2019年高考真题文科数学解析分类汇编13：复数
2019年高考数学(文)热点题型和提分秘籍专题33复数(教学案)含解析
1.理解复数的基本概念2.理解复数相等的充要条件3.了解复数的代数表示法及其几何意义4.会进行复数代数形式的四则运算5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义热点题型一 复数的有关概念 例1、（2018年浙江卷）复数(i 为虚数单位)的共轭复数是A. 1+iB. 1−iC. −1+iD. −1−i 【答案】B【变式探究】【2017课标1，文3】下列各式的运算结果为纯虚数的是 A ．i(1+i)2B ．i 2(1-i)C ．(1+i)2D ．i(1+i)【答案】C【解析】由2(1)2i i +=为纯虚数知选C ．【变式探究】(1)复数z 满足(z －3)(2－i)＝5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 为( ) A ．2＋i B ．2－i C ．5＋i D ．5－i(2)设i 是虚数单位，若复数a －103－i (a ∈R)是纯虚数，则a 的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3【解析】(1)由(z －3)(2－i)＝5，得z ＝52－i ＋3＝＋－2＋＋3＝＋5＋3＝5＋i ，∴z ＝5－i.故选D 。
(2)复数a －103－i ＝a －＋10＝(a －3)－i 为纯虚数，∴a －3＝0，∴a ＝3。
故选D 。
【答案】B热点题型三 复数的运算例3．（2018年全国Ⅱ卷文数）A.B.C.D.【答案】D 【解析】选D.【变式探究】【2017山东，文2】已知i 是虚数单位,若复数z 满足i 1i z =+,则2z = A.-2i B.2i C.-2 D.2 【答案】A【解析】由i 1i z =+得,即22i z -=,所以22i z =-,故选A. 【变式探究】(1)已知复数z ＝3＋i －32，z 是z 的共轭复数，则z ·z ＝__________。
(2)2＋23＋－－＝__________。
(3)已知复数z 满足iz ＋i ＝2－i ，则z ＝__________。
三年高考(2019)高考数学试题分项版解析 专题27 复数 文(含解析)
专题27 复数文考纲解读明方向分析解读 1.掌握复数、纯虚数、实部、虚部、共轭复数、复数相等等相关概念,会进行复数代数形式的四则运算.考查学生运算求解能力.2.复数的概念及运算是高考必考点.本章在高考中以选择题为主,分值约为5分,属容易题.2018年高考全景展示1．【2018年浙江卷】复数 (i为虚数单位)的共轭复数是A. 1+iB. 1−iC. −1+iD. −1−i【答案】B【解析】分析:先分母实数化化简复数，再根据共轭复数的定义确定结果.点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数的相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭复数为.2．【2018年文新课标I卷】设，则A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：首先根据复数的运算法则，将其化简得到，根据复数模的公式，得到，从而选出正确结果.详解：因为，所以，故选C.点睛：该题考查的是有关复数的运算以及复数模的概念及求解公式，利用复数的除法及加法运算法则求得结果，属于简单题目.3．【2018年全国卷Ⅲ文】A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由复数的乘法运算展开即可。
详解：，故选D.点睛：本题主要考查复数的四则运算，属于基础题。
4．【2018年文数全国卷II】A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：根据复数除法法则化简复数，即得结果.详解：选D.点睛：本题考查复数除法法则，考查学生基本运算能力.5．【2018年江苏卷】若复数满足，其中i是虚数单位，则的实部为________．【答案】2【解析】分析：先根据复数的除法运算进行化简，再根据复数实部概念求结果.点睛：本题重点考查复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭复数为.2017年高考全景展示1.【2017课标1，文3】设有下面四个命题1p ：若复数z 满足1z∈R ，则z ∈R ；2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ；3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =；4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为 A.13,p pB ．14,p pC ．23,p pD ．24,p p【答案】B 【解析】对于4p ，因为实数没有虚部，所以它的共轭复数是它本身，也属于实数，故4p 正确，故选B. 【考点】复数的运算与性质.【名师点睛】分式形式的复数，分子分母同乘分母的共轭复数，化简成(,)z a bi a b R =+∈的形式进行判断，共轭复数只需实部不变，虚部变为原来的相反数即可. 2.【2017课标II ，文1】31ii+=+（ ） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i - 【答案】D 【解析】试题分析：由复数除法的运算法则有：()()3+13212i i i i i -+==-+，故选D 。
高考数学(文)复习 五年高考真题分类汇编 数系的扩充与复数的引入 (2019高考复习资料)
第十四章 数系的扩充与复数的引入题型148 复数的概念及分类2013年1. (2013安徽文1）设i 是虚数单位，若复数()103ia a -∈-R 是纯虚数，则a 的值为（ ）. A. 3- B. 1- C. 1 D. 32014年1. （2014江苏2）已知复数()252i z =+（i 为虚数单位），则z 的实部为 ． 2.（2014湖南文11）复数23ii+（i 为虚数单位）的实部等于 . 2015年1. (2015北京文9)复数()i 1i +的实部为 .1. 解析 由题意可得()2i1i i i 1i +=+=-+ ，其实部为1-. 2．（2015重庆文11）复数()12i i +的实部为________.2. 解析 2(12i)i 2i 2i,++=-+实部为2-．2016年1.（2016全国乙文2）设()()12i i a ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a =（ ）. A.3- B.2- C.2 D.31.A 解析 由题意()()()()12i i 221i a a a ++=-++，故221a a -=+，解得3a =-.故选A.2.（2016江苏2）复数()()12i 3i z =+-，其中i 为虚数单位，则z 的实部是 . 2. 5解析 由复数乘法法则可得55i z =+，故z 的实部是5.3.（2016上海文2）设32iiz +=，其中i 为虚数单位，则Im z = . 3. 3-分析 在部分教材中，Im z 表示复数的虚部，Re z 表示复数的实部. 解析 因为()i 32i 23i z =-+=-，故Im 3z =-.4.（2016天津文9）i 是虚数单位，复数z 满足(1i)2z +=，则z 的实部为_______. 4.1 解析 由(1i)z +=2，即21i 1iz ==-+，所以z 的实部为1. 2017年1.（2017全国1文3）下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ）.A ．()2i 1i + B ．()2i 1i - C ．()21i + D ．()i 1i +1.解析 因为2(1i)2i +=为纯虚数.故选C.2.（2017天津卷文9）已知a ∈R ，i 为虚数单位，若i2ia -+为实数，则a = . 2.解析 因为()()()()()()i 2i 212i i 212i 2i 2i 2i 555a a a a a a ----+--+===-++-为实数，所以205a +=，所以2a =-.3.（2017浙江卷12）已知a ，b ∈R ，()2i 34i a b +=+（i 是虚数单位），则22a b += ，ab = .3.解析 由222(i)2i a b a b ab +=-+，()2i 34i a b +=+，所以223,2a b ab -==， 解得2,1a b ==，所以225a b +=，2ab =． 题型149 与共轭复数、复数相等有关的问题2014年1. （2014山东文1）已知,,i a b ∈R 是虚数单位. 若i a +＝2i b -，则()2i a b +=（ ）. A. 34i -B. 34i +C. 43i -D. 43i +2.（2014陕西文3）已知复数2i z =-，则z z ⋅的值为（ ）. A.5 B.5 C.3 D.33. （2014广东文10）对任意复数12,ωω定义1212ωωωω=﹡，其中2ω是2ω的共轭复数，对任意复数123,,z z z 有如下四个命题：①()()()1231323z z z z z z z +=+﹡﹡﹡；②()()()1231213z z z z z z z +=+﹡﹡﹡； ③()()123123z z z z z z =﹡﹡﹡﹡；④1221z z z z =﹡﹡； 则真命题的个数是（ ）. A.1 B.2 C.3 D.44.（2014北京文9）若()()i i 12i x x +=-+∈R ，则x = .2015年1．（2015福建卷文1）若()()1i 23i i a b ++-=+（,,i a b ∈R 是虚数单位），则,a b 的值分别等 于（ ）.A ． 3,2-B ．3,2C ．3,3-D ．1,4- 1.解析 由已知得32i i a b -=+，所以3,2a b ==.故选A ． 2.（2015全国二文2）若a 为实数，且2i3i 1ia +=++，则a =（ ）. A.4- B. 3- C. 3 D. 42. 解析 可去分母两边同乘1i +得，()()2i 1i 3i 24i a +=++=+，则4a =.故选D.评注 分式型复数的运算，关键是运算的正确性，难度不大. 3.（2015山东文2）若复数z 满足i 1iz=-，其中i 为虚数单位，则z =（ ）. A. 1i -B. 1i +C.1i -- D.1i -+3. 解析 因为i 1iz=-，所以()1i i =1+i z =-，所以1i z =-.故选A. 2016年1.（2016全国丙文2）若43i z =+，则||zz =（ ）. A.1 B.1-C.43+i 55D.43i 55-1.D 解析 因43i z =+，则其共轭复数为43i z =-，其模为|||43i |5z =+=，故43i ||55z z =-.应选答案D. 2.（2016全国甲文2）设复数z 满足i 3i z +=-，则z =（ ）. A.12i -+B.12i -C.32i +D.32i -2.C 解析 因为32i z =-，所以32i z =+.故选C.3.（2016山东文2）若复数21iz =-，其中i 为虚数单位，则z =（ ）. A.1+i B.1i - C.1i -+ D.1i --3. B 解析 由21i z ==-()()()21i 1i 1i +=-+1i +，可得1i z =-.故选B. 题型150 复数的模2013年1. （2013山东文1）复数()22i iz -=（i 为虚数单位），则z =（ ）.A.25B.C. 5D. 2．(2013广东文3）若()i i 34i x y +=+(),x y ∈R 则复数i x y +的模是 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 3. (2013辽宁文2） 复数的1i 1z =-的模为（ ）.A.12 B. C. D. 24. （2013江苏2）设2(2i)z =-（i 为虚数单位），则复数z 的模为 . 5. (2013重庆文11）已知复数12i z =+（i 是虚数单位），则z = .2014年1.（2014新课标Ⅰ文3）设1i 1iz =++，则z =（ ）A.12 B. 2 C. 2D. 2 2.（2014江西文1）若复数z 满足(1i)2i z +=（i 为虚数单位），则||z =（ ）A.1B.22015年1.（2015陕西文12）设复数()()1,z x yi a y =-+∈R ，若1z …，则y x …的概率为（ ）.A.3142π+ B. 112π+ C. 1142π- D. 112π- 1.解析 由题意作图，如图所示.根据图形的几何意义可得：()()221i 111z x y z x y =-+⇒=⇒-+.2.（2015江苏3）设复数z 满足234i z =+（i 是虚数单位），则z 的模为 ． 2.解析 解法一：设i z a b =+，则()()2222i 2i 34i z a b a b ab =+=-+=+，从而22324a b ab ⎧-=⎨=⎩，即222234a b a b ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，故2241a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩或2214a b ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，从而z ==解法二：由题意2234i 5z z ==+==，故z =．2016年1.（2016全国丙文2）若43i z =+，则||zz =（ ）. A.1 B.1-C.43+i 55D.43i 55-1. D 解析 因43i z =+，则其共轭复数为43i z =-，其模为|||43i |5z =+==，故43i ||55z z =-.故选D. 2017年1.（2017江苏卷2）已知复数()()1i 12i z =++，其中i 是虚数单位，则z 的模是 ． 1.解析 解法一：()()1i 12i z =++13i =-+，所以z =解法二：()()1i 12i z =++1i 12i =+⋅+=题型151 复数的代数运算2013年1. (2013浙江文2） 已知i 是虚数单位，则()()2i 3i ++= A.55i - B.75i - C.55i?+ D.75i +2. (2013天津文9）i 是虚数单位. 复数()()3i 12i +=- .2014年1.（2014天津文1）i 是虚数单位，复数7i34i +=+（ ）. A.1i - B. 1i -+ C.1731i 2525+ D. 1725i 77-+ 2.（2014新课标Ⅱ文2）13i 1i+=-（ ）A.12i +B.12i -+C.12i -D.12i -- 3.（2014安徽文1）设i 是虚数单位，复数32ii 1i+=+（ ）. A.i - B.i C.1- D. 14.（2014辽宁文2）设复数z 满足(2i)(2i)5z --=，则z =（ ） A ．23i + B ．23i - C ．32i + D ．32i -5.（2014福建文2）复数()32i i +等于（ ）.A.23i --B.23i -+C.23i -D. 23i + 6.（2014广东文2）已知复数z 满足()34i 25,z -=则z =（ ）. A.34i -- B. 34i -+ C. 34i - D. 34i +7.（2014湖北文2）i 为虚数单位，21i 1i -⎛⎫= ⎪+⎝⎭（ ）.A ．1B ．1-C ．iD ． i -8.（2014浙江文11）已知i 是虚数单位，计算()21i=1+i -____________.9.（2014四川文12）复数22i1i-=+____________.2015年1.(2015安徽文1)设i 是虚数单位，则复数()()1i 12i -+=（ ）.A. 33i +B. 13i -+C. 3i +D. 1i -+1. 解析 因为()()21i 12i 12i i 2i 3i -+=+--=+.故选C.2.（2015广东文2）已知i 是虚数单位，则复数()21i +=（ ）.A ．2iB ．2i - C ．2 D ．-22. 解析 由题意可得()221i 12i i 12i 12i +=++=+-=.故选A ．3. (2015湖北文1)i 为虚数单位，607i =（ ）. A ． i B ．i - C ．1 D ．-13. 解析 6076061i i 1i i +==-⨯=-，故选B.4.（2015湖南文1）已知()21i 1i z-=+（i 为虚数单位），则复数z =（ ）.A.1i +B.1i -C.1i -+D.1i --4. 解析 由题意得，2(1i)2i1i 1i 1iz -===--++.故选D. 5.（2015全国1文3）已知复数z 满足(1)i 1i z -=+，则z =（）.A.2i -- B. 2i -+ C. 2i - D. 2i +5. 解析 由题意可得i 1i i 12i z =++=+，12i2i i z +==-.故选C. 6.（2015四川文11）设i 是虚数单位，则复数1i i-=_____________.6. 解析 1i i i 2i i-=+=.7.（2015天津文9）i 是虚数单位，计算12i2i-+ 的结果为 ．7. 解析()2i i 212i i 2i i 2i 2i 2i-+---===-+++. 2016年1.（2016北京文2）复数12i2i+=-（ ）. A. i B. 1+i C. i -D. 1i -1. A 解析 由题意可得12i 2i+=-22i i 2i -=-i(2i)i 2i -=-.故选A. 2.（2016四川文1）设i 为虚数单位，则复数2(1i)+=（ ）. A. 0 B.2 C.2i D.22i + 2. C 解析 由题意，22(1i)12i i 2i +=++=.故选C .1.（2017全国2卷文2）()()1i 2i ++=（ ）.A.1i -B. 13i +C. 3i +D.33i + 1. 解析 由题意，2(1i)(2i)23i i 13i ++=++=+.故选B.2.（2017山东卷文2）已知i 是虚数单位，若复数z 满足i 1i z =+，则2z =（ ）. A.2i - B. 2i C. 2- D. 2 2. 解析 解法一：由于1i1i iz +==-，故22(1i)2i.z =-=-故选A. 解法二：由i 1i z =+，得2222(i)(1i)2i 2i z z z =+⇒-=⇒=-.故选A. 题型152 复数的几何意义2013年1．(2013福建文1）复数的12i z =--（i 为虚数单位）在复平面内的点位于（ ）.A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2. （2013江西文1）复数()i 2i z =--（i 为虚数单位）在复平面内所对应的点在（ ）. A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3. （2013四川文3）如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是（ ）.A. AB. BC. CD.D4. (2013湖南文1）复数()()i 1i i z =⋅+为虚数单位在复平面上对应的点位于（ ）.A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5.（2013湖北文11）i 为虚数单位，设复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于原点对称，若123i z =-，则2z =2014年1.（2014重庆文1）实部为2-，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的（ ）.A. 第一象限B.第二象限C. 第三象限D.第四象限1.（2017全国3卷文2）复平面内表示复数()i 2i z =-+的点位于（ ）. A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限1. 解析 2i (2i )2i i 12i z =-+=-+=--，所以该复数位于第三象限.故选C. 评注 考点为复数的乘法运算与复数的象限表示，属于基础题型.2.（2017北京卷文2）若复数()()1i i a -+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是（ ）.A.()–1∞，B.()––1∞，C.()1+∞，D.()–1+∞， 2. 解析 运算直接(1i)(i)1(1)i a a a -+=++-，因为对应点在第二象限，所以1010a a +<⎧⎨->⎩，所以1a <-.故选B.第十三章 推理与证明第一节 合情推理与演绎推理题型143 归纳推理2013年1. (2013陕西文13） 观察下列等式：()1121+=×()()22122213++=××()()()33132332135+++=×××照此规律，第n 个等式可为 .2014年1.（2014陕西文14）已知()1xf x x=+，0x …，()()1f x f x =，()()()+1n n f x f f x =()n ∈+N ，则()2014f x 的表达式为__________.2. （2014安徽文12）如图所示，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC =A 作BC的垂线，垂足为1A ；过点1A 作AC 的垂线，垂足为2A ；过点2A 作1A C 的垂线，垂足为3A ；…，以此类推，设1BA a =，12AA a =，123A A a =，…，567A A a =，则7a = .2015年1.（2015陕西文16）观察下列等式：11122-= 11111123434-+-=+11111111123456456-+-+-=++……据此规律，第n 个等式可为__________.1.解析 观察等式知，第n 个等式的左边有2n 个数相加减，奇数项为正，偶数项为负，且 分子为1，分母是1到2n 的连续正整数，等式的右边是111122n n n+++++. 故答案为()*111111111234212122n n n n n n-+-++-=+++∈-++N . 2.（2015江苏23）已知集合{}1,2,3X =，{}1,2,3,,n Y n =…()*n ∈N ，设(){,n S a b a =整除b 或b 整除a ，},n a X b Y ∈∈，令()f n 表示集合n S 所含元素的个数．（1）写出()6f 的值；（2）当6n …时，写出()f n 的表达式，并用数学归纳法证明．2. 分析 其实解决此除了需要有良好的数学分类思维以外，还需下表辅助我们理解问题的本质．1234567891011121314151617186162636465661k k k k k k k k +++++++共………………组组第ABC1A 2A 3A 4A带标记的表示为3的倍数或约数（其实1是奇葩，其余的都是3的倍数），带标记的表示为2的倍数或约数，而则表示既是3的倍数或约数又是2的倍数或约数（即为6的倍数或约数，此题不作研究）．这样研究6n k=()*k ∈N 时，可直接得:()()()()63121112f n k k k k =++++=+，当63n k =+()*k ∈N 时，可直接得：()()()()63311211117f n k k k k =+++++++=+．这就是本题的本质，以6为周期进行分类整合并进行数学归纳研究． 解析 （1）当6n =时，{}1,2,3X =，{}1,2,3,4,5,6n Y =，(),a b 可取()1,1，()1,2，()1,3，()1,4，()1,5，()1,6，()2,1，()2,2，()2,4，()2,6，()3,1，()3,3，()3,6，共13个，故()613f =．（2）当6n …时，()()*112,6113,61115,62117,63119,641110,65k n k k n k k n k f n k n k k n k k n k k +=⎧⎪+=+⎪+=+⎪=⎨+=+⎪⎪+=+⎪+=+∈⎩N ，证明：1︒当1k =时，枚举可得()613f =，()714f =，()816f =，()918f =，()1020f =，()1121f =，符合通式；2︒假设k t =时，成立，即()()*112,6113,61115,62117,63119,641110,65t n t t n t t n t f n t n t t n t t n t t +=⎧⎪+=+⎪+=+⎪=⎨+=+⎪⎪+=+⎪+=+∈⎩N 成立， 则当1k t =+时，此时66n t =+，此时()6f n +比()f n 多出有序数对11个，即多出()1,61t +，()1,62t +，()1,63t +，()1,64t +，()1,65t +，()1,66t +，()2,62t +，()2,64t +，()2,66t +，()3,63t +，()3,66t +，从而()()()6111112f n f n t +=+=++，符合通式；另外，当67n t =+，68n t =+，69n t =+，610n t =+，611n t =+，同理可证，综上，即()()()()()()()()*1112,661113,671115,6861117,691119,61011110,611t n t t n t t n t f n t n t t n t t t n t ++=+⎧⎪++=+⎪⎪++=+⎪+=⎨++=+⎪⎪++=+⎪++=+⎪∈⎩N ， 即当1k t =+时也成立． 例如61n k =+时，16n k -=，则()111711311366n n f n k -+=+=⨯+=， 综上所述：()()*1112,66117,616118,626119,6361110,646115,656n n k n n k n n k f n n n k n k k n n n k +⎧=⎪⎪+⎪=+⎪⎪+⎪=+⎪=⎨+⎪=+⎪⎪+⎪=+⎪⎪+=+⎪⎩∈N ．2016年1.（2016山东文12）观察下列等式：22π2π4(sin )(sin )12333--+=⨯⨯；2222π2π3π4π4(sin )(sin )(sin )(sin )2355553----+++=⨯⨯；2222π2π3π6π4(sin )(sin )(sin )(sin )3477773----+++⋅⋅⋅+=⨯⨯；2222π2π3π8π4(sin )(sin )(sin )(sin )4599993----+++⋅⋅⋅+=⨯⨯；……照此规律，2222π2π3π2π(sin)(sin )(sin )(sin )21212121n n n n n ----+++⋅⋅⋅+=++++_________.1.()413n n ⨯⨯+ 解析 通过观察这一系列等式可以发现，等式右边最前面的数都是43，接下来是和项数有关的两项的乘积，经归纳推理可知是()1n n +，所以第n 个等式右边是()413n n ⨯⨯+.题型144 类比推理——暂无题型145 演绎推理——隐含在好多题目的证明过程中 补充题型 逻辑推理2014年1.（2014新课标Ⅰ文14）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为 .2017年1.（2017全国2卷文9）甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：“你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩”．看后甲对大家说：“我还是不知道我的成绩”．根据以上信息，则（ ）.A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩1.解析 由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲、丁一人优秀一人良好，乙看到丙的结果则知道自己的结果，丁看到甲的结果则知道自己的结果.故选D.第二节 证明题型146 综合法与分析法证明2015年1.（2015全国II 文24）选修4-5：不等式选讲 设a ，b ，c ，d 均为正数，且a b c d +=+.证明：(1)若ab cd >b c -<-1. 分析（1）由a b c d +=+，及ab cd > ，可证明22> ，两边开；（2）由第（1）问的结论来证明.在证明中要注意分别证明充 分性和必要性.解析 （1）因为2a b =++2c d =++由题设a b c d +=+，ab cd >，得22>>（2）(i)若a b c d -<-，则()()22a b c d -<-，即()()2244a b ab c d cd +-<+-.因为a b c d +=+，所以ab cd >，由（1>(ii)22>，即a b ++c d >++因为a b c d +=+，所以ab cd >，于是()()()()222244a b a b ab c d cd c d -=+-<+-=-，因此a b c d -<-.是a b c d -<-的充要条件.命题意图 不等式的证明要紧抓不等式的性质，结合其正负性来证明.充要条件的证明体现了数学推理的严谨性，要分充分性和必要性两个方面来证明.2016年1.（2016四川文18（1））在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos cos sin .A B Ca b c+=证明：sin sin sin A B C =. 1. 解析 根据正弦定理，可设(0)sin sin sin a b ck k A B C===>，则sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =.代入cos cos sin A B Ca b c +=中，有cos cos sin sin sin sin A B C k A k B k C+=， 可变形得sin sin sin cos +sin cos sin().A B A B B A A B ==+在ABC △中，由πA B C ++=，有()()sin sin πsin A B C C +=-=，所以sin sin sin .A B C = 2.（2016浙江文16（1））在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知2cos b c a B +=. 证明：2A B =.2.解析 （1）由正弦定理得sin +sin 2sin cos B C A B =，故2sin cos sin sin()sin sin cos cos sin A B B A B B A B A B =++=++，于是sin sin()B A B =-.又(),0,πA B ∈，故0πA B <-<，所以π()B A B =--或B A B =-， 因此πA =（舍去）或2A B =，所以2.A B =题型147 反证法证明2014年1. （2014山东文4）用反证法证明命题：“设,a b 为实数，则方程30x ax b ++=至少有一个实根”时，要做的假设是（ ）. A. 方程30x ax b ++=没有实根B. 方程30x ax b ++=至多有一个实根C. 方程30x ax b ++=至多有两个实根D. 方程30x ax b ++=恰好有两个实根2015年1.（2015湖南理16（3））设0a >，0b >，且11a b a b+=+. （1）2a b +…；（2）22a a +<与22b b +<不可能同时成立. 1. 解析 证明： 由abba b a b a +=+=+11，0,0>>b a ，得 1=ab .（i ）由基本不等式及1=ab ，有2a b +=…，即2a b +…. (ii ) 假设22<+a a 与22<+b b 同时成立，则由22<+a a 及0>a 得10<<a ；同理，10<<b ，从而10<<ab ，与1=ab 相矛盾. 故22<+a a 与22<+b b 不可能同时成立.2016年1.（2016全国甲文16）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3. 甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是_______.1. (1,3) 解析 由题意得：丙不拿()23，，若丙()12，，则乙()23，，甲()13，满足；若丙()13，，则乙()23，，甲()12，不满足，故甲()13，.2.（2016上海文22）对于无穷数列{}n a 与{}n b ，记{}*,n A xx an ==∈N ，{}*,n B x x b n ==∈N ，若同时满足条件：①{}n a ，{}n b 均单调递增；②AB =∅且*A B =N ，则称{}n a 与{}n b 是无穷互补数列.（1）若21n a n =-，42n b n =-，判断{}n a 与{}n b 是否为无穷互补数列，并说明理由； （2）若n a =2n且{}n a 与{}n b 是无穷互补数列，求数列{}n b 的前16项的和；（3）若{}n a 与{}n b 是无穷互补数列，{}n a 为等差数列且1636a =，求{}n a 与{}n b 的通项公式.2. 解析 （1）易知{}1,3,5,7,9,11,A =⋅⋅⋅，{}2,6,8,12,B =⋅⋅⋅， 而4A ∉，4B ∉，所以4AB ∉，从而{}n a 与{}n b 不是无穷互补数列.（2）由题意{}2,4,8,16,32,A =⋅⋅⋅，因为416a =，所以1616420b =+=. 数列{}n b 的前16项的和为()()23412202222++⋅⋅⋅+-+++=()512020221802+⨯--=.（3）设{}n a 的公差为d ，d *∈N ，则1611536a a d =+=. 由136151a d =-…，得1d =或2.若1d =，则121a =，20n a n =+，与“{}n a 与{}n b 是无穷互补数列”矛盾， 因为此时{}n b 不是无穷数列；若2d =，则16a =，24n a n =+，,525,5n n n b n n ⎧=⎨->⎩….综上所述，24n a n =+，,525,5n n n b n n ⎧=⎨->⎩….第三章 导数第2节 导数的应用题型40 方程解(零点)的个数问题1.（2014江苏19（2））已知函数()32f x x ax b =++(),a b ∈R ．若b c a =-（实数c 是与a 无关的常数），当函数()f x 有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是()33,31,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求c 的值． 1.解析 解法一：因b c a =-，故()32f x x ax c a =++-， 由（1）得：1︒当0a =时，()f x 单调递增，不满足题意； 2︒当0a <时，若函数()f x 有三个不同的零点，则()324032700f f a a c a ff c a ⎧⎛⎫==+-< ⎪⎪⎝⎭⎨⎪=--=>⎩极小极大恒成立，从而3427c a a c a⎧<-+⎪⎨⎪>⎩对(,3)a ∈-∞-恒成立， 构造()3427g a a a =-+，则()24'109g a a =-+<对(,3)a ∈-∞-恒成立， 故()g a 单调递减，从而()()31g a g >-=，故31c-剟．3︒当0a >时，若函数()fx 有三个不同的零点，则()324032700f f a a c a ff c a ⎧⎛⎫==+-> ⎪⎪⎝⎭⎨⎪=--=<⎩极大极小恒成立， 从而3427c a a c a ⎧>-+⎪⎨⎪<⎩对331,,22a ⎛⎫⎛⎫∈+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭恒成立， 构造()3427g a a a =-+， 则()22449'1994g a a a ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭433922a a ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，令()0g a >，则312a <<， 故()g a 在31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，则()312g a g ⎛⎫<= ⎪⎝⎭，从而11c c ⎧⎨⎩……，即1c =． 综上得1c =．解法二：因b c a =-，故()32f x x ax c a =++-， 由（1）得：1︒当0a =时，()f x 单调递增，不满足题意； 2︒当0a ≠时，若函数()f x 有三个不同的零点，则只需保证()203f f f a f ⎛⎫⋅=⋅ ⎪⎝-⎭极大极小()34027a c a c a ⎛⎫=+--< ⎪⎝⎭，又实数a 的解集为()33,31,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此13a =-，21a =，332a =是方程()34027a c a c a ⎛⎫+--=⎪⎝⎭的三个实数根， 易知该方程必有一根a c =， 从而若3c =-时，则()3433027a a a ⎛⎫----=⎪⎝⎭，验证知21a =不为其根，故舍； 若1c =时，则()3411027a a a ⎛⎫+--=⎪⎝⎭，验证知13a =-，332a =是其根， 验证不等式()3411027a a a ⎛⎫+--<⎪⎝⎭，即()()()232310a a a +--<， 即()()()232310a a a +-->，其解集为()33,31,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，满足题意；若32c =时，则343302722a a a ⎛⎫⎛⎫+--=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，验证知21a =不为其根，故舍． 综上得1c =．解法三：因b c a =-，故()32f x x ax c a =++-， 由（1）得： 1︒当0a =时，()f x 单调递增，不满足题意； 2︒当0a <时，若函数()f x 有三个不同的零点，则()324032700f f a a c a f f c a ⎧⎛⎫==+-< ⎪⎪⎝⎭⎨⎪=--=>⎩极小极大，从而34027a c a a c ⎧+-<⎪⎨⎪<⎩， 根据a 的取值范围可知：3a =-是方程34027a c a +-=的根，因此1c =． 3︒当0a >时，若1c =，则根据函数()fx 有三个不同的零点，则必有()324032700f f a a c a f f c a ⎧⎛⎫==+-> ⎪⎪⎝⎭⎨⎪=--=<⎩极大极小，即()()232301a a a ⎧+->⎪⎨>⎪⎩． 因此解得3a <-或312a <<或32a >，符合题意． 综上得1c =．评注 （2）的解法一将该问题转化到恒成立解决；解法二将问题统一归类转化到不等式的解集，进而转化到等式（方程）的根；解法三亦是将问题转化到不等式的解集问题进行解决．2.（2015北京文19（2））设函数()2ln ,02x f x k x k =->. 证明：若()f x 存在零点，则()f x在区间(上仅有一个零点.2. 解析 若()f x存在零点，则0f …即ln 022k kk -…，解得e k …. 又()1102f =>，e e 022k f k -=-…， 且函数()f x在区间(上单调递减，所以()f x在区间(上仅有一个零点.3.（2015广东文21（3））设a 为实数，函数()()()21f x x a x a a a =-+---． 当2a …时，讨论()4f x x+在区间()0,+∞内的零点个数． 3.解析 由（2）得)(x f 在),(+∞a 上单调递增，在),0(a 上单调递减， 所以2min )()(a a a f x f -==. (i)当2=a 时，2)2()(min -==f x f ，223,2()54,2x x x f x x x x ⎧-⎪=⎨-+<⎪⎩….令()4f x x +=0，即()4()0f x x x=->. 因为)(x f 在)2,0(上单调递减，所以2)2()(-=>f x f . 而x y 4-=在)2,0(上单调递增，422y <-=-. 所以在()0,2上()y f x <，故)(x f y =与xy 4-=在)2,0(无交点. 当2x …时，xx x x f 43)(2-=-=，即04323=+-x x . 所以042223=+--x x x ，所以()0)1(22=+-x x .因为2x …，所以2=x .故当2=a 时，()4f x x+有一个零点2x =. (ii)当2>a 时，2min )()(a a a f x f -==， 当),0(a x ∈时，42)0(>=a f ，2)(a a a f -=，而x y 4-=在),0(a x ∈上单调递增，当a x =时，ay 4-=.下面比较2)(a a a f -=与a4-的大小： 因为3224(4)()a a a a a a------== 2(2)(2)0a a a a--++<，所以aa a a f 4)(2-<-=. 结合图像可知当2>a 时，)(x f y =与xy 4-=有两个交点.综上，当2=a 时，()4f x x+有一个零点2x =；当2>a 时，)(x f y =与xy 4-=有两个零点.4.（2015新课标Ⅰ卷文21（1））设函数()2e ln x f x a x =-.讨论()f x 的导函数()f x '零点的个数；4. 解析 由题意可得()()2eln 0xf x a x x =->，()22e x a f x x'=-. 显然当0a …时，()0f x '>恒成立，()f x '无零点； 当0a >时，取()()22e x a g x f x x'==-， 则()224e 0x ag x x '=+>， 即()f x '单调递增.令()()22e 0x ag x f x x'==-=， 即22e x a x=. 画出22e xy =与ay x=的图像，如图所示. 由图可知，()f x '必有零点， 所以导函数()f x '存在唯一零点.5.（2015山东文20(2)）设函数()()ln f x x a x =+，2()ex x g x =. 已知曲线()y f x =在点(1(1))f ，处的切线与直线20x y -=平行.是否存在自然数k ，使得方程()()f x g x =在(1)k k +，内存在唯一的根？如果存在，求出k ；如果不存在，请说明理由； 5. 解析 1k =时，方程()()f x g x =在()1,2内存在唯一的根.设()()()()21ln ex x h x f x g x x x =-=+-，当(]0,1x ∈时，()0h x <.又()224423ln 2ln 8110e eh =-=->-=，所以存在()01,2x ∈，使()00h x =. 因为()()21ln 1exx x h x x x -'=+++，所以当()1,2x ∈时，()110e h x '>->； 当[)2,x ∈+∞时，()0h x '>，所以当()1,x ∈+∞时，()h x 单调递增. 所以1k =时，方程()()f x g x =在()1,2内存在唯一的根.6.（2015陕西文21（2））设2()10 2.n n f x x x x x n n=++⋅⋅⋅+-∈N ，，，厖证明：()n f x 在203⎛⎫⎪⎝⎭，内有且仅有一个零点（记为n a ），且1120233nn a ⎛⎫<-< ⎪⎝⎭.6. 解析 因为()010f =-<，222212120333nn f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭…，所以()n f x 在203⎛⎫ ⎪⎝⎭，内至少存在一个零点，又()()110n n f x n x '=-+>，所以()nf x 在203⎛⎫ ⎪⎝⎭，内单调递增，因此，()n f x 在203⎛⎫⎪⎝⎭，内有且只有一个零点n a ，由于()()111n n x x f x x -=--，所以()()1011n n n n n na a f a a -==--，由此可得1111222n n n a a +=+>，故1223n a <<， 所以111112120222333n nn n n a a ++⎛⎫⎛⎫<-=<⨯=⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 7.（2015四川文21（2））已知函数()222ln 2f x x x x ax a =-+-+，其中0a >. 求证：存在()0,1a ∈，使得()0f x …恒成立，并且()00f =在区间()1,+∞内有唯一解. 7. 解析 由()()21ln 0f x x x a '=---=，解得1ln a x x =--，令()()()()2222ln 21ln 1ln 1ln 2ln x x x x x x x x x x x ϕ=-+---+--=+-.则()110ϕ=>，()()e 22e 0ϕ=-<，所以存在()01,e x ∈，使得()00x ϕ=. 令()00001ln a x x u x =--=，其中()()1ln 1u x x x x =--….由()110u x x'=-…，可知函数()u x 在区间()1,+∞上单调递增. 故()()()0001e e 21u a u x u =<=<=-<，即()00,1a ∈. 当0a a =时，有()00f x '=，()()000f x x ϕ==， 再由（1）可知，()f x '在区间()1,+∞上单调递增. 当()01,x x ∈时，()0f x '<，所以()()00f x f x >=； 当()0,x x ∈+∞时，()0f x '>，所以()()00f x f x >=. 又当()0,1x ∈时，()()202ln 0f x x a x x =-->， 故()0,x ∈+∞时，()0f x ….综上所述，存在()0,1a ∈，使得()0f x …恒成立，且()0f x =在区间()1,+∞内有唯一解. 8.（2016北京文20）设函数()32f x x ax bx c =+++.（1）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）设4a b ==，若函数()f x 有三个不同零点，求c 的取值范围； （3）求证：230a b ->是()f x 有三个不同零点的必要而不充分条件.8.解析 （1）由()32f x x ax bx c =+++，得()232f x x ax b '=++.因为()0f c =，()0f b '=，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为y bx c =+.（2）当4a b ==时，()3244f x x x x c =+++，所以()2384f x x x '=++. 令()0f x '=，得23840x x ++=，解得2x =-或23x =-. ()f x '与()f x 在区间(),-∞+∞上的变化情况如下表所示.所以当0c >且32027c -<时，存在()14,2x ∈--，222,3x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，32,03x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭， 使得()()()1230f x f x f x ===. 由()f x 的单调性，当且仅当320,27c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()3244f x x x x c =+++有三个不同零点. （3）证法一：分两步证明.必要性： 若函数()32f x x ax bx c =+++有三个不同零点，那么()f x 的单调性必然变化2次，因此其导函数必然有2个不同的零点，从而()f x '的判别式()2430a b ∆=->，即230a b ->.非充分性：取0,3,3a b c ==-=，则函数()333f x x x =-+，其导函数()()()311f x x x '=+-.所以其极大值为()15f -=，其极小值为()11f =， 因此函数()f x 只有1个零点. 综上所述，230a b ->是()f x 有三个不同零点的必要而不充分条件.证法二：分两步证明.必要性（反证法） 若230a b -≤，则()2320f x x ax b '=++…恒成立，所以()f x 单调递增，于是()f x 最多只有1个零点，与条件不符，所以230a b ->.以下证明同证法一.9.（2016山东文15）已知函数2||,()24,x x m f x x mx m x m⎧⎪⎨⎪⎩=-+>…，其中0m >，若存在实数b ，使得关于x 的方程()f x b =有三个不同的根，则m 的取值范围是________________. 9.()3,+∞ 解析 因为2()24g x x m x m =-+的对称轴为m x =，所以m x >时2()24f x x mx m =-+单调递增，只要b 大于2()24g x x mx m =-+的最小值24m m -时，关于x 的方程b x f =)(在m x >时有一根；又x x h =)(在x m …，0>m 时，存在实数b ，使方程b x f =)(在x m …时有两个根，只需0b m <…； 故只需24m m m -<即可，又0>m ，所以解得3>m ，即m 的取值范围是(3,)+∞.10.（2016江苏19）已知函数()x x f x a b =+()0,0,1,1a b a b >>≠≠. （1）设2a =，12b =. ①求方程()2f x =的根；②若对于任意x ∈R ，不等式()()26f x mf x -…恒成立，求实数m 的最大值； （2）若01a <<，1b >，函数()()2g x f x =-有且只有1个零点，求ab 的值.10.解析 （1）①()122xx f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由()2f x =可得1222xx +=，则()222210xx -⨯+=，即()2210x -=，则21x =，解得0x =；②由题意得221122622xx x x m ⎛⎫++- ⎪⎝⎭…恒成立，即211222622x x x x m ⎛⎫⎛⎫+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…恒成立.令122xx t =+，则由20x >，可得2t =…， 此时226t mt --…恒成立，即244t mt t t+=+…恒成立， 因为2t …时44t t +=…，当且仅当2t =时等号成立，因此实数m 的最大值为4. （2）()()22x xg x f x a b =-=+-，()ln ln ln ln ln xx x x a b g x a a b b a b b a ⎡⎤⎛⎫'=+=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 由01a <<，1b >可得1b a >，令()ln ln xb ah x a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()h x 单调递增，而ln 0ln 0a b <>，，因此0ln log ln b a a x b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭时()00h x =.因此()0,x x ∈-∞时，()0h x <，ln 0xa b >，则()0g x '<；()0,x x ∈+∞时，()0h x >，ln 0xa b >，则()0g x '>.则()g x 在()0,x -∞递减，()0,x +∞递增. 解法一：下证00x =. ①若00x <，则0002x x <<，于是()0002x g g ⎛⎫<= ⎪⎝⎭， 又log 20a <且()log 2log 2log 22a a a g a b =+-log 220a a >-=，因此连续函数()g x 在以02x 与log 2a 为端点的区间上存在零点，不妨记为1x . 由02x <且log 20a <可知10x <，这与“0是函数()g x 的唯一零点”相矛盾. ②若00x >，仿照①可得到， 连续函数()g x 在以02x >与log 20b >为端点的区间上存在大于0的零点2x ，也相矛盾. ③综合①②可知00x =，即ln log 0ln b a a b ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即ln 1ln a b -=， 即ln ln 0a b +=，因此()ln 0ab =，则1ab =.评注 解法二：（也可以()0g x 作为研究对象）因此()g x 最小值为()0g x . ①若()00g x <，log 2a x <时，log 22a xa a>=，0x b >，则()0g x >；log 2b x >时，0x a >，log 22b x b b >=，则()0g x >；因此1log 2a x <且10x x <时，()10g x >，因此()g x 在()10,x x 有零点，2log 2b x >且20x x >时，()20g x >，因此()g x 在()02,x x 有零点，则()g x 至少有两个零点，与条件矛盾；②若()00g x …，由函数()g x 有且只有1个零点，()g x 最小值为()0g x ， 可得()00g x =，由()00020g a b =+-=，因此00x =， 所以ln log 0ln b a a b ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即ln 1ln a b -=， 亦即ln ln 0a b +=，因此()ln 0ab =，则1ab =.11.（2016全国乙文21）已知函数()()()22e 1x f x x a x =-+-.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.11.解析 （1）由题意()()()1e 21x f x x a x '=-+-()()=1e 2x x a -+.①当20a …，即0a …时，e 20xa +>恒成立.令()0f x '>，则1x >， 所以()f x 的单调增区间为()1,+∞.同理可得()f x 的单调减区间为(),1-∞. ②当20a <，即0a <时，令()0f x '=，则1x =或()ln 2a -. （ⅰ）当()ln 21a ->，即e2a <-时，令()0f x '>，则1x <或()ln 2x a >-， 所以()f x 的单调增区间为(),1-∞和()()ln 2,a -+∞.同理()f x 的单调减区间为()()1,ln 2a -； （ⅱ）当()ln 21a -=，即e2a =-时， 当1x …时，10x -…，1e 2e e 0xa +-=…，所以()0f x '….同理1x >时，()0f x '>. 故()f x 的单调增区间为(),-∞+∞； （ⅲ）当()ln 21a -<，即e02a -<<时.令()0f x '>，则()ln 2x a <-或1x >， 所以()f x 的单调增区间为()(),ln 2a -∞-和()1,+∞，同理()f x 的单调减区间为()()ln 2,1a -. 综上所述，当e2a <-时，()f x 的单调增区间为(),1-∞和()()ln 2,a -+∞，单调减区间为()()1,ln 2a -；当e2a =-时，()f x 的单调增区间为(),-∞+∞； 当e02a -<<时，()f x 的单调增区间为()(),ln 2a -∞-和()1,+∞，单调减区间为()()ln 2,1a -； 当0a …时，()f x 的单调增区间为()1,+∞，单调减区间为(),1-∞. （2）解法一（直接讨论法）：易见()1e 0f =-<，如（1）中讨论，下面先研究（ⅰ）（ⅱ）（ⅲ）三种情况.①当e2a <-时，由()f x 单调性可知，()()()ln 210f a f -<<，故不满足题意； ②当e2a =-时，()f x 在(),-∞+∞上单调递增，显然不满足题意；③当e02a -<<时，由()f x 的单调性，可知()()()1ln 2f f a <-， 且()()()()()()()2ln 2ln 222ln 21f a a a a a -=---+--()2ln 220a a a =--+<⎡⎤⎣⎦，故不满足题意；下面研究0a …， 当0a =时，()()2e x f x x =-，令()0f x =，则2x =，因此()f x 只有1个零点，故舍去； 当0a >时，()1e 0f =-<，()20f a =>，所以()f x 在()1,+∞上有1个零点； （i ）当01a <…时，由ln02a<，而2ln ln 2ln 12222a a a a f a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭23ln ln 0222a a a ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，所以()f x 在(),1-∞上有1个零点；（i i ）当1a >时，由20-<，而()()22424e 990e f a a --=-+=->， 所以()f x 在(),1-∞上有1个零点；可见当0a >时()f x 有两个零点.所以所求a 的取值范围为()0,+∞. 解法二（分离参数法）：显然1x =不是()f x 的零点， 当1x ≠时，由()0f x =，得()22e 1x xa x -=-()1x ≠.设()()22e 1x xg x x -=-()1x ≠，则问题转化为直线y a =与()g x 图像有两个交点， 对()g x 求导得()()()()24e 1211x x x g x x ⎡⎤---+⎣⎦'=-，所以()g x 在(),1-∞单调递增，在()1,+∞单调递减.①当0a …时，若(),1x ∈-∞，()0g x >，直线y a =与()g x 图像没有交点， 若()1,x ∈+∞，()g x 单调递减，直线y a =与()g x 图像不可能有两个交点， 故0a …不满足条件；②若0a >时，取13min 12x ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭ ，则()()12111g x a x >-…， 而()20g a =<，结合()g x 在()1,+∞单调递减， 可知在区间()1,2x 上直线y a =与()g x 图像有一个交点，取2min 1x ⎧⎫⎪⎪=-⎨⎬⎪⎪⎩⎭，3x = 则()()22221g x a x -厖，()33223322x g x a x x -<<<， 结合()g x 在(),1-∞单调递增，可知在区间()32x x 上直线y a =与()g x 图像有一个交点， 综上所述，0a >时直线y a =与()g x 图像有两个交点，函数()f x 有两个零点.评注 此题与2015年文科卷第（1）问基本一致，都是对函数零点个数的研究，基本形成分离与不分离两种解答方案，但不管是否分离，都涉及到零点的取值问题. 【1】②④可放一起研究，当e 2a <-或e02a -<<，由题意()()ln 20f a -<，()1e 0f =-<，故不满足题意.【2】用分离参数的方法很多时候只能初步感知结论，不能替代论证. 很多资料上在论证完()g x 的单调性后直接书写如下过程， 当1x <时，()0g x >；当1x >时，令()0g x =，则2x =，所以12x <<时，()0g x >；2x >时，()0g x <. 综上所述：0a >时函数()f x 有两个零点.这里论述1x <时()0g x >是不完备的，这里涉及到极限的知识，仅仅用()0g x >是不够的，可能会有值的趋向性，因此这种解析不完备是会扣除步骤分. 【3】考试院提供的参考答案与去年提供的参考相仿：（i ）设0a >，则由（1）可知，()f x 在(),1-∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增， 又()1e f =-，()2f a =，取b 满足0b <且ln 2ab <， 则()()()2222a f b b a b >-+-2302a b b ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，所以函数()f x 有两个零点.（ii ）设0a =，则()()2e x f x x =-，令()0f x =，则2x =，因此()f x 只有1个零点，故舍去；（iii ）设0a <，若e 02a -<…，则由（1）知，()f x 在()1,+∞上单调递增， 又当1x …时，()0f x <，故()f x 不存在两个零点； 当e2a <-时，则由（1）知，()f x 在()()1,ln 2a -上单调递减，在()()ln 2,a -+∞上单调递增， 又当1x …时，()0f x <，故()f x 不存在两个零点. 综上，a 的取值范围为()0,+∞.12.（2017全国3文12）已知函数()()2112e e x x f x x x a --+=-++有唯一零点，则a =（ ）.A ．12-B ．13C ．12D ．112.解析 (对称性解法) 因为关于直线对称，所以要有唯一零点，只有，由此解得.故选C.评注 难度中偏上，主要考查函数的性质与函数的零点结论，本题的难点在于对函数的对称性不够了解，一般学生很难看出后面函数的对称性，导致做题缺乏思路.本题与2016年的高考全国卷2文科数学的选择压轴题（第12题）类似，都是围绕函数的性质来考查，需要学生有较强的基本功底并具有较强的运用能力.13.（2017江苏14）设()f x 是定义在R 且周期为1的函数，在区间[)0,1上，()2,,x x D f x x x D⎧∈=⎨∉⎩．其中集合*1,n D x x n n ⎧⎫-==∈⎨⎬⎩⎭N ，则方程()lg 0f x x -=的解的个数是 ．13.解析 由题意()[)0,1f x ∈，所以只需要研究[)1,10x ∈内的根的情况． 在此范围内，x ∈Q 且x D ∈时，设*,,,2qx p q p p=∈N …，且,p q 互质， 若lg x ∈Q ，则由lg (0,1)x ∈，可设*lg ,,,2nx m n m m=∈N …，且,m n 互质. 从而10n mq p =，则10mn q p ⎛⎫= ⎪⎝⎭，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此lg x ∉Q ，。
高考真题 复数
2019年高考真题复数1.已知复数的实部为，其中为虚数单位，则实数的值是________．2.已知复数，则()A.B.C.D.3.若，则()A.B.C.D.4.设，则在复平面内对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限5.设复数满足，在复平面内对应的点为，则()A.B.C.D.6.设为虚数单位，，则的值为________．7.复数(为虚数单位)，则________．8.是虚数单位，则的值为________．参考答案1.【答案】2【解析】解：的实部为，，即．故答案为：．【知识点】复数的概念【来源】2019年江苏省高考数学试卷2.【答案】D【解析】解：，．故选：D．【知识点】复数的四则运算【来源】2019年北京市高考数学试卷（理科）； 2019年北京市高考数学试卷（文科）3.【答案】D【解析】解：由，得．故选：D．【知识点】复数的四则运算【来源】2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）； 2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）4.【答案】C【解析】解：，，在复平面内对应的点为，在第三象限．故选：C．【知识点】复数的几何意义【来源】2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）5.【答案】C【解析】解：在复平面内对应的点为，，，，，故选：C．【知识点】复平面【来源】2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）； 2019高考真题新课标I2 6.【答案】【解析】，，．【知识点】复数的模、共轭复数【来源】2019上海春季高考； 2019上海市高考真题上海卷57.【答案】【解析】解：，．故答案为：．【知识点】复数的模、复数的四则运算【来源】2019年浙江省高考数学试卷8.【答案】【解析】解：由题意，可知：，．故答案为．【知识点】复数的模、复数的四则运算【来源】2019年天津市高考数学试卷（文科）； 2019年天津市高考数学试卷（理科）。
2019年全国各地高考文科数学试题分类汇编15：复数
2019年全国各地高考文科数学试题分类汇编15：复数一、选择题1 ．（2019年高考辽宁卷（文））复数的11Z i =-模为 （ ）A ．12B ．2C D ．2 【答案】B2 ．（2019年高考课标Ⅱ卷（文））|错误！未找到引用源。
|=（ ） A ．2错误！未找到引用源。
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B ．2 C ．错误！未找到引用源。
D ．1【答案】C3 ．（2019年高考湖南（文））复数z=i·(1+i)(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于___ ____ （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B4 ．（2019年高考四川卷（文））如图,在复平面内,点A 表示复数z ,则图中表示z 的共轭复数的点是（ ） A ．AB ．BC ．CD ．D【答案】B 5 ．（2019年高考课标Ⅰ卷（文））212(1)i i +=- （ ） A ．112i -- B ．112i -+ C ．112i + D ．112i - 【答案】B 6 ．（2019年高考北京卷（文））在复平面内,复数(2)i i -对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 7 ．（2019年高考山东卷（文））复数)()2(2为虚数单位i ii z -=,则=||z （ ） A ．25B ．41C ．5D ．5 【答案】C8 ．（2019年高考江西卷（文））复数z=i(-2-i)(i 为虚数单位)在复平面内所对应的点在 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】D。
高考数学试题分类汇编——复数、集合与简易逻辑
年高考数学试题分类汇编——复数、集合与简易逻辑————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：复数、集合与简易逻辑(1) 设 i 是虚数单位，复数aii1+2-为纯虚数，则实数a 为 （A ）2 (B) -2 (C) 1-2(D) 12(7)命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定．．是 （A ）所有不能被2整除的数都是偶数（B ）所有能被2整除的数都不是偶数 （C ）存在一个不能被2整除的数是偶数（D ）存在一个能被2整除的数不是偶数 （8）设集合{}1,2,3,4,5,6,A ={}4,5,6,7,B =则满足S A ⊆且SB φ≠的集合S 为（A ）57 （B ）56 （C ）49 （D ）8（2）集合}{,,,,,U =123456，}{,,S =145,}{,,T =234,则()U SC T 等于（A ）}{,,,1456 (B) }{,15 (C) }{4 (D) }{,,,,12345 1.已知集合2{|1}P x x =≤，{}M a =，若PM P =，则a 的取值范围是A. (,1]-∞-B. [1,)+∞C. [1,1]-D.(,1]-∞-[1,)+∞2.复数i 212i-=+ A. iB. i -C. 43i 55-- D. 43i 55-+ （1）已知全集U=R ，集合{}21P x x =≤，那么U C P =A. (),1-∞-B. ()1,+∞C. ()1,1-D.()(),11,-∞-+∞1．i 是虚数单位，若集合{1,0,1}S =-，则 B A ．i S ∈B ．2i S ∈C ．3i S ∈D ．2S i∈ 2．若a R ∈，则“2a =”是“(1)(2)0a a --=”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件C ．既不充分又不必要条件1．已知集合M ＝{－1，0，1}，N ＝{0，1，2}，则M ∩N ＝A. {0，1}B. {－1，0，1}C. {0，1，2}D. {－1，0，1，2} 2．I 是虚数单位，1＋i 3等于A ．i B ．－iC ．1＋iD ．1－i3．若a ∈R ，则“a ＝1”是“|a |＝1”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件12．在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n ∈Z}，k ＝0，1，2，3，4。
【助力高考】2019年高考数学专题复习第75讲《复数》(含详细答案和教师用书)
♦♦♦学生用书（后跟详细参考答案和教师用书）♦♦♦把握命题趋势，提高复习效率，提升解题能力，打造高考高分！【助力高考】2019年高考备战数学专题复习精品资料第十三章 推理与证明、算法、复数第71讲 合情推理与演绎推理★★★核心知识回顾★★★知识点一、复数的有关概念(1)定义：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a 叫做复数z 的，b 叫做复数z 的(i 为虚数单位)． (2)分类：(3)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔(a ，b ，c ，d ∈R )． (4)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔(a ，b ，c ，d ∈R )．(5)模：向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作或，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2(a ，b ∈R )． 知识点二、复数的几何意义复数z ＝a ＋b i 与复平面内的点及平面向量OZ →＝(a ，b )(a ，b ∈R )是一一对应关系． 知识点三、复数的运算(1)运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R .(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ →＝OZ 1→＋OZ 2→，Z 1Z 2——→＝OZ 2→－OZ 1→.★★★高考典例剖析★★★考点一、复数的概念 1．(2017·全国Ⅰ)设有下列四个命题： p 1：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ；p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ； p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1＝z －2； p 4：若复数z ∈R ，则z －∈R . 其中的真命题为( )A ．p 1，p 3B ．p 1，p 4C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4 答案 B解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z 1＝a 1＋b 1i(a 1，b 1∈R )， z 2＝a 2＋b 2i(a 2，b 2∈R )．对于p 1，若1z ∈R ，即1a ＋b i ＝a －b i a 2＋b 2∈R ，则b ＝0，故z ＝a ＋b i ＝a ∈R ，所以p 1为真命题；对于p 2，若z 2∈R ，即(a ＋b i)2＝a 2＋2ab i －b 2∈R ，则ab ＝0.当a ＝0，b ≠0时，z ＝a ＋b i ＝b i ∉R ，所以p 2为假命题；对于p 3，若z 1z 2∈R ，即(a 1＋b 1i)(a 2＋b 2i)＝(a 1a 2－b 1b 2)＋(a 1b 2＋a 2b 1)i ∈R ，则a 1b 2＋a 2b 1＝0.而z 1＝z 2，即a 1＋b 1i ＝a 2－b 2i ⇔a 1＝a 2，b 1＝－b 2.因为a 1b 2＋a 2b 1＝0⇏a 1＝a 2，b 1＝－b 2，所以p 3为假命题；对于p 4，若z ∈R ，即a ＋b i ∈R ，则b ＝0， 故z ＝a －b i ＝a ∈R ，所以p 4为真命题．故选B.1．(2018·长春调研)若复数z 满足i(z －3)＝－1＋3i(其中i 是虚数单位)，则z 的实部为( ) A ．6 B ．1 C ．－1D ．－62．(2017·河南六市联考)如果复数2－b i 1＋2i (其中i 为虚数单位，b 为实数)的实部和虚部互为相反数，则b ＝______.3．已知复数z 满足z 2＝－4，若z 的虚部大于0，则z ＝________. 考点二、复数的运算 命题点1 复数的乘法运算例2：(2018·长春质检)设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2等于( )A ．－5B ．5C ．－4＋iD ．－4－i 答案 A解析 ∵z 1＝2＋i 在复平面内的对应点的坐标为(2,1)， 又z 1与z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称， 则z 2的对应点的坐标为(－2,1)， 即z 2＝－2＋i ，∴z 1z 2＝(2＋i)(－2＋i)＝i 2－4＝－5. 命题点2 复数的除法运算典例3：(2017·全国Ⅱ)3＋i 1＋i 等于( )A ．1＋2iB ．1－2iC ．2＋iD ．2－i答案 D 解析3＋i 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝3－3i ＋i ＋12＝2－i.命题点3 复数的综合运算例4：(2017·全国Ⅲ)设复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，则|z |等于( ) A.12 B.22 C. 2 D ．2 答案 C解析 方法一 由(1＋i)z ＝2i ，得z ＝2i 1＋i ＝1＋i ，∴|z |＝ 2. 故选C.方法二 ∵2i ＝(1＋i)2，∴由(1＋i)z ＝2i ＝(1＋i)2，得z ＝1＋i ， ∴|z |＝ 2. 故选C.4．复数i(2－i)等于( ) A ．1＋2i B ．1－2i C ．－1＋2iD ．－1－2i6．2016·全国Ⅲ)若z ＝1＋2i ，则4i z z －1等于( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i7．⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6＋2＋3i 3－2i＝________. 8．(2016·山东)若复数z 满足2z ＋z ＝3－2i ，其中i 为虚数单位，则z 等于( ) A ．1＋2i B ．1－2i C ．－1＋2iD ．－1－2i 9．(2016·全国Ⅲ)若z ＝4＋3i ，则z |z |等于( ) A ．1 B ．－1 C.45＋35i D.45－35i10．(1＋i )3(1－i )2等于( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i11．已知(1－i )2z ＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z 等于( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i 考点三、复数的几何意义例5： (1)(2017·北京)若复数(1－i)(a ＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1) B ．(－∞，－1) C ．(1，＋∞) D ．(－1，＋∞)答案 B解析 ∵(1－i)(a ＋i)＝a ＋i －a i －i 2＝a ＋1＋(1－a )i ， 又∵复数(1－i)(a ＋i)在复平面内对应的点在第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1<0，1－a >0，解得a <－1.故选B.12．△ABC 的三个顶点对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，若复数z 满足|z －z 1|＝|z －z 2|＝|z －z 3|，则z 对应的点为△ABC 的( ) A ．内心 B ．垂心 C ．重心D ．外心13．如图所示，平行四边形OABC ，顶点O ，A ，C 分别表示0，3＋2i ，－2＋4i ，试求：①AO →，BC →所表示的复数； ②对角线CA →所表示的复数； ③B 点对应的复数．14．已知z 是复数，z ＋2i ，z2－i 均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．★★★知能达标演练★★★一、选择题1．设复数z 满足1＋z1－z ＝i ，则|z |等于( )A ．1 B. 2 C. 3D ．22．在复平面内，向量AB →对应的复数是2＋i ，向量CB →对应的复数是－1－3i ，则向量CA →对应的复数是( ) A ．1－2i B ．－1＋2i C ．3＋4iD ．－3－4i3．若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．－1或14．设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件5．设i 是虚数单位，若z ＝cos θ＋isin θ，且其对应的点位于复平面内的第二象限，则θ位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限6．(2016·全国Ⅰ)设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|等于( )A ．1 B. 2 C. 3 D ．27．(2017·济宁一模)已知i 为虚数单位，则z ＝i1－2i 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8．(2017·山东)已知a ∈R ，i 是虚数单位．若z ＝a ＋3i ，z ·z ＝4，则a 等于( ) A ．1或－1 B.7或－7 C ．－ 3D. 39．(2017·河北保定定兴三中月考)“复数z ＝3－a i i (a ∈R )在复平面内对应的点在第三象限”是“a ≥0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．(2017·河北省三市联考)若复数z ＝a ＋3ii ＋a 在复平面上对应的点在第二象限，则实数a可以是( ) A ．－4 B ．－3 C ．1D ．211．(2018·枣庄模拟)设z 1，z 2是复数，则下列命题中的假命题是( ) A ．若|z 1－z 2|＝0，则z 1＝z 2 B ．若z 1＝z 2，则z 1＝z 2 C ．若|z 1|＝|z 2|，则z 1·z 1＝z 2·z 2D ．若|z 1|＝|z 2|，则z 21＝z 22二、填空题12．i 2 011＋i 2 012＋i 2 013＋i 2 014＋i 2 015＋i 2 016＋i 2 017＝________.13．(2017·天津)已知a ∈R ，i 为虚数单位，若a －i 2＋i 为实数，则a 的值为________．14．(2017·浙江)已知a ，b ∈R ，(a ＋b i)2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则a 2＋b 2＝________，ab ＝________.15．已知集合M ＝{1，m,3＋(m 2－5m －6)i}，N ＝{－1,3}，若M ∩N ＝{3}，则实数m 的值为________．16．(2018·唐山质检)若1＋2i 是关于x 的实系数方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个复数根，则b ＝______，c ＝______.17．若3＋b i 1－i ＝a ＋b i(a ，b 为实数，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝________.18．已知复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，且|z －2|＝3，则yx的最大值为________．19．(2016·天津)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若(1＋i)·(1－b i)＝a ，则ab 的值为________．20．(2017·辽宁朝阳三校协作体联考)已知复数z ＝3＋i(1－3i )2，z 是z 的共轭复数，则z ·z ＝________.21．已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－4i ，它们在复平面上对应的点分别为A ，B ，C .若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值是________． 22．若a1－i＝1－b i ，其中a ，b 都是实数，i 是虚数单位，则|a ＋b i|＝________. 23．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc .若复数x ＝1－i 1＋i ，y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4i x i 2 x ＋i ，则y ＝________.24．设f (n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i n (n ∈N *)，则集合{f (n )}中元素的个数为________．三、解答题25．(2018·广州质检)已知复数z ＝b i(b ∈R )，z －21＋i 是实数，i 是虚数单位．(1)求复数z ；(2)若复数(m ＋z )2所表示的点在第一象限，求实数m 的取值范围． 26．(2018·济南调研)若虚数z 同时满足下列两个条件： ①z ＋5z是实数；②z ＋3的实部与虚部互为相反数．这样的虚数是否存在？若存在，求出z ；若不存在，请说明理由．♦♦♦详细参考答案♦♦♦把握命题趋势，提高复习效率，提升解题能力，打造高考高分！【助力高考】2019年高考备战数学专题复习精品资料第十三章 推理与证明、算法、复数第71讲 合情推理与演绎推理★★★核心知识回顾★★★知识点一、复数的有关概念(1)定义：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a 叫做复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部(i 为虚数单位)． (2)分类：(3)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． (4)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )．(5)模：向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|a ＋b i|或|z |，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2(a ，b ∈R )． 知识点二、复数的几何意义复数z ＝a ＋b i 与复平面内的点Z (a ，b )及平面向量OZ →＝(a ，b )(a ，b ∈R )是一一对应关系．知识点三、复数的运算(1)运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R .(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ →＝OZ 1→＋OZ 2→，Z 1Z 2——→＝OZ 2→－OZ 1→.★★★高考典例剖析★★★考点一、复数的概念 ♦♦♦跟踪训练♦♦♦ 1．答案 A解析 ∵i z －3i ＝－1＋3i ，∴i z ＝－1＋6i ， ∴z ＝6＋i ，故z 的实部为6. 2．答案 －23解析 由2－b i 1＋2i ＝(2－b i )(1－2i )5＝2－2b －(b ＋4)i5，得2－2b ＝b ＋4，得b ＝－23.3．答案 2i解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，b >0)， 则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ＝－4， 因此a ＝0，－b 2＝－4，b ＝±2， 又b >0，∴b ＝2，∴z ＝2i. 考点二、复数的运算 ♦♦♦跟踪训练♦♦♦ 4．答案 A解析 i(2－i)＝2i －i 2＝1＋2i. 5．答案10解析 方法一 ∵z ＝(1＋i)(1＋2i)＝1＋2i ＋i －2 ＝－1＋3i ，∴|z |＝(－1)2＋32＝10.方法二 |z |＝|1＋i||1＋2i|＝2×5＝10. 6．A ．1 B ．－1 C ．i D ．－i 答案 C解析 z ＝1＋2i ，z z ＝5，4i z z －1＝i.7．答案 －1＋i解析 原式＝⎣⎡⎦⎤(1＋i )226＋(2＋3i )(3＋2i )(3)2＋(2)2 ＝i 6＋6＋2i ＋3i －65＝－1＋i.8．答案 B解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ，∴2(a ＋b i)＋(a －b i)＝3－2i ，整理得3a ＋b i ＝3－2i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＝3，b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，∴z ＝1－2i ，故选B. 9．答案 D解析 z ＝4＋3i ，|z |＝5，z|z |＝45－35i. 10．答案 D解析 方法一 (1＋i )3(1－i )2＝(1＋i )(1＋i )2－2i＝(1＋i )(1＋i 2＋2i )－2i＝－2＋2i －2i＝1－i i ＝－1－i.故选D.方法二 (1＋i )3(1－i )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2(1＋i)＝i 2(1＋i)＝－(1＋i)． 11．答案 D解析 由(1－i )2z ＝1＋i ，知z ＝(1－i )21＋i ＝－2i 1＋i＝－1－i ，故选D. 考点三、复数的几何意义♦♦♦跟踪训练♦♦♦12．答案 D解析 由几何意义知，复数z 对应的点到△ABC 三个顶点的距离都相等，z 对应的点是△ABC 的外心．13．解 ①∵AO →＝－OA →，∴AO →所表示的复数为－3－2i.∵BC →＝AO →，∴BC →所表示的复数为－3－2i.②∵CA →＝OA →－OC →，∴CA →所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.③OB →＝OA →＋AB →＝OA →＋OC →，∴OB →所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i ，即B 点对应的复数为1＋6i.14．解 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，∴z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，由题意得y ＝－2.∵z 2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i)＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i ， 由题意得x ＝4.∴z ＝4－2i.∵(z ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i ，根据条件，可知⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2>0，8(a －2)>0，解得2<a <6， ∴实数a 的取值范围是(2,6)．★★★知能达标演练★★★一、选择题1．答案 A解析 1＋z ＝i(1－z )，z (1＋i)＝i －1，z ＝i －11＋i＝－(1－i )22＝i ，∴|z |＝|i|＝1. 2．答案 D解析 CA →＝CB →＋BA →＝－1－3i ＋(－2－i)＝－3－4i.3．答案 A解析 ∵z 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x －1≠0，∴x ＝－1. 4．答案 C解析 ∵复数a ＋b i＝a －b i 为纯虚数，∴a ＝0且－b ≠0，即a ＝0且b ≠0，∴“ab ＝0”是“复数a ＋b i为纯虚数”的必要不充分条件．故选C. 5．答案 B解析 ∵z ＝cos θ＋isin θ对应的点的坐标为(cos θ，sin θ)，且点(cos θ，sin θ)位于第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧cos θ<0，sin θ>0， ∴θ为第二象限角，故选B.6．答案 B解析 由(1＋i)x ＝1＋y i ，得x ＋x i ＝1＋y i ，由复数相等得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，x ＝y ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1. 所以|x ＋y i|＝x 2＋y 2＝2，故选B.7．答案 B解析 z ＝i 1－2i ＝i (1＋2i )1－(2i )2＝－2＋i 5＝－25＋i 5， 其对应的点⎝⎛⎭⎫－25，15位于第二象限． 8．答案 A解析 ∵z ·z ＝4，∴|z |2＝4，即|z |＝2.∵z ＝a ＋3i ，∴|z |＝a 2＋3＝2，∴a ＝±1.故选A.9．答案 A解析 z ＝3－a i i ＝(3－a i )(－i )－i·i＝－a －3i. ∵z 在复平面内对应的点在第三象限，∴－a <0，解得a >0.∴“复数z ＝3－a i i在复平面内对应的点在第三象限”是“a ≥0”的充分不必要条件．故选A.10．答案 A解析 因为z ＝a ＋3i i ＋a ＝(3＋a )－a i 在复平面上对应的点在第二象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧3＋a <0，－a >0， 解得a <－3，故选A.11．答案 D解析 A 中，|z 1－z 2|＝0，则z 1＝z 2，故z 1＝z 2，成立．B 中，z 1＝z 2，则z 1＝z 2成立．C 中，|z 1|＝|z 2|，则|z 1|2＝|z 2|2，即z 1z 1＝z 2z 2，C 正确．D 不一定成立，如z 1＝1＋3i ，z 2＝2，则|z 1|＝2＝|z 2|，但z 21＝－2＋23i ，z 22＝4，z 21≠z 22.二、填空题12．答案 1解析 原式＝i 3＋i 4＋i 1＋i 2＋i 3＋i 4＋i ＝1.13．答案 －2解析 ∵a ∈R ，a －i 2＋i ＝(a －i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝2a －1－(a ＋2)i 5 ＝2a －15－a ＋25i 为实数， ∴－a ＋25＝0，∴a ＝－2.14．答案 5 2解析 (a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i.由(a ＋b i)2＝3＋4i.得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝3，ab ＝2. 解得a 2＝4，b 2＝1.所以a 2＋b 2＝5，ab ＝2.15．答案 3或6解析 ∵M ∩N ＝{3}，∴3∈M 且－1∉M ，∴m ≠－1,3＋(m 2－5m －6)i ＝3或m ＝3，∴m 2－5m －6＝0且m ≠－1或m ＝3，解得m ＝6或m ＝3，经检验符合题意．16．答案 －2 3解析 ∵实系数一元二次方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个虚根为1＋2i ，∴其共轭复数1－2i 也是方程的根．由根与系数的关系知，⎩⎨⎧(1＋2i )＋(1－2i )＝－b ，(1＋2i )(1－2i )＝c ，∴b ＝－2，c ＝3.17．答案 3解析 3＋b i 1－i ＝(3＋b i )(1＋i )2＝12[(3－b )＋(3＋b )i] ＝3－b 2＋3＋b 2i. ∴⎩⎨⎧ a ＝3－b 2，b ＝3＋b 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝3. ∴a ＋b ＝3.18．答案 3 解析 ∵|z －2|＝(x －2)2＋y 2＝3，∴(x －2)2＋y 2＝3.由图可知⎝⎛⎭⎫y x max ＝31＝ 3.19．答案 2解析 因为(1＋i)(1－b i)＝1＋b ＋(1－b )i ＝a ，又a ，b ∈R ，所以1＋b ＝a,1－b ＝0，得a ＝2，b ＝1，所以a b＝2. 20．答案 14解析 由z ＝3＋i －2(1＋3i )＝－34＋14i ， 得z ＝－34－14i ， 所以z ·z ＝⎝⎛⎭⎫－34＋14i ·⎝⎛⎭⎫－34－14i ＝316＋116＝14. 21．答案 1解析 由条件得OC →＝(3，－4)，OA →＝(－1,2)，OB →＝(1，－1)，根据OC →＝λOA →＋μOB →，得(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －λ＋μ＝3，2λ－μ＝－4， 解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝2， ∴λ＋μ＝1.22．答案 5 解析 ∵a ，b ∈R ，且a 1－i ＝1－b i ， 则a ＝(1－b i)(1－i)＝(1－b )－(1＋b )i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1－b ，0＝1＋b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－1，∴|a ＋b i|＝|2－i|＝22＋(－1)2＝ 5.23．答案 －2解析 因为x ＝1－i 1＋i＝(1－i )22＝－i ， 所以y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4i x i 2 x ＋i ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4i 12 0＝－2. 24．答案 3解析 f (n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i n ＝i n ＋(－i)n ， f (1)＝0，f (2)＝－2，f (3)＝0，f (4)＝2，f (5)＝0，…，∴集合{f (n )}中共有3个元素．三、解答题25．解 (1)因为z ＝b i(b ∈R )，所以z －21＋i ＝b i －21＋i ＝(b i －2)(1－i )(1＋i )(1－i )＝(b －2)＋(b ＋2)i 2＝b －22＋b ＋22i. 又因为z －21＋i是实数，所以b ＋22＝0， 所以b ＝－2，即z ＝－2i.(2)因为z ＝－2i ，m ∈R ，所以(m ＋z )2＝(m －2i)2＝m 2－4m i ＋4i 2＝(m 2－4)－4m i ，又因为复数(m ＋z )2所表示的点在第一象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4>0，－4m >0，解得m <－2， 即m ∈(－∞，－2)．26．解 这样的虚数存在，z ＝－1－2i 或z ＝－2－i.设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R 且b ≠0)，z ＋5z ＝a ＋b i ＋5a ＋b i ＝a ＋b i ＋5(a －b i )a 2＋b 2 ＝⎝⎛⎭⎫a ＋5a a 2＋b 2＋⎝⎛⎭⎫b －5b a 2＋b 2i. ∵z ＋5z 是实数，∴b －5b a 2＋b 2＝0. 又∵b ≠0，∴a 2＋b 2＝5.①又z ＋3＝(a ＋3)＋b i 的实部与虚部互为相反数，∴a ＋3＋b ＝0.②由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋3＝0，a 2＋b 2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1， 故存在虚数z ，z ＝－1－2i 或z ＝－2－i.♦♦♦教师用书♦♦♦把握命题趋势，提高复习效率，提升解题能力，打造高考高分！【助力高考】2019年高考备战数学专题复习精品资料第十三章 推理与证明、算法、复数第71讲 合情推理与演绎推理★★★核心知识回顾★★★知识点一、复数的有关概念(1)定义：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a 叫做复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部(i 为虚数单位)．(2)分类：(3)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )．(4)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )．(5)模：向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|a ＋b i|或|z |，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2(a ，b ∈R )． 知识点二、复数的几何意义复数z ＝a ＋b i 与复平面内的点Z (a ，b )及平面向量OZ →＝(a ，b )(a ，b ∈R )是一一对应关系．知识点三、复数的运算(1)运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R .(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ →＝OZ 1→＋OZ 2→，Z 1Z 2——→＝OZ 2→－OZ 1→.★★★高考典例剖析★★★考点一、复数的概念1．(2017·全国Ⅰ)设有下列四个命题：p 1：若复数z 满足1z∈R ，则z ∈R ； p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ；p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1＝z －2；p 4：若复数z ∈R ，则z －∈R .其中的真命题为( )A ．p 1，p 3B ．p 1，p 4C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4答案 B解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z 1＝a 1＋b 1i(a 1，b 1∈R )，z 2＝a 2＋b 2i(a 2，b 2∈R )．对于p 1，若1z ∈R ，即1a ＋b i ＝a －b i a 2＋b 2∈R ，则b ＝0， 故z ＝a ＋b i ＝a ∈R ，所以p 1为真命题；对于p 2，若z 2∈R ，即(a ＋b i)2＝a 2＋2ab i －b 2∈R ，则ab ＝0.当a ＝0，b ≠0时，z ＝a ＋b i ＝b i ∉R ，所以p 2为假命题；对于p 3，若z 1z 2∈R ，即(a 1＋b 1i)(a 2＋b 2i)＝(a 1a 2－b 1b 2)＋(a 1b 2＋a 2b 1)i ∈R ，则a 1b 2＋a 2b 1＝0.而z 1＝z 2，即a 1＋b 1i ＝a 2－b 2i ⇔a 1＝a 2，b 1＝－b 2.因为a 1b 2＋a 2b 1＝0⇏a 1＝a 2，b 1＝－b 2，所以p 3为假命题；对于p 4，若z ∈R ，即a ＋b i ∈R ，则b ＝0，故z ＝a －b i ＝a ∈R ，所以p 4为真命题．故选B.1．(2018·长春调研)若复数z 满足i(z －3)＝－1＋3i(其中i 是虚数单位)，则z 的实部为( )A ．6B ．1C ．－1D ．－6 答案 A解析 ∵i z －3i ＝－1＋3i ，∴i z ＝－1＋6i ，∴z ＝6＋i ，故z 的实部为6.2．(2017·河南六市联考)如果复数2－b i 1＋2i(其中i 为虚数单位，b 为实数)的实部和虚部互为相反数，则b ＝______.答案 －23解析 由2－b i 1＋2i＝(2－b i )(1－2i )5＝2－2b －(b ＋4)i 5， 得2－2b ＝b ＋4，得b ＝－23. 3．已知复数z 满足z 2＝－4，若z 的虚部大于0，则z ＝________.答案 2i解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，b >0)，则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ＝－4，因此a ＝0，－b 2＝－4，b ＝±2，又b >0，∴b ＝2，∴z ＝2i.考点二、复数的运算命题点1 复数的乘法运算例2：(2018·长春质检)设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2等于( )A ．－5B ．5C ．－4＋iD ．－4－i答案 A解析 ∵z 1＝2＋i 在复平面内的对应点的坐标为(2,1)，又z 1与z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，则z 2的对应点的坐标为(－2,1)，即z 2＝－2＋i ，∴z 1z 2＝(2＋i)(－2＋i)＝i 2－4＝－5.命题点2 复数的除法运算典例3：(2017·全国Ⅱ)3＋i 1＋i等于( ) A ．1＋2iB ．1－2iC ．2＋iD ．2－i答案 D解析 3＋i 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝3－3i ＋i ＋12＝2－i. 命题点3 复数的综合运算例4：(2017·全国Ⅲ)设复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，则|z |等于( ) A.12 B.22 C. 2 D ．2 答案 C解析 方法一 由(1＋i)z ＝2i ，得z ＝2i 1＋i ＝1＋i ，∴|z |＝ 2. 故选C.方法二 ∵2i ＝(1＋i)2，∴由(1＋i)z ＝2i ＝(1＋i)2，得z ＝1＋i ， ∴|z |＝ 2. 故选C.4．复数i(2－i)等于( ) A ．1＋2i B ．1－2i C ．－1＋2i D ．－1－2i答案 A解析 i(2－i)＝2i －i 2＝1＋2i.5．(2017·江苏)已知复数z ＝(1＋i)(1＋2i)，其中i 是虚数单位，则z 的模是________． 答案10解析 方法一 ∵z ＝(1＋i)(1＋2i)＝1＋2i ＋i －2 ＝－1＋3i ，∴|z |＝(－1)2＋32＝10.方法二 |z |＝|1＋i||1＋2i|＝2×5＝10. 6．2016·全国Ⅲ)若z ＝1＋2i ，则4iz z －1等于( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i 答案 C解析 z ＝1＋2i ，z z ＝5，4iz z －1＝i.7．⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6＋2＋3i 3－2i ＝________. 答案 －1＋i解析 原式＝⎣⎡⎦⎤(1＋i )226＋(2＋3i )(3＋2i )(3)2＋(2)2 ＝i 6＋6＋2i ＋3i －65＝－1＋i.8．(2016·山东)若复数z 满足2z ＋z ＝3－2i ，其中i 为虚数单位，则z 等于( ) A ．1＋2i B ．1－2i C ．－1＋2i D ．－1－2i答案 B解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ，∴2(a ＋b i)＋(a －b i)＝3－2i ，整理得3a ＋b i ＝3－2i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＝3，b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，∴z ＝1－2i ，故选B. 9．(2016·全国Ⅲ)若z ＝4＋3i ，则z |z |等于( ) A ．1 B ．－1 C.45＋35i D.45－35i 答案 D解析 z ＝4＋3i ，|z |＝5，z|z |＝45－35i. 10．(1＋i )3(1－i )2等于( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i答案 D解析 方法一 (1＋i )3(1－i )2＝(1＋i )(1＋i )2－2i＝(1＋i )(1＋i 2＋2i )－2i＝－2＋2i －2i ＝1－i i＝－1－i.故选D.方法二 (1＋i )3(1－i )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2(1＋i)＝i 2(1＋i)＝－(1＋i)． 11．已知(1－i )2z ＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z 等于( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i 答案 D解析 由(1－i )2z ＝1＋i ，知z ＝(1－i )21＋i ＝－2i1＋i ＝－1－i ，故选D.考点三、复数的几何意义例5： (1)(2017·北京)若复数(1－i)(a ＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1) B ．(－∞，－1) C ．(1，＋∞) D ．(－1，＋∞)答案 B解析 ∵(1－i)(a ＋i)＝a ＋i －a i －i 2＝a ＋1＋(1－a )i ， 又∵复数(1－i)(a ＋i)在复平面内对应的点在第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1<0，1－a >0，解得a <－1.故选B.12．△ABC 的三个顶点对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，若复数z 满足|z －z 1|＝|z －z 2|＝|z －z 3|，则z 对应的点为△ABC 的( ) A ．内心 B ．垂心 C ．重心 D ．外心答案 D解析 由几何意义知，复数z 对应的点到△ABC 三个顶点的距离都相等，z 对应的点是△ABC 的外心．13．如图所示，平行四边形OABC ，顶点O ，A ，C 分别表示0，3＋2i ，－2＋4i ，试求：①AO →，BC →所表示的复数； ②对角线CA →所表示的复数； ③B 点对应的复数．解 ①∵AO →＝－OA →，∴AO →所表示的复数为－3－2i. ∵BC →＝AO →，∴BC →所表示的复数为－3－2i. ②∵CA →＝OA →－OC →，∴CA →所表示的复数为 (3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. ③OB →＝OA →＋AB →＝OA →＋OC →，∴OB →所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i ， 即B 点对应的复数为1＋6i.14．已知z 是复数，z ＋2i ，z2－i 均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围． 解 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，∴z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，由题意得y ＝－2. ∵z2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i) ＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i ， 由题意得x ＝4.∴z ＝4－2i.∵(z ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i ，根据条件，可知⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2>0，8(a －2)>0，解得2<a <6，∴实数a 的取值范围是(2,6)．★★★知能达标演练★★★一、选择题1．设复数z 满足1＋z1－z ＝i ，则|z |等于( )A ．1 B. 2 C. 3 D ．2答案 A解析 1＋z ＝i(1－z )，z (1＋i)＝i －1， z ＝i －11＋i＝－(1－i )22＝i ，∴|z |＝|i|＝1.2．在复平面内，向量AB →对应的复数是2＋i ，向量CB →对应的复数是－1－3i ，则向量CA →对应的复数是( ) A ．1－2i B ．－1＋2i C ．3＋4i D ．－3－4i答案 D解析 CA →＝CB →＋BA →＝－1－3i ＋(－2－i)＝－3－4i.3．若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．－1或1答案 A解析 ∵z 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x －1≠0，∴x ＝－1.4．设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 ∵复数a ＋bi ＝a －b i 为纯虚数，∴a ＝0且－b ≠0，即a ＝0且b ≠0，∴“ab ＝0”是“复数a ＋bi为纯虚数”的必要不充分条件．故选C.5．设i 是虚数单位，若z ＝cos θ＋isin θ，且其对应的点位于复平面内的第二象限，则θ位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 B解析 ∵z ＝cos θ＋isin θ对应的点的坐标为(cos θ，sin θ)，且点(cos θ，sin θ)位于第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧cos θ<0，sin θ>0，∴θ为第二象限角，故选B.6．(2016·全国Ⅰ)设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|等于( ) A ．1 B. 2 C. 3 D ．2 答案 B解析 由(1＋i)x ＝1＋y i ，得x ＋x i ＝1＋y i ，由复数相等得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，x ＝y ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.所以|x ＋y i|＝x 2＋y 2＝2，故选B.7．(2017·济宁一模)已知i 为虚数单位，则z ＝i1－2i 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 B解析 z ＝i1－2i ＝i (1＋2i )1－(2i )2＝－2＋i 5＝－25＋i 5，其对应的点⎝⎛⎭⎫－25，15位于第二象限． 8．(2017·山东)已知a ∈R ，i 是虚数单位．若z ＝a ＋3i ，z ·z ＝4，则a 等于( ) A ．1或－1B.7或－7C ．－ 3 D. 3答案 A解析 ∵z ·z ＝4，∴|z |2＝4，即|z |＝2. ∵z ＝a ＋3i ，∴|z |＝a 2＋3＝2， ∴a ＝±1.故选A.9．(2017·河北保定定兴三中月考)“复数z ＝3－a i i (a ∈R )在复平面内对应的点在第三象限”是“a ≥0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 z ＝3－a i i ＝(3－a i )(－i )－i·i ＝－a －3i.∵z 在复平面内对应的点在第三象限，∴－a <0，解得a >0.∴“复数z ＝3－a ii 在复平面内对应的点在第三象限”是“a ≥0”的充分不必要条件．故选A.10．(2017·河北省三市联考)若复数z ＝a ＋3ii ＋a 在复平面上对应的点在第二象限，则实数a可以是( ) A ．－4 B ．－3 C ．1 D ．2答案 A解析 因为z ＝a ＋3ii ＋a ＝(3＋a )－a i 在复平面上对应的点在第二象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧3＋a <0，－a >0，解得a <－3，故选A.11．(2018·枣庄模拟)设z 1，z 2是复数，则下列命题中的假命题是( ) A ．若|z 1－z 2|＝0，则z 1＝z 2 B ．若z 1＝z 2，则z 1＝z 2 C ．若|z 1|＝|z 2|，则z 1·z 1＝z 2·z 2D ．若|z 1|＝|z 2|，则z 21＝z 22答案 D解析 A 中，|z 1－z 2|＝0，则z 1＝z 2，故z 1＝z 2，成立．B 中，z 1＝z 2，则z 1＝z 2成立．C 中，|z 1|＝|z 2|，则|z 1|2＝|z 2|2，即z 1z 1＝z 2z 2，C 正确．D 不一定成立，如z 1＝1＋3i ，z 2＝2，则|z 1|＝2＝|z 2|，但z 21＝－2＋23i ，z 22＝4，z 21≠z 22.二、填空题12．i 2 011＋i 2 012＋i 2 013＋i 2 014＋i 2 015＋i 2 016＋i 2 017＝________. 答案 1解析 原式＝i 3＋i 4＋i 1＋i 2＋i 3＋i 4＋i ＝1.13．(2017·天津)已知a ∈R ，i 为虚数单位，若a －i 2＋i 为实数，则a 的值为________．答案 －2 解析 ∵a ∈R ，a －i 2＋i ＝(a －i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝2a －1－(a ＋2)i5＝2a －15－a ＋25i 为实数，∴－a ＋25＝0，∴a ＝－2.14．(2017·浙江)已知a ，b ∈R ，(a ＋b i)2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则a 2＋b 2＝________，ab ＝________. 答案 5 2解析 (a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i. 由(a ＋b i)2＝3＋4i.得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝3，ab ＝2. 解得a 2＝4，b 2＝1. 所以a 2＋b 2＝5，ab ＝2.15．已知集合M ＝{1，m,3＋(m 2－5m －6)i}，N ＝{－1,3}，若M ∩N ＝{3}，则实数m 的值为________． 答案 3或6解析 ∵M ∩N ＝{3}，∴3∈M 且－1∉M ， ∴m ≠－1,3＋(m 2－5m －6)i ＝3或m ＝3， ∴m 2－5m －6＝0且m ≠－1或m ＝3， 解得m ＝6或m ＝3，经检验符合题意．16．(2018·唐山质检)若1＋2i 是关于x 的实系数方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个复数根，则b ＝______，c ＝______.答案 －2 3解析 ∵实系数一元二次方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个虚根为1＋2i ，∴其共轭复数1－2i 也是方程的根．由根与系数的关系知，⎩⎨⎧(1＋2i )＋(1－2i )＝－b ，(1＋2i )(1－2i )＝c ，∴b ＝－2，c ＝3.17．若3＋b i 1－i ＝a ＋b i(a ，b 为实数，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝________.答案 3 解析3＋b i 1－i＝(3＋b i )(1＋i )2＝12[(3－b )＋(3＋b )i]＝3－b 2＋3＋b2i.∴⎩⎨⎧a ＝3－b2，b ＝3＋b2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝3.∴a ＋b ＝3.18．已知复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，且|z －2|＝3，则yx 的最大值为________．答案3解析 ∵|z －2|＝(x －2)2＋y 2＝3， ∴(x －2)2＋y 2＝3. 由图可知⎝⎛⎭⎫y x max＝31＝ 3.19．(2016·天津)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若(1＋i)·(1－b i)＝a ，则ab 的值为________．答案 2解析 因为(1＋i)(1－b i)＝1＋b ＋(1－b )i ＝a ， 又a ，b ∈R ，所以1＋b ＝a,1－b ＝0， 得a ＝2，b ＝1，所以ab＝2.20．(2017·辽宁朝阳三校协作体联考)已知复数z ＝3＋i(1－3i )2，z 是z 的共轭复数，则z ·z ＝________. 答案 14解析 由z ＝3＋i －2(1＋3i )＝－34＋14i ，得z ＝－34－14i ， 所以z ·z ＝⎝⎛⎭⎫－34＋14i ·⎝⎛⎭⎫－34－14i ＝316＋116＝14. 21．已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－4i ，它们在复平面上对应的点分别为A ，B ，C .若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值是________． 答案 1解析 由条件得OC →＝(3，－4)，OA →＝(－1,2)， OB →＝(1，－1)， 根据OC →＝λOA →＋μOB →，得(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－λ＋μ＝3，2λ－μ＝－4， 解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝2，∴λ＋μ＝1. 22．若a1－i ＝1－b i ，其中a ，b 都是实数，i 是虚数单位，则|a ＋b i|＝________. 答案5解析 ∵a ，b ∈R ，且a1－i＝1－b i ， 则a ＝(1－b i)(1－i)＝(1－b )－(1＋b )i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1－b ，0＝1＋b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－1，∴|a ＋b i|＝|2－i|＝22＋(－1)2＝ 5. 23．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc .若复数x ＝1－i 1＋i ，y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4i x i 2 x ＋i ，则y ＝________.答案 －2解析 因为x ＝1－i 1＋i＝(1－i )22＝－i ， 所以y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4i x i 2 x ＋i ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4i 12 0＝－2. 24．设f (n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i n (n ∈N *)，则集合{f (n )}中元素的个数为________． 答案 3解析 f (n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i n ＝i n ＋(－i)n ， f (1)＝0，f (2)＝－2，f (3)＝0，f (4)＝2，f (5)＝0，…，∴集合{f (n )}中共有3个元素．三、解答题25．(2018·广州质检)已知复数z ＝b i(b ∈R )，z －21＋i是实数，i 是虚数单位． (1)求复数z ；(2)若复数(m ＋z )2所表示的点在第一象限，求实数m 的取值范围． 解 (1)因为z ＝b i(b ∈R )，所以z －21＋i ＝b i －21＋i ＝(b i －2)(1－i )(1＋i )(1－i )＝(b －2)＋(b ＋2)i 2＝b －22＋b ＋22i. 又因为z －21＋i是实数，所以b ＋22＝0， 所以b ＝－2，即z ＝－2i.(2)因为z ＝－2i ，m ∈R ，所以(m ＋z )2＝(m －2i)2＝m 2－4m i ＋4i 2＝(m 2－4)－4m i ，又因为复数(m ＋z )2所表示的点在第一象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4>0，－4m >0，解得m <－2， 即m ∈(－∞，－2)．26．(2018·济南调研)若虚数z 同时满足下列两个条件：①z ＋5z是实数；②z ＋3的实部与虚部互为相反数． 这样的虚数是否存在？若存在，求出z ；若不存在，请说明理由． 解 这样的虚数存在，z ＝－1－2i 或z ＝－2－i.设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R 且b ≠0)，z ＋5z ＝a ＋b i ＋5a ＋b i ＝a ＋b i ＋5(a －b i )a 2＋b 2 ＝⎝⎛⎭⎫a ＋5a a 2＋b 2＋⎝⎛⎭⎫b －5b a 2＋b 2i. ∵z ＋5z 是实数，∴b －5b a 2＋b 2＝0. 又∵b ≠0，∴a 2＋b 2＝5.①又z ＋3＝(a ＋3)＋b i 的实部与虚部互为相反数， ∴a ＋3＋b ＝0.②由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋3＝0，a 2＋b 2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－2，b ＝－1， 故存在虚数z ，z ＝－1－2i 或z ＝－2－i.。
山东省2019届名校高三文科数学试题精选分类汇编15：复数(含解析)
1 i (1 i )(1 i ) 2
1i
5 , 选 A. [:
13．（【 解析】山东省青岛一中 2019 届高三 1 月调研考试文科数学） i 2013 的值为 ( )
A.1 B. i
C.-1
D. i
【答案】 B【解析】因为 i 2013 i 503 4 1 i , 所以选 B.
14．（【解析】山东省潍坊市 2019 届高三第一次模拟考试文科数学）复数 z
别为 A(l,2),B(-1,3),
则 z2 = : z1
A.1+i
B.i C.1-i
D. 一 i
【 答 案 】 A 解 : 由 复 数 的 几 何 意 义 可 知 z1 1 2i , z2 1 3i , 所 以
z2
1 3i ( 1 3i )(1 2i) 5 5i 1 i , 选 A. [:
z1 1 2i (1 2i )(1 2i )
A.-3-4i
B. -3+4i
C. 3-4i
D. 3+4i[:
3i 2 1i
【答案】
B
3i 1i
2
8 6i 2i
(8 6i)i 2i 2
3 4i , 选 B.
()
19．（【解析】山东省济宁市 2019 届高三第一次模拟考试文科数学
）已知 i 是虚数单位 , 则
1
1 (
i ) 2 在复平
2
面内对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 [:
5
8 ．（山东省烟台市 2019 届高三 3 月诊断性测试数学文）已知
i 是虚数单位 , 复数 2 1
A. 第一象限
B. 第二象限