初中数学专题之数形结合
数形结合思想在初中数学中的应用
数形结合思想在初中数学中的应用数形结合思想是指通过数学和几何图形相结合来进行问题的分析和解决的一种思维方式。
在初中数学中，数形结合思想被广泛应用于解题和证明过程中，有助于学生理解和掌握数学概念，培养其数学思维能力和创造力。
以下是数形结合思想在初中数学中的应用。
一、解决几何问题通过数形结合思想可以解决许多几何问题，如证明等腰三角形的性质、证明角的平分线相交于顶点角平分线等。
通过画图观察，能够使问题的分析和解决更加直观和容易。
对于一个等腰三角形，我们可以通过画图观察来证明其性质。
我们画出一个等腰三角形ABC，其中AB=AC。
然后，我们在等腰三角形中找出一些特殊点，如重心、垂心等。
通过观察，我们发现等腰三角形的重心和垂心的位置，以及它们与三角形顶点的连线之间的关系，可以帮助我们证明等腰三角形的性质。
这个过程中，数学和几何图形相结合，既需要运用数学知识，又需要观察和想象能力，培养了学生的思维灵活性和创造力。
二、解决平面几何问题平面几何是初中数学中一个重要的内容，通过数形结合思想，可以帮助学生解决平面几何问题，如平行线的性质、相似三角形的性质等。
通过画图观察和推理，可以帮助学生理解和巩固这些数学概念。
对于平行线的性质，我们可以通过数形结合思想来解决问题。
我们画出两条平行线，然后引入一个横切线。
通过观察，我们发现两条平行线上对应的内角和外角是相等的，同时我们可以看到内、外角和横切线之间的关系。
这样，我们可以通过画图观察的方式，对平行线的性质进行分析和证明，加深学生对这个概念的理解。
三、解决函数与图像问题在函数与图像的学习中，数形结合思想也被广泛应用。
通过画出函数的图像，可以帮助学生理解函数的性质，如单调性、奇偶性等。
对于一个函数的单调性，可以通过数形结合思想来进行分析。
我们画出该函数的图像，然后观察函数的变化趋势。
通过观察，我们可以发现函数在某个区间上是单调递增或单调递减的，可以通过数学和几何图形相结合的方式来理解和证明函数的单调性。
数形结合思想在初中数学教学中的应用优秀获奖科研论文-2
数形结合思想在初中数学教学中的应用优秀获奖科研论文数形结合是一种非常重要的数学思想方法，也是数学解题中要求掌握的重要思想方法之一，在数学学习中有着重要的地位.数形结合，有利于学生对数学知识的理解，落实新课标的要求，即通过“以形助数，以数解形”，能够将复杂问题简单化，抽象问题具体化.很多数学问题利用数形结合思想来解决，能够达到化难为易的目的.在初中数学教学中，教师应重视数形结合思想，从而提高学生分析问题和解决问题的能力.下面结合自己的教学实践就数形结合思想在初中数学教学中的应用谈点体会.一、数形结合思想在集合问题中的应用在教学中，教师单一地讲解集合问题，很难使学生想象出各数集之间的关联性，而利用图示法，能够解决抽象的集合问题，让学生对集合问题一目了然.在图形中，一般利用圆来表示集合，两集合有公共的元素则两圆相交，两圆相离则表示没有公共的元素.例如，在学校开展兴趣班时，初中某班共有28个学生，其中有15人参加音乐兴趣班，有8人参加舞蹈兴趣班，有14人参加书法兴趣班，同时参加音乐和舞蹈兴趣班的有3人，同时参加音乐和书法兴趣班的有3人，没有人同时参加三个兴趣班，问：同时参加舞蹈班和书法兴趣班的有多少人？只参加音乐兴趣班的有多少人？图1解析：如图1，设A={参加音乐兴趣班的学生}，B={参加舞蹈兴趣班的学生}，C={参加书法兴趣班的学生}，同时参加舞蹈和书法兴趣班的学生有x人.由题意可知，card（A交B）=3.card（A交C）=3，card（B交C）=x，则15+8+14-3-3-x=28，得x=3.因此，同时参加舞蹈和书法班的有3人，只参加音乐兴趣班的有15-3-3=9人.这样，利用图示法，可以使复杂的数学问题变得简单化和具体化，降低做题难度，有助于激发学生的学习兴趣.二、数形结合思想在函数问题中的应用函数是整个数学的重点，关于函数类型的题也数不胜数.利用函数求极值的问题是常见的题型，以数辅形，需要将图象中的数量关系整理清楚，以函数的形式表达出来，把握函数与图形之间的关系，达到快速解决数学问题的目的，体现数形结合在解题中的重要性.初中生对一次函数和二次函数的图象有着很深的了解，因此在面对这类函数问题时，往往可以根据函数图象来解答.这样，不但可以加深学生对基本概念的理解，还可以加强学生对这些基本知识的灵活运用.例如，当0 解析：方程中含有两个未知数，无法直接求解，可以转化成两个函数问题，图2求解的个数就是求函数图象的交点个数.由|1-x2|=kx+k，可构造y=|1-x2|和y=kx+k，如图2.所以原方程解的个数为3个.这样，复杂的函数问题，利用图形进行展示，能够直接得出问题的答案，强化了学生的认知，深化了学生的思维训练，提升了教学效率.三、数形结合思想在概率问题中的应用概率作为初中数学教学中的重点内容，一直是教学的难点.许多概率问题在思考中都存在着抽象，如果借助于坐标平面或数学模型的问题，以形助数，运用数形结合思想，就能够帮助学生迅速找到问题的切入点，优化解题过程，提高解题速度.总之，在初中数学教学中，数形结合思想既是一种教学手段，又是一种解题方法.运用数形结合思想，能够拓宽学生的思维；运用数形之间的关联性，以图形助数学解题，能够强化学生对数学本质的认知和了解，提高学生数学思维的灵活性、根基性等.教师应适当运用数形结合思想开展教学活动，从学生的角度出发，培养学生的综合技能和素质，提升初中数学教学质量，确保学生全面发展.。
巧用数形结合思想解答初中数学题
数学篇数形结合是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”的方法使复杂的问题简单化，抽象的数学问题直观化，从而达到优化解题途径、简化解题过程的目的.下面简单介绍数形结合思想在解题中的具体应用方法.一、运用数形结合思想解答数与式问题数与式是实践生活中抽象出来的数量关系.数形结合思想在解答数与式问题中的应用主要表现在数轴与实数的对应关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一点都表示一个实数.借助实数在数轴上的位置关系可以求解各类问题，比如去绝对值、比较大小、开根号等，从而把隐蔽的问题明朗化，抽象的问题直观化，达到快速有效解题的目的.例1实数a 、b 、c 在数轴上的位置如图1所示，化简|a +b |-|c -b |的结果是（）.A.a +cB.-a -2b+cC.a +2b-cD.-a -c 0a cb 图1解：根据数轴知a 、c 都在原点0的左边，故而a <0且c <0，但c 离原点的距离比a 离原点的距离远，所以|a |<|c |，进而c <a <0；同理，b 在原点0的右侧，故而b >0.从数轴上可以看出b 点离原点0的距离比c 点还远，故而|b |>|c |.综合以上分析可知，c <a <0<-c <b .此时可以借助于数轴进一步明确a 、b 、c 三点及其相反数在数轴上的位置如图2所示，即-b <c <a <0<-a <-c <b .0a c b-a -c -b 图2据此数轴可以去绝对值如下：因为a <0,b >0且|b |>|a |，所以a +b >0，故|a +b |=a +b ，因为c -b =c +(-b )，c <0且-b <0，所以c -b <0，故而有|c -b |=b -c ，所以|a +b |-|c -b |=(b+a )-(b-c)=b+a -b+c=a +c.故选A 项.评注：对于选择题，我们可以借助数形结合思想给部分代数式或字母赋值，快速得到答案.对于解答题，我们可以多次利用数形结合的方法“正过来、逆过去”实现问题的简化，从而解题.二、运用数形结合思想解答方程与不等式问题解答方程与不等式问题需要较强的计算能力.当用代数方法求解比较繁杂时，可以利用数形结合思想将方程或不等式转化为几何问题，比如转化为交点问题、最大（小）值问题.利用几何图形的特征和直观性解题，可以使解题更便捷.例2方程组{y =2x -1,y =-x -1,的解是______.解：方程组的解一定都适合每一个方程，那么借助于数形结合思想来观察，方程组的解一定在每一条直线上，所以方程组的解一定是两直线的交点，即交点的坐标.将方程的图象在坐标系中表示出来，如图3所示，由图可知两条直线相较于点（0，-1），所以方程组的解就是{x =0，y =-1.例3若不等式组{3x +a <0，2x +7>4x -1，的解集为x <0，则a 的取值范围为（）.A.a >0B.a =0C.a >4D.a =4解：解不等式2x +7>4x -1得解集为x <4①.巧用数形结合思想解答初中数学题甘肃省张掖市山丹育才中学韩永年图3学思导引30数学篇化简不等式3x +a <0得x <-a 3②,借助数轴画出①的解集如图4：图4由题目条件知不等式组的解集为x <0，故不等式组的解集可以进一步细化，如图5所示：图5可以确定阴影部分的区域就是不等式3x +a <0的解集，所以x <-a 3与x <0是等价的.从而有-a 3=0，即a =0.所以选择B 项.评注：无论是方程（组）还是不等式（组），都可以借助数轴或直角坐标系实现数和形的转化.三、运用数形结合思想解答函数问题平面直角坐标系把有序实数对(x ,y )与点一一对应起来，使数与形有了统一.一个函数也就因此可以用图形来表示，而借助这个图形又可以直观地分析函数的一些性质和特点.运用数形结合思想解答函数问题就要充分挖掘图象中的各种信息以及信息之间的内在联系，利用获取的信息解题.例4某班“数学兴趣小组”对函数y =x 2-2|x |的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．（1）自变量x 的取值范围是全体实数，x 与y 的几组对应值列表如下：x y ……-33-5254-2m -1-1001-120525433……直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．（3）观察函数图象，写出函数的两点性质.（4）进一步探究函数图象发现：①函数图象与x 轴有个交点，所以对应的方程x 2-2|x |=0有个实数根；②方程x 2-2|x |=2有个实数根；③关于x 的方程x 2-2|x |=a 有4个实数根时，a 的取值范围是．图6图7解：（1）根据函数的对称性可得m =0，故答案为：0；（2）如图7所示；（3）由函数图象知：①函数y =x 2-2|x |的图象关于y 轴对称；②当x ＞1时，y 随x 的增大而增大；（4）①由函数图象知：函数图象与x 轴有3个交点，所以对应的方程x 2-2|x |=0有3个实数根；②如图7，∵y =x 2-2|x |的图象与直线y =2有2个交点，∴x 2-2|x |=2有2个实数根；③由函数图象知：∵关于x 的方程x 2-2|x |=a 有4个实数根，∴a 的取值范围是-1＜a ＜0，故答案为：3，3，2，-1＜a ＜0．评注：本题考查了抛物线与x 轴的交点以及二次函数的性质.正确的识别图象并根据题意画出图形，利用数形结合思想解题是关键．“数形结合”有两个方面，即“以形助数”或“以数解形”.我们不可以偏废其一，要灵活掌握数形之间互化的方法.既要学会让图说学思导引。
初中数学在实际生活中的应用案例 数形结合思想的应用
初中数学在实际生活中的应用案例数形结合思想的应用数学是一门应用广泛的学科，它不仅仅存在于课本和考试中，更贯穿于我们日常生活的方方面面。
在初中数学中，数形结合思想是一个重要的概念，它将数学与几何图形相结合，让我们能够更好地理解和应用数学知识。
本文将介绍一些初中数学在实际生活中的应用案例，重点聚焦于数形结合思想的应用。
案例一：棋盘覆盖问题在数学中，棋盘覆盖问题是一个经典的问题。
假设有一个8x8的棋盘，用2x1的骨牌完全覆盖该棋盘，共有多少种覆盖方法？我们可以利用数形结合思想解决这个问题。
首先，我们将2x1的骨牌看作一种特殊的图形单元，将这种单元覆盖在棋盘上。
由于每个2x1的骨牌占据两个单元，因此整个棋盘共有64/2=32个单元。
而每个骨牌可以垂直或水平放置，因此每个单元有两种可能的覆盖方式。
接下来，我们尝试利用数形结合思想进行推理。
考虑到棋盘的边界问题，我们可以发现，棋盘的右下角必须覆盖一块。
那么，我们可以把右下角单元放上一块骨牌。
这样，右下角单元被覆盖后，原棋盘被分成了两个部分：一个是7x8的矩形，另一个是1x8的窄矩形。
对于7x8的矩形，在数形结合思想的指导下，我们可以将问题转化为一个更小规模的棋盘覆盖问题。
同样地，我们可以继续将其右下角单元覆盖，然后将其分成两个部分。
如此反复，最终我们可以找到问题的解。
通过以上的推理过程，我们可以得出结论：棋盘覆盖问题的解法共有2的32次方种可能。
案例二：测量高楼高度在实际生活中，我们有时候需要测量一座高楼的高度，但是往往无法直接测量。
这时，我们可以利用数形结合思想进行近似测量。
假设我们站在离高楼一定距离的地方，并且竖直放置一个测距仪。
我们可以利用三角形的形状和几何定理，使用测距仪与我们所看到的高楼顶部的夹角，以及我们与测距仪之间的距离，来计算出高楼的高度。
首先，我们假设测距仪的底部位置为A，顶部位置为B，高楼的底部位置为C，顶部位置为D。
通过观察可以发现，三角形ABC和三角形ABD相似。
【初中数学精品资料】暑假专题——数形结合的纽带
1. 平面直角坐标系中特殊位置的点的坐标特征 坐标平面由两条坐标轴和四个象限构成，可以看成坐标平面的六个区域：x 轴，y 轴， 第一象限，第二象限，第三象限，第四象限。注意：坐标轴上的点不属于任何一个象限。 （1）坐标轴上的点： ①点 P 的坐标为（a，0） 点 P 在 x 轴上； ②点 P 的坐标为（0，b） 点 P 在 y 轴上。 （2）各象限内的点： ①点 P（a，b）在第一象限 a＞0，b＞0； ②点 P（a，b）在第二象限 a＜0，b＞0； ③点 P（a，b）在第三象限 a＜0，b＜0； ④点 P（a，b）在第四象限 a＞0，b＜0。 （3）坐标轴角平分线上的点： ①点 P（a，b）在第一、三象限的坐标轴夹角平分线上 a＝b； ②点 P（a，b）在第二、四象限的坐标轴夹角平分线上 a＝－b。 （4）连线平行于坐标轴的两点：连线平行于 x 轴的两点的纵坐标相同，连线平行于 y 轴的两点的横坐标相同。
小结：借助数轴确定不等式组的解集，可以使“抽象”的问题“直观”化。
知识点二：点的坐标
例 3：已知点 P（a，b） ，ab＞0，a＋b＜0，则点 P 在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 思路分析： 1）题意分析：本题考查坐标平面内点的坐标特征。 2）解题思路：由 ab＞0 知 a、b 同号，又 a＋b＜0，所以 a＜0 且 b＜0，即点 P 在第三 象限。 解答过程：C 解题后的思考：熟记各象限内点的坐标特征是正确解答本题的关键。 例 4：将正整数按如图所示的规律排列下去，若有序数对（n，m）表示第 n 排、从左到右 第 m 个数，如（4，2）表示 9，则表示 58 的有序数对是（ ） A. （11，3） B. （3，11） C. （11，9） D. （9，11）
数形结合思想在初中数学中的应用
数形结合思想在初中数学中的应用数形结合思想是指在数学问题中，将几何图形与数学运算相结合，通过图形的变化和特点来解决数学问题。
它是一种抽象思维和几何思维相结合的思维模式，广泛应用于初中数学的教学和学习中。
1. 公式的认识和应用：通过几何图形的变换和特点，帮助学生认识和理解各种数学公式的含义和应用。
通过画图解释勾股定理，可以帮助学生更好地理解三角形的边与角的关系，加深他们对勾股定理的理解和记忆。
2. 解决面积和体积问题：通过将几何图形与数学计算相结合，解决面积和体积等问题。
将平行四边形切割成若干小三角形，然后通过计算每个小三角形的面积来求解整个平行四边形的面积；通过将长方体切割成若干个立方体，然后通过计算每个立方体的体积来求解整个长方体的体积。
3. 解决比例问题：通过绘制比例图形，帮助学生理解和解决比例问题。
通过绘制两个图形的比例尺，可以帮助学生直观地理解两个量的大小关系，并通过比例尺的计算来解决实际问题。
5. 解决几何证明问题：通过绘制几何图形，帮助学生理解和解决几何证明问题。
通过绘制垂直角的图形，可以帮助学生理解垂直角的性质，并利用垂直角的性质证明几何定理。
6. 解决几何问题的思路和方法：通过数形结合思想，帮助学生培养解决几何问题的思路和方法。
通过绘制几何图形，找出其中的规律和特点，从而推导出问题的解决方法。
需要指出的是，数形结合思想并不仅仅应用于初中数学，它在高中和大学数学中同样有广泛的应用。
通过数形结合思想，可以帮助学生发展抽象思维和几何思维，培养他们解决数学问题的能力和思维方式。
在初中数学中，运用数形结合思想是非常重要的一种教学方法，能够提高学生的数学素养和创新意识，促进他们的综合能力的提高。
初中数学公式数形结合
初中数学公式数形结合数形结合是数学中的一种综合运用方法，通过运用数学公式和几何图形来解决问题。
这种方法可以使抽象的问题更加形象化，更加直观地理解和解决问题。
在初中数学中，数形结合经常被用来解决各种实际问题，如平面图形的面积和周长计算、立体图形的体积和表面积计算等。
首先，我们来看一些与平面图形相关的数形结合的例子。
常见的平面图形有三角形、四边形、圆等。
对于这些图形，我们可以通过不同的公式来计算它们的面积和周长。
对于三角形来说，面积可以使用以下公式来计算：面积=底边长×高÷2周长可以使用以下公式来计算：周长=边1长+边2长+边3长。
对于四边形来说，面积可以使用以下公式来计算：面积=长×宽。
周长可以使用以下公式来计算：周长=边1长+边2长+边3长+边4长。
对于圆来说，面积可以使用以下公式来计算：面积=π×半径的平方。
周长可以使用以下公式来计算：周长=2×π×半径。
通过运用以上公式，我们可以计算出各种平面图形的面积和周长，从而更好地理解它们的性质和关系。
接下来，我们来看一些与立体图形相关的数形结合的例子。
常见的立体图形有立方体、圆柱体、圆锥体等。
对于这些图形，我们可以通过不同的公式来计算它们的体积和表面积。
对于立方体来说，体积可以使用以下公式来计算：体积=边长的立方。
表面积可以使用以下公式来计算：表面积=6×边长的平方。
对于圆柱体来说，体积可以使用以下公式来计算：体积=圆的面积×高。
表面积可以使用以下公式来计算：表面积=圆的面积+2×圆的面积×高。
对于圆锥体来说，体积可以使用以下公式来计算：体积=1/3×圆的面积×高。
表面积可以使用以下公式来计算：表面积=圆的面积+π×半径×斜高。
通过运用以上公式，我们可以计算出各种立体图形的体积和表面积，从而更好地理解它们的性质和关系。
初中数学教学中数形结合思想的应用探究
初中数学教学中数形结合思想的应用探究1. 引言1.1 背景介绍初中数学教学中数形结合思想的应用探究，是当前教育教学领域中的一个热门话题。
随着我国教育体制的改革和数学教学方法的不断创新，数形结合思想逐渐被引入到初中数学教学中，并且取得了一定的成效。
数学是一门抽象的学科，而几何是一门直观的学科，将数学和几何进行结合，不仅有助于学生理解数学的抽象概念，还可以提高学生的空间想象能力和逻辑推理能力。
数形结合思想在初中数学教学中具有重要的意义。
在过去的数学教学中，往往注重于数学知识的传授和计算技巧的训练，而忽视了数学的几何性质和形象性。
这导致了学生对数学的理解能力和实际运用能力的欠缺。
引入数形结合思想，可以弥补传统教学的不足，使学生在学习数学的过程中更加全面地发展自己的能力。
通过数形结合思想的应用探究，可以更好地激发学生的学习兴趣，提高他们的学习积极性，培养他们的数学思维能力和创新精神。
【藏···】1.2 研究目的研究目的旨在深入探讨初中数学教学中数形结合思想的应用，分析其对学生学习效果的影响以及在提升学生数学素养方面的作用。
通过案例分析和具体应用方式的介绍，揭示数形结合思想在数学教学中的重要意义，为教师们提供更有效的教学方法和策略。
此研究旨在为初中数学教学实践提供新的启示和思路，同时也希望通过对数形结合思想的探究，为未来初中数学教学的发展提供有益建议，促进学生对数学的深入理解和高效学习。
2. 正文2.1 数形结合思想在数学教学中的意义数形结合思想是一种将数学知识与几何形式结合起来的教学方法，其在数学教学中具有重要的意义。
数形结合思想可以帮助学生更好地理解抽象概念。
通过将数学知识与具体的几何形式相结合，可以使抽象的数学概念更加具体化，让学生更容易理解和掌握。
数形结合思想可以提高学生的兴趣和参与度。
相比于传统的抽象的数学教学方法，数形结合思想更具有直观性和趣味性，可以激发学生的兴趣，增加他们对数学学习的积极性。
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数形结合 考点1. 借助数轴解不等式及根式的化简： 例1．（2010浙江金华）如图，若A是实数a在数轴上对应的点，则关于a，－a，1的大小关系表示正确的是（ ） A．a＜1＜－a B．a＜－a＜1 C．1＜－a＜a D．－a＜a＜1 【举一反三】 1.（2010湖北宜昌）如图，数轴上A,B两点分别对应实数a，b，则下列结论正确的是（ ）。 A. |a|>|b| B. a+b>0 C. ab<0 D. |b|=b
2.如果关于x的不等式组的解 mxx21有解，求m的取值范围
3.实数a、b上在数轴上对应位置如图3－3－6所示，则2||abb等于（ ） A．a B．a－2b C．－a D．b－a 考点2. 借助平面直角坐标系解函数问题： 例3.（2010 甘肃）已知y关于x的函数图象如图所示，则当0y时，自变量x的取值范围是（ ） A．0x B．11x或2x C．1x D．1x或12x 例4．（2010 山东省德州）某游泳池的横截面如图所示，用一水管向池内持续注水，若单位时间内注入的水量保持不变，则在注水过程中，下列图象能反映深水区水深h与注水时间t关系的是
（Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ） 【举一反三】
1．（2010重庆市潼南县）如图，四边形ABCD是边长为1 的正方形，四边形EFGH是边长为2的正方形，点D与点F重合，点B，D（F），H在同一条直线上，将正方形ABCD沿F→H方向平移至点B与点H重合时停止，设点D、F之间的距离为x，正方形ABCD与正方形EFGH重叠部分的面积为y，则能大致反映y与 x之间函数关系的图象是（ ）
考点3. 利用图形理解代数恒等式
t h O t h O t h
O h
t O
0 1 A (第1题图)
AB10-1-2ba例5．（2010辽宁丹东市） 图①是一个边长为()mn的正方形，小颖将图①中的阴影部分拼成图②的形状，由图①和图②能验证的式子是（ ） A．22()()4mnmnmn B．222()()2mnmnmn C．222()2mnmnmn D．22()()mnmnmn
例6．（2010 浙江衢州）如图，边长为(m+3)的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后余部分又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，若拼成的矩形一边长为3，则另一边长是（ ） A．2m+3 B．2m+6 C．m+3 D．m+6
例7．（2010四川达州）如图1，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形（a＞b）,将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的恒等式为 A.2222abaabb B.2222abaabb C.22()()ababab D.2()aabaab
) 【举一反三】 1． （2010浙江湖州）将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，你能根据两个图形的面积关系得到的数学公式是 ．
2.如图，点A，D，G，M在半圆O上，四边型ABOC，DEOF，HMNO均为矩形，设BC=a，EF=b，NH=c，则下列各式中正确的是 ( ) A. a>b>c B. a=b=c C. c>a>b D. b>c>a
图1 考点4.借助直角三角形解三角比问题 例8．(南京·2007中考)如图,A、B两地之间有一座山,汽车原来从A地到B地须经C地沿折线A—C—B行驶,现开通隧道后,汽车直接沿直线AB行驶.已知AC=10km,∠A=30°,∠B=45°,则隧道开通后,汽车从A地到B地比原来少走多少千米?(结果精确到0.1km)(参考数据:41.12,73.13)
考点5.借助勾股定理等几何图形的知识解实际问题 例9．(上海·2006中考)本市新建的滴水湖是圆形人工湖.为测量该湖的半径,小杰和小丽沿湖边选取A、B、C三根木柱,使得A、B之间的距离与A、C之间的距离相等,并测得BC长为240米,A到BC的距离为5米,如图1所示.请你帮他们求出滴水湖的半径.
【举一反三】 气象台发布的卫星云图显示，代号为W的台风在某海岛（设为点O）的南偏东45°方向的B点生成，测得OB=100√6km.台风中心从点B以40km/h的速度向正北方向移动，经5h后到达海面上的点C处.因受气旋影响，台风中心从点C开始以30km/h的速度向北偏西60°方向继续移动.以O为原点建立如图所示的直角坐标系. （1）台风生成中心点B的坐标为 ______ ，台风中心转折点C的坐标为 _____ (结果保留根号） （2）已知距台风中心20km的范围内均会受到台风的侵袭.如果某城市（设为点A）位于点O的正北方向且处于台风中心的移动路线上，那么台风从生成到最初侵袭该城要经过多长时间？
考点6.借助图形解决代数式或函数最值问题 例10．解关于x的方程631xx
【举一反三】 1 解关于x的方程231xx
A B C 30453图
· · · A B C
图2
· O D 考点7.借助图形解决函数解析式问题 例12 在同一坐标系内，直线l1：y=（k-2）x+k和l2：y=kx的位置可能为（ ）
例13．如果一次函数0,0bkbkxy的图象经过第二、三、四象限，那么（ ） （A）0k且0b （B）0k且0b （C）0k且0b （D）0k且0b 例14．已知y=ax2+bx+c的图象如下，
则：a____0 b___0 c___0 a+b+c____0， a-b+c__0。2a+b____0 b2-4ac___0 4a+2b+c 0
【举一反三】
1 一次函数y=kx+b的图象经过点(m,1)和(-1,m)其中m>-1则k、b应满足（ ） （A）k>0且b>0 （B）k>0且b<0 （C）k<0且b>0 （D）k<0且b<0 2 如果函数y=kx+b的图象在第一、二、三象限内，那么函数y=kx2+bx-1的图象大致是（ ）
3 当k0时，反比例函数ykx和一次函数ykxk的图象大致是（ ）
4.二次函数cbxaxy2的图象如图所示． 有下列结论：
①240bac； ②0ab； ③0abc；
y y y y O x O x O x O x A B C DO xy
0 2 3 x
y
C A
y
x O
④40ab； ⑤当2y时，x等于0． ⑥02cbxax有两个不相等的实数根 ⑦22cbxax有两个不相等的实数根 ⑧0102cbxax有两个不相等的实数根 ⑨42cbxax有两个不相等的实数根 其中正确的是（ ） 5. （10 四川自贡）y=x2＋（1－a）x＋1是关于x的二次函数，当x的取值范围是1≤x≤3时，y在x＝1时取得最大值，则实数a的取值范围是（ ）。 A．a=5 B．a≥5 C．a＝3 D．a≥3
6.小明从右边的二次函数cbxaxy2图象中，观察得出了下面的五条信息：
①0a，②0c，③函数的最小值为3，④当0x时，0y，⑤当1202xx时，12yy．你认为其中正确的个数为（ ）
Ａ．2 Ｂ．3 Ｃ．4 Ｄ．5
7.已知二次函数cbxaxy2，其中abc，，满足0abc和930abc，则该二次函数图象的对称轴是直线 ．
8.直已知y=ax2+bx+c中a<0，b>0，c<0 ，△<0，函数的图象过 象限。
9.若),41(),,45(),,413(321yCyByA为二次函数245yxx的图象上的三点，则1y，2y，3y的大小关系是（ ） A．123yyy B．213yyy C．312yyy D．132yyy 10.在同一平面直角坐标系中，一次函数yaxb和二次函数2yaxbx的图象可能为（ ）
11.二次函数cbxaxy2的图象如图所示，则直线ybxc的图象不经过（ ） Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限 12.抛物线y=ax2+bx+c的图象如图，OA=OC，则 （ ） （A） ac+1=b （B） ab+1=c （C）bc+1=a （D）以上都不是
13.已知二次函数y=a2x+bx+c,且a＜0,a-b+c＞0,则一定有（ ） Ａ 24bac ＞0 Ｂ24bac＝０ Ｃ24bac＜０ Ｄ24bac≤０
yOxyOxyOxy
OxＡＢＣＤ14.若二次函数y=ax2+bx+c的顶点在第一象限，且经过点（0，1），（-1，0），则S=a+b+c的变化范围是 ( ) （A）01 (C) 1
15.（10包头）已知二次函数2yaxbxc的图象与x轴交于点(20)，、1(0)x，，且112x，与y轴的正半轴的交点在(02)，的下方．下列结论：①420abc；②0ab；③20ac；④210ab．其中正确结论的个数是 个． 考点8.借助图形解决实际问题
例15．（嘉峪关）某公司推销一种产品，设x（件）是推销产品的数量，y（元）是推销费，图3－3－1已表示了公司每月付给推销员推销费的两种方案，看图解答下列问题： （1）求y1与y2的函数解析式； （2）解释图中表示的两种方案是如何付推销费的？ （3）果你是推销员，应如何选择付费方案？
【举一反三】 1 某商业公司为指导某种应季商品的生产和销售，对二月份至七月份的该商品的销售和成本进行了调研，结果如下：每件商品的售价M（元）与时间t（月）的关系可用一条线段上的点来表示（如图），每件商品的成本Q（元）与时间t的关系可用一条抛物线的一部分上的点来表示（如图）（说明：图①、图②中的每一个实心黑点所对应的纵坐标，分别指相应月份的售价和成本） 请你根据图像提供的信息回答： （1）每件商品在3月份出售时的利润（利润=售价－成本）是多少元？ （2）求图中表示的每件商品的成本Q（元）与时间t（月）之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围） （3）你能求出三月份至七月份每件商品的利润W（元）与时间t（月）之间的函数关系式吗？（请写出计算过程，不要求写自变量的取值范围）若该公司共有此种商品30000件，准备在一个月内全部售完，请你计算一下至少可获利多少元？
2：（嘉峪关）某公司推销一种产品，设x（件）是推销产品的数量，y（元）是推销费，图3－3－1已表示了公司每月付给推销员推销费的两种方案，看图解答下列问题： （1）求y1与y2的函数解析式； （2）解释图中表示的两种方案是如何付推销费的？ （3）果你是推销员，应如何选择付费方案？