≥0得x≥3或x≤- ,当x≥3或x≤ - 时能推出B选项,但当B 选项成立时,不一定能推出x≥3或x≤ - ,所以选B.[剖析] 本题错误在于没有弄清楚问题的设问方式,混淆了条件和结论而导致的.正确的理解是所选选项是2x 2-5x-3≥0 成立的充分不必要条件.[正解] 依题意所选选项能使不等式2x 2-5x-3≥0成立,但当不等式2x 2-5x-3≥0成立时,却不一定能推出所选选项.由于不 等式2x 2-5x-3≥0的解为:x≥3或x≤- ,所以应选C.[答案] C错源二四种命题的结构不明致误【典例2】写出命题“若a,b都是偶数,则a+b是偶数”的逆命题,否命题,逆否命题,并判断它们的真假.[剖析] 解本题易出现的错误有两个:一是对一个命题的逆命题､否命题､逆否命题的结构认识模糊出错;二是在否定一个结论时出错,如对“a,b都是偶数”的否定应该是“a,b不都是偶数”,而不应该是“a,b都是奇数”.[正解] 逆命题:“若a+b是偶数,则a,b都是偶数.”它是假命题;否命题:“若a,b不都是偶数,则a+b不是偶数.”它是假命题; 逆否命题:“若a+b不是偶数,则a,b不都是偶数.”它是真命题.[评析]四种命题的结构与等价关系如果原命题是“若A,则B”,则这个命题的逆命题是“若B,则A”,否命题是“若¬A,则¬B”,逆否命题是“若¬B,则¬A”.这里面有两组等价的命题,即“原命题和它的逆否命题等价,否命题与逆命题等价”.在解答由一个命题写出该命题的其他形式的命题时,一定要明确四种命题的结构以及它们之间的等价关系.技法一等价命题转化法【典例1】若p:x+y≠3,q:x≠1或y≠2.则p是q的什么条件? [解] 直接判断原命题“若p,则q”的真假比较难,但它的逆否命题即“若x=1且y=2,则x+y=3”显然为真,故原命题也为真,即p⇒q.逆命题的真假较难判断,但它的等价命题否命题“若x+y=3,则x=1且y=2”显然为假,故逆命题也为假,即q⇒p.所以p 是q的充分不必要条件.[方法与技巧] 当所给命题的充要条件不好判定时,可利用四种命题的关系,对命题进行等价转换.常利用“原命题⇔逆否命题”,“否命题⇔逆命题”.一些否定形式的命题常用这种方法判定.技法二快速解题(列表法)【典例2】有6名歌手进入决赛的电视歌曲大奖赛,组委会只设一名特别奖.赛前观众A猜:不是1号就是2号能获特别奖;B猜:3号不可能获特别获:C猜:4､5､6号都不可能获特别奖;D猜;能获特别奖的是4､5､6号中的一个,赛后结果表明, 四人中只有一人猜对了.问:谁猜对了?几号歌手获特别奖?[快解] 将所猜能获奖的记为√,不能获奖记为×,由题意得下表:歌手 1 2 3 4 5 6观众A √√××××B √√×√√√C √√√×××D ×××√√√从表中可以看出,所猜3号的结果只有一人猜对,是C猜对的,3号歌手得了特别奖.[解题切入点] 可由C､D所猜入手.这两人所猜是对立的,但D 与B不能都对,因此,可以C猜对为前提进行推证.[分析思维过程] 可以明显看出C､D所猜是对立的.若C猜对了,则B､D都没猜对.再看A,A猜1号或2号,因为只有一个猜对,就不可能是1号或2号,只能是3号.如果是3号获特别奖,那么A､B､D都没有猜对,只有C猜对了.。
高考数学新一轮总复习 12.3 合情推理与演绎推理考点突破课件 理
A．dn＝c1＋c2＋n …＋cn
B．dn＝c1·c2n·…·cn
()
n C．dn＝
c1n＋cn2＋…＋cnn n
D．dn＝n c1·c2·…·cn
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• (2)(2014·江西八所重点高中模拟)半径为r的 圆的面积(miàn jī)S(r)＝π·r2，周长C(r)＝ 2π·r，若将r看作(0，＋∞)上的变量，则 (π·r2)′＝2π·r①，①式可用语言叙述为：圆 的面积(miàn jī)函数的导数等于圆的周长函 数．对于半径为R的球，若将R看作(0，＋ ∞)上的变量，请你写出类似于①的式子： ____________，此式可用语言叙述为
• (1)归纳推理的基本模式：a、b、c∈M且a、b、c具有某属性，
•
结论：∀d∈M，d也具有某属性．
•
(2)类比推理的基本模式：A：具有属性a，b，c，d；
•
B：具有属性a′，b′，c′；
•
结论：B具有属性d′
•
(a，b，c，d与a′，b′，c′，d′相似或相同)
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• 4．应用三段论解决问题时，应首先明确什 么是大前提，什么是小前提，如果大前提 与推理表式是正确的，结论必定是正确 的．如果大前提错误，尽管推理形式是正 确的，所得结论也是错误的．
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• (二)命题趋势 • 1．从考查内容看，类比推理、演绎推理是
考查的重点，其中归纳推理与数列结合的问 题是考查的热点． • 2．从考查形式看，三种题型都可能出现， 常以选择题、填空题的形式考查合情推理； 以选择题或解答(jiědá)题的形式考查演绎推 理，题目多属中低档题．
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比数列，则
c1·c2·…·cn