数值分析(lu)
数值分析重点内容总结
数值分析课件
第3章线性方程组的解法本章探讨大型线性方程组运算机求解的经常使用数值方式的构造和原理，要紧介绍在运算机上有效快速地求解线性方程组的有关知识和方式.重点论述Jacobi迭代法、Seidel迭代法、Guass消元法及LU分解法的原理、构造、收敛性等内容。
实际案例问题的描述与大体概念解线性方程组问题在线性代数中已有很优美的行列式解法，但对大型的线性方程组（阶数n>40）的求解问题利用价值并非大，因为其计算量太大。
实际问题中常常碰到自变量个数n都专门大的线性方程组求解问题，这些线性方程组要借助运算机的帮忙才能求出解。
n 个变元12,,,n x x x ⋯的线性方程组的一样形式为11112211211222221122n n n n m m mn n ma x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ （）式中，a ij 称为系数，b i 称为右端项，它们都是已知的常数。
若是有***1122,,,n nx x x x x x ===使方程组（）成立，那么称值***12,,,nx x x为线性方程组的（）的一组解。
本章在不作专门说明的情形下，要紧讨论m=n 的线性方程组11112211211222221122n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩的求解问题，且假设它有唯一解。
线性方程组的矩阵表示Ax b =式中A称为系数矩阵，b称为右端项。
数值分析中，线性方程组的数值解法要紧分为直接法和迭代法两大类。
直接法是用有限次计算就能够求出线性方程组“准确解”的方式（不考虑舍入误差）；迭代法是由线性方程组构造出迭代计算公式，然后以一个猜想的向量作为迭代计算的初始向量慢慢迭代计算，来取得知足精度要求的近似解。
迭代法是一种逐次逼近的方式。
数值分析重点
(3)
u 22 , LLL , u 2 n ; M u n −1 n-1 , u n −1 n ; u nn ;
l 32 , LLL, l n 2 ; M l n n −1 ; .
4.3 Pivoting and Constructing Algorithm
The following we describe how A ( k +1) is obtained from A (k) . To produce 0' s in column k below the pivot element akk , we subtract multiples of row k from the rows beneath it. Rows 1, 2, K , k are not alerted. The formula is therefore
4.2 LU and Cholesky Factorizations
- LU-Factorization
In general, after obtain u1k and l k1 ( k = 1,2, L , n), for i = 2,3, L , n, we can get each element for U and L step by step using the following formula :
ξ ∈ [a, b]
6.2 Polynomial Interpolation - Newton interpolation – divided difference
Using the concept of the divided difference we can write the formula (7) as (8) p1 ( x) = f ( x0 ) + ( x - x0 ) f [ x0 , x1 ] Formula (8) is called one - order Newton Interpolation. In general, if x ∈[a, b], by the definition of divided difference, we have f ( x ) = f ( x 0 ) + ( x - x 0 ) f [ x, x 0 ] f [ x, x0 ] = f [ x0 , x1 ] + ( x - x1 ) f [ x, x0 , x1 ] f [ x, x0 , x1 ] = f [ x0 , x1 , x 2 ] + ( x - x 2 ) f [ x, x0 , x1 , x 2 ] M f [ x, x0 , x1 , L , x n −1 ] = f [ x0 , x1 , L, x n ] + ( x - x n ) f [ x, x0 , x1 , L , x n ]
数值分析概论
ε * ，称为绝对误差限 /* accuracy */， x x * ε * ，例如： 3.1415 0.0005
Hey isn’t it simple? 注：e* 理论上讲是唯一确定的，可能取正，也可能取负。 Oops! e 0 不唯一，当然 e 越小越具有参考价值。
Oh yeah? Then tell me the absolute error of
其截断误差/* Truncation Error */为
f ( n 1) ( ) n 1 Rn ( x) f ( x) P( x) x , 0<| | <|x | (n 1)!
§1 Introduction: Source & Classification
The following problem can be solved either the easy way or the hard way.
1 εr * 10n1 0.001% 2a1
已知 a1 = 3，则从以上不等式可解得 n > 6 log6，即 n 6，应取 * = 3.14159。
§3 函数的误差估计
/*Error Estimation for Functions*/
问题：对于 y = f (x)，若用 x* 取代 x，将对y 产生什么影响？
e 2.73
§2 Error and Significant Digits 相对误差 /* relative error */
x 的相对误差上限 /* relative accuracy */ 定义为
e* e x
* r
ε* ε * |x |
* r
注：从 的定义可见， 实际上被偷换成了 偷换是否合法？
三角矩阵的lu分解
三角矩阵的lu分解在线性代数中， LU分解(LU Decomposition)是矩阵分解的一种，可以将一个矩阵分解为一个单位下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积（有时是它们和一个置换矩阵的乘积）。
LU分解主要应用在数值分析中，用来解线性方程、求反矩阵或计算行列式。
什么是LU分解如果有一个矩阵A，将A表示成下三角矩阵L和上三角矩阵U的乘积，称为A的LU分解。
更进一步，我们希望下三角矩阵的对角元素都为1：一旦完成了LU分解，解线性方程组就会容易得多。
LU分解的步骤对于满秩矩阵A来说，通过左乘一个消元矩阵，可以得到一个上三角矩阵U。
可以看到，L实际上就是消元矩阵的逆。
容易知道二阶矩阵的逆：现在假设A是一个3×3矩阵，在不考虑行交换的情况下，通过消元得到上三角矩阵的过程是：LU 分解的前提并非所有矩阵都能进行LU分解，能够LU分解的矩阵需要满足以下三个条件：矩阵是方阵（LU分解主要是针对方阵）；矩阵是可逆的，也就是该矩阵是满秩矩阵，每一行都是独立向量；消元过程中没有0主元出现，也就是消元过程中不能出现行交换的初等变换。
LU分解的意义LU分解的意义在于求解大型方程组。
一个方程组可以简化为Ax = b的形式，其中A是n阶方阵，x是未知数组成的向量，b是n×1矩阵，例如：以往求解的方式有两种，一是高斯消元法，二是对A求逆，使得x = A-1b。
第二种方式远比消元法复杂，先看一下消元法的计算量。
假设A是n阶满秩方阵，如果不写成增广矩阵，即不考虑 b，那么第一次消元达到的效果是：其中方块是A原来的元素，0是达到的效果，三角是经过消元运算后改变的元素。
以第二行为例，为了使第一个元素为0，需要让第一行乘以某个数（第一行n个元素，共进行了n次乘法运算），再将第一行和第二行相加或相减（第二行n个数与第一行的n个数相加，共进行了n次加法运算）。
如果把一组乘法和加法看成一次运算，那么第二行的消元共进行了n次运算；共有n-1行需要类似运算，所以第一次消元共进行了n(n - 1) ≈ n2次运算。
数值分析(计算方法)总结
第一章绪论误差来源：模型误差、观测误差、截断误差（方法误差）、舍入误差是的绝对误差,是的误差，为的绝对误差限(或误差限）为的相对误差，当较小时，令相对误差绝对值得上限称为相对误差限记为：即:绝对误差有量纲，而相对误差无量纲若近似值的绝对误差限为某一位上的半个单位，且该位直到的第一位非零数字共有n位，则称近似值有n位有效数字，或说精确到该位。
例:设x==3。
1415926…那么,则有效数字为1位，即个位上的3，或说精确到个位.科学计数法：记有n位有效数字，精确到。
由有效数字求相对误差限：设近似值有n位有效数字，则其相对误差限为由相对误差限求有效数字：设近似值的相对误差限为为则它有n位有效数字令1.x+y近似值为和的误差（限）等于误差(限）的和2.x-y近似值为3.xy近似值为4.1．避免两相近数相减2．避免用绝对值很小的数作除数3．避免大数吃小数4．尽量减少计算工作量第二章非线性方程求根1。
逐步搜索法设f (a) <0, f (b）〉 0，有根区间为 (a, b）,从x0=a出发，按某个预定步长（例如h=（b-a）/N）一步一步向右跨，每跨一步进行一次根的搜索，即判别f(x k）=f（a+kh）的符号，若f（x k)〉0(而f（x k-1）<0)，则有根区间缩小为［x k-1，x k] （若f（x k）=0,x k即为所求根)，然后从x k—1出发，把搜索步长再缩小，重复上面步骤，直到满足精度：｜x k—x k-1｜< 为止，此时取x*≈(x k+x k-1）/2作为近似根.2。
二分法设f（x）的有根区间为［a,b]= [a0，b0], f（a）<0，f（b)〉0。
将［a0,b0]对分,中点x0= （(a0+b0)/2），计算f（x0）。
3.比例法一般地,设 [a k，b k］为有根区间，过（a k，f（a k）)、 (b k, f（b k）)作直线，与x轴交于一点x k，则:1.试位法每次迭代比二分法多算一次乘法，而且不保证收敛.2。
数值分析课程教学大纲
数值分析课程教学大纲一、课程简介数值分析课程是计算机科学与工程领域的一门重要基础课程，旨在培养学生使用数值方法解决实际问题的能力。
本课程主要介绍数值计算的基本原理、常用数值方法以及其在实际应用中的使用。
二、教学目标1. 了解数值计算的基本概念与原理；2. 掌握常用数值方法的基本思想和实现过程；3. 能够独立选择和应用合适的数值方法解决实际问题；4. 具备编写简单数值计算程序的基本能力。
三、教学内容1. 数值计算基础1.1 数值误差与有效数字1.2 浮点运算与舍入误差1.3 计算机数制与机器精度2. 插值与逼近2.1 插值多项式的存在唯一性与插值误差2.2 多项式插值的Newton和Lagrange形式2.3 最小二乘逼近与曲线拟合2.4 样条插值与曲线光滑拟合3. 数值积分与数值微分3.1 数值积分的基本概念及Newton-Cotes公式 3.2 数值积分的复化方法3.3 高斯积分公式3.4 数值微分的中心差分与向前向后差分公式4. 解非线性方程4.1 迭代法与收敛性分析4.2 函数单调性与零点存在性4.3 牛顿迭代法及其变形法4.4 非线性方程求根方法的比较与选择5. 数值代数方程组的直接解法5.1 矩阵消元与高斯消元法5.2 LU分解方法5.3 矩阵的特征值与特征向量5.4 线性方程组迭代解法6. 数值优化方法6.1 优化问题的基本概念与分类6.2 单变量优化方法6.3 多变量优化方法6.4 无约束优化算法和约束优化算法四、教学方法1. 授课方式：理论讲解与实例演示相结合。
2. 实践环节：布置数值计算作业，让学生进行编程实现，并分析实验结果。
3. 课堂互动：鼓励学生积极提问，与教师及同学进行讨论与交流。
五、评分与考核1. 平时成绩占40%，包括平时作业和课堂表现。
2. 期中考试占30%。
3. 期末考试占30%。
六、参考教材1. 《数值分析(第3版)》，李庆扬，高等教育出版社。
2. 《数值分析(第6版)》，理查德 L.伯登，麦格劳-希尔教育出版公司。
数值分析简述及求解应用
数值分析简述及求解应用摘要：数值分析是研究分析用计算机求解数学计算问题的数值计算方法及其理论的学科，本文主要介绍了数值分析的一些求解方法的原理和过程，并应用在电流回路和单晶硅提拉过程中的，进一步体现数值分析的实际应用。
关键字：解方程组插值法牛顿法一、引言随着科学技术的发展，提出了大量复杂的数值计算问题，在建立电子计算机成为数值计算的主要工具以后，它以数字计算机求解数学问题的理论和方法为研究对象。
有可靠的理论分析，要有数值实验，并对计算的结果进行误差分析。
数值分析的主要内容包括插值法，函数逼近，曲线拟和，数值积分，数值微分，解线性方程组的直接方法，解线性方程组的迭代法，非线性方程求根，常微分方程的数值解法。
运用数值分析解决问题的过程包括：实际问题→数学建模→数值计算方法→程序设计→上机计算求出结果。
在自然科学研究和工程技术中有许多问题可归结为求解方程组的问题,方程组求解是科学计算中最常遇到的问题。
如在应力分析、电路分析、分子结构、测量学中都会遇到解方程组问题。
在很多广泛应用的数学问题的数值方法中，如三次样条、最小二乘法、微分方程边值问题的差分法与有限元法也都涉及到求解方程组。
在工程中常会遇到求解线性方程组的问题，解线性方程组的方法有直接法和迭代法，直接法就是经过有限步算术运算，可求的线性方程组精确解的方法（若计算过程没有舍入误差），但实际犹如舍入误差的存在和影响，这种方法也只能求得近似解，这类方法是解低阶稠密矩阵方程组级某些大型稀疏矩阵方程组的有效方法。
直接法包括高斯消元法，矩阵三角分解法、追赶法、平方根法。
迭代法就是利用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法。
将方程组的解看作是某极限过程的极限值，且计算这一极限值的每一步是利用前一步所得结果施行相同的演算步骤而进行。
迭代法具有需要计算机的存储单元少，程序设计简单，原始系数矩阵在计算过程始终不变等优点，但存在收敛性级收敛速度问题。
迭代法是解大型稀疏矩阵方程组（尤其是微分方程离散后得到的大型方程组）的重要方法。
研究生数值分析(1)48页
x * 有 2 位有效数字，绝对误差限为
(x*)1102 0.005
2
相对误差限为 r(x*)(xx**)409 .0100250.0102
y * 有 3 位有效数字，绝对误差限为0.00005，
相对误差限为0.00102。
（4）舍入误差：由于计算机字长有限，只 能对有限位进行运算，因而往往进行四舍五入， 这样产生的误差称为舍入误差。
误差是不可避免的，要做到与实际问题的绝 对准确，是办不到的。因此，在计算方法里讨论 的问题就是怎样尽量设法减少误差，提高精度。
在四中误差中，模型误差和观测误差是客 观存在的，截断误差和舍入误差是由计算方法和 计算工具引起的，我们在研究数学问题的数值解 法时，主要是分析讨论计算方法的截断误差和舍 入误差。
函数近似值 y * 的相对误差
e r *(y)e* y (* y) ( x f1)*x y 1 * *e r *(x 1 ) ( x f2)*x y 2 * *e r * (x2) （2）
利用（1）、（2）两式，可以得到两数 和、差、积、商的绝对误差与相对误差传播 的估计式.
e* ( x1 x2 ) e* ( x1) e* ( x2 )
一个近似值的准确程度的。
(1)绝对误差与绝对误差限：
若 x * 为准确值x的一个近似值，则称 x x *
为近似值 x * 的绝对误差，用 e * ( x ) 表示，
即 e*(x)xx*
实际问题中，由于无法知道准确值 x 因 而无法计算绝对误差的大小，只能根据具体 情况估计绝对误差的上限使
e*(x)xx* *
如果
e*(x) 110mn 2
数值分析公式范文
数值分析公式范文数值分析是指用数值计算的方法来解决实际问题的一门学科，它涉及到各种数值计算的方法和算法。
在数值分析中，我们经常需要使用各种数值分析公式来进行数值计算。
下面是一些常见的数值分析公式。
1.数值求导公式：数值求导公式可以用来近似计算函数的导数。
常用的数值求导公式有中心差分公式、前向差分公式和后向差分公式等。
-中心差分公式：f'(x0)≈(f(x0+h)-f(x0-h))/(2h)其中，h是一个很小的数，通常取值很小，比如10的负7次方或更小。
-前向差分公式：f'(x0)≈(f(x0+h)-f(x0))/h-后向差分公式：f'(x0)≈(f(x0)-f(x0-h))/h2.数值积分公式：数值积分公式可以用来近似计算函数的积分。
常用的数值积分公式有梯形公式、辛普森公式和龙贝格公式等。
- 梯形公式：∫[a,b]f(x)dx ≈ (b-a) * (f(a) + f(b)) / 2- 辛普森公式：∫[a,b]f(x)dx ≈ (b-a) * (f(a) + 4f((a+b)/2) + f(b)) / 6-龙贝格公式：龙贝格公式是一种多步递推的数值积分公式，通过多次迭代可以获得更精确的积分结果。
3.数值解微分方程公式：数值解微分方程公式可以用来近似求解常微分方程或偏微分方程的解。
常用的数值解微分方程公式有欧拉法、龙格-库塔法和改进欧拉法等。
-欧拉法：y(n+1)=y(n)+h*f(x(n),y(n))-龙格-库塔法：龙格-库塔法是一种多步迭代的数值解微分方程公式，通过多次迭代可以获得更精确的解。
-改进欧拉法：y(n+1)=y(n)+h*(f(x(n),y(n))+f(x(n+1),y(n+1)))/24.数值线性代数公式：数值线性代数公式可以用来近似求解线性方程组的解。
常用的数值线性代数公式有高斯消元法、LU分解法和雅可比迭代法等。
-高斯消元法：高斯消元法通过消元和回代的方式求解线性方程组。