习题82反常积分的收敛判别法20页word文档
习 题 8.2 反常积分的收敛判别法
⒈ ⑴ 证明比较判别法（定理8.2.2）；
⑵ 举例说明，当比较判别法的极限形式中l =0或+∞时，?∞
+a dx x )(?和
?
∞
+a
dx x f )(的敛散性可以产生各种不同的的情况。
解 （1）定理8.2.2（比较判别法） 设在[,)a +∞上恒有)()(0x K x f ?≤≤，其中K 是正常数。则
当?∞
+a dx x )(?收敛时?
∞+a
dx x f )(也收敛；
当?
∞
+a
dx x f )(发散时?∞
+a
dx x )(?也发散。
证 当?∞
+a dx x )(?收敛时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理，
0>?ε ，a A ≥?0，0,A A A ≥'?：K
dx x A A ε
?<
?'
)(。
于是
≤
?'
A A
dx x f )(ε?
A A dx x K )(，
所以?
∞+a
dx x f )(也收敛；
当?
∞+a
dx x f )(发散时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理，
00>?ε，a A ≥?0，0,A A A ≥'?：
εK dx x f A A ≥?'
)(。
于是
≥?'A A dx x )(?0)(1
ε≥?'
A A dx x f K ，
所以?∞
+a dx x )(?也发散。
（2）设在[,)a +∞上有0)(,0)(≥≥x x f ?，且0)
()(lim
=+∞→x x f x ?。则当?∞
+a dx x f )(发
散时，?∞
+a dx x )(?也发散；但当?∞
+a dx x f )(收敛时，?∞
+a dx x )(?可能收敛，也可能发散。
例如21)(x x f =
，)20(1
)(<<=p x
x p ?，则0)()(lim =+∞→x x f x ?。显然有 ?∞
+1
)(dx x f 收敛，而对于?∞
+1)(dx x ?，则当21<
发散。
设在[,)a +∞上有0)(,0)(≥≥x x f ?，且+∞=+∞→)
()(lim
x x f x ?。则当?∞
+a dx
x f )(收敛时，?∞
+a dx x )(?也收敛；但当?∞
+a dx x f )(发散时，?∞
+a dx x )(?可能发散，也可能收敛。
例如x
x f 1)(=
，)21
(1)(>=
p x
x p ?，则+∞=+∞→)()(lim x x f x ?。显然有 ?∞
+1
)(dx x f 发散，而对于?∞
+1)(dx x ?，则当
12
1
≤
p 时收敛。 ⒉ 证明Cauchy 判别法及其极限形式（定理8.2.3）。
证 定理8.2.3（Cauchy 判别法） 设在[,)a +∞?+∞(,)0上恒有f x ()≥0，K 是正常数。 ⑴ 若f x K
x p
()≤
，且p >1，则?∞+a dx x f )(收敛； ⑵ 若f x K
x
p ()≥，且p ≤1，则?∞+a dx x f )(发散。
推论（Cauchy 判别法的极限形式）设在[,)a +∞?+∞(,)0上恒有f x ()≥0，且
lim ()x p x f x l →+∞
=，
则
⑴ 若0≤<+∞l ，且p >1，则?∞+a dx x f )(收敛； ⑵ 若0<≤+∞l ，且p ≤1，则?
∞
+a
dx x f )(发散。
证 直接应用定理8.2.2（比较判别法）及其推论（比较判别法的极限形
式），将函数)(x ?取为
p x
1
。 ⒊ 讨论下列非负函数反常积分的敛散性：
⑴ 1
1
3
21
x e
x dx x
-++-+∞
?ln ;
⑵
?
∞
++1
3
1tan arc dx x x
;
⑶ 1
10
++∞
?x x dx |sin |
;
⑷
x x dx
q p
11
++∞
?（+
∈R q p ,）. 解 （1）当+∞→x 时，
1
ln 1
23
++--x e
x x
～
2
31
x ，
所以积分1
1
3
21
x e
x dx x
-++-+∞
?ln 收敛。
（2）当+∞→x 时，
3
1arctan x
x +～32x π， 所以积分?
∞
++1
3
1tan arc dx x
x
收敛。 （3）因为当0≥x 时有
x
x x +≥+11
sin 11，
而积分dx x
?∞
++0
11
发散，所以积分110
++∞?x x dx |sin |发散。 （4）当+∞→x 时，
p
q
x
x +1～q p x -1， 所以在1>-q p 时，积分x x dx q
p
11
++∞
?收敛，在其余情况下积分 x x dx q
p
11
++∞
?发散。
⒋ 证明：对非负函数f x ()，)cpv (f x dx ()-∞+∞?收敛与f x dx ()-∞+∞
?收敛是等价的。
证 显然，由f x dx ()-∞+∞?收敛可推出)cpv (f x dx ()-∞+∞
?收敛，现证明当0)(≥x f 时可由)cpv (f x dx ()-∞+∞
?收敛推出f x dx ()-∞+∞
?收敛。
由于)cpv (f x dx ()-∞+∞?收敛，可知极限
+∞
→A lim =)(A F +∞→A lim
?
-A
A
dx x f )(
存在而且有限，由Cauchy 收敛原理，
0>?ε，00A ?>，0,A A A ≥'?：ε<-)'()(A F A F ，
于是0,A A A ≥'?与0',A B B ≥?，成立
≤?'
A A
dx x f )(ε<-)'()(A F A F
与
≤?--B
B dx x f ')(ε<-)'()(B F B F ，
这说明积分?∞
+0)(dx x f 与?∞
-0
)(dx x f 都收敛，所以积分f x dx ()-∞+∞
?收敛。
⒌ 讨论下列反常积分的敛散性（包括绝对收敛、条件收敛和发散，下同）：
⑴ ln ln ln sin x x xdx 2+∞
?; ⑵ sin x x dx p
1
+∞?（+
∈R p ）; ⑶ ?∞+1tan arc sin dx x
x x p
（+
∈R p ）; ⑷ sin()x dx 20+∞?; ⑸
?∞+a n m
xdx x q x p sin )()( （p x m ()和q x n ()分别是m 和n 次多项式， q x n ()在),[+∞∈a x 范围无零点。
） 解 （1）因为?=A
xdx A F 2sin )(有界，
x
x ln ln ln 在),2[+∞单调，且0ln ln ln lim =+∞→x x
x ，
由Dirichlet 判别法，积分ln ln ln sin x
x
xdx 2+∞?收敛；
由于
≥x x x sin ln ln ln x x x 2sin ln ln ln )2cos 1(ln ln ln 21x x
x
-=，而积分 ?∞
+2
ln ln ln dx x x 发散，?∞+22cos ln ln ln xdx x x 收敛，所以积分?∞+2sin ln ln ln dx x x
x 发散，
即积分ln ln ln sin x
x
xdx 2
+∞
?条件收敛。 （2）当1>p 时，
p
p
x x x 1sin ≤
，而?∞+11dx x p 收敛，所以当1>p 时积分 sin x
x dx p
1
+∞
?绝对收敛； 当10≤
xdx A F 1sin )(有界，
p x
1
在),1[+∞单调，且01
lim
=+∞→p
x x ，由Dirichlet 判别法，积分sin x x dx p 1+∞?收敛；但因为当10≤
|
sin |dx x x p
发散，所以当10≤
x dx p
1
+∞
?条件收敛。 （3）当1>p 时，≤
p
x x
x arctan sin p
x 2π
，而?∞
+1
1
dx x p
收敛，所以当1>p 时积分?
∞
+1
tan arc sin dx x x
x p
绝对收敛；
当10≤
xdx A F 1sin )(有界，
p
x
x
arctan 在),1[+∞单调，且0arctan lim
=+∞→p x x x ，由Dirichlet 判别法，积分?∞+1arctan sin dx x
x
x p 收敛；但因为当10≤
+1
sin arctan dx x x
x
p
发散，所以当10≤
arctan sin
dx x
x
x p
条件收敛。 （4）令2x t =，=?∞
+02)sin(dx x ?∞
+02sin dt t
t ，由于?∞
+0
2sin dt t
t 条件收敛，可知积
分sin()x dx 20+∞
?条件收敛。
（5）当1+>m n 且x 充分大时，有
x x q x p n m sin )()(2x
K
≤，可知当1+>m n 时积分?
∞
+a
n m xdx x q x p sin )
()
(绝对收敛。
当1+=m n 时，因为?=A
xdx A F 1sin )(有界，且当x 充分大时，
)
()
(x q x p n m 单调且0)()(lim =+∞→x q x p n m x ，由Dirichlet 判别法可知?∞+a n
m
xdx x q x p sin )()(收敛；但由
于当+∞→x 时，
)
()(x q x p n m ～x a ，易知?∞+1sin )()
(dx x x q x p n m 发散，所以当1+=m n 时，积分?
∞
+a
n m xdx x q x p sin )
()
(条件收敛。 当1+ →) () (lim ，A 为非零常数、∞+或∞-，易知积分? ∞ +a n m xdx x q x p sin ) () (发散。 ⒍ 设f x ()在[,]a b 只有一个奇点x b =，证明定理8.2.'3和定理8.2.'5。 定理8.2.'3（Cauchy 判别法） 设在[,)a b 上恒有f x ()≥0，若当x 属于b 的某个左邻域[,)b b -η0时，存在正常数K ，使得 ⑴ f x K b x p ()()≤ -，且p <1，则f x dx a b ()?收敛； ⑵ f x K b x p ()()≥-，且p ≥1，则f x dx a b ()?发散。 证 （1）当p <1时，积分?-b a p dx x b ) (1 收敛，由反常积分的Cauchy 收敛原理， 0>?ε，0>?δ，),0(',δηη∈?： K dx x b b b p ε ηη <-?--' ) (1。 由于≤?--' )(ηηb b dx x f εηη <-?--' ) (b b p dx x b K ，所以f x dx a b ()?收敛。 （2）当1≥p 时，积分?-b a p dx x b ) (1 发散，由反常积分的Cauchy 收敛原理， 00>?ε，0>?δ，),0(',δηη∈?： K dx x b b b p 0' ) (1 εηη ≥-?--。 由于≥?--' )(ηηb b dx x f 0' ) (εηη ≥-?--b b p dx x b K ，所以f x dx a b ()?发散。 推论（Cauchy 判别法的极限形式）设在[,)a b 上恒有f x ()≥0，且 lim()()x b p b x f x l →- -=， 则 ⑴ 若0≤<+∞l ，且p <1，则f x dx a b ()?收敛； ⑵ 若0<≤+∞l ，且p ≥1，则f x dx a b ()?发散。 证 （1）由lim()()x b p b x f x l →- -= （+∞<≤ 0>?δ，),(b b x δ-∈?：p x b l x f ) (1 )(-+< ， 再应用定理8.2.'3的（1）。 （2）由lim()()x b p b x f x l →- -= （+∞≤<≥l p 0,1），可知 0>?δ，),(b b x δ-∈?：p x b l x f ) (2)(-> ， 再应用定理8.2.'3的（2）。 定理8.2.'5 若下列两个条件之一满足，则f x g x dx a b ()()?收敛： ⑴（Abel 判别法） f x dx a b ()?收敛，g x ()在[,)a b 上单调有界； ⑵（Dirichlet 判别法）? -=η ηb a dx x f F )()(在],0(a b -上有界，g x ()在 [,)a b 上单调且0)(lim =- →x g b x 。 证 （1）设G x g ≤|)(|，因为f x dx a b ()?收敛，由Cauchy 收敛原理， 0>?ε，0>?δ，),(,b b A A δ-∈'?： G dx x f A A 2)(ε < ? ' 。 由积分第二中值定理， ? ' A A dx x g x f )()(?? ' ?'+?≤A A dx x f A g dx x f A g ξ ξ )()()()( ??'+≤A A dx x f G dx x f G ξξ)()(εε ε=+<2 2。 （2）设M F ≤|)(|η，于是),[,b a A A ∈'?，有M dx x f A A 2)( 。因为0)(lim =- →x g b x ， 0>?ε，0>?δ，),(b b x δ-∈?，有M x g 4)(ε < 。由积分第 二中值定理， ? ' A A dx x g x f )()(??' ?'+?≤A A dx x f A g dx x f A g ξ ξ)()()()( |)(|2|)(|2A g M A g M '+≤εε ε=+<2 2。 所以无论哪个判别法条件满足，由Cauchy 收敛原理，都有 ? ∞ +a dx x g x f )()(收敛的结论。 ⒎ 讨论下列非负函数反常积分的敛散性： ⑴ 1 12 301 x x dx () -?; ⑵ ln x x dx 201 1 -?; ⑶ 1 220 2 cos sin x x dx π?; ⑷ 10 2 -?cos x x dx p π; ⑸ |ln |x dx p 01 ?; ⑹ x x dx p q ---?1101 1(); ⑺ ?---1 011 |ln |)1(dx x x x q p . 解 （1）因为 3 2 ) 1(1 x x -～ 3 21 x )0(+→x ， 3 2 ) 1(1 x x -～ 3 1)1(1x - )1(-→x ，所 以积分1 12 3 01 x x dx () -?收敛。 （2）因为1ln lim 2 1--→x x x 2 1 =，且对任意10<<δ，01ln lim 20=-+→x x x x δ，即当0>x 充分小时，有δ x x x 1 1ln 2<-，所以积分ln x x dx 2011-?收敛。 （3）因为 x x 22sin cos 1～21x )0(+→x ，x x 22sin cos 1～2 )2 (1 x -π)2(-→πx ， 所以积分1 220 2 cos sin x x dx π?发散。 （4）因为p x x cos 1-～2 21-p x )0(+→x ，所以当3 -?cos x x dx p π 收敛，当3≥p 时积分10 2 -?cos x x dx p π 发散。 （5）首先对任意的10<<δ与任意的p ，有0]|ln |[lim 0=+ →p x x x δ，即当0>x 充分小时，有δ x x p 1ln < ；且 p x ln ～p x --)1(1)1(-→x 。所以当1->p 时，积分|ln |x dx p 01 ?收敛，当1-≤p 时，积分|ln |x dx p 01 ?发散。 （6）11)1(---q p x x ～ p x -11)0(+→x ，11)1(---q p x x ～ q x --1) 1(1 )1(-→x ，所以在0,0>>q p 时积分x x dx p q ---?1101 1()收敛，在其余情况下积分 x x dx p q ---?1101 1()发散。 （7）|ln |)1(11x x x q p ---～ q x --) 1(1 )1(-→x ，且 0|)]ln |)1(([lim 112 10=----+ →x x x x q p p x ，即当0>x 充分小时，有 2 1111 ln )1(p q p x x x x ---< -，所以当1,0->>q p 时积分?---1 011|ln |)1(dx x x x q p 收 敛，在其余情况下积分?---1 011|ln |)1(dx x x x q p 发散。 ⒏ 讨论下列反常积分的敛散性： ⑴ x x x dx p q ---?11 01 ln (+∈R q p ,); ⑵ 1 1223 x x x dx ()() --+∞ ?; ⑶ ln() 10++∞ ?x x dx p ; ⑷ ? ∞ +0tan arc dx x x p ; ⑸ ?2 /0 tan πdx x x p ; ⑹ x dx p x --+∞ ?10e ; ⑺ 1 0x x dx p q ++∞ ?; ⑻ ?∞ +2 ln 1 dx x x q p . 解（1）x x x dx p q ---?110 1 ln ?-=2 101ln dx x x p ?--2101 ln dx x x q ?---+12 111ln dx x x x q p 。 当0>p ，0>q 时积分?-210 1ln dx x x p 与积分?-2101 ln dx x x q 显然收敛，且当-→1x 时， =---x x x q p ln 11()[]()[] () )1(1ln 1 )1(11)1(111-+--+---+--x x x q p ～q p x x q p -=---1)1)((， 即? ---1 2 11 1ln dx x x x q p 不是反常积分，所以积分x x x dx p q ---?1 101ln 收敛。 （2）= --?∞ +0 3 2 )2()1(1dx x x x ?--1 03 2 ) 2()1(1dx x x x ?--+21 3 2 ) 2()1(1dx x x x ?∞ +--+2 3 2 ) 2()1(1 dx x x x 。 因为 3 2 ) 2()1(1 --x x x ～3 1 31 2 1x ? -)0(+→x ， 3 2 ) 2()1(1 --x x x ～3 2)1(1-- x )1(-→x ， 所以积分?--103 2 ) 2()1(1dx x x x 收敛； 因为 3 2 ) 2()1(1 --x x x ～3 2)1(1 -- x )1(+→x ， 3 2 ) 2()1(1 --x x x ～3 13 )2(1 2 1-?x )2(-→x ， 所以积分?--21 3 2 ) 2()1(1dx x x x 收敛； 因为 3 2 ) 2()1(1 --x x x ～3 13)2(1 2 1-?x )2(+→x ， 3 2 ) 2()1(1 --x x x ～ 3 41 x )(+∞→x ， 所以积分?∞ +--2 3 2 ) 2()1(1dx x x x 收敛。 由此可知积分1 1223 x x x dx ()() --+∞ ?收敛。 （3）=+?∞ +0 ) 1ln(dx x x p + + ?10 )1ln(dx x x p ?∞ ++1 ) 1ln(dx x x p 。 由 p x x )1ln(+～11-p x )0(+→x ，可知当2 )1ln(dx x x p 收敛，当2≥p 时，积分?+ 10 ) 1ln(dx x x p 发散； 当1>p 时，0)1ln(lim 213=??? ? ????+?-+∞→p p x x x x ，即当0>x 充分大时，有 2 131 ) 1ln(-<+p p x x x ，其中 1213>-p ，可知当1>p 时，积分?∞++1) 1ln(dx x x p 收敛，当1≤p 时，积分?∞ ++1 ) 1ln(dx x x p 发散； 综上所述，当21< ∞++0 ) 1ln(dx x x p 收敛，在其余情况下积分? ∞ ++0 ) 1ln(dx x x p 发散。 （4）?∞+0 tan arc dx x x p ?=10tan arc dx x x p ?∞++1 tan arc dx x x p 。 由 p x x arctan ～11-p x )0(+→x ,可知当2 p 收敛； 由 p x x arctan ～p x 2π)(+∞→x ，可知当1>p 时积分?∞+1 tan arc dx x x p 收敛。 所以当21< ∞ +0 tan arc dx x x p 收敛，在其余情况下积分 ? ∞ +0 tan arc dx x x p 发散。 （5）?2 /0 tan πdx x x p ?=4 /0 tan πdx x x p ? +2/4 /tan ππdx x x p 。 由 p x x tan ～2 11-p x )0(+→x ，可知当23 /0tan πdx x x p 收敛，当 2 3≥p 时积分?4/0 tan πdx x x p 发散； 由p x x tan ～12 2() 2 p p x ππ-)2 (-→ π x ，可知积分?2 /4 /tan ππdx x x p 收敛。 所以当2 3 /0 tan πdx x x p 收敛，当2 3 ≥ p 时积分 ?2 /0 tan πdx x x p 发散。 （6）x dx p x --+∞ ?10e ?--=1 01e dx x x p ?∞ +--+11e dx x x p 。 由于积分?∞ +--11e dx x x p 收敛，及x p e x --1～ p x -11)0(+→x ，所以当0 >p 时积分x dx p x --+∞ ?10e 收敛，当0≤p 时积分x dx p x --+∞ ?10e 发散。 （7）10 x x dx p q ++∞ ??+=101dx x x q p ?∞ +++11dx x x q p 。 当q p =时，显然积分1 0x x dx p q ++∞ ?发散； 当q p ≠时，由于 q p x x +1～),min(1q p x )0(+→x ，q p x x +1～) ,max(1 q p x )(+∞→x ， 所以当1),min( 0x x dx p q ++∞ ?收敛，其余情况下 积分1 x x dx p q ++∞ ?发散。 （8）设1>p ，则对任意的q ，当x 充分大时，有 2 11ln 1 + p x x x ，因为 121 >+p ，可知积分?∞+2 ln 1dx x x q p 收敛。 设1 2 11ln 1 +> p q p x x x ，因为 121 <+p ，可知积分?∞+2 ln 1dx x x q p 发散。 设1=p ，令t x =ln ，则?∞ +2 ln 1dx x x q p ?∞+=2ln q t dt ，由此可知当1>p 或 1,1>=q p 时积分?∞ +2 ln 1dx x x q p 收敛，在其余情况下积分?∞+2 ln 1dx x x q p 发散。 ⒐ 讨论下列反常积分的敛散性： ⑴ x x dx p -+∞ +?1 2 01; ⑵ x x x dx q p sin 11 ++∞ ? (p ≥0); ⑶ ?∞ +0 sin cos e dx x x p x ; ⑷ ?∞ +0 sin 2sin e dx x x p x ; (5) ?1 021cos 1dx x x p ； (6) ?∞+? ? ? ?? +1 1sin dx x x x p (0>p ). 解（1）x x dx p -+∞ +?120 1?+=-10 211dx x x p ?∞+-++121 1dx x x p 。 由211x x p +-～p x -11)0(+→x ，2 1 1x x p +-～p x -31)(+∞→x ，可知当20< +?120 1收敛，在其余情况下积分x x dx p -+∞+?1 2 01发散。 （2）当1- x x x -<+1 1|sin |，可知积分x x x dx q p sin 11++∞?绝对收 敛。 当p q p <≤-1时，因为?=A xdx A F 1 sin )(有界，当x 充分大时p q x x +1单 调减少，且01lim =++∞→p q x x x ，由Dirichlet 判别法，积分?∞++11sin dx x x x p q 收敛； 但因为积分?∞ ++11|sin |dx x x x p q 发散，所以当p q p <≤-1时积分sin x x dx p 1+∞?条 件收敛。 当p q ≥时，由于n →∞时22sin 1q n p n x x dx x ππ π ++?不趋于零，可知积分 x x x dx q p sin 11 ++∞ ?发散。 （3）?∞ +0 sin cos e dx x x p x ?=10sin cos e dx x x p x ?∞++1 sin cos e dx x x p x 。 由p x x x e cos sin ～p x 1)0(+→x ，可知当1 收敛，在其余情况下积分?10 sin cos e dx x x p x 发散。 当1 +1 sin | cos |e dx x x p x 发散；当0≤p 时，易知积分?∞ +1 sin cos e dx x x p x 发散。 当10< x ，p x 1单调减少，且01 lim =+∞→p x x ，由Dirichlet 判别法；可知积分?∞ +1 sin cos e dx x x p x 收敛。 综上所述，当10< +0 sin cos e dx x x p x 条件收敛，在其余情况下积分?∞ +0 sin cos e dx x x p x 发散。 （4）?∞ +0 sin 2sin e dx x x p x ?=10sin 2sin e dx x x p x ?∞++1 sin 2sin e dx x x p x 。 由p x x x e 2sin sin ～1 2 -p x )0(+→x ，可知当2 收敛，在其余情况下积分?10 sin 2sin e dx x x p x 发散。 当21< +1 sin | 2sin |e dx x x p x 收敛；当1≤p 时，易知积分 ?∞ +1 sin |2sin |e dx x x p x 发散；当0≤p 时，易知积分?∞+1 sin 2sin e dx x x p x 发散。 当10≤ π )1(sin 02sin k k x xdx e ，可知 ? A x xdx e 0 sin 2sin 有界， 且 p x 1单调减少，01 lim =+∞→p x x ，由Dirichlet 判别法，可知积分 ?∞ +1 sin 2sin e dx x x p x 收敛。 综上所述，当21< +0 sin 2sin e dx x x p x 绝对收敛，当10≤ +0 sin 2sin e dx x x p x 条件收敛，在其余情况下积分?∞+0 sin 2sin e dx x x p x 发散。 （5）令21 x t = ，则 ?=1 021cos 1dx x x p tdt t p cos 1211 2 3?∞+-。 于是可知当1 21cos 1dx x x p 绝对收敛；当31<≤p 时积分?1 021cos 1dx x x p 条件收敛，当3≥p 时积分?1021cos 1 dx x x p 发散。 （6）当1>p 时，因为p p x x x x 11sin ≤??? ??+，可知积分?∞+? ?? ?? +11sin dx x x x p 绝对收敛。 当10≤ + + ??? ??+26 1sin πππ πn n p dx x x x p n ? ?? ? ? +?>2321πππ，而级数 ∑ ∞ =? ?? ? ? +121n p n ππ发散，所以积分?∞ +? ?? ? ? +1 1sin dx x x x p 发散；又因为 =+?∞+dx x x x p 1 )1 sin(dx x x x x x p ?∞++1 sin 1cos cos 1sin ，注意到当x 充分大时，p x x 1sin 与p x x 1cos 都是单调减少的，由Dirichlet 判别法可知积分?∞+??? ??+11sin dx x x x p 收敛，所以积分?∞+??? ?? +1 1sin dx x x x p 条件收敛。 10．证明反常积分?∞ +04sin sin xdx x x 收敛。 证 对任意A A A >>'"，由分部积分法， ?=" ' 4sin sin A A xdx x x ?-"' 42 )(cos 4sin A A x d x x " ' 244cos sin A A x x x ???? ??-=?-+"'244cos cos A A dx x x x ?"' 342sin cos A A dx x x x 。 显然，当+∞→A 时，等式右端的三项都趋于零，由Cauchy 收敛原理，可知反常积分?∞ +04sin sin xdx x x 收敛。 11．设f x ()单调，且当x →+0时f x ()→+∞，证明：f x dx ()01 ? 收敛的必要条件是lim ()x xf x →+ =00。 证 首先由f x ()的单调性，对于充分小的10< ?≤≤ x x dt t f x f x 2 )()(2 0。 由Cauchy 收敛原理，?=+ →x x x dt t f 2 00)(lim ，于是得到 0)(lim 0=+ →x xf x 。 12．设? ∞ +a dx x f )(收敛，且)(x xf 在),[+∞a 上单调减少，证明: 0)()(ln lim =+∞ →x f x x x 。 证 首先容易知道当+∞→x 时，)(x xf 单调减少趋于0，于是有 0)(≥x xf ，且 ?=?≤≤ x x dt t t tf x f x x 1)()()(ln 210? x x dt t f )(。 然后由Cauchy 收敛原理，0)(lim =? +∞ →x x x dt t f ，于是得到 0)()(ln lim =+∞ →x f x x x 。 13．设f x ()单调下降，且lim ()x f x →+∞ =0，证明：若'f x ()在[,)0+∞上连续，则 反常积分'+∞ ?f x x dx ()sin 20收敛。 证 首先由分部积分法， ?∞ += 2sin )('xdx x f ?∞ +0 2)(sin x xdf ?∞ +-=0 2sin )(xdx x f 。 由于?=A xdx A F 02sin )(有界，f x ()单调下降，且lim ()x f x →+∞ =0，由 Dirichlet 判别法，可知积分?∞ +02sin )(xdx x f 收敛，从而积分 '+∞ ?f x x dx ()sin 20收敛。 14. 设? ∞+a dx x f )(绝对收敛，且lim ()x f x →+∞ =0，证明f x dx a 2()+∞ ?收敛。 证 首先由lim ()x f x →+∞ =0，可知a A >?，A x >?，有1)( +a dx x f )(绝对收敛，于是由比较判别法， 积分f x dx a 2()+∞ ?收敛。 15． 若f x dx a 2()+∞?收敛，则称f x ()在[,)a +∞上平方可积（类似可定义无界 函数在[,]a b 上平方可积的概念）。 ⑴ 对两种反常积分分别探讨f x ()平方可积与f x ()的反常积分收敛之 间的关系； ⑵ 对无穷区间的反常积分，举例说明，平方可积与绝对收敛互不包含； ⑶ 对无界函数的反常积分，证明：平方可积必定绝对收敛，但逆命 题不成立。 解 （1）?∞ +a dx x f )(收敛不能保证f x dx a 2()+∞ ?收敛，例如：x x x f sin )(=， 则?∞ +1)(dx x f 收敛，但?∞ +12)(dx x f 发散； f x dx a 2()+∞ ?收敛不能保证?∞ +a dx x f )(收敛，例如：x x f 1 )(= ，则 ?∞ +1 2)(dx x f 收敛，但?∞ +1 )(dx x f 发散。 （2）f x dx a 2()+∞ ?收敛不能保证?∞ +a dx x f )(绝对收敛，例如：x x x f sin )(=，则?∞ +12)(dx x f 收敛，但?∞ +1)(dx x f 不是绝对收敛的； ?∞ +a dx x f )(绝对收敛不能保证f x dx a 2()+∞ ?收敛，例如： ?? ?? ?+ ∈=∞ =其他 0]1,[)(2 3 Y n n n n x n x f ，则?∞+1)(dx x f 绝对收敛，但?∞+12)(dx x f 发散。 （3）由)](1[2 1)(2x f x f +≤，可知?b a dx x f )(2收敛保证?b a dx x f )(绝对收敛； 但?b a dx x f )(绝对收敛不能保证?b a dx x f )(2收敛，例如：x x f 1)(= ，则 ?1 )(dx x f 绝对收敛，但?1 02)(dx x f 发散。 16. 证明反常积分 sin sin x x x dx p ++∞ ?1 当p ≤ 1 2 时发散，当121<≤p 时条件收敛，当p >1时绝对收敛。 证 当p >1时，对充分大的x ，有x x x p sin sin +p x 2≤，由于积分?∞+1 2 dx x p 收敛，可知积分sin sin x x x dx p ++∞ ?1 绝对收敛。 当10≤ ) sin (sin sin sin sin 2x x x x x x x x x p p p p +-=+。 这时积分?∞ +1 sin dx x x p 收敛；积分?∞ ++12) sin (sin dx x x x x p p 当121<≤p 时收敛，当2 1 0≤ ++434 sin sin π πππn n p dx x x x 1 )1(122++?≥p p n ππ，因为级数 1 )1(11 ++∑ ∞ =p p n n π 发散，所以积分?∞ ++1 sin sin dx x x x p 发散。 综上所述，当1 2 1<≤p 时，积分sin sin x x x dx p ++∞ ?1 条件收敛；当2 1 0≤ x x dx p ++∞ ?1 发散。 当0≤p 时，因为有?+ ++224 2sin sin π πππn n p dx x x x 2224sin 2n n x dx π πππ++>?π162>，由 Cauchy 收敛原理，可知积分sin sin x x x dx p ++∞ ?1 发散。 希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条： 1、生气，就是拿别人的过错来惩罚自己。原谅别人，就是善待自己。 2、未必钱多乐便多，财多累己招烦恼。清贫乐道真自在，无牵无挂乐逍遥。 3、处事不必求功，无过便是功。为人不必感德，无怨便是德。 习 题 8.2 反常积分的收敛判别法 ⒈ ⑴ 证明比较判别法（定理8.2.2）； ⑵ 举例说明，当比较判别法的极限形式中l =0或+∞时，?∞ +a dx x )(?和 ? ∞ +a dx x f )(的敛散性可以产生各种不同的的情况. 解 （1）定理8.2.2（比较判别法） 设在[,)a +∞上恒有)()(0x K x f ?≤≤，其中K 是正常数.则 当?∞ +a dx x )(?收敛时? ∞+a dx x f )(也收敛； 当? ∞ +a dx x f )(发散时?∞ +a dx x )(?也发散. 证 当?∞ +a dx x )(?收敛时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理， 0>?ε ，a A ≥?0，0,A A A ≥'?：K dx x A A ε ?< ?' )(. 于是 ≤ ?' A A dx x f )(ε??ε，a A ≥?0，0,A A A ≥'?： εK dx x f A A ≥?' )(. 于是 ≥?'A A dx x )(?0)(1 ε≥?' A A dx x f K ， 所以?∞ +a dx x )(?也发散. （2）设在[,)a +∞上有0)(,0)(≥≥x x f ?，且0) ()(lim =+∞→x x f x ?.则当?∞ +a dx x f )(发散 时，?∞ +a dx x )(?也发散；但当?∞ +a dx x f )(收敛时，?∞ +a dx x )(?可能收敛，也可能发散. 例如21)(x x f = ，)20(1 )(<<=p x x p ?，则0)()(lim =+∞→x x f x ?.显然有 一个比拉阿比判别法更精细的正项级数判别法 摘要：本文用级数∑ ∞ =3 ln 1 n p n n 做比较标准，得到一个比拉阿比判别法更为精细又应用方便的判别法，笔者称之为“对数判别法”。 关键词：比较判别法 级数判别法的极限形式 拉格朗日中值定理 对数判别法 目前较常用而又精细的正项级数判别法是拉阿比判别法，然而此判别法有时精确度仍然不够。以下本文就以级数∑ ∞ =3 ln 1 n p n n 做比较标准，得到一个比拉阿比判别法更为精细又应用方便的判别法——“对数判别法”。 我们先看级数∑ ∞ =3ln 1 n p n n 的敛散性：当1>p 时级数收敛；当1≤p 时级数发散。这个结论可用柯西积分判别法证明（具体证明请参见邓东皋、尹小玲编著《数学分析简明教程》），本文不再细述。 先考虑发散的情况。由比较判别法有：设数列}{n u 是正项数列，若n 足够大时，有 n n n n u u n n ln ) 1ln()1(1++< + 成立，则∑∞ =1 n n u 发散。 为了应用方便我们来寻求像拉阿比判别法那样的“极限形式”： n n n n u u n n ln )1ln()1(1++<+n n n u n nu n n ln ln )1ln(1)1(1-+< -+?+， 由拉格朗日中值定理知，对任意n ，存在)1,(+∈n n n ξ，使得 n n n ξ1 ln )1ln(= -+, 故 n n n n u u n n ln ) 1ln()1(1++<+1]1)1([ln 1 <-+?+n n n u n nu n ξ， 要使n 足够大时有1]1)1([ ln 1 <-++n n n u n nu n ξ成立，只需 §2 广义积分的收敛性 主要知识点：广义积分及其敛散性概念； 非负函数广义积分收敛性的比较判别法、柯西判别法； 一般函数广义积分收敛性的Abel 、Dilichlet 判别法； 广义积分与级数的关系。 1、 讨论积分1 121 (1)[ln(1)]x e dx x α β +∞ --+? 的敛散性。 解：211 ,x x x α β →+∞时 “分子”“分母” 。 2、 证明积分 420 1sin dx x x +∞ +? 收敛 。 1 0,02k k k k k k k k k I v v v πδπδπδ δδ+-- '↓=+ +≤= ≤∑∑? ?解：取则，其中 ， 11 (1)(1)421 11()sin k k k k k k k k k k v k πδπδπδ πδ πδ+++-+-++ + '=≤ +?? 。4 3 1 ,k k v k δ=∑取则收敛； 114 433 () 0,k k k k M M v v k k πδδ+--'' ≤≤≤∑又可见 也收敛。 3、 证明积分 1 2 2 3 (1)(sin ) dx x x +∞ +? 收敛 。 解：注意到(1)2 2 3 3 (sin ) [sin()] ,n n n x x n I u π π π+=-==∑ ∑?故 ，由于 2 222 3 2 1 0,1sin n n u dx u n x π π≤≤ +∑?故 收敛。 4、 讨论积分 10 sin 1cos x dx k x π αα -+?的敛散性 。 解：⑴ －1< k <1时f(x)只可能以0,π为瑕点，且当x →∞时分别与1111 , ()x x α α π---同阶，故 当0α>时积分收敛。 ⑵ k = ±1时，f(x)的可能瑕点仍是0,π 。1 120 1 I I I π = +=+?? k = 1时，将cos x 在点π处展成Taylor 公式，可知1cos x +与2 ()x π-同阶。于是1I 仅当0α>时 收敛，2I 仅当0α<时收敛，从而原积分不收敛。 k = －1 时，将cos x 在点0处展成Taylor 公式，可知1－cos x 与2 x 同阶。于是1I 仅当0α<时 收敛，2I 仅当0α>时收敛，故原积分不收敛。 页脚内容278 习 题 8.2 反常积分的收敛判别法 ⒈ ⑴ 证明比较判别法（定理8.2.2）； ⑵ 举例说明，当比较判别法的极限形式中l =0或+∞时，?∞+a dx x )(?和?∞+a dx x f )(的敛散性可以产生各种不同的的情况. 解 （1）定理8.2.2（比较判别法） 设在[,)a +∞上恒有)()(0x K x f ?≤≤，其中K 是正常数.则 当?∞+a dx x )(?收敛时?∞+a dx x f )(也收敛； 当?∞ +a dx x f )(发散时?∞ +a dx x )(?也发散. 证 当?∞ +a dx x )(?收敛时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理， 0>?ε ，a A ≥?0，0,A A A ≥'?：K dx x A A ε?< ?')(. 于是 ≤ ?'A A dx x f )(ε??ε，a A ≥?0，0,A A A ≥'?： εK dx x f A A ≥?' )(. 于是 页脚内容279 ≥?'A A dx x )(?0)(1ε≥?'A A dx x f K ， 所以?∞+a dx x )(?也发散. （2）设在[,)a +∞上有0)(,0)(≥≥x x f ?，且0)()(lim =+∞→x x f x ?.则当?∞+a dx x f )(发散时，?∞+a dx x )(?也发散；但当?∞+a dx x f )(收敛时，?∞+a dx x )(?可能收敛，也可能发散. 例如21)(x x f =，)20(1)(<<=p x x p ?，则0)()(lim =+∞→x x f x ?.显然有 ?∞+1)(dx x f 收敛，而对于?∞+1)(dx x ?，则当21< =p x x p ?，则+∞=+∞→)()(lim x x f x ?.显然有 ?∞+1)(dx x f 发散，而对于?∞+1)(dx x ?，则当12 1≤ p 时收敛. ⒉ 证明Cauchy 判别法及其极限形式（定理8.2.3）. 证 定理8.2.3（Cauchy 判别法） 设在[,)a +∞?+∞(,)0上恒有f x ()≥0，K 是正常数. ⑴ 若f x K x p ()≤，且p >1，则?∞+a dx x f )(收敛； 目录 摘要........................................................................................... (2) 引言........................................................................................... . (3) 1无穷积分........................................................................................... .. (5) 1.1无穷积分的概念........................................................................................... .. (5) 1.2无穷积分敛散性的柯西准则 (5) 1.3无穷积分敛散性的比较判别法 (6) 1.4无穷积分的敛散性的狄利克雷与阿贝尔判别法 (7) 2瑕积分........................................................................................... .. (8) 2.1瑕积分的定义........................................................................................... . (9) 2.2瑕积分的敛散性的比较判别法.................................................................... (10) 2.3.瑕积分敛散性的柯西判别法 (10) 2.4无穷积分的敛散性的狄利克雷与阿贝尔判别法.................... .. (12) 3瑕积分与无穷积分之间的关系............................................................ (13) 总结........................................................................................... ......... .. (13) 参考文献........................................................................................... ... .. (14) 反常积分的收敛判别法 阿文 摘 要：掌握不同类型函数反常积分收敛性的多种判别方法，对于需要计算出其收敛值的，也可以方便的计算出其收敛的数值. 关键词：Cauchy 判别法； Abel 判别法； Dirichlet 判别法 引 言 一般情况下，只需确定一个反常积分函数的收敛性，而不一定需要求出其具体的收敛数值.因此，掌握不同类型函数的反常积分收敛判别法是极其必要的. 一 非负函数反常积分的收敛判别法 1.比较判别法 设在),[+∞a 上恒有)()(0x K x f ?≤≤，其中K 是正常数，则 （1） 当? +∞a dx x )(?收敛时?+∞a dx x f )(也收敛； （2） 当?+∞a dx x f )(发散时?+∞a dx x )(?也发散. 2.Cauchy 判别法 设在),[+∞a ),0(+∞?上恒有0)(≥x f ，K 是正常数， （1）若p x K x f ≤)(，且p>1,则dx x f a ?+∞)(收敛； （2）若p x x f K ≥)(，且p 1≤，则?+∞a dx x f )(发散. 二 一般函数反常积分的收敛判别法 1.Abel 判别法 dx x f a ? +∞)(收敛，)(x g 在),[+∞a 单调有界，则dx x g x f a )()(?+∞收敛； 2.Dirichlet 判别法 F(A)=dx x f A a ?)(在[),+∞a 上有界，)(x g 在[),+∞a 上单调且+∞→x lim 0)(=x g ，则dx x g x f a )()(?+∞ 收敛. 三 无界函数反常积分的收敛判别法 1.Cauchy 判别法 设在[),b a 上恒有0)(≥x f ，当x 属于b 的某个领域),[0b b η-时，存在正常数K ，使得 (1) ,) ()(p x b K x f -≤且p<1，则?b a dx x f )(收敛; (2) ,)()(p x b K x f -≥且p 1≥则?b a dx x f )(发散. 2.Abel 判别法 ?b a dx x f )(收敛，)(x g 在),[ b a 上单调有界，则?b a dx x g x f )()(收敛. 3.Dirichlet 判别法 ? -=ηηb a dx x f F )()(在],0(a b -上有界，)(x g 在),[b a 上单调且0)(lim =-→x g b x , 则?b a dx x g x f )()(收敛. 总 结 函数的类型不同，其相应的反常积分收敛判别法也就不同. 熟练掌握多种判别法可以对不同类型函数的敛散性做出正确的估计及计算.一般的，同一类函数也可用不同的方法来计算，既省时间，正确度又高. 参考文献 [1]陈纪修，於崇华，金路.数学分析(第二版)[M]，北京：高等教育出版社，2004.6. 数学与统计学院应用数学系 综合课程设计成绩评定书设计题目：正项级数收敛的判别方法 摘要： 各项都由正数组成的级数称为正项级数，它是数项级数的特例。本文主要考虑正项级数的收敛问题，通过介绍比较原则、比式判别法、根式判别法以及积分判别法等常用的判别方法，并结合相关实例，判断所给级数的敛散性。 关键字：正项级数 收敛 比较原则 比式判别法 根式判别法 积分判别法 1基本概念 1.1 数项级数及其敛散性 在介绍正项级数之前先引入数项级数的相关概念及收敛级数的基本性质，下面介绍数项级数以及级数敛散的定义。 定义1：给定一个数列{}n u ，对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式 12n u u u ++++ （1） 称为数项级数或无穷级数（简称级数），其中n u 称为数项级数的通项。 数项级数(1)的前n 项之和，记为1 n n k k S u == ∑，称为（1）的前n 项部分和。 定义2：若（1）的部分和数列{}n S 收敛于S （即lim n n S S →∞ =），则称数项级数（1）收 敛，并称S 为（1）的和，记为1 n n S u ∞ == ∑，若{}n S 为发散数列，则称数列（1）发散。 根据级数（1）的收敛性，可以得到收敛级数的一些性质： (i) 收敛级数的柯西收敛准则 级数（1）收敛的充要条件是：0ε?>，0N ?>，n N ?>，p Z + ?>，有 12||.n n n p u u u ε++++++< (ii) 级数收敛的必要条件：若级数 1 n n u ∞ =∑收敛，则lim 0n n u →∞ =. (iii)去掉、改变或增加级数的有限项并不改变级数的敛散性。 (iv) 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和（正项级数也满足）。 (v) 运算性质： 若级数 1 n n u ∞ =∑与 1 n n v ∞ =∑都收敛，c d 是常数，则 1 ()n n n cu dv ∞ =+∑收敛，且满足 安.师专攀报(自泊科学蔽)1995年旅魂翔 2)若、‘1,。 广义积分的收敛判别 法 第二节 广义积分的收敛判别法 上一节我们讨论了广义积分的计算, 在实际应用中，我们将发现大量的积分是不能直接计算的，有的积分虽然可以直接计算，但因为过程太复杂，也不为计算工作者采用，对这类问题计算工作者常采用数值计算方法或Monte-Carlo 方法求其近似值. 对广义积分而言，求其近似值有一个先决条件 — 积分收敛，否则其结果毫无意义。 因此，判断一个广义积分收敛与发散是非常重要的． 定理9.1（Cauchy 收敛原理）f (x )在[a , +∞ ）上的广义积分 ?+∞ a dx x f )(收敛的充分必要条件是：0>?ε, 存在A>0, 使得b , b '>A 时，恒有 ε?ε , 0>?δ, 只要0<δηη< 收敛而非绝对收敛，则称?+∞ a dx x f )(条件收敛，也称f (x )在[a ,+)∞上 条件可积． 由于a A A ≥?/,，均有 |)(|/ ?A A dx x f ≤ ?/ |)(|A A dx x f 因此，由Cauchy 收敛原理，我们得到下列定理． 定理9.3如果广义积分?+∞a dx x f )(绝对收敛，则广义积分?+∞ a dx x f )(必收敛． 它的逆命题不一定成立，后面我们将会看到这样的例子。 对其它形式的广义积分，类似地有绝对收敛及条件收敛的定义及性质． 下面我们先介绍当被积函数非负时，广义积分收敛的一些判别法． 比较判别法： 定理9.4（无限区间上的广义积分）设在[a ,+∞)上恒有 ),()(0x k x f ?≤≤（k 为正常数） 则当?+∞ a dx x )(?收敛时, ?+∞ a dx x f )(也收敛; 当? +∞a dx x f )(发散时, ?+∞ a dx x )(?也发散． 证明：由Cauchy 收敛原理马上得结论成立． 对瑕积分有类似的结论判别法 定理9.5 设f (x ), g (x ) 均为[a ,b )上的非负函数，b 为两个函数的奇点，如存在一个正常数k, 使 ∈?≤≤x x kg x f ),()(0[a , b ), 则 习 题 8.2 反常积分的收敛判别法 ⒈ ⑴ 证明比较判别法（定理8.2.2）； ⑵ 举例说明，当比较判别法的极限形式中l =0或+∞时，?∞ +a dx x )(?和 ? ∞ +a dx x f )(的敛散性可以产生各种不同的的情况。 解 （1）定理8.2.2（比较判别法） 设在[,)a +∞上恒有)()(0x K x f ?≤≤，其中K 是正常数。则 当?∞ +a dx x )(?收敛时? ∞+a dx x f )(也收敛； 当? ∞ +a dx x f )(发散时?∞ +a dx x )(?也发散。 证 当?∞ +a dx x )(?收敛时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理， 0>?ε ，a A ≥?0，0,A A A ≥'?：K dx x A A ε ?< ?' )(。 于是 ≤ ?' A A dx x f )(ε??ε，a A ≥?0，0,A A A ≥'?： εK dx x f A A ≥?' )(。 于是 ≥?'A A dx x )(?0)(1 ε≥?' A A dx x f K ， 所以?∞ +a dx x )(?也发散。 （2）设在[,)a +∞上有0)(,0)(≥≥x x f ?，且0) ()(lim =+∞→x x f x ?。则当?∞ +a dx x f )(发 散时，?∞ +a dx x )(?也发散；但当?∞ +a dx x f )(收敛时，?∞ +a dx x )(?可能收敛，也可能发散。 例如21)(x x f = ，)20(1 )(<<=p x x p ?，则0)()(lim =+∞→x x f x ?。显然有 ?∞ +1 )(dx x f 收敛，而对于?∞ +1)(dx x ?，则当21< §2 无穷积分的性质与收敛判别法 教学目的与要求： 掌握条件收敛与绝对收敛的概念，收敛的无穷积分具有的四个性质；掌握收敛的Cauchy 准则、比较判别法及其三个推论、阿贝耳判别法、狄利克雷判别法等。 教学重点，难点： 无穷积分的收敛性比较判别法、柯西判别法、狄利克雷判别法等。 教学内容： 本节介绍了无穷积分的三个性质和四种判别收敛的方法 一 无穷积分的性质 由定义知道，无穷积分 ()dx x f a ? +∞ 收敛与否，取决于函数F （u ）=()dx x f u a ?在u →+∞时是否存在 极限。因此由函数极限的柯西准则导出无穷积分收敛的柯西准则。 定理11.1 无穷积分()dx x f a ? +∞ 收敛的充要条件是：任给ε＞0，存在G ≥a ，只要u 1、u 2＞G ，便 有 ()()()2 1 2 1 u u u a a u f x dx f x dx f x dx ε-= ?≥a ，只要u 1、u 2＞G ，便有 ()()()221 1 21|()()|.u u u u a a f x dx f x dx f x dx F u F u ε=-=- 内蒙古财经大学本科学年论文反常积分敛散性的判定方法 作者陈志强 学院统计与数学学院专业数学与应用数学年级2012 级 学号122094102 指导教师魏运 导师职称教授 最终成绩75 分 目录 摘要??????????????????.. ?? . ?. ?????..1 关键词??????????????????.. ?? . ?. ????..1 引言 ----------------------------------------------------------------------------------------2 一、预备知识?????????? .. ?? . ?. ????? . 2 1.无穷限反常积分??????????..??.?.?????..2 2.瑕积分????????..??.?.????3 3.反常积分的性质???????? .. ?? . ?. ????3 二、反常积分的收敛判别法????????????.. ?? . ?. 4 1 无穷积分的收敛判别????????.. ?? . ? . ?????4 (1). 定义判别法 (2). 比较判别法 (3).柯西判别法??????? .. ?? . ?. ?????..?? 4??????? .. ?? . ?. ?????..?? 4??????? .. ?? . ?. ?????..?? 5 (4)阿贝尔判别法 . ???????..??.?.?????.6 (5).狄利克雷判别法???????..??.?.?????7 2 瑕积分的收敛判别???????..??.?.?????. .?8 (1). 定义判别法???????..??.?.?????..??8 (2). 定理判别法???????????..??.?.?????.9. (3). 比较判别法?????????????.. ?? . ?. ????9 (4).柯西判别法???????????..??.?.?????9 (5).阿贝尔判别法???????????..??.?.???.10 (6).狄利克雷判别法????????..??.?.?????10. 数学分析第十二章数项级数积分判别法 第八讲 数学分析第十二章数项级数 定理12.9（积分判别法） 积分判别法由于比式和根式判别法的比较对象是几何级数,局限性较大,所以还需要建立一些更有效的判别法. 设[1,)f +∞为上非负减函数,+1()d f x x 与反常积分∞ ?同时收敛或同时发散. 证由假设[1,)f 为+∞上非负减函数, f 在[1, A ]上可积,于是 对任何正数A ,那么正项级数()f n ∑ 数学分析第十二章数项级数-≤≤-=?1()()d (1),2,3,. n n f n f x x f n n 依次相加可得1 122 1()()d (1)().(12)m m m m n n n f n f x x f n f n -===≤≤-=∑∑∑?若反常积分收敛,有 111()(1)()d (1)()d . m m m n S f n f f x x f f x x +∞==≤+≤+∑?? 根据定理12.5, 级数()f n ∑收敛. 则由(12)式左边, 对任何正整数m , 数学分析第十二章数项级数反之, 若()f n ∑为收敛级数, 一正整数m (>1)有 -≤≤=∑?11()d (). (13)m m f x x S f n S 1 0()d , 1.A n f x x S S n A n ≤≤<≤≤+?因为f (x )为非负减函数, 法, 可以证明+1()()d f n f x x 与∞∑? 是同时发散的.112 21()()d (1)().(12)m m m m n n n f n f x x f n f n -===≤≤-=∑∑∑?则由(12)式右边，对任故对任何正数A ,都有111.2,()d .f x x +∞ ?根据定理反常积分收敛用同样方 第二节 广义积分的收敛判别法 上一节我们讨论了广义积分的计算, 在实际应用中，我们将发现大量的积分是不能直接计算的，有的积分虽然可以直接计算，但因为过程太复杂，也不为计算工作者采用，对这类问题计算工作者常采用数值计算方法或Monte-Carlo 方法求其近似值. 对广义积分而言，求其近似值有一个先决条件 — 积分收敛，否则其结果毫无意义。 因此，判断一个广义积分收敛与发散是非常重要的． 定理9.1（Cauchy 收敛原理）f (x )在[a , +∞ ）上的广义积分? +∞a dx x f )(收敛的充分必要条件是：0>?ε, 存在A>0, 使得b , b '>A 时，恒有 ε?ε , 0>?δ, 只要0<δηη< 收敛而非绝对收敛，则称?+∞ a dx x f )(条件收敛，也称f (x )在[a ,+)∞上 条件可积． 由于a A A ≥?/,，均有 |)(|/ ?A A dx x f ≤ ?/ |)(|A A dx x f 因此，由Cauchy 收敛原理，我们得到下列定理． 定理9.3如果广义积分?+∞a dx x f )(绝对收敛， 则广义积分?+∞ a dx x f )(必收敛． 它的逆命题不一定成立，后面我们将会看到这样的例子。 对其它形式的广义积分，类似地有绝对收敛及条件收敛的定义及性质． 下面我们先介绍当被积函数非负时，广义积分收敛的一些判别法． 比较判别法： 定理9.4（无限区间上的广义积分）设在[a ,+∞)上恒有 ),()(0x k x f ?≤≤（k 为正常数） 则当?+∞ a dx x )(?收敛时, ?+∞ a dx x f )(也收敛; 当? +∞ a dx x f )(发散时, ?+∞ a dx x )(?也发散． 证明：由Cauchy 收敛原理马上得结论成立． 对瑕积分有类似的结论判别法 定理9.5 设f (x ), g (x ) 均为[a ,b )上的非负函数，b 为两个函数的奇点，如存在一个正常数k, 使 ∈?≤≤x x kg x f ),()(0[a , b ), 则 第十一章反常积分 教学要点： 反常积分收敛和发散的概念及敛散性判别法。 教学内容： §1 反常积分的概念（4学时） 反常积分的引入，两类反常积分的定义反常积分的计算。 §2 无穷积分的性质与收敛判别（4学时） 无穷积分的性质，非负函数反常积分的比较判别法，Cauchy判别法，反常积分的Dirichlet判别法与Abel判别法。 §3 瑕积分的性质与收敛判别 瑕积分的性质，绝对收敛，条件收敛，比较法则。 教学要求： 掌握反常积分敛散性的定义，奇点，掌握一些重要的反常积分收敛和发散的例子，理解并掌握绝对收敛和条件收敛的概念，并能用反常积分的Cauchy收敛原理、非负函数反常积分的比较判别法、Cauchy判别法，以及一般函数反常积分的Abel、Dirichlet判别法判别基本的反常积分。 1．反常积分的收敛性及其收敛性的判别法是本章的重点. 2．两类反常积分的性质及其收敛性判别法有很多相似之处，应引导学生加以类比。 §1 反常积分概念 教学目标：掌握反常积分的定义与计算方法． 教学内容：无穷积分；瑕积分． 教学建议： 讲清反常积分是变限积分的极限． 教学过程： 一、 问题的提出 1、为什么要推广Riemann 积分 定积分()b a f x dx ?有两个明显的缺陷：其一，积分区间[a,b]必须是有限区间； 其二，若[,]f R a b ∈，则0M ?>，使得对于任意的[,]x a b ∈，|()|f x M ≤（即有界是可积的必要条件）。这两个缺陷限制了定积分的应用，因为在许多实际问题和理论问题中涉及到积分区间是无穷区间或被积函数出现无界的情形。 例1（第二宇宙速度问题）、在地球表面初值发射火箭，要是 火箭克服地球引力，无限远离地球，问初速度至少多大？ 解： 设地球半径为 ，火箭质量为 ，地面重力加速度为，有万有引 力定理，在距地心处火箭受到的引理为 于是火箭上升到距地心处需要做到功为 当 时，其极限就是火箭无限远离地球需要作的功 在由能量守恒定律，可求得处速度至少应使 例2、 从盛满水开始打开小孔，问需多长时间才能把桶里水全部放完？ 解： 由物理学知识知道，（在不计摩擦情况下），桶里水位高度为 时，水从小孔里流出的速度为 目录 摘要 (2) 引言 (3) 1无穷积分 (5) 1.1无穷积分的概念 (5) 1.2无穷积分敛散性的柯西准则 (5) 1.3无穷积分敛散性的比较判别法 (6) 1.4无穷积分的敛散性的狄利克雷与阿贝尔判别法 (7) 2瑕积分 (8) 2.1瑕积分的定义 (9) 2.2瑕积分的敛散性的比较判别法.................................................................... (10) 2.3.瑕积分敛散性的柯西判别法 (10) 2.4无穷积分的敛散性的狄利克雷与阿贝尔判别法.................... .. (12) 3瑕积分与无穷积分之间的关系............................................................ (13) 总结.................................................................................................... .. (13) 参考文献.............................................................................................. .. (14) 判断反常积分敛散性的方法 谢鹏数学与计算机科学学院 摘要：反常积分的收敛性是数学分析中的难点之一，本文介绍了反常积分敛散性的定义和一些重要的反常积分收敛和发散的例子，以及绝对收敛和条件收敛的概念等，让读者能够用反常积分的柯西收敛原理、非负函数反常积分的比较判别法、柯西判别法，以及一般函数反常积分的狄利克雷、阿贝尔判别法判别法判别基本的反常积分敛散性，以便更好的掌握反常积分收敛先判断的方法. 关键词：无穷积分；瑕积分；敛散性；判别方法 On Convergence of The Method of Judging Abnormal Integral Name of student, School: XiePeng，School of Mathematics & Computer Science 含参量反常积分一致收敛的判别法 王 明 星 （德州学院数学科学学院,山东德州 253023） 摘 要： 含参量反常积分是研究和表达函数特别是非初等函数的有力工具.本文通过对含参量反常积分一致收敛性的分析和研究,总结出了判别含参量反常积分一致收敛的几种简单而有效的方法和定理（柯西准则,M 判别法,确界法,狄利克雷判别法等）,从而方便了含参量反常积分一致收敛性的学习和掌握. 关键词： 含参量反常积分; 一致收敛; 判别法 含参量反常积分包括含参量无穷限反常积分和含参量无界函数反常积分,两种反常积分一致收敛性的判别法是相似的,所以我们下面仅仅讨论含参量无穷限反常积分一致收敛性的判别法. 1 含参量无穷限反常积分一致收敛的概念 1.1 含参量无穷限反常积分 设函数(,)f x y 定义在无界区域(){},,R x y a x b c y =|≤≤≤<+∞上,若对每一个固定的[],x a b ∈,反常积分 (,)c f x y dy +∞ ? 都收敛,则它的值是x 在[],a b 上取值的函数,当记这个函数为()I x 时,则有 ()(,)c I x f x y dy +∞=?,[],x a b ∈ 称(,)c f x y dy +∞? 为定义在[],a b 上的含参量无穷限反常积分. 1.2 含参量无穷限反常积分收敛 若含参量无穷限反常积分(,)c f x y dy +∞? 与函数()I x 对每一个固定的 [],x a b ∈,任给的正数ε,总存在某一实数N c >,使得M N >时,都有 (,)()M c f x y dy I x ε- 积分判别法 若在[1,∞)上f 减, 非负, 则∑f (n )收敛??∞1f 收敛. 此时?∞1f ≤∑f (n )≤?∞1f + f (1). 证 ?21f ≤f (1) = f (1), ?32f ≤f (2)≤?21f , … ,?+1n n f ≤f (n )≤?-n n f 1, 相加得?+11n f ≤∑-n k k f 1)(≤?n f 1+ f (1). 令n →∞得证. 注. 条件可改为x 充分大时f 减, 非负. 例1(p 级数)∑p n 1当且仅当p > 1时收敛. 证一. p > 0时用积分判别法; p ≤0时由必要条件. 证二 p ≤1时由n -p ≥n -1得发散, p >1时用积分判别法. *证三 p ≤1时由n -p ≥n -1得发散. p > 1时按下列方法加括号: 括号内的项数依次为1, 2, 4, 8, 16, …, 则由1141447141,21223121--=<++=<+p p p p p p p p Λ, … 及比较判别法知加括号后的级数收敛, 故p 级数也收敛. △∑∑∞=∞ =32ln ln 1 ,ln 1n p n p n n n n n , … . 备考. 设f (x ) = (x ln p x )-1 (x ≥2), 则p ≥0时显然f 减. 而p < 0时对充分大的x , f 仍减[p < 0时f ' (x ) = - (x ln p x )-2 ln p -1x (ln x + p )< 0 (x > e -p ), 故可直接应用积分判别法得∑(n ln p n )-1当p > 1时收敛, p ≤1时发散. △∑)1(~ )1(23n n n +. △)1(~ 1n n n ∑-.△)1(~ )1(q q p p n n n ∑++.△∑sin n 1 (~n 1). △∑n n 1 (n n a =n 1→0, 或n n 1q p 时积分1
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