反常积分审敛法判定
19
例6
讨论
1
sin x xp
dx
与
1
cos x xp
dx
(
p
0)
的收敛性.
解 当 p 1时, 由于
sin x xp
1 xp
,
因此
1
sin x xp
d
x
绝对收敛.
若0 p1,
1
cos x xp
dx
=
1
1 xp
d
sin
x
=
1 xp
sin x
-
1
1
sin x xp
特别地，
结论：瑕积分
1
0
1 xq
dx
当q
1时收敛，当q
1时
发散.
7
5.3 无穷区间上积分的审敛准则 １．非负被积函数的判别法
引理 设函数 f ( x) 在区间 [a, +）上可积，b a，
且
f ( x) 0．若函数 F ( x)
x
f (t)dt
a
在 [a, ) 上有界，则广义积分 f ( x)dx 收敛． a
lim f ( x) l， x g( x)
则(1)当 0 l 时，二无穷积分有相同的收敛性；
(2)当 l 0 时，若 g( x)dx 收敛，则 f ( x)dx 收敛；
a
a
(3)当 l 时，若 g( x)dx 发散，则 f ( x)dx 发散．
a
a
12
证 (1) 由 lim f ( x) l 0, 故存在 X a,使 x X ,有 x g( x)
f ( x) )dx 也收敛.
a
故
f ( x)dx
[( f ( x)
f (x) ) -
f ( x) ]dx
收敛.
a
a
例5 判别
sin
x
dx (a 0) 的收敛性.
1 x(a x)
解 由于
sin x x(a x)
1 ,而 xx
1
1 x3
2 dx
收敛,
因此 sin x dx 绝对收敛.
1 e- x x -1dx,
0
I2
e- x x -1dx,
1
(1) 当 1 时, I1 是定积分; 当 0 1 时,
e- x x -1
1 x1-
1 ex
1 x1-
,
I1 收敛.
设
I1
1 e- x x -1dx,
0I2ຫໍສະໝຸດ e- x x -1dx,1
(1) 当 1 时, I1 是定积分; 当 0 1 时,
x 0
x
x 0
因此由推论知, 1 ln x dx 收敛,即 1 ln xdx 收敛.
0x
0x
29
5.５ -函数与B-函数
1. - 函数
定义 ( ) e- x x-1dx ( 0) 0
特点: 1.积分区间为无穷;
2.当 - 1 0 时被积函数在点 x 0 的
右领域内无界.
设
I1
g( x)dx
也发散．
a
a
证明 设 a b ，由 0 f ( x) g( x)及
g( x)dx
a
收敛，得
b
b
f ( x)dx g( x)dx g( x)dx.
a
a
a
即 F (b) b f ( x)dx 在 [a,) 上有上界． a
由引理知
f
(
x
)dx
收敛．
a
9
如果
f ( x)dx发散,则
即 f ( x) g( x), x [ X , ), 因此由 g( x)dx 发散 a
可推得 f ( x) dx 发散. a
15
例３ 判别无穷积分的收敛性：
（1） sin 1
1 x2 dx
；（2） arctan xdx
1
x
记住：无穷积分
a
1 xp
dx
(a 0)当 p 1时收敛，当
何 [u,b] (a,b] 上可积.若 lim ( x - a)q f ( x) ,则 xa
(i) 当0 q 1,0 时，b f ( x)dx 收敛; a
(ii) 当q 1,0 时，b f ( x)dx 发散. a
利用 x ~ sin x ~ tan x ~ arcsin x ~ arctan x ~ ln(1 x) ~ ex - 1 ( x 0),
f ( x)d x条件收敛.
a
绝对收敛的无穷积分 f ( x)dx 必定收敛． a
18
定理5.3 如果 f ( x) dx 收敛 f ( x)dx 也收敛．
a
a
证 0 ( f ( x) f ( x) ) 2 f ( x) , f ( x)dx 收敛, a
( f (x)
p 1时发散.
16
例４
讨论无穷积分
2
1 xk ln x dx
(k 0)的收敛性.
解 当k 1时, 1 dx 发散；
2 x ln x
当k 1时,
1
1
xk
ln x
(x x ln x
2)
2
xk
1 ln
x
dx
发散；
当k 1时,
11 xk ln x / xk 0
(x )
2
xk
1 ln
2013年1月7日
南京航空航天大学 理学院 数学系
8
定理5.1 (比较判别法) 设函数 f ( x)、g( x) 在
任何区间[a, b] 上可积，
如果 0 f ( x) g( x) (a x ), 那么
若
g( x)dx
收敛，则
f ( x)dx 也收敛；
a
a
若
f ( x)dx 发散，则
sin
４．在 ( ) e- x x-1dx 中，作代换 x t 2， 0
13
(2)由 lim f ( x) 0, 存在 X a, 使 x X , 有 x g( x)
f (x) 1 , g( x)
即 f ( x) g( x), x [ X , ), 因此由 g( x)dx 收敛 a
可推得 f ( x)dx 收敛. a
14
(3)由 lim f ( x) , 存在 X a, 使 x X , 有 x g( x) f ( x) 1, g( x)
f ( x) - l l , 即 l g( x) f ( x) 3l g( x).
g( x)
2
2
2
若 f ( x)dx 收敛, 则可得 l g( x)dx 收敛,从而
a
a2
g( x)dx 收敛. a
反之,若 g( x) dx 收敛, 可得 3l g( x)dx 收敛,
a
a2
从而 f ( x)dx 收敛. a
第3章 一元函数积分学及其应用
第1节 定积分的概念，存在条件与性质 第2节 微积分基本公式与基本定理 第3节 两种基本积分法 第4节 定积分的应用 第5节 反常积分 第6节 几类简单的微分方程
1
第5节 反常（广义）积分
定积分
积分限有限 被积函数有界
推广
5.1 无穷积分 广义积分 5.2 瑕积分
2
第5节 反常积分 5.1 无穷积分-无穷区间上积分 5.2 瑕积分-无界函数的积分 5.3 无穷区间上积分的审敛准则
d
1 xp
但是
=sin1+p
sin x 1 x p+1 dx
是收敛的；
sin x sin2 x 1 cos 2x
xp
x
-
, x [1, ),
2x 2x
其中 cos 2x dx 1 cos t dt 是收敛的；
1 2x
22 t
而 dx 发散，因此
1 2x
1
sin x xp
dx
发散.
2. 若 f ( x)dx 收敛,能否推得 f 3( x)dx 收敛?
a
a
反之呢?
22
5.4 无界函数积分的审敛准则
瑕积分的性质与收敛判别, 与无穷积 分的性质与收敛判别相类似. 因此本节
内容大都是罗列出一些基本结论, 并举 例加以应用, 而不再进行重复论证.
23
定理5.4 (比较判别法) 设函数 f ( x)、g( x) 在
可以判别一些非负函数瑕积分的收敛性.
27
例７ 判别瑕积分 3 dx 的收敛性. 1 ln x 解 被积函数在点 x 1的左邻域内无界．
由洛必达法则知
1
lim ( x - 1)
x 1 0
ln x
1
lim
x 1 0
1
1 0,
x
根据比较判别法极限形式,所给瑕积分发散.
28
类似定理5.3, 有下列结论:
5.4 无界函数积分的审敛准则
3
5.1 无穷积分
f ( x)dx lim
b
f ( x)dx
a
b a
b
f ( x)dx lim
b
f ( x)dx
-
a- a
f (x)dx
lim
b
f ( x)dx
-
a- a
b
当极限存在时，称无穷积分收敛；当极限不存在
时，称无穷积分发散.
4
结论：无穷积分
1 3 x4 1 10
例２
判别无穷积分的收敛性:
(1) e- x2 dx; 1
e- x2 e- x
( x 1)
e x
(2) 1
x3 dx.
ex
反常积分判敛法
1 3 3 ( ) 1 3 ( 1 1) 1 3 1 ( 1 ) 3 . 8 2 2 8 2 2 8 2 2 2 32
20
6.2
反常积分判敛法
（2）
1
xe
x2 2 x
dx
( x ) e t t x 1 dt
∴ I2
1
e t t x 1dt 收敛。
故反常积分 0 e t t x 1dt ，当 x 0 时收敛；当 x 0 时发散。
16
6.2
反常积分判敛法
三、Γ函数
1. 函数的定义
函数 ( x )
0
et t x 1 dt ， x (0,) 称为 Gamma 函数。
0
1
t x 1
dt ， I 2
1
e t t x 1dt ，
先讨论 I1 的敛散性。
①当 x 1 时， I1 是常义积分，收敛的；
15
6.2
反常积分判敛法
1 x t x 1 t t 0) e t lim e 1， ∵ lim( t 0 t 0
②当 0 x 1 时，有 q 1 x 1, l 1,
∴ I1 e t t x 1 dt 收敛。
0
1 0
1
③ x 0 时，有 q 1 x 1 l 1,∴ I1 e t t x 1 dt 发散。
再讨论 I 2 的敛散性。 x 1 t ∵ lim t 2 e t t x 1 lim t 0 ，( p 2 1, l 0) t t e
b a
b
g( x )dx 收敛时， f ( x )dx 也收敛；
反常积分审敛法判定
若 f ( x)dx 发散 , 则称 f ( x)d x条件收敛.
a
a
绝对收敛的无穷积分 f ( x)dx 必定收敛． a
2009年01月05日
南京航空航天大学 理学院 数学系
16
定理4 如果 f ( x) dx 收敛 f ( x)dx 也收敛．
3
5.1 无穷积分
f ( x)dx lim
b
f ( x)dx
a
b a
b
f ( x)dx lim
b
f ( x)dx-a源自- a f (x)dx
lim
b
f ( x)dx
-
a- a
b
当极限存在时，称无穷积分收敛；当极限不存在
时，称无穷积分发散.
例８. 判别瑕积分
的敛散性 .
解: 此处
x 0为瑕点
,因
lim
1
x4
ln
x
0
,故对充分小
x0
的x
,有
1
x 4 ln x
1 ,从而
1
ln x
x
x 4 ln x
3
x4
1
3
x4
据比较法2, 所给积分绝对收敛 .
2009年01月05日
南京航空航天大学 理学院 数学系
24
5.５ -函数与B-函数
第3章 一元函数积分学及其应用
第1节 定积分的概念，存在条件与性质 第2节 微积分基本公式与基本定理 第3节 两种基本积分法 第4节 定积分的应用 第5节 反常积分 第6节 几类简单的微分方程
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《高等数学》第6章2 反常积分判敛法
§6.2 反常积分判敛法
例3. 判别下列瑕积分的敛散性.
(1)
∫
1 0
lnx √x
dx.
分析: 令 f(x) = lnx , 则
lim (x − a)pf(x) = l
x→a+
p<1, 0≤l<+∞: 收敛
√x
p≥1, 0<l≤+∞: 发散
① f(x) ∈ C(0, 1],
k = p − 1/2
② f(x) ≤ 0 (∀0 < x ≤ 1),
第六章 无穷级数
§6.2 反常积分判敛法
证明:
(1)
设
∫
+∞ a
g(x)dx
收敛,
且∫
+a∞g(x)dx
=
A,
则∀b ≥ a, 由 0 ≤ f(x) ≤ g(x)知
∫
b a
f(x)dx
≤
∫
b a
g(x)dx ≤
∫
+a∞g(x)dx
=
A.
又因为 f(x) ≥ 0, 故
I(b)
=
∫
b a
f(x)dx
关于b是单增且有上界的函数,
∃M > a, 当x > M时, 恒有 |xpf(x) − l | < l/2, 即
l/2 < xpf(x) < 3l/2,
故 f(x) >
l/2 xp
∫
+∞ M
l/2 xp
dx
发散
⇒
∫
+∞ M
f(x)dx
发散
⇒
∫
+∞ a
f(x)dx
无穷限反常积分的审敛法
1
根据极限审敛法 1 , 该积分收敛 .
x 例3. 判别反常积分 d x 的敛散性 . 2 1 1 x 3 2 2 1 x x 解: lim lim x 2 1 2 2 x 1 x x 1 x
3 2
根据极限审敛法 1 , 该积分发散 .
例 3．判别下列反常积分的敛散性： 1 比较判别法 （1） sin 2 dx 1 x 1 1 1 解：∵ 0 sin 2 2 ， dx 收敛 ， 而 1 x2 x x 1 ∴ sin 2 dx 收敛 。 1 x
a
2) 若存在常数 N 0 , p 1, 使对充分大的 x 有 N f ( x) p x 则 f ( x) d x 发散 .
a
例1. 判别反常积分
x4 1 1 sin 2 x 解: 3 4 14 03 4 x x 1 x3 由比较审敛法 1 可知原积分收敛 . 1 思考题: 讨论反常积分 d x 的敛散性 . 3 3 1 x 1 提示: 当 x≥1 时, 利用 1 1 1 3 3 x 1 3 ( x 1) 3 x 1
a
当 p 1时, 可取 0 , 使 l 0 , (l 时用任意正
数 N 代替 l ) , 必有
x p f ( x) l
即
l N f ( x) p x x
a
(N l )
可见
f ( x) d x 发散 .
x
定理1. 设 f ( x) C [a , ) , 且 f ( x) 0 , 若函数
F ( x) f (t ) d t
a
x
在[a , ) 上有上界 , 则反常积分
反常积分审敛法-精品文档
则
a
f ( x)dx 收 敛 ；
x
如 果limxf ( x) d 0 (或 limxf ( x) ), 则
x
af ( x)dx 发Fra bibliotek散 ．
证明
dx 的收敛性 . 例２ 判别反常积分 2 1 x1 x 1 2 解 lim x 1 , p21 2 x x1 x
F (x )在 [a , )上是单调增加的 .
F (x ) 在 [ a , ) 上有上界
lim F (x ) 存在 （极限的存在准则）
x x
即 lim 存在 f(t)dt
x a
收敛 f(x)dx
a
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f(x ) dx 发散 a 1 特别地，取 g( x ) p ，即得下面的 x
网络课件 教学设计 多媒 比较审敛法. 程序设计体课件 PPT文档
定理 3 (比较审敛法１ ) 设函数 f ( x) 在区间 [a, ) (a 0) 上连续，且 f ( x) 0. 如果存在常数 M 0 及 p 1 ，使得
arctan x 例４ 判 别 反 常积 dx 分 的收 . 敛性 1 x arctan x x lim arctan x 解 lim 0 x x x 2
定理 2 ( 比较审敛原 ) 理 设函数 f (x)、 g(x) 在 区 间 [a, )上 连 续 、 非 , 负
如果 f (x) g(x),(a x ),并 且 a g(x)dx收 敛 ， 则a f (x)dx也 收 敛 ； 如 f( 果 x) g(x),(a x ), 并且 则 f (x)dx也 发 散 . a g(x)dx发 散 ， a
反常积分极限审敛法
反常积分极限审敛法反常积分极限审敛法（IntegralLimitComparisonTest）是一种常用的数学分析方法，可以用来判断一个无穷级数的收敛性质以及它的收敛情况如何。
它是一种非常重要的定理，有助于我们解决无穷级数的问题。
反常积分极限审敛法（Integral Limit Comparison Test）是一种在数学分析中有着重要应用的定理，它可以根据一般情况下的某个无穷级数的收敛性质，对比另一个无穷级数，从而实现对两个无穷级数的收敛性质的比较。
其基本原理是，如果一个无穷级数的某项分母大于另一无穷级数的某项分母，且比值的反常积分不等于零，则该级数收敛。
反常积分极限审敛法的具体步骤是使用经典反常积分技术，先将待证明的无穷级数和另一个已知收敛的无穷级数，比如收敛正项级数，列出来，然后将它们做出比较，比较的结果若为恒等式，则证明无穷级数收敛；若为大于等于式，则证明无穷级数收敛；若为小于等于式，则证明无穷级数可能收敛，但不一定收敛；最后，通过对比反常积分的值，可以得出有关无穷级数收敛性质的最终结论。
反常积分极限审敛法具有很多优势，其中最主要的优势就是可以用来判断一个无穷级数的收敛性质及其如何收敛，只要满足其在无穷级数上的充要条件，就可以得出有关的结论。
另外，由于反常积分的某一项收敛性质被推广到一般情况，因此可以比较一般情况下的无穷级数的收敛性质，而不是只比较其特殊情况下的收敛情况。
最后，通过反常积分极限审敛法，可以有效解决无穷级数的问题，从而提高研究的效率。
综上所述，反常积分极限审敛法是一种非常重要的定理，在数学分析中有着十分重要的应用，它可以用来判断一个无穷级数的收敛性质以及它的收敛情况如何，并可以有效的解决无穷级数的问题，提高研究的效率。
然而，同时也要根据实际情况，审慎选择反常积分极限审敛法，以期获得比较准确的研究结果。
反常积分判敛的三种方法
反常积分判敛的三种方法反常积分在数学中有着重要的地位，但有的反常积分发散，有的反常积分收敛。
那么，如何判断反常积分是否收敛呢？本文介绍三种判断反常积分是否收敛的方法。
一、比较判别法比较判别法是判断反常积分是否收敛的基本方法之一。
对于形如$\int_{a}^{+\infty}f(x)\text{d}x$ 的反常积分，若存在一个正函数 $g(x)$，使得当 $x \geq a$ 时有 $f(x) \leq g(x)$，且$\int_{a}^{+\infty}g(x)\text{d}x$ 收敛，则原积分收敛；若$\int_{a}^{+\infty}g(x)\text{d}x$ 发散，则原积分也发散。
同理，对于形如 $\int_{-\infty}^{a}f(x)\text{d}x$ 的反常积分，只需将“$x \geq a$” 替换为“$x \leq a$”，“$\leq$” 替换为“$\geq$” 即可。
二、极限判别法极限判别法是另一种判断反常积分是否收敛的方法。
对于形如$\int_{a}^{+\infty}f(x)\text{d}x$ 的反常积分，若极限 $\lim_{x \rightarrow +\infty} xf(x) = A$ 存在且有限，则积分收敛；若极限不存在或为无穷大，则积分发散。
对于形如 $\int_{-\infty}^{a}f(x)\text{d}x$ 的反常积分，则需将“$x \rightarrow +\infty$” 替换为“$x \rightarrow -\infty$”。
三、绝对收敛判别法绝对收敛判别法是在比较判别法的基础上引出的判定方法。
对于形如 $\int_{a}^{+\infty}f(x)\text{d}x$ 的反常积分，若$\int_{a}^{+\infty}|f(x)|\text{d}x$ 收敛，则原积分绝对收敛；反之，若 $\int_{a}^{+\infty}|f(x)|\text{d}x$ 发散，则原积分发散。
课件：反常积分判敛法
lim ( xa)q f ( x)l 。
xa
16
例 5．判别下列反常积分的敛散性：
（1） 1
dx
(k 2 1) (椭圆积分）
0 (1 x2 )(1k 2 x2 )
解： x1是瑕点。
1
∵ lim (1 x) 2
1
x1
(1 x2 )(1k 2 x2 )
lim
1
1
,(q
1 ,
l
1
)
x1 (1 x)(1k 2 x2 ) 2(1k 2 ) 2
I1
1 0
et
t
x1
dt
，
I2
et t x1 dt ，
1
先讨论 I1 的敛散性。
①当 x1 时，I1 是常义积分，收敛的；
∵ lim (t 0)1x et t x1 lim et 1 ，
t0
t0
20
②当0 x1 时，有 q1 x1, l 1,
∴ I1
1 et t x1 dt 收敛。
0
③ x0时,
1
0
收敛。
例 2．判别下列反常积分的敛散性：自习
（1）
1 1 sinx2dx
解：∵
0sin
1 x2
1 x2
， 而
1
1 x2
dx
收敛
，
∴
sin
1
1 x2
dx
收敛
。
（2）
0
1
dx x sinx
解：∵
1
1 x sinx
1 1 x
0
，而
dx 0 1 x
ln(1
x)
0
，
∴
反常积分收敛发散怎么判断
反常积分的判敛法，主要考查三类：1.直接计算法 2.比较判敛法的极限形式 3.极限审敛法第一步：先找出来所有的反常点，第一是无穷反常点，也就是积分限中含有+∞，-∞时，他们就是反常点。
第二，找到分母为零的点，注意分母为0的点a，还要分成a+,a-两个反常点，第三，找到ln(□)，使□＝0+的点。
第四，题目声明的反常点。
第二步，对每一个反常点，判断它是否收敛。
第二部的第一点：这里面最容易判别的就是反常点x=+∞，这里我们只讲利用极限比较判别法来进行判别的内容：这时我们找的标杆函数是g(x)=1/x^p，1/{x•(lnx)^p}，1/{x•(lnx)•[ln(lnx)]^p}，………这些标杆函数的收敛性也非常容易记下来，就是p＞1的时候是收敛的，其他的时候是发散。
那么有了这个标杆函数之后，我们就可以利用下列定理：如果lim[x→+∞]{f(x)/g(x)}=L，则（计算这个极限经常使用下面的一个结论就是指数增长快于幂增长，幂增长快于正数增长：好了，关于如何看待极限的速度就到此为止了，下面接的是我们的定理）(1)当L是一个非零常数的时候，两个反常积分在正无穷点的收敛性相同，也就是说p＞1时收敛，其他情况发散。
(2)当L＝0时，在x→＋∞时，|f(x)|≤g(x)，因此反常积分g(x)在正无穷敛收敛时（也就是p＞1时），f(x) 在正无穷大点绝对收敛。
(3)当L＝∞时，在x→＋∞时，|f(x)|≥g(x)，因此，反常积分g(x)在正无穷处发散时（也就是p≤1时），f(x)在正无穷大点是发散的（如果不是标杆函数，那它的发散性还是需要单独考虑）。
第二步的第二点，反常点是x=-∞，这时，只要做一个变换s=-x，就可以变成∫[a→＋∞]f(-s)ds也就是关于s的反常积分，而且反常点也变成了正无穷，这样也就可以用第二部的第一点解决问题了。
第二步的第三点，反常点x=0+（注意如果函数含有因子ln□，且□→1时，要用ln□～□-1），这时候的标杆函数，我们只推荐一个g(x)=1/x^p，不过要记住了，此时的收敛情况（与x＝+∞的情况正好相反）为p＜1，发散情况为p≥1（另外，其他的g(x)需要自己寻找，总的原则是找出来的函数要容易判别，而且能够使比的极限存在，且最好是非零常数）找到标杆函数g(x)以后，又可以使用极限判别法：如lim[x→0+]{f(x)/g(x)}=L（注意这里一般也是令s＝1/x，然后用s →+∞相关的比较定理，即指数增长快于幂增长，幂增长快于对数增长来判别），同样有三个结论(1)如L≠0，且g(x)不变号（我们的标杆肯定不变号，这里指的是自己找的标杆，不能变号，要么都是大于0的，要么都是小于0的(在x→0+过程中)）则f(x)在x=0+这个反常点，与标杆函数同敛散（如果是我们选择标杆，就是p小于1收敛，p大于等于1发散）；(2)如L=0，且g(x)不变号（解释同(1))，则因为x→0+时，|f(x)|≤|g(x)|，所以g(x)在反常点x=0+收敛（所以用我们的标杆时，就是p＜1），可以推出f(x)在该反常点也收敛（类似于级数比较判别法：大收小必收）；(3)如L＝∞，且g(x)不变号（解释同(1))，则因为|f(x)|≥|g(x)|，所以g(x)在反常点x=0+发散（如果是我们选择标杆，就是p≥1）时，且f(x)也不变号时，f(x)在反常点也发散（类似于级数比较判别法：小发大必发）。
5.5 反常积分的审敛法
3 2
根据极限审敛法 , 该积分发散 .
5.5 反常积分的审敛法
函数
二、无界函数反常积分的审敛法
无界函数的反常积分可转化为无穷限的反常积分 . 由定义 例如
1 令 x a , 则有 t b f ( x) d x lim
a
f ( x) d x a f ( x) d x lim 0 a
函数
这表明左端的积分可用 函数来计算. 例如,
5.5 反常积分的审敛法 四、内容小结
函数
1. 两类反常积分的比较审敛法和极限审敛法 .
2. 若在同一积分式中出现两类反常积分, 可通过 分项使每一项只含一种类型的反常积分, 只有 各项都收敛时, 才可保证给定的积分收敛 . 3. 函数的定义及性质 .
根据极限审敛法, 椭圆积分收敛 .
5.5 反常积分的审敛法
函数
三、 函数
1. 定义5.4 函数
( s )
s 1 x x e 0
d x ( s 0)
下面证明这个特殊函数在 s 0 内收敛 .令
I1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1) 讨论 I1 . 当s 1时, I1 是定积分 ; 1 1 1 s 1 x 当0 s 1时, x e 1 s x 1 s x e x 而1 s 1, 根据比较审敛法知 I1 收敛 .
函数
的敛散性 .
解
由比较审敛法可知原积分收敛 .
5.5 反常积分的审敛法 例2 判别反常积分
函数
1
1
dx x 1 x2
2
的敛散性 .
解
lim x
x
2
x 1 x