阿氏圆模型专题训练(中考数学压轴热点)
中考最值难点突破阿氏圆问题(解析版 )
中考最值难点突破阿氏圆问题模块一典例剖析+针对训练【模型简介】在圆上找一点P使得PA+k·PB的值最小．类型一：求和最小求PA+k·PB的最小值，PA+k·PB=PA+PC≥AC，当A，P，C三点共线时，最小值为AC1.(2019秋•山西期末)阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．已知平面上两点A、B，则所有符合PAPB=k(k>0且k≠1)的点P会组成一个圆．这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆．阿氏圆基本解法：构造三角形相似．【问题】如图1，在平面直角坐标系中，在x轴，y轴上分别有点C(m，0)，D(0，n)，点P是平面内一动点，且OP=r，设OPOD=k，求PC+kPD的最小值．阿氏圆的关键解题步骤：第一步：如图1，在OD上取点M，使得OM：OP=OP：OD=k；第二步：证明kPD=PM；第三步：连接CM，此时CM即为所求的最小值．下面是该题的解答过程(部分)：解：在OD上取点M，使得OM：OP=OP：OD=k，又∵∠POD=∠MOP，∴△POM∽△DOP．任务：(1)将以上解答过程补充完整．(2)如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，D为△ABC内一动点，满足CD =2，利用(1)中的结论，请直接写出AD+23BD的最小值．思路引领：(1)在OD上取点M，使得OM：OP=OP：OD=k，利用相似三角形的性质以及两点之间线段最短解决问题即可．(2)利用(1)中结论计算即可．解(1)在OD上取点M，使得OM：OP=OP：OD=k，又∵∠POD=∠MOP，∴△POM∽△DOP．∴MP：PD=k，∴MP=kPD，∴PC+kPD=PC+MP，当PC+kPD取最小值时，PC+MP有最小值，即C，P，M三点共线时有最小值，利用勾股定理得CM=OC2+OM2=m2+(kr)2=m2+k2r2．(2)∵AC=m=4，CDBC =23，在CB上取一点M，使得CM=23CD=43，∴AD+23BD的最小值为42+43 2=4103．总结提升：本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．针对训练1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连接AP，BP，求AP+12BP的最小值．思路引领：连接CP，在CB上取点D，使CD=1，连接DP、AD，则有CDCP=CPCB=12，以此可证明△PCD ∽△BCP ，即可得到PD BP=12，AP +12BP =AP +PD ，以此可推出当点A 、P 、D 在同一条直线上时，AP +12BP 的最小值为AD 的长，再根据勾股定理即可求解．解：连接CP ，在CB 上取点D ，使CD =1，连接DP 、AD ，则有CD CP =CP CB=12，∵∠PCD =∠BCP ，∴△PCD ∽△BCP ，∴PD BP =12，∴PD =12BP ，∴AP +12BP =AP +PD ，要使AP +12BP 最小，只要AP +PD 最小，当点A 、P 、D 在同一条直线上时，AP +PD 最小，即AP +12BP 的最小值为AD 的长，在Rt △ACD 中，CD =1，AC =6，∴AD =AC 2+CD 2=37．∴AP +12BP 的最小值为37．总结提升：本题主要考查相似三角形的判定与性质、勾股定理，根据题意分析出点A 、P 、D 在同一条直线上时，AP +12BP 的最小值为AD 的长是解题关键．2.如图，在平面直角坐标系xOy 中，A (6，-1)，M (4，4)，以M 为圆心，22为半径画圆，O 为原点，P 是⊙M 上一动点，则PO +2PA 的最小值为10．思路引领：连接OM ，在OM 上截取MN ，使得MN =2，连接PN ，AN ．证明△PMN ∽△OMP ，推出PN OP=MN MP =12，推出PN =12OP ，推出OP +2OA =212OP +PA =2(PN +PA )，再根据PN +PA ≥AN ，求出AN ，可得结论．解：连接OM ，在OM 上截取MN ，使得MN =2，连接PN ，AN ．∵M(4，4)，∴OM=42+42=42，∵PM=22，MN=2，∴PM2=MN•MO，∴PM MN =MO PM，∵∠PMN=∠OMP，∴△PMN∽△OMP，∴PN OP =MNMP=12，∴PN=12OP，∵N(3，3)，A(6，-1)，∴AN=32+42=5，∴OP+2OA=212OP+PA=2(PN+PA)，∵PN+PA≥AN，∴PN+PA≥5，∴OP+2OA≥10，∴OP+2OA的最小值为10，故答案为：10．总结提升：本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题．3.(2018•碑林区校级三模)问题提出：(1)如图1，在△ABC中，AB=AC，BD是AC边上的中线，请用尺规作图做出AB边上的中线CE，并证明BD=CE：问题探究：(2)如图2，已知点P是边长为6的正方形ABCD内部一动点，PA=3，求PC+ 12PD的最小值；问题解决：(3)如图3，在矩形ABCD中，AB=18，BC=25，点M是矩形内部一动点，MA=15，当MC+35MD最小时，画出点M的位置，并求出MC+35MD的最小值．思路引领：(1)如图1中，作线段AB的垂直平分线MN交AB于点E，连接EC．线段EC即为所求，再根据SAS证明△BAD≌△CAE即可解决问题；(2)如图2中，在AD上截取AE，使得AE=32．首先证明△PAE∽△DAP，推出PE DP=PA AD =12，可得PE=12PD，推出PC+12PD=PC+PE，利用三角形的三边关系即可解决问题；(3)如图3中，如图2中，在AD上截取AE，使得AE=9．由△MAE∽△DAM，推出EMMD =MA AD =1525=35，可得ME=35MD，推出MC+35MD=MC+ME，利用三角形的三边关系即可解决问题；解：(1)如图1中，作线段AB的垂直平分线MN交AB于点E，连接EC．线段EC即为所求；∵AB=AC，AE=EC，AD=CD，∴AE=AD，∵AB=AC，∠A=∠A，AD=AE，∴△BAD≌△CAE(SAS)，∴BD=CE．(2)如图2中，在AD上截取AE，使得AE=32．∵PA2=9，AE•AD=32×6=9，∴PA2=AE•AD，∴PA AD =AEPA，∵∠PAE=∠DAP，∴△PAE∽△DAP，∴PE DP =PAAD=12，∴PE=12PD，∴PC+12PD=PC+PE，∵PC+PE≥EC，∴PC+12PD的最小值为EC的长，在Rt△CDE中，∵∠CDE=90°，CD=6，DE=9 2，∴EC=62+92 2=152，∴PC+12PD的最小值为152．(3)如图3中，在AD上截取AE，使得AE=9．∵MA2=225，AE•AD=9×25=225，∴MA2=AE•AE，∴MA AD =AE MA，∵∠MAE=∠DAM，∴△MAE∽△DAM，∴EM MD =MAAD=1525=35，∴ME=35MD，∴MC+35MD=MC+ME，∵MC+ME≥EC，∴MC+35MD的最小值为EC的长，此时点M在线段EC上(如图M′)．在Rt△CDE中，∠CDE=90°，CD=18，DE=16，∴EC=162+182=2145，∴MC+35MD的最小值为2145．总结提升：本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形的三边关系，最短问题等知识，解题的关键是运用数形结合的思想解决问题，添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．类型二： 求差最大2.(2020秋•天宁区校级月考)如图，已知菱形ABCD的边长为8，∠B=60°，圆B的半径为4，点P是圆B上的一个动点，则PD-12PC的最大值为 237 ．思路引领：连接PB，在BC上取一点G，使得BG=2，连接PG，DG，过点D作DH⊥BC交BC的延长线于H．利用相似三角形的性质证明PG=12PC，再根据PD-12PC=PD-PG≤DG，求出DG，可得结论．解：连接PB，在BC上取一点G，使得BG=2，连接PG，DG，过点D作DH⊥BC交BC的延长线于H．∵PB=4，BG=2，BC=8，∴PB2=BG•BC，∴PB BG =BC PB，∵∠PBG=∠CBP，∴△PBG∽△CBP，∴PG PC =PBBC=12，∴PG=12PC，∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AB=CD=BC=8，∴∠DCH=∠ABC=60°，在Rt△CDH中，CH=CD•cos60°=4，DH=CD•sin60°=43，∴GH=CG+CH=6+4=10，∴DG=GH2+DH2=102+(43)2=237，∵PD-12PC=PD-PG≤DG，∴PD-12PC≤237，∴PD-12PC的最大值为237．总结提升：本题考查阿氏圆问题，菱形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．针对训练1.(2022•常熟市二模)如图，已知正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，点P是⊙B上的一个动点，则PD-12PC的最大值为5．思路引领：由PD-12PC=PD-PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD-12PC的值最大，最大值为DG=5．解：在BC上取一点G，使得BG=1，如图，∵PB BG =21=2，BCPB=42=2，∴PB BG =BC PB，∵∠PBG=∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴PG PC =BGPB=12，∴PG=12PC，当点P在DG的延长线上时，PD-12PC的值最大，最大值为DG=42+32=5．故答案为：5总结提升：本题考查圆综合题、正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决，题目比较难，属于中考压轴题．2.(2021•商河县校级模拟)(1)初步思考：如图1，在△PCB中，已知PB=2，BC=4，N为BC上一点且BN=1，试证明：PN=12 PC(2)问题提出：如图2，已知正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求PD+ 12PC的最小值．(3)推广运用：如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠B=60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求PD-12PC的最大值．思路引领：(1)通过相似三角形△BPN∽△BCP的性质证得结论；(2)如图2中，在BC上取一点G，使得BG=1．由△PBG∽△CBP，推出PGPC =BGPB=12，推出PG=12PC，推出PD+12PC=DP+PG，由DP+PG≥DG，当D、G、P共线时，PD+12PC的值最小，最小值为DG=42+32=5．由PD-12PC=PD-PG≤DG；(3)如图3中，在BC上取一点G，使得BG=1，作DF⊥BC于F．解法类似(2)；解：(1)证明：如图1，∵PB=2，BC=4，BN=1，∴PB2=4，BN•BC=4．∴PB2=BN•BC．∴BN BP =BP BC．又∵∠B=∠B，∴△BPN∽△BCP．∴PN PC =BNBP=12．∴PN=12PC；(2)如图2，在BC上取一点G，使得BG=1，∵PB BG =21=2，BCPB=42=2∴PB BG =BCPB，∠PBG=∠PBC∴△PBG∽△CBP∴PG PC =BGPB=12∴PG=12PC∴PD+12PC=DP+PG∵DP+PG≥DG∴当D、P、G共线时，PD+12PC的值最小，最小值为DG=42+32=5 (3)同(2)中证法，如图3，当点P在DG的延长线上时，PD-12PC的最大值，最大值为DG=37．总结提升：本题考查圆综合题、正方形的性质、菱形的性质、相似三角形的判定和性质、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决，题目比较难，属于中考压轴题．类型三：综合应用3.((2020•成华区校级模拟)如图1，抛物线y=mx2-3mx+n(m≠0)与x轴交于点C( -1，0)与y轴交于点B(0，3)，在线段OA上有一动点E(不与O、A重合)，过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．(1)分别求出抛物线和直线AB的函数表达式；(2)设△PMN的面积为S1，△AEN的面积为S2，当S1S2=3625时，求点P的坐标；(3)如图2，在(2)的条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转的到OE′，旋转角为α(0°<α< 90°)，连接E′A、E′B，求E'A+23E'B的最小值．思路引领：(1)令y =0，求出抛物线与x 轴交点，列出方程即可求出a ，根据待定系数法可以确定直线AB 解析式．(2)由△PNM ∽△ANE ，推出PN AN =65，列出方程即可解决问题．(3)在y 轴上取一点M 使得OM ′=43，构造相似三角形，可以证明AM ′就是E ′A +23E ′B 的最小值．解：(1)∵抛物线y =mx 2-3mx +n (m ≠0)与x 轴交于点C (-1，0)与y 轴交于点B (0，3)，则有n =3m +3m +n =0 ，解得m =-34n =3，∴抛物线y =-34x 2+94x +3，令y =0，得到-34x 2+94x +3=0，解得：x =4或-1，∴A (4，0)，B (0，3)，设直线AB 解析式为y =kx +b ，则b =34k +b =0，解得k =-34b =3 ，∴直线AB 解析式为y =-34x +3．(2)如图1中，设P m ，-34m 2+94m +3 ，则E (m ，0)，∵PM ⊥AB ，PE ⊥OA ，∴∠PMN =∠AEN ，∵∠PNM =∠ANE ，∴△PNM ∽△ANE ，∵△PMN 的面积为S 1，△AEN 的面积为S 2，S 1S 2=3625，∴PN AN=65，∵NE∥OB，∴AN AB =AE OA，∴AN=54(4-m)，∵抛物线解析式为y=-34x2+94x+3，∴PN=-34m2+94m+3--34m+3=-34m2+3m，∴-34m2+3m54(4-m)=65，解得m=2或4(舍弃)，∴m=2，∴P2，92．(3)如图2中，在y轴上取一点M′使得OM′=43，连接AM′，在AM′上取一点E′使得OE′=OE．∵OE′=2，OM′•OB=43×3=4，∴OE′2=OM′•OB，∴OE' OM'=OB OE'，∵∠BOE′=∠M′OE′，∴△M′OE′∽△E′OB，∴M'E'BE'=OE'OB=23，∴M′E′=23BE′，∴AE′+23BE′=AE′+E′M′=AM′，此时AE′+23BE′最小(两点间线段最短，A、M′、E′共线时)，最小值=AM′=42+432=4103．总结提升：本题属于二次函数综合题，考查相似三角形的判定和性质、待定系数法、最小值问题等知识，解题的关键是构造相似三角形，找到线段AM′就是E′A+23E′B的最小值，属于中考压轴题针对训练4.(2021•九龙坡区校级模拟)在△ABC中，∠CAB=90°，AC=AB．若点D为AC上一点，连接BD，将BD绕点B顺时针旋转90°得到BE，连接CE，交AB于点F．(1)如图1，若∠ABE=75°，BD=4，求AC的长；(2)如图2，点G为BC的中点，连接FG交BD于点H．若∠ABD=30°，猜想线段DC与线段HG的数量关系，并写出证明过程；(3)如图3，若AB=4，D为AC的中点，将△ABD绕点B旋转得△A′BD′，连接A′C、A′D，当A′D+2A′C最小时，求S△A′BC．2思路引领：(1)通过作辅助线，构造直角三角形，借助解直角三角形求得线段的长度；(2)通过作辅助线，构造全等三角形，设AC=a，利用中位线定理，解直角三角形，用a的代数式表示CD和HG，即可得CD与HG的数量关系；(3)构造阿氏圆模型，利用两点之间线段最短，确定A'(4)的位置，继而求得相关三角形的面积．解：(1)过D作DG⊥BC，垂足是G，如图1：∵将BD绕点B顺时针旋转90°得到BE，∴∠EBD=90°，∵∠ABE=75°，∴∠ABD=15°，∵∠ABC=45°，∴∠DBC=30°，BD=2，BG=3DG=23，∴在直角△BDG中有DG=12∵∠ACB=45°，∴在直角△DCG中，CG=DG=2，∴BC=BG+CG=2+23，BC=2+6；∴AC=22(2)线段DC与线段HG的数量关系为：HG=3CD，4证明：延长CA，过E作EN垂直于CA的延长线，垂足是N，连接BN，ED，过G作GM⊥AB于M，如图：∴∠END=90°，由旋转可知∠EBD=90°，∴∠EDB=45°∴∠END =∠EBD =90°，∴E ，B ，D ，N 四点共圆，∴∠BNE =∠EDB =45°，∠NEB +∠BDN =180°∵∠BDC +∠BDN =180°，∠BCD =45°，∴∠BEN =∠BDC ，∴∠BNE =45°=∠BCD ，在△BEN 和△BDC 中，∠BNE =∠BCD∠BEN =∠BDC BE =BA，∴△BEN ≌△BDC (AAS )，∴BN =BC ，∵∠BAC =90°，在等腰△BNC 中，由三线合一可知BA 是CN 的中线，∵∠BAC =∠END =90°，∴EN ∥AB ，∵A 是CN 的中点，∴F 是EC 的中点，∵G 是BC 的中点，∴FG 是△BEC 的中位线，∴FG ∥BE ，FG =12BE ，∵BE ⊥BD ，∴FG ⊥BD ，∵∠ABD =30°，∴∠BFG =60°，∵∠ABC =45°，∴∠BGF =75°，设AC =a ，则AB =a ，在Rt △ABD 中，AD =33a ，BD =BE =233a ，∴FG =12BE ，∴FG =33a ，∵GM ⊥AB ，∴△BGM 是等腰三角形，∴MG =MB =22BG =22×12BC =22×12×2AC =12a ，在Rt △MFG 中，∠MFG =60°，∴3MF =MG ，∴MF =36a ，∴BF=BM+MF=3+36a，在Rt△BFH中，∠BFG=60°，∴FH=12BF=3+312a，∴HG=FG-FH=33a-3+312a=14(3-1)a，又∵CD=a-33a=33(3-1)a，∴CD HG =43，∴HG=34CD；(3)设AB=a，则BC=2a，取BC的中点N，连接A′D，A′C，A′N，连接DN，如图3，由旋转可知A′B=AB=a，∵A'BBN =a22a=2，BCA'B=2aa=2，∴A'BBN =BCA'B=2，又∠A'BN=∠CBA'，∴△A′BN∽△CBA′，∴A'N A'C =A'BBC=22，∴A'N=22A'C，根据旋转和两点之间线段最短可知，A'D+22A'C最小，即是A'D+A'N最小，此时D、A'、N共线，即A'在线段DN上，设此时A'落在A''处，过A''作A''F⊥AB于F，连接AA''，如图4，∵D，N分别是AC，BC的中点，∴DN是△ABC的中位线，∴DN∥AB，∵AB⊥AC，∴DN⊥AC，∵∠A=∠A''FA=∠A''DA=90°，∴四边形A''FAD是矩形，∴AF=A''D，A''F=AD=2，∵又A''B=AB=4，设AF=x，在直角三角形A''FB中，A''B2=A''F2+BF2，∴42=22+(4-x)2，解得x=4-23．∴此时S△A''BC=S△ABC-S△AA''B-S△A''AC=12AB•AC-12AB•A''F-12AC•A''D=12×4×4-1 2×4×2-12×4×(4-23)=43-4．总结提升：此题主要考查全等三角形判定，等腰三角形的三线合一，解直角三角形，四点共圆，几何最值的阿氏圆模型等知识，综合性强，难度较大，属于压轴题，解得关键是作辅助线，构造全等三角形和相似三角形解决问题．5.(2022•高唐县二模)如图，抛物线y=-x2+bx+c经过点A(-4，-4)，B(0，4)，直线AC的解析式为y=-12x-6，且与y轴相交于点C，若点E是直线AB上的一个动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F．(1)求抛物线y=-x2+bx+c的解析式；(2)点H是y轴上一动点，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，四边形EAFH是矩形？求出此时点E，H的坐标；(3)在(2)的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上以动点，求12AM+ CM的最小值．思路引领：(1)直接利用待定系数法求解即可；(2)先利用待定系数法求出直线AB的解析式，可判断出AB⊥AC，当四边形EAFH是平行四边形时，四边形EAFH是矩形，分别点E、H、F的坐标，再利用中点坐标公式求解即可；(3)先取EG的中点P，进而判断出△PEM∽△MEA，即可得出PM=12AM，连接CP交⊙E于点M，再求出点P坐标，即可得出结论．解：(1)将点A(-4，-4)，B(0，4)代入y=-x2+bx+c得：-16-4b+c=-4c=4，解得：b=-2 c=4，∴抛物线解析式为：y =-x 2-2x +4；(2)如图，当点E 运动到(-2，0)时，四边形EAFH 是矩形，设直线AB 的解析式为y =kx +b ，将点A (-4，-4)，B (0，4)代入得：-4k +b =-4b =4 ，解得：k =2b =4 ，∴线AB 的解析式为y =2x +4，∵直线AC 的解析式为y =-12x -6，∴AB ⊥AC ，∴当四边形EAFH 是平行四边形时，四边形EAFH 是矩形，此时，EF 与AH 互相平分，设E (m ，2m +4)，H (0，t )则F m ，-12m -6 ，∵A (-4，-4)，∴12(m +m )=12(-4+0)122m +4-12m -6 =12(-4+t )，解得：m =-2t =-1∴E (-2，0)，H (0，-1)；(3)如图，由(2)可知E (-2，0)，H (0，-1)，A (-4，-4)，∴EH =5，AE =25，设AE 交⊙E 于点G ，取GE 的中点P ，则PE =52，设P (k ，2k +4)，∵E (-2，0)，∴PE 2=(k +2)2+(2k +4)2=522，∴k =-52或k =-32(舍去)，∴P -52，-1 ，∵C (0，-6)，∴PC =-52 2+(-1+6)2=552，连接PC 交⊙E 于点M ，连接EM ，则EM =EH =5，∴PE ME =525=12，∵ME AE =525=12，∴PE ME =MEAE，∵∠PEM=∠MEA，∴△PEM∽△MEA，∴PM AM =MEAE=12，∴PM=12AM，∴12AM+CM=PM+CM，∴当P、M、C三点共线时，12AM+CM取得最小值即PC的长，∴1 2AM+CM最小值为552．总结提升：本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数关系式，平行四边形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，中点坐标公式，极值的确定，熟练掌握待定系数法求函数解析式，利用中点坐标公式构建方程，以及构造相似三角形是解决问题的关键．模块二2023中考押题预测1.(2021秋•西峡县期末)如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=4，点E、F分别是边AB、AC的中点，点P是以A为圆心、以AE为半径的圆弧上的动点，则12PB+PC的最小值等于()A.4B.32C.17D.15思路引领：在AB上截取AQ=1，连接AP，PQ，CQ，证明△APQ∽△ABP，可得PQ=1 2PB，则12PB+PC=PC+PQ，当C、Q、P三点共线时，PC+PQ的值最小，求出CQ即为所求．解：在AB上截取AQ=1，连接AP，PQ，CQ，∵点E、F分别是边AB、AC的中点，点P是以A为圆心、以AE为半径的圆弧上的动点，∴AP AB =12，∵AP=2，AQ=1，∴AQAP=12，∵∠PAQ=∠BAP，∴△APQ∽△ABP，∴PQ=12PB，∴12PB+PC=PC+PQ≥CQ，在Rt△ACQ中，AC=4，AQ=1，∴QB=AC2+AQ2=17，∴12PB+PC的最小值17，故选：C．总结提升：本题考查了阿氏圆问题，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键．2.(2022秋•永嘉县校级期末)如图所示，∠ACB=60°，半径为2的圆O内切于∠ACB．P 为圆O上一动点，过点P作PM、PN分别垂直于∠ACB的两边，垂足为M、N，则PM+ 2PN的取值范围为6-23≤PM+2PN≤6+23 ．思路引领：PM+2PN=212PM+PN，作MH⊥PN，HP=12PM，确定HN的最大值和最小值．解：作MH⊥NP于H，作MF⊥BC于F，∵PM⊥AC，PN⊥CB，∴∠PMC=∠PNC=90°，∴∠MPN=360°-∠PMC-∠PNC-∠C=120°，∴∠MPH=180°-∠MPN=60°，∴HP=PM•cos∠MPH=PM•cos60°=12PM，∴PN+12PM=PN+HP=NH，∵MF=NH，∴当MP与⊙O相切时，MF取得最大和最小，如图1，连接OP，OG，OC，可得：四边形OPMG是正方形，∴MG=OP=2，在Rt△COG中，CG=OG•tan60°=23，∴CM=CG+GM=2+23，在Rt△CMF中，MF=CM•sin C=(2+23)×32=3+3，∴HN=MF=3+3，PM+2PN=212PM+PN=2HN=6+23，如图2，由上知：CG=23，MG=2，∴CM=23-2，∴HM=(23-2)×32=3-3，∴PM+2PN=212PM+PN=2HN=6-23，∴6-23≤PM+2PN≤6+23．总结提升：本题考查的是解直角三角形等知识，解决问题的关键是构造12 PM．3.(2021秋•龙凤区期末)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=4，以点C为圆心，3为半径做⊙C，分别交AC，BC于D，E两点，点P是⊙C上一个动点，则13PA+PB的最小值为 17 ．思路引领：在AC上截取CQ=1，连接CP，PQ，BQ，证明△ACP∽△PCQ，可得PQ=13AP，当B、Q、P三点共线时，13PA+PB的值最小，求出BQ即为所求．解：在AC上截取CQ=1，连接CP，PQ，BQ，∵AC=9，CP=3，∴CP AC =13，∵CP=3，CQ=1，∴CQCP=13，∴△ACP∽△PCQ，∴PQ=13AP，∴13PA+PB=PQ+PB≥BQ，∴当B、Q、P三点共线时，13PA+PB的值最小，在Rt△BCQ中，BC=4，CQ=1，∴QB=17，∴13PA+PB的最小值17，故答案为：17．总结提升：本题考查阿氏圆求最短距离，熟练掌握胡不归求最短距离的方法，利用三角形相似将13PA转化为PQ是解题的关键．4.(2022春•长顺县月考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，D、E分别是边BC、AC上的两个动点，且DE=4，P是DE的中点，连接PA，PB，则PA+14PB的最小值为 1452 ．思路引领：如图，在CB上取一点F，使得CF=12，连接PF，AF．利用相似三角形的性质证明PF=14PB，根据PF+PA≥AF，利用勾股定理求出AF即可解决问题．解：如图，在CB上取一点F，使得CF=12，连接PF，AF．∵∠DCE=90°，DE=4，DP=PE，∴PC=12DE=2，∵CF CP =14，CPCB=14，∴CF CP =CP CB，∵∠PCF=∠BCP，∴△PCF∽△BCP，∴PF PB =CFCP=14，∴PF=14PB，∴PA+14PB=PA+PF，∵PA+PF≥AF，AF=CF2+AC2=12 2+62=1452，∴PA+14PB≥1452，∴PA+14PB的最小值为1452，故答案为145 2．总结提升：本题考查阿氏圆问题，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．5.(2021秋•梁溪区校级期中)如图，⊙O与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，⊙O 半径为3，点A(0，1)，点B(2，0)，点P在弧MN上移动，连接PA，PB，则3PA+PB的最小值为 85 ．思路引领：在y轴上取点H(0，9)，连接BH，通过证明△AOP∽△POH，可证HP=3AP，则3PA+PB=PH+PB，当点P在BH上时，3PA+PB有最小值为HB的长，即可求解．解：如图，在y轴上取点H(0，9)，连接BH，∵点A(0，1)，点B(2，0)，点H(0，9)，∴AO=1，OB=2，OH=9，∵OA OP =13=39=OPOH，∠AOP=∠POH，∴△AOP∽△POH，∴AP HP =OPOH=13，∴HP=3AP，∴3PA+PB=PH+PB，∴当点P在BH上时，3PA+PB有最小值为HB的长，∴BH=OB2+OH2=4+81=85，故答案为：85．总结提升：本题考查了阿氏圆问题，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键．6.(2020•武汉模拟)【新知探究】新定义：平面内两定点A ，B ，所有满足PA PB=k (k 为定值)的P 点形成的图形是圆，我们把这种圆称之为“阿氏圆”【问题解决】如图，在△ABC 中，CB =4，AB =2AC ，则△ABC 面积的最大值为 163 ．思路引领：以A 为顶点，AC 为边，在△ABC 外部作∠CAP =∠ABC ，AP 与BC 的延长线交于点P ，证明△APC ∽△BPA ，由相似三角形的性质可得BP =2AP ，CP =12AP ，从而求出AP 、BP 和CP ，即可求出点A 的运动轨迹，再找出距离BC 最远的A 点的位置即可求解．解：以A 为顶点，AC 为边，在△ABC 外部作∠CAP =∠ABC ，AP 与BC 的延长线交于点P ，∵∠CAP =∠ABC ，∠BPA =∠APC ，AB =2AC ，∴△APC ∽△BPA ，AP BP =CP AP =AC AB =12，∴BP =2AP ，CP =12AP ，∵BP -CP =BC =4，∴2AP -12AP =4，解得：AP =83，∴BP =163，CP =43，即点P 为定点，∴点A 的轨迹为以点P 为圆心，83为半径的圆上，如图，过点P 作BC 的垂线，交圆P 与点A 1，此时点A 1到BC 的距离最大，即△ABC 的面积最大，S △ABC =12BC •A 1P =12×4×83=163．故答案为：163．总结提升：本题考查相似三角形的判定和性质，三角形的面积，确定点的运动轨迹，熟练掌握三角形的判定和性质以及三角形的面积公式是解题的关键．7.(2020•溧阳市一模)如图，在⊙O 中，点A 、点B 在⊙O 上，∠AOB =90°，OA =6，点C 在OA 上，且OC =2AC ，点D 是OB 的中点，点M 是劣弧AB 上的动点，则CM +2DM 的最小值为 410 ．思路引领：延长OB到T，使得BT=OB，连接MT，CT．利用相似三角形的性质证明MT= 2DM，求CM+2DM的最小值问题转化为求CM+MT的最小值．求出CT即可判断．解：延长OB到T，使得BT=OB，连接MT，CT．∵OM=6，OD=DB=3，OT=12，∴OM2=OD•OT，∴OMOD =OT OM，∵∠MOD=∠TOM，∴△MOD∽△TOM，∴DM MT =OMOT=12，∴MT=2DM，∵CM+2DM=CM+MT≥CT，又∵在Rt△OCT中，∠COT=90°，OC=4，OT=12，∴CT=OC2+OT2=42+122=410，∴CM+2DM≥410，∴CM+2DM的最小值为410，∴答案为410．总结提升：本题考查相似三角形的判定和性质，阿氏圆问题，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．8.如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC的中点，以B为圆心，BE为半径作⊙B，点P是⊙B上一动点，连接PD、PC，则PD+12PC的最小值为5．思路引领：如图，在BC上取一点T，使得BT=1，连接PB，PT，DT．证明△PBT∽△CBP，推出PTPC=PBCB=12，推出PT=12PC，由PD+12PC=PD+PT≥DT=5，由此可得结论．解：如图，在BC上取一点T，使得BT=1，连接PB，PT，DT．∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCT=90°，∵CD=4，CT=3，∴DT=CD2+CT2=42+32=5，∵PB=2，BT=1，BC=4，∴PB2=BT•BC，∴PB BT =BC PB，∵∠PBT=∠PBC，∴△PBT∽△CBP，∴PT PC =PBCB=12，∴PT=12PC，∵PD+12PC=PD+PT≥DT=5，∴PD+12PC的最小值为5，故答案为：5．总结提升：本题考查阿氏圆问题，正方形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．9.如图，扇形AOB中，∠AOB=90°，OA=6，C是OA的中点，D是OB上一点，OD=5，P是AB上一动点，则PC+12PD的最小值为 132 ．思路引领：如图，延长OA使AE=OB，连接EC，EP，OP，证明△OPE∽△OCP推出PCPE =OPOE=12，推出EP=2PC，推出PC+12PD=12(2PC+PD)=12(PD+PE)，推出当点E，点P，点D三点共线时，PC+12PD的值最小．解：如图，延长OA使AE=OB，连接EC，EP，OP，∵AO=OB=6，C分别是OA的中点，∴OE=12，OP=6，OC=AC=3，∴OP OE =OCOP=12，且∠COP=∠EOP∴△OPE ∽△OCP ∴PC PE =OP OE=12，∴EP =2PC ，∴PC +12PD =12(2PC +PD )=12(PD +PE )，∴当点E ，点P ，点D 三点共线时，PC +12PD 的值最小，∵DE =OD 2+OE 2=52+122=13，∴PD +PE ≥DE =13，∴PD +PE 的最小值为13，∴PC +12PD 的值最小值为132．故答案为：132．总结提升：本题考查阿氏圆问题，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．10.如图所示的平面直角坐标系中，A (0，4)，B (4，0)，P 是第一象限内一动点，OP =2，连接AP 、BP ，则BP +12AP 的最小值是 17 ．思路引领：如图，取点T (0，1)，连接PT ，BT ．利用相似三角形的性质证明PT =12PB ，推出PB +12PA =PB +PT ≥BT ，求出BT ，可得结论．解：如图，取点T (0，1)，连接PT ，BT ．∵T (0，1)，A (0，4)，B (4，0)，∴OT =1，OA =4，OB =4，∵OP =2，∴OP 2=OT •OA ，∴OP OT =OA OP，∵∠POT =∠AOP ，∴△POT ∽△AOP ，∴PT PA =OPOA=12，∴PT=12PA，∴PB+12PA=PB+PT，∵BT=12+42=17，∴PB+PT≥17，∴BP+12AP≥17∴BP+12PB的最小值为17．故答案为：17．总结提升：本题考查阿氏圆问题，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．11.如图，边长为4的正方形，内切圆记为圆O，P为圆O上一动点，则2PA+PB的最小值为25 ．思路引领：2PA+PB=2PA+22PB，利用相似三角形构造22PB．解：设⊙O半径为r，OP=r=12BC=2，OB=2r=22，取OB的中点I，连接PI，∴OI=IB=2，∵OPOI =22=2，OB OP =222=2，∴OPOI =OB OP，∠O是公共角，∴△BOP∽△POI，∴PI PB =OIOP=22，∴PI=22PB，∴AP +22PB =AP +PI ，∴当A 、P 、I 在一条直线上时，AP +22PB 最小，作IE ⊥AB 于E ，∵∠ABO =45°，∴IE =BE =22BI =1，∴AE =AB -BE =3，∴AI =32+12=10，∴AP +22PB 最小值=AI =10，∵2PA +PB =2PA +22PB ，∴2PA +PB 的最小值是2AI =2×10=25．故答案是25．总结提升：本题是“阿氏圆”问题，解决问题的关键是构造相似三角形．12.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△OAB 的顶点O ，A ，B 均在格点上，点E 在OA 上，且点E 也在格点上．(I )OE OB的值为 23 ；(Ⅱ)DE 是以点O 为圆心，2为半径的一段圆弧．在如图所示的网格中，将线段OE 绕点O 逆时针旋转得到OE ′，旋转角为α(0°<α<90°)连接E 'A ，E 'B ，当E 'A +23E 'B 的值最小时，请用无刻度的直尺画出点E ′，并简要说明点E '的位置是如何找到的(不要求证明) 通过取格点K 、T ，使得OH ：OD =2：3，构造相似三角形将23E ′B 转化为E ′H ．思路引领：(1)求出OE ，OB 即可解决问题．(2)构造相似三角形把23E ′B 转化为E ′H ，利用两点之间线段最短即可解决问题．解：(1)由题意OE =2，OB =3，∴OE OB =23，故答案为：23．(2)如图，取格点K，T，连接KT交OB于H，连接AH交DE于E′，连接BE′，点E′即为所求．故答案为：通过取格点K、T，使得OH：OD=2：3，构造相似三角形将23E′B转化为E′H，利用两点之间线段最短即可解决问题．总结提升：本题是作图-旋转变换，主要考查了相似三角形的判定与性质，两点之间，线段最短等知识，找到点H是解题的关键．13.(2021秋•定海区期末)如图1，正方形OABC边长是2，以OA为半径作圆，P为弧AC上的一点，过点P作PM⊥AB交AB于点M，连结PO、PA，设PM=m，PA=n．(1)求证：∠POA=2∠PAM；(2)探求m、n的数量关系，并求n-m最大值；(3)如图2：连结PB，设PB=h，求2h+2m的最小值．思路引领：(1)根据正方形性质和三角形内角和定理即可证得结论；(2)如图1，过点O作OE⊥PA于E，先证明△APM∽△OAE，利用相似三角形性质可得出m=14n2，进而可得：n-m=n-14n2=-14(n-2)2+1，再运用二次函数性质即可得出答案；(3)如图2，连接AC、BD交于点D，连接PD，当D、P、M三点共线且DM⊥AB时，PD+ PM=DM最小，即2h+2m=2DM最小，根据正方形和等腰直角三角形的性质即可求得答案．解：(1)证明：∵四边形OABC是正方形，∴∠OAB=90°，∴∠OAP+∠PAM=90°，即2∠OAP+2∠PAM)=180°，∵OA=OP，∴∠OPA=∠OAP，∵∠OPA+∠OAP+∠POA=180°，∴2∠OAP+∠POA=180°，∴∠POA=2∠PAM；(2)解：如图1，过点O作OE⊥PA于E，∵OA=OP，OE⊥PA，∴AE=12PA，∠AOE=∠POE=12∠POA，∵∠POA=2∠PAM，∴∠PAM=12∠POA，∴∠PAM=∠AOE，∵PM⊥AB，∴∠AMP=90°=∠OEA，∴△APM∽△OAE，∴PMPA =AEOA，即mn=12n2，∴m=14n2，∴n-m=n-14n2=-14(n-2)2+1，∴当n=2时，n-m取得最大值，n-m最大值为1；(3)解：如图2，连接AC、OB交于点D，连接PD，∵四边形ABCO是正方形，∴AC⊥BD，OD=AD=BD，∴OD OA =OAOB=22，∵OP=OA，∴OD OP =OPOB=22，∵∠POD=∠BOP，∴△POD∽△BOP，∴PD PB =OPOB=22，∴PD=22PB，∵PB=h，PM=m，∴2h +2m =222h +m=222PB +PM =2(PD +PM )，∵当D 、P 、M 三点共线且DM ⊥AB 于M 时，PD +PM =DM 最小，∴当D 、P 、M 三点共线且DM ⊥AB 时，2h +2m =2(PD +PM )=2DM 最小，如图3，∵△ABD 是等腰直角三角形，DM ⊥AB ，∴DM =12AB =1，∴2DM =2，即2h +2m 的最小值为2．总结提升：本题是圆的综合题，考查了等腰直角三角形的性质，正方形的性质，三角形内角和定理，圆的性质，相似三角形的判定和性质，两点之间线段最短，点到直线的距离垂线段最短，二次函数最值的应用，利用相似三角形性质列出关于m 、n 的关系式恰当运用配方法是解题关键．14.(2022•从化区一模)已知，AB 是⊙O 的直径，AB =42，AC =BC ．(1)求弦BC 的长；(2)若点D 是AB 下方⊙O 上的动点(不与点A ，B 重合)，以CD 为边，作正方形CDEF ，如图1所示，若M 是DF 的中点，N 是BC 的中点，求证：线段MN 的长为定值；(3)如图2，点P 是动点，且AP =2，连接CP ，PB ，一动点Q 从点C 出发，以每秒2个单位的速度沿线段CP 匀速运动到点P ，再以每秒1个单位的速度沿线段PB 匀速运动到点B ，到达点B 后停止运动，求点Q 的运动时间t 的最小值．思路引领：(1)AB 是⊙O 的直径，AC =BC 可得到△ABC 是等腰直角三角形，从而得道答案；(2)连接AD 、CM 、DB 、FB ，首先利用△ACD ≌△BCF ，∠CBF =∠CAD ，证明D 、B 、F 共线，再证明△CMB 是直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得证；(3)“阿氏圆”的应用问题，以A 为圆心，AP 为半径作圆，在AC 上取点M ，使AM =1，连接PM ，过M 作MH ⊥AB 于H ，连接BM 交⊙A 于P '，先证明PM =PC 2，PC 2+BP 最小，即是PM +BP 最小，此时P 、B 、M 共线，再计算BM 的长度即可．解：(1)∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ABC =90°，∵AC=BC，∴△ABC是等腰直角三角形，∠CAB=45°，∵AB=42，∴BC=AB•sin45°=4；(2)连接AD、CM、DB、FB，如图：∵△ABC是等腰直角三角形，四边形CDEF是正方形，∴CD=CF，∠DCF=∠ACB=90°，∴∠ACD=90-∠DCB=∠BCF，又AC=BC，∴△ACD≌△BCF(SAS)，∴∠CBF=∠CAD，∴∠CBF+∠ABC+∠ABD=∠CAD+∠ABC+∠ABD=∠DAB+∠CAB++∠ABC+∠ABD=∠DAB+45°+45°+∠ABD，而AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠DAB+∠ABD=90°，∴∠CBF+∠ABC+∠ABD=180°，∴D、B、F共线，∵四边形CDEF是正方形，∴△DCF是等腰直角三角形，∵M是DF的中点，∴CM⊥DF，即△CMB是直角三角形，∵N是BC的中点，∴MN=12BC=2，即MN为定值；(3)以A为圆心，AP为半径作圆，在AC上取点M，使AM=1，连接PM，过M作MH⊥AB 于H，连接BM交⊙A于P'，如图：一动点Q从点C出发，以每秒2个单位的速度沿线段CP匀速运动到点P，再以每秒1个单位的速度沿线段PB匀速运动到点B，∴Q运动时间t=PC2+BP，∵AM=1，AP=2，AC=BC=4，∴AMAP =APAC=12，又∠MAP=∠PAC，∴△MAP∽△PAC，∴PMPC =AMAP=12，∴PM=PC2，。
专题09“阿氏圆”模型解决几何最值问题 -【题型与技法】中考数学二轮复习金典专题讲练系列(通用版)
【经典剖析1】如图，在Rt ABC D 中，90C Ð=°，9AC =，4BC =，以点C 为圆心，3为半径做C e ，分别交AC ，BC 于D ，E 两点，点P 是C e 上一个动点，则13PA PB +的最小值为在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中P 点轨迹是直线，而当P 点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．【模型来源】“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A 、B 两点，点P 满足PA ：PB=k （k≠1），则满足条件的所有的点P 的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”.在平面上，到线段两端距离相等的点，在线段的垂直平分线上，即对于平面内的定点A、B，若平面内有一动点P满足PA:PB＝1，则P点轨迹为一条直线（即线段AB的垂直平分线），如果这个比例不为1，P点的轨迹又会是什么呢？两千多年前的阿波罗尼斯在其著作《平面轨迹》一书中，便已经回答了这个问题。
接下来，让我们站在巨人的肩膀上，一起探究PA：PB＝k（k≠1）时P点的轨迹。
对于平面内的定点A、B，若在平面内有一动点P且P满足PA：PB＝k（k≠1），则动点P的轨迹就是一个圆，这个圆被称为阿波罗尼斯圆，简称“阿氏圆”，如图所示：借助画板工具我们发现，动点P在运动过程中，PA、PB的长度都在变化，但是PA：PB的比值始终保持不变，接下来我们在深入研究一下！若，设由图可以发现在AB上存在点C使得，在AB延长线上存在点D使得点P与点C、D重合时，符合条件；当点P不与点C、D重合时，对于任意一点P，连接PA、PB、PC，可得，所以PC为△PAB一条内角平分线，再连接PD，可得，所以PD为△PAB一条外角平分线，所以PC⊥PD，即∠CPD＝90º，所以点P的轨迹是以CD为直径的一个圆.当我们遇到平面内一动点到两定点之比为定值且不为1的情况时，可以在过两定点的直线上按定比确定内分点和外分点，并以之为直径做圆从而确定动点的轨迹.如何具体证明P点的轨迹就是一个完整的圆呢？分别取线段AB的内外分点C、D，再取CD中点O，可得，设，则，由线段位置关系可得AC＋BC＋BD＝AD，则，.又，即，，即，当点P在一个以O为圆心，r为半径的圆上运动时，如图所示：易证：△BOP∽△POA，，∴对于圆上任意一点P都有.对于任意一个圆，任意一个k的值，我们可以在任意一条直径所在直线上，在同侧适当的位置选取A、B，就可以构造出上述的A字型相似（详见本专辑的相似模型）.如图 1 所示，⊙O 的半径为R ，点 A 、B 都在⊙O 外 ，P 为⊙O 上一动点，已知R=25OB ，连接 PA 、PB ，则当“PA+25PB ”的值最小时，P 点的位置如何确定？解决办法：如图2，在线段 OB 上截取OC 使 OC=25R ，则可说明△BPO 与△PCO 相似，则有25PB=PC 。
中考数学模型阿氏圆专题
中考数学模型阿氏圆专题阿基米德的圆是指周长是半径r的常数倍的圆，即C=2πr。
在数学模型中，阿基米德的圆是一种重要的几何模型。
它的特点是，无论圆的半径大小如何变化，其周长与半径的比值始终保持不变。
这种性质使得阿基米德的圆在工程、物理、生物等领域有着广泛的应用。
首先，阿基米德的圆在工程领域中具有重要意义。
在建筑设计中，通过使用阿基米德的圆模型可以制作出很多典型的建筑结构，比如圆形天花板、拱桥等。
而在工业制造领域，阿基米德的圆也可以应用于机械设计、汽车制造等方面。
例如，在汽车制造中，阿基米德的圆模型可以用来设计轮胎的形状和尺寸，以确保汽车在行驶过程中的稳定性和平衡性。
其次，阿基米德的圆在物理学中也有着广泛的应用。
在力学中，通过使用阿基米德的圆模型可以描述物体的运动轨迹。
例如，在自由落体运动中，物体的竖直位移与时间的关系可以通过阿基米德的圆模型来解释。
在光学中，阿基米德的圆也可以用来解释光的传播规律。
例如，在反射折射现象中，阿基米德的圆模型可以用来解释光线在不同介质间传播时的变化。
此外，阿基米德的圆在生物学中也有一定的应用。
在生物进化研究中，阿基米德的圆模型可以用来描述物种的数量与时间的关系。
例如，根据阿基米德的圆模型，如果假设某一物种的数量每年以相同的速率增加，那么可以预测在未来的某一时刻，该物种的数量将达到一个平衡值。
总的来说，阿基米德的圆是一种非常有用的数学模型，它在工程、物理、生物等多个领域都有着广泛的应用。
通过研究阿基米德的圆模型，我们可以更好地理解和应用这些领域中的相关知识，为实际问题的解决提供更科学、准确的方法。
因此，我们应该深入学习和研究阿基米德的圆模型，以提高我们的数学建模能力和解决实际问题的能力。
备战2024年中考数学压轴题之二次函数篇(全国通用)专题12 二次函数-阿氏圆求最小值(学生版)
第十二讲二次函数--阿氏圆求最值必备知识点点P 在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；点P 在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题，“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，已知平面上两点A、B，则所有满足PA=k·PB（k≠1）的点P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。
如图1所示，⊙O 的半径为r，点A、B 都在⊙O 外，P 为⊙O 上一动点，已知r=k·OB，连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？如图2，在线段OB 上截取OC 使OC=k·r，则可说明△BPO 与△PCO 相似，即k·PB=PC。
故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，其中与A 与C 为定点,P 为动点，故当A、P、C 三点共线时，“PA+PC”值最小。
如图3所示：知识导航【破解策略详细步骤解析】例题演练1．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线AC：y＝﹣x ﹣6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G．（1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的表达式；（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；（3）①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标；②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求AM+CM它的最小值．2．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣4，﹣4），B（0，4），直线AC的解析式为y＝﹣x﹣6，且与y轴相交于点C，若点E是直线AB上的一个动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F．（1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的解析式；（2）点H是y轴上一动点，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，四边形EAFH是矩形？求出此时点E，H的坐标；（3）在（2）的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上以动点，求AM+CM 的最小值．3．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴正半轴交于点A，点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．若线段AB绕点A逆时针旋转120°，点B刚好与点C重合，点B的坐标为（3，0）．（1）求抛物线的表达式；（2）抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△ACP为直角三角形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（3）如图2，以点B为圆心，以1为半径画圆，若点Q为⊙B上的一个动点，连接AQ，CQ，求AQ+CQ的最小值．4．如图，已知抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．（1）如图①，若点D为抛物线的顶点，以点B为圆心，3为半径作⊙B．点E为⊙B上的动点，连接A，DE，求DE+AE的最小值．（2）如图②，若点H是直线AC与抛物线对称轴的交点，以点H为圆心，1为半径作⊙H，点Q 是⊙H上一动点，连接OQ，AQ，求OQ+AQ的最小值；（3）如图③，点D是抛物线上横坐标为2的点，过点D作DE⊥x轴于点E，点P是以O为圆心，1为半径的⊙O上的动点，连接CD，DP，PE，求PD﹣PE的最大值．5．如图，直线y＝x+2与抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，抛物线的对称轴与直线AB交于点M．（1）当四边形CODM是菱形时，求点D的坐标；（2）若点P为直线OD上一动点，求△APB的面积；′（3）作点B关于直线MD的对称点B'，以点M为圆心，MD为半径作⊙M，点Q是⊙M上一动点，求QB'+QB的最小值．6．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m的顶点为C，（1）求点C的坐标（用含m的代数式表示）；（2）如图，当m＝0时，直线y＝x+2与抛物线交于A、B两点，点A，点B分别在抛物线的对称轴左右两侧；①抛物线的对称轴与直线AB交于点M，点G（1，3），在直线AB上，作B点关于直线MC的对称点B′，以M为圆心，MC为半径作圆，动点Q在圆周上运动时，的比值是否发生变化？若不变，求出比值；若变化，说明变化规律；②直接写出B′Q+QB的最小值．7．如图，已知点A（﹣4，0），点B（﹣2，﹣1），直线y＝2x+b过点B，交y轴于点C，抛物线y＝ax2+x+c经过点A，C．（1）求抛物线的解析式；（2）D为直线AC上方的抛物线上一点，且tan∠ACD＝，求点D的坐标；（3）平面内任意一点P，与点O距离始终为2，连接PA，PC．直接写出PA+PC的最小值．8．如图，直线y＝﹣x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+x+c经过A、B两点．（1）求二次函数解析式；（2）如图1，点E在线段AB上方的抛物线上运动（不与A、B重合），过点E作ED⊥AB，交AB于点D，作EF⊥AC，交AC于点F，交AB于点M，求△DEM的周长的最大值；（3）在（2）的结论下，连接CM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、C、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．（4）如图2，点N的坐标是（1，0），将线段ON绕点O逆时针旋转得到ON′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接N′A、N′B，求N′A+N′B的最小值．9．如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣1，0），抛物线的对称轴是直线x＝．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是直线BC下方的抛物线上一个动点，是否存在点P使四边形ABPC的面积为16，若存在，求出点P的坐标若不存在，请说明理由；（3）如图2，过点B作BF⊥BC交抛物线的对称轴于点F，以点C为圆心，2为半径作⊙C，点Q为⊙C上的一个动点，求BQ+FQ的最小值．10．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点C（2，﹣3），且与x轴交于原点及点B（8，0），点A为抛物线的顶点．（1）求二次函数的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM是等腰三角形？如果存在，请求出点M的坐标．如果不存在，请说明理由；（3）若点P为⊙O上的动点，且⊙O的半径为，求的最小值．。
阿氏圆
那么如何应用"阿氏圆"的性质解答带系数的两条线段和的最小值呢?我们来看一道基本题目:例：已知∠AOB=90°，OB=4,OA=6，⊙C 半径为2，P 为圆上一动点(1)求12AP BP +的最小值为(2)求13AP BP +的最小值为第（1）问解题基本步骤：构造△OPC ∽△OBP,则PC OP OCk BP OB OP===（相似比）①分别连接圆心O 与系数不为1的线段BP 的两端点，即OP ，OB;②计算OP OB 的值，则12OP k OB ==（半径圆心到定点的距离） ③计算OC 的长度，由OC k OP =得：12OC OP =（相似比×半径） ④连接AC ，当A 、P 、C 三点共线时，12AP BP AP PC AC +=+≥⑤计算AC 的长度即为最小值.yx O C B A PCOPx yB O A P 实战练习：1、已知⊙O 半径为1，AC 、BD 为切线，AC=1，BD=2，P 为弧AB 上一动点， 试求2PD +的最小值2、已知点A （4，0），B （4，4），点P 在半径为2的⊙O 上运动，试求12AP BP +的最小值3、已知点A(-3,0)，B （0,3），C （1,0），若点P 为⊙C 上一动点，且⊙C 与y 轴相切，（1）14AP BP +的最小值;（2）PABS 的最小值.4、如图1，在平面直角坐标系xoy 中，半⊙O 交x 轴与点A 、B(2,0)两点，AD 、BC 均为半⊙O 的切线，AD=2，BC=7. (1)求OD 的长；（2）如图2，若点P 是半⊙O 上的动点，Q 为OD 的中点.连接PO 、PQ. ①求证：△OPQ ∽△ODP;②是否存在点P ，使2PD PC 有最小值，若存在，试求出点P 的坐标； 若不存在，请说明理由.5、（1）如图1，已知正方形ABC 的边长为4，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，求12PD PC +的最小值和12PD PC -的最大值.(2)如图2，已知正方形ABCD 的边长为9，圆B 的半径为6，点P 是圆B 上的一个动点，那么23PD PC +的最小值为 ；23PD PC -的最大值为（3）如图3，已知菱形ABCD 的边长为4，∠B=60°，圆B 的半径为2.点P 是圆B 上的一个动点.那么12PD PC +的最小值为 ；12PD PC -的最大值为6、（2016年＊ 济南28题）如图1，抛物线y ＝ax 2＋(a ＋3)x ＋3（a ≠0）与x 轴交于点A （4，0），与y 轴交于点B ，在x 轴上有一动点E （m ，0）（0＜m ＜4），过点E 作x 轴的垂线交直线AB 于点N ，交抛物线于点P ，过点P 作PM ⊥AB 于点M ．（1）求a 的值和直线AB 的函数表达式；（2）设△PMN 的周长为C 1，△AEN 的周长为C 2，若12C C ＝65，求m 的値；（3）如图2，在（2）的条件下，将线段OE 绕点O 逆时针旋转得到OE ′，旋转角为α(0°＜α＜90°)，连接E ′A 、E ′B ，求E ′A ＋23E ′B 的最小值．xyMNPB AOE E'第28题图1xyMNPBAOE7、（2017年＊遵义27题）如图，抛物线y=ax2+bx﹣a﹣b（a＜0，a、b为常数）与x轴交于A、C两点，与y轴交于B点，直线AB的函数关系式为y=89x+163．（1）求该抛物线的函数关系式与C点坐标；（2）已知点M（m，0）是线段OA上的一个动点，过点M作x轴的垂线l分别与直线AB和抛物线交于D、E两点，当m为何值时，△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形？（3）在（2）问条件下，当△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形时，动点M相应位置记为点M′，将OM′绕原点O顺时针旋转得到ON（旋转角在0°到90°之间）；i：探究：线段OB上是否存在定点P（P不与O、B重合），无论ON如何旋转，NPNB始终保持不变，若存在，试求出P点坐标；若不存在，请说明理由；ii：试求出此旋转过程中，（NA+34NB）的最小值．。
2023年中考数学常见几何模型之最值模型阿氏圆问题
专题11 最值模型-阿氏圆问题最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，主要考查转化与化归等的数学思想。
在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。
本专题就最值模型中的阿氏圆问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
【模型背景】已知平面上两点A、B，则所有满足PA=k·PB（k≠1）的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。
【模型解读】如图 1 所示，⊙O的半径为r，点A、B都在⊙O外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB，连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r，则可说明△BPO与△PCO相似，即k·PB=PC。
故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小。
如图3所示：注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“k·P A+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．【最值原理】两点之间线段最短及垂线段最短解题。
例1．（2022·安徽·九年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C 为圆心、3为半径作⊙C ，P 为⊙C 上一动点，连接AP 、BP ，则13AP ＋BP 的最小值为（ ）A ．7B ．C．4D．例2．（2020·广西中考真题）如图，在Rt 中，AB ＝AC ＝4，点E ，F 分别是AB ，AC 的中点，点P 是扇形AEF 的上任意一点，连接BP ，CP ，则BP +CP 的最小值是_____．ABC V »EF12．【分析】在AB 上取一点T ，使得AT ＝1，连接PT ，P A ，CT ．证明，推出＝＝，推出PT ＝PB ，推出PB +CP ＝CP +PT ，根据PC +PT ≥TC ，求出CT即可解决问题．【详解】解：在AB 上取一点T ，使得AT ＝1，连接PT ，P A，CT ．∵P A ＝2．AT ＝1，AB ＝4，∴P A 2＝AT •AB ，∴＝， ∵∠P AT＝∠P AB ，∴，∴＝＝，∴PT ＝PB ，∴PB +CP＝CP +PT ，∵PC +PT ≥TC ，在Rt 中，∵∠CAT ＝90°，AT ＝1，AC ＝4， ∴CT PB +PC ，∴PB +PC ．故答．【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理的应用，三角形的三边关系，圆的基本性质，掌握以上知识是解题的关键．例3．（2022·四川成都·模拟预测）如图，已知正方ABCD 的边长为6，圆B 的半径为3，点P 是圆B 上的一个动点，则12PD PC −的最大值为_______．PAT BAP V V ∽PT PB AP AB 1212124=PA ATABPA PAT BAP V V ∽PT PB AP AB 121212ACT V 1212例4．（2022·浙江·舟山九年级期末）如图，矩形ABCD 中，4,2AB AD ==，以B 为圆心，以BC 为半径画圆交边AB 于点E ，点P 是弧CE 上的一个动点，连结,PD PA ，则12AP DP +的最小值为（ ）A BC D【点睛】本题考查矩形和圆的基本性质，相似三角形的性质和判定，解题的关键是构造相例5．（2022·广东·广州市第二中学九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，A (2，0)，B (0，2)，C (4，0)，D (5，3)，点P 是第一象限内一动点，且135APB ∠=︒，则4PD +2PC 的最小值为_______．例6．（2021·浙江金华·一模）问题提出：如图1，在等边△ABC中，AB＝9，⊙C半径为3，P为圆上一动点，连结AP，BP，求AP+13BP的最小值(1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路，通过构造一对相似三角形，将13BP转化为某一条线段长，具体方法如下：(请把下面的过程填写完整)如图2，连结CP，在CB上取点D，使CD＝1，则有13== CD CP CP CB又∵∠PCD＝∠△∽△∴13=PDBP∴PD＝13BP∴AP+13BP＝AP+PD∴当A，P，D三点共线时，AP+PD取到最小值请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+13BP的最小值为．(2)自主探索：如图3，矩形ABCD中，BC＝6，AB＝8，P为矩形内部一点，且PB＝4，则1AP+PC的最小值为．(请在图3中添加相应的辅助线)2(3)拓展延伸：如图4，在扇形COD中，O为圆心，∠COD＝120°，OC＝4．OA＝2，OB＝3，点P是»CD上一点，求2P A+PB的最小值，画出示意图并写出求解过程．例7．（2022·广东·二模）（1）初步研究：如图1，在△P AB中，已知P A=2，AB=4，Q为AB 上一点且AQ=1，证明：PB=2PQ；（2）结论运用：如图2，已知正方形ABCD的边长为4，⊙A的半径为2，点P是⊙A上的一个动点，求2PC+PB的最小值；（3）拓展推广：如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠A=60°，⊙A的半径为2，点P是⊙A上的一个动点，求2PC−PB的最大值．（3）如图，在AB 上取一点，使得AQ =1，连接AP ，PQ ，P ′，过点C 作CH 垂直AB 的延长线于点H ．易得AP =2，AB 由（1）得PB =2PQ ，∴2=2PC −2PQ =2(PC −PQ ) ，∵PC −PQ ≤QC ，∴当点P 交⊙A 的点P ′时，PC −PQ 的值最大．例8．（2022·江苏·苏州九年级阶段练习）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务.已知平面上两点AB 、，则所有符合0(PAk k PB=>且1)k ≠的点P 会组成一个圆.这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆. 阿氏圆基本解法：构造三角形相似.【问题】如图1，在平面直角坐标中，在x 轴，y 轴上分别有点()(),0,0,C m D n ，点P 是平面内一动点，且OP r =，设OPk OD=，求PC kPD +的最小值.阿氏圆的关键解题步骤：第一步：如图1，在OD 上取点M ，使得::OM OP OP OD k ==；第二步：证明kPD PM =；第三步：连接CM ，此时CM 即为所求的最小值. 下面是该题的解答过程(部分)：解：在OD 上取点M ，使得::OM OP OP OD k ==， 又,POD MOP POMDOP ∠=∠∴.任务：()1将以上解答过程补充完整.()2如图2，在Rt ABC V 中，90,4,3,ACB AC BC D ∠=︒==为ABC V 内一动点，满足2CD =，利用()1中的结论，请直接写出23AD BD +的最小值.课后专项训练1．（2022·福建南平九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C为圆心、3为半径作⊙C，P为⊙C上一动点，连接AP、BP，则13AP+BP的最小值为（）B．C．D．A．【点睛】本题考查相似三角形，解直角三角形；懂得依题意作辅助线构造相似三角形是解题的关键．2．（2022·江苏·无锡市九年级期中）如图，⊙O与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，⊙O半径为3，点A（0，1），点B（2，0），点P在弧MN上移动，连接P A，PB，则3P A+PB的最小值为___．3．（2022·陕西·三模）如图，在四边形ABCD中，AB=，，设•=∠=∠=︒260AC BAC ACD=，则k的最小值为___________．AD k BD1##1−在Rt ACJ V 中，260AC CAJ =∠=︒，，∴∴AB CD ∥，∵BM CD CJ AB ⊥⊥，，∴四边形BJCM4．（2022·湖北武汉·模拟预测）【新知探究】新定义：平面内两定点A, B ，所有满足PA PB=k ( k 为定值)的P 点形成的图形是圆，我们把这种圆称之为“阿氏圆”，【问题解决】如图，在△ABC 中，CB = 4 ，AB= 2AC ，则△ABC 面积的最大值为_____．5．（2022·浙江·九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D、E 分别是边BC、AC上的两个动点，且DE＝4，P是DE的中点，连接P A，PB，则P A+PB 的最小值为．【解答】解：如图，在CB上取一点F，使得CF＝，连接PF，AF．∵∠DCE＝90°，DE＝4，DP＝PE，∴PC＝DE＝2，∵＝，＝，∴＝，∵∠PCF＝∠BCP，∴△PCF∽△BCP，∴＝＝，∴PF＝PB，∴P A+PB＝P A+PF，∵P A+PF≥AF，AF＝＝＝，∴P A+PB≥，∴P A+PB的最小值为，故答案为．6．（2022·江苏·苏州九年级阶段练习）如图，正方形ABCD的边长为4，点E为边AD上一个动点，点F在边CD上，且线段EF＝4，点G为线段EF的中点，连接BG、CG，则BG +12CG 的最小值为 _____．7．（2022·山西·九年级专题练习）如图，在ABC V 中，90,2B AB CB ∠=︒==，以点B 为圆心作圆B 与AC 相切，点P 为圆B 上任一动点，则PA PC 的最小值是___________．8．（2022·湖北·九年级专题练习）如图，已知正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，PC的最大值为_____．点P是⊙B上的一个动点，则PD﹣129．（2022·北京·九年级专题练习）如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O，P是⊙O上A＋PB的最小值为________．OP＝r＝12BC＝2，OB＝∵222OPOI==，OBOP=∴22PI OIPB OP==，∴PI10．（2022·山东·九年级专题练习）如图，在Rt ABC V 中，90ACB ∠=︒，4CB =，6CA =，圆C 半径为2，P 为圆上一动点，连接,2,1A A P P P P B B +最小值__________．13BP AP +最小值__________．11．（2022·重庆·九年级专题练习）（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，那么PD＋23PC的最小值为__，PD﹣23PC的最大值为__．（2）如图2，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，那么PD＋12PC的最小值为__，PD﹣12PC的最大值为__．如图3中，在BC 上取一点6342PB BG ==Q，BC PB PBG CBP ∴V :V ，∴221PB BG ==Q，422BC PB ==，PBG CBP ∴V :V ，PG BG PC PB ∴=PD PG DG +≥Q （当且仅当G 12．（2022·江苏淮安·九年级期中）问题提出：如图1，在等边△ABC 中，AB =12，⊙C 半径为6，P 为圆上一动点，连结AP ，BP ，求AP +12BP 的最小值．（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP ，在CB 上取点D ，使CD =3，则有CD CP =CP CB=12，又∵∠PCD =∠BCP ，∴△PCD ∽△BCP ，∴PD BP =12，∴PD =12BP ，∴AP +12BP =AP +PD ．请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP +12BP的最小值为．（2）自主探索：如图1，矩形ABCD中，BC=7，AB=9，P为矩形内部一点，且PB=3，1 3AP+PC的最小值为．（3）拓展延伸：如图2，扇形COD中，O为圆心，∠COD=120°，OC=4，OA=2，OB=3，点P是»CD上一点，求2PA+PB的最小值，画出示意图并写出求解过程．13．（2022·湖北·九年级专题练习）（1）如图1，已知正方形ABCD 的边长为4，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，求12PD PC +4PC +的最小值，12PD PC −的最大值．（2）如图2，已知正方形ABCD 的边长为9，圆B 的半径为6，点P 是圆B 上的一个动点，求23PD PC +的最小值，23PD PC −的最大值，PC 的最小值．（3）如图3，已知菱形ABCD 的边长为4，=60B ∠︒，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，求12PD PC +的最小值和12PD PC −的最大值．PC 的最小值PB BC2414．（2022·山东聊城·二模）如图，抛物线2y x bx c =−++经过点()4,4A −−，()0,4B ，直线AC 的解析式为162y x =−−，且与y 轴相交于点C ，若点E 是直线AB 上的一个动点，过点E 作EF x ⊥轴交AC 于点F ．（1）求抛物线2y x bx c =−++的解析式；（2）点H 是y 轴上一动点，连结EH ，HF ，当点E 运动到什么位置时，四边形EAFH 是矩形?求出此时点E ，H 的坐标；（3）在（2）的前提下，以点E 为圆心，EH 长为半径作圆，点M 为E e 上以动点，求12AM CM +的最小值．15．（2022·江苏泰州·一模）如图，已知Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，9AB =，E 是AB 上的一点，5BE =，点D 是线段BC 上的一个动点，沿AD 折叠ACD ∆，点C 与C '重合，连接BC '．(1)求证：AEC AC B ''∆∆∽；(2)若点F 是BC 上的一点，且BF =，①若BC F '∆与BC E '∆2）中作出折叠后的AC D '∆（保留作图痕迹，不写作法）；②求32BC FC ''+的最小值．②如图，由（1）知：△AEC′∽△AC′B，∴AE ACAC AB'='=6293=，∴EC′=23BC′，∵BC′+32FC′=32(23BC′+FC′)=32(EC′+FC′），当E、C′、F三点共线时，EC′+FC′最短，即EC′+∴BC′+32FC′的最小值为32EF，在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC=22AB AC−过点E作EG⊥CB于G，∴∠C=∠EGB=90°，∴ACBC AB AC16．（2022·广东·九年级专题练习）如图1，已知正方形ABCD，AB＝4，以顶点B为直角顶点的等腰Rt△BEF绕点B旋转，BE＝BF AE，CF．(1)求证：△ABE ≌△CBF ．(2)如图2，连接DE ，当DE ＝BE 时，求S △BCF 的值．（S △BCF 表示△BCF 的面积）(3)如图3，当Rt △BEF 旋转到正方形ABCD 外部，且线段AE 与线段CF 存在交点G 时，若M 是CD 的中点，P 是线段DG+PG 的值最小时，求MP 的值． 【答案】(1)见解析(2)2或【分析】（1）由“SAS ”可证△ABE ≌△CBF ；（2）由“SSS ”可证△ADE ≌△ABE ，可得∠DAE ＝∠BAE ＝45°，可证AH ＝EH ，由勾股定理可求BE 的长，即可求解；（3）先确定点P 的位置，过点B 作BQ ⊥CF 于Q ，由勾股定理可求CE 的长，由平行线分线段成比例可求解．(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ，∠ABC ＝90°， ∵∠EBF ＝90°＝∠ABC ，∴∠ABE ＝∠CBF ， 又∵BE ＝BF ，AB ＝BC ，在△ABE 和△CBF 中，AB CB ABE CBF BE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△CBF （SAS ）； (2)解：如图2，过点E 作EH ⊥AB 于H ，∵△ABE ≌△CBF ，∴S △ABE ＝S △CBF ，∵AD ＝AB ，AE ＝AE ，DE ＝BE ，∴△ADE ≌△ABE （SSS ）， ∴∠DAE ＝∠BAE ＝45°，∵EH ⊥AB ，∴∠EAB ＝∠AEH ＝45°，∴AH ＝EH ，17．（2022·河北·九年级专题练习）如图1，在RT△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，圆C的半径为2，点P为圆上一动点，连接AP，BP，求：①12AP BP+，②2AP BP+，③13AP BP+，④3AP BP+的最小值．【点睛】本题考查圆的基本性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理．正确的作出辅助线，并且理解三点共线时线段最短是解答本题的关键．。
专题11最值模型之阿氏圆(原卷版)
B专题11 最值模型之阿氏圆“PA+k ·PB ”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。
1.当k 值为1时，即可转化为“PA+PB ”之和最短问题，就可用我们常见的“饮马问题”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理;2.当k 取任意不为1的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须转换思路。
此类问题的处理通常以动点P 所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。
即点P 在直线上运动和点P 在圆上运动。
点P 在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。
模型建立： PA+k ∙PB 的最小值。
阿氏圆钥匙： 构造母子三角形相似 阿氏圆口诀：两定一动阿氏圆，母子相似很简单。
第一步：确动点的运动轨迹（圆）， 以点0为圆心、r 为半径画圆； （若圆已经画出则可省略这一步） 第二步：连接动点至圆心0（将系数不为1的线段的固定端点 与圆心相连接），即连接OP ,OB 。
第三步：计算这两条线段长度的比k;第五步：在0B 上取点C,使得OC= k∙OP ; OCOP =OPOB =k, ∠O= ∠O ， 可得△ POC ∽ △ BOP 可得： OCOP =PCPB =k, PC=k ∙PB第六步：则PA+k ∙PB ≥PA+PC ≥AC,即当A ，P ,C 三点共线时可得最小值。
［提升：若能直接构造△相似计算的，直接计算，不能直接构造△相似计算的，先把k 提到 括号外边，将其中一条线段的系数化成1k ，再构造△相似进行计算.］Rt △ABC 中，AB ＝AC ＝4，点E ，F 分别是AB ，AC 的中点，点P 是扇形AEF的EF ̂上任意一点，连接BP ，CP，则12BP +CP 的最小值是 √17 ．思路引领：在AB 上取一点T ，使得AT ＝1，连接PT ，PA ，CT ．证明△PAT ∽△BAP ，推出PTPB =APAB =12，推出PT =12PB ，推出12PB +CP ＝CP +PT ，根据PC +PT ≥TC ，求出CT 即可解决问题． 答案详解：在AB 上取一点T ，使得AT ＝1，连接PT ，PA ，CT ．∵PA ＝2．AT ＝1，AB ＝4，∴PA 2＝AT •AB ， ∴PA AT=AB PA，∵∠PAT ＝∠PAB ， ∴△PAT ∽△BAP ， ∴PTPB =APAB =12， ∴PT =12PB ， ∴12PB +CP ＝CP +PT ，∵PC +PT ≥TC ，在Rt △ACT 中，∵∠CAT ＝90°，AT ＝1，AC ＝4， ∴CT =√AT 2+AC 2=√17， ∴12PB +PC ≥√17，∴12PB +PC 的最小值为√17． 故答案为√17．一．选择题（共1小题）1．如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ＝4，点E 、F 分别是边AB 、AC 的中点，点P 是以A 为圆心、以AE 为半径的圆弧上的动点，则12PB +PC 的最小值等于（ ）实战训练A．4B．3√2C．√17D．√15二．填空题（共7小题）2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝4，以点C为圆心，3为半径做⊙C，分别交AC，BC于D，E两点，点P是⊙C上一个动点，则13P A+PB的最小值为√．3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D、E分别是边BC、AC上的两个动点，且DE＝4，P是DE的中点，连接P A，PB，则P A+14PB的最小值为．4．如图，在⊙O中，点A、点B在⊙O上，∠AOB＝90°，OA＝6，点C在OA上，且OC＝2AC，点D是OB的中点，点M是劣弧AB上的动点，则CM+2DM的最小值为√10．5．如图所示，∠ACB＝60°，半径为2的圆O内切于∠ACB．P为圆O上一动点，过点P作PM、PN分别垂直于∠ACB的两边，垂足为M、N，则PM+2PN的取值范围为√≤√．6．如图，已知菱形ABCD的边长为8，∠B＝60°，圆B的半径为4，点P是圆B上的一个动点，则PD−12PC的最大值为√．7．如图，在△ABC中，BC＝6，∠BAC＝60°，则2AB+AC的最大值为√．8．如图，边长为4的正方形，内切圆记为圆O，P为圆O上一动点，则√2P A+PB的最小值为√．三．解答题（共8小题）9．如图，在6×6的正方形网格中，A、B、C、D均为小正方形的顶点，请仅用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹．（1）在图1中作出AC边上的点E，使得AE＝3CE；（2）在图2中作出BC边上的点F（不与点B重合），使得BD＝DF；（3）在图3中作出AB边上的点G，使得tan∠ACG=12．10．已知，AB是⊙O的直径，AB=4√2，AC＝BC．（1）求弦BC的长；（2）若点D是AB下方⊙O上的动点（不与点A，B重合），以CD为边，作正方形CDEF，如图1所示，若M是DF的中点，N是BC的中点，求证：线段MN的长为定值；（3）如图2，点P是动点，且AP＝2，连接CP，PB，一动点Q从点C出发，以每秒2个单位的速度沿线段CP匀速运动到点P，再以每秒1个单位的速度沿线段PB匀速运动到点B，到达点B后停止运动，求点Q的运动时间t的最小值．11．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．已知平面上两点A、B，则所有符合PAPB=k（k＞0且k≠1）的点P会组成一个圆．这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆．阿氏圆基本解法：构造三角形相似．【问题】如图1，在平面直角坐标系中，在x轴，y轴上分别有点C（m，0），D（0，n），点P是平面内一动点，且OP＝r，设OPOD=k，求PC+kPD的最小值．阿氏圆的关键解题步骤：第一步：如图1，在OD上取点M，使得OM：OP＝OP：OD＝k；第二步：证明kPD＝PM；第三步：连接CM，此时CM即为所求的最小值．下面是该题的解答过程（部分）：解：在OD上取点M，使得OM：OP＝OP：OD＝k，又∵∠POD＝∠MOP，∴△POM∽△DOP．任务：（1）将以上解答过程补充完整．（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为△ABC内一动点，满足CD＝2，利用（1）中的结论，请直接写出AD+23BD的最小值．12．如图1，⊙O的半径为r（r＞0），若点P'在射线OP上，满足OP'⋅OP＝r2，则称点P'是点P关于⊙O的“反演点”．（1）若点A关于⊙O的“反演点”是本身，那么点A与⊙O的位置关系为．A．点A在⊙O内B．点A在⊙O上C．点A在⊙O外（2）如图1，若⊙O的半径为4，点P'是点P关于⊙O的“反演点”，且PP'＝6，过点P的直线与⊙O相切于点Q，求PQ长．（3）如图2，若⊙O的半径为4，点Q在⊙O上，点A在⊙O内，且OA＝2，点Q'、A'分别是点Q、A关于⊙O的“反演点”，过点A'作A'B⊥A'O且A'B＝A'O，连接BQ'，Q'A'，求BQ′+12Q′A′的最小值．13．【根底巩固】（1）如图，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB．【尝试应用】（2）如图2，在菱形ABCD中，E，F分别为BC，DC上的点，且∠EAF=12∠BAD，射线AE交DC的延长线于点M，射线AF交BC的延长线于点N．若AF＝4，CF＝2，AM＝10．求：①CM的长；②FN的长．【拓展进步】（3）如图3，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，以点B为圆心作半径为3的圆，其中点P是圆上的动点，请直接写出PD+12PC的最小值．14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =14x 2−32x ﹣4与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ． （1）求点A 、B 、C 的坐标；（2）如图1，连接BC ，点D 是抛物线上一点，若∠DCB ＝∠ABC ，求点D 的坐标；（3）如图2，若点P 在以点O 为圆心，OA 长为半径作的圆上，连接BP 、CP ，请你直接写出12CP +BP的最小值．15．如图，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与直线AB 交于A （﹣4，﹣4），B （0，4）两点，直线AC ：y =−12x ﹣6交y 轴于点C ．点E 是直线AB 上的动点，过点E 作EF ⊥x 轴交AC 于点F ，交抛物线于点G ． （1）求抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 的表达式；（2）连接GB ，EO ，当四边形GEOB 是平行四边形时，求点G 的坐标；（3）①在y 轴上存在一点H ，连接EH ，HF ，当点E 运动到什么位置时，以A ，E ，F ，H 为顶点的四边形是矩形？求出此时点E ，H 的坐标；②在①的前提下，以点E 为圆心，EH 长为半径作圆，点M 为⊙E 上一动点，求12AM +CM 它的最小值．16．问题提出：如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CB ＝4，CA ＝6，⊙C 半径为2，P 为圆上一动点，连接AP 、BP ，求AP +12BP 的最小值．（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP ，在CB 上取点D ，使CD ＝1，则有CD CP=CP CB=12，又∵∠PCD ＝∠BCP ，∴△PCD ∽△BCP ．∴PD BP=12，∴PD =12BP ，∴AP +12BP ＝AP +PD ． 请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP +12BP 的最小值为 √ ．（2）自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下，13AP +BP 的最小值为 √37 ．（3）拓展延伸：已知扇形COD 中，∠COD ＝90°，OC ＝6，OA ＝3，OB ＝5，点P 是CD ̂上一点，求2P A +PB 的最小值．。
模型17 阿氏圆最值问题(原卷版)-2023年中考数学重难点解题大招复习讲义-几何模型篇
模型介绍背景故事：“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A、B两点，点P满足PA：PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”.模型建立：当点P在一个以O为圆心，r为半径的圆上运动时，如图所示：易证：△BOP∽△POA，，∴对于圆上任意一点P都有.对于任意一个圆，任意一个k的值，我们可以在任意一条直径所在直线上，在同侧适当的位置选取A、B点，则需+ 的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似 【技巧总结】计算PA k PB三角形+ 的值最小，解决步骤具体如下：问题：在圆上找一点P使得PA k PB①如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP，OB②计算出这两条线段的长度比OP k OB=③在OB 上取一点C ，使得OC k OP =，即构造△POM ∽△BOP ，则PC k PB=，PC k PB = ④则=PA k PB PA PC AC ++≥ ，当A 、P 、C 三点共线时可得最小值例题精讲【例1】．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CB ＝4，CA ＝6，⊙C 半径为2，P 为圆上一动点，连接AP ，BP ，则AP +BP 的最小值为________.变式训练【变式1-1】．如图，正方形ABCD 的边长为4，⊙B 的半径为2，P 为⊙B 上的动点，则PD +PC 的最小值等于．【变式1-2】．如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ＝4，点E 、F 分别是边AB 、AC 的中点，点P 是以A 为圆心、以AE 为半径的圆弧上的动点，则的最小值为．【变式1-3】．如图，在直角坐标系中，以原点O为圆心作半径为4的圆交x轴正半轴于点A，点M的坐标为（6，3），点N的坐标为（8，0），点P在圆上运动．则PM+PN的最小值是．【例2】．如图，在⊙O中，点A、点B在⊙O上，∠AOB＝90°，OA＝6，点C在OA上，且OC＝2AC，点D是OB的中点，点M是劣弧AB上的动点，则CM+2DM的最小值为．变式训练【变式2-1】．⊙O半径为2，AB，DE为两条直线．作DC⊥AB于C，且C为AO中点，P 为圆上一个动点．求2PC+PE的最小值．【变式2-2】．如图，在扇形OCD中，∠COD＝90°，OC＝3，点A在OD上，AD＝1，点B为OC的中点，点E是弧CD上的动点，则AE+2EB的最小值是．【变式2-3】．如图，等边△ABC的边长6，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则2PB+PC 的最小值为．1．如图，边长为4的正方形，内切圆记为圆O，P为圆O上一动点，则PA+PB的最小值为．2．如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝6，C是OA的中点，D是OB上一点，OD＝5，P是上一动点，则PC+PD的最小值为．3．如图，半圆的半径为1，AB为直径，AC、BD为切线，AC＝1，BD＝2，P为弧AB上一动点，则PC+PD的最小值为．4．在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝8，OB＝10，以O为圆心，4为半径作圆O，交两边于点C，D，P为劣弧CD上一动点，则PA+PB最小值为．5．如图，在边长为6的正方形ABCD中，M为AB上一点，且BM＝2，N为边BC上一动点，连接MN，点B关于MN对称，对应点为P，连接PA，PC，则PA+2PC的最小值为．6．如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，M点是BC的中点，A为圆心，AB为半径的圆交AD于点E．点P在上运动，则PM+DP的最小值为．7．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，D为AC的中点，以A为圆心，AD为半径作OA交AB于点E，P为劣弧DE上一动点，连接PB、PC，则PC+PB的最小值为．8．如图，在平面直角坐标系中，A（2，0）、B（0，2）、C（4，0）、D（3，2），P是△AOB 外部的第一象限内一动点，且∠BPA＝135°，则2PD+PC的最小值是．9．如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝2，⊙O的半径为1，M为⊙O上一动点，求AM+BM的最小值．10．问题提出：如图1，在等边△ABC中，AB＝12，⊙C半径为6，P为圆上一动点，连接AP，BP，求AP+BP的最小值．（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP，在CB上取点D，使CD＝3，则有＝＝，又∵∠PCD＝∠BCP，∴△PCD∽△BCP，∴＝，∴PD＝BP，∴AP+BP＝AP+PD．请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+BP的最小值为．（2）自主探索：如图3，矩形ABCD中，BC＝7，AB＝9，P为矩形内部一点，且PB＝3，AP+PC的最小值为．（3）拓展延伸：如图4，扇形COD中，O为圆心，∠COD＝120°，OC＝4，OA＝2，OB＝3，点P是上一点，求2PA+PB的最小值，画出示意图并写出求解过程．11．（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则PD+PC的最小值为，PD﹣PC的最大值为．（2）如图2，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，圆B的半径为2，点P是圆B 上的一个动点，求PD+PC的最小值，以及PD﹣PC的最大值．12．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．已知平面上两点A、B，则所有符合＝k（k＞0且k≠1）的点P会组成一个圆．这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆．阿氏圆基本解法：构造三角形相似．【问题】如图1，在平面直角坐标系中，在x轴，y轴上分别有点C（m，0），D（0，n），点P是平面内一动点，且OP＝r，设＝k，求PC+kPD的最小值．阿氏圆的关键解题步骤：第一步：如图1，在OD上取点M，使得OM：OP＝OP：OD＝k；第二步：证明kPD＝PM；第三步：连接CM，此时CM即为所求的最小值．下面是该题的解答过程（部分）：解：在OD上取点M，使得OM：OP＝OP：OD＝k，又∵∠POD＝∠MOP，∴△POM∽△DOP．任务：（1）将以上解答过程补充完整．（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为△ABC内一动点，满足CD＝2，利用（1）中的结论，请直接写出AD+BD的最小值．13．（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求PD+的最小值和PD﹣的最大值；（2）如图2，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，那么PD+的最小值为，PD﹣的最大值为．（3）如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，圆B的半径为2，点P是圆B 上的一个动点，那么PD+的最小值为，PD﹣的最大值为．14．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线AC：y＝﹣x﹣6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G．（1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的表达式；（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；（3）①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标；②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求AM+CM它的最小值．15．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点C（2，﹣3），且与x轴交于原点及点B （8，0）．（1）求二次函数的表达式；（2）求顶点A的坐标及直线AB的表达式；（3）判断△ABO的形状，试说明理由；（4）若点P为⊙O上的动点，且⊙O的半径为2，一动点E从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段AP匀速运动到点P，再以每秒1个单位长度的速度沿线段PB 匀速运动到点B后停止运动，求点E的运动时间t的最小值．。
专题 最值模型之阿氏圆模型(学生版)
专题28最值模型之阿氏圆模型最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，主要考查转化与化归等的数学思想。
在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。
本专题就最值模型中的阿氏圆问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
【模型背景】已知平面上两点A 、B ，则所有满足PA =k ·PB （k ≠1）的点P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。
【模型解读】如图1所示，⊙O 的半径为r ，点A 、B 都在⊙O 外，P 为⊙O 上一动点，已知r =k ·OB ，连接PA 、PB ，则当“PA +k ·PB ”的值最小时，P 点的位置如何确定？如图2，在线段OB 上截取OC 使OC =k ·r ，则可说明△BPO 与△PCO 相似，即k ·PB =PC 。
故本题求“PA +k ·PB ”的最小值可以转化为“PA +PC ”的最小值，其中与A 与C 为定点，P A 、P 、C 三点共线时，“PA +PC ”值最小。
如图3所示：注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“k ·PA +PB ”最值问题，其中P 点轨迹是直线，而当P 点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．【最值原理】两点之间线段最短及垂线段最短解题。
例1．（2023·山东·九年级专题练习）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，4CB =，6CA =，圆C 半径为2，P 为圆上一动点，连接,2,1A A P P P P B B +最小值__________．13BP AP +最小值__________．，例3．（2023·广东·九年级专题练习）如图，菱形ABCD的边长为2，锐角大小为60︒，A与BC相切于点E，在A上任取一点P，则32PB PD+的最小值为___________．例4．（2023·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，在边长为例5．（2023·浙江·一模）问题提出：如图1，在等边△ABC中，AB＝9，⊙C半径为3，P为圆上一动点，连结AP，BP，求AP+13BP的最小值(1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路，通过构造一对相似三角形，将13BP转化为某一条线段长，具体方法如下：(请把下面的过程填写完整)如图2，连结CP，在CB上取点D，使CD＝1，则有13== CD CP CP CB又∵∠PCD＝∠△∽△∴13=PDBP∴PD＝13BP∴AP+13BP＝AP+PD∴当A，P，D三点共线时，AP+PD取到最小值请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+13BP的最小值为．(2)自主探索：如图3，矩形ABCD中，BC＝6，AB＝8，P为矩形内部一点，且PB＝4，则12AP+PC的最小值为．(请在图3中添加相应的辅助线)(3)拓展延伸：如图4，在扇形COD中，O为圆心，∠COD＝120°，OC＝4．OA＝2，OB＝3，点P是CD上一点，求2PA+PB例6．（2022·湖北·九年级专题练习）（1）如图1，已知正方形ABCD 的边长为4，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，求12PD PC +4PC +的最小值，12PD PC -的最大值．（2）如图2，已知正方形ABCD 的边长为9，圆B 的半径为6，点P 是圆B 上的一个动点，求23PD PC +的最小值，23PD PC -的最大值，23+PC PD 的最小值．（3）如图3，已知菱形ABCD 的边长为4，=60B ∠︒，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，求12PD PC +的最小值和12PD PC -的最大值．6+PC PD 的最小值例7．（2022·湖北武汉·模拟预测）【新知探究】新定义：平面内两定点A ,B ，所有满足PA PB=k (k 为定值)的P 点形成的图形是圆，我们把这种圆称之为“阿氏圆”，【问题解决】如图，在△ABC 中，CB =4，AB =2AC ，则△ABC 面积的最大值为_____．轴交于课后专项训练＝A．62B．43．（2022·湖北·九年级专题练习）如图，已知正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，点P是⊙B上的一个动点，则PD﹣12PC的最大值为_____．内切于的取值范围为5．（2023·湖南·九年级专题练习）如图，边长为最小值为．6．（2023上·四川成都·九年级校考期中）如图，已知EC AE＝，G是射线CN上的动点，同时在:2:1为．若点H运动轨迹与射线7．（2023·广西·南宁市一模）如图，在平面直角坐标系中，A(2，0)、B(0，2)、C(4，0)、D(3，2)，P是AOB外部的第一象限内一动点，且∠BPA＝135°，则2PD+PC的最小值是_____．9．（2023秋·浙江温州·九年级校考期末）如图，在边长为分别是11．（2022·江苏·苏州九年级阶段练习）如图，正方形ABCD的边长为4，点E为边AD上一个动点，点F在边CD上，且线段EF＝4，点G为线段EF的中点，连接BG、CG，则BG+12CG的最小值为_____．12．（2023·四川成都·九年级专题练习）在ABC中，AB=9，BC=8，∠ABC=60°，⊙A的半径为6，P是A上一动点，连接PB，PC，则32PC PB+的最小值_____________PB的最小值_______=6014．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知：（1）初步思考：如图1，在PCB ∆中，已知2PB =，BC=4，N 为BC 上一点且1BN =，试说明：12PN PC =（2）问题提出：如图2，已知正方形ABCD 的边长为4，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，求12PD PC+的最小值．（3）推广运用：如图3，已知菱形ABCD 的边长为4，∠B ﹦60°，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，求12PD PC -的最大值．图1图2图3的三个顶点的距离分别为(1)如图2，在55⨯的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A ，B 、C 、D 、E 均在小正方形的格点上，则点D 是ABC 关于点______的勾股点；若点F 在格点上，且点E 是ABF △关于点F 的勾股点，请在方格纸中画出ABF △；(2)如图3，菱形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，点E 是平面内一点，且点O 是ABE 关于点E 的勾股点．D17．（2023·重庆大渡口·九年级统考阶段练习）如图线为x轴、y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，连接并与矩形的两边交于点E和点F已知平面上两点）的点的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称第1步：一般将含有k 的线段PB 两端点分别与圆心O 相连，即连接OB 、OP ；第2步：在OB 上取点C ，使得2OP OC OB =⋅，即OC OP OP OB=，构造母子型相似OCP △∽OPB △（图2）；第3步：连接AC ，与圆O 的交点即为点P （图3）．【问题解决】如图，O 与y 轴、x 轴的正半轴分别相交于点M 、点N ，O 半径为，点()0,2A ，点3,02B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，点的任意一点，为半径画圆，交。
阿氏圆 DOCX 文档 (7)
中考数学压轴之阿氏圆模型专题训练那么如何应用"阿氏圆"的性质解答带系数的两条线段和的最小值呢?我们来看一道基本题目:例：已知∠AOB=90°，OB=4,OA=6，⊙C 半径为2，P 为圆上一动点(1)求12AP BP +的最小值为(2)求13AP BP +的最小值为第（1）问解题基本步骤：构造△OPC ∽△OBP,则PC OP OCk BP OB OP===（相似比）①分别连接圆心O 与系数不为1的线段BP 的两端点，即OP ，OB;②计算OP OB 的值，则12OP k OB ==（半径圆心到定点的距离） ③计算OC 的长度，由OC k OP =得：12OC OP =（相似比×半径） ④连接AC ，当A 、P 、C 三点共线时，12AP BP AP PC AC +=+≥⑤计算AC 的长度即为最小值.yx O C B A PCPx yB O A P 实战练习：1、已知⊙O 半径为1，AC 、BD 为切线，AC=1，BD=2，P 为弧AB 上一动点， 试求2PD +的最小值2、已知点A （4，0），B （4，4），点P 在半径为2的⊙O 上运动，试求12AP BP +的最小值3、已知点A(-3,0)，B （0,3），C （1,0），若点P 为⊙C 上一动点，且⊙C 与y 轴相切，（1）14AP BP +的最小值;（2）PABS V 的最小值.4、如图1，在平面直角坐标系xoy 中，半⊙O 交x 轴与点A 、B(2,0)两点，AD 、BC 均为半⊙O 的切线，AD=2，BC=7. (1)求OD 的长；（2）如图2，若点P 是半⊙O 上的动点，Q 为OD 的中点.连接PO 、PQ. ①求证：△OPQ ∽△ODP;②是否存在点P ，使2PD PC 有最小值，若存在，试求出点P 的坐标； 若不存在，请说明理由.5、（1）如图1，已知正方形ABC的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求12PD PC+的最小值和12PD PC-的最大值.(2)如图2，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，那么23PD PC+的最小值为；23PD PC-的最大值为（3）如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠B=60°，圆B的半径为2.点P是圆B上的一个动点.那么12PD PC+的最小值为；12PD PC-的最大值为6、（2016年＊济南28题）如图1，抛物线y＝ax2＋(a＋3)x＋3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．（1）求a的值和直线AB的函数表达式；（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若12CC＝65，求m的値；（3）如图2，在（2）的条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α(0°＜α＜90°)，连接E′A、E′B，求E′A＋23E′B的最小值．第28题图1xyM NPBAO E第28题图2xyMNPBAO EE'7、（2017年＊遵义27题）如图，抛物线y=ax 2+bx ﹣a ﹣b （a ＜0，a 、b 为常数）与x 轴交于A 、C 两点，与y 轴交于B 点，直线AB 的函数关系式为y=89x +163． （1）求该抛物线的函数关系式与C 点坐标；（2）已知点M （m ，0）是线段OA 上的一个动点，过点M 作x 轴的垂线l 分别与直线AB 和抛物线交于D 、E 两点，当m 为何值时，△BDE 恰好是以DE 为底边的等腰三角形？（3）在（2）问条件下，当△BDE 恰好是以DE 为底边的等腰三角形时，动点M 相应位置记为点M′，将OM′绕原点O 顺时针旋转得到ON （旋转角在0°到90°之间）；i ：探究：线段OB 上是否存在定点P （P 不与O 、B 重合），无论ON 如何旋转，NPNB始终保持不变，若存在，试求出P 点坐标；若不存在，请说明理由； ii ：试求出此旋转过程中，（NA+34NB ）的最小值．阿氏圆整理例题讲解：例1、如图1，抛物线y ＝ax 2＋(a ＋3)x ＋3（a ≠0）与x 轴交于点A （4，0），与y 轴交于点B ，在x 轴上有一动点E （m ，0）（0＜m ＜4），过点E 作x 轴的垂线交直线AB 于点N ，交抛物线于点P ，过点P 作PM ⊥AB 于点M ．（1）求a 的值和直线AB 的函数表达式；（2）设△PMN 的周长为C 1，△AEN 的周长为C 2，若12C C ＝65，求m 的値；（3）如图2，在（2）的条件下，将线段OE 绕点O 逆时针旋转得到OE ′，旋转角为α(0°＜α＜90°)，连接E ′A 、E ′B ，求E ′A ＋23E ′B 的最小值．解：（1）把点A （4，0）代入y ＝ax 2＋(a ＋3)x ＋3，得 16a ＋4(a ＋3)＋3＝0．解得a ＝－34．∴抛物线的函数表达式为：y ＝－34x 2＋94x ＋3．把x ＝0代入上式，得y ＝3．∴点B 的坐标为（0，3）．由A （4，0），B （0，3）可得直线AB 的函数表达式为：y ＝－34x ＋3．（2）根据题意，得OE ＝m ，AE ＝4－m ，AB ＝5，点P 的坐标可表示为(m ，－34m 2＋94m ＋3)．∴PE ＝－34m 2＋94m ＋3……………………………………………………①∵△AEN ∽△AOB ，∴AN AB ＝NE BO ＝AE 4．∴AN 5＝NE 3＝4－m4．∴AN ＝54(4－m )， NE ＝34(4－m )．∵△PMN ∽△AEN ，且12C C ＝65， ∴PN AN ＝65．∴PN ＝65AN ＝65×54(4－m )＝32(4－m )． ∴PE ＝NE ＋PN ＝34(4－m )＋32(4－m )＝94(4－m )………………………...②由①、②，得－34m 2＋94m ＋3＝94(4－m )． 解得m 1＝2，m 2＝4(不合题意，舍去)． ∴m 的値为2．（3）在（2）的条件下，m 的値为2，点E （2，0），OE ＝2．∴OE ′＝OE ＝2． 如图，取点F (0，43)，连接FE ′、AF ．则OF ＝43，AF ＝42＋(43)2＝4310．第28题图1 xyMNPBAOE第28题图2xyMNPB AOE E'∵OF OE ′＝432＝23，OE ′OB ＝23，且∠FOE ′＝∠E ′OB ，∴△FOE ′∽△E ′OB ．∴FE ′E ′B ＝23．∴FE ′＝23E ′B ． ∴E ′A ＋23E ′B ＝E ′A ＋FE ′≥AF ＝4310．∴E ′A ＋23E ′B 的最小值为4310．巩固练习：1、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ﹦90°，CB ﹦4，CA ﹦6，圆C 半径为2，P 为圆上一动点，连接AP ，BP ，12AP BP + 最小值为（ ）A 、37B 、6C 、217D 、42、如图，在△ABC 中，∠B ﹦90°，AB ﹦CB ﹦2，以点B 为圆心作圆B 与AC 相切，点P 为圆B 上任一动点，则22PA PC +的最小值是 ．3、如图，菱形ABCD 的边长为2，锐角大小为60°，⊙A 与BC 相切于点E ，在⊙A 上任取一点P ，则CBAP CBAP第28题答案图xyF B AOEE'32PB PD +的最小值为 ．4、在平面直角坐标系中，A （2，0），B （0，2），C （4，0），D （3，2），P 是△AOB 外部的第一象限内一动点，且△BP A ﹦135°，则2PD ﹢PC 的最小值是 ．5、（1）如图1，已知正方形ABCD 的边长为4，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，求12PD PC +的最小值和12PD PC -的最大值． （2）如图2，已知正方形ABCD 的边长为9，圆B 的半径为6，点P 是圆B 上的一个动点，求23PD PC +的最小值和23PD PC -的最大值． （3）如图3，已知菱形ABCD 的边长为4，△B ﹦90°，圆B 的半径为,2，点P 是圆B 上的一个动点，求12PD PC +的最小值和12PD PC -的最大值．图1 图2 图3套路总结阿氏圆基本解法：构造相似阿氏圆一般解题步骤：PC kPD +CDAPE BDACDA CDABBBP PPCy x第二步：计算出所连接的这两条线段OP、OD长度；第三步：计算这两条线段长度的比OPm OD=；第四步：在OD上取点M，使得OMm OP=；第五步：连接CM，与圆O交点即为点P．1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连结AP，BP，AP+BP的最小值为（）2．如图，半圆的半径为1，AB为直径，AC、BD为切线，AC=1，BD=2，P为上一动点，求PC+PD的最小值．。
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D
C
B
O
A
P
C
B
A
P
x
y
B
O
A
P
阿氏圆模型专题训练
阿氏圆(阿波罗尼斯圆)：
已知平面上两定点A、B，则所有满足PA/PB=k(k不等于1)的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹
最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆。在初中的题目中往往利用逆向思维构造"
斜A"型相似(也叫"母子型相似"或"美人鱼相似")+两点间线段最短解决带系数两线段之和的
最值问题。
观察下面的图形，当P在在圆上运动时，PA、PB的长在不断的发生变化，但它们的比值却始
终保持不变。
解决阿氏圆问题，首先要熟练掌握母子型相似三角形的性质和构造方法。
如图，在△ABC的边AC上找一点D，使得AD/AB=AB/AC，则此时△ABD∽△ACB。
母子型相似（共角共边）
DAC
B
那么如何应用"阿氏圆"的性质解答带系数的两条线段和的最小值呢?我们来看一道基本题目:
已知∠ACB=90°，CB=4,CA=6，⊙C半径为2，P为圆上一动点.
(1)求12APBP的最小值为
(2)求13APBP的最小值为
实战练习：
1、已知⊙O半径为1，AC、BD为切线，AC=1，BD=2，P为弧AB上一动点，
试求22PCPD的最小值
2、已知点A（4，0），B（4，4），点P在半径为2的⊙O上运动，试求12APBP的最小值
y
x
O
C
B
A
P
3、已知点A(-3,0)，B（0,3），C（1,0），若点P为⊙C上一动点，且⊙C与y轴相切，
（1）14APBP的最小值;
（2）PABS的最小值.
4、如图1，在平面直角坐标系xoy中，半⊙O交x轴与点A、B(2,0)两点，AD、BC均为半⊙O
的切线，AD=2，BC=7.
(1)求OD的长；
（2）如图2，若点P是半⊙O上的动点，Q为OD的中点.连接PO、PQ.
①求证：△OPQ∽△ODP;
②是否存在点P，使2PDPC有最小值，若存在，试求出点P的坐标；
若不存在，请说明理由.
5、（1）如图1，已知正方形ABC的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，
求12PDPC的最小值和12PDPC的最大值.
(2)如图2，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，那么
23PDPC的最小值为 ；2
3
PDPC
的最大值为
（3）如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠B=60°，圆B的半径为2.点P是圆B上的一个
动点.那么12PDPC的最小值为 ；12PDPC的最大值为
巩固练习：
1、如图，在Rt△ABC中，∠ACB﹦90°，CB﹦4，CA﹦6，圆C半径为2，P为圆上一动点，连接AP，BP，12APBP
最小值为（ ）
A、37 B、6 C、217 D、4
C
B
A
P
2、如图，在△ABC中，∠B﹦90°，AB﹦CB﹦2，以点B为圆心作圆B与AC相切，点P为圆B上任一动点，
则22PAPC的最小值是 ．
C
B
A
P
3、如图，菱形ABCD的边长为2，锐角大小为60°，⊙A与BC相切于点E，在⊙A上任取一点P，则
3
2
PBPD
的最小值为 ．
C
D
A
P
E
B
4、在平面直角坐标系中，A（2，0），B（0，2），C（4，0），D（3，2），P是△AOB外部的第一象限内一
动点，且∠BPA﹦135°，则2PD﹢PC的最小值是 ．
y
5、（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求
1
2
PDPC
的最小值和12PDPC的最大值．
（2）如图2，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，求
2
3
PDPC
的最小值和23PDPC的最大值．
（3）如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠B﹦90°，圆B的半径为,2，点P是圆B上的一个动点，求
1
2
PDPC
的最小值和12PDPC的最大值．
D
A
C
D
A
C
D
A
BBB
P
P
P
C
图1 图2 图3
套路总结
阿氏圆基本解法：构造相似
阿氏圆一般解题步骤：PCkPD
第一步：连接动点至圆心O（将系数不为1的线段的两个端点分别与圆心相连接），则连接OP、OD；
第二步：计算出所连接的这两条线段OP、OD长度；
第三步：计算这两条线段长度的比OPmOD；
第四步：在OD上取点M，使得OMmOP；
第五步：连接CM，与圆O交点即为点P．
1．
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连结AP，
BP，AP+BP的最小值为（ ）
2．如图，半圆的半径为1，AB为直径，AC、BD为切线，AC=1，BD=2，P为上一动点，求
PC+PD的最小值．