高中数学教学论文 平面向量在解题中的应用 苏教版必修4
高中数学 第2章 平面向量 2.4 向量的数量积课前导引 苏教版必修4(2021年整理)
高中数学第2章平面向量2.4 向量的数量积课前导引苏教版必修4 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第2章平面向量2.4 向量的数量积课前导引苏教版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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2。
4 向量的数量积课前导引问题导入一物体在力F 的作用下沿水平方向运动，已知AB=10米，F 与水平方向成60°角，F=5 N,求物体从A 到B 力F 所做的功。
思路分析：首先求出力F 在水平方向上的分力|F 1|=|F ｜cos60°=5×21=25，由物理学知识可知力F 对物体所做的功是:W =｜F 1|·｜s |=25×10=25（焦耳). 力F 对物体所做的功W =｜F |·｜s ｜cos60°,即两个向量F 、s 的模与其夹角余弦的积是数量，这个量就是这节课要学习的两个向量的数量积。
知识预览1。
已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角是θ ，我们把数量｜a ｜｜b ｜cosθ叫做向量a 和b 的数量积，记作a ·b .规定零向量与任一向量的数量积为零.2.对于两个非零向量a 和b ，作=a ,=b ,则∠A OB 叫做向量a 与b 的夹角，其范围是0°≤θ≤180°。
当θ=90°时，称向量a 与b 垂直，记作a ⊥b 。
3。
数量积的运算律：（1)a ·b =b ·a ;(2)(λa ）·b =a ·λ（b ）=λ（a ·b )=λa ·b ；(3）(a +b ）·c =a ·c +b ·c 。
苏教版高中数学必修4第2章 平面向量().docx
第2章平面向量（数学苏教版必修4）建议用时实际用时满分实际得分120分钟150分一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分.把答案填在题中横线上）1.已知一点O到平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的向量分别为a、b、c，则向量OD等于.2. 有下列四个关系式：①|a·b|=|a|·|b|;②|a·b|≤|a|·|b|;③|a·b|≥|a|·|b|;④|a·b|≠|a|·|b|.其中正确的关系式是.3.在△ABC中，AB边上的高为CD,若CB=a,CA=b,a·b=0,|a|=1,|b|=2,则AD= .4.已知向量a=(2,1),a·b=10,|a+b|=5,则|b|= .5.设x，y∈R,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且a⊥c,b∥c,则|a+b|= .6.设a=(13，tan )，b=(cos ，32)，且a∥b，则锐角的值为.7.点P为△ABC所在平面内任一点，且PA+PB+PC=AB，则点P与△ABC的位置关系是.8.对于向量a、b、c和实数λ，下列命题中的真命题是.○1若a·b=0，则a=0或b=0;○2若λa=0，λ=0或a=0;○3若a2=b2，则a=b或a=-b;○4若a·b=a·c，则b=c.9. 在△ABC所在平面存在一点O使得OA+ OB + OC= 0，则面积= .10.若将向量a=（1，2）绕原点按逆时针方向旋转π4得到向量b，则b的坐标是.11.已知平面上三点A、B、C满足|AB|=3，|BC|=4，|CA|=5，则AB·BC+BC·CA+CA·AB的值等于.12.已知点A（1，-2），若向量AB与a=（2，3）同向，|AB|=213，则点B的坐标为.13. 设OA=(3，1)，OB=(-1，2)，OC⊥OB, BC ∥OA,又OD+OA=OC，则OD的坐标是.14.若对n个向量a1，a2，…，a n存在n个不全为零的实数k1,k2,…,k n，使得k1a1+k2a2+…+k n a n=0成立，则称向量a1,a2,…,a n为“线性相关”.依此规定，能说明a1=(1,2),a2=(1,-1)，a3=(2,10)“线性相关”的实数k1,k2,k3依次可以取（写出一组数值即可，不必考虑所有情况）.二、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共80分）15.(15分)设a，b，c，d∈R，求证：（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）. 16.（15分）已知实数a，b，c，d，求函数f（x）=2222()()x a b x c d+++-+的最小值.17.（21分）平面内给定三个向量a＝（3，2），b ＝（-1，2），c=（4，1）.（1）求满足a=m b+n c的实数m,n；（2）若（a+k c）∥(2b-a)，求实数k；（3）设d=(x,y)满足（d-c）∥(a+b)，且|d-c|＝1，求向量d. 18.（14分）设平面内两向量a与b互相垂直，且|a|=2，|b|=1，又k与t是两个不同时为零的实数.（1）若x=a+（t-3）b与y=-k a+t b垂直，求k关于t的函数表达式k=f（t）；（2）求函数k=f（t）的最小值.19.（15分）一条河的两岸平行，河的宽度d为500 m，一条船从A处出发航行到河的正对岸B处，船航行的速度|v1|=10 km/h，水流速度|v2|=4 km/h，那么v1与v2的夹角（精确到1°）多大时，船才能垂直到达对岸B处？船行驶多少时间？（精确到0.1 min）第2章平面向量（数学苏教版必修4）答题纸得分：一、填空题1． 2． 3． 4． 5． 6．7． 8． 9． 10． 11． 12．13． 14．二、解答题15.16. 17. 18. 19.第2章 平面向量（数学苏教版必修4）答案一、填空题1. a +c -b 解析：如图，点O 到平行四边形三个顶点A 、B 、C 的向量分别为a 、b 、c ， 结合图形有OD =OA +AD =OA +BC =OA +OC -OB =a +c -b .2. ○2 解析：|a ·b |=|a ||b ||cos θ|≤|a |·|b |,其中θ为a 与b 的夹角.3.45a -45b 解析：利用向量的三角形法则求解. 如图，∵ a ·b =0，∴ a ⊥b ，∴ ∠ACB =90°， ∴ AB =22AC BC +=5.又CD ⊥AB ,∴ AC 2=AD ·AB ，∴ AD =455. A DOB CC b aA D B∴ AD =45AB =45（a -b ）=45a -45b . 4.5 解析：｜a +b ｜2=a 2+2a ·b +b 2=|a |2+2a ·b +|b |2=50，即5+2×10+|b |2=50,∴ |b |=5.5. 解析：利用平面向量共线和垂直的条件求解. ∵ a =（x ,1）,b =（1,y ）,c =（2,-4）, 由a ⊥c 得a ·c =0,即2x-4=0,∴ x =2. 由b ∥c ,得1×（-4）-2y =0,∴ y =-2. ∴ a =（2,1）,b =（1,-2）.∴ a +b =（3,-1）,∴ |a +b |=223(1)+-=.6.π6解析：∵ a ∥b ，∴ 13×32-t a n cos =0，即sin =12，∴ =π6.7. P 在AC 边上 解析：∵ PA +PB +PC =AB ，∴ PA +PC =AB +BP =AP ，即PC =2AP . ∴ A 、C 、P 三点共线，即P 在AC 边上. 8.○2 解析：取a =（1，0），b =（0，-1），满足条件a ·b =0，a 2=b 2，但不能推得a =0或b =0，a =b 或a =-b ，故选项○1、○3均假；向量数量积运算不满足消去律，故选项○4假. 9.13解析：∵ OA + OB + OC = 0 ，∴ OB + OC = AO ， 设 OB + OC =OD ， ∴O 是AD 的中点， 要求面积之比的两个三角形是同底的三角形， ∴面积之比等于三角形的高之比，∴比值是13， 10. （22-，322） 解析：设b =（x ，y ），则|b |=|a |=，a ·b =|a ||b |·cos π4=××22=522，即x 2+y 2=5，x+2y =522，解得x =22-，y =322（舍去x =322，y =22）.故b =（22-，322）. 11.-25 解析：∵|AB |2+|BC |2=|CA |2，∴ △ABC 为直角三角形，AB ⊥BC ， cos A =35，cos C =45. ∴原式=3×4×0+4×5×(45-)+5×3×(35-)=25-.12.（5，4） 解析：设AB =（x ，y ），∵ AB 与a 同向， ∴ AB =λa （λ>0），即（x ，y ）=λ（2，3）.∴ 2,3.x y λλ=⎧⎨=⎩又|AB |=2，∴ x 2+y 2=52.∴ 4λ2+9λ2=52，解得λ=2（负值舍去）.∴ 点B 的坐标为（5，4）.13. 1 解析：设OC =(x ,y ),由OC ⊥OB ,得-x+2y =0.① 由BC =OC -OB =(x+1,y-2), BC ∥OA , 得(x+1)-3(y-2)=0.②由①②联立，解得x =14,y =7.故OD =OC -OA =(14，7)-(3，1)=(11，6).14.只要写出-4c ,2c ,c (c ≠0)中一组即可，如-4，2，1等 解析：由k 1a 1+k 2a 2+k 3a 3＝0得12313,12323,20,421002k k k k k k k k k k ++==-⎧⎧⇒⎨⎨-+==⎩⎩∴ k 1=-4c ,k 2=2c ,k 3=c (c ≠0). 二、解答题15.证明：引入向量a =（a ，b ），b =（c ，d ）. 设向量a 、b 的夹角为，则（ac+bd ）2=（a ·b ）2=（|a ||b |cos ）2≤（|a ||b |）2=（a 2+b 2）（c 2+d 2）. 16.解：引入向量a =（x+a ，b ），b =（c-x ，d ）， 则原函数变为f （x ）=|a |+|b |.∴ f （x ）=|a |+|b |≥|a +b |=22()()x a c x b d ++-++=22()()a c b d +++. ∴ 函数f （x ）的最小值为22()()a c b d +++. 17.解：（1）因为a =m b +n c ,所以（3，2）＝（-m+4n ,2m+n ）,所以5,43,9228.9m m n m n n ⎧=⎪-+=⎧⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=⎪⎩（2）因为（a +k c ）∥(2b -a ),又a + k c =(3+4k ,2+k ),2b -a =(-5,2), 所以2（3+4k ）+5（2+k ）＝0，即k =-1613. （3）因为d -c =(x-4,y-1),a +b =(2,4), 又（d -c ）∥(a +b ),|d -c |=1，所以22554,4,4(4)2(1)0,55(4)(1)1,25251,155x x x y x y y y ⎧⎧=+=-⎪⎪---=⎧⎪⎪⎨⎨⎨-+-=⎩⎪⎪=+=-⎪⎪⎩⎩解得或.所以d =（5254,155++）,或d =（5254,155--）. 18.解：（1）∵ a ⊥b ，∴ a ·b =0.又x ⊥y ，∴ x ·y =0，即［a +（t-3）b ］·（-k a +t b ）=0，-k a 2-k （t-3）a ·b +t a ·b +t （t-3）b 2=0. 将|a |=2，|b |=1代入上式得-4k+t 2-3t =0， 即k =f （t ）=14（t 2-3t ）. （2）由（1）知k =f （t ）=14（t 2-3t ）=14（t-32）2916-, ∴ 当t =32时，k 最小=916-. 19.解：如图，根据向量的平行四边形法则和解三角形知识可得| v 1|2=| v |2+| v 2|2，得| v |=2212-v v =22104-≈9.2（km/h ）. ∵ cos （π-）=21v v =410=25，∴ π-≈1130π，即≈1930π=114°，时间t =d v ≈0.59.2=592（h ）,即约3.3 min. 答：v 1与v 2的夹角约为114°时船才能垂直到达对岸B 处，大约行驶3.3 min.v 1 vA v 2。
高中数学 第二章 平面向量 2.4 向量的数量积教案 苏教版必修4(2021年最新整理)
高中数学第二章平面向量2.4 向量的数量积教案苏教版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第二章平面向量2.4 向量的数量积教案苏教版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学第二章平面向量2.4 向量的数量积教案苏教版必修4的全部内容。
2.4 向量的数量积错误!教学分析课本从学生熟知的功的概念出发，引出了平面向量数量积的概念及其几何意义，接着介绍了向量数量积的5个重要性质、运算律．向量的数量积把向量的长度和三角函数联系起来,这样为解决三角形的有关问题提供了方便,特别能有效地解决线段的垂直问题．因此利用向量运算可以讨论一些几何元素的位置关系．既然向量可以进行加减运算，一个自然的想法是两个向量能否做乘法运算呢?如果能，运算结果应该是什么呢？另外,距离和角是刻画几何元素(点、线、面）之间度量关系的基本量我们需要一个向量运算来反映向量的长度和两个向量间夹角的关系．众所周知，向量概念的引入与物理学的研究密切相关，物理学家很早就知道,如果一个物体在力F的作用下产生位移s(如图1），那么力F所做的功图1W＝｜F｜|s｜cosθ.功W是一个数量，其中既涉及“长度”，也涉及“角”，而且只与向量F，s有关．熟悉的数的运算启发我们把上式解释为两个向量的运算，从而引进向量的数量积的定义a·b＝｜a||b｜cosθ。
这个定义不仅满足人们熟悉的运算律（如交换律、分配律等），而且还可以用它来更加简捷地表述几何中的许多结果．向量的数量积是一种新的向量运算，与向量的加法、减法、数乘运算一样,它也有明显的物理意义、几何意义．但与向量的线性运算不同的是，它的运算结果不是向量而是数量．平面向量的数量积，教材将其分为两部分，在第一部分向量的数量积中，首先研究平面向量所成的角，其次，介绍了向量数量积的定义，最后研究了向量数量积的基本运算法则和基本结论;在第二部分平面向量数量积的坐标表示中，在平面向量数量积的坐标表示的基础上,利用数量积的坐标表示研讨了平面向量所成角的计算方式,得到了两向量垂直的判定的方法．本节课可采用“启发探索”式的教学方法，从教材内容看，由于前面已经学习了平面向量的线性运算的坐标表示，因此在教学中运用指导探究为教学的主线，通过启发引导学生运用科学的思维方法进行自主探索，将学生的独立思考、自主探究、交流讨论等探索活动贯穿于课堂教学的全过程，突出学生的主体地位．三维目标1．通过经历探究过程,掌握平面向量的数量积及其几何意义；掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，并掌握向量垂直的条件．2．通过问题的解决，培养学生观察问题、分析问题和解决问题的实际操作能力;培养学生的交流意识、合作精神；培养学生叙述表达自己解题思路和探索问题的能力．3．通过探究平面向量的数量积的坐标运算，掌握两个向量数量积的坐标表示方法；掌握两个向量垂直的坐标条件以及能运用两个向量的数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题．4．通过平面向量数量积的坐标表示，进一步加深学生对平面向量数量积的认识，提高学生的运算速度,培养学生的运算能力，培养学生的创新能力，提高学生的数学素质．重点难点教学重点:平面向量数量积的定义，平面向量数量积的坐标表示．教学难点:平面向量数量积的定义及其运算律的理解和平面向量数量积的应用,平面向量坐标表示的应用．课时安排2课时错误!第1课时导入新课思路1.我们前面知道向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等概念,向量是既有大小、又有方向的量,它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系，将向量这一工具应用到物理中，可以使物理题解答地更简捷、更清晰．并且向量知识不仅是解决物理许多问题的有利工具,而且用数学的思想方法去审视相关物理现象，研究相关物理问题，可使我们对物理问题认识更深刻．物理中有许多量,比如力、速度、加速度、位移等都是向量，这些物理现象都可以用向量来研究．在物理课中，我们学过功的概念,即如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F 所做的功W可由下式计算：W＝|F｜｜s｜cosθ.其中θ是F与s的夹角．我们知道力和位移都是向量，而功是一个标量（数量)．故从力所做的功出发,我们就顺其自然的引入向量数量积的概念．思路2.前面我们已学过,任意的两个向量都可以进行加减运算，并且两个向量的和与差仍是一个向量．我们结合任意的两个实数之间可以进行加减乘除（除数不为零）运算，就自然地会想到，任意的两个向量是否可以进行乘法运算呢？如果能,其运算结果是什么呢？推进新课错误!1．平面向量数量积的概念，向量的夹角．2．数量积的重要性质及运算律．3．两向量垂直的条件．活动：已知两个非零向量a与b，我们把数量|a｜｜b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝｜a｜|b｜cosθ（0≤θ≤π），其中θ是a与b的夹角．图2为两向量数量积的关系，并且可以知道向量夹角的范围是0°≤θ≤180°.图2教师在与学生的一起探究活动中，应特别点拨引导学生注意：(1)两个非零向量的数量积是个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积；（2）零向量与任一向量的数量积为0，即a·0＝0；(3)符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替；（4)当0≤θ〈错误!时cosθ>0，从而a·b〉0；当错误!〈θ≤π时，cosθ〈0，从而a·b<0.与学生共同探究并证明数量积的运算律．已知a，b,c和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律：①a·b＝b·a（交换律）;②(λa）·b＝λ(a·b)＝a·(λb)（数乘结合律）;③（a＋b）·c＝a·c＋b·c（分配律）．特别是：(1)当a≠0时,由a·b＝0不能推出b一定是零向量．这是因为任一与a垂直的非零向量b,都有a·b＝0.(2)已知实数a、b、c（b≠0），则ab＝bc a＝c，但对向量的数量积，该推理不正确，即a·b＝b·c不能推出a＝c.由图3很容易看出，虽然a·b＝b·c,但a≠c。
高中数学 第2章 平面向量 2.4 向量的数量积课堂导学
高中数学 第2章 平面向量 2.4 向量的数量积课堂导学 苏教版必修4三点剖析1.平面向量数量积的概念及其运算律【例1】 已知|a |=4，|b |=3，若：（1）a ∥b ；（2）a ⊥b ；（3）a 与b 的夹角为60°，分别求a ·b .思路分析：本题运用数量积的定义求数量积.已知|a |与|b |，a 与b 的夹角，由定义可求a ·b . 解：(1)当a ∥b 时，若a 与b 同向，则它们的夹角θ=0°,a ·b =|a ||b |cos0°=4×3×1=12;若a 与b 反向，则a 与b 的夹角θ=180°,a ·b =|a ||b |cos180°=4×3×(-1)=-12.(2)当a ⊥b 时,a 与b 的夹角为90°,a ·b =|a |·|b |cos90°=0,(3)当a 与b 的夹角θ=60°时，a ·b =|a ||b |cos60°=4×3×21=6. 温馨提示利用定义计算a 与b 的数量积，关键是确定两向量的夹角.当a ∥b 时，a 与b 的夹角可能是0°，也可能为180°，解题时容易遗漏180°的情形.2．平面向量数量积的应用【例2】已知|a |=2,|b |=3，a 与b 的夹角为45°,求使向量a +λb 与λa +b 的夹角为锐角时，λ的取值范围.解：设a +λb 与λa +b 的夹角为θ.则cos θ=||||)()(b a b a b a b a +++∙+λλλλ＞0, 即(a +λb )·(λa +b )＞0,展开得，λa 2+(λ2+1)a ·b +λb 2＞0.∵|a |=2,|b |=3,a ·b =|a ||b |cos45°=3,∴2λ+3(λ2+1)+9λ＞0,即3λ2+11λ+3＞0.λ＜68511--或λ＞68511+-. 另外θ=0°时，λ=1.故λ≠1.∴λ∈(-∞,68511--)∪(68511+-,1)∪(1,+∞). 温馨提示求夹角时，注意与三角函数、不等式等知识相结合，但要注意角的范围.3.平面向量数量积的运算律同实数的运算律的比较【例3】 已知|a |=5，|b |=4，a 与b 的夹角为120°，求：（1）a ·b ；（2）（a +b ）2；（3）a 2-b 2；（4）（2a -b ）·（a +3b ）.思路分析：由于向量的数量积满足乘法对加法的分配律，因此向量的数量积运算可类似于多项式的乘法运算，如（a +b ）2=（a +b ）·（a +b ）=（a +b ）·a +（a +b ）·b =a ·a +b ·a +a ·b +b ·b =a 2+2a ·b +b 2.解：（1）a ·b =|a ||b |cos120°=5×4×(-21)=-10; (2)(a +b )2=a 2+2a ·b +b 2=|a |2+2a ·b +|b |2=25-2×10+16=21;(3)a 2-b 2=|a |2-|b |2=25-16=9;(4)(2a -b )·（a +3b ）=2a 2+5a ·b -3b 2=2|a |2+5a ·b -3|b |2=2×25+5×(-10)-3×16=-48.温馨提示(1)在进行向量数量积运算时，应严格按运算律进行；（2）由于向量数量积满足乘法对加法的分配律，故向量数量积中也有类似多项式乘法的公式：（a ±b ）2=a 2±2a ·b +b 2，（a +b ）·（a -b ）=a 2-b 2，（a +b +c ）=a 2+b 2+c 2+2a ·b +2b ·c +2a ·c .因此，有的同学会相当然的用（a ·b ）·c =a ·（b ·c ）,这是错误的.各个击破类题演练1已知|a |=2，|b |=5，且<a ,b >=45°,求a ·b .解：由数量积的定义，a 、b =|a ||b |cos<a ,b > =2×5×cos45°=25.变式提升1已知△ABC 中，a =5,b =8，∠C=60°,求BC ·CA .解：因为|BC |=a =5,|CA |=b =8,<BC ,CA >=180°-∠C=180°-60°=120°, 所以·=||||·cos<,>=5×8cos120°=-20.类题演练2已知a =(m+1,3),b =(1,m-1)，且a 与b 的夹角为钝角.若（2a +b ）与(a -3b )垂直，求a 与b 夹角的余弦.解析：∵(2a +b )⊥(a -3b ),∴2a 2-5a ·b -3b 2=0.即2［(m+1)2+9］-5［m+1+3(m-1)］-3［1+(m-1)2］=0,整理得m 2+10m-24=0,m=2或m=-12.∵a 与b 的夹角为钝角，∴m=2舍去.设a 与b 夹角为θ,则cos θ=2212215||||-=∙b a b a . 变式提升2(2006全国高考Ⅰ,文1)已知向量a 、b 满足|a |=1，|b |=4，且a ·b =2，则a 与b 的夹角为（ ） A.6π B.4π C.3π D.2π 解析：cos<a ·b >=21412||||=⨯-=∙b a b a . ∴a 与b 的夹角为3π，故选C. 答案：C类题演练3 已知|a |=|b |=5，<a ,b >=3π,求|a +b |，|a -b |. 解：因为a 2=|a |2=25，b 2=|b |2=25，a ·b =|a ||b |cos<a ,b >=5×5cos3π=225. 所以|a +b |=（a +b ）2=.352525252)(222=++=∙-+=+b a b a b a 同样可求|a -b |=.52525252)(222=-+=∙-+=-b a b a b a变式提升3 （1）若向量a 与b 夹角为30°，且|a |=3，|b |=1，则向量p=a +b 与q=a -b 的夹角的余弦为______________.思路分析：本题可利用cos θ=||||b a b a ∙，由两向量的数量积和模求夹角余弦值. 解：∵p ·q =（a +b ）·（a -b ）=a 2-b 2=3-1=2，又∵|p |=|a +b |=7130cos 323222=+︒+=+∙+b b a a , |q |=|a -b |=,1130cos 323222=+︒-=+-b ab a ∴cos θ=77272||||==∙q p q p . 答案：772（2）若非零向量α、β满足|α+β|=|α-β|，求α与β所成的角.思路分析：涉及模与夹角的问题，一般考虑向量的数量积，也可以从向量的线性运算入手，结合模的几何意义解答.解：∵|α+β|=|α-β|,∴|α2|+2α·β+|β|2=|α|2-2α·β+|β|2，即4α·β=0，∴α·β=0，∴α⊥β.∴α与β所成的角为90°.。
高中数学第二章平面向量第9课时2.4向量的数量积(2)教案苏教版必修4
第9课时 §2.4 向量的数量积（2）【教学目标】 一、知识与技能（1）掌握平面向量数量积运算规律；（2）能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；（3）掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题. 二、过程与方法让学生充分经历，体验数量积的运算律以及解题的规律 三、情感、态度与价值观通过师生互动，自主探究，交流与学习培养学生探求新知识以及合作交流【教学重点难点】平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用 【教学过程】 一、复习：(1)两个非零向量夹角的概念；: (2)平面向量数量积（内积）的定义； (3)“投影”的概念； (4)向量的数量积的几何意义； (5)两个向量的数量积的性质。
二、新课讲解： 1．交换律：a b b a ⋅=⋅证：设,a b 夹角为θ，则||||cos a b a b θ⋅=⋅⋅，||||cos b a b a θ⋅=⋅⋅∴a b b a ⋅=⋅．2．()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅ 证：若0λ>，()||||cos a b a b λλθ⋅=，()||||cos a b a b λλθ⋅=， ()||||cos a b a b λλθ⋅=，若0λ<，()||||cos()||||(cos )||||cos a b a b a b a b λλπθλθλθ⋅=-=--=，()||||cos a b a b λλθ⋅=，()||||cos()||||(cos )||||cos a b a b a b a b λλπθλθλθ⋅=-=--=．3．()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅．在平面内取一点O ，作OA a =, AB b =，OC c =，∵a b +（即）在c 方向上的投影等于,a b在c 方向上的投影和，即：12||cos ||cos ||cos a b a b θθθ+=+ ∴12||||cos ||||cos ||||cos c a b c a c b θθθ+=+，∴()c a b c a c b ⋅+=⋅+⋅ 即：()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅．三、例题分析：例1、已知、都是非零向量，且b 3+与b 57-垂直，b 4-与b27-垂直，求与的夹角.例2、 求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和.θ2abBABCc例3、已知，是两个非零向量，且||==||||+，求b 与-的夹角例4、四边形ABCD 中， a =，b =，c=，d =，且a d d c c b b a ⋅=⋅=⋅=⋅，试问四边形ABCD 是什么图形?例5、如图，,,AD BE CF 是ABC ∆的三条高，求证：,,AD BE CF 相交于一点。
向量法在高中数学中的应用_毕业设计(论文)
向量法在高中数学中的应用the application of vector method in high school mathematics摘要向量是高中数学的一个重要的知识点，运用于方方面面，主要运用在圆锥曲线与立体几何两方面。
由于联系到许多其他知识点，向量掌握的好与坏，直接影响学生的高中数学学习质量。
近几年的高考趋势表明，向量在高中扮演的角色越来越重要。
Vector Method is a significant and widely-used knowledge point in high school mathematics, and it mainly used in terms of conic section and solid geometry. As Vector Method is linked to many other math knowledge points, therefore, students’mastery degree of it directly influences the quality of high school math studies. Furthermore, the trend of College Entrance Examination in recent years has clearly indicated the increasing importance of Vector Method in high school mathematics.关键词：向量；平面几何；立体几何；代数Keyword：Vector；planimetry；stereometry；algebra目录引言 (4)1、平面几何 (6)1.1、利用向量解决基础平面图形问题 (6)1.2、利用向量求解圆锥曲线问题 (7)2、立体几何 (9)2.1、利用向量解决平行问题 (9)2.2、利用向量解决垂直问题 (10)2.3、利用向量来求空间角问题 (11)2.4、空间距离 (13)2.4.1、两点距离 (13)2.4.2、点到直线距离 (13)2.4.3、点到平面距离 (14)2.4.4、异面直线距离 (14)3、代数 (15)3.1、不等式问题 (15)3.2、求最值问题 (16)3.3、三角函数中的应用 (16)结论 (17)参考文献 (18)致谢 (18)引 言向量是高中数学的重要内容，也是数学的重要概念之一，由于它既有几何的表示方法又有代数表示方法，与中学数学的许多主干知识交汇。
苏教版高一数学必修四第2章：平面向量的数量积及应用复习
（2）若∠AOB的平分线交线段AB于点D，求点D的坐标；
（3）在单位圆上是否存在点C，使得 ＝64？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
巩固练习：1.已知 ， ，且 与 的夹角为 .
（1）求 ；
（2）若 与 垂直，求实数 的值.
2．已知
(1)求 与 的夹角
(2)求 和 ；
例4.已知 ， ，且 与 的夹角为锐角，则实数 的取值范围是.
巩固练习：1.设向量 ， ，若 与 的夹角大于90°，
则实数 的取值范围是.
2.已知 （ 为坐标原点），设 是直线 上的一点，那么 的最小值是.
题型三平面向量的大题综合
考点四角平分线定理
例5.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(3，4)，B(5，12)．
3．设a、b是两个不共线向量， ＝2a＋pb， ＝a＋b， ＝a－2b，若A、B、D三点共线，则实数p＝．
4.设 ， ， ，若 ，则实数k的值等于.
5.若 =（2，3）， =（―4，7），则 在 方向上的投影为.
6.若等边三角形ABC的边长为2 ，平面内一点M满足 ＝ ＋ ，则 · ＝________.
(Ⅲ)若向量a＋kb与a－kb互相垂直，求k的值．
7.设向量 ＝(cosx，1)， ＝( ，4sinx)．
（1）若 ⊥ ，求tanx的值；；
（2）若( ＋ )∥ ，且 [0， ]，求向量 的模．
课后作业
1．已知向量 ，则 ________．
2．已知点 在直线 上，且 ，设 ，则实数 __________．
高一数学平面向量的数量积
年级
高一
科目
数学
上课时间
课题
平面向量的数量积与应用
【高中教育】高中数学 2.3.1平面向量基本定理练习及解析苏教版必修4.doc
2．3 向量的坐标表示2．3.1 平面向量基本定理情景：“神舟”十号宇宙飞船在升空的某一时刻，速度可以分解成竖直向上和水平向前的两个分速度．在力的分解的平行四边形法则中，我们看到一个力可以分解为两个不共线方向的力的和．思考：平面内任一向量是否可以用两个不共线的向量来表示呢？1．如果e1，e2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使________．这个定理叫________________．答案：a＝λ1e1＋λ2e2平面向量基本定理2．不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组________．答案：基底3．基底的特征是________、________．答案：两个向量不共线平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.我们把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．向量的正交分解：一个平面向量用一组基底e1，e2表示成a＝λ1e1＋λ2e2的形式，我们称它为向量的分解．当e1，e2互相垂直时，就称为向量的正交分解．重点诠释：对平面向量基本定理的理解主要体现在以下几个方面：(1)基底不唯一，关键是两基底不共线；(2)由定理可将任一向量a在给出基底e1，e2的条件下进行分解；(3)基底给定时，分解形式唯一；(4)以共线向量为基础，通过把一个向量在其他两个向量上分解，就可以揭示出该定理的本质，由此定理可以得到一个常用结论：若e1，e2不共线，则λ1e1＋λ2e2＝0⇔λ1＝λ2＝0.基础巩固1．e1，e2是平面内的一组基底，则下面四组向量中，不能作为一组基底的是( )A．e1和e1＋e2B．e1－2e2和e2－2e1C．e1－2e2和4e2－2e1 D．e1＋e2和e1－e2答案：C2．下面三种说法：①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量．其中正确的说法是________(填序号)．答案：②③3．已知向量a，b不共线，且c＝λ1a＋λ2b(λ1，λ2∈R)，若c与b共线，则λ1＝________．答案：04．若3x＋4y＝a且2x－3y＝b，其中a，b为已知向量，则x＋y＝________(用a，b表示)．答案：517a＋117b能力升级5．向量OA→，OB→，OC→的终点A、B、C在一条直线上，且AC→＝－3CB→，设OA→＝p，OB→＝q，OC→＝r，则以下等式成立的是( )A．r＝－12p＋32q B．r＝－p＋2qC ．r ＝32p －12q D ．r ＝－q ＋2q解析：由AC →＝－3CB →，得OC →－OA →＝－3(OB →－OC →)，2OC →＝－OA →＋3OB →，OC →＝－12OA→＋32OB →，即r ＝－12p ＋32q . 答案：A6．已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，那么AO →＝________AD→. 解析：由D 为BC 边中点可得：OD →＝12(OB →＋OC →)，又2OA →＋OB →＋OC →＝0，所以2OA →＋2OD →＝0.故AO →＝OD →，从而AO→＝12AD →. 答案：127．在△ABC 中，已知D 是AB 边上的一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝________．解析：CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →，故λ＝23.答案：238．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝________．解析：依题意可知M 为△ABC 的重心，连接AM 并延长交BC 于点D ，则AM →＝23AD →.①因为AD 为中线，所以AB →＋AC →＝2AD→＝mAM →，即2AD →＝mAM →.②联立①②解得m ＝3. 答案：39．用向量证明三角形的三条边的中线共点．证明：设AD 、BE 、CF 是△ABC 的三条中线．设AC →＝a ，BC →＝b ，AG →＝23AD →，则AB →＝a －b ，AD →＝a －12b ，BE →＝－12a ＋b .设AD 与BE 交于点G 1， 并设AG 1→＝λAD →，BG 1→＝μBE →， 则AG 1→＝λa －λ2b ，BG 1→＝－μ2a ＋μb .又因为AG 1→＝AB →＋BG 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－μ2a ＋(μ－1)b . 所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1－μ2，－λ2＝μ－1，解得λ＝μ＝23，即AG 1→＝23AD →. 再设AD 与CF 交于点G 2，同理可得AG 2→＝23AD →，故点G 1与点G 2重合，即AD 、BE 、CF 相交于一点．所以三角形的三条边的中线共点．10．如右下图，在△ABC 中，M 是边AB 的中点，E 是CM 的中点，AE 的延长线交BC 于点F ，MH ∥AF.求证：BH →＝HF →＝FC →.证明：设BH →＝a ，BM →＝b .则BA →＝2b ，MH →＝a －b ，AF →＝2MH →＝2a －2b ，BF →＝AF →＋BA →＝2a －2b ＋2b ＝2a . 所以HF →＝BF →－BH →＝a .因此BH →＝HF →. 同理可证：HF →＝FC →. 因此结论成立．11．如图，平面内有三个向量OA →，OB →，OC →，其中OA →与OB →的夹角为60°，OA →与OC →，OB →与OC →的夹角都为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝23，若OC →＝λOA →＋μOB →，求λ＋μ的值．解析：过点C 分别作CN ∥OA ，交射线OB 于点N ，作CM ∥OB ，交射线OA 于点M ，则OC →＝OM →＋ON →＝λOA →＋μOB →.所以OM →＝λOA →，ON →＝μOB →.由已知，|OA →|＝|OB →|＝1， 在平行四边形OMCN 中， ∠MOC ＝∠NOC ＝∠NCO ＝30°， 所以△NOC 为等腰三角形． 所以ON ＝NC ＝OM .所以平行四边形OMCN 为菱形．连接MN 交OC 于点H ，则OC ⊥MN ，且H 为O C 中点．在Rt △OHM 中，cos ∠HOM ＝OH OM ＝12OC OM， 即cos 30°＝3OM ＝32，解得OM ＝2，所以ON ＝2.所以λ＝|OM →||OA →|＝2，μ＝|ON →||OB →|＝2.故λ＋μ＝4.12．在一个平面内有不共线的三个定点O 、A 、B ，动点P 关于点A 的对称点为Q ，Q 关于点B 的对称点为R.已知OA →＝a ，OB →＝b ，用a 、b表示PR →.解析：如右图所示．方法一 由题意知A 为PQ 的中点，B 为QR 的中点， ∴PR ∥AB 且PR ＝2AB .∴PR →＝2·AB →＝2(OB →－OA →)＝2(b －a )．方法二PR→＝OR→－OP→，在△OQR中，B为QR的中点，∴2OB→＝OR→＋OQ→.∴OR→＝2OB→－OQ→.同理有2OA→＝OP→＋OQ→，∴OP→＝2OA→－OQ→.则PR→＝2OB→－OQ→－(2OA→－OQ→)＝2b－OQ→－2a＋OQ→＝2b－2a.。
高中数学 第2章 平面向量 2.5 向量的应用课后导练 苏教版必修4(2021年整理)
高中数学第2章平面向量2.5 向量的应用课后导练苏教版必修4 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第2章平面向量2.5 向量的应用课后导练苏教版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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高中数学第2章平面向量 2。
5 向量的应用课后导练苏教版必修4 基础达标1.若四边形满足+=0,·=0，则该四边形是（）A。
菱形 B.直角梯形 C.矩形 D.正方形解析：由AB+=0，得AB=，则AB∥DC,且AB=DC.又·=0 ⊥。
所以四边形ABCD为矩形。
答案:C2。
在△ABC中有下列命题，其中正确的是（）①-=②++=0③若(+)·（—）=0，则△ABC为等腰三角形④若·＞0,则△ABC为锐角三角形A.①② B。
①④ C.②③ D。
②③④解析：因AB—AC=CB，故①错误，去掉A、B选项，在C、D选项中只要验证④是否正确，当·AB>0,有∠A为锐角，但不能保证∠B与∠C是否为锐角.故④错误，选C.答案：C3.已知正方形ABCD的边长为1.设=a,=b, =c,则|a+b+c|等于（）A。
0 B。
3 C.2+2 D。
22解析：|a+b+c｜=2｜AC｜，｜AC｜=2.所以|a+b+c|=22.答案：D4.已知点A(x,5)关于点P（1，y）的对称点是B（-2，—3),则点（x,y）到原点的距离是( ）A.13B.15C.4D.17解析:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-.235,122y x从而x=4，y=1。
高中数学 第2章 平面向量 2.2 向量的线性运算知识导航 苏教版必修4(2021年整理)
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2。
2 向量的线性运算知识梳理一、向量加法1。
定义:如图2-2—1，在平面内任取一点A,作AB=a,BC=b，则向量AC叫做向量a与b的和，记作a+b，即a+b=AB+BC=AC.图2—2-1求两个向量和的运算，叫做向量的加法。
对于零向量与任意向量a，仍然有a+0=0+a=a。
2。
运算律(1)交换律：a+b=b+a。
（2）结合律：（a+b)+c=a+（b+c).二、向量减法与a长度相等且方向相反的向量，叫做a的相反向量,记作-a。
定义：求两个向量差的运算叫做向量的减法:a—b=a+(-b)，即向量a减去向量b相当于加上向量b的相反向量-b.三、向量数乘1。
定义：一般地,实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下:（1）|λa｜=｜λ｜｜a｜;(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同，当λ〈0时，λa的方向与a的方向相反；(3）当λ=0时,λa=0。
2.运算律设λ、μ是实数,则有:(1)λ(μa）=(λμ)a;（结合律）(2）（λ+μ）a=λa+μa;(第一分配律)(3）λ(a+b)=λa+λb。
（第二分配律）知识导学数能进行运算，向量是否也能进行运算呢?要学好本节内容，从数的加法启发我们，借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法,从而顺理成章地接受向量的加法定义。
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证明：设向量 OA ( a, b) ， OB (c, d ) ， ∴ | OA |
a 2 b 2 ， | OB | c 2 d 2 ，则 OA OB ac cd ．
2 2 2
又∵ (OA OB ) | OA | | OB | ， ∴ ( ac bd ) (a b )(c d ) ．
用心
爱心
专心
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平面向量在解题中的应用
向量作为一种重要的解题工具， 一直是高考的热点和重点内容， 向量的基础性和工具性一 直备受关注．本文通过一些例子来谈谈平面向量在解题中的应用． 一、用向量证明垂直
B 两点，自 A、 B 例 1．过抛物线 y 2 px( p 0) 的焦点 F 的直线与抛物线相交于 A、
2
证明：显然 F ( ∴ FC · FD p y1 y 2 p p 0 ．∴ FC FD ．∴ FC FD ，即 CFD 90 ．
2 2 2
说明：用向量垂直的充要条件处理解析几何中的垂直问题，可以化繁为简，使知识前后 联系，融汇贯通，从而提高解题质量． 二、用向量证明三点共线 例 2．在平行四边形 ABCD 中， M 是 AB 的中点， N 是 BD 上一点， BN 证： M 、 N 、 C 三点共线． 证明：设 AD a ， AB b ，则 MN 又∵ MC MB BC
5,1，b
则 f ( x) a·b |a|·|b|
5 1 6 6 ，
用心
爱心
专心
2
当且仅当 b= k a (k 0) 时取等号，
∴
x 5
6 x ， 1
∴ x 5 时， f x 有最大值为 6． 例 7．求函数 f ( x ) 2 sin xsin x cos x 的最大值． 解：∵ f ( x) 2 sin x 2 sin x cos x 1 cos 2 x sin 2 x ，
1 BD ．求 3
1 1 1 1 1 1 AB BD b a b (2 a b ) ． 2 3 3 2 3 6
1 1 b a (2 a b ) ， 2 2
∴ MC 3MN ．∴ MC ∥ MN ， ∴ M 、 N 、 C 三点共线． 说明：充分利用三点共线和两个向量共线（平行）的关系． 三、用向量证明不等式 例 3．试证不等式： ( ac bd ) (a b )(c d )
2
设向量 a 1,1 ，b sin 2 x, cos 2 x ， 则 f ( x) a·b 1 |a|·|b| 1
2 1，
∴函数 f ( x) 2 sin xsin x cos x 的最大值为 2 1 ． 说明：利用 a·b=|a|·|b| cos |a|·|b|，恰当设置向量，联想数量积的结构形式， 求和式的最值较为方便．
AB CD
| AB | | CD |
cos cos sin sin ，
即得 cos( ) cos cos sin sin ． 例 5．已知 a 1 b b 1 a 1 ，求证： a b 1 ．
2 2
2
2
证明： 设向量 AB ( a, 1 a ) ， CD ( 1 b , b) ， 且设向量 AB 与 CD 的夹角为 ，
AB (a, 1 a 2 ) ， CD ( 1 b 2 , b) 是解决本题的关键，本题也可以利用恒等变形或三
角代换等证法，但都不及引入向量，然后运用向量的数量积证明简便． 五、用向量求最值 例 6．求函数 f ( x) 解：设向量 a
5 x 6 x 的最大值及相应的 x 的值． x, 6 x ，
2 2 2 2 2
用心
爱心
专心
1
说明：本题结论亦称柯西不等式．等号只有在向量 OA 、 OB 共线时成立． 四、用向量证明等式 例 4．试证： cos( ) cos cos sin sin ． 证明：设向量 AB (cos , sin ) ， CD (cos , sin ) ， ∴ AB CD cos cos sin sin ． 设向量 AB 与 CD 的夹角为 ，则 cos cos( ) ． 由 cos
向准线作垂线，垂足分别为 C、 D ，求证： CFD 90 ．
p B 两点的纵坐标分别为 y1 , y 2 ，则 y1 y 2 p 2 ． ,0) ，同时设 A、 2 p p ∵ C ( , y1 ) ， D( , y 2 ) ，∴ FC ( p, y1 ) ， FD ( p, y 2 ) 2 2
2 2
∴ AB CD | AB | | CD | cos 1 ． 又∵ | AB || CD | 1 ， ∴ cos 1 ，即 0 ． ∴ AB CD ， ∴ a 1 b ，即 a b 两向量的数量积的坐标表示，由此构造出向量