高中数学第二章推理与证明单元质量评估新人教A版选修2_2

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高中数学选修2-2第二章《推理与证明》单元测试题

高中数学选修2-2第二章单元测试题《推理与证明》(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．观察下列各等式：22－4＋66－4＝2，55－4＋33－4＝2，77－4＋11－4＝2，1010－4＋－2－2－4＝2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为( )A.nn －4＋8－n (8－n )－4＝2 B.n ＋1(n ＋1)－4＋(n ＋1)＋5(n ＋1)－4＝2 C.nn －4＋n ＋4(n ＋4)－4＝2 D.n ＋1(n ＋1)－4＋n ＋5(n ＋5)－4＝2 2．下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是( ) ①y ＝cos x (x ∈R )是三角函数； ②三角函数是周期函数； ③y ＝cos x (x ∈R )是周期函数． A ．①②③ B ．②①③ C ．②③①D ．③②①3．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：“正四面体的内切球切于四个面________．”( )A ．各正三角形内一点B ．各正三角形的某高线上的点C ．各正三角形的中心D ．各正三角形外的某点4．(山东高考)用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根5．将平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比，易得下列结论：( ) ①a·b ＝b·a ；②(a·b )·c ＝a·(b·c )；③a·(b ＋c )＝a·b ＋a·c ；④由a·b ＝a·c (a ≠0)可得b ＝c . 则正确的结论有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个6．用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)(n ∈N *)时，从n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边需增乘的代数式是( )A ．2k ＋1B ．2(2k ＋1) C.2k ＋1k ＋1D.2k ＋3k ＋17．已知a ∈(0，＋∞)，不等式x ＋1x ≥2，x ＋4x 2≥3，x ＋27x 3≥4，…，可推广为x ＋ax n ≥n＋1，则a 的值为( )A ．2nB ．n 2C ．22(n－1)D ．n n8．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n 个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为( ) A ．6n －2 B ．8n －2 C ．6n ＋2D ．8n ＋29．观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝( )A ．28B ．76C ．123D ．19910．数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n ，则a 2 015等于( )A.12B.－1 C ．2D ．3二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．设函数f (x )＝12x ＋2，利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求得S ＝f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)的值为________．12．已知 2＋23＝2 23， 3＋38＝3 38， 4＋415＝4415，…，若 6＋a b＝6ab(a ，b 均为实数)，请推测a ＝________，b ＝________. 13．若定义在区间D 上的函数f (x )对于D 上的n 个值x 1，x 2，…，x n ，总满足1n[f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f(x n )]≤f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋…＋x n n ，称函数f (x )为D 上的凸函数；现已知f (x )＝sin x 在(0，π)上是凸函数，则△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是________．14.观察下列数字： 1 2 3 4 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 9 10 ……则第________行的各数之和等于2 0152.三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明，证明过程或运算步骤) 15．(本小题满分12分)观察下列式子： ①sin 210°＋cos 240°＋sin 10°cos 40°＝34；②sin 26°＋cos 236°＋sin 6°cos 36°＝34.由上面两个式子的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想．16．(本小题满分12分)已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且其中任意两边长均不相等，假设1a ，1b ，1c成等差数列．(1)比较b a与 cb的大小，并证明你的结论； (2)求证：角B 不可能是钝角．17．(本小题满分12分)先解答(1)，再通过结构类比解答(2)． (1)求证：tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝1＋tan x 1－tan x .(2)设x ∈R ，a 为非零常数，且f (x ＋a )＝1＋f (x )1－f (x )，试问：f (x )是周期函数吗？证明你的结论．18．(本小题满分14分)在各项为正的数列{a n }中，数列的前n 项和S n 满足S n ＝12⎝⎛⎭⎫a n ＋1a n . (1)求a 1，a 2，a 3；(2)由(1)猜想到数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．高中数学选修2-2第一章单元测试题《推理与证明》参考答案1．选A 观察分子中2＋6＝5＋3＝7＋1＝10＋(－2)＝8. 2．选B 按三段论的模式，排列顺序正确的是②①③.3．选C 正三角形的边对应正四面体的面，边的中点对应正四面体的面正三角形的中心．4．选A 因为“方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”等价于“方程x 3＋ax ＋b ＝0的实根的个数大于或等于1”，因此，要做的假设是方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根．5．选B 平面向量的数量积的运算满足交换律和分配律，不满足结合律，故①③正确，②错误；由a·b ＝a·c (a ≠0)得a·(b －c )＝0，从而b －c ＝0或a ⊥(b －c )，故④错误．6．选B 增乘的代数式为(k ＋1＋k )(k ＋1＋k ＋1)k ＋1＝2(2k ＋1)．7．选D 将四个答案分别用n ＝1,2,3检验即可，故选D.8．选C 归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后6根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8，公差是6的等差数列，通项公式为a n ＝6n ＋2.9．选C 记a n ＋b n ＝f (n )，则f (3)＝f (1)＋f (2)＝1＋3＝4；f (4)＝f (2)＋f (3)＝3＋4＝7；f (5)＝f (3)＋f (4)＝11.通过观察不难发现f (n )＝f (n －1)＋f (n －2)(n ∈N *，n ≥3)，则f (6)＝f (4)＋f (5)＝18；f (7)＝f (5)＋f (6)＝29；f (8)＝f (6)＋f (7)＝47；f (9)＝f (7)＋f (8)＝76；f (10)＝f (8)＋f (9)＝123.所以a 10＋b 10＝123.10．选B ∵a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n ，∴a 2＝1－1a 1＝－1，a 3＝1－1a 2＝2，a 4＝1－1a 3＝12，a 5＝1－1a 4＝－1，a 6＝1－1a 5＝2，∴a n ＋3k ＝a n (n ∈N *，k ∈N *)∴a 2 015＝a 2＋3×671＝a 2＝－1.11．解析：∵f (x )＝12x ＋2，f (1－x )＝121－x ＋2＝2x2＋2·2x ＝12·2x 2＋2x .∴f (x )＋f (1－x )＝1＋12·2x2＋2x ＝22，发现f (x )＋f (1－x )正好是一个定值， ∴2S ＝22×12，∴S ＝3 2. 答案：3 212．解析：由前面三个等式，推测归纳被平方数的整数与分数的关系，发现规律．由三个等式知，整数和这个分数的分子相同，而分母是这个分子的平方减1，由此推测 6＋a b中，a ＝6，b ＝62－1＝35，即a ＝6，b ＝35.答案：6 3513．解析：因为f (x )＝sin x 在(0，π)上是凸函数(小前提)，所以13(sin A ＋sin B ＋sin C )≤sin A ＋B ＋C 3(结论)，即sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin π3＝332.因此，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是332.答案：33214．解析：观察知，图中的第n 行各数构成一个首项为n ，公差为1，共2n －1项的等差数列，其各项和为S n ＝(2n －1)n ＋(2n －1)(2n －2)2＝(2n －1)n ＋(2n －1)·(n －1)＝(2n －1)2，令(2n －1)2＝2 0152，得2n －1＝2 015，解得n ＝1 008. 答案：1 00815．解：猜想sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin αcos(30°＋α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin αcos(30°＋α) ＝1－cos 2α2＋1＋cos (60°＋2α)2＋12[sin(30°＋2α)＋sin(－30°)] ＝1＋cos (60°＋2α)－cos 2α2＋12sin(2α＋30°)－14＝34＋12[cos 60°·cos 2α－sin 60°sin 2α－cos 2α]＋12sin(2α＋30°) ＝34－12·⎝⎛⎭⎫12cos 2α＋32sin 2α＋12sin(2α＋30°) ＝34－12sin(2α＋30°)＋12sin(2α＋30°)＝34，即sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α)＝34.16．解：(1) b a＜ cb.证明如下：要证b a＜ c b ，只需证b a ＜c b. ∵a ，b ，c ＞0，∴只需证b 2＜ac . ∵1a ，1b ，1c 成等差数列， ∴2b ＝1a ＋1c≥2 1ac，∴b 2≤ac . 又a ，b ，c 均不相等，∴b 2＜ac . 故所得大小关系正确．(2)证明：法一假设角B 是钝角，则cos B ＜0. 由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ≥2ac －b 22ac ＞ac －b 22ac ＞0，这与co s B ＜0矛盾，故假设不成立．所以角B 不可能是钝角．法二假设角B 是钝角，则角B 的对边b 为最大边，即b ＞a ，b ＞c ，所以1a ＞1b ＞0，1c ＞1b ＞0，则1a ＋1c ＞1b ＋1b ＝2b ，这与1a ＋1c ＝2b矛盾，故假设不成立．所以角B 不可能是钝角．17．解：(1)根据两角和的正切公式得tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝tan x ＋tanπ41－tan x tanπ4＝tan x ＋11－tan x ＝1＋tan x 1－tan x，即tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝1＋tan x 1－tan x ，命题得证．(2)猜想f (x )是以4a 为周期的周期函数．因为f (x ＋2a )＝f [(x ＋a )＋a ]＝1＋f (x ＋a )1－f (x ＋a )＝1＋1＋f (x )1－f (x )1－1＋f (x )1－f (x )＝－1f (x )，所以f (x ＋4a )＝f [(x ＋2a )＋2a ]＝－1f (x ＋2a )＝f (x )．所以f (x )是以4a 为周期的周期函数． 18．解：(1)S 1＝a 1＝12⎝⎛⎭⎫a 1＋1a 1，得a 21＝1，因为a n ＞0，所以a 1＝1.S 2＝a 1＋a 2＝12⎝⎛⎭⎫a 2＋1a 2，得a 22＋2a 2－1＝0，所以a 2＝2－1.S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝12⎝⎛⎭⎫a 3＋1a 3，得a 23＋22a 3－1＝0，所以a 3＝3－ 2. (2)猜想a n ＝n －n －1(n ∈N *)．证明：①n ＝1时，a 1＝1－0＝1，命题成立． ②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时， a k ＝k －k －1成立，则n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k＝12⎝⎛⎭⎪⎫a k＋1＋1a k＋1－12⎝⎛⎭⎫a k＋1a k，即a k＋1＝12⎝⎛⎭⎪⎫a k＋1＋1a k＋1－12⎝⎛⎭⎪⎫k－k－1＋1k－k－1＝12⎝⎛⎭⎪⎫a k＋1＋1a k＋1－k，所以a2k＋1＋2ka k＋1－1＝0，所以a k＋1＝k＋1－k，则n＝k＋1时，命题成立．由①②知，n∈N*，a n＝n－n－1.。

_高中数学第二章推理与证明2

跟踪练习
(2014～2015·合肥一六八中高二期中)观察下题的解答过
程：
已知正实数 a、b 满足 a＋b＝1，求 2a＋1＋ 2b＋1的最
大值．
解：∵
2a＋1· 2≤
2a＋12＋ 2
22＝a＋32，
2b＋1· 2
≤
2b＋12＋ 2
22＝b＋32，
相加得 2a＋1 · 2 ＋ 2b＋1 · 2 ＝ 2 ( 2a＋1 ＋ 2b＋1)≤a＋b＋3＝4.
综合法： ∵a、b、c∈R＋，∴(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≥0， ∴2(a2＋b2＋c2)≥(ab＋bc＋ac)， ∴3(a2＋b2＋c2)≥a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac， ∴3(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2， ∴ a2＋b32＋c2≥a＋3b＋c.
人教版选修2-2
第二章推理与证明
2.2 直接证明与间接证明
2.2.1 综合法和分析法
目标导航
• 了解综合法与分析法的特点，熟练应用分析法与综合法证明命题．
重点难点
• 重点：综合法和分析法的概念及思考过程、特点． • 难点：综合法和分析法的应用．
新知导学
1.综合法证明不等式
• 1．定义 • 利用___已__知__条__件___和某些数学__定__义____、__定__理____、
、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论；
• (2)适用范围：对于一些条件复杂，结构简单的不等式的证明，经常用综合法．而对于一些条件简单、结论复杂的不等式的证明，常用分析法；
• (3)思路方法：分析法证明不等式的思路是从要证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式；

江苏省苏州市高中数学第二章推理与证明 2.3 数学归纳法教学设计新人教A版选修22

数学归纳法【教材分析】1、教学内容：数学归纳法是人教社全日制普通高级中学教科书数学选修2-2第二章第3节的内容，根据课标要求，本书该节共2课时，这是第一课时，其主要内容是数学归纳法的原理及其应用。

2、地位作用：在已经学习了不完全归纳法的基础上，介绍了数学归纳法，它是一种用于关于正整数命题的直接证法。

教材通过剖析生活实例中蕴含的思维过程揭示数学思想方法，即借助“多米诺骨牌”的设计思想，揭示数学归纳法依据的两个条件及它们之间的关系。

【教学目标】1、知识与技能：（1）了解归纳法，理解数学归纳法的原理与实质，掌握数学归纳法证题的两个步骤。

（2）会证明简单的与正整数有关的命题。

2、过程与方法：努力创设课堂愉悦的情境，使学生处于积极思考，大胆质疑的氛围，提高学生学习兴趣和课堂效率，让学生经历知识的构建过程，体会类比的数学思想。

3、情感、态度与价值观：通过本节课的教学，使学生领悟数学思想和辩证唯物主义观点，激发学生学习热情，提高学生数学学习的兴趣，培养学生大胆猜想，小心求证的辩证思维素质，以及发现问题、提出问题的意见和数学交流能力。

【教学重点】借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些简单的与正整数n（n取无限多个值）有关的数学命题。

【教学难点】（1）学生不易理解数学归纳法的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的作用，不易根据归纳假设作出证明。

（2）运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系。

【教学方法】运用类比启发探究的数学方法进行教学；【教学手段】借助多媒体呈现多米诺骨牌等生活素材辅助课堂教学；【教学程序】第一阶段：创设问题情境，启动学生思维情境1、法国数学家费马观察到：6553712,25712,1712,5124232212=+=+=+=+ 归纳猜想：任何形如122+n（n ∈*N ）的数都是质数，这就是著名的费马猜想。

半个世纪以后，数学家欧拉发现，第5个费马数670041764112525⨯=+=F 不是质数,从而推翻了费马的猜想。

人教A版选修2-2《数学选修2-2》推理与证明.docx

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作《数学选修2-2》推理与证明第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是最符合题目要求的.)1、下列表述正确的是( ).①归纳推理是由部分到整体的推理;②归纳推理是由一般到一般的推理;③演绎推理是由一般到特殊的推理;④类比推理是由特殊到一般的推理;⑤类比推理是由特殊到特殊的推理.A.①②③B.②③④C.②④⑤D.①③⑤. 2、分析法是从要证明的结论出发,逐步寻求使结论成立的( ) Ａ.充分条件Ｂ.必要条件Ｃ.充要条件Ｄ.等价条件 3、在ABC △中,sin sin cos cos A C A C >,则ABC △一定是( ) Ａ.锐角三角形Ｂ.钝角三角形Ｃ.直角三角形Ｄ.不确定 4、下面使用类比推理正确的是 ( )A.直线a,b,c ,若a //b,b //c ,则a //c .类推出:向量a,b,c ,若a //b ,b //c ,则a //cB.同一平面内,直线a,b,c ,若a ⊥c,b ⊥c ,则a //b .类推出:空间中,直线a,b,c ,若a ⊥c,b ⊥c ,则a //b .C.实数,a b ,若方程20x ax b ++=有实数根,则24a b ≥.类推出:复数,a b ,若方程20x ax b ++=有实数根,则24a b ≥.D.以点(0,0)为圆心,r 为半径的圆的方程为222x y r +=.类推出:以点(0,0,0)为球心,r 为半径的球的方程为2222x y z r ++=.5、(1)已知332p q +=,求证2p q +≤,用反证法证明时,可假设2p q +≥;(2)已知a b ∈R ，,1a b +<,求证方程20x ax b ++=的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根1x 的绝对值大于或等于1,即假设11x ≥,以下结论正确的是( )A.(1)的假设错误,(2)的假设正确B.(1)与(2)的假设都正确C.(1)的假设正确,(2)的假设错误D.(1)与(2)的假设都错误 6、观察式子:213122+<,221151233++<,222111712344+++<,,则可归纳出式子为( )Ａ.22211111(2)2321n n n ++++<-≥ Ｂ.22211111(2)2321n n n ++++<+≥ Ｃ.222111211(2)23n n n n -++++<≥Ｄ.22211121(2)2321n n n n ++++<+≥ 7、已知扇形的弧长为l ,所在圆的半径为r ,类比三角形的面积公式:12S =⨯底⨯高,可得扇形的面积公式为( )Ａ.212rＢ.212l Ｃ.12rl Ｄ.不可类比8、定义A D D C C B B A ****,,,的运算分别对应下图中的(1)、(2)、(3)、(4),那么下图中的(A)、(B)所对应的运算结果可能是 ( )(1) (2) (3) (4) (A) (B)A.D A D B **,B.C A D B **,C.D A C B **,D.D A D C **, 9、观察下列各式:211=,22343++=,2345675++++=,2456789107++++++=,,可以得出的一般结论是( )A.2(1)(2)(32)n n n n n ++++++-=B.2(1)(2)(32)(21)n n n n n ++++++-=-C.2(1)(2)(31)n n n n n ++++++-=D.2(1)(2)(31)(21)n n n n n ++++++-=-10、用数学归纳法证明(1)(2)()213(21)n n n n n n +++=-····,从k 到1k +,左边需要增乘的代数式为( )A.2(21)k +B.21k +C.211k k ++ D.231k k ++ 11、正整数按下表的规律排列1 2 5 10 17 4 3 6 11 18 9 8712 19 16 15 14 13 20 2524232221则上起第2009行,左起第2010列的数应为( )A.22009B.22010C.20092010+D.20092010⨯12、为了保证信息安全传输,有一种称为秘密密钥密码系统(Private Key Cryptosystem ),其加密、解密原理如下图:现在加密密钥为)2(log +=x y a ,如上所示,明文“6”通过加密后得到密文“3”,再发送,接受方通过解密密钥解密得到明文“6”.问:若接受方接到密文为“4”,则解密后得明文为( )A.12B.13C.14D.15第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上.)13、数列2,5,11,20,,47,x …中的x 等于______________. 14、已知经过计算和验证有下列正确的不等式:112>,111123++>,111312372++++>, 111122315++++>,,根据以上不等式的规律,写出一个一般性的不等式 .15、已知命题:“若数列{}n a 是等比数列,且0n a >,则数列12()nn n b a a a n *=∈N 也是等比数列”.可类比得关于等差数列的一个性质为________________________________.16、若数列{}n a 的通项公式)()1(12+∈+=N n n a n ,记)1()1)(1()(21n a a a n f -⋅⋅⋅--=,试通过计算)3(),2(),1(f f f 的值,推测出.________________)(=n f三、解答题(本大题共6小题,共74分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.)17、(12分)解密密钥密码加密密钥密码明文密文密文发送明文已知:23150sin 90sin 30sin 222=++2223sin 10sin 70sin 1302++=23125sin 65sin 5sin 222=++通过观察上述两等式的规律,请你写出一般性的命题,并给出的证明.18、(12分)如图(1),在三角形ABC 中,AB AC ⊥,若AD BC ⊥,则2AB BD BC =·;若类比该命题,如图(2),三棱锥A BCD -中,AD ⊥面ABC ,若A 点在三角形BCD 所在平面内的射影为M ,则有什么结论?命题是否是真命题.19、(12分)已知实数a b c d ，，，满足1a b c d +=+=,1ac bd +>,求证a b c d ，，，中至少有一个是负数.20、(12分)已知数列{a n }满足S n ＋a n ＝2n ＋1. (1)写出a 1, a 2, a 3,并推测a n 的表达式; (2)用数学归纳法证明所得的结论.21、(12分)已知命题:“若数列{}n a 为等差数列,且,m n a a a b ==),,(+∈≠N n m n m ,则m n ma nb a m n+-=-”.现已知数列{}),0(+∈>N n b b n n 为等比数列,且,a b m =b b n =),,(+∈≠N n m n m.(1)请给出已知命的证明;(2)类比(1)的方法与结论,推导出m n b +.22、(14分)在中学阶段,对许多特定集合(如实数集、复数集以及平面向量集等)的学习常常是以定义运算(如四则运算)和研究运算律为主要内容.现设集合A 由全体二元有序实数组组成,在A 上定义一个运算,记为,对于A 中的任意两个元素(,)a b α=,(,)c d β=,规定:αβ=(,)ad bc bd ac +-.(1)计算:)3,2()4,1(-;(2)请用数学符号语言表述运算满足交换律,并给出证明;(3)若“A 中的元素(,)I x y =”是“对A α∀∈,都有α=I I αα=成立”的充要条件,试求出元素I .参考答案1.D 由归纳推理、演绎推理和类比推理的概念知①③⑤正确.2.A 由分析法的定义知A 正确.3.B 由已知得sin sin cos cos cos()0,A C A C A C -=-+>∴cos()0,A C +< ∴A C +为锐角,得B 为钝角,ABC △为钝角三角形.4.D 若向量b =0,则a //c 不正确;空间内,直线a 与b 可以相交、平行、异面,故B 不正确;方程200(1)0x ix i ++-±=有实根,但24a b ≥不成立;设点(,,)P x y z 是球面上的任一点,由OP r =,得222x y z r ++=,D 正确.5.A 用反证法证明时,假设命题为假,应为全面否定.所以2p q +≤ 的假命题应为.2>+q p6.Ｃ由每个不等式的不等号左边的最后一项的分母和右边的分母以及不等号左边的最后一项的分母的底和指数的乘积减1等于右边分母可知,选C.7.Ｃ三角形的高类比扇形半径,三角形的底类比扇形的弧.8.B 观察知A 表示“︱”,B 表示“□”,C 表示“－”,D 表示“○”,故选B. 9.B 等式右边的底数为左边的项数.10.A 当n k =时,左边=(1)(2)()k k k k ++⋅⋅+1,[(1)1][(1)2][(1)(1)]n k k k k k =+=++++⋅⋅+++当时左边(2)(3)()(1)(2)k k k k k k k k =++⋅⋅⋅+++++(1)(2)(1)(2)()1k k k k k k k k k ++++=++⋅⋅⋅++(1)(2)()[2(21)]k k k k k =++⋅⋅⋅++,∴从k 到1k +,左边需要增乘的代数式为2(21)k +.11.D 由上的规律可知,第一列的每个数为所该数所在行数的平方,而第一行的数则满足列数减1的平方再加1.依题意有,左起第2010列的第一个数为220091+,故按连线规律可知,上起第2009行,左起第2010列的数应为220092009+=20092010⨯.12.C 由其加密、解密原理可知,当x =6时,y =3,从而a =2;不妨设接受方接到密文为“4”的“明文”为b,则有)2(log 42+=b ,从而有14224=-=b .13.32 1547,1220,91120,6511,325=-=-∴=-=-=-x x ,∴32x =14.一般不等式为:1111()23212n n n *++++>∈-N . 15.若数列{}n a 是等差数列,则数列12nn a a a b n +++=也是等差数列.证明如下:设等差数列{}n a 的公差为d ,则12nn a a a b n+++=11(1)2(1)2n n dna d a n n -+==+-,所以数列{}n b 是以1a 为首项,2d为公差的等差数列. 16.2()22n f n n +=+ 22332222141)13(1,31)12(1,21)11(1=+==+==+=a a a 1211113(1)11(1)(1),22222f a =-=-=-+=⨯ 同理1222111324(2)(1)(1)(1)(1)232233f a a =--=--=⨯⨯⨯123222111132435(3)(1)(1)(1)(1)(1)(1)234223344f a a a =---=---=⨯⨯⨯⨯⨯∴222111()(1)(1)[1]23(1)f n n =--⋅⋅⋅-+111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)223311n n =-+-+⋅⋅⋅-+++ 1324322 (223341122)n n n n n n ++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=+++ 17.解:一般性的命题为2223sin (60)sin sin (60)2ααα-+++=证明:左边001cos(2120)1cos 21cos(2120)222ααα----+=++003[cos(2120)cos 2cos(2120)]232ααα=--++-=所以左边等于右边18.解:命题是:三棱锥A BCD -中,AD ⊥面ABC ,若A 点在三角形BCD 所在平面内的射影为M ,则有2ABC BCMBCD S S S =△△△·是一个真命题.证明如下: 在图(2)中,连结DM ,并延长交BC 于E ,连结AE ,则有DE BC ⊥.因为AD ⊥面ABC ,,所以AD AE ⊥. 又AM DE ⊥,所以2AE EM ED =·. 于是22111222ABCBCM BCD SBC AE BC EM BC ED S S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭△△△·····. 19.证明:假设a b c d ，，，都是非负实数,因为1a b c d +=+=, 所以a b c d ，，，[01]∈，,所以2a c ac ac +≤≤,2b cbd bd +≤≤, 所以122a cb dac bd ++++=≤, 这与已知1ac bd +>相矛盾,所以原假设不成立,即证得a b c d ，，，中至少有一个是负数.20.解:(1) a 1＝23, a 2＝47, a 3＝815,猜测 a n ＝2－n 21(2) ①由(1)已得当n ＝1时,命题成立;②假设n ＝k 时,命题成立,即 a k ＝2－k21, 当n ＝k ＋1时,a 1＋a 2＋……＋a k ＋a k ＋1＋a k ＋1＝2(k ＋1)＋1,且a 1＋a 2＋……＋a k ＝2k ＋1－a k ∴2k ＋1－a k ＋2a k ＋1＝2(k ＋1)＋1＝2k ＋3, ∴2a k ＋1＝2＋2－k 21, a k ＋1＝2－121+k , 即当n ＝k ＋1时,命题成立. 根据①②得n ∈N + , a n ＝2－n21都成立. 21.解:(1)因为在等差数列{a n }中,由等差数列性质得⎩⎨⎧+=+=++mda a nda a n n m m n m ,又,m n a a ab ==,∴m n m n a a nd a b md ++=+⎧⎨=+⎩,得m n m n ma ma mndna nb mnd++=+⎧⎨=+⎩,两式相减得()m n m n a ma nb +-=-,∴m n ma nba m n+-=-.(2)在等比数列{}n b 中,由等比数列的性质得⎪⎩⎪⎨⎧⋅=⋅=++mn n m nm n m qb b qb b ,又,m n b a b b ==, ∴n m n m m n b a q b b q ++⎧=⋅⎪⎨=⋅⎪⎩,得m m mnm n n n mnm n b a q b b q++⎧=⋅⎪⎨=⋅⎪⎩,两式相除得m m nm n n a b b -+=, ∴mm n m nn a b b-+=.22.解:(1))3,2(⊙)14,5()4,1(=-. (2)交换律:αββα=,证明如下:设(,)a b α=,(,)c d β=,则αβ=(,)ad bc bd ac +-,βα=(,)c d (,)a b =(,)cb da db ca +-=(,)ad bc bd ac +-.∴αββα=.(3)设A 中的元素(,)I x y =,对A α∀∈,都有α=IIαα=成立,由(2)知只需I ⊙αα=,即),(y x ⊙=),(b a ),(b a (,)(,)bx ay by ax a b ⇔+-= ①若)0,0(=α,显然有I ⊙αα=成立; ②若)0,0(≠α,则bx ay a ax by b +=⎧⎨-+=⎩,解得01x y =⎧⎨=⎩,∴当对A α∀∈,都有α=II αα=成立时,得(0,0)I =或(0,1)I =,易验证当(0,0)I =或(0,1)I =时,有对A α∀∈,都有α=IIαα=成立∴(0,0)I =或(0,1)I =.。

江苏省苏州市高中数学第二章推理与证明 2.1.2 类比推理教学设计新人教A版选修2-2

类比推理教学目标：1、知识与技能：了解类比推理的含义、特点，能利用类比进行简单的推理．2、过程与方法：通过生活和学习中的实例创设情境、进行探究，提高学生观察猜想、抽象概括的能力，渗透类比的思想方法．3、情感、态度与价值观：体会类比推理在实际生活和数学发现中的作用，提高学习数学的兴趣，增强创新意识．教学重点：了解类比推理的含义，掌握类比推理的方法和步骤教学难点：找到合适的类比对象，分析两类事物在结构或功能等方面的关系，正确运用类比推理的思想方法.教学过程：一、创设情境、引入课题《阿凡达》是2009年美国科幻巨作，以外星生命为题材，目前为止全球票房收入超过26亿美元.以外星生命为题材的科幻片还有很多，比如《长江七号》、《火星宝贝》等.由《阿凡达》、《长江七号》、《火星宝贝》票房收入都不错，推测以外星生命为题材的科幻片票房收入都不错，这样的推理是什么推理？（归纳推理）真的存在外星生命吗？这是一种凭空幻想还是有依据的推理？运用这种推理方法的例子还有很多，比如奥地利医生奥恩布鲁格观察到父亲经常用手指敲击盛酒的木桶，根据声音推测桶内的酒还剩多少.联想到胸腔和酒桶有类似之处，从而发明了叩诊法——通过叩击人体胸腔的方法判断其中有无积水或积水的多少；数学学习中也经常用到这样的推理方法，比如对不等式的性质的研究常常依赖于对等式的性质的了解：问题1：你能说说这些问题中用到的推理方法的含义吗？二、新知探究1.类比推理的含义和特点：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理.简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理. 问题2：你能举一些生活或学习中类比推理的例子吗？练习：1.类比c x c c c x <<-⇔><)0(||，可得到⇔><)0(|)(|c c x f2.（1）类比点（a,b ）为球心，r 为半径的圆的方程：222)()(r b y a x =-+-，可得到以点（a,b,c ）为球心，r 为半径的球的方程应为（2）类比“与圆心距离相等的弦长度相等”可得到球的什么性质？想一想：2004年北京高考题中出现了一个新的名词——等和数列.你会怎样给“等和数列”下定义？小结：类比的关键是找到合适的类比对象，类比的依据是两者之间的相似性.问题3：类比推理的步骤是怎样的？2. 类比推理的步骤⑴寻找合适的类比对象；⑵由一类对象的已知特征推测另一类对象也具备这些特征，得出一个猜想；三、练习巩固练习3：类比“平面内，平行于同一条直线的两条直线互相平行”，你能得到什么结论？小结1：类比推理时分析问题的角度不同会得到不同的推理结果，结果是否正确仍然需要验证.小结2：练习3由一个平面几何的结论推理出许多立体几何结论.平面几何和立体几何两者在逻辑体系结构、构成问题的基本元素、研究对象和方法等方面都有非常相似的地方.从维度升高的角度来看，他们的基本元素之间能有如下的对应关系平面图形立体图形可类比可类比小结：可类比得两类事物必有相类似的构成，对构成的理解不同，同一个图形可以有不同的类比对象.自然可能会有不同的推理结论.例1 类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想.四、课堂小结：222c+ba=1.类比推理的含义、特点、步骤和作用2.合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理.通俗的说，合情推理是指“合乎情理”的推理，推理结果正确与否需要经过验证.五、布置作业： 1.练习册P47-48 “作业练习手册”部分2.思考：222c b a =+同除以C 2可得到 1cos cos 22=+B A ,类比这个结论给出空间中四面体性质的猜想.板书设计：。

【全程复习方略】高中数学第二章推理与证明单元质量评估新人教A版选修1-2

"【全程复习方略】高中数学第二章推理与证明单元质量评估新人教A版选修1-2 "(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下列推理过程属于演绎推理的为( )A.老鼠、猴子与人在身体结构上有相似之处,某医药先在猴子身上试验,试验成功后再用于人体试验B.由1=12,1+3=22,1+3+5=32,…得出1+3+5+…+(2n-1)=n2C.由三角形的三条中线交于一点联想到四面体四条中线(四面体每一个顶点与对面重心的连线)交于一点D.通项公式形如a n=cq n(cq≠0)的数列{a n}为等比数列,则数列{-2n}为等比数列【解析】选D.因为老鼠、猴子与人在身体结构上有相似之处,故A中推理为类比推理;因为由1=12,1+3=22,1+3+5=32,…得出1+3+5+…+(2n-1)=n2,是由特殊到一般,故B中推理为归纳推理;因为由三角形性质得到四面体的性质有相似之处,故C中推理为类比推理;因为由通项公式形如a n=cq n(cq≠0)的数列{a n}为等比数列(大前提),数列{-2n}满足这种形式(小前提),则数列{-2n}为等比数列(结论),可得D中推理为演绎推理.2.(2014·石家庄高二检测)下列推理是归纳推理的是( )A.A,B为定点,动点P满足|PA|+|PB|=2a>|AB|,得P的轨迹为椭圆B.由a1=1,a n=3n-1,求出S1,S2,S3,猜想出数列的前n项和S n的表达式C.由圆x2+y2=r2的面积πr2,猜出椭圆+=1的面积S=πabD.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇【解析】选B.从S1,S2,S3猜想出数列的前n项和S n,是从特殊到一般的推理,所以B是归纳推理.3.(2014·广州高二检测)四个小动物换座位,开始是猴、兔、猫、鼠分别坐在1,2,3,4号位置上,第1次前后排动物互换位置,第2次左右列互换座位,…,这样交替进行下去,那么第2014次互换座位后,小兔的位置对应的是( )- 1 -。

人教a版数学高二选修2-2习题_第二章_推理与证明_2.2.2反证法有答案

人教a版数学高二选修2-2习题_第二章_推理与证明_2.2.2反证法有答案2.2 直接证明与间接证明2.2.2 反证法A级基础巩固一、选择题1．命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是( )A．三角形中有两个内角是直角B．三角形中有三个内角是直角C．三角形中至少有两个内角是直角D．三角形中没有一个内角是直角解析：“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是“三角形中至少有两个内角是直角”．答案：C2．a＋b＞c＋d的一个必要不充分条件是( )A．a＞c B．b＞cC．a＞c且b＞d D．a＞c或b＞d解析：由a＞c或b＞d可得a＋b＞c＋d，反之则不一定，选项D正确．答案：D3．“实数a，b，c不全大于0”等价于( )A．a，b，c均不大于0B．a，b，c中至少有一个大于0C．a，b，c中至多有一个大于0D．a，b，c中至少有一个不大于0解析：“不全大于零”即“至少有一个不大于0”，它包括“全不大于”．选项D 正确．答案：D4．用反证法证明命题“若直线AB、CD是异面直线，则直线AC、BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：①则A、B、C、D四点共面，所以AB、CD共面，这与AB、CD是异面直线矛盾；②所以假设错误，即直线AC、BD也是异面直线；③假设直线AC、BD是共面直线．则正确的序号顺序为( )A．①②③B．③①②C．①③②D．②③①解析：结合反证法的证明步骤可知，其正确步骤为③①②.答案：B5．设实数a、b、c满足a＋b＋c＝1，则a、b、c中至少有一个数不小于( )A．0 B.13C.12D．1解析：假设a、b、c都小于13，则a＋b＋c＜1，与a＋b＋c＝1矛盾．选项B正确．答案：B二、填空题6．有下列叙述：①“a＞b”的反面是“a＜b”；②“x＝y”的反面是“x＞y或x ＜y”；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；④“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角”．其中正确的叙述有________(填序号)．解析：“x＝y”的反面是“x≠y”，即是“x＞y或x＜y”，所以②正确；“a＞b”的反面是“a≤b”；“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心不在三角形外”；“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形至少有两个钝角”．所以这三个都错．答案：②7．用反证法证明命题“若实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a、b、c中至少有一个是偶数”时，应假设______________．解析：“a、b、c中至少有一个是偶数”的反面是“a、b、c都不是偶数”，故应假设a、b、c都不是偶数．答案：a 、b 、c 都不是偶数8．已知数列{a n }，{b n }的通项公式分别为a n ＝an ＋2，b n ＝bn ＋1(a ， b 是常数，且a ＞b )，那么这两个数列中序号与数值均对应相同的项有________个．解析：假设存在序号和数值均相等的项，即存在n 使得a n ＝b n ，由题意a >b ，n ∈N *，则恒有an ＞bn ，从而an ＋2＞bn ＋1恒成立，所以不存在n 使a n ＝b n .答案：0三、解答题9．若a 、b 、c 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋π2，b ＝y 2－2z ＋π3， c ＝z 2－2x ＋π6，求证：a 、b 、c 中至少有一个大于0.证明：设a 、b 、c 都不大于0，即a ≤0，b ≤0，c ≤0，所以a ＋b ＋c ≤0.而a ＋b ＋c ＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2－2y ＋π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2－2z ＋π3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z 2－2x ＋π6＝(x 2－2x )＋(y 2－2y )＋(z 2－2z )＋π－3＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋π－3≥π－3＞0.所以a ＋b ＋c ＞0，这与a ＋b ＋c ≤0矛盾，故a 、b 、c 中至少有一个大于0.10．求证：1、3、2不能为同一等差数列的三项．证明：假设1、3、2是数列{a n }(n ∈N *)中某三项，不妨设为a n ＝1，a m ＝3，a p ＝2，(n ，m ，p 互不相等)由等差数列定义可有a m －a n m －n ＝a p －a n p －n，即3－1m －n ＝1p －n ，则3－1＝m －n p －n. 由于m ，n ，p 是互不相等的正整数，所以m －n p －n必为有理数，而3－1是无理数，二者不会相等．所以假设不成立，结论正确．B级能力提升1．设a、b、c都是正数，则三个数a＋1b，b＋1c，c＋1a( )A．都大于2 B．至少有一个大于2 C．至少有一个不小于2 D．至少有一个不大于2解析：假设a＋1b＜2，b＋1c＜2，c＋1a＜2，则a＋1b＋b＋1c＋c＋1a＜6；因为a＋1a≥2，b＋1b≥2，c＋1c≥2，所以a＋1b＋b＋1c＋c＋1a≥6.所以假设错误，选项C正确．答案：C2．若下列两个方程x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是________________．解析：若两方程均无实根，则Δ1＝(a－1)2－4a2＝(3a－1)(－a－1)＜0，解得a＜－1或a＞13 .Δ2＝(2a)2＋8a＝4a(a＋2)＜0，解得－2＜a＜0，所以－2＜a＜－1.所以，若两个方程至少有一个方程有实根，则有a≤－2或a≥－1.答案：{}a|a≤－2或a≥－13．求证：不论x，y取何非零实数，等式1x＋1y＝1x＋y总不成立．证明：假设存在非零实数x，y使得等式1x＋1y＝1x＋y成立．于是有y(x＋y)＋x(x＋y)＝xy，即x2＋y2＋xy＝0，即(x＋y2)2＋34y2＝0.由y≠0，得34y2＞0.又(x＋y2)2≥0，所以(x＋y2)2＋34y2＞0.与x2＋y2＋xy＝0矛盾，故原命题成立．。

2014-2015学年人教a版数学选修2-2第2章《推理与证明》综合检测(含答案)

第二章综合检测时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．观察数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…的特点，按此规律，则第100项为( ) A ．10 B ．14 C ．13 D ．100[答案] B[解析] 设n ∈N *，则数字n 共有n 个，所以n (n ＋1)2≤100即n (n ＋1)≤200，又因为n ∈N *，所以n ＝13，到第13个13时共有13×142＝91项，从第92项开始为14，故第100项为14.2．有一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”，结论显然是错误的，因为( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．不是以上错误[答案] C[解析] 大小前提都正确，其推理形式错误．故应选C.3．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n ＋3)＝(n ＋3)(n ＋4)2(n ∈N *)时，验证n ＝1，左边应取的项是( )A ．1B ．1＋2C ．1＋2＋3D ．1＋2＋3＋4[答案] D[解析] 当n ＝1时，左＝1＋2＋…＋(1＋3)＝1＋2＋3＋4，故应选D. 4．(2012·福建南安高二期末)下列说法正确的是( ) A ．“a <b ”是“am 2<bm 2”的充要条件B ．命题“∀x ∈R ，x 3－x 2－1≤0”的否定是“∃x ∈R ，x 3－x 2－1≤0”C ．“若a 、b 都是奇数，则a ＋b 是偶数”的逆否命题是“若a ＋b 不是偶数，则a 、b 不都是奇数”D ．若p ∧q 为假命题，则p 、q 均为假命题 [答案] C[解析] A 中“a <b ”是“am 2<bm 2”的必要不充分条件，故A 错；B 中“∀x ∈R ，x 3－x 2－1≤0”的否定是“∃x ∈R ，x 3－x 2－1>0”，故B 错；C 正确；D 中p ∧q 为假命题，则p 、q 中至少有一个为假命题，故D 错． 5．(2014·东北三校模拟) 下列代数式(其中k ∈N *)能被9整除的是( ) A ．6＋6·7k B ．2＋7k －1C ．2(2＋7k ＋1)D ．3(2＋7k )[答案] D[解析] 特值法：当k ＝1时，显然只有3(2＋7k )能被9整除，故选D. 证明如下：当k ＝1时，已验证结论成立，假设当k ＝n (n ∈N *)时，命题成立，即3(2＋7n )能被9整除，那么3(2＋7n ＋1)＝21(2＋7n )－36.∵3(2＋7n )能被9整除，36能被9整除， ∴21(2＋7n )－36能被9整除，这就是说，k ＝n ＋1时命题也成立．故命题对任何k ∈N *都成立．6．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则( )A ．f (n )中共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13B ．f (n )中共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14C ．f (n )中共有n 2－n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13D ．f (n )中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14[答案] D[解析] 项数为n 2－(n －1)＝n 2－n ＋1，故应选D. 7．已知a ＋b ＋c ＝0，则ab ＋bc ＋ca 的值( ) A ．大于0 B ．小于0 C ．不小于0 D ．不大于0[答案] D[解析] 解法1：∵a ＋b ＋c ＝0， ∴a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ＝0，∴ab ＋ac ＋bc ＝－a 2＋b 2＋c 22≤0.解法2：令c ＝0，若b ＝0，则ab ＋bc ＋ac ＝0，否则a 、b 异号，∴ab ＋bc ＋ac ＝ab ＜0，排除A 、B 、C ，选D.8．已知c ＞1，a ＝c ＋1－c ，b ＝c －c －1，则正确的结论是( ) A ．a ＞b B ．a ＜bC ．a ＝bD ．a 、b 大小不定[答案] B[解析] a ＝c ＋1－c ＝1c ＋1＋c ，b ＝c －c －1＝1c ＋c －1，因为c ＋1>c >0，c >c －1>0，所以c ＋1＋c >c ＋c －1>0，所以a <b .9．定义一种运算“*”；对于自然数n 满足以下运算性质：( ) (i)1]B.n ＋1 C ．n －1 D ．n 2[答案] A[解析] 令a n ＝n *1，则由(ii)得，a n ＋1＝a n ＋1，由(i)得，a 1＝1，∴{a n }是首项a 1＝1，公差为1的等差数列，∴a n ＝n ，即n *1＝n ，故选A. 10．(2013·济宁梁山一中高二期中)已知函数f (x )满足f (0)＝0，导函数f ′(x )的图象如图所示，则f (x )的图象与x 轴围成的封闭图形的面积为( )A ．13B ．43C ．2D ．83[答案] B[解析] 由f ′(x )的图象知，f ′(x )＝2x ＋2，设f (x )＝x 2＋2x ＋c ，由f (0)＝0知，c ＝0，∴f (x )＝x 2＋2x ，由x 2＋2x ＝0得x ＝0或－2.故所求面积S ＝－⎠⎛0－2(x 2＋2x )dx ＝⎪⎪－(13x 3＋x 2)0－2＝43. 11．已知1＋2×3＋3×32＋4×32＋…＋n ×3n －1＝3n (na －b )＋c 对一切n ∈N *都成立，那么a 、b 、c 的值为( )A ．a ＝12，b ＝c ＝14B ．a ＝b ＝c ＝14C ．a ＝0，b ＝c ＝14D ．不存在这样的a 、b 、c[答案] A[解析] 令n ＝1、2、3，得⎩⎪⎨⎪⎧3(a －b )＋c ＝1，9(2a －b )＋c ＝7，27(3a －b )＋c ＝34.所以a ＝12，b ＝c ＝14.12．设函数f (x )定义如下表，数列{x n }满足x 0＝5，且对任意的自然数均有x n ＋1＝f (x n )，则x 2011＝( )A.1 C ．4 D ．5[答案] C[解析] x 1＝f (x 0)＝f (5)＝2，x 2＝f (2)＝1，x 3＝f (1)＝4，x 4＝f (4)＝5，x 5＝f (5)＝2，…，数列{x n }是周期为4的数列，所以x 2011＝x 3＝4，故应选C.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．在△ABC 中，D 为边BC 的中点，则AD →＝12(AB →＋AC →)．将上述命题类比到四面体中去，得到一个类比命题： _____________________________________________________.[答案] 在四面体A －BCD 中，G 为△BCD 的重心，则AG →＝13(AB →＋AC →＋AD →)14．(2013·安阳中学高二期末)设函数f (x )＝x x ＋2(x >0)，观察：f 1(x )＝f (x )＝xx ＋2，f 2(x )＝f (f 1(x ))＝x 3x ＋4，f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x 7x ＋8，f 4(x )＝f (f 3(x ))＝x15x ＋16，……根据以上事实，由归纳推理可得：当n ∈N *且n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝________.[答案]x(2n－1)x ＋2n[解析] 观察f 1(x )、f 2(x )、f 3(x )、f 4(x )的表达式可见，f n (x )的分子为x ，分母中x 的系数比常数项小1，常数项依次为2,4,8,16……2n .故f n (x )＝x(2n－1)x ＋2n.14．(2014·厦门六中高二期中)在平面上，我们用一直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按如图所标边长，由勾股定理有c 2＝a 2＋b 2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O －LMN ，如果用S 1、S 2、S 3表示三个侧面面积，S 表示截面面积，那么类比得到的结论是________．[答案] S 2＝S 21＋S 22＋S 23[解析] 类比如下：正方形↔正方体；截下直角三角形↔截下三侧面两两垂直的三棱锥；直角三角形斜边平方↔三棱锥底面面积的平方；直角三角形两直角边平方和↔三棱锥三个侧面面积的平方和，结论S 2＝S 21＋S 22＋S 23.证明如下：如图，作OE ⊥平面LMN ，垂足为E ，连接LE 并延长交MN 于F ，∵LO ⊥OM ，LO ⊥ON ，∴LO ⊥平面MON ， ∵MN ⊂平面MON ，∴LO ⊥MN ，∵OE ⊥MN ，∴MN ⊥平面OFL ，∴S △OMN ＝12MN ·OF ，S △MNE ＝12MN ·FE ，S △MNL ＝12MN ·LF ，OF 2＝FE ·FL ，∴S 2△OMN ＝(12MN ·OF )2＝(12MN ·FE )·(12MN ·FL )＝S △MNE ·S △MNL ，同理S 2△OML ＝S △MLE ·S △MNL ，S 2△ONL ＝S △NLE ·S △MNL ，∴S 2△OMN ＋S 2△OML ＋S 2△ONL ＝(S △MNE ＋S △MLE ＋S △NLE )·S △MNL ＝S 2△MNL ，即S 21＋S 22＋S 23＝S 2.16．(2014·洛阳部分重点中学教学检测)观察下列等式：31×2×12＝1－122，31×2×12＋42×3×122＝1－13×22，31×2×12＋42×3×122＋53×4×123＝1－14×23，……，由以上等式推测到一个一般的结论：对于n ∈N *，31×2×12＋42×3×122＋…＋n ＋2n (n ＋1)×12n ＝________. [答案] 1－1(n ＋1)·2n[解析] 由已知中的等式：31×2×12＝1－12231×2×12＋42×3×122＝1－13×22，31×2×12＋42×3×122＋53×4×123＝1－14×23，…，所以对于n ∈N *，31×2×12＋42×3×122＋…＋n ＋2n (n ＋1)×12n ＝1－1(n ＋1)2n.三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)已知：a 、b 、c ∈R ，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：a 2＋b 2＋c 2≥13.[证明] 由a 2＋b 2≥2ab ，及b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca . 三式相加得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .∴3(a 2＋b 2＋c 2)≥(a 2＋b 2＋c 2)＋2(ab ＋bc ＋ca )＝(a ＋b ＋c )2. 由a ＋b ＋c ＝1，得3(a 2＋b 2＋c 2)≥1，即a 2＋b 2＋c 2≥13.18．(本题满分12分)设n ∈N ＋[解析] 记f (n ) 则f (1)＝11－2＝3，f (2)＝1111－22＝1089＝33，f (3)＝111111－222＝110889＝333.猜想f (n )＝333…3n个. [点评] f (n )＝333…3n个可证明如下： ∵111…12n 个＝19(102n －1)，222…2n 个2＝29(10n －1)，令10n ＝x >1，则f (n )＝19(x 2－1)－29(x －1)＝19(x 2－2x ＋1)＝13(x －1)＝13(10n －1)，即f (n )＝33…3n个. 19．(本题满分12分)(2013·华池一中高二期中)在圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)中，AB 为直径，C 为圆上异于A 、B 的任意一点，则有k AC ·k BC ＝－1.你能用类比的方法得出椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)中有什么样的结论？并加以证明．[解析] 类比得到的结论是：在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)中，A 、B 分别是椭圆长轴的左右端点，点C (x ，y )是椭圆上不同于A 、B 的任意一点，则k AC ·k BC ＝－b 2a2证明如下：设A (x 0，y 0)为椭圆上的任意一点，则A 关于中心的对称点B 的坐标为B (－x 0，－y 0)，点P (x ，y )为椭圆上异于A ，B 两点的任意一点，则k AP ·k BP ＝y －y 0x －x 0·y ＋y 0x ＋x 0＝y 2－y 20x 2－x 20.由于A 、B 、P 三点在椭圆上，∴⎩⎨⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，x 20a 2＋y20b 2＝1.两式相减得，x 2－x 20a 2＋y 2－y 20b 2＝0，∴y 2－y 20x 2－x 20＝－b 2a 2，即k AP ·k BP ＝－b 2a 2.故在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)中，长轴两个端点为A 、B 、P 为异于A 、B 的椭圆上的任意一点，则有k AB ·k BP ＝－b 2a2.20．(本题满分12分)已知函数f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a >1)．(1)证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数； (2)用反证法证明方程f (x )＝0没有负数根．[解析] (1)证法1：任取x 1、x 2∈(－1，＋∞)，不妨设x 1<x 2，则x 2－x 1>0，ax 2－x 1>1且ax 1>0，∴ax 2－ax 1＝ax 1(ax 2－x 1－1)>0，又∵x 1＋1>0，x 2＋1>0， ∴x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1＝(x 2－2)(x 1＋1)－(x 1－2)(x 2＋1)(x 1＋1)(x 2＋1) ＝3(x 2－x 1)(x 1＋1)(x 2＋1)>0，于是f (x 2)－f (x 1)＝ax 2－ax 1＋x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1>0，故函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．证法2：f ′(x )＝a x ln a ＋x ＋1－(x －2)(x ＋1)2＝a x ln a ＋3(x ＋1)2 ∵a >1，∴ln a >0，∴a x ln a ＋3(x ＋1)2>0， f ′(x )>0在(－1，＋∞)上恒成立，即f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．(2)解法1：设存在x 0<0(x 0≠－1)满足f (x 0)＝0，则ax 0＝－x 0－2x 0＋1，且0<ax 0<1.∴0<－x 0－2x 0＋1<1，即12<x 0<2，与假设x 0<0矛盾．故方程f (x )＝0没有负数根．解法2：设x 0<0(x 0≠－1)，①若－1<x 0<0，则x 0－2x 0＋1<－2，ax 0<1，∴f (x 0)<－1.②若x 0<－1则x 0－2x 0＋1>0，ax 0>0，∴f (x 0)>0.综上，x <0(x ≠－1)时，f (x )<－1或f (x )>0，即方程f (x )＝0无负数根． 21．(本题满分12分)(2014·哈六中期中)已知函数f (x )＝(x －2)e x －12x 2＋x ＋2.(1)求函数f (x )的单调区间和极值； (2)证明：当x ≥1时，f (x )>16x 3－12x .[解析] (1)f ′(x )＝(x －1)(e x －1)，当x ＜0或x ＞1时，f ′(x )＞0，当0＜x ＜1时，f ′(x )＜0， ∴f (x )在(－∞，0)，(1，＋∞)上单调递增，在(0,1)上单调递减，当x ＝0时，f (x )有极大值f (0)＝0，当x ＝1时，f (x )有极小值f (1)＝52－e.(2)设g (x )＝f (x )－16x 3＋12x ，则g ′(x )＝(x －1)(e x －x 2－32)，令u (x )＝e x －x 2－32，则u ′(x )＝e x －12，当x ≥1时，u ′(x )＝e x －12>0，u (x )在[1，＋∞)上单调递增，u (x )≥u (1)＝e －2>0，所以g ′(x )＝(x －1)(e x －x 2－32)≥0，g (x )＝f (x )－16x 3＋12x 在[1，＋∞)上单调递增．g (x )＝f (x )－16x 3＋12x ≥g (1)＝176－e>0，所以f (x )>16x 3－12x .22．(本题满分14分)设数列a 1，a 2，…a n ，…中的每一项都不为0.证明{a n }为等差数列的充分必要条件是：对任何n ∈N ＋，都有1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝na 1a n ＋1. [分析] 本题考查等差数列、数学归纳法与充要条件等有关知识，考查推理论证、运算求解能力．解题思路是利用裂项求和法证必要性，再用数学归纳法或综合法证明充分性． [证明] 先证必要性．设数列{a n }的公差为d .若d ＝0，则所述等式显然成立．若d ≠0，则1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 1a 1a 2＋a 3－a 2a 2a 3＋…＋a n ＋1－a n a n a n ＋1 ＝1d ⎝⎛⎭⎫⎝⎛⎭⎫1a 1－1a 2＋⎝⎛⎭⎫1a 2－1a 3＋…＋⎝⎛⎭⎫1a n －1a n ＋1 ＝1d ⎝⎛⎭⎫1a 1－1a n ＋1＝1d a n ＋1－a 1a 1a n ＋1＝n a 1a n ＋1. 再证充分性．证法1：(数学归纳法)设所述的等式对一切n ∈N ＋都成立．首先，在等式1a 1a 2＋1a 2a 3＝2a 1a 3两端同乘a 1a 2a 3，即得a 1＋a 3＝2a 2，所以a 1，a 2，a 3成等差数列，记公差为d ，则a 2＝a 1＋d .假设a k ＝a 1＋(k －1)d ，当n ＝k ＋1时，观察如下两个等式 1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a k －1a k ＝k －1a 1a k， ① 1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a k －1a k ＋1a k a k ＋1＝ka 1a k ＋1②将①代入②，得k －1a 1a k ＋1a k a k ＋1＝k a 1a k ＋1，在该式两端同乘a 1a k a k ＋1，得(k －1)a k ＋1＋a 1＝ka k . 将a k ＝a 1＋(k －1)d 代入其中，整理后，得a k ＋1＝a 1＋kd .由数学归纳法原理知，对一切n ∈N ，都有a n ＝a 1＋(n －1)d ，所以{a n }是公差为d 的等差数列．证法2：(直接证法)依题意有 1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝n a 1a n ＋1，① 1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＋1a n ＋1a n ＋2＝n ＋1a 1a n ＋2. ②②－①得1a n ＋1a n ＋2＝n ＋1a 1a n ＋2－n a 1a n ＋1，在上式两端同乘a 1a n ＋1a n ＋2，得a 1＝(n ＋1)a n ＋1－na n ＋2. ③ 同理可得a 1＝na n －(n －1)a n ＋1(n ≥2)④③－④得2na n ＋1＝n (a n ＋2＋a n ) 即a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，由证法1知a 3－a 2＝a 2－a 1，故上式对任意n ∈N *均成立．所以{a n }是等差数列．1．已知数列2，5，22，11，…，则25是这个数列的( ) A ．第6项 B ．第7项 C ．第19项 D ．第11项[答案] B [解析]2，5，8，11，…，而25＝20，可见各根号内被开方数构成首项为2，公差为3的等差数列，由20＝2＋(n －1)×3得n ＝7.2．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两名是对的，则获奖的歌手是__________________．[答案] 丙[解析] 若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的都是错的，同理可推知乙、丙、丁获奖的情况，最后可知获奖的歌手是丙．3．(1)由“若a 、b 、c ∈R ，则(ab )c ＝a (bc )”类比“若a 、b 、c 为三个向量，则(a ·b )c ＝a (b ·c )”；(2)在数列{a n }中，a 1＝0，a n ＋1＝2a n ＋2，猜想a n ＝2n －2；(3)“在平面内，三角形的两边之和大于第三边”类比“在空间中，四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”；上述三个推理中结论正确的序号为________． [答案] ②③[解析] (a ·b )c ＝a (b ·c )不一定成立，其左边为平行于c 的向量，右边为平行于a 的向量，即命题(1)不正确；由a 1＝0，a n ＋1＝2a n ＋2可得a n ＋1＋2＝2(a n ＋2)，则数列{a n ＋2}是首项为2，公比为2的等比数列，a n ＋2＝2n ，即a n ＝2n －2，命题(2)正确；(3)正确，可结合三个侧面在底面上的射影去证明；综上可得正确的结论为(2)(3)．4．若x >0，y >0，用分析法证明：(x 2＋y 2)12>(x 3＋y 3)13.[证明] 要证(x 2＋y 2)12>(x 3＋y 3)13，只需证(x 2＋y 2)3>(x 3＋y 3)2，即证x 6＋3x 4y 2＋3x 2y 4＋y 6>x 6＋2x 3y 3＋y 6，即证3x 4y 2＋3y 4x 2>2x 3y 3. 又因为x >0，y >0，所以x 2y 2>0，故只需证3x 2＋3y 2>2xy .而3x 2＋3y 2>x 2＋y 2≥2xy 成立，所以(x 2＋y 2)12>(x 3＋y 3)13成立． 5．已知a 是正整数，且a 3是偶数，求证：a 也是偶数．[分析] 已知a 3的奇偶性研究a 的奇偶性，不易直接证明，但如果已知a 的奇偶性研究a 3的奇偶性则较容易证明，故可用反证法．[证明] 假设a 不是偶数，则a 必为奇数，设a ＝2k ＋1(k ∈N )，则a 3＝(2k ＋1)3＝8k 3＋12k 2＋6k ＋1＝2(4k 3＋6k 2＋3k )＋1，由于k ∈N ，所以4k 2＋6k 2＋3k ∈N ，故2(4k 3＋6k 2＋3k )是偶数，2(4k 3＋6k 2＋3k )＋1为奇数，即a 3为奇数，这与a 3是偶数相矛盾．故假设不正确，即a 也是偶数．6．我们知道，在△ABC 中，若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是直角三角形．现在请你研究：若c n ＝a n ＋b n (n ＞2)，问△ABC 为何种三角形？为什么？[解析] 锐角三角形 ∵c n ＝a n ＋b n (n ＞2)，∴c ＞a, c ＞b ，由c 是△ABC 的最大边，所以要证△ABC 是锐角三角形，只需证角C 为锐角，即证cos C ＞0.∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab， ∴要证cos C ＞0，只要证a 2＋b 2＞c 2，① 注意到条件：a n ＋b n ＝c n ，于是将①等价变形为：(a 2＋b 2)c n －2＞c n . ② ∵c ＞a ，c ＞b ，n ＞2，∴c n －2＞a n －2，c n －2＞b n －2，即c n －2－a n －2＞0，c n －2－b n －2＞0，从而(a 2＋b 2)c n －2－c n ＝(a 2＋b 2)c n －2－a n －b n ＝a 2(c n －2－a n －2)＋b 2(c n －2－b n －2)＞0，这说明②式成立，从而①式也成立．故cos C ＞0，C 是锐角，△ABC 为锐角三角形．。

人教A选修2-211-12学年高二数学：第二章推理与证明章末归纳总结课件(人教A版选修2-2)

1 1 由 an＋ <an＋1＋＝c 得 an<α an an 10 当 2<c< 时，an<α≤3 3 10 c> 3 时，α>3，且 1≤an<α， 1 1 于是 α－an＋1＝a α(α－an)≤3(α－an)， n 1 α－an＋1≤3n(α－1) α－1 当 n>log3 时，α－an＋1≤α－3，an＋1≥3. α－3 10 10 因此 c> 3 不合要求，所以 c 的取值范围为2， 3 .
数学归纳法是专门证明与正整数有关的命题的一种方法．它是一种完全归纳法，它的证明共分两步，其中第一步是命题成立的基础，称为 “归纳基础”(或称特殊性)．第二步解决的是延续性(又称传递性)问题．运用数学归纳法证明有关命题要注意以下几点： 1．两个步骤缺一不可． 2．第二步中，证明“当n＝k＋1时结论正确”的过程里，必须利用“归纳假设”即必须用上 “当n＝k时结论正确”这一结论．
－
4 的等比数列，
4n 1 1 2 1 n－1 bn＋3＝－3×4 ，即 bn＝－ 3 －3.
(2)a1＝1，a2＝c－1，由 a2>a1 得 c>2 用数学归纳法证明：当 c>2 时，an<an＋1 1 ①当 n＝1，a2＝c－a >a1，命题成立； 1 ②设当 n＝k 时，ak<ak＋1，则当 n＝k＋1 时，ak＋2 1 ＝c－ >c－a ＝ak＋1， ak＋1 k 故由①②知当 c>2 时，an<an＋1 c＋ c2－4 当 c>2 时，令 α＝， 2 1
[例 3]
若定义在区间 D 上函数 f(x)对于 D 上的几个
1 值 x1 ， x2 ， „ ， xn 总满足 n [f(x1) ＋ f(x2) ＋ „ ＋

【小初高学习】新版高中数学人教A版选修2-2习题：第二章推理与证明检测B

第二章检测(B)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1下列说法正确的有()①演绎推理是由一般到特殊的推理;②演绎推理得到的结论一定是正确的;③演绎推理的一般模式是“三段论”形式;④演绎推理得到的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关.A.1个B.2个C.3个D.4个解析演绎推理只有大前提、小前提和推理形式都正确才能保证结论正确,故②错误,其他都正确.故选C.答案C2有一段演绎推理是这样的:“若直线平行于平面,则该直线平行于平面内所有直线;已知直线b⊄平面α,a⊂平面α,直线b∥平面α,则直线b∥直线a”,这显然是错误的,这是因为()A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误解析“直线平行于平面,则该直线平行于平面内所有直线”是错误的,即大前提是错误的.故选A.答案A3(1)已知p3+q3=2,求证:p+q≤2.用反证法证明此命题时可假设p+q≥2;(2)已知a,b∈R,|a|+|b|<1,求证:关于x的方程x2+ax+b=0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明此命题时可假设方程至少有一根的绝对值大于或等于1.以下结论正确的是()A.(1)与(2)的假设都错误B.(1)与(2)的假设都正确C.(1)的假设正确,(2)的假设错误D.(1)的假设错误,(2)的假设正确解析反证法证明问题的第一步是“假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立”,而命题(1)结论的反面应为“p+q>2”;对命题(2),其结论的反面为“方程x2+ax+b=0的两根的绝对值至少有一个大于或等于1”.故选D.答案D4如图,4个小动物换座位,开始时鼠、猴、兔、猫分别坐1,2,3,4号座位,如果第1次前后排动物互换座位,第2次左右列动物互换座位,第3次前后排动物互换座位,第4次左右列动物互换座位,……这样交替进行下去,那么第2 017次互换座位后,小兔所坐的座位号为()A.1B.2C.3D.4解析由题意得第4次互换座位后,4个小动物又回到了原座位,即每经过4次互换座位后,小动物回到原座位,而2 017=4×504+1,所以第2 017次互换座位后结果与第1次互换座位结果相同,故小兔坐在1号座位上,故选A.答案A5若f0(x)=sin x,f1(x)=f0'(x),f2(x)=f1'(x),…,f n+1(x)=f n'(x),n∈N*,则f2 017(x)等于()A.sin xB.-sin xC.cos xD.-cos x解析由题意可知,函数f n(x)的表达式是呈周期性变化的,周期为4,而2 017=4×504+1, 故f2 017(x)=f1(x)=cos x,故选C.答案C6观察式子:1+,1+,1+,……,则可归纳出一般式子为()A.1++…+(n≥2,n∈N)B.1++…+(n≥2,n∈N)C.1++…+(n≥2,n∈N)D.1++…+(n≥2,n∈N)答案C7已知a,b为两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,则下列四个命题中正确的是()A.若a,b与α所成的角相等,则a∥bB.若a∥α,b∥β,α∥β,则a∥bC.若a⊂α,b⊂β,a∥b,则α∥βD.若a⊥α,b⊥β,α⊥β,则a⊥b解析对于选项A,直线a,b有可能相交或异面;对于选项B,直线a,b有可能相交或异面;对于选项C,平面α,β有可能相交;对于选项D,若a⊥α,b⊥β,当a⊂β时,有b⊥a,当a⊄β时,因为α⊥β,所以a∥β,所以b⊥a,故选D.答案D8对于奇数列1,3,5,7,9,…,现在进行如下分组:第一组有1个数{1},第二组有2个数{3,5},第三组有3个数{7,9,11},……,则每组内奇数之和S n与其所在组的编号数n的关系是()A.S n=n2B.S n=n3C.S n=n4D.S n=n(n+1)解析当n=1时,S1=1;当n=2时,S2=8=23;当n=3时,S3=27=33;故归纳猜想S n=n3,故选B.答案B9古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数,比如:①②他们研究过图①中的1,3,6,10,…,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数;类似地,称图②中的1,4,9,16,…这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数,又是正方形数的是()A.289B.1 024C.1 225D.1 378解析根据图形的规律可知,第n个三角形数为a n=,第n个正方形数为b n=n2,由此可排除选项D(1 378不是平方数),将选项A,B,C中的数代入到三角形数与正方形数表达式中检验可知,符合题意的是选项C,故选C.答案C10六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体.如图①所示,在平行四边形ABCD中,有AC2+BD2=2(AB2+AD2),在如图②所示的平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,A+B+C+D等于()A.2(AB2+AD2+A)B.3(AB2+AD2+A)C.4(AB2+AD2+A)D.4(AB2+AD2)解析如图,连接A1C1,AC,则四边形AA1C1C是平行四边形,故A1C2+A=2(A+AC2).连接BD,B1D1,则四边形BB1D1D是平行四边形,∴B+D=2(B+BD2).又在▱ABCD中,AC2+BD2=2(AB2+AD2).∵A=B,∴A+B+C+D=2(A+AC2)+2(B+BD2)=2(AC2+BD2+B+A)=2[2(AB2+AD2)+2A]=4(A B2+AD2+A).故选C.答案C二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11用三段论证明f(x)=x3+sin x(x∈R)为奇函数的步骤为.答案对定义域内的任意x,若满足f(-x)=-f(x),则函数f(x)为奇函数, 大前提因为x∈R,则-x∈R,f(-x)=(-x)3+sin(-x)=-x3-sin x=-f(x), 小前提所以函数f(x)=x3+sin x(x∈R)为奇函数.结论12观察分析下表中的数据:猜想一般凸多面体中F,V,E所满足的等式是.解析因为5+6-9=2,6+6-10=2,6+8-12=2,故可猜想F+V-E=2.答案F+V-E=213为了保证信息安全传输必须使用加密方式,有一种方式其加密、解密的原理如下:明文密文密文明文已知加密为y=a x-2(x为明文,y为密文),明文“3”通过加密后得到的密文为“6”,再发送,接收方通过解密得到明文“3”,若接收方收到的密文为“14”,则原发送的明文为.解析由题意知,当x=3时,函数y=a x-2的函数值为6,即6=a3-2,∴a3=8,∴a=2.∴y=2x-2.则当y=14时,有14=2x-2,∴2x=16.∴x=4,故原发送的明文为4.答案414观察图象,第行的各数之和等于2 0172.解析观察知,题图中的第n行的各数构成一个首项为n,公差为1,共(2n-1)项的等差数列,其各项和为:S n=(2n-1)n+=(2n-1)n+(2n-1)(n-1)=(2n-1)2.令(2n-1)2=2 0172,得2n-1=2 017,∴n=1 009.答案1 00915蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师,单个蜂巢可以近似地看做是一个正六边形,如图为一组蜂巢的截面图.其中第一个图有1个蜂巢,第二个图有7个蜂巢,第三个图有19个蜂巢,按此规律,以f(n)表示第n个图的蜂巢总数,则用n表示的f(n)=.解析由于f(2)-f(1)=7-1=6,f(3)-f(2)=19-7=2×6,推测当n≥2时,有f(n)-f(n-1)=6(n-1),∴f(n)=[f(n)-f(n-1)]+[f(n-1)-f(n-2)]+[f(n-2)-f(n-3)]+…+[f(2)-f(1)]+f(1)=6[(n-1)+(n-2)+…+2+1]+1=3n2-3n+1.又f(1)=1=3×12-3×1+1,∴f(n)=3n2-3n+1.答案3n2-3n+1三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(8分)实数的乘法与向量的数量积有以下类似的性质:a·b=b·a,a·b=b·a,(a+b)·c=a·c+b·c,(a+b)·c=a·c+b·c.则由①(a·b)·c=a·(b·c),②若a≠0,a·c=a·b,则b=c,猜想对于向量的数量积有什么样的结论,猜想是否正确?解猜想:①(a·b)·c=a·(b·c),②若a≠0,a·c=a·b,则b=c.这两个结论都不正确.①式左边表示与c共线的向量,右边表示与a共线的向量,c与a不一定共线,故等式不一定成立.②设a与c的夹角为α,a与b的夹角为β,由a·c=a·b,得|a||c|cos α=|a||b|cos β,可得|c|cos α=|b|cos β,则c,b在a方向上的投影相等,b,c不一定相等.故等式不一定成立.17(8分)已知△ABC的三边a,b,c的倒数成等差数列,证明角B为锐角.分析在△ABC中,要证角B为锐角,只要证cos B>0,结合余弦定理可解决问题.证明要证明角B为锐角,只需证cos B>0.又因为cos B=,所以只需证明a2+c2-b2>0,即a2+c2>b2.因为a2+c2≥2ac,所以只需证明2ac>b2.由已知,得,即2ac=b(a+c).所以只需证明b(a+c)>b2,即只需证明a+c>b.而已知a,b,c为△ABC的三边,即a+c>b成立,所以角B为锐角.18(9分)设{a n},{b n}是公比不相等的两个等比数列,c n=a n+b n,证明数列{c n}不是等比数列.分析假设数列{c n}是等比数列,利用{a n},{b n}是公比不相等的等比数列的条件推出矛盾,即知假设不成立.证明假设数列{c n}是等比数列,则当n≥2时,(a n+b n)2=(a n-1+b n-1)(a n+1+b n+1).①因为{a n},{b n}是公比不相等的两个等比数列,设公比分别为p,q,所以=a n-1a n+1,=b n-1b n+1.代入①并整理,得2a n b n=a n+1b n-1+a n-1b n+1=a n b n,即2=.②当p,q异号时,<0,与②相矛盾;当p,q同号时,因为p≠q,所以>2,与②相矛盾.故数列{c n}不是等比数列.19(10分)已知椭圆=1(a>b>0)的离心率为,短轴的一个端点为M(0,1),直线l:y=kx-与椭圆相交于不同的两点A,B.(1)若|AB|=,求k的值;(2)求证:不论k取何值,以AB为直径的圆恒过点M.(1)解由题意知,b=1.由a2=b2+c2可得c=b=1,a=,所以椭圆的方程为+y2=1.由消去y得(2k2+1)x2-kx-=0.Δ=k2-4(2k2+1)×=16k2+>0恒成立.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=-.所以|AB|=·|x1-x2|=,化简得23k4-13k2-10=0,即(k2-1)(23k2+10)=0,解得k=±1.(2)证明因为=(x1,y1-1),=(x2,y2-1),所以=x1x2+(y1-1)(y2-1)=(1+k2)x1x2-k(x1+x2)+=-=0.所以不论k取何值,以AB为直径的圆恒过点M.20(10分)已知数列{a n}的各项均为正数,b n=n a n(n∈N*),e为自然对数的底数.(1)求函数f(x)=1+x-e x的单调区间,并比较与e的大小;(2)计算,由此推测计算的公式,并给出证明;(3)令c n=(a1a2…a n,数列{a n},{c n}的前n项和分别记为S n,T n,证明:T n<e S n.解(1)f(x)的定义域为(-∞,+∞),f'(x)=1-e x.当f'(x)>0,即x<0时,f(x)单调递增;当f'(x)<0,即x>0时,f(x)单调递减.故f(x)的单调递增区间为(-∞,0),单调递减区间为(0,+∞).当x>0时,f(x)<f(0)=0,即1+x<e x.令x=,得1+,即<e.①(2)=1·=1+1=2;=2·2=(2+1)2=32;=32·3=(3+1)3=43.由此推测:=(n+1)n.②下面用数学归纳法证明②.(ⅰ)当n=1时,左边=右边=2,②成立.(ⅱ)假设当n=k时,②成立,即=(k+1)k.当n=k+1时,b k+1=(k+1)a k+1,由归纳假设可得=(k+1)k(k+1)=(k+2)k+1.所以当n=k+1时,②也成立.根据(ⅰ)(ⅱ),可知②对一切正整数n都成立.(3)由c n的定义、②、算术-几何平均值不等式、b n的定义及①得T n=c1+c2+c3+…+c n=(a1+(a1a2+(a1a2a3+…+(a1a2…a n=+…+≤+…+=b1+b2+…++…+b n·=b1+b2+…+b n+…+a1+a2+…+a n<e a1+e a2+…+e a n=e S n,即T n<e S n.。

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- 1 - 第二章推理与证明单元质量评估 (120分钟 150分) 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.(2017·郑州高二检测)下列表述正确的是 ( ) ①归纳推理是由部分到整体的推理;②归纳推理是由一般到一般的推理;③演绎推理是由一般到特殊的推理;④类比推理是由特殊到一般的推理;⑤类比推理是由特殊到特殊的推理. A.①②③ B.②③④ C.②④⑤ D.①③⑤ 【解析】选D.归纳推理由部分到整体,特殊到一般,演绎推理由一般到特殊,类比推理由特殊到特殊,故①③⑤正确. 2.(2017·石家庄高二检测)下列推理是归纳推理的是 ( ) A.A,B为定点,动点P满足|PA|+|PB|=2a>|AB|,得P的轨迹为椭圆 B.由a1=1,an=3n-1,求出S1,S2,S3,猜想出数列的前n项和Sn的表达式

C.由圆x2+y2=r2的面积πr2,猜出椭圆+=1的面积S=πab D.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇【解析】选B.从S1,S2,S3猜想出数列的前n项和Sn,是从特殊到一般的推理,所以B是归纳推理. 3.已知a

A.a2C.a<4-b D.< 【解析】选C.令a=-2,b=-1,满足ab2,=2>1,>,故A,B,D都不成立. 4.已知c>1,a=-,b=-,则正确的结论是 ( ) A.a>b B.aC.a=b D.a,b大小关系不定 - 2 -

【解析】选B.因为a=,b=,所以a5.(2017·平顶山高二检测)有一段演绎推理是这样的:“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线;已知直线b⊄平面α,直线a⊂平面α,直线b∥平面α,则直线b∥直线a”的结论显然是错误的,这是因为 ( ) A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误【解析】选A.推理过程中,“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线”是错误的. 6.(2017·太原高二检测)我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量,在平面直角坐标系中,利用求动点轨迹方程的方法,可以求出过点A(-3,4),且法向量为n=(1,-2)的直线(点法式)方程为:1×(x+3)+(-2)×(y-4)=0,化简得x-2y+11=0.类比以上方法,在空间直角坐标系中,经过点A(1,2,3),且法向量为m=(-1,-2,1)的平面的方程为( ) A.x+2y-z-2=0 B.x-2y-z-2=0 C.x+2y+z-2=0 D.x+2y+z+2=0 【解析】选A.类比直线方程求法得平面方程为(-1)×(x-1)+(-2)×(y-2)+1×(z-3)=0,即x+2y-z-2=0. 【补偿训练】在平面直角坐标系xOy中,二元一次方程Ax+By=0(A,B不为0)表示过原点的直线.类似地:在空间直角坐标系Oxyz中,三元一次方程Ax+By+Cz=0(A,B,C不为0)表示________. 【解析】Ax+By=0表示一条直线. Ax+By+C=0中的C=0说明截距为0,即当y=0时,解得x=0, 所以当然过原点. 同理,Ax+By+Cz=0,当z=0时,Ax+By=0, 它是平面xOy中的一条过原点的直线, 所以Ax+By+Cz=0是过原点的一个平面. 答案:过原点的平面

7.已知f(x+1)=,f(1)=1(x∈N*),猜想f(x)的表达式为 ( ) A.f(x)= B.f(x)= C.f(x)= D.f(x)= - 3 -

【解析】选B.由已知得,f(2)==, f(3)===,f(4)==, 因而,猜想f(x)=. 8.分析法又叫执果索因法,若使用分析法证明:“设a>b>c,且a+b+c=0,求证:索因应是 ( ) A.a-b>0 B.a-c>0 C.(a-b)(a-c)>0 D.(a-b)(a-c)<0 【解析】选A.因为a>b>c,且a+b+c=0, 所以3c0,c<0.

要证只需证b2-ac<3a2, 只需证(-a-c)2-ac<3a2, 只需证2a2-ac-c2>0,只需证(a-c)·(2a+c)>0, 只需证2a+c>0(a>0,c<0,则a-c>0), 只需证a+c+(-b-c)>0, 即证a-b>0,这显然成立. 【补偿训练】已知f(x)=x3+x,a,b,c∈R,且a+b>0,a+c>0,b+c>0,则f(a)+f(b)+f(c)的值 ( ) A.一定大于零 B.一定等于零 C.一定小于零 D.正负都有可能【解析】选A.f(x)=x3+x是奇函数,且在R上是增函数, 由a+b>0得a>-b, 所以f(a)>f(-b),即f(a)+f(b)>0, 同理f(a)+f(c)>0,f(b)+f(c)>0, 所以f(a)+f(b)+f(c)>0. 9.数列{an}中,a1=1,Sn表示前n项和,且Sn,Sn+1,2S1成等差数列,通过计算S1,S2,S3,猜想当n≥1时,Sn= ( ) - 4 -

A. B. C. D.1- 【解析】选B.由题意知,2Sn+1=2S1+Sn,则

S1=1,S2=,S3=,则Sn=. 10.(2017·武汉高二检测)已知a>0,b>0,a,b的等差中项为,且m=a+,n=b+,则m+n的最小值为 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6

【解析】选C.由已知,得a+b=1,m+n=a++b+=1++=1++=3++≥3+2=5. 11.(2017·枣庄高二检测)将正奇数按如图所示的规律排列,则第21行从左向右的第5个数为 ( )

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 … A.809 B.853 C.785 D.893 【解析】选A.前20行共有正奇数1+3+5+…+39=202=400个, 则第21行从左向右的第5个数是第405个正奇数, 所以这个数是2×405-1=809. 12.在等差数列{an}中,若an>0,公差d>0,则有a4·a6>a3·a7,类比上述性质,在等比数列{bn}中,若bn>0,公比q>1,则b4,b5,b7,b8的一个不等关系是( ) A.b4+b8>b5+b7 B.b4+b8C.b4+b7>b5+b8 D.b4+b7【解析】选A.在等差数列{an}中,由于4+6=3+7时有a4·a6>a3·a7,所以在等比数列{bn}中,由于4+8=5+7,所以应有b4+b8>b5+b7或b4+b8因为b4=b1q3,b5=b1q4,b7=b1q6,b8=b1q7, - 5 -

所以(b4+b8)-(b5+b7) =(b1q3+b1q7)-(b1q4+b1q6) =b1q6·(q-1)-b1q3(q-1)=(b1q6-b1q3)(q-1) =b1q3(q3-1)(q-1). 因为q>1,bn>0,所以b4+b8>b5+b7. 【补偿训练】(2017·西安高二检测)设f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(a,b,c是两两不等的常数),则

++的值是____________. 【解题指南】利用导数的运算法则分别计算f′(a),f′(b),f′(c),再代入式子++计算. 【解析】f′(x)=(x-b)(x-c)+(x-a)(x-c)+(x-a)(x-b),f′(a)=(a-b)(a-c), f′(b)=(b-a)(b-c),f′(c)=(c-a)(c-b),

++ =++ ==0. 答案:0 二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上) 13.(2017·沈阳高二检测)一同学在电脑中打出如下若干个圈:

若将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前120个圈中的的个数是________. 【解析】将圆分组: 第一组○●,2个第二组○○●,3个第三组○○○●,4个所以每组图总个数构成一个等差数列,前n组圆的总个数为Sn=2+3+4+… - 6 -

+(n+1)=·n=. 令Sn=120,得n≈14.1.

即包含了14整组. 答案:14 14.(2017·济南高二检测)从1=1,1-4=-(1+2),1-4+9=1+2+3,1-4+9-16= -(1+2+3+4),…,推广到第n个等式为________. 【解析】因为1=1=(-1)1+1·1, 1-4=-(1+2)=(-1)2+1·(1+2), 1-4+9=1+2+3=(-1)3+1·(1+2+3), 1-4+9-16=-(1+2+3+4)=(-1)4+1·(1+2+3+4), 所以1-4+9-16+…+(-1)n+1·n2=(-1)n+1·(1+2+…+n). 答案:1-4+9-16+…+(-1)n+1·n2=(-1)n+1(1+2+…+n) 15.(2017·北京高考)某学习小组由学生和教师组成,人员构成同时满足以下三个条件: (i)男学生人数多于女学生人数; (ii)女学生人数多于教师人数; (iii)教师人数的两倍多于男学生人数. ①若教师人数为4,则女学生人数的最大值为________; ②该小组人数的最小值为________. 【解析】设男学生人数、女学生人数、教师人数分别为a,b,c,则有2c>a>b>c,且a,b,c∈Z. ①当c=4时,b的最大值为6;②当c=3时,a的值为5,b的值为4,此时该小组人数的最小值为12. 答案:①6 ②12

16.(2017·泸州高二检测)对于命题“如果O是线段AB上一点,则||·+||·=0”将它类比到平面的情形是:若O是△ABC内一点,有

S△OBC·+S△OCA·+S△OBA·=0,将它类比到空间的情形应为:若O是四面体ABCD内一点,则有________. 【解析】根据类比的特点和规律,所得结论形式上一致,由线段类比平面,平面类比到空间,由线段长类比为

三角形面积,再类比成四面体的体积,故可以类比为VO-BCD·+VO-ACD·+VO-ABD·+VO-ABC·=0. 答案:VO-BCD·+VO-ACD·+VO-ABD·+VO-ABC·=0 【补偿训练】现有一个关于平面图形的命题:如图所示,同一个平面内有两个边长都是a的正方形,其中一