积根的运算(讲解)
算术平方根第1课时(1)
加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？2、面积为16、9、4的正方形的边长分别是多少？3、上述两个问题的实质是什么？4、阅读课本P68-69页,并回答下列问题（1）如果一个________的______等于a ，那么_________就叫做______的算术平方根（2）正数a 的算术平方根表示 读作_______规定：0的算术平方根为0。
（3）因为（ ）2=100，所以100的算术平方根是_______，即__________； （4）仿照（3）格式探求下列各数的算术平方根：0.0025；121；32；0.0001 （5）求算术平方根的运算与求平方运算有什么关系？上是已知一个正数的平方求这个证书的问题，其中问题1中的5叫做25的算术平方根，问题2中的4就叫做16的算术平方根，一般情况下，什么叫算术平方根？怎样表示一个数的算术平方根？怎样求一个数的算术平方根？算术平方根有哪些性质？（2）出示问题组织自学，提两名学生回答，关注学困生的表现，教师进行点拨引导评价。
（3）板书算术平方根的概念、符号表示，强调：（1）被开方数、根指数的意义。
（2）0的算术平方根是0是算术平方根的重要组成部分。
1-3，参与对同伴表现情况的评价。
（2）自学教科书相关内容，独立解决问题4，配合教师检查，对照同伴表现，检查自己的自学情况。
（3）学生讨论 思考并回答，师生共同总结。
足的时间和空间，理解和感知算术平方根概念，通过小组间的讨论、交流，释疑解难，提出共同的问题，使学生的自主性和合作性得到很好的发展，教学目标得到很好的落实。
活动三 例题讲解 理解新知 例1：求下列各数的算术平方根（1）121 （2）0.0064例2：计算下列各式的值【教师活动】 教师出示题目 引导学生思考并解答，巡视学生完成情况 适时指导点拨【学生活动】两名同学板演，学生独立完成后，共同完善解题过程【设计意图】规范解题格式，帮助理解新知活动四 应用迁移，巩固提高 一、判断下列说法是否正确，若不正确，请改正：（1）5是25的算术平方根； （2）-6是 36 的算术平方根； （3）0的算术平方根是0；【教师活动】 （1）出示问题1，提出答题要求，根据学生回答，适时评价学生的表现，用PPT 展示确认。
二次根式的乘法课件
强调二次根式乘法在数学学习中的重要性
扩展知识点
二次根式乘法是数学学习中基本运算 能力之一，对于后续学习二次根式的 加减、幂运算等具有重要作用。
举一反三
通过二次根式乘法的学习，可以进一 步掌握二次根式运算的规律和方法， 提高数学运算的准确性和速度。
THANKS
感谢观看
总结词
二次根式的乘法是指将两个二次根式相乘，得到一个新的二次根式。
详细描述
二次根式的乘法是二次根式运算中的基本操作之一，它是指将两个二次根式相乘，得到一个新 的二次根式。具体来说，如果两个二次根式分别是$\sqrt{a}$和$\sqrt{b}$，则它们的乘积就是 $\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}$。
举例说明二次根式乘法的计算过程
总结词
以$\sqrt{4}$和$\sqrt{9}$为例，说明二次根式乘法的计算过 程。
详细描述
首先，我们可以将$\sqrt{4}$表示为$\sqrt{2 \times 2}$，将 $\sqrt{9}$表示为$\sqrt{3 \times 3}$。然后，我们计算它们 的乘积，即$\sqrt{2 \times 2} \times \sqrt{3 \times 3}$。 根据二次根式的乘法规则，这个乘积就是$\sqrt{(2 \times 2) \times (3 \times 3)}$，也就是$\sqrt{12}$。
总结二次根式乘法的法则
总结词
二次根式乘法的法则可以概括为“乘以一个数等于开方再乘以这个数”。
详细描述
二次根式乘法的法则可以概括为“乘以一个数等于开方再乘以这个数”，也就是说，如果两个二次根式相乘，可 以先将它们分别开方，然后再将得到的数相乘。这个法则可以用来进行二次根式的乘法运算，也可以用来进行二 次根式的除法运算。
人教版初一数学二次根式的运算
人教版初一数学二次根式的运算二次根式是初中数学中一个重要的概念，也是数学运算的基础之一。
在人教版初一数学教材中，二次根式的运算是一个重要的知识点。
本文将从基本概念、运算法则等方面进行讲解，帮助学生更好地掌握二次根式的运算。
一、基本概念在初一数学中，我们学习了一次根式，它是一个数的 n 次方根。
而二次根式则是一个数的平方根。
如果一个数 a 的平方等于 b，则表示 a是 b 的平方根，记作√b=a。
在这里，b 是被开方数，a 是开方后得到的结果。
二、运算法则1. 同号相乘法则当两个二次根式的被开方数具有相同的正负号时，可以将它们的被开方数相乘，再开平方，结果仍然具有相同的正负号。
例如：√a * √b = √(a * b)。
2. 开方的分配律如果 a 和 b 都大于等于 0，那么有：√a + √b = √(a + b)。
同理，对于减法也成立，即：√a - √b = √(a - b)。
3. 分数的二次根式运算对于二次根式的运算，特别需要注意分数的情况。
如果一个分数先开方，然后再化简，结果通常不等于先化简再开方。
例如：√(2/3) ≠ √2 / √3。
因此，在进行二次根式的运算时，需要特别注意对分数进行化简后再做运算。
三、练习题1. 计算√4 + √9的值。
解：根据同号相乘法则，可以得到√4 + √9 = √(4 * 9) = √36 = 6。
2. 计算2√3 + 3√2的值。
解：根据开方的分配律，可以得到2√3 + 3√2 = √(2^2 * 3) + √(3^2 *2) = 2√6 + 3√6 = 5√6。
3. 计算√(2/3)的值。
解：根据前面提到的分数的二次根式运算注意事项，需要先化简再开方。
√(2/3) = √(2 * 1/3) = √(2 * 1) / √3 = √2 / √3。
四、总结二次根式的运算是初中数学中的重要内容，需要掌握运算法则以及化简分数的方法。
通过数学练习题的反复练习，可以巩固对二次根式的运算法则的理解和掌握。
二次根式题型归类讲解
二次根式题型归类讲解
二次根式是初中数学的一个重要知识点，也是中考的重点内容之一。
以下是一些常见的二次根式题型归类讲解：
1. 二次根式的化简与求值：
（1）化简二次根式：将根号下的数或式子化为最简形式，即去掉根号下的平方因子。
（2）求值：根据已知条件，求出二次根式的值。
2. 二次根式的运算：
（1）加减运算：同类二次根式可以加减，即将根号下的数或式子相加减。
（2）乘除运算：二次根式相乘，将根号下的数或式子相乘；二次根式相除，将根号下的数或式子相除。
3. 二次根式的化简求值：
（1）化简求值：先化简二次根式，再代入求值。
（2）整体代入求值：将一个式子整体代入到另一个式子中，求出二次根式的值。
4. 二次根式的混合运算：
（1）混合运算顺序：先算乘除，后算加减，有括号的先算括号里的。
（2）去括号法则：括号前是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号都不改变；括号前是“-”，把括号和它前面的“-”去掉后，原括号里各项的符号都要改变。
5. 二次根式的应用：
（1）在几何中的应用：求边长、周长、面积等。
（2）在物理中的应用：求速度、力等。
初三数学二次根式知识点学习讲解
初三数学二次根式一、学习目标1.二次根式的定义、最简二次根式、同类二次根式；2.二次根式的运算。
二、知识点讲解二次根式定义一般地，形如√a的代数式叫做二次根式，其中，a 叫做被开方数。
当a≥0时，√a表示a的算术平方根；当a小于0时，√a的值为纯虚数（在一元二次方程求根公式中，若根号下为负数，则方程有两个共轭虚根）。
注意被开方数可以是数，也可以是代数式。
被开方数为正或0的，其平方根为实数；被开方数为负的，其平方根为虚数。
二次根式的判断方法根据最简二次根式的定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察。
性质1. 任何一个正数的平方根有两个，它们互为相反数。
如正数a的算术平方根是，则a的另一个平方根为﹣；最简形式中被开方数不能有分母存在。
2. 零的平方根是零；3. 负数的平方根也有两个，它们是共轭的。
如负数a的平方根是±i。
4. 有理化根式：如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式互为有理化根式，也称互为有理化因式。
5. 无理数可用连分数形式表示。
6. 当a≥0时，（）22；（）2与2中a取值范围是整个复平面。
7. （）2=a任何一个数都可以写成一个数的平方的形式；利用此性质可以进行因式分解。
8. 逆用可将根号外的非负因式移到括号内。
算术平方根非负数的平方根统称为算术平方根，用（a≥0）来表示。
负数没有算术平方根，0的算术平方根为0。
有理化因式两个含有二次根式的代数式相乘，如果他们的积不含有二次根式，那么这两个代数式叫做互为有理化因式。
有理化因式注意①他们必须是成对出现的两个代数式；②这两个代数式都含有二次根式；③这两个代数式的积化简后不再含有二次根式；④一个二次根式可以与几个二次根式互为有理化因式。
分母有理化在分母含有根号的式子中，把分母的根号化去，叫做分母有理化。
分母有理化即将分母从非有理数转化为有理数的过程最简二次根式①被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；②被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式。
二次根式的除法
二次根式的除法二次根式的除法二次根式的除法1二次根式的除法（下载：）二次根式的除法2这节课因为有了前面学习的基础，所以学生学习起来并不难，本节课的重点是二次根式的乘除法法则，难点是灵活运用法则进行计算和化简。
开始可以从二次根式的性质引入，将二次根式的性质反过来就是二次根式的乘除法法则：，利用这个法则，可以进行二次根式的乘法和除法运算。
本节课中的易错点是运算的最后结果不是最简结果，因为学生只顾着运用法则进行计算了，忽略了二次根式的化简，举例说明：，这个运算过程只是运用了法则，但没有进行化简，应该是。
本节课中的难点是对于分母中含有根号的式子不会化简，这应该牵涉到分母有理化，分母有理化这个概念本章课本中没有提及，但是课后练习和习题中也有涉及，如何处理呢?举例说明：随堂练习中一个题目对于这个题目，很多学生表示都不知道从何下手，只有一些程度好的学生有自己的看法，我让学生进行了讲解：，学生能将分母中不含有根号，想到用来代替，然后再利用法则进行解答，真是聪明。
学生的这种做法，我给予了充分的肯定，并表扬了这位同学。
并且我也用分母有理化的思想进行了另一种方法的讲解，因为后面我想补一节分母有理化，所以在这里只是展示了一下过程，这样同样能达到化简的目的，然后让学生对比了一下刚才那位同学的做法，没有展开讲。
剩下的时间我主要针对法则让学生进行了练习，做正确的小组加分，不正确的进行点评，到下课时，学生基本掌握了二次根式的乘除法的计算。
学生比较容易理解这两个法则，下面可以学习例2，主要是让学生通过看课本来理解法则的应用，在学生理解例题的基础上，让学生思考还有没有其他方法来解决这些题目，以此来增加学生解题的思路与方法。
在这里可以拿出1-2个题目来示范。
如，可以有两种解法：法一：这一种也是课本上的方法，是直接利用了二次根式的乘法法则。
法二：这是利用了二次根式的性质。
通过这个题目的讲解，可让学生灵活掌握二次根式的计算方法。
再一个就是二次根式的乘除法混合运算，课本上有一个例子，，通过这个例子引出一个公式：，算是对法则的一个延伸。
人教版八年级数学下册第十六章二次根式(教案)
1.培养学生的数学抽ห้องสมุดไป่ตู้能力，使其理解二次根式的概念，并能运用性质进行化简和运算；
2.培养学生的逻辑推理能力，通过分析二次根式的性质和法则，进行合理推理，解决相关数学问题；
3.提高学生的数学建模素养，能够将二次根式应用于实际问题，建立数学模型，并解决问题；
4.培养学生的数学运算能力，熟练掌握二次根式的乘除法法则和加减法法则，准确进行计算；
首先，对于二次根式的运算法则，特别是分母有理化这一部分，学生们普遍感到困惑。我意识到，在讲解这个难点时，需要更加细致地分解步骤，多举几个不同类型的例子，让学生们逐步掌握解题技巧。同时，在课后应该布置一些针对性的练习题，帮助他们巩固这一知识点。
其次，在小组讨论环节，我发现有些学生在讨论中不够积极，可能是因为他们对二次根式的应用还不够自信。今后，我需要更多地鼓励这些学生参与讨论，提供一些更具体的指导，帮助他们建立起自信心。
我也注意到，实践活动对于加深学生对二次根式的理解非常有效。学生们在实际操作中能够更好地理解二次根式的意义和用途。因此，我计划在未来的教学中，增加更多类似的实践活动，让数学学习变得更加生动有趣。
另外，我发现学生们在解决问题的过程中，有时会忽略最简二次根式的判断。这说明我需要在教学中加强对这一部分的强调，通过对比不同形式的二次根式，让学生们明白何为最简形式。
5.培养学生的直观想象能力，通过二次根式的几何意义，加深对数学概念的理解，提高空间想象力和直观感知力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-二次根式的定义与性质：理解二次根式的概念，掌握其性质，如非负性、乘除法法则等。
-举例：解释二次根式表示的是非负平方根，如√9=3，但不表示-3。
-二次根式的化简与运算：掌握化简二次根式的方法，包括分母有理化、合并同类项等。
二次根式的乘除运算--知识讲解(提高
二次根式的乘除运算—知识讲解（提高）责编：杜少波【学习目标】1.掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的乘除运算.2.能运用二次根式的有关性质进行分母有理化.【要点梳理】要点一、二次根式的乘法1.乘法法则：（a≥0，b≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘.要点诠释：(1)在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示非负数).(2)该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：≥0，≥0，…..≥0）.(3)若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如.要点二、二次根式的除法1.除法法则：==（a≥0，b>0）,即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除.要点诠释：(1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别注意，a≥0，b>0，因为b在分母上，故b不能为0.(2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号.要点三、分母有理化1.分母有理化把分母中的二次根式化去叫做分母有理化.2.有理化因式两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式.有理化因式确定方法如下：a-a-与ba=b等分别互为有理化因式.a+与a-+②两项二次根式：利用平方差公式来确定.如+-.要点诠释：分母有理化的方法与步骤：①先将分子、分母化成最简二次根式；②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；③最后结果必须化成最简二次根式或有理式.【典型例题】类型一、二次根式的乘除运算1.（1） 21521)74181(2133÷-⨯ （2）243)2()()(a a a -÷-⋅-【答案与解析】（1）原式=1(3()8=⨯-⨯ =34-(2)原式=22122a a -÷=-【总结升华】根据二次根式的乘除法则灵活运算，注意最终结果要化简.举一反三【变式】b b a b a x x b a -÷+⋅-5433622222【答案】原式=21⨯== 2.（2014秋•闵行区校级期中）计算：×（﹣2）÷．【思路点拨】本题中a 作为被开方数，说明a≥0，下面直接利用二次根式的乘除运算法则化简即可．【答案与解析】解：×（﹣2）÷=×（﹣2）×=﹣=﹣=﹣．【总结升华】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确掌握运算法则是解题关键．举一反三：【变式】已知，且x 为偶数，求(1+x)的值．【答案】由题意得，即∴6＜x≤9，∵x 为偶数，∴x=8∴原式=(1+x)=(1+x)=(1+x)=∴当x=8时，原式的值==6．类型二、分母有理化3. 把下列各式分母有理化：【思路点拨】找分母有理化因式.【答案与解析】（1）552555252=∙∙=（2）b a b a ba b a b a b a b a ba b a b a b a -+=--∙-=-∙--∙-=--)()()(222222（3）ba b a b a b a b a b a ba -=-∙+-∙-=+-)()()()(【总结升华】有理化因式不止一个，但以它们的乘积较简为宜.显然，a ±b 与a b ，a ±b 与a b ，a ±b 与a b 都是互为有理化因式.举一反三：【变式】（2014春•隆化县校级期末）阅读材料，并解决问题．定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化．如：将分母有理化．解：原式==+运用以上方法解决问题：（1）将分母有理化；（2）比较大小：（在横线上填“＞”、“＜”或“=”） （n≥2，且n为整数）（3）化简：+++…+．【答案】解：（1）===2﹣；（2）∵=+，=+，又＜，∴＜，∵=+，=+，∴＜，故答案为：＜，＜；（3）原式=++…+=﹣1+﹣+﹣+…+﹣=﹣1.4.已知x=，y=，求下列各式的值：（1）x yx y+-；（2）223x xy y-+.【思路点拨】先把x、y的值分母有理化，再分别代入所求的两个式子即可.【答案与解析】77x y==-==+（1）x yx y+==-2222 (2)3(73(7(7194x xy y-+=---+++=【总结升华】此题考查分母有理化与二次根式乘除的应用.。
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(1) 4 9 25 (2) 36 49 81
§21.2.2 积的算术平方根
法则：积的算术平方根， 等于各因式算术平方根的积。
(1) 4 9 4 9 (2) 4 25 4 25 (3) 81
扩充：
abc a b c
（其中a,b,c均为非负数）
类比 5>3
8 12
-5<-3
即 1 200 2 3 5
思考题
已知： (99 x)( x 99) 99 x x 99
求： ( x 1) x2 2x 1 的值 x1
D
C
2000
A
B
连线：
49 25 9 25 4
25 9 4 9 25 4
§21.2.2 积的算术平方根
法则：积的算术平方根， 等于各因式算术平方根的积。
(1) 4 9 4 9 (2) 4 25 4 25 (3) 81 4 81 4
a b a b(a 0,b 0)
16 9 ≠ 16 9 25 9 ≠ 25 9
abc a b c
（3） 2715 9 9 5 9 5
（其中a,b,c均为非负数）
(1) 4 9 4 9 (2) 4 25 4 25 (3) 81 4 81 4
化简:
1 8 4 12 7 4a3
2 18 5 27 8 a5
3 50 6 20 9 27a3
不要忽略我 让我来计算：
Ø例: 化简 , 使被开方数不含完全平 方的因数
(1) 12 (2) 27
(3) 27 15
§21.2.2 积的算术平方根
法则：积的算术平方根， 例：
等于各因式算术平方根的积。 解：(1) 12 4 3 2 3
a b a b （2） 27 9 3 3 3
(a 0,b 0)
扩充：
积根的运算
看谁准
① 4 =2 ②
③ 52 =5 ④
⑤ (5)2 =5 ⑥
⑦ 02 =0
9 =3 62 =6
(6)2 =6
谁帮我计算
1 3 2 6
2
1 32 2
4
3 3 6 18
如图：这是一块长方形绿地，
测得长AB=40m，宽BC=20m
计划在绿地中间修一条小路AC，
问AC的长度是多少？
(1)
a3b2c
(2) 4m3
(3) 75xy3
(4) 27ab2c2
比较下列各组二次根式的大小
(1) 1 200和2 3 5
（2） - 5 6 和 - 6 5
§21.2.2 积的算术平方根
法则：积的算术平方根， 应例用：
等于各因式算术平方根的积。
ab a b
解：一(1)般12
（2） 27
4 9
32 3
3特殊3 3
(a 0,b 0)
扩充：
abc a b c
（3） 2715 9 9 5 9 5
(1) 4 9 4 9 (2) 4 25 4 25 (3) 81 4 81 4
（其中a,b,c均为非负数）
解： 1 200 1 200 8
5
25
2 3 4 3 12