2014-2015学年高中数学1.5.3 定积分的概念
1.5.3定积分的概念
§1.5.3定积分的概念学案教学目标：⒈通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程, 了解定积分的背景；⒉借助于几何直观定积分的基本思想, 了解定积分的概念, 能用定积分法求简单的定积分．3．理解掌握定积分的几何意义；教学重点：定积分的概念、定积分法求简单的定积分、定积分的几何意义． 教学难点：定积分的概念、定积分的几何意义． 教学过程：一．前置复习：1． 回忆前面曲边图形面积, 变速运动的路程, 变力做功等问题的解决方法, 解决步骤：2．对这四个步骤再以分析、理解、归纳, 找出共同点．二．新课讲授1．定积分的概念 一般地, 设函数()f x 在区间[,]a b 上连续, 用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=L L将区间[,]a b 等分成n 个小区间, 每个小区间长度为x ∆（b ax n-∆=）, 在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=L , 作和式：11()()nnn i i i i b aS f x f nξξ==-=∆=∑∑如果x ∆无限接近于0（亦即n →+∞）时, 上述和式n S 无限趋近于常数S , 那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。
记为：其中()f x 成为被积函数, x 叫做积分变量, [,]a b 为积分区间, b 积分上限, a 积分下限。
说明：（1）定积分()baf x dx ⎰是一个常数, 即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）称为()baf x dx ⎰, 而不是n S ．（2）用定义求定积分的一般方法是：（3）曲边图形面积： ；变速运动路程； 变力做功2．定积分的几何意义分析：2．定积分的性质根据定积分的定义, 不难得出定积分的如下性质： 性质1性质2性质3性质4 说明：①推广：1212[()()()]()()()bb b bm m aaaaf x f x f x dx f x dx f x dx f x ±±±=±±±⎰⎰⎰⎰L L②推广:121()()()()kbc c baac c f x dx f x dx f x dx f x dx =+++⎰⎰⎰⎰L③性质解释：三．典例分析 例1．计算定积分21(1)x dx +⎰四．课堂练习 计算下列定积分 1．5(24)x dx -⎰5(24)945x dx -=-=⎰2．11x dx -⎰11111111122x dx -=⨯⨯+⨯⨯=⎰3．课本 练习 五．回顾总结1．定积分的概念、定积分法求简单的定积分、定积分的几何意义．六．布置作业AMNB AMPC CPNBS S S =+曲边梯形曲边梯形曲边梯形§1.5.3定积分的概念教案教学目标：⒈通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程, 了解定积分的背景；⒉借助于几何直观定积分的基本思想, 了解定积分的概念, 能用定积分法求简单的定积分．3．理解掌握定积分的几何意义；教学重点：定积分的概念、定积分法求简单的定积分、定积分的几何意义． 教学难点：定积分的概念、定积分的几何意义． 教学过程： 一．创设情景 复习：1． 回忆前面曲边图形面积, 变速运动的路程, 变力做功等问题的解决方法, 解决步骤：分割→以直代曲→求和→取极限（逼近2．对这四个步骤再以分析、理解、归纳, 找出共同点． 二．新课讲授1．定积分的概念 一般地, 设函数()f x 在区间[,]a b 上连续, 用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=L L将区间[,]a b 等分成n 个小区间, 每个小区间长度为x ∆（b ax n-∆=）, 在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=L , 作和式：11()()nnn i i i i b aS f x f nξξ==-=∆=∑∑如果x ∆无限接近于0（亦即n →+∞）时, 上述和式n S 无限趋近于常数S , 那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。
高中数学1.5.3定积分的概念课件新人教A选修22
a b
f(x)dx
的值的关键是确定
由曲线 y＝f(x)，直线 x＝a，x＝b 及 y＝0 所围成的平面图形
的形状．常见的图形有三角形、直角梯形、矩形、圆等可求
面积的平面图形．(关键词：平面图形的形状)
(2)不规则的图形常利用分割法将图形分割成几个容易
求定积分的图形求面积，要注意分割点要确定准确．(关键词：
1．5.3 定积分的概念
研题型 学方 法
题型一 用定积分的定义求定积分
例1
用定积分的定义计算：
1
0
x2dx.
解析：(1)分割．
将区间[0，1]分成 n 等份，0＜n1＜n2＜…＜n－n 1＜nn＝1，分
割后的区间长为Δx＝ni －i－n 1＝n1.
(2)近似代替．
第 i 个小曲边梯形的面积可近似为
2 0
cos
xdx＝A1－A2＋A3＝0.
(3)根据定积分的几何意义，所求定积分表示的是 y＝|x －2|和 x＝3，x＝1 及 y＝0 所围成的图形的面积，即图中阴 影部分面积．
因此，
3
1
|x－2|dx＝12×1×1＋12×1×1＝1.
题型三 利用定积分性质求定积分
例3
(1)计算
3
(4) 取极限．
当 n 趋向于无穷大，即Δx 趋向于 0 时，
Sn＝161－n12－n1趋向于
1
0
x2dx，从而有
1
0 x2dx＝ Sn＝
161－n12－n1＝13.
规律方法：用定义法求定积分的四个步骤：①分割；② 近似代替；③求和；④取极限．其中分割通常都是对积分区 间进行等分，近似代替时通常取区间的端点，求和时要注意 一些公式的灵活应用．
最新人教版高中数学选修1.5.3定积分的概念 (8)ppt课件
(3)24
x2
2xdx
9 4
9. 已知f(x)是连续函数，若
f(x)dx＝1，02
f(x)dx＝0，
2则
2
f(x)dx＝________.
0 2
解析：由定积分的性质：
f(2x)dx＝ f(x)d0x＋ f(x)dx， 2
2
2
0
得 f(0x)dx＝ f(x)dx2－ f(x)dx＝0－2 1＝－1.
C．与f(x)及ξi的取法有关，与区间[a，b]无关
D．与f(x)、积分区间[a，b]和ξi的取法都有关
2．若f′(x)＝cos x，则可有f(x)＝________.
sin x
3．直线x＝1，x＝－1，y＝0及曲线y＝x3＋sin3x围成的平面图形的面积可以表示
为( )
D
A. (x13＋1 sin3x)dx B. (x131＋sin3x)dx
2
2
0
答案：－1
10．已知f(x)是一次函数，其图象经过点(0,0)，且 f(x)dx＝1，求f(x)的1 解析 0
式．
解析：设f(x)＝kx，如右图三角形的面积S＝ ×1×k＝1，
1 2
所以 k＝2.
即f(x)＝2x.
11.
2 0
4d－x＝x2________.
解析：积分
02dx4表－示x如2 下图所示的圆的面积的 .
x4， －xx∈ ，求[x0∈ f， (x[)22在，区3间[0,5]上的定积分． 52－2x，x∈[3，5]
由定积分的几何意义得：
3 3
9－x2dx＝π×2 32＝92π，
3 3
x3dx＝0.
由定积分性质得
1.5.3定积分的概念
金品质•高追求
n－1 1 2 1 1 1 2 1 n － 1 ＝0·1 ＋n · ＋ … ＋ · 21 2 n 1 n n n ·＋…＋ ＝0·＋ · n n n n n 1 2 ＝ 3 [1 ＋ 22＋ …＋(n－1)2] 2 1 2 2 n 3[1 ＋2 ＋…＋(n－1) ] ＝ n 1 1 1 1 － 2 － ＝ 1 . 1 n n1 6 ＝ 1－n2－n . 6
A．8π 解析： 面积，
B．16π
4 0
16－x dx表示以原点为圆心，4为半径的
2
圆的
4 ∴ 0 16－x2 dx＝ 4π·42＝4π.
1
答案：C
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用定义求定积分 用定积分的定义计算： x2dx.
1 0
解析：(1)分割． 将区间[0,1]分成n等份， n－1 n 1 2 0＜n＜n＜…＜ n ＜n＝1， i i－1 1 分割后的区间长为 Δx＝n－ n ＝n.
解析：由定积分的几何意义知 2 x3dx＝0， 2
2
2xdx＝π－22π＋4 ＝π2－4，
2
cos xdx＝0.
2
＝π2－4.
2 2 3dx＋ 2xdx＋ 2 cos xdx 由定积分的性质得 f ( x )d x ＝ x 2 2 2 2
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(2)近似代替． 第 i 个小曲边梯形的面积可近似为
i－1 ΔSi≈ΔSi′＝f n ·Δx＝ i－1 1 2 (i＝1,2，…，n)． n · n
1.5.3 定积分的概念
i 可取 i (i 1, 2, , n) ，则 n 3 n n 1 i 1 i f ( ) x ( ) 0 f x dx Sn n n i 1 n i 1 1 1 2 1 n 3 4 i 4 n (n 1)2 n i 1 n 4
新宁一中数学备课组
一、复习回顾 求曲边梯形的面积与汽车变速运动的路程的方法 (1) 分割
(2) 近似代替
(3) 求和 (4) 取极限
以直代曲，无限逼近
新宁一中数学备课组
通过分割--近似代替--求和--取极限“四步曲” 后，问题可归结为求一个和的极限.
曲边梯形的面积
S lim
x 0 i 1 n
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx .
a c c b
新宁一中数学备课组
4. 应用举例 例1 利用定积分的定义，计算 解： 令f(x)=x3 .
1 0
x dx 的值.
3
(1) 分割 在区间[0, 1]上等间隔地插入n-1个分点，把区间 i 1 i , ] ( i 1, 2, , n), [0, 1] 等分成n个小区间 [ n n i i 1 1 . 每个小区间的长度为 x n n n (2) 近似代替、作和
a a
b
b
新宁一中数学备课组
3. 定积分的基本性质 性质1.
b a
k f ( x )dx k f ( x )dx;
a
b
(其中k为常数) 性质2.
b a
[ f ( x ) g( x )] dx f ( x )dx g( x ) dx;
高中数学 第一章 1.5.3定积分的概念课件 新人教A版选修22
分
数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作
_ʃ_baf_(x_)_d_x_,这里a与b分别叫作积__分__下__限__与积__分__上__限__，
区间[a，b]叫做_积__分__区__间_，函数f(x)叫做_被__积__函__数__,x
叫做_积__分__变__量__，f(x)dx叫做_被__积__式__．
1.5.3
研一研·问题探究、课堂更高效
1.5.3
小结 利用定积分定义求定积分的数值仍然是“分割、近似 代替、求和、取极值”这一过程，需要注意的是在本题中将 近似代替、求和一起作为步骤(2)，从而省略了解题步骤．
研一研·问题探究、课堂更高效
1.5.3
跟踪训练1 用定义计算ʃ21(1＋x)dx. 解 (1)分割：将区间[1,2]等分成n个小区间 1＋i－n 1，1＋ni (i＝1,2，…，n)，每个小区间的长度Δx＝1n.
(2)近似代替、求和：在1＋i－n 1，1＋ni 上取点ξi＝1＋i－n 1(i ＝1,2，…，n)，于是f(ξi)＝1＋1＋i－n 1＝2＋i－n 1，
n
n
从而得 f(ξi)Δx＝
i＝1
i＝1
(2＋
i－1 n
1 )·n
＝
i＝1
2n＋i－n21
＝2n·n＋
1 n2
当f(x)在区间[a，b]上有正有负时，定积 分ʃabf(x)dx表示介于x轴、函数f(x)的图 象及直线x＝a，x＝b(a≠b)之间各部分面 积的代数和(在x轴上方的取正，在x轴下方的取负)．(如图 ②)，
[0
＋1＋2＋…＋(n－1)]
研一研·问题探究、课堂更高效
＝2＋n12·nn2－1＝2＋n2－n1.
高中数学-定积分的概念
求曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法
(1)分割: 在区间[a,b]
y
上等间隔地插入n-1个点,将
它等分成n个小区间:
a, x1,x1, x2 , xi1, xi ,
, xn1,b,
每个小区间宽度△x
b
a
.
n
Oa
y=f(x)
xi xi xi+1
b
x
x
y
(2)取近似求和:
i 1
f (xi )x.
Oa
y=f(x)
xi xi xi+1
b
x
x
1.定积分的计算和简单应用.(重点) 2.利用定积分求平面区域围成的面积. (难点)
探究点1 定积分的定义
从求曲边梯形面积S的过程中可以看出, 通过以
下四步:
分割——近似代替——求和——取极限得到解
决.
曲边梯形面积
n
S lim f x0 i1
a
f
(xi ).
这里，a和b分别叫做积分下限和积分上限, 区间[a, b]叫做积分区间，函数f (x)叫做被积函数， x叫做积分变量，f (x)dx叫做被积式.
定积分的定义的理解:
b a
f
( x)dx
lim
n
n i 1
ba n
f
(xi ).
定积分的相关名称：
———叫做积分号， y
y f (x)
那么定积分 b f (x)dx 表示 a
由直线 x=a,x=b,y=0 和曲线 y=f(x) 所围成的曲边梯形的面积.
y yf (x)
Oa
bx
思考：试用定积分的几何意义说明
《1.5.3 定积分的概念》PPT课件(湖北省县级优课)
提醒：利用定积分求平面图形的面积，一定要找准积分上、 下限及被积函数，当图形的边界不同时，要分情况讨论．
创新体验系列讲座（三） 探究定积分与不等式的交汇 [典例](2016·长沙模拟)如图，矩形 OABC 内的阴影部分是 由曲线 f(x)＝sin x[x∈(0，π)]及直线 x＝a[a∈(0，π)]与 x 轴围 成，向矩形 OABC 内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率 为14，则 a 的值是( ) A.71π2 B.23π
上有正有负 轴下方的曲边梯形的面积
(3)定积分的基本性质
①bkf(x)dx＝ 1 ________(k 为常数)； a
②b[f1(x)±f2(x)]dx＝ 2 ________±3 ________； a
③bf(x)dx＝ 4 ________＋ 5 ________(其中 a<c<b)． a
i＝1
b－n af(ξi)，当 n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个
常数叫做函数 f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作bf (x)dx， a
即 ， 与 分别叫做积 lim b f (x)dx a
n
n i 1
b
n
a
f
(i
)
a
b
分下限与积分上限，区间 [a,b] 叫做积
分区间，函数 f (x) 叫做被积函数，x 叫
解：如图所示，由 y＝ x及 y＝－x＋2 联立解得，x＝1. 由定积分的几何意义可知，由 y＝ x，y＝－x＋2 及 x 轴所围 成的封闭图形的面积为
2．若本例中“y＝x－2”改为“y＝m”，且由曲线f(x)＝
x
与y轴及直线y＝m(m＞0)围成的图形的面积为
8 3
，则m的值
( 人教A版)高中数学选修22：1.5.3定积分的概念课件 (共35张PPT)
a
a
所以c2f(x)dx＋b2f(x)dx
a
c
＝2(cf(x)dx＋bf(x)dx)
a
c
＝2bf(x)dx＝4. a
答案：4
3．计算定积分3(2x＋1)dx＝________. 0
解析：3(2x＋1)dx 表示直线 f(x)＝2x＋1，x＝0，x＝3 围成的直角梯形 OABC 的 0
a
＝b，y＝0，再明确被积函数 f(x)，从而确定曲边梯形的曲边，这样就可以通过求 曲边梯形的面积 S 而得到定积分的值： 当 f(x)≥0 时，bf(x)dx＝S；
a
当 f(x)<0 时，bf(x)dx＝－S. a
2．利用定积分的几何意义，求：
3
9－x2dx.
－3
解析：(1)在平面上 y＝ 9－x2表示的几何图形为以原点为圆心以 3 为半径的上半圆如
2
3552－x2dx＝21×2×1＝1，
∴5f(x)dx＝2xdx＋3(4－x)dx＋
0
0
2
3552－x2dx＝2＋23＋1＝29.
利用定积分的性质计算定积分的步骤： (1)如果被积函数是几个简单函数的和的形式，可以利用定积分的线性性质计 算，可以简化计算． (2)如果被积函数含有绝对值或被积函数为分段函数，一般利用积分区间的连 续可加性质计算．
dx
1
1
＝32.
(3)
1
1－x2dx 表示的是图(3)中阴影所示半径为 1 的半圆的面积，其值为π2，
-1
所以1
1－x2dx＝π2.
-1
由定积分的几何意义求定积分的步骤： (1)当 f(x)≥0 时，bf(x)dx 等于由直线 x＝a，x＝b，y＝0 与曲线 y＝f(x)围 成曲边
1.5.3-定积分的概念
1. 5. 3 定积分的概念 2020年6月15日星期一
y
Oa
bx
yf (x)
用定积分表示抛物线 y=x2-2x+3 与直线 y=x+3所围成的图形面积
3 x + 3 dx - 3 x2 - x + 3 dx
0
0
3 -x2 + 3x dx 0
y y=f(x)
b
一般地，对由直线 x = a，x = b，y = 0曲线y = f(x)
所围成的曲边梯形，我们采用分割、近似代替、求和、
取极限这四个步骤的方法，求出其面积.
以速度v=v( t ) 作变速直线运动的汽车在 t1≤ t ≤t2 这段时间内行驶的路程 S 在数据上等于由直线 t = t1， t =t2，v = 0和曲线 v =v ( t ) 所围成的曲边梯形的面积.
i1 n
n
n4 i 1
n4 4
4n
（ 3） 取 极 限
1 x3dx
0
lim
n
Sn
lim
n
1 4
(1
1 )2 n
1 4
作业 50页 A组 T5
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f
b
(xf)(dxx)dx
cc
b
f (xf)(dxx)dx
b
f
(xf)(dxx)。 dx。
aa
aa
bc c
c
b
f (x)dx f (x)dx
f (x)dx。
a
a
c
Oa
c
bx
例 1：利用定积分的定义，计算 1 x3dx 的值。 0
解：（1）分割：在区间 0 ,1 上等间隔地插入 n 1 个分点，