2020高考数学(理)必刷试题+参考答案+评分标准 (68)

2020高考数学模拟试题

（理科）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合要求的。

1．已知集合{1,2,3,4,5,6}U =，{1,3,4}A =，则U A =e

A ．{5,6}

B ．{1,2,3,4}

C ．{2,5,6}

D ．{2,3,4,5,6}

2．若复数1(2)i m m ++-（i 是虚数单位）在复平面内对应的点在第二象限，则实数m 的取

值范围是

A ．()1,-∞-

B ．()2,1-

C ．()+∞,2

D ．()(),12,-∞+∞U

3．已知向量()()2,4,,2-==b a m ，且()()b a b a -⊥+，则实数=m

A ．4-

B ．4

C ．2±

D ．4±

4．7

33x x ?

+ ???

展开式中的常数项是

A ．189

B ．63

C ．42

D ．21

5．已知3

23ln 31343,e ,2==

=

c

b

a ，则

A ． a b c <<

B ．a c b <<

C ．b a c <<

D ．c a b <<

6．函数1

ln )(+=

x x

x f 的图象大致是

A B C D

7．设曲线1cos ()sin x f x x

+=在3π

=x 处的切线与直线1y ax =+平行，则实数a 等于

A ．1-

B ．

2

3

C ．2-

D ．2

8．

“关注夕阳，爱老敬老”，某企业从2012年开始每年向敬老院捐赠物资和现金，下表记录了该企业第x 年（2012年是第一年）捐赠的现金数y （万元）：

x

3 4 5 6 y

2.5

3

4

4.5

若由表中数据得到y 关于x 的线性回归方程是35.0?+=mx y

，则可预测2019年捐赠的现金大约是

A ．5.95万元

B ．5.25万元

C ．5.2万元

D ．5万元

9．执行如图所示的程序框图，如果输入2019=n ，则输出的=S

A ．40394038

B ． 40392019

C ．

4037

2018

D ．

4037

4036

10．若9人已按照一定顺序排成三行三列的方阵，从中任选3人，则至少有

两人位于同行或同列的概率是 A ．

1314 B ．4

7

C ．3

7

D ．

114

11．已知112ω>

，函数)4π+ω2sin(=)(x x f 在区间π3π

(,)22

内没有最值，则ω的取值范围

A ．11[,]62

B ．511,1224??

????

C ．15,412??????

D ．5,112??

????

12．在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，若两定点,A B 满足2OA OB u u u r u u u r

==，1OA OB u u u r u u u r ?=，

则点集{

}

|,2,,R P OP OA OB u u u r u u u r u u u r

λμλμλμ=++≤∈所表示的区域的面积是. A ．42 B ．43 C ．62 D ．83

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

13．在等差数列{}n a 中，若1=2a ，23+=10a a ，则7=a .

14．若函数2()=e --x f x x ax 在区间

0,（+∞）单调递增，则a 的取值范围是 . 15．

在ABC ?中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知ABC ?的面积为4，4,8b BA AC =?=u u u r u u u r

，则=a .

16．若函数()a

f x x a x

=+－在区间()0,2上为减函数，则满足条件的a 的集合是 .

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17－21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分.

第9题图

17．

（12分） 在ABC ?中，a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 的对边，满足5

cos ()cos 3

a C

b

c A =-.

（1）若1

sin 5

C =

，10a c +=，求c ； （2）若4a =，5c =，求ABC ?的面积S .

18．（12分）

已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足22-=n n a S ． （1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）设n n a n b )12(-=,求数列{}n b 的前n 项和n T ．

19．（12分）

已知函数32213()242

a f x x x bx a =

+++. （1）若1b =，当0x >时，()f x 的图象上任意一点的切线的斜率都非负，求证：a ≥-3

； （2）若()f x 在2x =-时取得极值0，求a b +.

20．

（12分） 手机运动计步已经成为一种新时尚．某单位统计职工一天行走步数（单位：百步）得到如下频率分布直方图：

由频率分布直方图估计该单位职工一天行走步数的中位数为125（百步），其中同一组中的数据用该组区间的中点值为代表．

（1）试计算图中的a 、b 值，并以此估计该单位职工一天行走步数的平均值μ； （2）为鼓励职工积极参与健康步行，该单位制定甲、乙两套激励方案： 记职工个人每日步行数为ω，其超过平均值μ的百分数×100-=

ωμ

εμ

，若ε∈(0,10]，职工获得一次抽奖机会；若ε∈(10,20]，职工获得二次抽奖机会；若ε∈(20,30]，职工获得三次抽奖机会；若ε∈(30,40]，职工获得四次抽奖机会；若ε超过50，职工获得五次抽奖机会．设职工获得抽奖次数为n ．

方案甲：从装有1个红球和2个白球的口袋中有放回的抽取n 个小球，抽得红球个数及表示该职工中奖几次；

方案乙：从装有6个红球和4个白球的口袋中无放回的抽取n 个小球，抽得红球个数及表示该职工中奖几次；

若某职工日步行数为15700步，试计算他参与甲、乙两种抽奖方案中奖次数的分布列．若是你，更喜欢哪个方案？

21．（12分）

已知函数()ln f x x ax =-.

（1）讨论()f x 在其定义域内的单调性；

（2）若1a =，且12()()f x f x =，其中120x x <<,求证：12123x x x x ++>.

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。

22．（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]

如图，在极坐标系Ox 中，以1π(1,)2C 和23π

(2,)2

C 为圆心的

两圆外切于点O ，射线OA ，OB 的夹角为π

3

，分别交1C e 于O 、A 两点，交2C e 于O 、B 两点．

（1）写出1C e 与2C e 的极坐标方程；

（2）求OAB ?面积最大值．

第20题图

23．（10分）[选修4-5：不等式选讲]

已知函数R ∈--=t t x x f ,2)(，3)(+=x x g . （1）R ∈x ，有)()(x g x f ≥，求实数t 的取值范围；

（2）若不等式0)(≤x f 的解集为[]3,1，正数a 、b 满足222-=--t b a ab ，求b a 2+的最小值.

参考答案

说明：

一、本解答给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可比照评分意见制订相应的评分细则．

二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半，如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题

二、填空题

13．14 14． (],22ln 2-∞- 15． 16． {}4 注：写成单元数集才给分 三、解答题

17．解：（1）55

cos ()cos ,sin cos (sin sin )cos 33a C b c A A C B C A =-∴=-Q ……………1分

5sin cos cos sin sin cos 3A C A C B A ∴+=，5

sin cos sin()sin 3B A A C B ∴=+=………………2分

3sin 0,cos 5B A ≠∴=Q ，则4

sin 5

A =…………………………………3分

由正弦定理得，

sin 4sin a A c C

==，即4a c =，……………………………………………5分 联立10a c +=，得2c =…………………………………………………………………6分

（2）由余弦定理可得，222

cos

2b c a A bc +-=，即2235505b =

--=

得b =

分 则122sin 25

S bc A ==…………………………………………………………12分

18. 解：（1）∵22-=n n a S ，当1=n 时2211-=a S ∴21=a

当2≥n 时 22-=n n a S ，2211-=--n n a S 两式相减得 122--=n n n a a a (2)n ≥

12-=n n a a 2≥n 021≠=a Θ

21

=∴

-n n

a a 2≥n ∴{}n a 是以首项为2，公比为2的等比数列 n n a 2= ....................6分 （2）由（1）知n n n

b 2)12(-=

n n n n n T 2)12(2)32(252321132?-+?-++?+?+?=-Λ 14322)12(2)32(2523212+?-+?-+?+?+?=

n n n n n T Λ

两式相减得

n

n n n T 2)12(22222132?--+++?+=--）（Λ

62)32(2)12(622)12(2

1)21(22112113---=?---=?----?+=-++++-n n n n n n n n n T

62)32(1+-=+n n n T ..................................

.........12分

19.23()34

f x x ax b '=++

（I ）2

3()3104

f x x ax '=

++≥ 23134

x ax +≥-

31

34x a x +≥- 31

4x x

+≥Q

3a ∴-≤a ∴≥ （II ）(2)360f a b '-=-+=

2(2)26220f a b a -=-+-+=

解得21

93a a b b ==????==??

或 当1,3a b ==时23

()(2)04

f x x '=+≥，函数无极值；

2,9,11a b a b ∴==+=

20.（I ）0.012,0.010a b ==，=125.6μ...........................................4分

（II ）某职工日行步数=157()ω百步，×ε157-126.5

=

100126.5

≈24

∴职工获得三次抽奖机会

设职工中奖次数为X 在方案甲下1

(3,)X B :

()1E X =

在方案乙下

()1E X =.8

所以更喜欢方案乙...........................................12分

21. （I ）11()ax

f x a x x

-'=

-=

（1）0()0,()0,+a f x f x '≤>∞当时，则在区间（）上单调递增； （2）11

0(0,),()0,()(0,)a x f x f x a a

'>∈>当时，在区间上单调递增；

11

(+),()0,()(+)x f x f x a a

'∈∞<∞，在区间，上单调递减；

...........................................4分

（II ）由（I ）得：当1a =时，()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减， 1201x x ∴<<<

将要证的不等式转化为12131x x x -+＞

，考虑到此时，21x ＞，1

1

311x x -+＞， 又当(1,)x ∈+∞时，()f x 递增。故只需证明1213()()1x f x f x -+＞，即证1

11

3()()1x f x f x -+＞ 设3()()(

)1x Q x f x f x

-=-+33ln ln()11x x

x x x x --=--+++。 则2144()1(1)(1)(3)Q x x x x x '=-++++-1411

[](1)13

x x x x x -=++++-

142(1)(1)(1)(3)x x x x x x --=+?++-22

(1)(3)

(3)(1)x x x x x -+=

-+。 当(0,1)x ∈时，()0Q x '＜，()Q x 递减。所以，当(0,1)x ∈时， ()(1)0Q x Q =＞. 所以1

11

3()(

)1x f x f x -+＞，从而命题得证。...........................................12分 22．解：（1）1:2sin C ρθ=e ；2:4sin C ρθ=-e ；..........................................4分

（2）由（I ）得(2sin ,)A θθ，(4sin(),)33B ππ

θθ---

12sin [4sin()]23

ABC S π

θθ?∴=??--

)6πθ=+-

..........................................10分 23.

解：（1）由)()(x g x f ≥，得32+≥--x t x 恒成立

t x x ≥+--∴32，在R ∈x 时恒成立

()t x x ≥+--∴min 32

()()53232=+--≤+--x x x x Θ

5325≤+--≤-∴x x ()532min -=+--∴x x

5-≤∴t

t ∴的取值范围是(]5,-∞-......................................................................................5分

方法二：根据函数32+--=x x y 的图像，找出32+--x x 的最小值5-

（2）由02)(≤--=t x x f 得t x ≤-2 解得t x t +≤≤-22

?

??=+=-∴3212t t 解得1=t 将1=t 带入222-=--t b a ab ，整理得02=--b a ab 112=+∴a

b 9542522)12()2(2=+≥++=+?+=+∴a b b a a b b a b a 当且仅当a

b

b a 22=

，即b a =时取等号

9)2(min =+∴b a ...................................................................................................10分