关于欧拉定理问题及其应用
关于两个平方数的费尔马—欧拉定理
关于两个平方数的费尔马—欧拉定理关于两个平方数的费尔马欧拉定理，是数学史上一项重要而伟大的成就。
它是由19世纪早期的德国数学家费尔马提出的，指出任意两个正整数的平方数可以表示为两个正整数的乘积。
德国数学家欧拉发现，费尔马的定理的一个额外性质，即任意两个正整数平方数的和也可以表示为两个正整数的乘积。
费尔马欧拉定理指出，任意两个正整数a和b，它们的平方数之和可以表示为：a2 + b2 = (a + b) (a - b)。
这种定理常被称为费尔马欧拉定理，这个定理有许多应用，包括几何计算、三角函数和数论等。
例如，费尔马欧拉定理可以用来推导欧几里得定理。
欧几里得定理指出，任何一个正整数的平方都可以表示为两个不同的正整数之和。
这可以通过费尔马欧拉定理来证明，因为任何一个正整数n的平方可以表示为n2= (n + n) ( n - n)，这等于2n 0，即2n 0 = 2n。
另外，费尔马欧拉定理也可以用来解决各种三角函数问题。
例如，对于三角形的每一边的平方和，可以用以下形式来表示：a2 + b2 = c2，而正确的形式是a2 + b2 = (a + b) (a - b)。
因此，可以看出，三角形的每一条边的平方和可以用费尔马欧拉定理来表示，从而可以解决三角函数的各种问题和应用。
此外，费尔马欧拉定理也被用于复杂的数论推理中。
在这一领域，可以使用定理来解决由素数构成的各种问题。
例如，可以利用费尔马欧拉定理推导出某些有关素数的性质，从而解决复杂的数论问题。
费尔马欧拉定理有着深远的影响，使得数学取得了重大的进步。
此定理对正整数的平方数有着重要的研究价值，因此，它也被称为数学史上一项重要而伟大的成就。
从而可以看出，费尔马欧拉定理在数学界发挥着重要的作用，它不仅拓展了正整数的应用领域，而且也为数学发展带来了新的思路，使得数学取得了重大的进展。
欧拉定理
欧拉定理————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期:欧拉定理认识欧拉欧拉,瑞士数学家,1３岁进巴塞尔大学读书，得到著名数学家贝努利的精心指导．欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学家，他从19岁开始发表论文，直到7６岁,他那不倦的一生，共写下了886本书籍和论文，其中在世时发表了70０多篇论文。
彼得堡科学院为了整理他的著作，整整用了４7年。
欧拉著作惊人的高产并不是偶然的。
他那顽强的毅力和孜孜不倦的治学精神,可以使他在任何不良的环境中工作:他常常抱着孩子在膝盖上完成论文。
即使在他双目失明后的17年间,也没有停止对数学的研究,口述了好几本书和400余篇的论文。
当他写出了计算天王星轨道的计算要领后离开了人世。
欧拉永远是我们可敬的老师。
欧拉研究论著几乎涉及到所有数学分支，对物理力学、天文学、弹道学、航海学、建筑学、音乐都有研究!有许多公式、定理、解法、函数、方程、常数等是以欧拉名字命名的。
欧拉写的数学教材在当时一直被当作标准教程。
19世纪伟大的数学家高斯（Gａuss，1７77-1855）曾说过“研究欧拉的著作永远是了解数学的最好方法”。
欧拉还是数学符号发明者，他创设的许多数学符号，例如π,i，e,ｓｉn,cos，tｇ，Σ,ｆ(x)等等,至今沿用。
欧拉不仅解决了彗星轨迹的计算问题,还解决了使牛顿头痛的月离问题。
对著名的“哥尼斯堡七桥问题”的完美解答开创了“图论”的研究。
欧拉发现，不论什么形状的凸多面体，其顶点数Ｖ、棱数E、面数F之间总有关系V+Ｆ－E＝2，此式称为欧拉公式。
V+F-Ｅ即欧拉示性数，已成为“拓扑学”的基础概念。
那么什么是“拓扑学”? 欧拉是如何发现这个关系的?他是用什么方法研究的?今天让我们沿着欧拉的足迹，怀着崇敬的心情和欣赏的态度探索这个公式．..．..初等数论中的欧拉定理定理内容在数论中，欧拉定理(也称费马-欧拉定理)是一个关于同余的性质。
欧拉大定理问题回答
欧拉大定理欧拉大定理是数学中一个著名的定理，它描述了一种极其有用的数论性质，常常被应用在各种数学证明的过程中。
欧拉大定理最初的提出者为瑞士数学家欧拉，因此这个定理被以他的名字命名。
下面将详细介绍欧拉大定理的定义、证明及其应用。
欧拉大定理的定义为：若a和n是两个正整数，它们的最大公约数为1，则有a^φ(n) ≡ 1 (mod n)，其中φ(n)表示小于或等于n的正整数中与n互质的数的个数，也称欧拉函数。
欧拉大定理的证明比较简单，以下是一种常见的证明方法：首先定义一个与n互质的正整数集合S={x1, x2, ..., xm}，其中m=φ(n)。
根据欧拉函数的定义，S中的每个元素对于n都有一个唯一的逆元x'(mod n)，这意味着对于S中的每个元素，它们与其逆元的乘积对n取模都等于1。
因此，在S中任意取出一个元素ai，则S中的每个元素都可以表示为ai^k (mod n)，其中k为非负整数。
于是，将所有的ai^k (mod n)乘起来，得到的结果为(a1^k * a2^k * ... * am^k)(mod n)，因为乘法满足结合律，所以上述结果可以进一步变为((a1 * a1' * a2 * a2' * ... * am * am')(mod n))^k。
而括号中的部分恰好等于1，因为每个元素和其逆元的乘积都为1(mod n)。
所以，ai^φ(n) ≡ 1 (mod n)，即欧拉定理得证。
欧拉大定理的应用广泛，常常被用于解决各种数学问题。
例如，在密码学中，欧拉定理可以被用来计算 public key 的 values，从而实现安全的加密通信。
另外，欧拉定理还可以被用来计算不同的模数下的指数方程，这在非常多的实际应用中都具有重要的作用。
总的来说，欧拉大定理是数学中一个非常重要的定理，其广泛应用于各种数学领域。
以后我们还可以通过学习更多的数学知识来更好地理解欧拉大定理的应用和意义。
欧拉定理最简公式
欧拉定理最简公式
欧拉定理是数学中一个重要的定理，它指出了一个多边形的内角和外角之和等于360度。
它是由18世纪瑞士数学家莱布尼茨提出的，他是第一个提出这个定理的人。
欧拉定理的最简公式是：内角和 = 180° × (n - 2)，其中n是多边形的边数。
这个公式表明，如果一个多边形有n条边，那么它的内角和就是180° × (n - 2)。
欧拉定理的应用非常广泛，它可以用来解决许多数学问题，比如求解多边形的内角和、外
角和、边长等。
它还可以用来解决几何问题，比如求解多边形的面积、周长等。
欧拉定理的最简公式是一个非常有用的公式，它可以帮助我们快速解决许多数学和几何问题。
它的应用范围也非常广泛，可以用来解决许多复杂的数学问题。
费马-欧拉定理
费马-欧拉定理
费马-欧拉定理（Euler Theorem，也称欧拉定理或欧拉函数定理）是数学中的一个重要定理，它关于整数的性质有着深远的影响。
这个定理可以简洁地表述为：对于任何大于2的整数n，不存在整数解(a,b,c)，使得a^n+b^n=c^n成立。
该定理由瑞士数学家欧拉和法国数学家费马独立发现并证明，被视为数论中的一座丰碑。
欧拉费马定理可以简化为证明当n为奇数时，方程a^n+b^n=c^n无解。
通过对方程进行变换和推导，可以得出一个关键的结论：假设存在整数解(a,b,c)，则必然存在质数p，使得p 整除a、b和c。
接着，利用数论中的一些基本性质，如素数的性质、模运算等，可以推导出一系列关于数的性质。
最终，根据这些性质，可以得出一个矛盾的结论，进而证明了欧拉费马定理的正确性。
这个定理的证明历经了几个世纪的努力，最终由英国数学家安德鲁·怀尔斯证明于1994年，填补了费马猜想的空白。
欧拉费马定理不仅填补了费马猜想的空白，也为数论的发展奠定了基础。
同时，该定理也在密码学等领域有着广泛的应用。
欧拉定理a的p次方模p余a
欧拉定理a的p次方模p余a摘要：1.欧拉定理的定义与概述2.欧拉定理的数学表达式3.欧拉定理的证明方法4.欧拉定理的应用领域5.欧拉定理的历史背景与影响正文：1.欧拉定理的定义与概述欧拉定理，又称欧拉- 费马定理，是数论中的一个重要定理。
该定理阐述了模运算与欧拉函数之间的关系，对于正整数a、p 和模p 的整数n，若a 的p 次方模p 余a，则称a 满足欧拉定理。
简单来说，欧拉定理描述了在模p 的整数系中，关于a 的p 次方的结果与a 模p 的结果相等。
2.欧拉定理的数学表达式欧拉定理可以用如下数学表达式表示：a^p ≡ a (mod p)其中，a 表示正整数，p 表示质数，^p 表示乘方，≡表示模运算，(mod p) 表示取模p 的结果。
3.欧拉定理的证明方法欧拉定理的证明方法有很多，其中一种简单的证明方法是通过扩展欧几里得算法。
在此，我们简要介绍另一种证明方法：逆元法。
设a 满足欧拉定理，即a^p ≡ a (mod p)，我们需要证明a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。
假设存在整数x，使得a^(p-1) = 1 + px，那么我们可以计算：a^p = a^(p-1) * a ≡ (1 + px) * a (mod p)≡ 1 * a + p * x * a (mod p)≡ a + 0 * a (mod p)≡ a (mod p)由上式可知，a^p ≡ a (mod p)，与原假设矛盾。
因此，假设不成立，得证a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。
4.欧拉定理的应用领域欧拉定理在数论、代数和密码学等领域具有广泛的应用。
在密码学中，欧拉定理可以用于设计公钥加密系统，如Diffie-Hellman 密钥交换和RSA 加密算法等。
此外，欧拉定理在计算机科学中，例如模运算和循环冗余校验等方面也有重要应用。
5.欧拉定理的历史背景与影响欧拉定理最早由瑞士数学家欧拉于18 世纪提出，但实际上，该定理在更早的时候已经被法国数学家费马发现。
欧拉定理微观经济学
欧拉定理微观经济学欧拉定理是微观经济学中的一项重要理论，它描述了市场经济中供求关系的平衡状态。
本文将从不同角度解析欧拉定理在微观经济学中的应用和意义。
我们来了解一下欧拉定理的定义。
欧拉定理，也称为欧拉条件，是经济学中的一项基本原理，它描述了消费者在最优决策下的行为。
根据欧拉定理，消费者在选择最优消费组合时会遵循以下条件：当消费者的满足程度最大化时，其边际效用与商品价格之比相等。
欧拉定理的应用范围非常广泛，尤其在供求分析、市场均衡和福利经济学等领域中起到了重要作用。
下面我们将分别从这些方面来探讨欧拉定理的应用。
欧拉定理在供求分析中的应用。
供求关系是市场经济中的基本关系，欧拉定理可以帮助我们理解供求关系的平衡状态。
根据欧拉定理，供给曲线和需求曲线的交点就是市场均衡点，也就是市场上商品的价格和数量达到了供求平衡。
如果价格高于市场均衡价格，供给量将超过需求量，市场将出现供大于求的情况；反之，如果价格低于市场均衡价格，需求量将超过供给量，市场将出现供不应求的情况。
通过欧拉定理，我们可以更好地理解供求关系的形成和变化。
欧拉定理在市场均衡分析中的应用。
市场均衡是指市场上商品的价格和数量达到了供求平衡的状态。
根据欧拉定理，市场均衡点是指在特定价格下，消费者的边际效用与商品的边际成本相等。
当价格高于市场均衡价格时，消费者的边际效用大于商品的边际成本，消费者会减少购买，从而推动价格下降；反之，当价格低于市场均衡价格时，消费者的边际效用小于商品的边际成本，消费者会增加购买，从而推动价格上升。
通过欧拉定理，我们可以更好地理解市场均衡的形成和调整。
欧拉定理在福利经济学中的应用。
福利经济学研究的是如何实现社会福利的最大化。
根据欧拉定理，当消费者的满足程度最大化时，其边际效用与商品价格之比相等。
因此，通过分析消费者的边际效用曲线和供给曲线，我们可以判断市场是否达到了最优状态。
如果市场上商品价格和数量无法使消费者的边际效用最大化，那么市场就存在福利损失。
欧拉同余定理
欧拉同余定理欧拉同余定理是数论中的一项重要定理，它可以用来解决一些关于模运算的问题。
下面我们将对欧拉同余定理的主要内容进行展开。
1. 欧拉函数在介绍欧拉同余定理之前，我们需要先了解欧拉函数的概念。
欧拉函数是指小于等于n的正整数中与n互质的数的个数，通常用φ(n)表示。
例如，φ(6)=2，因为小于等于6且与6互质的数有1和5；φ(10)=4，因为小于等于10且与10互质的数有1、3、7和9。
2. 欧拉定理欧拉定理是指如果a和n是正整数且它们互质（即gcd(a,n)=1），那么a^φ(n)≡1(mod n)。
这个定理可以用来简化模运算。
例如，如果我们要求7^23 mod 10，根据欧拉定理可知7^4≡1(mod 10)，所以7^23 mod10=7^(4×5+3) mod 10=(7^4)^5×7^3 mod 10=1^5×343 mod 10=3。
3. 欧拉同余定理欧拉同余定理是指如果a和n是正整数且它们互质（即gcd(a,n)=1），那么对于任意的正整数m，都有a^m≡a^(m mod φ(n))(mod n)。
这个定理可以用来简化模运算，特别是当指数比较大时。
例如，如果我们要求7^1234567 mod 10，根据欧拉同余定理可知φ(10)=4，所以7^(1234567 mod 4) mod 10=7^3 mod 10=343 mod 10=3。
4. 应用举例欧拉同余定理可以应用于一些实际问题中。
例如，在密码学中，RSA算法就是基于欧拉同余定理的。
RSA算法通过选择两个大质数p和q，并计算它们的乘积n=pq和φ(n)=(p-1)(q-1)，然后选择一个与φ(n)互质的正整数e作为公钥，再计算出一个与e关于模φ(n)的乘法逆元d作为私钥。
这样，在加密时将明文m用公钥进行加密得到密文c=m^e(mod n)，在解密时将密文c用私钥进行解密得到明文m=c^d(mod n)。
相似三角形的欧拉定理与三角形欧拉点
相似三角形的欧拉定理与三角形欧拉点欧拉定理是与三角形相似性质相关的一个定理，它描述了三角形的九个特殊点之间的关系。
其中一个特殊点叫做欧拉点，它有许多有趣的性质与应用。
本文将介绍相似三角形的欧拉定理以及三角形欧拉点的概念和相关性质。
一、相似三角形的欧拉定理相似三角形的欧拉定理是指：如果两个三角形相似，那么它们的欧拉点也相似。
1. 欧拉点：首先让我们来了解一下三角形的欧拉点。
对于任意一个三角形ABC，我们可以通过以下步骤找到它的欧拉点E：(1) 以线段BC为底，作等边三角形BCD；(2) 以线段AC为底，作等边三角形CAF；(3) 以线段AB为底，作等边三角形ABG；(4) 连接DG、EF、AG，它们的交点E就是三角形ABC的欧拉点。
2. 欧拉定理的证明：现在我们来证明相似三角形的欧拉定理。
设两个相似三角形为ABC和A'B'C'，根据相似的定义，我们可以得到下面的比例关系：AC/AB = A'C'/A'B' = k首先，我们可以证明三角形AEF与A'B'C'是相似的。
观察四边形AGDE和A'C'DE，它们分别为相似三角形AEG和A'C'D，并且存在平行关系，因为AGDE是以BC为底的等边三角形。
根据平行线的性质，我们可以得到如下比例关系：AE/A'E = EG/A'G = FG/C'D= FG/(AB - A'G)= EG/(A'G + EG)= EG/(A'G + A'G * EG/AE)= EG/(A'G + A'G * AG/AE)= EG/(A'G + AG)= GE/AG同理，可以得到 EF/A'F = AE/AF，因此三角形AEF与A'B'C'是相似的。
接下来，我们通过类似的方法证明三角形EFG与A'B'C'也是相似的。
欧拉定理经济学
欧拉定理经济学欧拉定理（euler theorem），也称费马-欧拉定理或欧拉函数定理，是一个关于同余的性质，得名于瑞士数学家莱昂哈德·欧拉。
该定理被认为是数学世界中最美妙的定理之一，在西方经济学中又称为产量分配净尽定理，指在完全竞争的条件下，假设长期中规模收益不变，则全部产品正好足够分配给各个要素。
欧拉定理指出：如果产品市场和要素市场都是完全竞争的，而且厂商生产的规模报酬不变，那么在市场均衡的条件下，所有生产要素实际所取得的报酬总量正好等于社会所生产的总产品。
该定理又叫做边际生产力分配理论，还被称为产品分配净尽定理。
如上所述，要素的价格是由于要素的市场供给和市场需求共同决定。
在完全竞争的条件下，厂商和消费者都被动地接受市场形成的价格。
定理推论在完全竞争的条件下，厂商使用要素的原则是：要素的边际产品价值等于要素价格。
即:p*mpl=w (1)p*mpk=r (2)由式1和2只须：mpl=w/p (3)mpk=r/p(4p为产品的价格，w/p和r/p分别表示了劳动和资本的实际报酬。
因为在完全竞争的条件下，单位劳动、单位资本的实际报酬分别等于劳动、资本的边际产量。
假定整个社会的劳动总量和资本总量为l和k，而社会总产品为q,由在市场均衡的条件下，所有生产要素实际所取得的报酬总量正好等于社会所生产的总产品,得:q=l*mpl+k*mpk(5)式5称为欧拉分配定理。
它是由于该定理的证明使用了数学上的欧拉定理而得名。
定理证明假设生产函数为：q=f(l.k)(即q为齐次生产函数),定义人均资本k=k/l方法1:根据齐次生产函数中相同类型的生产函数展开分类探讨(1)线性齐次生产函数n=1,规模报酬维持不变,因此存有:q/l=f(l/l,k/l)=f(1,k)=g(k)k为人均资本，q/l为人均产量，人均产量就是人均资本k的函数。
让q对l和k求偏导数,有:由上面两式，即可得欧拉分配定理：(2)非线性齐次生产函数1.当n〉1时，规模报酬递减，如果按照边际生产力分配，则产品比较分配给各个生产要素，即为：2.当n\uc1时，规模报酬递减，如果按边际生产力进行分配，则产品在分配给各个生产要素之后还有剩余，即：方法2：设立一个通常的齐次生产函数q=f(l,k)为n齐次（即n任一的齐次生产函数，既可以就是线性的，也可以就是非线性的），则存有：q=l *g(k)将该函数对k，对l谋略偏导数，得：综合上述两式，有：当n=1时，规模报酬维持不变，该式即为欧拉分配定理当n〉1时，规模报酬递增，故有：当n\uc1时，规模报酬递增，故存有：实例在技术经济学中，欧拉定理属一次齐次函数的一个关键性质，它就是说道一次齐次函数的数值都可以则表示为各自变量和因变量对适当自变量一阶偏导的乘积之和。
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学院学术论文关于欧拉定理问题及其应用Euler theorem about application and application姓名所在学院专业班级学号指导教师日期关于欧拉定理问题及其应用摘要：从欧拉定理的证明为切入口，探讨欧拉定理证明所体现数学思想方法，在此基础上探究其应用。
关键词：欧拉定理，数学思想方法，应用。
Abstract: from the proof of the theorem of related euler, euler theorem proving mathematical way of thinking, which reflected on the basis of the application.Keywords: Euler Set Daniel, number and fixed thoughts, should use to party.在初等数论中，关于欧拉定理问题的理解、应用以及体现出的数学思想方法是理解数学中其他知识的基础，但目前各种教材对这类问题的提出和总结的不够，尤其对它所体现的数学思想方法。
为了加深对欧拉定理的有关理解，本文从欧拉定理的证明为切入口，探讨欧拉定理证明所体现数学思想方法，在此基础上探究其应用。
一、欧拉定理的证明及其体现的数学思想方法（一）定理［1］(Euler)[]1: 设n是大于1的整数，（a,n）=1,则a^φ(n) ≡ 1 (mod n)证明1：首先证明下面这个命题：对于集合Zn={x1,x2,...,xφ(n)},其中xi(i=1,2,…φ(n))是φ(n)个n的素数，且两两互素，即n的一个化简剩余系，或称简系，或称缩系)，考虑集合S = {a*x1(mod n),a*x2(mod n),...,a*xφ(n)(mod n)}则S = Zn1) 由于a,n互质，xi也与n互质，则a*xi也一定于p互质，因此任意xi，a*xi(mod n) 必然是Zn的一个元素2) 对于Zn中两个元素xi和xj，如果xi ≠ xj则a*xi(mod n) ≠ a*xi(mod n)，这个由a、p互质和消去律可以得出。
所以，很明显，S=Zn既然这样，那么（a*x1 × a*x2×...×a*xφ(n)）(mod n)= （a*x1(mod n) × a*x2(mod n) × ... × a*xφ(n)(mod n)）(mod n)= （x1 × x2 × ... × xφ(n)）(mod n)考虑上面等式左边和右边左边等于(a*（x1 × x2 × ... × xφ(n)）) (mod n)右边等于x1 × x2 × ... × xφ(n)）(mod n)而x1 × x2 × ... × xφ(n)(mod n)和n 互质根据消去律，可以从等式两边约去，就得到：a^φ(n) ≡ 1 (mod n)证明2.[]2：证明：设集合{A1,A2,...,Am}为模n 的一个缩系（若整数A1,A2,...,Am 模n 分别对应0,1,2,...,n-1中所有m 个与n 互素的自然数,则称集合{A1,A2,...,Am}为模n 的一个缩系）则{a A1,a A2,...,a Am}也是模n 的一个缩系（如果a Ax 与a Ay (x 不等于y)除以n 余数相同，则a(Ax-Ay)是n 的倍数，这显然不可能）即A1*A2*A3*……Am≡aA1*aA2*……aAm(mod n) （这里m=φ(n)）两边约去A1*A2*A3*……Am 即得1≡a^φ(n)（mod n ）评注1[]3：注意到, Euler 定理的证明虽然十分简单, 但它揭示了重要的数学思想方法———“整体化思想方法”。
整体化思想方法就是把单个对象始终放在整体对象构成的系统中加以考察, 通过系统对象之间的整体联系或整体特征, 寻求原问题的解决途径。
从以上的证明过程知道, Euler 定理的证明依赖于模m 的简化剩余系的整体性质: “若r1,r2,…,rφ(m)是模m 的简化剩余系, (a,m)=1, 则ar_1,ar_2,…,arφ(m)也是模m 的简化剩余系,且模m 的任一简化剩余系中所有数的乘积模m 都同余”。
类似地, 设a_1,a_2,…,am 为模m 的完全剩余系, 则a_i 与且只与某一个i(1≤i≤m)同余, 由此可得到完全剩余系的整体性质等。
利用模m 的完全剩余系( 或简化剩余系) 的整体性质, 就可以另辟蹊径, 获得巧妙简捷的解(证) 题效果。
例题1：设(a, m) = 1,0d 是使 d a ≡1（mod m ）成立的最小正整数，则（i ） 0d / )(m ϕ(ii)对于任意的 I , j , 0 ≤ I , j ≤0d -1 , I ≠ j , 有 j i a a ≡ (mod m) （3）解：(i) 由Euler 定理，0d ≤ )(m ϕ （因)(m ϕ满足同于式 ，而0d 是最小的）因此 ，由带余除法 ，有 )(m ϕ= q0d +r ，q Z ∈, q>0 ,0≤r<0d .因此， 由上式及0d 的定义， 利用定理1， 我们得到1≡r(mod m)即整数r 满足1≡r a (mod m) , 00d r <≤ . 由0d 的定义可知必是r=0 ,即)(/0m d ϕ(ii): 若式（3）不成立 ，则存在I , j, 0i ≤, j10-≤d , 使得 j i a a ≡(mod m).因i j ≠, 所以不妨设i<j . 由j i a a ≡(mod m). m/(j i a a ≡) m/()1--j i j a a , 因为(a,m)=1, 所以m/()1--j i a ,即 1≡-j i a (mod m) , 0<i-j<0d .这与0d 的定义矛盾，所以式3必成立。
（二）欧拉定理的推论的证明及其体现的数学思想方法.推论（Fermat 定理）[]1 若p 是素数，则a p ).(mod p a ≡ 证明：若(a,p)=1 ,由定理1及￡3定理5即得ap 1-).(mod p a ≡ 因而a p ).(mod p a ≡。
若(a,p)≠1,则p/a,故a p).(mod p a ≡评注2[]3： Wilson 定理证明过程蕴涵了数学思想方法———“配对思想方法”。
配对的思想方法就是将整体对象中的满足某种特性的对象进行组合配对, 再利用配对后的特性解决原问题。
初等数论中有许多配对的情形存在。
如:①若(a,m)=1,则(m- a,m)=1,即a 与m- a 同属于模m 的简化剩余系;②若d 是正整数n 的正因数, 则d 与n/d 同为正整数n 的正因数;③若p≡1(mod4), 则r 与p- r 同为模p 的平方剩余或同为平方非剩余。
例题2：18411777(mod 41),a ≡求a 在0到41的值 解：因为41是素数 ，所以由费马定理有4017771(mod 41)≡，而1841=46*40+1，所以18411777177714(mod 41)≡≡，a=14 二、有关于欧拉定理的应有问题（一） 欧拉定理对循环小数的应用定理［2］[]1：有理数a/b,0<a<b ,(a ,b)=1 ,能表成纯循环小数的充分必要条件是（b ，10）=1证明：(i)若a/b 能表成纯循环小数，则由0<a/b<1及定义知a/b=0.1a 2a …….t a 1a 2a …. t a …..因而t 10a/b=110-t 1a +210-t 2a +……..+101-t a +t a +0.1a 2a …….t a 1a 2a ….t a …..=q+a/b,q>0.故a/b=q/(t 10-1) 即a(t 10-1)=bq .由 (a ,b)=1 即得b/(t 10-1),因而（b ，10）=1(ii) 若（b ，10）=1，则由定理1知有一正整数 t 使得t 10≡1(modb), 0<t ≤φ(b) 成立，因此t 10a=qb+a,且 0<q<t 10a/≤t10(1-1/b)< t 10-1故t10a/b=q+a/b 令 q=101q +t a ,1q =102q +1-t a ,…………,1-t q =10t q +1a ,09≤≤i a ,则 q=t t t t t a a a q ++++--11110.......1010.由0<q<1101--t ,即得t q =0，且1a 2a …….t a 不全是9，也不全是0。
因此q/t 10=0.1a 2a …….t a ,a/b=0.1a 2a …….t a +1/t 10*(a/b).反复应用上式即得a/b=0.1a 2a …….t a 1a 2a …. t a …..=0.t a a .1..........评注3:在定理3的条件下，若 t 是使得110≡t (modb)能成立的最小正整数，且φ(b)=gt,则全体以b 为分母的即约分数化成小数后，若可以分为g 个组，每个组有t 个循环小数，每个循环组小数有 t 个循环数码，这t 个循环数码在这同节的首位数码变为末尾的就行了。
（二） 有关欧拉定理在信息安全上的应有（1）目前主要应用在信息安全上。
根据Euler-Fermat 定理得到的RSA （公开密匙）体制是较为安全的加密方法。
利用它可以实现数据加密、数字签名。
RSA原理如下：设N=P1*P2.（P1、P2是两个非常大的素数，通常是一百多位).令e1*e2=1(mod(P1-1)*(P2-2)).假设有需要加密的数据C(叫做原文)，作变换令B=C^e1(mod N)，则将数据C加密成为密文B.这里把e1、e2叫做密匙.当接收数据的一方接到密文C后，根据Euler-Fermat定理、及预先知道的e2就可以解出原文C=B^e2 (mod N).从上面可以知道，当第三方截获加密规则并到到密文B，也就是知道N、B、e1（这就是公开密匙的内涵），欲解出原文C，还必须知道e2，但要知道e2就必须解出P1-1、P2-1，也就是要知道P1及P2.这就牵涉到大数的分解问题，一般来说，按照现在的数学理论及其先进的计算工具，要分解这样的大数没有十来年是办不到的！这就是该算法的一种相对保密性.当然，不排除数学理论会有突飞猛进的时候，那时，这样的算法是否安全，值得商榷.但是这个理论却给出了一种加密的可行之道，就是加密函数的反函数非常不容易求出，所以现在在此原理上已经有另外的加密算法了.设传送密文的为甲方，接收密文的为乙方，那么甲、乙都有自己的一对密匙，甲传送时，按乙的密匙传送，并把自己的签名用自己的密匙加密，那么，只有拥有乙密匙的人才可以解读密文，并且从签名的加密可以知道，这个密文只有拥有甲的密匙的人才能发送.故对数据起到最大的保密效果.（2）经济学中的“欧拉定理”在西方经济学里，产量和生产要素L、K的关系表述为Q＝Q(L，K)，如果具体的函数形式是一次齐次的，那么就有：Q＝L(ðQ/ðL)＋K(ðQ/ðK)，换句话说，产品分配净尽取决于Q能否表示为一个一次齐次函数形式。