反常积分审敛法
同济高等数学第六版-D5_5反常积分审敛法
满足
limxpf(x)l
x
则有: 1) 当 p1,0l 时af(x)dx收敛 ;
2) 当 p1,0l 时af(x)dx发散 .
证: 1) 当p1时, 根据极限定义, 对取定的 0,当 x 充
分大时, 必有 xpf(x)l, 即
0
f
(x)
M xp
2) 当 q1,0l 时,abf(x)dx发散 .
例5. 判别反常积分 13ldnxx的敛散性 .
解: 此处 x1为瑕,利点 用洛必达法则得
lim(x1) 1 lim 1 1
x1
lnx
x 1
1 x
根据极限审敛法2 , 所给积分发散 .
定理4 目录 上页 下页 返回 结束
(M l)
可见 af(x)dx收敛 ;
目录 上页 下页 返回 结束
2) 当p1时,可取 0,使 l0,(l 时用任意
数 N代l替 ),必有
xpf(x)l
即
f
(x)
l
xp
N x
(Nl)
可见 af(x)dx发散 .
注意: xl im xpf(x)xl im f(1x) 此极限的大小刻画了
1 3 x4
1
4
x3
由比较审敛法 1 可知原积分收敛 .
思考题:
讨论反常积分
13
1 dx x3 1
的收敛性
.
提示: 当 x≥1 时, 利用
1 1 1 3x31 3(x1)3 x1
可知原积分发散 .
目录 上页 下页 返回 结束
定理4. (极限审敛法1) 若 f( x ) C [ a , ) ,且 f( x ) 0 ,
第五节 反常积分的审敛法 Γ函数
第五节* 反常积分的审敛法 函数
二、无界函数的反常积分的审敛法
第五节* 反常积分的审敛法 函数
由上节
当
例6 证明知反，常反积常分积分b
q
1
时发散b .
a(
x
dx a)q
a
,
(
x
dx a)
q
当 0< q <1 时收敛
当 0< q <1证时明收敛当，当q =q1时1 ，时发散. 于是有下面两个
b
f (x)dx 发散.
a
第五节* 反常积分的审敛法 函数
定理7(极限审敛法2) 设函数 f (x) 在区间(a , b] 上
连续，且 f (x) 0，x = a 为 f (x) 的瑕点.
(1) 如果存在常数 0 < q < 1，使得 lim (x a)q f (x) xa
连续，且 f (x) 0 , x = a 为 f (x) 的瑕点.
(1) 如果存在常数 M > 0 及 q < 1，使得
f
(x)
(x
M a)q
(a x b) ,
则反常积分 b f (x)dx 收敛；
a
(2) 如果存在常数 N > 0 ，使得 f (x)
N
(a x b) ,
xa
则反常积分
aa
gg
((
xx))ddxx
收收敛敛，，则则
aa
gg
((
xx))ddxx
发发散散，，则则
证明
设 0< t < +，由 0 g (x) f (x) 及
g ( x)dx
a
收敛，得
t
t
反常积分的审敛法
例１ 判别反常积分 ∫ 1
+∞
dx
3
x4 + 1
的收敛性 .
解 ∵当 x ∈ [1,+∞ ) 时 ,
0<
1
3
<
+∞ 1
1
3
x +1
3
4
4 = , p = > 1, 4 3 x4 / 3 x
1
收敛.
∴ 反常积分 ∫
dx x4 + 1
（比较审敛法１）
定理 4 ( 极限审敛法１) 设函数 f ( x ) 在区间 [a ,+∞ ) (a > 0) 上连续，且 f ( x ) ≥ 0. 如果存在常数 p > 1，使得 lim x p f ( x ) 存在，
判别反常积分
∫
3
1
dx 的收敛性 . ln x
1 ∵ lim = + ∞ ∴ x = 1是瑕点 x →1+ lnx
1 x −1 lim ( x − 1) = lim + x →1 x →1+ ln x ln x
0 ( )型 0
= lim +
x →1
= 1 > 0, 3 dx ∴ 反常积分 ∫ 发散 . (极限审敛法2) 1 ln x
１．递推公式 Γ( s + 1) = sΓ( s ) ( s > 0).
证明 Γ( s + 1) =
+∞ −x s 0
∫
+∞
0
e x
+∞ 0 +∞
−x
( s + 1 ) −1
dx
−x
= ∫ e x dx = ∫ = [ x ( −e )]
反常积分极限审敛法
反常积分极限审敛法
反常积分极限审敛法（FFTLL）是一种有效的用于快速求解非线性和复杂问题的工程数学方法。
有着持续发展的历史，它被广泛应用于解决各种复杂问题，在工程上取得了巨大的成功。
一、FFTLL的历史
反常积分极限审敛法（FFTLL）最初由1960年代的S.U.N.E.T.公司开发。
它被认为是最早应用于快速求解复杂问题的方法之一。
此方法依靠积分来解决复杂系统和分析，使积分理论可以应用于工程设计和操作。
在此方法完成之前，快速求解复杂问题的能力基本上依赖于分析和研究者的计算能力。
二、FFTLL的工作原理
反常积分极限审敛法（FFTLL）所采用的基本原理是“逆特征转换”，这是一种用于复杂系统的仿真的数学技术。
在这种方法中，采样的系统被模拟出来，并从系统的控制前提进行分析，比如函数，极限和求解问题。
该方法用于求解复杂问题，尤其是非线性系统，使用简单的算法，通过反运算来求解问题。
三、FFTLL的应用
FFTLL由于其计算简单及计算效率高的特点，已经被广泛应用于各种领域上，如机械设计、精密加工、控制系统、飞行器设计、太空探索等领域。
此外，它的应用也不断拓展，其中最有趣的应用是在惯性导航系统中，它可以被普遍应用于求解非线性控制系统相关问题。
四、FFTLL的优缺点
FFTLL技术被认为是求解一些复杂问题最有效的方法之一，它可以快速准确的求解一些复杂的问题。
另一方面，它也有一些优点，比如操作简单，程序实用，计算效率高，是一种经济高效的解决方法。
而FFTLL存在的一个缺点就是由于其反特征转换的机制，它往往只能进行有限数量的反复积分来模拟系统，这在一定程度上会限制它的模拟精度。
反常积分审敛法-精品文档
则
a
f ( x)dx 收 敛 ；
x
如 果limxf ( x) d 0 (或 limxf ( x) ), 则
x
af ( x)dx 发Fra bibliotek散 ．
证明
dx 的收敛性 . 例２ 判别反常积分 2 1 x1 x 1 2 解 lim x 1 , p21 2 x x1 x
F (x )在 [a , )上是单调增加的 .
F (x ) 在 [ a , ) 上有上界
lim F (x ) 存在 （极限的存在准则）
x x
即 lim 存在 f(t)dt
x a
收敛 f(x)dx
a
程序设计 网络课件 教学设计 多媒 体课件 PPT文档
f(x ) dx 发散 a 1 特别地，取 g( x ) p ，即得下面的 x
网络课件 教学设计 多媒 比较审敛法. 程序设计体课件 PPT文档
定理 3 (比较审敛法１ ) 设函数 f ( x) 在区间 [a, ) (a 0) 上连续，且 f ( x) 0. 如果存在常数 M 0 及 p 1 ，使得
arctan x 例４ 判 别 反 常积 dx 分 的收 . 敛性 1 x arctan x x lim arctan x 解 lim 0 x x x 2
定理 2 ( 比较审敛原 ) 理 设函数 f (x)、 g(x) 在 区 间 [a, )上 连 续 、 非 , 负
如果 f (x) g(x),(a x ),并 且 a g(x)dx收 敛 ， 则a f (x)dx也 收 敛 ； 如 f( 果 x) g(x),(a x ), 并且 则 f (x)dx也 发 散 . a g(x)dx发 散 ， a
反常积分极限审敛法
反常积分极限审敛法反常积分极限审敛法（IntegralLimitComparisonTest）是一种常用的数学分析方法，可以用来判断一个无穷级数的收敛性质以及它的收敛情况如何。
它是一种非常重要的定理，有助于我们解决无穷级数的问题。
反常积分极限审敛法（Integral Limit Comparison Test）是一种在数学分析中有着重要应用的定理，它可以根据一般情况下的某个无穷级数的收敛性质，对比另一个无穷级数，从而实现对两个无穷级数的收敛性质的比较。
其基本原理是，如果一个无穷级数的某项分母大于另一无穷级数的某项分母，且比值的反常积分不等于零，则该级数收敛。
反常积分极限审敛法的具体步骤是使用经典反常积分技术，先将待证明的无穷级数和另一个已知收敛的无穷级数，比如收敛正项级数，列出来，然后将它们做出比较，比较的结果若为恒等式，则证明无穷级数收敛；若为大于等于式，则证明无穷级数收敛；若为小于等于式，则证明无穷级数可能收敛，但不一定收敛；最后，通过对比反常积分的值，可以得出有关无穷级数收敛性质的最终结论。
反常积分极限审敛法具有很多优势，其中最主要的优势就是可以用来判断一个无穷级数的收敛性质及其如何收敛，只要满足其在无穷级数上的充要条件，就可以得出有关的结论。
另外，由于反常积分的某一项收敛性质被推广到一般情况，因此可以比较一般情况下的无穷级数的收敛性质，而不是只比较其特殊情况下的收敛情况。
最后，通过反常积分极限审敛法，可以有效解决无穷级数的问题，从而提高研究的效率。
综上所述，反常积分极限审敛法是一种非常重要的定理，在数学分析中有着十分重要的应用，它可以用来判断一个无穷级数的收敛性质以及它的收敛情况如何，并可以有效的解决无穷级数的问题，提高研究的效率。
然而，同时也要根据实际情况，审慎选择反常积分极限审敛法，以期获得比较准确的研究结果。
反常积分判敛的三种方法
反常积分判敛的三种方法反常积分在数学中有着重要的地位，但有的反常积分发散，有的反常积分收敛。
那么，如何判断反常积分是否收敛呢？本文介绍三种判断反常积分是否收敛的方法。
一、比较判别法比较判别法是判断反常积分是否收敛的基本方法之一。
对于形如$\int_{a}^{+\infty}f(x)\text{d}x$ 的反常积分，若存在一个正函数 $g(x)$，使得当 $x \geq a$ 时有 $f(x) \leq g(x)$，且$\int_{a}^{+\infty}g(x)\text{d}x$ 收敛，则原积分收敛；若$\int_{a}^{+\infty}g(x)\text{d}x$ 发散，则原积分也发散。
同理，对于形如 $\int_{-\infty}^{a}f(x)\text{d}x$ 的反常积分，只需将“$x \geq a$” 替换为“$x \leq a$”，“$\leq$” 替换为“$\geq$” 即可。
二、极限判别法极限判别法是另一种判断反常积分是否收敛的方法。
对于形如$\int_{a}^{+\infty}f(x)\text{d}x$ 的反常积分，若极限 $\lim_{x \rightarrow +\infty} xf(x) = A$ 存在且有限，则积分收敛；若极限不存在或为无穷大，则积分发散。
对于形如 $\int_{-\infty}^{a}f(x)\text{d}x$ 的反常积分，则需将“$x \rightarrow +\infty$” 替换为“$x \rightarrow -\infty$”。
三、绝对收敛判别法绝对收敛判别法是在比较判别法的基础上引出的判定方法。
对于形如 $\int_{a}^{+\infty}f(x)\text{d}x$ 的反常积分，若$\int_{a}^{+\infty}|f(x)|\text{d}x$ 收敛，则原积分绝对收敛；反之，若 $\int_{a}^{+\infty}|f(x)|\text{d}x$ 发散，则原积分发散。
反常积分极限审敛法
反常积分极限审敛法
反常积分极限审敛法（infinitesimalnormalintegrals,INI）是一种用于数学计算的极限处理方法，可以用来计算无穷级数的极限、积分、微积分以及积分变换的表达式。
它可以改善数学计算的速度，减少计算的时间和空间。
INI是一种基于几何学极限理论的数值计算方法，可以对数值系统中无穷级数求极限，并可以进行无穷级数的积分求值。
反常积分极限审敛法主要是使用紧凑方案实现多维反常积分、无限级数求极限以及积分变换等操作，以及针对椭圆和抛物面等复杂曲面的积分求值。
INI的基本原理是，在坐标空间中定义一组均匀的虚拟小网格，以虚拟小网格边界为界，绘制出一组分割的小网格，其中的每个小网格都由一组函数值组成，这些函数值的计算可以采用积分的方法完成。
然后通过积分极限的方法，求出无穷级数的极限，从而求出积分变换表达式。
在有限维空间中，INI可以极大程度地提高计算效率，可以以较低的计算时间实现较高精度的极限求解和控制。
此外，INI的优势在于在多维空间中也可以实现较快的计算，而不需要耗费大量的计算时间，也不受精度的限制。
INI在实际应用中有着广泛的用途，可以用于特征提取、状态估计、机器学习、信号处理等领域。
同时，对于微分方程常见的解析方法，INI也能提供一种数值计算方法，具有较高的解析精度和准确性。
最后，INI也可以用于包括智能控制、智能工业、智能建筑等场景。
总之，反常积分极限审敛法是一种用于计算无穷级数的极限、积分和微积分等表达式的极限处理方法，它可以提高计算效率，减少计算的时间和空间，并有广泛的应用。
反常积分极限审敛法的应用可以提高计算精度和准确性，为实现各种智能技术提供一种高效的数值计算方法。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
x
lim F (x) lim f (t) d t
x
x a
存在
,
即反常积分
a
f
( x) d
x 收敛
.
目录 上页 下页 返回 结束
定理2 . (比较审敛原理) 设 f (x) C[a , ),且对充
分大的x 有 0 f (x) g(x) , 则
a
g
(
x)
dx
收敛
a
g
(
x)
dx
发散
证: 不失一般性 ,
f
(x)
M xp
p 1,
f
(
x)
N xp
目录 上页 下页 返回 结束
例1. 判别反常积分
的敛散性 .
解:
由比较审敛法 1 可知原积分收敛 . 思考题: 讨论反常积分 提示: 当 x≥1 时, 利用
的敛散性 .
可知原积分发散 .
目录 上页 下页 返回 结束
定理4. (极限审敛法1)
满足
lim x p f (x) l
3
1
dx ln x
的敛散性
.
解: 此处 x 1为瑕点, 利用洛必达法则得
根据极限审敛法2 , 所给积分发散 .
定理4 目录 上页 下页 返回 结束
1
例6. 判定椭圆积分
dx
(k 2 1) 的敛
0 (1 x2 )(1 k 2 x2 )
散性 .
解: 此处 x 1为瑕点, 由于
1
(x 1)2
1
(1 x2 )(1 k 2x2 )
( x s 1
ex )
lim
x
x s 1 ex
0
根据极限审敛法1知 I2 收敛.
综上所述 , (s) I1 I2 在 s 0上收敛.
目录 上页 下页 返回 结束
2. 性质
(1) 递推公式 (s 1) s (s) (s 0)
证: (s 1) xs exd x xs dex (分部积分)
定理6. (比较审敛法 2)
瑕点 , 使对一切充分接近 a 的 x ( x > a) .
q 1,
有
f
(
x)
(
x
M a)q
有 f (x) N xa
定理3 目录 上页 下页 返回 结束
定理7. (极限审敛法2)
lim (x a)q f (x) l
x
则有: 1) 当
2) 当
例5.
判别反常积分
s 0时, (s)
(3) 余元公式:
(s)(1 s) π sin(π s)
当
s
1 2
时,
有
(0 s 1) (证明略)
目录 上页 下页 返回 结束
(4) (s)的其他形式
令 x u2,得
(s) 2 eu2 u2s1 d u (s 0) 0
再令 2s 1 t , 即s 1 t , 得应用中常见的积分 2
t
b
f (x) d x lim
a
0
1
1 ba
f
(a
1) t
dt t2
1 ba
f
(a
1) t
dt t2
因此无穷限反常积分的审敛法完全可平移到无界函数
的反常积分中来 .
目录 上页 下页 返回 结束
利用
b
a (
x
1 a)
q
dx
收敛 , 发散 ,
q 1 q 1
有类似定理 3 与定理 4 的如下审敛法.
(x)d x
a
a
a
f (x) d x
可见反常积分
a
f
( x) d
x
收敛 .
目录 上页 下页 返回 结束
定义. 设反常积分 f (x) d x 收敛 , a
若 a
f (x)
dx 收敛 , 则称
若 a
f (x) dx 发散 , 则称
绝对收敛 ; 条件收敛 .
例4. 判断反常积分 的敛散性 .
ut 0
eu2 d u
1 1 t22(t 1)这表明左端的积分可用 函数来计算. 例如,
目录 上页 下页 返回 结束
内容小结
1. 两类反常积分的比较审敛法和极限审敛法 . 2. 若在同一积分式中出现两类反常积分, 可通过分项
使每一项只含一种类型的反常积分, 只有各项都收敛时,
才可保证给定的积分收敛 .
lim
1
1
x1 (1 x)(1 k 2x2 ) 2(1 k 2 )
根据极限审敛法 2 , 椭圆积分收敛 .
定理4 目录 上页 下页 返回 结束
类似定理5, 有下列结论:
若反常积分
b
a
f
(x) d x
(a为瑕点)收敛 , 则反常积分
b
a
f
( x) d
x
收敛
,
称为绝对收敛
.
例7. 判别反常积分
的敛散性 .
目录 上页 下页 返回 结束
定理5. 若
f
(
x)
C
[a
,
)
,
且
a
f（x）d x收敛 ,
则反常积分
a
f
( x) d
x 收敛 .
证：令
(
x)
1 2
[
f
(
x)
f (x) ], 则 0 (x)
f (x)
a
f（x）d x收敛 ,
a
(
x)
d
x
也收敛
,
而
f (x) 2(x) f (x)
f (x)d x 2
例2. 判别反常积分 1 x 1 x2 的敛散性 .
解:
lim x2 x x
1 1 x2
lim
x
根据极限审敛法 1 , 该积分收敛 .
1 1
1 x2
1
3
例3.
判别反常积分
x2 1 1 x2
dx
的敛散性
.
解:
3
lim
x
x
1 2
1
x2 x2
lim x 1
x
2
x
2
1
根据极限审敛法 1 , 该积分发散 .
x
则有: 1) 当
2) 当
证: 1) 当p 1时, 根据极限定义, 对取定的
分大时, 必有
,即
当x充
目录 上页 下页 返回 结束
2) 当p 1时,可取 0, 使l 0, (l 时用任意正 数 N 代替 l ), 必有
即
注意:
此极限的大小刻画了
目录 上页 下页 返回 结束
d x
0
0
xs ex
s
xs1 exd x
0
0
s (s)
注意到: (1) n N , 有
0
e
x
d
x
1
(n 1) n(n) n(n 1)(n 1)
n!(1)
目录 上页 下页 返回 结束
(2) 当s 0时, (s) .
证: (s) (s 1) , (1) 1 s
且可证明(s)在s 0连续,
解:
此处 x 0 为瑕点, 因 lim
x
1 4
ln
x
0
,故对充分小
1
x0
的 x, 有 x4 ln x 1, 从而
1
ln x x
x4 ln x
1
x4
1
1
x4
据比较审敛法2, 所给积分绝对收敛 .
目录 上页 下页 返回 结束
三、 函数
1. 定义
(s)
xs1 exd x 0
(s
0)
下面证明这个特殊函数在 s 0 内收敛 . 令
3. 函数的定义及性质 .
思考与练习
P268
作业
1 (3), (4), (5), (8) ;
P268 1 (1), (2), (6), (7) ; 5 (1), (2)
2; 3
习题课 目录 上页 下页 返回 结束
则对 t a 有
t
t
a f (x)dx a g(x)dx
故
t
a
f
( x) dx
是
t
的单调递增有上界函数
,
因此
目录 上页 下页 返回 结束
t
lim f (x) dx
t a
a
f (x)dx
极限存在 ,
说明: 已知
得下列比较审敛法.
目录 上页 下页 返回 结束
定理3. (比较审敛法 1)
p 1,
I1
1 xs1 exd x ,
0
I2
xs1 exd x
1
1) 讨论 I1. 当s 1时, I1 是定积分 ;
当0 s 1时,
x s 1
ex
1 x1s
e1x
1 x1s
而1 s 1, 根据比较审敛法 2知 I1 收敛.
目录 上页 下页 返回 结束
I2
xs1 exd x
1
2) 讨论 I2 .
*第五节
第五章
反常积分的审敛法
函数
无穷限的反常积分 反常积分
无界函数的反常积分
一、无穷限反常积分的审敛法 二、无界函数反常积分的审敛法
目录 上页 下页 返回 结束
一、无穷限反常积分的审敛法
定理1. 证:
若函数
x
F (x) a f (t) d t
则反常积分
a
f
(x) d x收敛.
根据极限收敛准则知