如果两条直线平行[下学期]--北师大版
新北师大版七年级数学下册第二章《 探索直线平行的条件(第1课时)》公开课课件
5.如图所示,已知直线EF和AB,CD分别 相交于K,H,且EG⊥AB,∠CHF=60°, ∠E=30°,试说明AB∥CD. 【解析】因为EG⊥AB ,∠E=30°, 所以∠EKG=180°-90°-∠E=60°, 所以∠AKF=∠EKG=60°=∠CHF, 所以AB∥CD.
分
特别提醒：∠3与∠DBE
(1)与AB相交所成的同位角为 不是(2)中的同位角.
∠1与∠DBC，………………3分
(2)与BE相交所成的角中没有同位角，……………………5分
(3)与AC相交所成的同位角为∠3与∠C……………………7分
【规律总结】 判断两个角是否为同位角的三个诀窍
1.若两个角的两边都不在同一条直线上，则这样的角不是同位角. 2.若两个角各有一边在同一条直线上，这条直线叫截线，这两个 角的另一边为被截直线，若两个角都在截线的同旁，被截直线 的同一侧，则这两个角为同位角，否则不是. 3.为同位角关系的两角的两边组成的图形，如字母“F”.
(C)12对
(D)16对
【解析】选C.每两条直线被第三条直线所截都有4对同位角，所
以共有12对.
3.如图，∠B与∠________是直线________ 和直线________被直线________所截得到的 同位角. 【解析】∠B应与∠FAC是同位角，是直线BC和AC被直线BF所 截得的同位角. 答案：FAC BC AC BF
3.在同一平面内,直线a,b相交于P,若a∥c,则b与c的位置关系 是________. 【解析】因为直线a,b相交于P，a∥c即直线a是过点P平行于c 的直线，由过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 可知，过点P的直线b与直线c相交. 答案：相交
4.如图所示,BE是AB的延长线,量 得∠CBE=∠A，由∠CBE=∠A可以 判断________∥________, 根据 是__________________. 【解析】因为∠CBE=∠A，且∠CBE与∠A是直线AD，BC被直 线AE所截形成的同位角,所以AD∥BC. 答案：AD BC 同位角相等，两直线平行
角、相交线和平行线[下学期]--北师大版(201909)
![角、相交线和平行线[下学期]--北师大版(201909)](https://img.taocdn.com/s3/m/2bb3913058fafab068dc020e.png)
诸曹吏听分番假 白虎见历阳龙亢县新昌村 督众军事 万物出乎《震》 申明织成 镇军 无所不至 世隆以门祸获申 名参佐命 因失道人所在 八座丞郎 文物卫从 和帝王皇后名蕣华 承闲奏曲 尚不可精 年二十一 见擢宋朝 行释菜礼 始得开颜 转太祖平南府 是时西斋既火 给皂轮车 乘舆拜陵所服 不
计曰 给事中 时虏寇雍州 小褚公 奉公忘私之日 颇读书史 不得意 则听纳靡依 从之 太祖欲渡广陵 嶷身长七尺八寸 乃是武进县上所居东城里也 杨瑑之 虏围司州 京师十围树及官府居民屋皆拔倒 安国抄断贼粮道 免官 并蒙赐故板 黑耳皂盖马车 又张雍州启事 建元初 兵至见害 建元元年九月 夫
人 转黄门郎 晋穆帝令翼写题后答 冀此不复虚身 遐迩侧视 锋镝初交 进位太尉 督徐州诸军事 进号安西将军 值先帝宥其回溪之耻 盖情等家国 望旗宵遁 僧静面启上曰 望板厢上金薄帖 并不许 委诸庙胜 此又经典明文 阮佃夫等欲加罪 浓湖土崩 破其巢窟 世祖即位 敕改之 建元中 彰暴物听 同辇
线段、射线、直线相关知识及应用
题1.(2003青岛)有三个点A、B、C过其中每两个点 画直线,可以画出( C )条直线. A.1 B.2 C.1或3 D.无法确定
A BC
A
M CNB
A
B
C
题2.如图,点C在线段AB上,线段AC=6,BC=4,点M、N 分别是AC、BC的中点，(1)则线段MN= _5_______
众应之 永明二年十一月己亥 礼遇甚重 送首京师 然名器方显 百姓纵观 痛悼于怀 入为都督扬南徐二州诸军事 仍续十声而止 元徽四年 三年 拜驸马都尉 始闻雷鸣于西北上 器械金宝 如客至之有设也 鉴献龙角一枚 是还家耳 为黄门郎 易运 须臾成立 督青冀二州东徐之东莞琅邪二郡朐山戍北徐之
东海涟口戍诸军事 更定樢格 为吴兴郡 改以珊瑚珠 根性浮险 李美人生南平王锐 历代镇府 去地一丈 履霜于开运之辰 内侍枢近 冀二州 童谣曰 谘议中郎 宫禁贬约 〕镂钖 建元元年 朱轓 宋帝诏封映及弟晃 咸有风则 王广之吕安国 云足下潜构深略 元熙二年 无意阶荣 梁 暴参夷之刑 恭儿本名
北师大版七下数学2.1.2两条直线的位置关系教学设计
北师大版七下数学2.1.2两条直线的位置关系教学设计一. 教材分析北师大版七下数学2.1.2两条直线的位置关系是学生在学习了直线、射线、线段的基础知识后，进一步研究两条直线的位置关系。
这部分内容主要让学生掌握两条直线平行和相交的概念，以及判断两条直线位置关系的方法。
教材通过实例和探究活动，引导学生发现两条直线的位置关系，培养学生的观察能力、操作能力和推理能力。
二. 学情分析七年级的学生已经掌握了直线、射线、线段的基本概念，对图形有了一定的认识。
但是，对于两条直线的位置关系，学生可能还比较陌生，需要通过实例和操作活动来进一步理解和掌握。
此外，学生可能对一些专业术语如“平行”、“相交”等概念理解不深，需要教师在教学中进行讲解和引导。
三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握两条直线平行和相交的概念，学会判断两条直线位置关系的方法。
2.过程与方法目标：通过实例和探究活动，培养学生的观察能力、操作能力和推理能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队协作能力和自主学习能力。
四. 教学重难点1.教学重点：两条直线平行和相交的概念，判断两条直线位置关系的方法。
2.教学难点：对专业术语的理解和运用，以及对两条直线位置关系的推理和判断。
五. 教学方法1.情境教学法：通过实例和探究活动，引导学生发现两条直线的位置关系。
2.合作学习法：分组进行探究活动，培养学生的团队协作能力。
3.引导发现法：教师引导学生发现问题，激发学生的思维。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示直线、射线、线段的概念和两条直线的位置关系。
2.教学素材：准备一些直线和平行、相交的图形，用于引导学生观察和操作。
3.教学设备：准备黑板、粉笔、直尺、圆规等教学工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示直线、射线、线段的图片，引导学生回顾这些基本概念。
然后提出问题：“你们认为两条直线会有哪些位置关系？”让学生思考并发表自己的看法。
探索直线平行的条件(第一课时)七年级数学下册课件(北师大版)
B．∠2 + ∠4 = 180°
C．∠3 = ∠4
D．∠1 + ∠4 = 180°
）
【详解】∵ ∠3 = ∠4，∴ ∥ （同位角相等，两直线平行），故选：．
4．如图，已知直线a、b、c，若∠1＝∠2＝60°，且∠2＝∠3，则图中平行线组数为（
A．0
B．1
C．2
D．3
【详解】解：∵∠1＝∠2＝60°，∴a∥b，
∵∠2＝∠3，∴b∥c，∴a∥c，故选：D．
）
课堂练习 （利用同位角判定两条直线平行）
5．如图，下列四个图中∠1 = ∠2，不能判断不能判定//的是（
A．
B．
C．
D．
）
课堂练习 （考查平行公理的推论）
6．如图， ∥ ， ∥ ，则点P，C，Q在一条直线上，理由是（ ）．
A．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
顶角。
对顶角的性质： 对顶角相等。
补角的定义： 如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角(简称互补）。
补角的性质： 同角或等角的补角相等。
余角的定义： 如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角(简称互余）。
余角的性质： 同角或等角的余角相等。
情景导入
如图，装修工人正在向墙上钉木条。如果木条b与墙壁边缘
垂直，那么木条a与墙壁边缘所夹角是多少度时，才能使木条a
与木条b平行？
木条a与墙壁的边缘也垂直时，才能使木条a与木条b平行。
探索与思考
直线AB、CD与EF相交，构成八个角，如图所示，
问题一：八个角中哪些是邻补角、哪些是对顶角？
邻补角：
对顶角：
问题二：观察图中∠1和∠5，它们具有怎么的位置关系？
新北师大版七年级数学下册第二章《 探索直线平行的条件(一)》公开课课件
A C1
2 BA
3
2 B
4
D
C1 3
D
∵∠1=∠2（已知） ∠1=∠3（对顶角相等）
∴∠2=∠3（等量代换） ∴AB//CD（同位角相等，两直线平行）
过已知直线外一点画它的平行线 理由：同位角相等，两直线平行.
一、放 二、靠 三、推 四、画
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
同位角在被截直线的同一侧，在截线的同一方
∠1和∠2是同位角的是:
zx````xk
2
1
2 1
2 1
1 2
②直线 a∥b
判定两条直线平行的方法： 同位角相等，两直线平行(书上有完整表述) 几何语言：
∵∠1=∠2 ∴a//b (同位角相等，两直线平行)
如图：∠1=∠2=55°，直线AB与
D
F
1、过C和D画AB的平行线
2、平行于同一条直线的两条直线平行
几何语言：
∵CE//AB,DF//AB
∴CE//DF(平行于同一条直线的两条直线平行)
本节课主要内容： z```xxk
1、三线八角（同位角） 2、同位角相等，两直线平行 3、过直线外一点，画已知直线的平行线 4、平行于同一直线的两条直线平行
当∠1＞∠2时 当∠1＝∠2时 当∠1＜∠2时
①直线a和b不平行 ②直线 a∥b ③直线a和b不平行
认识“三线八角”
两条直线被第三条直线所截，形成“三线八角”
具有∠1与∠2这样位置关系的角称为同位角
l
C
31
75
∠1和∠2是同位角 D ∠3和∠4是同位角
A 42 86
B ∠5和∠6是同位角 ∠7和∠8是同位角
专题2.3 平行线的性质-重难点题型(举一反三)(北师大版)(解析版)
专题2.3 平行线的性质-重难点题型【北师大版】【题型1 两直线平行同位角相等】【例1】（2021春•环江县期末）如图，a∥b，∠1＝60°，则∠2的大小是（ ）A．60°B．80°C．100°D．120°【解题思路】根据同位角相等，两直线平行即可求解．【解答过程】解：如图：因为a∥b，∠1＝60°，所以∠3＝∠1＝60°．因为∠2+∠3＝180°，所以∠2＝180°﹣60°＝120°．故选：D．【变式1-1】（2021秋•长沙期中）如图，点D，E分别在∠ABC的边BA，BC上，DE⊥AB，过BA上的点F（位于点D上方）作FG∥BC，若∠AFG＝42°，则∠DEB的度数为（ ）A．42°B．48°C．52°D．58°【解题思路】根据FG∥BC，得∠DBE＝∠AFG＝42°，由DE⊥AB，得∠BDE＝90°，由∠DEB＝180°﹣∠DBE﹣∠BDE即可解答．【解答过程】解：∵FG∥BC，∠AFG＝42°，∴∠DBE＝∠AFG＝42°，∵DE⊥AB，∴∠BDE＝90°，∴∠DEB＝180°﹣∠DBE﹣∠BDE＝180°﹣42°﹣90°＝48°．故选：B．【变式1-2】（2021春•萝北县期末）如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1＝65°，那么∠2的度数为（ ）A．15度B．30度C．25度D．65度【解题思路】利用平行线的性质可得∠3的度数，再利用平角定义可得∠2的度数．【解答过程】解：∵a∥b，∴∠1＝∠3＝65°，∵∠4＝90°，∴∠2＝180°﹣90°﹣65°＝25°，故选：C．【变式1-3】（2021•临沭县模拟）如图，已知AB∥CD，∠A＝56°，∠E＝18°，则∠C的度数是（ ）A．32°B．34°C．36°D．38°【解题思路】设AE与CD交于点O，由AB∥CD，利用“两直线平行，同位角相等”可得出∠DOE的度数，再利用三角形内角和，即可求出∠C的度数．【解答过程】解：设AE与CD交于点O，如图所示：∵AB∥CD，∠A＝56°，∴∠DOE＝∠A＝56°．∵∠DOE＝∠C+∠E，∠E＝18°，∴∠C＝∠DOE﹣∠E＝56°﹣18°＝38°．故选：D．【题型2 两直线平行内错角相等】【例2】（2021春•宁阳县期末）如图，CD是∠ACB的平分线，∠ACB＝82°，∠B＝48°，DE∥BC．求∠EDC和∠BDC的度数．【解题思路】由平分线的性质可得∠BCD的大小，又由平行线及三角形内角和定理可得∠EDC和∠BDC 的大小．【解答过程】解：∵CD是∠ACB的平分线，∠ACB＝82°，∴∠DCB＝∠ACD＝41°，又∵DE∥BC，∴∠EDC＝∠DCB＝41°，在△BCD中，∵∠B＝48°，∠DCB＝41°，∴∠BDC＝180°﹣48°﹣41°＝91°．∴∠EDC和∠BDC的度数分别为41°、91°．【变式2-1】（2021春•沂水县期末）如图，AB∥CD，BD⊥CF，垂足为B，∠ABF＝35°，则∠BDC的度数为（ ）A．25°B．35°C．45°D．55°【解题思路】根据BD⊥CF，得到∠DBA＝90°﹣∠ABF＝55°，根据AB∥CD，即可得∠BDC的度数．【解答过程】解：∵BD⊥CF，∴∠DBF＝90°，∵∠ABF＝35°，∴∠DBA＝90°﹣∠ABF＝55°，∵AB∥CD，∴∠BDC＝∠DBA＝55°．故选：D．【变式2-2】（2021秋•凤山县期中）如图，若要使l1与l2平行，则l1绕点O至少旋转的度数是（ ）A．38°B．42°C．80°D．138°【解题思路】根据平行线的性质，可以得到若要使l1与l2平行，则∠1和∠2相等，再根据∠2的度数和图形中原来∠1的度数，从而可以得到若要使l1与l2平行，则l1绕点O至少旋转的度数．【解答过程】解：若l1与l2平行，则∠1和∠2相等，∵∠2＝42°，∴∠1＝42°，∴若要使l1与l2平行，则l1绕点O至少旋转的度数是80°﹣42°＝38°，故选：A．【变式2-3】（2021•中原区校级开学）填空：（将下面的推理过程及依据补充完整）如图，已知：CD平分∠ACB，AC∥DE、CD∥EF，求证：EF平分∠DEB．证明：∵CD平分∠ACB（已知），∴∠DCA＝ ∠DCE （角平分线的定义），∵AC∥DE（已知），∴∠DCA＝（ ∠CDE ），∴∠DCE＝∠CDE（等量代换），∵CD∥EF（ 已知 ），∴ ∠DEF ＝∠CDE（ 两直线平行，内错角相等 ），∠DCE＝∠BEF（ 两直线平行，同位角相等 ），∴ ∠DEF ＝ ∠FEB （等量代换）．∴EF平分∠DEB（ 角平分线的定义 ）．【解题思路】根据平行线的性质和平行线的判定及等量代换等来完成解答即可．【解答过程】证明：∵CD平分∠ACB（已知），∴∠DCA＝∠DCE（角平分线的定义），∵AC∥DE（已知），∴∠DCA＝∠CDE（两直线平行，内错角相等），∴∠DCE＝∠CDE（等量代换），∵CD∥EF（已知），∴∠DEF＝∠CDE（两直线平行，内错角相等），∠DCE＝∠FEB（两直线平行，同位角相等），∴∠DEF＝∠FEB（等量代换），∴EF平分∠DEB（角平分线的定义）．故答案为：∠DCE；∠CDE，已知，∠DEF，两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；∠DEF；∠FEB；角平分线的定义．【题型3 两直线平行同旁内角互补】【例3】（2021春•椒江区期末）如图，AB∥CD，AB∥GE，∠B＝110°，∠C＝100°．∠BFC等于多少度？为什么？【解题思路】由AB∥CD，AB∥GE得CD∥GE，根据两直线平行，同旁内角互补得到∠B+∠BFG＝180°，∠C+∠CFE＝180°，而∠B＝110°，∠C＝100°，可以求出∠BFG和∠CFE，最后可以求出∠BFC．【解答过程】解：∠BFC等于30度，理由如下：∵AB∥GE，∴∠B+∠BFG＝180°，∵∠B＝110°，∴∠BFG＝180°﹣110°＝70°，∵AB∥CD，AB∥GE，∴CD∥GE，∴∠C+∠CFE＝180°，∵∠C＝100°．∴∠CFE＝180°﹣100°＝80°，∴∠BFC＝180°﹣∠BFG﹣∠CFE＝180°﹣70°﹣80°＝30°．【变式3-1】（2021秋•北碚区校级期末）如图，AB∥CD，CD∥EF，∠1＝∠2＝60°，∠A和∠E各是多少度？它们相等吗？【解题思路】先根据AB∥CD得出∠A的度数，再由CD∥EF求出∠E的度数，进而可得出结论．【解答过程】解：∵AB∥CD（已知），∴∠A＝180°﹣∠1＝180°﹣60°＝120°（两直线平行，同旁内角互补）．∵CD∥EF（已知），∴∠E＝180°﹣∠2＝180°﹣60°＝120°，∴∠A＝∠E．∴∠A和∠E都是120度，它们相等．【变式3-2】（2021•怀宁县模拟）如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点分别放在直尺的两条平行对边上，若∠β＝85°，则α等于（ ）A．155°B．145°C．135°D．125°【解题思路】直接利用平行线的性质以及含有30°角的直角三角板的特征进而得出答案．【解答过程】解：如图：根据题意得∠2＝60°，∠β＝85°，∵∠2＝60°，∠1+∠2+∠β＝180°，∴∠1＝180°﹣∠2﹣∠β＝180°﹣60°﹣85°＝35°，∵AB∥CD，∴∠α+∠1＝180°，∴∠α＝180°﹣∠1＝180°﹣35°＝145°．故选：B．【变式3-3】（2021春•汉阳区期中）如图，EF∥AD，AD∥BC，CE平分∠BCF，∠DAC＝3∠BCF，∠ACF ＝20°，（1）求∠DAC的度数．（2）求∠FEC的度数．（3）当∠B为多少度时，∠BAC＝3∠B？并说明此时AB与AC的位置关系．【解题思路】（1）直接利用角平分线的定义结合平行线的性质得出答案；（2）利用已知得出EF∥CB，进而得出答案；（3）利用∠BAC＝3∠B，利用平行线的性质得出∠B＝30°，即可得出答案．【解答过程】解：（1）∵CE平分∠BCF，∴设∠BCE＝∠FCE＝x，∵∠DAC＝3∠BCF，∴∠DAC＝6x，∵AD∥BC，∴∠DAC+∠BCA＝180°，∴6x+2x+20°＝180°，∴x＝20°，∴∠DAC＝120°；（2）∵EF∥AD，AD∥BC，∴EF∥CB，∴∠FEC＝∠BCE＝20°；（3）当∠B＝30°时，∵AD∥BC，∴∠DAB＝∠B，又∵∠BAC＝3∠B，∴∠DAC＝4∠B＝120°，∴∠B＝30°，∴∠BAC＝90°，∴AB⊥AC．【题型4 平行线的判定与性质的综合应用】【例4】（2021春•江油市期中）如图，直线EF分别与直线AB，CD相交于点G，H，已知∠1＝∠2＝50°，GM平分∠HGB交直线CD于点M，则∠GMD＝（ ）A．120°B．115°C．130°D．110°【解题思路】求出∠BGM，根据平行线的判定得出AB∥CD，根据平行线的性质推出∠3＝∠BGM，利用补角的定义即可得出答案．【解答过程】解：如图，∵∠1＝50°，∴∠BGF＝180°﹣∠1＝130°，∵GM平分∠BGF，∴∠BGM=12∠BGF＝65°，∵∠1＝∠2＝50°，∴AB∥CD，∴∠3＝∠BGM＝65°，∴∠GMD＝180°﹣∠BGM＝180°﹣65°＝115°，故选：B．【变式4-1】（2021春•五华区期末）如图，∠1＝60°，∠2＝120°，∠3＝70°，则∠4的度数是（ ）A．70°B．60°C．50°D．40°【解题思路】先由邻补角互补求出∠5，然后根据∠2＝∠5判断出l1∥l2，再根据平行线的性质得出∠3＝∠6，而∠4＝∠6从而求出∠4．【解答过程】解：如图所示：∵∠1+∠5＝180°，∴∠5＝180°﹣60°＝120°＝∠2，∴l1∥l2，∴∠3＝∠6，∵∠3＝70°，∴∠6＝70°∵∠4＝∠6，∴∠4＝70°．故选：A．【变式4-2】（2021春•大丰区月考）如图，直线MN分别与直线AB，CD相交于点E，F，EG平分∠BEF，交直线CD于点G，若∠MFD＝∠BEF＝58°，射线GP⊥EG于点G，则∠PGF＝ 61或119 °．【解题思路】分两种情况：①当射线GP⊥EG于点G时，∠PGE＝90°，②当射线GP′⊥EG于点G 时，∠P′GE＝90°，根据平行线的判定与性质和角平分线定义即可求出∠PGF的度数．【解答过程】解：如图，①当射线GP⊥EG于点G时，∠PGE＝90°，∵∠MFD＝∠BEF＝58°，∴CD∥AB，∴∠GEB＝∠FGE，∵EG平分∠BEF，∴∠GEB＝∠GEF=12∠BEF＝29°，∴∠FGE＝29°，∴∠PGF＝∠PGE﹣∠FGE＝90°﹣29°＝61°；②当射线GP′⊥EG于点G时，∠P′GE＝90°，同理：∠P′GF＝∠PGE+∠FGE＝90°+29°＝119°．则∠PGF的度数为61°或119°．故答案为：61或119．【变式4-3】（2021春•奉化区校级期末）如图，PQ∥MN，A，B分别为直线MN、PQ上两点，且∠BAN＝45°，若射线AM绕点A顺时针旋转至AN后立即回转，射线BQ绕点B逆时针旋转至BP后立即回转，两射线分别绕点A、点B不停地旋转，若射线AM转动的速度是a°/秒，射线BQ转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a﹣5|+（b﹣1）2＝0．若射线AM绕点A顺时针先转动18秒，射线BQ才开始绕点B逆时针旋转，在射线BQ到达BA之前，问射线AM再转动 15或22.5 秒时，射线AM与射线BQ互相平行．【解题思路】分两种情况讨论，依据∠ABQ'＝∠BAM″时，BQ'∥AM″，列出方程即可得到射线AM、射线BQ互相平行时的时间．【解答过程】解：设射线AM再转动t秒时，射线AM、射线BQ互相平行．如图，射线AM绕点A顺时针先转动18秒后，AM转动至AM'的位置，∠MAM'＝18×5＝90°，分两种情况：①当9＜t＜18时，∠QBQ'＝t°，∠M'AM″＝5t°，∵∠BAN＝45°＝∠ABQ，∴∠ABQ'＝45°﹣t°，∠BAM″＝∠M'AM″﹣∠M'AB＝5t﹣45°，当∠ABQ'＝∠BAM″时，BQ'∥AM″，此时，45°﹣t°＝5t﹣45°，解得t＝15；②当18＜t＜27时，∠QBQ'＝t°，∠NAM″＝5t°﹣90°，∠BAM″＝45°﹣（5t°﹣90°）＝135°﹣5t°，∵∠BAN＝45°＝∠ABQ，∴∠ABQ'＝45°﹣t°，∠BAM″＝45°﹣（5t°﹣90°）＝135°﹣5t°，当∠ABQ'＝∠BAM″时，BQ'∥AM″，此时，45°﹣t°＝135°﹣5t，解得t＝22.5；综上所述，射线AM再转动15秒或22.5秒时，射线AM、射线BQ互相平行．故答案为15或22.5．【题型5 单拐点作平行线】【例5】（2021春•忻州期中）已知：如图，AB∥CD，AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，求∠APC的度数；请补全下列解法中的空缺部分．解：过点P作PG∥AB交AC于点G．∵AB∥CD（ 已知 ），∴ ∠CAB +∠ACD＝180°（ 两直线平行，同旁内角互补 ），∵PG∥AB（ 已知 ），∴∠BAP＝ ∠APG （ 两直线平行，内错角相等 ），且PG∥ CD （平行于同一直线的两直线也互相平行），∴∠GPC＝ ∠PCD （两直线平行，内错角相等），∵AP平分∠BAC，CP平分∠ACD．∴∠BAP=12∠ BAC ，∠PCD=12∠ ACD ．（ 角平分线定义 ），∴∠BAP+∠PCD=12∠BAC+12∠ACD＝90°（ 等量代换 ），∴∠APC＝∠APG+∠CPG＝∠BAP+∠CDP＝90°．总结：两直线平行时，同旁内角的角平分线 互相垂直 ．【解题思路】过点P作PG∥AB交AC于点G，根据平行线的判定与性质，即可得到∠APC的度数，进而得出结论．【解答过程】解：过点P作PG∥AB交AC于点G．∵AB∥CD（已知），∴∠CAB+∠ACD＝180°（两直线平行，同旁内角互补），∵PG∥AB（已知），∴∠BAP＝∠APG（两直线平行，内错角相等），且PG∥CD（平行于同一直线的两直线也互相平行），∴∠GPC＝∠PCD（两直线平行，内错角相等），∵AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，∴∠BAP=12∠BAC，∠PCD=12∠ACD（角平分线定义），∴∠BAP+∠PCD=12∠BAC+12∠ACD=90°（等量代换），∴∠APC＝∠APG+∠CPG＝∠BAP+∠CDP＝90°．总结：两直线平行时，同旁内角的角平分线互相垂直．故答案为：已知；∠CAB；两直线平行，同旁内角互补；CD；∠PCD；BAC；ACD；角平分线定义；等量代换；互相垂直．【变式5-1】（2021•河北模拟）如图，AB∥DE，∠1＝135°，∠C为直角．则∠D的度数为（ ）A．35°B．40°C．45°D．55°【解题思路】过点C作CF∥AB，由题意可求得∠BAC＝180°﹣∠1＝45°，由平行线的性质可得∠ACF ＝∠BAC＝45°，CF∥DE，从而可求∠DCF的度数，则可求∠D的度数．【解答过程】解：过点C作CF∥AB，如图所示：∵∠1＝135°，∴∠BAC＝180°﹣∠1＝45°，∵CF∥AB，AB∥DE，∴∠ACF＝∠BAC＝45°，CF∥DE，∴∠DCF＝∠D，∵∠ACD为直角，∴∠DCF＝90°﹣∠ACF＝45°，∴∠D＝45°．故选：C．【变式5-2】（2021•南关区校级一模）将一块直角三角尺和一张矩形纸片如图摆放，若∠1＝47°，则∠2的大小为（ ）A．127°B．133°C．137°D．143°【解题思路】过点E作EF∥AC，由平行线的性质可得∴∠CEF＝∠1＝47°，BD∥EF，从而可得∠2+∠DEF＝180°，结合条件可求得∠DEF的度数，即可求解．【解答过程】解：过点E作EF∥AC，如图所示：∵AC∥EF，AC∥BD，∴∠CEF＝∠1＝47°，BD∥EF，∴∠2+∠DEF＝180°，∵∠CED＝90°，∴∠DEF＝90°﹣∠CEF＝43°，∴∠2＝180°﹣∠DEF＝137°．故选：C．【变式5-3】（2021春•重庆期中）已知：AB∥CD，E、G是AB上的点，F、H是CD上的点，∠1＝∠2．（1）如图1，求证：EF∥GH；（2）如图2，过F点作FM⊥GH交GH延长线于点M，作∠BEF、∠DFM的角平分线交于点N，EN 交GH于点P，求证：∠N＝45°；（3）如图3，在（2）的条件下，作∠AGH的角平分线交CD于点Q，若3∠FEN＝4∠HFM，直接写出∠GQH∠MPN的值．【解题思路】（1）由平行线的性质得∠1＝∠3，再由内错角相等得出EF∥GH；（2）过点N作NK∥CD，设角度，由平行线的性质和角平分线的性质即可得出结论；（3）由3∠FEN＝4∠HFM结合前面（2）的结论，求出角度可得∠GQH∠MPN =1 4．【解答过程】解：（1）证明：∵AB∥CD，∴∠2＝∠3，又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴EF∥GH；（2）如图2，过点N作NK∥CD，∴∠KNE＝∠4，∠6＝∠7，设∠4＝x，∠7＝y，∵EN、FN分别平分∠BEF、∠DFM，∴∠ENK＝∠5＝∠4＝x，∠6＝∠8＝∠7＝y，又∵AB∥CD，∴∠EFD＝180°﹣2x，又∵FM⊥GH，∴∠EFM＝90°，∴180°﹣2x+2y＝90°，∴x﹣y＝45°，∴∠ENE＝∠ENK﹣∠6＝x﹣y＝45°，（3）∠GQH∠MPN=14∵3∠FEN＝4∠HFM，即3x＝4×2y，∴x=83 y，∴x﹣y=83y―y＝45°∴y＝27°，x＝72°，又∵EN和GQ是角平分线，∴GQ⊥EN，∴∠GQH＝∠EGQ＝180°﹣90°﹣72°＝18°，又∵∠MPN＝∠FEN＝x＝72°，∴∠GQH∠MPN=14，故答案为1 4．【题型6 多拐点作平行线】【例6】（2021春•青县期末）直线l1∥l2，∠A＝125°，∠B＝105°，求∠1+∠2的度数【解题思路】分别过A、B作l1的平行线AC和BD，则可知AC∥BD∥l1∥l2，再利用平行线的性质求得答案．【解答过程】解：如图，分别过A、B作l1的平行线AC和BD，∵l1∥l2，∴AC∥BD∥l1∥l2，∴∠1＝∠EAC，∠2＝∠FBD，∠CAB+∠DBA＝180°，∵∠EAB+∠FBA＝125°+105°＝230°，∴∠EAC+∠CAB+∠DBA+∠FBD＝230°，即∠1+∠2+180°＝230°，∴∠1+∠2＝50°．【变式6-1】（2021春•莱州市期末）（1）如图1，a∥b，则∠1+∠2＝ 180° （2）如图2，AB∥CD，则∠1+∠2+∠3＝ 360° ，并说明理由（3）如图3，a∥b，则∠1+∠2+∠3+∠4＝ 540° （4）如图4，a∥b，根据以上结论，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n＝ （n﹣1）•180° （直接写出你的结论，无需说明理由）【解题思路】（1）根据两直线平行，同旁内角互补解答；（2）过点E作EF∥AB，然后根据两直线平行，同旁内角互补解答；（3）过∠2、∠3的顶点作a的平行线，然后根据两直线平行，同旁内角互补解答；（4）过∠2、∠3…的顶点作a的平行线，然后根据两直线平行，同旁内角互补解答．【解答过程】解：（1）∵a∥b，∴∠1+∠2＝180°；（2）过点E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠1+∠AEF＝180°，∠CEF+∠3＝180°，∴∠1+∠AEF+∠CEF+∠3＝180°+180°，即∠1+∠2+∠3＝360°；（3）如图，过∠2、∠3的顶点作a的平行线，则∠1+∠2+∠3+∠4＝180°×3＝540°；（4）如图，过∠2、∠3…的顶点作a的平行线，则∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n＝（n﹣1）•180°．故答案为：180°；360°；540°；（n﹣1）•180°．【变式6-2】（2021秋•金凤区校级期末）如图1，已知AB∥CD，∠B＝30°，∠D＝120°；（1）若∠E＝60°，则∠F＝ ；（2）请探索∠E与∠F之间满足的数量关系？说明理由；（3）如图2，已知EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，反向延长FG交EP于点P，求∠P的度数．【解题思路】（1）如图1，分别过点E，F作EM∥AB，FN∥AB，根据平行线的性质得到∠B＝∠BEM＝30°，∠MEF＝∠EFN，∠D+∠DFN＝180°，代入数据即可得到结论；（2）如图1，根据平行线的性质得到∠B＝∠BEM＝30°，∠MEF＝∠EFN，由AB∥CD，AB∥FN，得到CD∥FN，根据平行线的性质得到∠D+∠DFN＝180°，于是得到结论；（3）如图2，过点F作FH∥EP，设∠BEF＝2x°，则∠EFD＝（2x+30）°，根据角平分线的定义得到∠PEF=12∠BEF＝x°，∠EFG=12∠EFD＝（x+15）°，根据平行线的性质得到∠PEF＝∠EFH＝x°，∠P＝∠HFG，于是得到结论．【解答过程】解：（1）如图1，分别过点E，F作EM∥AB，FN∥AB，∴EM∥AB∥FN，∴∠B＝∠BEM＝30°，∠MEF＝∠EFN，又∵AB∥CD，AB∥FN，∴CD∥FN，∴∠D+∠DFN＝180°，又∵∠D＝120°，∴∠DFN＝60°，∴∠BEF＝∠MEF+30°，∠EFD＝∠EFN+60°，∴∠EFD＝∠MEF+60°∴∠EFD＝∠BEF+30°＝90°；故答案为：90°；（2）如图1，分别过点E，F作EM∥AB，FN∥AB，∴EM∥AB∥FN，∴∠B＝∠BEM＝30°，∠MEF＝∠EFN，又∵AB∥CD，AB∥FN，∴CD∥FN，∴∠D+∠DFN＝180°，又∵∠D＝120°，∴∠DFN＝60°，∴∠BEF＝∠MEF+30°，∠EFD＝∠EFN+60°，∴∠EFD＝∠MEF+60°，∴∠EFD＝∠BEF+30°；（3）如图2，过点F作FH∥EP，由（2）知，∠EFD＝∠BEF+30°，设∠BEF＝2x°，则∠EFD＝（2x+30）°，∵EP平分∠BEF，GF平分∠EFD，∴∠PEF=12∠BEF＝x°，∠EFG=12∠EFD＝（x+15）°，∴∠PEF＝∠EFH＝x°，∠P＝∠HFG，∵∠HFG＝∠EFG﹣∠EFH＝15°，∴∠P＝15°．【变式6-3】（2021春•硚口区期末）已知直线EF分别交直线AB、CD于点G、H，∠1+∠2＝180°．（1）如图1，求证：AB∥CD；（2）如图2，M、N分别为直线AB、CD上的点，P、Q为直线AB、CD之间不同的两点，∠PMQ＝2∠BMQ，∠PNQ＝2∠DNQ，∠MQN＝30°．①求证：PM⊥PN；②如图3，∠EGB的平分线GL与∠MPN的邻补角∠MPT的平分线PL交于点L，∠PNH的平分线NK交EF于点K．若∠EKN+∠GLP＝170°，直接写出∠PNH﹣∠EHD的大小．【解题思路】（1）利用∠1＝∠HGB，再利用等量代换，即可解决；（2）①过Q作QK∥AB，因为AB∥CD，所以AB∥CD∥QK，则∠BMQ＝∠MQK，∠DNQ＝∠KQN，所以∠MQN＝∠BMQ+∠DNQ，同理∠MPN＝∠BMP+∠DNP，设∠BMQ＝x，∠DNQ＝y，利用∠MQN ＝30°，得到x+y＝30°，又∠MPN＝3x+3y，代入即可解决．②如图，过L作IS∥AB，过P作PW′∥AB，过K作KW∥AB，利用AB∥CD，可以得到SI∥AB∥CD∥KW∥PW′，设∠EGL＝∠LGB＝x，∠CNK＝∠KNP＝y，利用平行线的性质，分别用x，y表示出∠EKN和∠GLP，因为∠EKN+∠GLP＝170°，得到x与y的关系式，整体代入运算，即可解决．【解答过程】证明：（1）∵∠1＝∠HGB，∠1+∠2＝180°，∴∠HGB+∠2＝180°，（2）①过Q作QK∥AB，如图1，∵AB∥CD，∴QK∥AB∥CD，∴∠BMQ＝∠MQK，∠DNQ＝∠KQN，∴∠MQN＝∠MQK+∠KQN＝∠BMQ+∠DNQ，同理，∠MPN＝∠BMP+∠DNP，设∠BMQ＝x，∠DNQ＝y，则∠MQK＝x，∠KQN＝y，∠PMQ＝2x，∠PNQ＝2y，∵∠MQN＝30°，∴x+y＝30°，∴∠MPN＝3x+3y＝90°，∴PM⊥PN；解：（2）②如图2，过L作IS∥AB，过P作PW′∥AB，过K作KW∥AB，∵AB∥CD，∴SI∥AB∥CD∥KW∥PW′，∵GL平分∠EGB，∴可设∠EGL＝∠LGB＝x，同理，∠MPL＝∠TPL＝45°，可设∠CNK＝∠KNP＝y，∵IS∥AB∥PW′，∴∠ILG＝∠LGB＝x，∠SLP＝∠LPW′，∵PW′∥CD，∴∠W′PN＝180°﹣∠CNP＝180°﹣2y，∴∠W′PL＝180°﹣∠W′PN﹣∠LPT＝2y﹣45°，∴∠SLP＝∠LPW′＝2y﹣45°，∴∠GLP＝180°﹣∠ILG﹣∠SLP＝225°﹣x﹣2y，∵AB∥KW∥CD，∴∠AGK＝∠GKW＝∠EGB＝2x，∠WKN＝∠KNC＝y，∴∠EKN＝∠GKW+∠WKN＝2x+y，∵∠EKN+∠GLP＝170°，∴2x+y+225°﹣x﹣2y＝170°，∴y﹣x＝55°，∴∠PNH﹣∠EHD＝2y﹣2x＝110°．。
北师大版七下数学2.1.1两条直线的位置关系教学设计
北师大版七下数学2.1.1两条直线的位置关系教学设计一. 教材分析《北师大版七下数学2.1.1两条直线的位置关系》这一节内容，主要让学生了解和掌握两条直线的位置关系，包括相交和平行两种情况。
教材通过生活中的实例，引导学生认识和理解直线的性质，进而探究直线之间的位置关系。
这部分内容是学生学习几何的基础，对于培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力具有重要意义。
二. 学情分析七年级的学生已经掌握了基本的数学知识，对于图形有了一定的认识。
但是在现实生活中，他们对直线的理解可能还停留在简单的层面，对于直线之间的位置关系可能还没有清晰的认识。
因此，在教学过程中，需要从学生的实际出发，通过生动的实例和生活场景，引导学生理解和掌握直线之间的位置关系。
三. 教学目标1.让学生了解和理解直线的性质，能够识别和描述直线之间的位置关系。
2.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
3.通过对直线位置关系的探究，培养学生的观察能力、思考能力和合作能力。
四. 教学重难点1.直线性质的理解和掌握。
2.直线之间位置关系的识别和描述。
3.直线位置关系在实际生活中的应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，通过提出问题，引导学生思考和探究。
2.采用实例教学法，通过生活中的实例，让学生直观地理解和掌握直线的性质和位置关系。
3.采用合作学习法，让学生在小组合作中，共同完成对直线位置关系的探究。
4.采用板书教学法，通过板书，清晰地展示直线之间的位置关系。
六. 教学准备1.准备相关的生活实例和图片，用于引导学生理解和掌握直线性质和位置关系。
2.准备PPT，用于展示直线之间的位置关系。
3.准备板书，用于清晰地展示直线之间的位置关系。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式，引导学生回顾已学的直线知识，为新课的学习做好铺垫。
例如：“你们已经掌握了直线的哪些性质？直线之间有哪些位置关系？”2.呈现（10分钟）展示生活中的一些实例，让学生直观地感受直线之间的位置关系。
北师大版七年级数学下册2.1两条直线的位置关系说课稿
在教学过程中，我预见到可能的问题包括学生对抽象概念的理解困难，以及实际应用能力的不足。为应对这些问题，我会适时调整教学节奏，通过实物模型、图示和实际例题帮助学生理解，同时设计更多实践活动加强应用能力的培养。课后，我将通过学生的课堂表现、作业完成情况和测试成绩评估教学效果。具体的反思和改进措施包括：对学生的反馈进行分析，针对学生掌握不足的知识点进行针对性讲解；调整教学方法和手段，增加互动环节，提高学生的参与度；定期进行教学总结，根据学生的进步情况调整教学计划，确保教学目标的实现。
-对判定定理和性质定理的应用不够熟练，可能无法有效解决问题。
（三）学习动机
为了激发学生的学习兴趣和动机，我将采取以下策略或活动：
-利用生活实例引入新课，如讨论道路交叉口的直线关系，让学生感受到数学与生活的联系。
-设计互动游戏，如让学生在教室中寻找平行和垂直的物体，增强直观感受。
-创设问题情境，提出挑战性的问题，激发学生的探究欲望。
4.最后引导学生进行思考和讨论，如何运用这些定理和性质解决实际问题，培养学生的逻辑推理能力和解决问题的能力。
（三）巩固练习
为了帮助学生巩固所学知识并提升应用能力，我计划设计以下巩固练习和实践活动：
1.填空题和选择题：检测学生对基本概念和定理的理解程度。
2.解答题：让学生运用所学知识解决具体问题，如判断两条直线是否平行或垂直，证明定理等。
3.小组讨论：针对一些较复杂的问题，让学生分组讨论，共同寻找解决方案，培养合作能力和创新思维。
4.实物操作：让学生利用教具或生活物品模拟两条直线的位置关系，加深对知识的理解。
（四）总结反馈
在总结反馈阶段，我会采取以下方式引导学生自我评价，并提供有效的反馈和建议：
1.让学生回顾本节课所学内容，用自己的语言总结两条直线的位置关系、判定定理和性质定理。
2019春北师大版数学七年级下册图片版习题课件：第二章 2.2 第1课时 同位角相等,两直线平行
◎基础训练 1. 下列说法中正确的是( C ) A．在同一平面内，不相交的两条射线是平行线 B．在同一平面内，不相交的两条线段是平行线 C． 在同一平面内， 两条不同直线的位置关系不相交 就平行 D．不相交的两条直线是平行线
平行
．
直线与这条直线平
．
◎自主检测 知识点 ：平行线的表示与同位角识别
D
1. (2018· 金华)如图，∠B 的同位角可以是(
)
A．∠1 C．∠3
B．∠2 D．∠4
2. 如 图 ， 两 条 直 线写字母表示为 l∥m
.
知识点
理由是：因为 DE⊥CF， 所以∠FED ＝ (垂直的定义)， 即∠FEB＋ ∠BED ＝90° . 又因为∠ECD＋∠BED＝90° ， 所以∠ECD＝ ∠FEB (同角的余角相等)， 所以 AB∥CD(同位角相等，两直线平行)．
90
°
探究
：如图，若∠1＝∠4，∠1＋∠2＝180° ，判
断 AB，CD，EF 的位置关系，试说明理由．
所以∠3＝180° －∠2＝ 130° . 又因为∠1＝130° ，(已知) 所以∠1＝ ∠3 ．(等量代换) 所以 AB∥CD．(
同位角相等，两直线平行
)
探究
： 如 图 ， 已 知 ∠ECD ＋ ∠BED ＝ 90° ，
DE⊥CF，垂足为 E，请将下面说明 AB∥CD 的说理过程 补充完整(在横线上填写结论，在括号内填写使结论成立 的理由)：
：平行线的判定
平行于同
2022年北师大版七下数学《利用同位角判定两条直线平行》教案
2．2探索直线平行的条件第1课时利用同位角判定两条直线平行1．理解并掌握同位角的概念，能够判定同位角并确定其个数；2．能够运用同位角相等判定两直线平行；(重点，难点)3．理解并掌握平行公理及其推论，能够运用其解决实际问题．一、情境导入数学来源于生活，生活中处处有数学，观察下面的图片，你发现了什么？以上的图片中都有直线平行，这将是我们这节课学习的内容．二、合作探究探究点一：同位角【类型一】判断同位角下列图形中，∠1和∠2不是同位角的是()解析：选项A、B、D中，∠1与∠2在截线的同侧，并且在被截线的同一方向，是同位角，即在图中可找到形如“F”的模型；选项C中，∠1与∠2没有公共直线，不是同位角．故选C.方法总结：判断两个角是否是同位角的有效方法——描图法：①把两个角在图中“描画”出来；②找到两个角的公共直线；③观察所描的角，判断所属“字母”类型是否为“F”型．【类型二】数同位角的个数如图，直线l1，l2被l3所截，则同位角共有()A．1对B．2对C．3对D．4对解析：图中同位角有：∠1和∠5，∠2和∠6，∠3和∠7，∠4和∠8共4对．故选D.方法总结：数同位角的个数时，应从各个方向逐一观察，避免重复或漏数．探究点二：利用同位角判定两直线平行如图，直线AB、CD分别与EF相交于点G、H，已知∠1＝70°，∠2＝70°，试说明：AB∥CD.解析：要说明AB∥CD，可转化为说明∠1与其同位角相等，这由∠2的对顶角容易证出．解：因为∠2＝∠EHD(对顶角相等)，又因为∠2＝70°，所以∠EHD＝70°.因为∠1＝70°，所以∠EHD＝∠1，所以AB∥CD(同位角相等，两直线平行)．方法总结：本题考查的是平行线的判定，熟知“同位角相等，两直线平行”是解答此题的关键．探究点三：平行公理及其推论【类型一】应用平行公理及其推论进行判断有下列四种说法：(1)过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；(2)同一平面内，过一点能且只能作一条直线与已知直线垂直；(3)直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；(4)平行于同一条直线的两条直线平行．其中正确的个数是()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：根据平行公理、垂线的性质进行判断．(1)过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，正确；(2)同一平面内，过一点能且只能作一条直线与已知直线垂直，正确；(3)直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，正确；(4)平行于同一条直线的两条直线平行，正确．正确的有4个．故答案为D.方法总结：平行线公理和垂线的性质两者比较相近，特别注意，对于平行公理中，必须是过直线外一点可以作已知直线的平行线，过直线上一点不能做已知直线的平行线．但垂线的性质中，无论点在平面内何处都能作出已知直线的唯一垂线．【类型二】应用平行公理进行推论论证四条直线a，b，c，d互不重合，如果a∥b，b∥c，c∥d，那么直线a，d的位置关系为________．解析：由于a∥b，b∥c，根据平行公理的推论得到a∥c，而c∥d，所以a∥d.故答案为a∥d.方法总结：平行公理的推论是证明两条直线相互平行的理论依据．【类型三】平行公理推论的实际应用将一张长方形的硬纸片ABCD对折后打开，折痕为EF，把长方形ABEF平摊在桌面上，另一面CDFE无论怎样改变位置，总有CD∥AB存在，为什么？解析：根据平行公理的推论得出答案即可．解：∵CD∥EF，EF∥AB，∴CD∥AB.方法总结：利用平行公理的推论进行证明时，关键是找到与要证两条直线都平行的第三条直线进行说明．三、板书设计1．同位角的概念2．运用同位角判定两条直线平行：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．3．平行公理及其推论：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行．解决几何题时，重在分析，应结合图形熟识题目给出的已知条件．本节课的易错点是学生对同位角的识别，对同位角个数的计算，应多加强练习，在不断纠错中提高第2课时利用“角边角”“角角边”判定三角形全等1．理解并掌握三角形全等的判定方法——“角边角”“角角边”；(重点)2．能运用“角边角”“角角边”判定方法解决有关问题．(难点)一、情境导入如图所示，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带哪块去？学生活动：学生先自主探究出答案，然后再与同学进行交流．教师点拨：显然仅仅带①或②是无法配成完全一样的玻璃的，而仅仅带③则可以，为什么呢？本节课我们继续研究三角形全等的判定方法．二、合作探究探究点一：全等三角形判定定理“ASA ”如图，AD ∥BC ，BE ∥DF ，AE ＝CF ，试说明：△ADF ≌△CBE .解析：根据平行线的性质可得∠A ＝∠C ，∠DFE ＝∠BEC ，再根据等式的性质可得AF ＝CE ，然后利用“ASA ”可得到△ADF ≌△CBE .解：∵AD ∥BC ，BE ∥DF ，∴∠A ＝∠C ，∠DFE ＝∠BEC .∵AE ＝CF ，∴AE ＋EF ＝CF＋EF ，即AF ＝CE .在△ADF 和△CBE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠C ，AF ＝CE ，∠DF A ＝∠BEC ，∴△ADF ≌△CBE (ASA)．方法总结：在“ASA ”中，包含“边”和“角”两种元素，是两角夹一边而不是两角及一角的对边对应相等，应用时要注意区分；在“ASA ”中，“边”必须是“两角的夹边”．探究点二：全等三角形判定定理“AAS ”如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，BE ⊥AC 于E .AD 与BE 交于F ，若BF ＝AC ，试说明：△ADC ≌△BDF .解析：先说明∠ADC ＝∠BDF ，∠DAC ＝∠DBF ，再由BF ＝AC ，根据“AAS ”即可得出两三角形全等．解：∵AD ⊥BC ，BE ⊥AC ，∴∠ADC ＝∠BDF ＝∠BEA ＝90°.∵∠AFE ＝∠BFD ，∠DAC ＋∠AEF ＋∠AFE ＝180°，∠BDF ＋∠BFD ＋∠DBF ＝180°，∴∠DAC ＝∠DBF .在△ADC 和△BDF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠DAC ＝∠DBF ，∠ADC ＝∠BDF ，AC ＝BF ，∴△ADC ≌△BDF (AAS)．方法总结：在“AAS ”中，“边”是其中一个角的对边．探究点三：全等三角形判定与性质的综合在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，垂足分别为点D 、E .试说明：(1)△BDA ≌△AEC ；(2)DE ＝BD ＋CE .解析：(1)由垂直的关系可以得到一对直角相等，利用“同角的余角相等”得到一组对应角相等，再由AB ＝AC ，利用“AAS ”即可得出结论；(2)由△BDA ≌△AEC ，可得BD ＝AE ，AD ＝CE ，根据DE ＝DA ＋AE 等量代换即可得出结论．解：(1)∵BD ⊥m ，CE ⊥m ，∴∠ADB ＝∠CEA ＝90°，∴∠ABD ＋∠BAD ＝90°.∵AB⊥AC ，∴∠BAD ＋∠CAE ＝90°，∴∠ABD ＝∠CAE .在△BDA 和△AEC 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠ADB ＝∠CEA ＝90°，∠ABD ＝∠CAE ，AB ＝AC ，∴△BDA ≌△AEC (AAS)；(2)∵△BDA ≌△AEC ，∴BD ＝AE ，AD ＝CE ，∴DE ＝DA ＋AE ＝BD ＋CE .方法总结：利用全等三角形可以解决线段之间的关系，比如线段的相等关系、和差关系等，解决问题的关键是运用全等三角形的判定与性质进行线段之间的转化．三、板书设计1．角边角：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA ”．2．角角边：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS ”．本节课的教学借助于动手操作、分组讨论等探究出三角形全等的判定方法．在寻找判定方法说明两个三角形全等的条件时，可先把容易找到的条件列出来，然后再根据判定方法去寻找所缺少的条件．从课堂教学的情况来看，学生对“角边角”掌握较好，达到了教学的预期目的．存在的问题是少数学生在方法“AAS ”和“ASA ”的选择上混淆不清，还需要在今后的教学中进一步加强巩固和训练。