圆锥曲线中的定点、定值问题(含解析)

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圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型(完整资料).doc

【最新整理，下载后即可编辑】2017届高三第一轮复习专题训练之圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型定点问题是常见的出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。

直线过定点问题通法，是设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出k 和m 的一次函数关系式，代入直线方程即可。

技巧在于：设哪一条直线？如何转化题目条件？圆锥曲线是一种很有趣的载体，自身存在很多性质，这些性质往往成为出题老师的参考。

如果大家能够熟识这些常见的结论，那么解题必然会事半功倍。

下面总结圆锥曲线中几种常见的几种定点模型：模型一：“手电筒”模型例题、（07山东）已知椭圆C ：13422=+y x 若直线m kx y l +=：与椭圆C 相交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。

求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。

解：设1122(,),(,)A x y B x y ，由223412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=， 22226416(34)(3)0m k k m ∆=-+->，22340k m +->212122284(3),3434mk m x x x x k k-+=-⋅=++ 22221212121223(4)()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k-⋅=+⋅+=+++=+ 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 且1AD BD k k ⋅=-，1212122y yx x ∴⋅=---，1212122()40y y x x x x +-++=， 2222223(4)4(3)1640343434m k m mkk k k --+++=+++，整理得：2271640m mk k ++=，解得：1222,7k m k m =-=-，且满足22340k m +->当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0),与已知矛盾；当27km =-时，2:()7l y k x =-，直线过定点2(,0)7综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2(,0).7◆方法总结：本题为“弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一点P 做相互垂直的直线交圆锥曲线于AB ，则AB 必过定点))(,)((2222022220b a b a y b a b a x +-+-。

圆锥曲线中的定点与定值问题

解得
1
2
＋ 2 = 1，
2
4

2
2
2 = 3，
ቊ 2
故椭圆 E 的方程为＋＝1.
3
4
= 4，
法二：设椭圆 E 的方程为 mx 2＋ ny 2＝1( m ＞0， n ＞0且 m ≠ n ).由题意可
1
4 = 1，
＝，
2
2
4
得൝9
解得൞
故椭圆 E 的方程为＋＝1.
1
3
4
若直线 MN 与 x 轴不垂直，
设直线 MN 的方程为 y ＝ kx ＋ m ，代入
得(1＋2 k 2 ) x 2 ＋4 kmx ＋2 m 2 －6＝0.
于是 x 1 ＋ x 2 ＝－
4
1+2 2
， x 1 x 2＝
2 2 −6
1+2 2
2
6
＋
2
3
＝1，
.①
由 AM ⊥ AN ，得 · ＝0，
M ( x 1， y 1)， N ( x 2， y 2).
+ 2 = ( − 1),
联立ቐ 2 2
得(3 k 2＋4) x 2－6 k (2＋ k ) x ＋3 k ( k ＋4)＝0，
＋ = 1，
3
4
6(2+)
3(+4)
−8(2+)
则 x1＋ x 2＝ 2 ， x 1 x 2＝ 2 ， y 1＋ y 2＝ 2 ， y 1 y 2＝
，由＝，
− 6 + 3 − 1 = − (− 6 + 3),
＝ −
2 6
，
3
则 H −2 6 +

圆锥曲线中的定值问题(解析版)

圆锥曲线中的定值问题一、考情分析求定值是圆锥曲线中颇有难度的一类问题,也是备受高考关注的一类问题,由于它在解题之前不知道定值的结果,因而更增添了题目的神秘色彩.解决这类问题时,要善于运用辩证的观点去思考分析,在动点的“变”中寻求定值的“不变”性,用特殊探索法(特殊值、特殊位置、特殊图形等)先确定出定值,揭开神秘的面纱,这样可将盲目的探索问题转化为有方向有目标的一般性证明题,从而找到解决问题的突破口.同时有许多定值问题,通过特殊探索法不但能够确定出定值,还可以为我们提供解题的线索.二、解题秘籍(一)定值问题解题思路与策略1.定值问题肯定含有参数, 若要证明一个式子是定值, 则意味着参数是不影响结果的, 也就是说参数在解式子的过程中都可以消掉, 因此解决定值问题的关键是设参数：(1)在解析几何中参数可能是点(注意如果设点是两个参数时, 注意横坐标要满足圆锥曲线方程)(2)可能是角(这里的角常常是将圆锥曲线上的点设为三角函数角的形式),(3)也可能是斜率(这个是最常用的, 但是既然设斜率了, 就要考虑斜率是否存在的情况)常用的参数就是以上三种, 但是注意我们设参数时要遵循一个原则：参数越少越好.因此定值问题的解题思路是：(1)设参数；(2)用参数来表示要求定值的式子；(3)消参数.2.圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值．依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式、化简即可得出定值；(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式,再利用题设条件化简、变形求得；(3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式,再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．【例1】(2023届湖湘名校教育联合体高三上学期9月大联考)已知椭圆C:x22+y2=1,F1为右焦点，直线l:y=t(x-1)与椭圆C相交于A，B两点，取A点关于x轴的对称点S，设线段AS与线段BS的中垂线交于点Q．(1)当t=2时，求QF1；(2)当t≠0时，求QF1|AB|是否为定值？若为定值，则求出定值；若不为定值，则说明理由．【解析】(1)设A x1,y1,B x2,y2，线段AB的中点M坐标为x M,y M，联立得x2+2y2-2=0,y=2(x-1),消去y可得：9x2-16x+6=0，所以x1+x2=169, x1x2=69,所以x M=89，代入直线AB方程，求得y M=-29，因为Q为△ABS三条中垂线的交点，所以MQ⊥AB，有k MQ k AB=-1，直线MQ方程为y+29=-12×x-89.令y=0,x Q=49，所以Q49,0.由椭圆C :x 22+y 2=1可得右焦点F 11,0 ，故QF 1 =59．(2)设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，中点M 坐标为x M ,y M ．x 212+y 21=1,x 222+y 22=1, 相减得y 2-y 1x 2-x 1=-12×x 1+x 2y 1+y 2=-x M 2y M ，k AB k OM =-12.又Q 为△ABS 的外心，故MQ ⊥AB ,k MQ k AB =-1，所以k MQ =2k OM =2y M x M ，直线MQ 方程为y -y M =2y Mx Mx -x M ，令y =0,x Q =x M 2=x 1+x 24，所以Q x 1+x 24,0 而F 11,0 ,所以QF 1 =1-14x 1+x 2 ，AF 1 =x 1-1 2+y 21=x 1-1 2+1-x 212=x 212-2x 1+2=2-12x 1，同理BF 1 =2-12x 2，|AB |=AF 1 +BF 1 =22-12x 1+x 2 ，QF 1 |AB |=1-14x 1+x 2 22-12x 1+x 2 =24，所以当t 变化时，QF 1 |AB |为定值24．【例2】(2023届河南省濮阳市高三上学期测试)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的右焦点为F ，圆O ：x 2+y 2=a 2，过F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 和圆O 所截得的弦长分别为433和2 2.(1)求C 的方程；(2)过圆O 上一点P (不在坐标轴上)作C 的两条切线l 1，l 2，记l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，直线OP 的斜率为k 3，证明：k 1+k 2 k 3为定值.【解析】(1)设椭圆C 的半焦距为c c >0 ，过F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 所截得的弦长分别为433，则2b 2a =433；过F 且垂直于x 轴的直线被圆O 所截得的弦长分别为22，则2a 2-c 2=22，又a 2-b 2=c 2，解得a =3b =2 ，所以C 的方程为x 23+y 22=1.(2)设P x 0,y 0 x 0y 0≠0 ，则x 20+y 20=3.①设过点P 与椭圆C 相切的直线方程为y -y 0=k x -x 0 ，联立2x 2+3y 2=6y -y 0=k x -x 0 得3k 2+2 x 2+6k y 0-kx 0 x +3y 0-kx 0 2-2 =0，则Δ=6k y 0-kx 0 2-4×3k 2+2 ×3y 0-kx 0 2-2 =0，整理得x 20-3 k 2-2x 0y 0k +y 20-2=0.②由题意知k 1，k 2为方程②的两根，由根与系数的关系及①可得k 1+k 2=2x 0y 0x 20-3=2x 0y 0-y 20=-2x 0y 0.又因为k 3=k OP =y 0x 0，所以k 1+k 2 k 3=-2x 0y 0⋅y 0x 0=-2，所以k 1+k 2 k 3为定值-2．(二)与线段长度有关的定值问题与线段长度有关的定值问题通常是先引入参数,利用距离公式或弦长公式得到长度解析式,再对解析式化简,得出结果为定值【例3】(2023届辽宁省朝阳市高三上学期9月月考)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的离心率为2，点P 3,-1 在双曲线C 上.(1)求双曲线C 的方程；(2)点A ，B 在双曲线C 上，直线PA ，PB 与y 轴分别相交于M ,N 两点，点Q 在直线AB 上，若坐标原点O 为线段MN 的中点，PQ ⊥AB ，证明：存在定点R ，使得QR 为定值.【解析】(1)由题意，双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1的离心率为2，且P 3,-1 在双曲线C 上，可得9a 2-1b 2=1e =c a =2c 2=a 2+b 2，解得a 2=8,b 2=8，所以双曲线的方程为x 28-y 28=1.(2)由题意知，直线的AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y =kx +m ，联立方程组y =kx +mx 2-y 2=8，整理得(1-k 2)x 2-2km x -m 2-8=0，则Δ=(-2km )2-4(1-k 2)(-m 2-8)=4(m 2-8k 2+8)>0且1-k 2≠0，设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，则x 1+x 2=2km 1-k 2,x 1x 2=-m 2-81-k 2，直线PA 的方程为y +1=y 1+1x 1-3(x -3)，令x =0，可得y =-1-3y 1+3x 1-3，即M 0,-1-3y 1+3x 1-3 ,同理可得N 0,-1-3y 2+3x 2-3，因为O 为MN 的中点，所以-1-3y 1+3x 1-3 +-1-3y 2+3x 2-3=0，即-1-3(kx 1+m )+3x 1-3-1+3(kx 2+m )+3x 2-3)=0，可得(6k +2)x 1x 2-(3+9k -3m )(x 1+x 2)-18m =0，即(m +8)(m +3k +1)=0，所以m =-8或m +3k +1=0，若m +3k +1=0，则直线方程为y =kx -3k -1，即y +1=k (x -3)，此时直线AB 过点P 3,-1 ，不合题意；若m =-8时，则直线方程为y =kx -8，恒过定点D (0,-8)，所以PD =32+(-1-8)2=58为定值，又由△PQD 为直角三角形，且PD 为斜边，所以当R 为PD 的中点32,-92时，RQ =PD =582.(三)与面积有关的定值问题与面积有关的定值问题通常是利用面积公式把面积表示成某些变量的表达式,再利用题中条件化简.【例4】(2023届河南省部分学校高三上学期9月联考)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左焦点为F 1-1,0 ，上、下顶点分别为A ，B ，∠AF 1B =90°．(1)求椭圆C 的方程；(2)若椭圆上有三点P ，Q ，M 满足OM =OP +OQ ，证明：四边形OPMQ 的面积为定值．【解析】(1)依题意c =1，又∠AF 1B =90°，所以b =c =1，所以a =b 2+c 2=2，所以椭圆方程为x 22+y 2=1.(2)证明：设M x ,y ，P x 1,y 1 ，Q x 2,y 2 ，因为OM =OP +OQ，所以四边形OPMQ 为平行四边形，且x =x 1+x 2y =y 1+y 2 ，所以x 1+x 2 22+y 1+y 2 2=1，即x 122+y 12+x 222+y 22+x 1x 2+2y 1y 2=1，又x 122+y 12=1，x 222+y 22=1，所以x 1x 2+2y 1y 2=-1，若直线PQ 的斜率不存在，M 与左顶点或右顶点重合，则x P =x Q =22，所以y P =y Q =32，所以S OPMQ =12×2x P ×2y P =62，若直线PQ 的斜率存在，设直线PQ 的方程为y =kx +t ，代入椭圆方程整理得1+2k 2 x 2+4ktx +2t 2-2=0，所以Δ=82k 2+1-t 2 >0，x 1+x 2=-4kt 1+2k 2，x 1x 2=2t 2-21+2k 2，所以y 1y 2=kx 1+t kx 2+t =k 2x 1x 2+kt x 1+x 2 +t 2=k 2⋅2t 2-21+2k 2+kt ⋅-4kt 1+2k2 +t 2所以2k 2+1 ⋅2t 2-21+2k 2+2kt ⋅-4kt 1+2k2 +2t 2=-1，整理得4t 2=1+2k 2，又PQ =k 2+1x 1-x 2 =k 2+1⋅81+2k 2-t 21+2k 2，又原点O 到PQ 的距离d =tk 2+1，所以S △POQ =12PQ d =2⋅1+2k 2-t 2⋅t 1+2k 2，将4t 2=1+2k 2代入得S △POQ =2⋅3t 2⋅t 4t2=64，所以S OPMQ =2S △POQ =62，综上可得，四边形OPMQ 的面积为定值62.(四)与斜率有关的定值问题与斜率有关的定值问题常见类型是斜率之积商或斜率之和差为定值,求解时一般先利用斜率公式写出表达式,再利用题中条件或韦达定理化简.【例5】(2023届江苏省南通市高三上学期第一次质量监测)已知A,A 分别是椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左､右顶点，B ,F 分别是C 的上顶点和左焦点.点P 在C 上，满足PF ⊥A A ,AB ∥OP ,FA =2- 2.(1)求C 的方程；(2)过点F 作直线l (与x 轴不重合)交C 于M ,N 两点，设直线AM ,AN 的斜率分别为k 1,k 2，求证：k 1k 2为定值.【解析】(1)因为PF ⊥A A ，故可设P -c ,y 0 ，因为AB ∥OP ，故k AB ∥k OP ，即-b a =-y 0c ，解得y 0=bca.又P -c ,bc a 在椭圆C 上，故c 2a 2+b 2c 2a 2b2=1，解得a 2=2c 2=2a 2-2b 2，故a =2b =2c .又FA =2-2，故FA =a -c =2-1 c =2-2，故c =2，a =2,b =2.故C 的方程为x 24+y 22=1.(2)因为椭圆方程为x 24+y 22=1，故F -2,0 ,A 2,0 ，当l 斜率为0时A ,M 或A ,N 重合，不满足题意，故可设l ：x =ty -2.联立x 24+y 22=1x =ty -2可得t 2+2 y 2-22ty -2=0，设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，则y 1+y 2=22t t 2+2,y 1y 2=-2t 2+2.故k 1k 2=y 1x 1-2⋅y 2x 2-2=y 1y 2ty 1-2-2 ty 2-2-2=y 1y 2t 2y 1y 2-2+2 t y 1+y 2 +2+2 2=1t 2-2+2 t y 1+y 2y 1y 2 +2+2 2y 1y 2=1t 2+22+2 t 2-2+2 2×t 2+2 2=1-23+22 =2-32故定值为2-32(五)与向量有关的定值问题与向量有关的定值问题常见类型一是求数量积有关的定值问题，二是根据向量共线,写出向量系数的表达式,再通过计算得出与向量系数有关的定值结论.【例6】(2023届湖南省部分校高三上学期9月月考)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的离心率为62，点A 6,4 在C 上.(1)求双曲线C 的方程.(2)设过点B 1,0 的直线l 与双曲线C 交于D ,E 两点，问在x 轴上是否存在定点P ，使得PD ⋅PE为常数？若存在，求出点P 的坐标以及该常数的值；若不存在，请说明理由.【解析】(1)因为双曲线C 的离心率为62，所以62 2=1+b 2a2，化简得a 2=2b 2.将点A 6,4 的坐标代入x 22b 2-y 2b 2=1，可得18b 2-16b2=1，解得b 2=2，所以C 的方程为x 24-y 22=1.(2)设D x 1,y 1 ,E x 2,y 2 ，直线l 的方程为y =k (x -1)，联立方程组y =k x -1 ,x 24-y 22=1,消去y 得(1-2k 2)x 2+4k 2x -2k 2-4=0，由题可知1-2k 2≠0且Δ>0，即k 2<23且k 2≠12，所以x 1+x 2=-4k 21-2k 2,x 1x 2=-2k 2+41-2k 2.设存在符合条件的定点P t ,0 ，则PD =x 1-t ,y 1 ,PE=x 2-t ,y 2 ，所以PD ⋅PE=x 2-t x 1-t +y 1y 2=k 2+1 x 1x 2-t +k 2 x 1+x 2 +t 2+k 2.所以PD ⋅PE =k 2+1 -2k 2-4 +4k 2t +k 2 +t 2+k 2 1-2k 2 1-2k 2，化简得PD ⋅PE =k 2-2t 2+4t -5 +t 2-4-2k 2+1.因为PD ⋅PE 为常数，所以-2t 2+4t -5-2=t 2-41，解得t =134.此时该常数的值为t 2-4=10516，所以，在x 轴上存在点P 134,0 ，使得PD ⋅PE 为常数，该常数为10516.【例7】(2022届上海市金山区高三上学期一模)已知P 0,1 为椭圆C ：x 24+y 23=1内一定点,Q 为直线l ：y =3上一动点,直线PQ 与椭圆C 交于A ､B 两点(点B 位于P ､Q 两点之间),O 为坐标原点.(1)当直线PQ 的倾斜角为π4时,求直线OQ 的斜率；(2)当△AOB 的面积为32时,求点Q 的横坐标；(3)设AP =λPB ,AB=μBQ ,试问λ-μ是否为定值？若是,请求出该定值；若不是,请说明理由.【解析】(1)因为直线PQ 的倾斜角为π4,且P 0,1 ,所以直线PQ 的方程为：y =x +1,由y =x +1y =3,得Q 2,3 ,所以直线OQ 的斜率是k OQ =32；(2)易知直线PQ 的斜率存在,设直线PQ 的方程为y =kx +1,由x 24+y 23=1y =kx +1,得3+4k 2 x 2+8kx -8=0,设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,则x 1+x 2=-8k 3+4k 2,x 1⋅x 2=-83+4k 2,所以x1-x 2 =x 1+x 2 2-4x 1⋅x 2=96+192k 23+4k 2,所以S △AOB =12OP ⋅x 1-x 2 =26+12k 23+4k 2=32,解得k 2=14,即k =±12,所以直线PQ 的方程为y =12x +1或y =-12x +1,由y =12x +1y =3,得Q 4,3 ；由y =-12x +1y =3,得Q -4,3 ；(3)易知直线PQ 的斜率存在,设直线PQ 的方程为x =m y -1 ,由x 24+y 23=1x =m y -1,得4+3m 2 y -1 2+8y -1 -8=0,设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,则y 1-1+y 2-1=-84+3m 2,y 1-1 ⋅y 2-1 =-84+3m 2,所以y 1-1+y 2-1=y 1-1 ⋅y 2-1 ,因为AP =λPB ,AB=μBQ ,所以λ=1-y 1y 2-1,μ=y 2-y 13-y 2=y 2-3+3-y 13-y 2=-1+3-y 13-y 2,所以λ-μ=1-y 1y 2-1+y 1-33-y 2+1,=21-y 1 +1-y 1 +21-y 1 1-y 1 y 2-1 3-y 2 +1=1.(六)与代数式有关的定值问题与代数式有关的定值问题．一般是依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式、化简即可得出定值【例8】在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右准线为直线l ，动直线y =kx +m (k <0,m >0)交椭圆于A ,B 两点，线段AB 的中点为M ，射线OM 分别交椭圆及直线l 于点P 、Q ，如图，当A 、B 两点分别是椭圆E 的右顶点及上顶点时，点Q 的纵坐标为1e(其中e 为椭圆的离心率)，且OQ =5OM ．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)如果OP 是OM 、OQ 的等比中项，那么mk是否为常数？若是，求出该常数；若不是，请说明理由．【解析】(1)椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1的右准线为直线l ，动直线y =kx +m 交椭圆于A ,B 两点，当A ,B 零点分别是椭圆E 的有顶点和上顶点时，则A (a ,0),B (0,,b ),M a 2,b2，因为线段AB 的中点为M ，射线OM 分别角椭圆及直线l 与P ,Q 两点，所以Q a 2c ,1e，由O ,M ,Q 三点共线，可得b a =1ea2c，解得b =1，因为OQ =5OM ，所以a 2c a 2=5，可得2a =5c ，又由a 2=b 2+c 2b =12a =5c，解得a 2=5,c 2=4，所以椭圆E 的标准方程为x 25+y 2=1.(2)解：把y =kx +m 代入椭圆E :x 25+y 2=1，可得(5k 2+1)x 2+10mkx +5m 2-5=0，可得x 1+x 2=10km 5k 2+1,x 1x 2=5m 2-55k 2+1，则y 1+y =k (x 1+x 1)+2m =2m 5k 2+1，所以x M =5km 5k 2+1,y M =m5k 2+1，即M 5km 5k 2+1,m 5k 2+1 ,所以直线OM 的方程为y =-15k x ，由y =-15k x x 25+y 2=1，可得x 2P =25k 25k 2+1，因为OP 是OM ,OQ 的等比中项，所以OP 2=OM ⋅OQ ，可得x 2P =x M ⋅x Q =25mk 2(5k 2+1)，又由25k 25k 2+1=25mk 2(5k 2+1)，解得m =-2k ，所以m k =-2，此时满足Δ>0，所以mk为常数-2.(六)与定值有关的结论1.若点A ,B 是椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 上关于原点对称的两点,点P 是椭圆C 上与A ,B 不重合的点,则k PA ⋅k PB =-b 2a2；2.若点A ,B 是双曲线C ：x 2a 2-y 2b 2=1a >0,b >0 上关于原点对称的两点,点P 是双曲线C 上与A ,B 不重合的点,则k PA ⋅k PB =b2a 2.3.设点P m ,n 是椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 上一定点,点A ,B 是椭圆C 上不同于P 的两点,若k PA +k PB =0,则直线AB 斜率为定值bm 2an 2n ≠0 ；4.设点P m ,n 是双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 一定点,点A ,B 是双曲线C 上不同于P 的两点,若k PA +k PB =0,直线AB 斜率为定值-bm 2an 2n ≠0 ；5.设点P m ,n 是抛物线C ：y 2=2px p >0 一定点,点A ,B 是抛物线C 上不同于P 的两点,若k PA +k PB=0,直线AB 斜率为定值-pn n ≠0 .6.设A ,B ,C 是椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 上不同3点,B ,C 关于x 轴对称,直线AC ,BC 与x 轴分别交于点M ,N ,则OM ON =a 2.7.点A ,B 是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 上动点,O 为坐标原点,若OA ⊥OB ,则1OA 2+1OB2=1a 2+1b 2(即点O 到直线AB 为定值)8.经过椭圆b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2(a >b >0)的长轴的两端点A 1和A 2的切线,与椭圆上任一点的切线相交于P 1和P 2,则|PA 1|⋅|PA 2|=b 2.9.过椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M ,N 两点,弦MN 的垂直平分线交x轴于P ,则|PF ||MN |=e2.10.点P 为椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >0,b >0)(包括圆在内)在第一象限的弧上任意一点,过P 引x 轴、y 轴的平行线,交y 轴、x 轴于M ,N ,交直线y =-bax 于Q ,R ,记ΔOMQ 与ΔONR 的面积为S 1,S 2,则：S 1+S 2=ab 2.【例9】(2022届上海市黄浦区高三一模)设常数m >0且m ≠1,椭圆Γ：x 2m2+y 2=1,点P 是Γ上的动点．(1)若点P 的坐标为2,0 ,求Γ的焦点坐标；(2)设m =3,若定点A 的坐标为2,0 ,求PA 的最大值与最小值；(3)设m =12,若Γ上的另一动点Q 满足OP ⊥OQ (O 为坐标原点),求证：O 到直线PQ 的距离是定值．【解析】(1)∵椭圆Γ：x 2m2+y 2=1,点P 的坐标为2,0 ,∴m =2,c =3,∴Γ的焦点坐标为-3,0 ,3,0 ；(2)设P x ,y ,又A 2,0 ,由题知x 29+y 2=1,即y 2=1-x 29,∴PA 2=x -2 2+y 2=x -2 2+1-x 29=8x 29-4x +5=89x -94 2+12,又-3≤x ≤3,∴当x =-3时,PA 2取得最大值为25；当x =94时,PA 2取得最小值为12；∴PA 的最大值为5,最小值为22.(3)当m =12时,椭圆Γ：4x 2+y 2=1,设P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ,当直线PQ 斜率存在时设其方程为y =kx +t ,则由y =kx +t 4x 2+y 2=1,得4+k 2 x 2+2ktx +t 2-1=0,∴x 1+x 2=-2kt 4+k 2,x 1x 2=t 2-14+k2,Δ=2kt 2-44+k 2 t 2-1 >0,由OP ⊥OQ 可知OP ⋅OQ=0,即x 1x 2+y 1y 2=0,∴x 1x 2+kx 1+t kx 2+t =0,即1+k 2 x 1x 2+kt x 1+x 2 +t 2=0,∴1+k 2 ⋅t 2-14+k 2+kt ⋅-2kt 4+k2+t 2=0,可得1+k 2=5t 2,满足Δ>0,∴O 到直线PQ 的距离为d =t 1+k2=55为定值；当直线PQ 斜率不存在时,OP ⊥OQ ,可得直线方程为x =±55,O 到直线PQ 的距离为55.综上,O 到直线PQ 的距离是定值．三、跟踪检测1.(2023届江苏省南通市海安市高三上学期质量监测)已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的离心率为32，短轴长为2.(1)求E 的方程；(2)过点M -4,0 且斜率不为0的直线l 与E 自左向右依次交于点B ，C ，点N 在线段BC 上，且MBMC=NBNC，P 为线段BC 的中点，记直线OP ，ON 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1k 2为定值.【解析】(1)由椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的离心率为32，短轴长为2，可知c a =32,2b =2 ，则1-b 2a2=34,∴a 2=4 ，故E 的方程为x 24+y 2=1；(2)证明：由题意可知直线l 的斜率一定存在，故设直线l 的方程为y =k (x +4)，设B (x 1,y 1),C (x 2,y 2),N (x 3,y 3),P (x 0,y 0)，联立x 24+y 2=1y =k (x +4)，可得(4k 2+1)x 2+32k 2x +64k 2-4=0，Δ=16(1-12k 2)>0,∴0<k 2<112，则x 1+x 2=-32k 24k 2+1,x 1x 2=64k 2-44k 2+1，所以x 0=-16k 24k 2+1,y 0=k (x 0+4)=4k 4k 2+1,∴P -16k 24k 2+1,4k4k 2+1 ，又MB MC =NB NC，所以x 1+4x 2+4=x 3-x 1x 2-x 3，解得x 3=2x 1x 2+4(x 1+x 2)x 1+x 2+8=2×64k 2-44k 2+1+4×-3k 24k 2+1-32k 24k 2+1+8=-1,y 3=3k ，从而N (-1,3k ) ，故k 1⋅k 2=y 0x 0⋅y 3x 3=-14k×(-3k )=34，即k 1k 2为定值.2.(2023届湖北省“宜荆荆恩”高三上学期考试)已知双曲线C 与双曲线x 212-y 23=1有相同的渐近线，且过点A (22,-1).(1)求双曲线C 的标准方程；(2)已知D (2,0),E ,F 是双曲线C 上不同于D 的两点，且DE ⋅DF=0,DG ⊥EF 于G ，证明：存在定点H ，使|GH |为定值.【解析】(1)因为双曲线C 与已知双曲线有相同的渐近线，设双曲线C 的标准方程为x 2-4y 2=λ代入点A 坐标，解得λ=4所以双曲线C 的标准方程为x 24-y 2=1(2)(i )当直线EF 斜率存在时，设EF :y =kx +m ，设E x 1,y 1 F x 2,y 2 ，联立y =kx +m 与双曲线x 24-y 2=1，化简得4k 2-1 x 2+8km x +4m 2+1 =0，Δ=(8km )2-44m 2+4 4k 2-1 >0，即4k 2-m 2-1<0，则有x 1+x 2=-8km4k 2-1x 1x 2=4m 2+44k 2-1，又y 1y 2=kx 1+m kx 2+m =k 2x 1x 2+km x 1+x 2 +m 2，因为DE ⋅DF=x 1-2 x 2-2 +y 1y 2=0，所以k 2+1 ⋅x 1x 2+km -2 ⋅x 1+x 2 +m 2+4=0，所以k 2+1 ⋅4m 2+44k 2-1+km -2 ⋅-8km 4k 2-1+m 2+4=0，化简，得3m 2+16km +20k 2=0，即3m +10k m +2k =0，所以m 1=-2k ,m 2=-103k ，且均满足4k 2-m 2-1<0，当m 1=-2k 时，直线l 的方程为y =k x -2 ，直线过定点2,0 ，与已知矛盾，当m 2=-103k 时，直线l 的方程为y =k x -103 ，过定点103,0 (ii )当直线EF 斜率不存在时，由对称性不妨设直线DE ：y =x -2，与双曲线C 方程联立解得x E =x F =103，此时EF 也过点M 103,0 ，综上，直线EF 过定点M 103,0.由于DG ⊥EF ，所以点G 在以DM 为直径的圆上，H 为该圆圆心，GH 为该圆半径，所以存在定点H 83,0 ，使GH 为定值23.3.(2023届江苏省南京市高三上学期9月学情调研)已知抛物线C ：y 2=2px p >0 的焦点为F ，过点P (0，2)的动直线l 与抛物线相交于A ，B 两点．当l 经过点F 时，点A 恰好为线段PF 中点．(1)求p 的值；(2)是否存在定点T ，使得TA ⋅TB为常数？若存在，求出点T 的坐标及该常数；若不存在，说明理由．【解析】(1)因为F p 2,0 ,P 0,2 ，且点A 恰好为线段PF 中点，所以A p4,1 ，又因为A 在抛物线上，所以12=2p ⋅p4，即p 2=2，解得P =2(2)设T m ,n ，可知直线l 斜率存在；设l ：y =kx +2，A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 联立方程得：y 2=22xy =kx +2 ，所以k 2y 2-22y +42=0，所以y 1+y 2=22k ,y 1y 2=42k，又：TA ⋅TB =x 1-m x 2-m )+(y 1-n y 2-n=24y 21-m 24y 22-m +y 1-n y 2-n=18y 21y 22-24m y 21+y 22 +m 2-n y 1+y 2 +n 2=4k 2-24m 8k2-82k +m 2+42k -22n k +n 2=4-22m k2+4m +42-22n k +m 2+n 2，令4m +42-22n =04-22m =0，解之得：m =2n =4 ，即T 2,4 ，此时TA ⋅TB =m 2+n 2=184.(2023届重庆市2023届高三上学期质量检测)已知抛物线C :x 2=2py p >0 的焦点为F ，斜率不为0的直线l 与抛物线C 相切，切点为A ，当l 的斜率为2时，AF =10.(1)求p 的值；(2)平行于l 的直线交抛物线C 于B ，D 两点，且∠BAD =90°，点F 到直线BD 与到直线l 的距离之比是否为定值？若是，求出此定值；否则，请说明理由.【解析】(1)由x 2=2py ，得y =x 22p，则y =xp ，令xp=2，则x =2p ，即点A 的横坐标为2p ，所以其纵坐标也为2p ，故AF =2p +p2=10，所以p =4；(2)由(1)得x 2=8y ，设直线BD 的方程为y =kx +m k ≠0 ，B x 1,x 218 ,D x 2,x 228 ,A x 0,x 208，由∠BAD =90°得x 218-x 208x 1-x 0·x 228-x 208x 2-x 0=-1，即x 1+x 0 x 2+x 0 =-64，即x 1x 2+x 0x 1+x 2 +x 20=-64，由(1)知y =k =x04,x 0=4k ，联立y =kx +m x 2=8y，消y 得x 2-8kx -8m =0，则x 1+x 2=8k ,x 1x 2=-8m ，所以-8m +32k 2+16k 2=-64，所以m =6k 2+8，l :y =x 04x -x 0 +x 28=kx -2k 2，设F 到直线l 和直线BD 的距离分别为d 1,d 2，则由l ∥BD 得，d 1d 2=m -2 2+2k 2=6k 2+62k 2+2=3，所以点F 到直线BD 与到直线l 的距离之比是定值，为定值3.5.(2023届江苏省百校联考高三上学期考试)设F 为椭圆C ：x 22+y 2=1的右焦点，过点F 且与x 轴不重合的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点.(1)当BF=2FA 时，求FA ；(2)在x 轴上是否存在异于F 的定点Q ，使k QAk QB为定值(其中k QA ，k QB 分别为直线QA ，QB 的斜率)？若存在，求出Q 的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】(1)设直线l 的方程为x =my +1，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，联立x =my +1x 2+2y 2=2，得m 2+2 y 2+2my -1=0，又因为BF=2FA ，所以y 1+y 2=-2m m 2+2y 1y 2=-1m 2+2y 2=-2y 1，解得m 2=27，y 1 =2m m 2+2=148，所以FA =1+m 2y 1 =328，即FA =328.(2)假设在x 轴上存在异于点F 的定点Q t ,0 t ≠1 ，使得k QAk QB为定值.设直线AB 的方程为x =my +1，联立x 22+y 2=1x =my +1，得m 2+2 y 2+2my -1=0，则y 1+y 2=-2m m 2+2，y 1y 2=-1m 2+2，所以y 1+y 2=2my 1y 2.所以k QA k QB =y 1x 1-t y 2x 2-t=y 1⋅x 2-t y 2⋅x 1-t =y 1my 2+1-t y 2my 1+1-t =my 1y 2+(1-t )y 1my 1y 2+(1-t )y 2=2my 1y 2+2(1-t )y 12my 1y 2+2(1-t )y 2=(3-2t )y 1+y 2y 1+(3-2t )y 2.要使k QA k QB为定值，则3-2t 1=13-2t ，解得t =2或t =1(舍去)，此时k QAk QB=-1.故在x 轴上存在异于F 的定点Q 2,0 ，使得k QAk QB为定值.6.(2022届湖南省长沙市宁乡市高三下学期5月模拟)已知抛物线G :y 2=4x 的焦点与椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的右焦点F 重合，椭圆E 的长轴长为4.(1)求椭圆E 的方程；(2)过点F 且斜率为k 的直线l 交椭圆E 于A ,B 两点，交抛物线G 于M ,N 两点，请问是否存在实常数t ，使2AB +tMN 为定值？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由.【解析】(1)因为抛物线G :y 2=4x 的焦点为(1,0)，所以c =1，又a =2，则b 2=a 2-c 2=3，故椭圆E 的方程为：x 24+y 23=1；(2)设A x 1,y 1 ､B x 2,y 2 ､M x 3,y 3 ､N x 4,y 4 ，设直线l 的方程为y =k x -1 ，与椭圆E 的方程联立x 24+y 23=1y =k x -1，得3+4k 2 x 2-8k 2x +4k 2-12=0，∴x 1+x 2=8k 23+4k 2，x 1x 2=4k 2-123+4k 2，∴AB =1+k 2⋅x 1+x 2 2-4x 1x 2=12(k 2+1)3+4k 2，设直线l 的方程y =k x -1 ，与抛物线G 的方程联立y 2=4xy =k x -1 ，得k 2x 2-2k 2+4 x +k 2=0，∴x 3+x 4=2k 2+4k 2，x 3x 4=1，∴MN =x 3+x 4+2=4k 2+1k 2，∴2AB +t MN=3+4k 26k 2+1 +tk 24k 2+1 =8+3t k 2+612k 2+1 ，要使2AB +1MN为常数，则8+3t =6，解得t =-23，故存在t =-23，使得2AB +1MN为定值12．7.(2023届江苏省南京市高三上学期数学大练)已知点B 是圆C :x -1 2+y 2=16上的任意一点，点F (-1，0)，线段BF 的垂直平分线交BC 于点P .(1)求动点Р的轨迹E 的方程;(2)设曲线E 与x 轴的两个交点分别为A 1，A 2，Q 为直线x =4上的动点，且Q 不在x 轴上，QA 1与E 的另一个交点为M ，QA 2与E 的另一个交点为N ，证明:△FMN 的周长为定值.【解析】(1)因为点P 在BF 垂直平分线上，所以有PF =PB ，所以：PF +PC =PB +PC =BC =r =4，即PF +PC 为定值4>2，所以轨迹E 为椭圆，且a =2，c =1，所以b 2=3，所以轨迹E 的方程为：x 24+y 23=1.(2)由题知：A 1-2，0 ，A 22，0 ，设Q 4，t ，M x 1，y 1 ，N x 2，y 2则k QA 1=t 6，k QA 2=t2，所以QA 1方程为：y =t 6x +2 ，QA 2方程为：y =t2x -2 ，联立方程：y =t 6x +2x 24+y 23=1，可以得出M ：54-2t 227+t 2，18t27+t 2 同理可以计算出点N 坐标：2t 2-63+t 2，-6t3+t 2 ，当k MN 存在，即t 2≠9，即t ≠±3时，k MN =-6t(t 2-9)所以直线MN 的方程为：y +6t 3+t 2=-6t t 2-9x -2t 2-63+t 2即：y =-6t t 2-9x +6t t 2-9=-6tt 2-9x -1 ，所以直线过定点1，0 ，即过椭圆的右焦点F 2，所以△FMN 的周长为4a =8.当k MN 不存在，即t 2=9，即t =±3时，可以计算出x 1=x 2=1，周长也等于8.所以△FMN 的周长为定值8.8.(2023届安徽省皖南八校高三上学期考试)已知椭圆M :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左､右焦点为F 1，F 2，且左焦点坐标为-2,0 ，P 为椭圆上的一个动点，∠F 1PF 2的最大值为π2.(1)求椭圆M 的标准方程；(2)若过点-2,-4 的直线l 与椭圆M 交于A ,B 两点，点N 2,0 ，记直线NA 的斜率为k 1，直线NB 的斜率为k 2，证明：1k 1+1k 2=1.【解析】(1)因为左焦点坐标为-2,0 ，所以c =2，当点P 在上､下顶点时，∠F 1PF 2最大，又∠F 1PF 2的最大值为π2.所以b =c =2，由a 2=b 2+c 2得a 2=4，所以椭圆M 的标准方程为x 24+y 22=1；(2)当直线l 的斜率为0时，直线l 的方程为y =-4，直线y =-4与椭圆x 24+y 22=1没有交点，与条件矛盾，故可设直线l 的方程为x =my +t ，联立直线l 的方程与椭圆方程可得，x =my +tx 24+y 22=1，化简可得my +t 2+2y 2=4，所以m 2+2 y 2+2mtx +t 2-4=0，由已知方程m 2+2 y 2+2mtx +t 2-4=0的判别式Δ=4m 2t 2-4m 2+2 t 2-4 =16m 2-8t 2+32>0，又直线x =my +t 过点-2,-4 ，所以-2=-4m +t ，所以7m 2-8m <0，所以0<m <87，设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则y 1+y 2=-2mt m 2+2，y 1y 2=t 2-4m 2+2，因为N 2,0所以1k 1+1k 2=x 1-2y 1+x 2-2y 2=my 1+t -2y 1+my 2+t -2y 2=2m +t -2 y 1+y 2y 1y 2，所以1k 1+1k 2=2m +t -2 -2mt t 2-4=2m -2mt t +2=2m -2mt 4m =2m -t 2=1方法二：设直线l 的方程为m x -2 +ny =1,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，由椭圆M 的方程x 2+2y 2=4，得(x -2)2+2y 2=-4x -2 .联立直线l 的方程与椭圆方程，得(x -2)2+2y 2=-4x -2 m x -2 +ny ，即1+4m (x -2)2+4n x -2 y +2y 2=0，1+4m x -2y 2+4n x -2y +2=0，所以1k 1+1k 2=x 1-2y 1+x 2-2y 2=-4n1+4m .因为直线l 过定点-2,-4 ，所以m +n =-14，代入1k 1+1k 2，得1k 1+1k 2=x 1-2y 1+x 2-2y 2=-4n 1+4m =1+4m1+4m =1.9.(2023届北京市房山区高三上学期考试)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的长轴的两个端点分别为A -2,0 ,B 2,0 离心率为32．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)M 为椭圆C 上除A ，B 外任意一点，直线AM 交直线x =4于点N ，点O 为坐标原点，过点O 且与直线BN 垂直的直线记为l ，直线BM 交y 轴于点P ，交直线l 于点Q ，求证：|BP ||PQ |为定值．【解析】(1)由已知a =2，又e =c a =c 2=32，c =3，所以b =a 2-c 2=1，椭圆标准方程为x 24+y 2=1；(2)设M (x 1,y 1)，y 1≠0，则x 214+y 21=1，x 21+4y 21=4，直线AM 的方程为y =y 1x 1+2(x +2)，令x =4得y =6y 1x 1+2，即N 4,6y 1x 1+2，k BN =6y 1x 1+24-2=3y 1x 1+2,l⊥BN,k l=-x1+23y1，直线l的方程是y=-x1+23y1x，直线BM的方程为y=y1x1-2(x-2)，令x=0得y=-2y1x1-2，即P0,-2y1x1-2，由y=-x1+23y1xy=y1x1-2(x-2)，因为x21+4y21=4，故解得x=-6y=2(x1+2)y1，即Q-6,2x1+2y1，所以BPPQ=x P-x Bx Q-x P=0-2-6-0=1310.(2023届湖南师范大学附属中学高三上学期月考)已知A(-22,0),B(22,0)，直线PA,PB的斜率之积为-34，记动点P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程;(2)直线l与曲线C交于M,N两点，O为坐标原点，若直线OM,ON的斜率之积为-34，证明:△MON的面积为定值.【解析】(1)设P(x,y)，则直线PA的斜率k PA=yx+22(x≠-22)，直线PB的斜率 k PB=yx-22(x≠22)，由题意k PA⋅k PB=yx+22⋅yx-22=y2x2-8=-34，化简得 x28+y26=1(x≠±22)；(2)直线l的斜率存在时，可设其方程为y=kx+m，联立y=kx+m,x28+y26=1,化简得3+4k2x2+8km x+4m2-24=0，设M x1,y1,N x2,y2，则Δ=(8km)2-43+4k24m2-24=488k2+6-m2>0，x1+x2=-8km3+4k2,x1x2=4m2-243+4k2，所以 k OM⋅k ON=y1y2x1x2=kx1+mkx2+mx1x2=k2x1x2+km x1+x2+m2x1x2=4m2k2-24k2-8k2m2+3m2+4k2m23+4k24m2-243+4k2=-24k2+3m24m2-24=-34化简得m2=4k2+3则|MN|=1+k2x1-x2=1+k2488k2+6-m23+4k2==431+k24k2+34k2+3=431+k23+4k2，又O到MN的距离d=|m|1+k2=4k2+31+k2，所以S△OMN=12|MN|⋅d=12⋅431+k23+4k2⋅3+4k21+k2=23，为定值.当直线l的斜率不存在时，可设 M x0,y0,N x0,-y0，则k CM⋅k ON=-y20x20=-34，且x208+y206=1，解得x20=4,y20=3，此时S△OMN=2×12×x0y0=23，综上，△OMN 的面积为定值23.11.(2023届贵州省遵义市新高考协作体高三上学期质量监测)已知点F 1是椭圆C :x 24+y 23=1的左焦点，Q是椭圆C 上的任意一点，A 12,1 ．(1)求QF 1 +QA 的最大值；(2)过点F 1的直线l 与椭圆C 相交于两点M ,N ，与y 轴相交于点P ．若PM =λMF 1 ，PN =μNF 1，试问λ+μ是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【解析】(1)由椭圆方程知：a =2，b =3，∴c =a 2-b 2=1，则F 1-1,0 ，F 21,0 ，由椭圆定义知：QF 1 =2a -QF 2 =4-QF 2 ，∴QF 1 +QA =QA -QF 2 +4，∵QA -QF 2 ≤F 2A (当且仅当A ,F 2,Q 三点共线，即与图中T 点重合时取等号)，又F 2A =12-1 2+1-0 2=52，∴QF 1 +QA 的最大值为4+52=8+52.(2)由题意知：直线l 斜率存在，设l :y =k x +1 ，M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，则P 0,k ，由y =k x +1x 24+y 23=1得：3+4k 2 x 2+8k 2x +4k 2-12=0，∴x 1+x 2=-8k 23+4k 2，x 1x 2=4k 2-123+4k 2；∵PM =λMF 1 ，即x 1,y 1-k =λ-1-x 1,-y 1 ，则λ=-x 11+x1；同理可得：μ=-x 21+x 2，∴λ+μ=-x 11+x 1-x 21+x 2=-x 11+x 2 +x 21+x 1 1+x 1 1+x 2=-2x 1x 2+x 1+x 2 x 1x 2+x 1+x 2 +1=-8k 2-243+4k 2-8k 23+4k 24k 2-123+4k 2-8k 23+4k2+1=-8k 2-24-8k 24k 2-12-8k 2+3+4k2=-83，∴λ+μ是定值-83.12.(2023届江苏省盐城市响水中学高三上学期测试)已知椭圆C ：x 24+y 22=1，A 0,1 ，过点A 的动直线l与椭圆C 交于P 、Q 两点.(1)求线段PQ 的中点M 的轨迹方程；(2)是否存在常数，使得λAP ⋅AQ +OP ⋅OQ为定值？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.【解析】(1)①当直线l 存在斜率时，设P x 1,y 1 、Q x 2,y 2 、M x 0,y 0 ，x 0≠0，则应用点差法：x 214+y 212=1x 224+y 222=1，两式联立作差得：(x 1-x 2)(x 1+x 2)4+(y 1-y 2)(y 1+y 2)2=0，∴y 1-y 2 y 1+y 2 x 1-x 2 x 1+x 2=y 1-y 2x 1-x 2⋅y 1+y 2x 1+x 2=k PQ ⋅2y 02x 0=k PQ ⋅y 0x 0=k PQ ⋅k OM =-12，又∵k PQ =k MA =y 0-1x 0，∴y 0-1x 0⋅y 0x 0=-12，化简得x 20+2y 20-2y 0=0(x 0≠0)，②当直线l 不存在斜率时，M 0,0 ，综上，无论直线是否有斜率，M 的轨迹方程为x 2+2y -12 2=12；(2)①当直线l 存在斜率时，设直线l 的方程为：y =kx +1，联立y =kx +1x 24+y 22=1并化简得：(2k 2+1)x 2+4kx -2=0，∴Δ>0恒成立，∴x 1+x 2=-4k 2k 2+1，x 1⋅x 2=-22k 2+1，又AP =x 1,k ⋅x 1 ，AQ =x 2,k ⋅x 2 ，OP =x 1,k ⋅x 1+1 ，OQ =x 2,k ⋅x 2+1 ，∴λAP ⋅AQ +OP ⋅OQ=λ1+k 2 ⋅x 1⋅x 2+1+k 2 ⋅x 1⋅x 2+k x 1+x 2 +1，=-2λ+1 1+k 2 2k 2+1-4k 22k 2+1+1=-2λ+2 k 2+2λ+12k 2+1，若使λAP ⋅AQ +OP ⋅OQ为定值，只需2λ+2 2=2λ+11，即λ=1，其定值为-3，②当直线l 不存在斜率时，直线l 的方程为：x =0，则有P 0,2 、Q 0,-2 ，又AP =0,2-1 ，AQ =0,-2-1 ，OP =0,2 ，OQ =0,-2 ，∴λAP ⋅AQ +OP ⋅OQ =-λ-2，当λ=1时，λAP ⋅AQ +OP ⋅OQ 也为定值-3，综上，无论直线是否有斜率，一定存在一个常数λ=1，使λAP ⋅AQ +OP ⋅OQ为定值-3.13.(2023届云南省下关第一中学高三上学期考试)已知椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)过点(0,3)，离心率为22，直线y =kx (k ≠0)与椭圆E 交于A ，B 两点，过点B 作BC ⊥x ，垂足为C 点，直线AC 与椭圆E的另一个交点为D ．(1)求椭圆E 的方程；(2)试问∠ABD 是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．【解析】(1)由已知得b =3c a =22，解得a =6b =3c =3，所以E :x 26+y 23=1．(2)由已知，不妨设B x 0,y 0 ，则A -x 0,-y 0 ，C x 0,0 ，所以k =y 0x 0，k AC =y 02x 0=k 2，所以l AD :y =k2x -x 0 ，代入椭圆E :x 26+y 23=1的方程得：2+k 2 x 2-2x 0k 2x +k 2x 20-12=0，设D x D ,y D ，则-x 0+x D =2x 0k 22+k 2，即x D =2x 0k 22+k 2+x 0，所以y D =k 22x 0k22+k 2+x 0-x 0 =x 0k 32+k 2，即D 2x 0k 22+k 2+x 0,x 0k 32+k 2，所以k BD =x 0k 32+k 2-kx 02x 0k 22+k 2+x 0-x 0=-1k ，即k BD k =-1，即BD ⊥AB ，也即∠ABD 为定值π2．14.如图,点M 是圆A :x 2+(y +1)2=16上任意点,点B (0,1),线段MB 的垂直平分线交半径AM 于点P ,当点M 在圆A 上运动时,(1)求点P 的轨迹E 的方程；(2)BQ ⎳x 轴,交轨迹E 于Q 点(Q 点在y 轴的右侧),直线l :x =my +n 与E 交于C ,D (l 不过Q 点)两点,且直线CQ 与直线DQ 关于直线BQ 对称,则直线l 具备以下哪个性质？证明你的结论？①直线l 恒过定点；②m 为定值；③n 为定值．【解析】(1)如图,由⊙A 方程,得A (0,-1),半径r =4,∵P 在BM 的垂直平分线上,∴PM =PB ,所以|PA |+|PB |=|PA |+|PM |=|AM |=4>|AB |=2,∴P 的轨迹E 是以A ,B 为焦点,长轴长为4的椭圆,由2a =4,则a =2,c =1,b 2=3,∴点P 的轨迹E 的方程为y 24+x 23=1．(2)解：∵直线l 与轨迹E 交于C ,D 两点,设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2),如图x =my +n ，y 24+x 23=1消x ,得y 24+(my +n )23=1,整理,得(3+4m 2)y 2+8mny +4n 2-12=0,y 1+y 2=-8mn 3+4m 2，y 1y 2=4n 2-123+4m 2,因为CQ 与DQ 关于BQ 对称,BQ ⎳x 轴,所以k CQ +k DQ =0,Q 32，1 ,x 1≠32,x 2≠32,y 1-1x1-32+y 2-1x 2-32=0,即(y 1-1)x 2-32 +(y 2-1)x 1-32 =0,∵x 1=my 1+n ,x 2=my 2+n ,∴整理：2my 1y 2+n -m -32(y 1+y 2)-2n +3=0,2m 4n 2-123+4m 2+n -m -32 -8mn 3+4m 2 -2n +3=0,即4m 2+(4n -8)m -2n +3=0,即(2m -1)(2m +2n -3)=0,若2m +2n -3=0,点Q 32，1满足l :x =my +n ,即C ,D ,Q 三点共线,不合题意,∴2m -1=0,即m =12,∴直线l 中m 为定值12．15.(2022届云南省红河州高三检测)在平面直角坐标系Oxy 中,点M 是以原点O 为圆心,半径为a 的圆上的一个动点.以原点O 为圆心,半径为b a >b >0 的圆与线段OM 交于点N ,作MD ⊥x 轴于点D ,作NQ ⊥MD 于点Q .(1)令∠MOD =α,若a =4,b =1,α=π3,求点Q 的坐标；(2)若点Q 的轨迹为曲线C ,求曲线C 的方程；(3)设(2)中的曲线C 与x 轴的正半轴交于点A ,与y 轴的正负半轴分别交于点B 1,B 2,若点E ､F 分别满足AE =-3OE ,4AF =3OB 2 ,设直线B 1E 和B 2F 的交点为K ,设直线l ：x =a 2c 及点H c ,0 ,(其中c =a 2-b 2),证明：点K 到点H 的距离与点K 到直线l 的距离之比为定值ca.【解析】(1)设Q x ,y ,则由题知x =4cos π3=2y =sin π3=32,因此Q 2,32 (2)(2)设∠MOD =α及Q x ,y ,则由题知x=acos αy =b sin α ,则点Q 的轨迹C 为椭圆,方程为：x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 .(3)设K x ,y ,由题知,B 10,b ,E a 4,0 ,B 20,-b ,F a ,-34b ,l B 1E ：xa 4+y b =1,即4bx +ay =ab ,l B 2F ：y +b -34b +b=xa ,即bx -4ay =4ab ,联列上述直线方程,解得x =817ay =-1517b.KH =817a -c 2+-1517b 2=817a -c 2+-1517 2a 2-c 2=a 2+817c 2-2×817ac =a -817c令点K 到直线l 的距离为PM ,则c a ⋅PM =c a ⋅a 2c -817a =a -817c .因此有KH PM=ca .。

圆锥曲线定点定值及其他常用结论个人整理,已经没错误

圆锥曲线定点定值及其他常用结论一、直线过定点问题过定点模型：是圆锥曲线上的两动点，是一定点，其中分别为的倾斜角，则有下面的结论：、为定值直线恒过定点；、为定值直线恒过定点；、直线恒过定点.方法：要证明直线过定点，只需要找到与之间的关系即可.确定定点，可以证明任意两个斜率相等即可.二、定值问题基本思路：转化为与两点相关的斜率与的关系式的关系式代数式形式的定值(多个参数)结论：①若代数式表达式结果为分式，且为定值，则系数对应成比例；形如，若，则该式为定值，与无关；（注意是变量，具有任意性，是主元）②若代数式表达式结果为整式，则无关参数的系数为0.例如：，当即时，该式为定值与无关. （注意是变量，具有任意性，是主元）三、椭圆经典结论1、过椭圆(上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于两点，则直线有定向且（常数）.（求偏导可得到）（类似结论适合于双曲线，抛物线）2、设椭圆（）的两个焦点为（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在中，记,,，则有.3. 椭圆与直线有公共点的充要条件是4.已知椭圆（），为坐标原点，为椭圆上两动点，且.（对原点张直角）1）; 2）的最大值为; 3）的最小值是.4）直线PQ必经过一个定点；5）点到直线的距离为定值：.5 . 过椭圆（）的右焦点作直线交椭圆于两点，弦的垂直平分线交轴于，则.类比．过双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则.6．设椭圆（a＞b＞0）,M（m，0）或（0，m）为其对称轴上除中心，顶点外的任一点，过M引一条直线与椭圆相交于P、Q两点，则直线AP、AQ（AA为对称轴上的两顶点）的交点N在直线：（或）上.（用极点与极线直接写出来）7、椭圆中的过定点模型：是椭圆上异于的两动点，其中分别为的倾斜角，则可以得到下面几个充要的结论：（手电筒模型）直线恒过定点类比．给定双曲线C：,对C上任意给定的点,它的任一直角弦必须经过定点（.8、抛物线中的过定点模型：是抛物线上异于的两动点，其中分别为的倾斜角，则可以得到下面充要的结论：（手电筒模型）直线恒过定点特别地直线恒过定点.9、设点是椭圆（）上异于长轴端点的任一点,为其焦点记，则 (1). (2).（双曲线(a>0,b>0)中,,其中θ=∠FPF.）10.椭圆的参数方程是，椭圆上的动点可设对于抛物线上的动点的坐标可设为，（抛物线独有的一点两设）以简化计算.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为渐近线方程：.(2)若渐近线方程为双曲线可设为.(3)若双曲线与有公共渐近线，可设为（，焦点在x轴上，，焦点在y轴上）(4).双曲线焦点到渐近线的距离总是.顶点到渐近线的距离为(5).双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率.抛物线常用设为过抛物线焦点的弦，，直线的倾斜角为，则1. 2.3. 4. 5 .圆锥曲线的切线问题（用极点与极线直接写出来）（证明需要求偏导）1.过圆C:(x-a)+(y-b)=R上一点P(x,y)的切线方程为(x-a)(x-a)+(y-b)(y-b)=R.2. 若在椭圆上，则以为切点的切线的椭圆的切线方程是.3.若在双曲（a＞0，b＞0）上，则过的双曲线的切线方程是.4.已知点M(x,y)在抛物线C:y=2px(p≠0)上时，M为切点的切线l:yy=p(x+x).（切点弦结论完全相同，用极点与极线直接写出来）圆锥曲线的中点弦问题(点差法)（广义的垂径定理）（也适合于相切情况）AB 是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则=e-1，即。

圆锥曲线中的典型问题与方法：圆锥曲线的定值、定点问题

圆锥曲线中的定值、定点问题一、直线恒过定点问题例1. 已知动点E 在直线:2l y =-上，过点E 分别作曲线2:4C x y =的切线,EA EB ，切点为A 、B , 求证：直线AB 恒过一定点，并求出该定点的坐标；解：设),2,(-a E )4,(),4,(222211x x B x x A ，x y x y 214'2=∴=,)(2141121点切线过，的抛物线切线方程为过点E x x x x y A -=-),(21421121x a x x -=--∴整理得：082121=--ax x同理可得：222280x ax --=8,2082,2121221-=⋅=+∴=--∴x x a x x ax x x x 的两根是方程)24,(2+a a AB 中点为可得，又2212121212124442ABx x y y x x a k x x x x --+====-- 2(2)()22a a AB y x a ∴-+=-直线的方程为，2()2ay x AB =+∴即过定点0,2.例2. 已知点是椭圆22:12x E y +=上任意一点，直线l 的方程为0012x xy y +=，直线0l 过P 点与直线l 垂直，点M （-1，0）关于直线0l 的对称点为N ，直线PN 恒过一定点G ，求点G 的坐标。

解：直线0l 的方程为0000()2()x y y y x x -=-，即000020y x x y x y --=设)0,1(-M 关于直线0l 的对称点N 的坐标为(,)N m n则0000001212022x nm y x n m y x y ⎧=-⎪+⎪⎨-⎪⋅--=⎪⎩，解得320002043200002002344424482(4)x x x m x x x x x n y x ⎧+--=⎪-⎪⎨+--⎪=⎪-⎩∴ 直线PN 的斜率为4320000032000042882(34)n y x x x x k m x y x x -++--==---+ 从而直线PN 的方程为： 432000000320004288()2(34)x x x x y y x x y x x ++---=---+ 即3200043200002(34)14288y x x x y x x x x --+=+++--从而直线PN 恒过定点(1,0)G 二、恒为定值问题例3. 已知椭圆两焦点1F 、2F 在y 轴上，短轴长为22，离心率为22，P 是椭圆在第一象限弧上一点，且121PF PF ⋅=，过P 作关于直线F 1P 对称的两条直线PA 、PB 分别交椭圆于A 、B 两点。

2023年高考数学热点专题解析几何模型通关圆锥曲线中的定点问题(解析版)

圆锥曲线中的定点问题思路引导处理圆锥曲线中定点问题的方法：(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为，然后利用条件建立,k m 等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点．(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关．母题呈现考法1参数法求证定点【例1】(2022·临沂、枣庄二模联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，其左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为坐标平面内的一点，且|OP →|＝32PF 1→·PF 2→＝－34，O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的方程；(2)设M 为椭圆C 的左顶点，A ，B 是椭圆C 上两个不同的点，直线MA ，MB 的倾斜角分别为α，β，且α＋β＝π2.证明：直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标．【解题指导】【解析】(1)设P 点坐标为(x 0，y 0)，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，则PF 1→＝(－c －x 0，－y 0)，PF 2→＝(c －x 0，－y 0)．由题意得x 20＋y 20＝94，x 0＋cx 0－c＋y 20＝－34，解得c 2＝3，∴c ＝ 3.又e ＝c a ＝32，∴a ＝2.∴b 2＝a 2－c 2＝1.∴所求椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设直线AB 方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．y 2＝1，kx ＋m ，消去y 得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.∴x 1＋x 2＝－8km4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.又由α＋β＝π2，∴tan α·tan β＝1，设直线MA ，MB 斜率分别为k 1，k 2，则k 1k 2＝1，∴y 1x 1＋2·y 2x 2＋2＝1，即(x 1＋2)(x 2＋2)＝y 1y 2.∴(x 1＋2)(x 2＋2)＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )，∴(k 2－1)x 1x 2＋(km －2)(x 1＋x 2)＋m 2－4＝0，∴(k 2－1)4m 2－44k 2＋1＋(km －2)28()41kmk -+＋m 2－4＝0，化简得20k 2－16km ＋3m 2＝0，解得m ＝2k ，或m ＝103k .当m ＝2k 时，y ＝kx ＋2k ，过定点(－2,0)，不合题意(舍去)．当m ＝103k 时，y ＝kx ＋103k 10,0)3-，∴直线AB 恒过定点10(,0)3-【例2】（2022·福建·漳州三模）已知抛物线2:4C y x =的准线为l ，M 为l 上一动点，过点M 作抛物线C 的切线，切点分别为,A B .（1）求证：MAB ∆是直角三角形；（2）x 轴上是否存在一定点P ，使,,A P B 三点共线.【解题指导】【解析】（1）由已知得直线l 的方程为1x =-，设()1,M m -，切线斜率为k ，则切线方程为()1y m k x -=+，（2分）将其与24y x =联立消x 得244()0ky y m k -++=.所以1616()0k m k ∆=-+=，化简得210k mk +-=，（4分）所以121k k =-，所以MA MB ⊥.即MAB ∆是直角三角形.（6分）（2）由（1）知1616()0k m k ∆=-+=时，方程244()0ky y m k -++=的根为2y k=设切点221212,,,44y y A y B y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则121222,y y k k ==.因为121k k =-，所以121244y y k k ==-.（10分）设:AB l x ny t =+，【点拨】由M 点出发向抛物线作量条切线，则切点A,B 所在直线与抛物线有两个焦点且其斜率不为零与24y x =联立消x 得2440y ny t --=，则124y y t =-，所以44t -=-，解得1t =，所以直线AB 过定点()1,0P .即x 轴上存在一定点()1,0P ，使,,A P B 三点共线.（12分）【解题技法】圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.【跟踪训练】（2020·新课标Ⅰ卷理科）已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅= ，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．（1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点.【解析】（1）依据题意作出如下图象：由椭圆方程222:1(1)x E y a a+=>可得：(),0A a -，(),0B a ，()0,1G ∴(),1AG a = ，(),1GB a =-∴218AG GB a ⋅=-=，∴29a =∴椭圆方程为：2219x y +=（2）设()06,P y ，则直线AP 的方程为：()()00363y y x -=+--，即：()039y y x =+联立直线AP 的方程与椭圆方程可得：()2201939x y y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，整理得：()2222000969810y x y x y +++-=，解得：3x =-或20203279y x y -+=+将20203279y x y -+=+代入直线()039y y x =+可得：02069y y y =+所以点C 的坐标为20022003276,99y y y y ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭.同理可得：点D 的坐标为2002200332,11y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭当203y ≠时，∴直线CD 的方程为：0022200002222000022006291233327331191y y y y y y y x y y y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎛⎫⎛⎫--⎝⎭-=-⎪ ⎪-+-++⎝⎭⎝⎭-++，整理可得：()()()2220000002224200000832338331116963y y y y y y y x x y y y y y +⎛⎫⎛⎫--+=-=- ⎪ ⎪+++--⎝⎭⎝⎭整理得：()()0002220004243323333y y y y x x y y y ⎛⎫=+=- ⎪---⎝⎭所以直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭．当203y =时，直线CD ：32x =，直线过点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭．故直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭．考法2先求后证法求证定点【例4】（2022·全国乙T21）已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过()0,2,,12A B ⎛--⎫⎪⎝⎭两点．（1）求E 的方程；（2）设过点()1,2P -的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT TH =．证明：直线HN 过定点．【解题指导】（1）将给定点代入设出的方程求解即可；（2）斜率不存在时探究定点→设出直线方程→与椭圆C 的方程联立→求HN 的方程→是否过定点.【解析】（1）设椭圆E 的方程为221mx ny +=，过()30,2,,12A B ⎛--⎫ ⎪⎝⎭，则41914n m n =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得13m =，14n =，所以椭圆E 的方程为：22143y x +=.（2）3(0,2),(,1)2A B --，所以2:23+=AB y x ，①若过点(1,2)P -的直线斜率不存在，直线1x =.代入22134x y+=，可得26(1,)3M ，26(1,3N-，代入AB方程223y x=-，可得263,3T+，由MT TH=得到265,)3H.求得HN方程：(223y x=--，过点(0,2)-.②若过点(1,2)P-的直线斜率存在，设1122(2)0,(,),(,)kx y k M x y N x y--+=.联立22(2)0,134kx y kx y--+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(34)6(2)3(4)0k x k k x k k+-+++=，可得1221226(2)343(4)34k kx xkk kx xk+⎧+=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，12222228(2)344(442)34ky ykk ky yk-+⎧+=⎪⎪+⎨+-⎪=⎪+⎩，且1221224(*)34kx y x yk-+=+联立1,223y yy x=⎧⎪⎨=-⎪⎩可得111113(3,),(36,).2yT y H y x y++-可求得此时1222112:()36y yHN y y x xy x x--=-+--，将(0,2)-，代入整理得12121221122()6()3120x x y y x y x y y y+-+++--=，将(*)代入，得222241296482448482436480,k k k k k k k+++---+--=显然成立，综上，可得直线HN过定点(0,2).-【解题技法】(1)定点问题，先猜后证，可先考虑运动图形是否有对称性及特殊(或极端)位置猜想，如直线的水平位置、竖直位置，即k＝0或k不存在时.(2)以曲线上的点为参数，设点P(x1，y1)，利用点在曲线f(x，y)＝0上，即f(x1，y1)＝0消参.【跟踪训练】模拟训练（2）方法一：设PQ 方程为x my =()2222234433x my m y my x y =-⎧⇒-+⎨-=⎩以PQ 为直径的圆的方程为(1x x -()(22121212x x x x x x y y y -+++-+由对称性知以PQ 为直径的圆必过()21212120x x x x x x y y -+++=，而()21212212431m x x m y y m +=+-=-()()212121222x x my my m y y =--=22222434931313m x x m m m --∴-++---()()22313510m x m x ⎡⎤⇒-+--=⎣⎦∴以PQ 为直径的圆经过定点(1,0方法二：设PQ 方程为2,x my P =-()22222311233x my m y my x y =-⎧⇒--⎨-=⎩由对称性知以PQ 为直径的圆必过设以PQ 为直径的圆过(),0E t ，()()1210EP EQ x t x t y ∴⋅=⇒--+ 而()()21212122x x my my m y =--=2229122431313m m m m m -=⋅-⋅+=--【点睛】方法定睛：过定点问题的两大类型及解法（1）动直线l过定点问题．解法：设动直线方程得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－（2）动曲线C过定点问题．解法：引入参变量建立曲线等于零，得出定点．7．（2023·浙江·模拟预测）已知双曲线为双曲线E的左、右顶点，P为直线(1)求双曲线E的标准方程．(2)直线CD是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．理得1112,y y y y +（或1212,x x x x +），代入交点坐标后可得结论，如果是求动直线过定点，则可以引入参数求得动直线方程后，观察直线方程得定点．。

高考圆锥曲线中的定点与定值问题

专题08 解锁圆锥曲线中的定点与定值问题一、解答题1．【陕西省榆林市第二中学2018届高三上学期期中】已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为；圆过椭圆的三个顶点.过点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）证明：在轴上存在定点，使得为定值；并求出该定点的坐标.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（Ⅰ）设圆过椭圆的上、下、右三个顶点，可求得，再根据椭圆的离心率求得，可得椭圆的方程；（Ⅱ）设直线的方程为，将方程与椭圆方程联立求得两点的坐标，计算得。

设x轴上的定点为，可得，由定值可得需满足，解得可得定点坐标。

解得。

∴椭圆的标准方程为.（Ⅱ）证明：由题意设直线的方程为，由消去y整理得，设，，要使其为定值，需满足，解得.故定点的坐标为.点睛：解析几何中定点问题的常见解法(1)假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；(2)从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意．2．【四川省成都市第七中学2017-2018学年高二上学期半期考】已知斜率为的直线经过点与抛物线（为常数）交于不同的两点，当时，弦的长为.（1）求抛物线的标准方程；（2）过点的直线交抛物线于另一点，且直线经过点，判断直线是否过定点？若过定点，求出该点坐标；若不过定点，请说明理由.【答案】（1）;（2）直线过定点【解析】试题分析：（1）根据弦长公式即可求出答案；（2）由（1）可设，则，则；同理：.由在直线上（1）；由在直线上将（1）代入（2）将（2）代入方程，即可得出直线过定点．（2）设，则，则即；同理：；.由在直线上，即（1）；由在直线上将（1）代入（2）将（2）代入方程，易得直线过定点3．【四川省成都市第七中学2017-2018学年高二上学期半期考】已知抛物线过点，是上一点，斜率为的直线交于不同两点（不过点），且的重心的纵坐标为.（1）求抛物线的方程，并求其焦点坐标；（2）记直线的斜率分别为，求的值.【答案】（1）方程为;其焦点坐标为（2）【解析】试题分析;（1）将代入，得，可得抛物线的方程及其焦点坐标；（2）设直线的方程为，将它代入得，利用韦达定理，结合斜率公式以及的重心的纵坐标，化简可的值；因为的重心的纵坐标为，所以，所以，所以，所以，又.所以.4．已知椭圆的短轴端点到右焦点的距离为2．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点的直线交椭圆于两点，交直线于点，若，，求证：为定值．【答案】(1) ;(2)详见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）利用椭圆的几何要素间的关系进行求解；（Ⅱ）联立直线和椭圆的方程，得到关于或的一元二次方程，利用根与系数的关系和平面向量的线性运算进行证明.（Ⅱ）由题意直线过点，且斜率存在，设方程为,将代人得点坐标为，由，消元得，设，，则且，方法一：因为，所以.同理，且与异号，所以.所以，为定值.当时，同理可得.所以，为定值.同理，且与异号，所以.又当直线与轴重合时，，所以，为定值.【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，其主要思路是联立直线和椭圆的方程，整理成关于或的一元二次方程，利用根与系数的关系进行求解，因为直线过点，在设方程时，往往设为，可减少讨论该直线是否存在斜率.5．【四川省绵阳南山中学2017-2018学年高二上学期期中考】设抛物线：，为的焦点，过的直线与相交于两点.（1）设的斜率为1，求；（2）求证：是一个定值.【答案】(1) （2）见解析【解析】试题分析：（1）把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系及抛物线的定义、弦长公式即可得出；（2）把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系、向量的数量积即可得出；（2）证明：设直线的方程为，由得∴，，∵，，∴是一个定值.点睛：熟练掌握直线与抛物线的相交问题的解题模式、根与系数的关系及抛物线的定义、过焦点的弦长公式、向量的数量积是解题的关键，考查计算能力,直线方程设成也给解题带来了方便.6．【内蒙古包头市第三十三中2016-2017学年高一下学期期末】已知椭圆C: 的离心率为,右焦点为(,0).(1)求椭圆C的方程; (2)若过原点作两条互相垂直的射线,与椭圆交于A,B两点,求证:点O到直线AB的距离为定值.【答案】(1) ,(2) O到直线的距离为定值.【解析】试题分析：（1）根据焦点和离心率列方程解出a，b，c；（2）对于AB有无斜率进行讨论，设出A，B坐标和直线方程，利用根与系数的关系和距离公式计算；有OA⊥OB知x1x2+y1y2=x1x2+(k x1+m) (k x2+m)=(1+k2) x1x2+k m(x1+x2)=0 代入,得4 m2=3 k2+3原点到直线AB 的距离，当AB的斜率不存在时, ,可得, 依然成立.所以点O到直线的距离为定值 .点睛：本题考查了椭圆的性质，直线与圆锥曲线的位置关系，分类讨论思想，对于这类题目要掌握解题方法．设而不求，套用公式解决．7．【四川省成都市石室中学2017-2018学年高二10月月考】已知双曲线渐近线方程为，为坐标原点，点在双曲线上．（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）已知为双曲线上不同两点，点在以为直径的圆上，求的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） .【解析】试题分析：（1）根据渐近线方程得到设出双曲线的标准方程，代入点M的坐标求得参数即可；（2）由条件可得，可设出直线的方程，代入双曲线方程求得点的坐标可求得。

圆锥曲线中的定点问题(解析版)-学霸养成2022高考数学压轴大题必杀技系列之圆锥曲线

专题5 圆锥曲线中的定点问题一、考情分析定点问题一直是圆锥曲线中的热点问题，高考主要考查直线过定点问题，有时也会涉及圆过定点问题．二、解题秘籍(一) 求解圆锥曲线中定点问题的思路与策略 1．处理定点问题的思路：(1)确定题目中的核心变量（此处设为k ）(2)利用条件找到k 与过定点的曲线(),0F x y = 的联系，得到有关k 与,x y 的等式(3)所谓定点，是指存在一个特殊的点()00,x y ，使得无论k 的值如何变化，等式恒成立。

此时要将关于k 与,x y 的等式进行变形，直至易于找到00,x y 。

常见的变形方向如下：① 若等式的形式为整式，则考虑将含k 的项归在一组，变形为“()k ⋅”的形式，从而00,x y 只需要先让括号内的部分为零即可② 若等式为含k 的分式， 00,x y 的取值一方面可以考虑使其分子为0，从而分式与分母的取值无关；或者考虑让分子分母消去k 的式子变成常数（这两方面本质上可以通过分离常数进行相互转化，但通常选择容易观察到的形式）2．处理定点问题两个基本策略：(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．【例1】（2022届北京大学附属中学高三12月月考）已知点()11,0F -，()21,0F ，曲线C 上的动点M 满足12122MF MF F F +=．（1）求曲线C 的方程；（2）若直线1MF 与曲线C 相交于另一点N ，当直线MN 不垂直于x 轴时，点M 关于x 轴的对称点为P ，证明：直线PN 恒过一定点．【分析】（1）由题意得出12124MF MF F F +=>，根据椭圆的定义可知曲线C 是以1F ，2F 为焦点，长轴长为4的椭圆，从而可求出椭圆方程；（2）设直线MN 的方程为()1y k x =+或1x ty =-，把直线方程与椭圆方程联立，消元，写韦达；根据点M 的坐标写出点P 的坐标，从而求出直线PN 的方程，证明直线PN 与x 轴的交点为定点即可. 【解析】（1）因为122F F =，12124MF MF F F +=>，所以曲线C 是以1F ，2F 为焦点，长轴长为4的椭圆，所以2a =，1c =，b =所以曲线C 的方程为22143x y +=．（2）解法一：因为直线MN 不与x 轴垂直，所以设直线MN 的方程为()1y k x =+ 由()221143y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，得()()2222348430k x k x k +++-=，因为点1F 在曲线C 内，所以0∆>恒成立，设()11,M x y ，()22,N x y ，则2122834k x x k +=-+，()21224334k x x k -=+．因为点P 与点M 关于x 轴对称，所以()11,P x y -．所以直线PN 的斜率2121+=-PN y y k x x ，直线PN 的方程是()211121y y y y x x x x ++=--．令0y =，得()211211212121x x y x y x y x xy y y y -+=+=++()()()211221112x k x x k x k x x ⋅++⋅+=++()12122122x x x x x x ++++=()2222224382343448234k k k k k k -⎛⎫⨯+- ⎪++⎝⎭==--++．所以此时直线PN 过定点()4,0-．当直线MN 与x 轴重合时，直线PN 为x 轴，显然过点()4,0-．综上所述，直线MN 恒过定点()4,0-．解法二：当MN 不与x 轴重合时，设直线MN 的方程为1x ty =-，由221143x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2234690t y ty +--=，()()()()2226434914410t t t ∆=--⨯+⨯-=+>．设()11,M x y ，()22,N x y ，设122634ty y t +=+，122934y y t =-+．因为点P 与点M 关于x 轴对称，所以()11,P x y -．所以直线PN 的斜率2121+=-PN y y k x x ，直线PN 的方程是()211121y y y y x x x x ++=-- 令0y =，得()()()211211112121111ty ty y x x y x xty y y y y ---⎡⎤-⎣⎦=+=+-++122121ty y y y =-+ 22923414634t t t t ⎛⎫- ⎪+⎝⎭=-=-+，所以此时直线PN 过定点()4,0-．当直线MN 与x 轴重合时，直线PN 为x 轴，显然过点()4,0-．综上所述，直线MN 恒过定点()4,0-．【例2】椭圆C的焦点为()1F，)2F，且点)M在椭圆C 上．过点()0,1P 的动直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，点B 关于y 轴的对称点为点D （不同于点A ）．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）证明：直线AD 恒过定点，并求出定点坐标．【分析】（1）计算1224a MF MF =+=，得到椭圆方程.（2）考虑斜率存在和不存在两种情况，联立方程得到根与系数的关系，通过特殊直线得到定点为2(0)Q ，，再计算斜率相等得到证明.【解析】（1）设椭圆C 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由已知得124c a MF MF ==+=.所以2a =，2222b a c =-=，所以椭圆C 的标准方程为22142x y +=.（2）当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为1(0)y kx k =+≠．由221421x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22(21)420k x kx ++-=. 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，22(,)D x y -，则()22122122Δ16821042122k k k x x k x x k x ⎧=++>⎪⎪⎪+=-⎨+⎪⎪=-⎪+⎩，特殊地，当A 的坐标为(2)0，时，12k =-，所以2423x =-，223x =-，143y =，即24,33B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以点B 关于y 轴的对称点为24,33⎛⎫⎪⎝⎭D ，则直线AD 的方程为2y x =-+.当直线l 的斜率不存在时，直线AD 的方程为0x =. 如果存在定点Q 满足条件，则为两直线交点2(0)Q ，， 111112111QA y y k k x x x ---===-，22221QD y k k x x -==-+-，又因为121212112()2220.QA QD x x k k k k k k x x x x +-=-+=-=-= 所以QA QD k k =，即,,A D Q 三点共线，故直线AD 恒过定点，定点坐标为(0)2，． (二) 直线过定点问题 1.直线过定点问题的解题模型2.求解动直线过定点问题，一般可先设出直线的一般方程：y kx b =+，然后利用题中条件整理出,k b 的关系，若(),b km n m n =+为常数，代入y kx b =+得()y k x m n =++，则该直线过定点(),m n -。

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1 圆锥曲线中的定点、定值问题一、题型选讲题型一、圆锥曲线中过定点问题圆锥曲线中过定点问题常见有两种解法：（1）、求出圆锥曲线或直线的方程解析式，研究解析式，求出定点·（2）、从特殊位置入手，找出定点，在证明该点符合题意（运用斜率相等或者三点共线）。

例1、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知A、B分别为椭圆E：2221xya（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，8AGGB，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．（1）求E的方程；（2）证明：直线CD过定点.

例2、（2020届山东省临沂市高三上期末）如图，已知点F为抛物线C：22ypx（0p）的焦点，过点F的动直线l与抛物线C交于M，N两点，且当直线l的倾斜角为45°时，16MN.

（1）求抛物线C的方程. （2）试确定在x轴上是否存在点P，使得直线PM，PN关于x轴对称？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 2

例3、【2019年高考北京卷理数】已知抛物线C：x2=−2py经过点（2，−1）．（1）求抛物线C的方程及其准线方程；（2）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1分别交直线OM，ON于点A和点B．求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．

题型二、圆锥曲线中定值问题圆锥曲线中常见的定值问题，属于难题．探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值

例4、【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知椭圆C：22221(0)xyabab的离心率为22，且过点A（2，1）．（1）求C的方程：（2）点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．

例5、（2020届山东省泰安市高三上期末）已知椭圆2222:10xyEabab的离心率e满足223220ee，右顶点为A，上顶点为B，点C(0，－2)，过点C作一条与y轴不重合的直线l，直线 3

l交椭圆E于P，Q两点，直线BP，BQ分别交x轴于点M，N；当直线l经过点A时，l的斜率为

2．

(1)求椭圆E的方程； (2)证明：

BOMBCNSS

为定值．

例6、(2019苏州三市、苏北四市二调）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：x24＋y2＝1，椭圆C2：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，C2与C1的长轴长之比为2∶1，离心率相同． (1) 求椭圆C2的标准方程；

(2) 设点P为椭圆C2上的一点．

①射线PO与椭圆C1依次交于点A，B，求证：PAPB为定值； ②过点P作两条斜率分别为k1，k2的直线l1，l2，且直线l1，l2与椭圆C1均有且只有一个公共点，求证

k1·k2为定值． 4

二、达标训练 1、（2020届浙江省温州市高三4月二模）如图，已知椭圆

22:14xCy，F为其右焦点，直线

0:kyxmlmk与椭圆交于1122(,),(,)PxyQxy两点，点,AB在l上，且满足

,,PAPFQBQFOAOB.(点,,,APQB从上到下依次排列)

(I)试用

x表示PF：

(II)证明：原点O到直线l的距离为定值.

2、【2018年高考北京卷理数】已知抛物线C：2y=2px经过点P（1，2）．过点Q（0，1）的直线l与抛物

线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．（1）求直线l的斜率的取值范围；（2）设O为原点，QMQO，QNQO，求证：11为定值．

3、(2019苏锡常镇调研）已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为32，焦点到相应准线的距离为33. 5

(1) 求椭圆E的标准方程； (2) 已知P(t，0)为椭圆E外一动点，过点P分别作直线l1和l2，直线l1和l2分别交椭圆E于点A，B

和点C，D，且l1和l2的斜率分别为定值k1和k2，求证：PA·PBPC·PD为定值．

4、(2018苏州暑假测试）如图，已知椭圆O：

x24＋y2＝1的右焦点为F，点B，C分别是椭圆O的上、下顶

点，点P是直线l：y＝－2上的一个动点(与y轴的交点除外)，直线PC交椭圆于另一个点M. (1) 当直线PM经过椭圆的右焦点F时，求ⅠFBM的面积； (2) Ⅰ记直线BM，BP的斜率分别为k1，k2，求证：k1•k2为定值；

5、(2016泰州期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2＋y2＝4，椭圆C：x24＋y2＝1，A为椭

圆右顶点．过原点O且异于坐标轴的直线与椭圆C交于B，C两点，直线AB与圆O的另一交点为P，直 6

线PD与圆O的另一交点为Q，其中D(－65，0).设直线AB，AC的斜率分别为k1，k

(1) 求k1k2的值； (2) 记直线PQ，BC的斜率分别为kPQ，kBC，是否存在常数λ，使得kPQ＝λkBC？若存在，求λ的值；若

不存在，说明理由； (3) 求证：直线AC必过点Q. 7 一、题型选讲题型一、圆锥曲线中过定点问题圆锥曲线中过定点问题常见有两种解法：（1）、求出圆锥曲线或直线的方程解析式，研究解析式，求出定点·（2）、从特殊位置入手，找出定点，在证明该点符合题意（运用斜率相等或者三点共线）。

例1、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知A、B分别为椭圆E：2221xya（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，8AGGB，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．（1）求E的方程；（2）证明：直线CD过定点. 【解析】（1）由题设得A（–a，0），B（a，0），G（0，1）. 则(,1)AGa，GB=（a，–1）.由AGGB=8得a2–1=8，即a=3.

所以E的方程为29x+y2=1．（2）设C（x1，y1），D（x2，y2），P（6，t）. 若t≠0，设直线CD的方程为x=my+n，由题意可知–3由于直线PA的方程为y=9t（x+3），所以y1=9t（x1+3）. 直线PB的方程为y=3t（x–3），所以y2=3t（x2–3）. 可得3y1（x2–3）=y2（x1+3）. 由于222219xy，故2222(3)(3)9xxy，可得121227(3)(3)yyxx，即221212(27)(3)()(3)0.myymnyyn① 将xmyn代入2219xy得222(9)290.mymnyn

所以12229mnyym，212299nyym．代入①式得2222(27)(9)2(3)(3)(9)0.mnmnmnnm

解得n=–3（含去），n=32. 故直线CD的方程为3=2xmy，即直线CD过定点（32，0）．若t=0，则直线CD的方程为y=0，过点（32，0）. 8

综上，直线CD过定点（32，0）. 例2、（2020届山东省临沂市高三上期末）如图，已知点F为抛物线C：22ypx（0p）的焦点，过点F的动直线l与抛物线C交于M，N两点，且当直线l的倾斜角为45°时，16MN.

（1）求抛物线C的方程. （2）试确定在x轴上是否存在点P，使得直线PM，PN关于x轴对称？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）28yx（2）存在唯一的点2,0P，使直线PM，PN关于x轴对称【解析】（1）当直线l的倾斜角为45°，则l的斜率为1，

,02pF，l的方程为

pyx.

由2,22,pyxypx得22304pxpx.

设11,Mxy，22,Nxy，则123xxp， ∴12416xxpMpN，4p， ∴抛物线C的方程为28yx.

（2）假设满足条件的点P存在，设,0Pa，由（1）知2,0F， ①当直线l不与x轴垂直时，设l的方程为2ykx（0k），

由22,8,ykxyx得22224840kxkxk， 2

2222484464640kkkk， 9

2122

48kxxk，

4xx.

∵直线PM，PN关于x轴对称， ∴0PMPNkk，112PMkxkxa，2

2PNkxkxa.

∴122112128(2)222240akxxakxxakxxaxxak， ∴2a时，此时2,0P.

②当直线l与x轴垂直时，由抛物线的对称性，易知PM，PN关于x轴对称，此时只需P与焦点F不重合即可. 综上，存在唯一的点2,0P，使直线PM，PN关于x轴对称. 例3、【2019年高考北京卷理数】已知抛物线C：x2=−2py经过点（2，−1）．（1）求抛物线C的方程及其准线方程；（2）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1分别交直线OM，ON于点A和点B．求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．【答案】（1）抛物线C的方程为24xy，准线方程为1y；（2）见解析. 【解析】（1）由抛物线2:2Cxpy经过点(2,1)，得2p.

所以抛物线C的方程为24xy，其准线方程为1y.

（2）抛物线C的焦点为(0,1)F.

设直线l的方程为1(0)ykxk.

由21,4ykxxy得2440xkx.

设1122,,,MxyNxy，则12

4xx.

直线OM的方程为11

yyxx.

令1y，得点A的横坐标11A

xxy.