24.3.4相似三角形的应用(2)
24.3.3相似三角形的性质(2)
A
E
C
新知讲解
2.设AD、A′D′是对应高， 由三角形面积计算公式，得
S ABC S A ' B ' C '
于是得到
1 BC AD 2 1 B ' C 'A ' D ' 2
BC AD B 'C ' A ' D '
【定理2】 相似三角形周长的比等于相似比 【定理3】 相似三角形面积的比等于相似比的平方
例题讲解
【例１】 已知⊿ABC∽⊿A′B′C′，它们的周长分别为60cm和72cm, 且AB=15cm, B′C′=24cm, 求BC, AC, A′B′, A′C′.
提示：已知两相似三角形的周长和边应用定理2即可解 决问题 答案：BC=20cm,AC=25cm , A′B′=18cm , A′C′=30cm
拓展应用
如图，矩形ABCD中，AE⊥BD于E,
S矩
=40cm2,
S ABE ∶ S DBA
=1∶5. A E B C D
求：AE的长.
收获体会（小结）
学生进行课堂小结
1．理解相似三角形的性质定理2、3，并会用于解 决问题 2．在先猜想再证明的教学过程中，学生领会从特殊到一 般的转化，培养学生的合情推理能力和初步的演绎推理 能力 3．能综合运用相似三角形的性质定理解决较复杂的 问题，建立必要的自信心
情境导入
【问题】 （1）已知等边⊿ABC与等边⊿A′B′C′相似，且相 似比为2，求它们的周长的比和面积的比? （2）求相似比等于k的两等腰直角三角形的周长比和 面积比? （3）根据上面两题的结果，猜想：两相似三角形的 周长比与面积比与相似比的关系
24.3.4 相似三角形的应用 课件1
O’
A
A’
B’
B
例5.小明在某一时刻测得1m的杆子在阳光 下的影子长为2m,他想测量电线杆AB的 高度,但其影子恰好落在土坡的坡面CD 和地面BC上,量得CD=2m,BC=10m,CD 与地面成45°,求线=5+ 2
F
B
C E
练习：小丽利用影长测量学校旗杆的高度.由于 旗杆靠近一个建筑物,在某一时刻旗杆影子中 的一部分映在建筑物的墙上.小丽测得旗杆AB 在地面上的影长BC为20m,在墙上的影长CD 为4m,同时又测得竖立于地面的1m长的标杆 影长为0.8m,请帮助小丽求出旗杆的高度.
2.在某一刻,有人测得一高为1.8米的竹竿
的影长为3米,某一高楼的影长为60米,那 36 么高楼的高度是多少米?
3.根据图中尺寸（AB∥A’B’），
那么物像长y（A’B’的长） B 与物长 x（AB的长）之间 x 函数关系的图象大致是 (C) A y
o
(A)
A’ 36
o
12 y
B’
y x
o
(B)
y x
相似三角形 的应用
在阳光下，在同一时刻，物体的高度与 物体的影长存在某种关系：物体的高度越高， 物体的影长就越长. 在平行光线的照射下，不同物体的物高 与影长成比例 .
光线在直线传播过程中，遇到不透明的 物体，在这个物体的后面光线不能到达的区域 便产生影。
光屏
光线
光线
1 .一根1.5米长的标杆直立在水平地面上, 它在阳光下的影长为2.1米；此时一棵水 杉树的影长为10.5米,这棵水杉树高为(A ) A.7.5米 B.8米 C.14.7米 D.15.75米
o
(C)
y
o
(D)
24.3 相似三角形的性质 课件 (沪科版九年上册)3
内容分析
教学重点 掌握三角形一边的平行线的判定定理. 教学难点 三角形一边的平行线的判定定理的探索及 证明.
设计意图
通过三个问题的思考可使学生理解两个多边形相似条件的苛 刻性，对后面相似三角形判定的探索充满期待. 通过阅读，观察，讲解，使学生基本了解相似三角形的定义、 表示方法、对应关系、相似比. 紧接着提出问题，激发学生学习数学的兴趣，增强学生学习 数学的信心，才能真正掌握相似三角形中的对应关系和相似比 的概念. 通过让学生回忆三角形全等的知识，引导学生类比猜想两个 三角形相似的判定也有捷径可走，即不需要所有的对应角相等， 所有的对应边成比例也可相似.培养和提高学生对类比数学思想 的认识和理解.
A
AD AE FC AD , . ∴ AB AC BC AB
因为四边形DFCE是平行四边形， ∴DE=FC，
D
E C F
DE AD . BC AB
B
AD AE DE . AB AC BC
又∵∠A=∠A,∠ADE=∠B,∠AED=∠C， ∴△ADE∽△ABC.
五.定理归纳
A
D B A
3 2 k1 = ， k2 = 简析： 2 3
k1 k1 ≠1
归纳
若将△ABC∽△A′B′C′的相似比记为 △A′B′C′∽△ABC的相似比记为 ，一般 k2 ，k1 =k1
1 k2 .当且仅当这两个三角形全等时，才有 k1=
k2 =1.
因此，三角形全等是三角形相似的特例.
设计意图
将探究的过程细化分解是为了降低难度，使 学生更容易自主探究，由浅入深，使探究的过程充 满乐趣，增强了学生探究的信心.通过系列的思考 学生找到问题的关键所在，突破作辅助线的难关， 最终解决问题.提问过程中学生自主分析已知条件， 找出问题的瓶颈所在，适时渗透转化的数学思想. 培养学生运用数学语言表述问题的能力，规范 学生证明的基本步骤和书写格式
23.3.4相似三角形的应用
我们主要是应用相似三角形的性质来解 决实际问题。 在实际生活中，请举出哪些地方用到了 相似三角形？
例如：在同一时刻人与树和各自的影子作为两条边 形成的三角形。 例如：物理学的小孔呈像实验中，实物与影子同通 过小孔的光线所连成的三角形。
·
在同一时刻物体的高度与它的影长成 正比例.在某一时刻,有人测得一高为 1.8米的竹竿的影长为3米,某一高楼的 影长为60米,那么高楼的高度是多少米? 解：设楼的高度为x米，由题意得；
F
E D
G A C
B
怎么办？
方法2：利用标杆.
测量数据：身高AD、标杆BE、旗杆与标杆 之间距离BC、人与标杆间距离AB. 找相似：△AGD∽△BGE. △AGD∽△CGF
AD AG AD AG 找比例： , BE BG CF CG
E D G
F
A
B
C
方法3：利用镜子的反射.
B D
E
A
C
怎么办？
A C B D E
F G
3.如图，有一路灯杆AB（底部B不能直 接到达），在灯光下，小明在点D处测得自己 的影长DF=3m,沿BD方向到达点G处再测得自 己的影长GH=4cm,如果小明的身高为1.6m， GF=2m. A 你能求出路灯杆AB的高度吗？
M C
H
G F
D
B
2.如图，小东用长为3.2m的竹竿做测量工具测量 学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶 端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿 与这一点相距8m、与旗杆相距22m，则旗杆的 高为（ A ） A．12m B．10m C．8m D．7m
3.如图，丁轩同学在晚上由路灯走向路灯，当 他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接 触到路灯的底部，当他向前再步行20m到达 点Q时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路 灯的底部，已知丁轩同学的身高是1.5m，两 个路灯的高度都是9m，则两路灯之间的距离 是（ D ） A．24m B．25m C．28m D．30m
24.3.2相似三角形判定2 学案
24.3.2《相似三角形的判定》（2）教学案学习目标：1、两个三角形相似的判定方法2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
2、两个三角形相似的判定方法3：如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似． 复习导学：判断两个三角形相似有哪几种方法？有两种方法（1） ，（2） 。
学习研讨：1、观察课本57页图24.3.6，完成填空。
然通过量角或量线段计算之后，得出△ADE ∽△ABC 。
分析题目条件：（1）有一个公共角∠A,(2)AD=31AB, AE=31AC,结论：△ADE ∽△ABC探 索： 如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似吗？2、总结另一个判断相似的方法：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．符号语言：∵,A B A C A A A B A C '=∠=∠''''，∴△ABC ∽△A B C '''.3、课本例题。
例3 判断图中△AEB 和△FEC 是否相似？ 证明：注意：自己的书写，体现思考问题的逻辑性。
练习：下列各组条件中，不能确定△ABC ∽△A B C '''的是 .⑴∠A ＝∠A ′＝80°，∠B ＝40°，∠C ′＝60°；⑵∠A ＝∠A ′，AB ＝12，AC ＝15，A ′B ′＝16，A ′C ′＝20； ⑶∠A ＝∠A ′，AB ＝15，BC ＝10，A ′B ′＝18，B ′C ′＝12.4、探 索：如果两个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似吗？完成下面的做一做，再讨论总结判断另一个相似的方法。
5、课本58页做一做我们可以发现这两个三角形相似．即：如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似． 例4 在△ABC 和△A ′B ′C ′中，已知：AB ＝6 cm ， BC ＝8 cm ，AC ＝10 cm ，A ′B ′＝18 cm ，B ′C ′＝24 cm ， A ′C ′＝30 cm ．试判定△ABC 与△A ′B ′C ′是否相似，并说明理由．（小组讨论完成）证明:达标练习: 1.如图，若B CA B A C C D A CA D==，则△ABC ∽△ ，∠BAC ＝∠ ，∠ADC ＝∠ .2.如图，A B B C A C A DD EA E==，则△ABC ∽△ ，∠BAD ＝∠ .第1题图： 第二题图：3、依据下列各组条件,判定△ABC 和△A ′B ′C ′是否相似,并说明理由. （1）AB=10cm,BC=8cm,AC=16cm, A ′B ′=16cm, B ′C ′=12.8cm, A ′C ′=25.6cm;（2）∠A=80°, ∠C=60°, ∠A ′=80°, ∠B ′=40°;（3）∠A=40°,AB=8,AC=15, ∠A ′=40°, A ′B ′=16, A ′C ′=30.4、下列判断两个三角形相似，你认为错误的个数有（ ） （1）全等三角形一定是相似三角形。
第二十四章 相似三角形
第二十四章 相似三角形★ 24.1 【放缩与相似形】要点归纳:1. 图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。
将一个图形放大或缩小后，就得到与它形状相同的图形，我们把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者说是相似形。
2. 如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。
当两个相似的多边形是全等形时，它们的对应边的长度的比值都是1。
观察下面的图片提问：图中的两面国旗，大小、形状有什么特点？图中的大五星与小五星，大小、形状有什么特点？ 1.相似形的定义我们曾学习过形状相同，大小也相同的图形是全等形。
而日常生活中，还可以看到许多相这样形状相同、大小不一定相同的图形。
对于下图的三个四边形，缩小四边形ABCD ，就得到四边形A 1B 1C 1D 1 ；放大四边形ABCD ，就得到四边形A 2B 2C 2D 2 。
像这样对图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。
提问：四边形A 1B 1C 1D 1和四边形A 2B 2C 2D 2大小和形状是什么关系？提问：将一个图形放大或缩小后，得到的图形与原图形的形状相同吗？ 我们把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者说是相似形。
提问：如何用放缩的观点来描述两个相似形呢？ 提问：相似的图形，其大小与形状有什么特点呢？ 练习：请你举出日常生活中图形放大或缩小的实例。
2.相似形的性质如图，△A 1B 1C 1是△ABC 通过放大后得到的图形。
提问：这两个图形是相似形吗？提问：请对这两个三角形的三个内角与三条边的大小进行观察和测量。
提问：这两个三角形的三个内角分别有怎样的大小关系？ （∠A 1与∠A 、∠B 1与∠B 、∠C 1与∠C 对应相等） 三条边的长度的比值间有怎样的大小关系？ （111111A B B C A C AB BC AC ==的长度的长度的长度的长度的长度的长度，即这两个三角形的边的长度对应成比例）可见，△ABC 放大为△A 1B 1C 1后，角的大小不变，而各边“同样程度”的放大了。
华师大版数学九上24.3《相似三角形》word教案2
27.2.1 相似三角形的判定（一）一、教学目标1．经历两个三角形相似的探索过程，体验分析归纳得出数学结论的过程，进一步发展学生的探究、交流能力．2．会运用“两个三角形相似的判定条件”和“三角形相似的预备定理”解决简单的问题．二、重点、难点1．重点：相似三角形的定义与三角形相似的预备定理．2．难点：三角形相似的预备定理的应用．三、课堂引入1．复习引入（1）相似多边形的主要特征是什么？（2）在相似多边形中，最简单的就是相似三角形．在△ABC 与△A ′B ′C ′中，如果∠A=∠A ′, ∠B=∠B ′, ∠C=∠C ′, 且k A C CA C B BC B A AB =''=''=''． 我们就说△ABC 与△A ′B ′C ′相似，记作△ABC ∽△A ′B ′C ′，k 就是它们的相似比．反之如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，则有∠A=∠A ′, ∠B=∠B ′, ∠C=∠C ′, 且AC CA C B BC B A AB ''=''=''． （3）问题：如果k=1，这两个三角形有怎样的关系？2．教材P42的思考，并引导学生探索与证明．3．【归纳】三角形相似的预备定理 平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．四、例题讲解例1（补充）如图△ABC ∽△DCA ，AD ∥BC ，∠B=∠DCA ．（1）写出对应边的比例式；（2）写出所有相等的角；（3）若AB=10,BC=12,CA=6．求AD 、DC 的长．分析：可类比全等三角形对应边、对应角的关系来寻找相似三角形中的对应元素．对于（3）可由相似三角形对应边的比相等求出AD 与DC 的长．解：略（AD=3，DC=5）例2（补充）如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD=EC ，DB=1cm ，AE=4cm ，BC=5cm ，求DE 的长．分析：由DE ∥BC ，可得△ADE ∽△ABC ，再由相似三角形的性质，有AC AE AB AD =，又由AD=EC 可求出AD 的长，再根据ABAD BC DE =求出DE 的长． 解：略（310DE =）． 五、课堂练习1．（选择）下列各组三角形一定相似的是（ ）A ．两个直角三角形B ．两个钝角三角形C ．两个等腰三角形D ．两个等边三角形2．（选择）如图，DE ∥BC ，EF ∥AB ，则图中相似三角形一共有（ ）A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对3．如图，在□ABCD 中，EF ∥AB ，DE:EA=2:3，EF=4，求CD 的长． （CD= 10）六、作业1．如图，△ABC ∽△AED, 其中DE ∥BC ，写出对应边的比例式．2．如图，△ABC ∽△AED ，其中∠ADE=∠B ，写出对应边的比例式．3．如图，DE ∥BC ，（1）如果AD=2，DB=3，求DE:BC 的值； （2）如果AD=8，DB=12，AC=15，DE=7，求AE 和BC 的长．。
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合峪初中高校课堂 九年级数学（上册）导学案
第____页
课题：24.3.4相似三角形的应用2 累计课时（ ）
授课班级_______ 授课时间_______ 授课教师_______ 审核人_______
【学习目标】
1、认识现实生活中物体的相似，能利用相似三角形的性质解决一些简单的实际问题。
2、通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，培养分析问题、解决问题的能力．
【学习重难点】
【学习过程】
一、 自主学习 感受新知
1、第一节我们学习了利用相似三角形的知识来计算那些不能直接测量到的物体的高度和宽度，
认识到数学知识在实践中是应用广泛的，那么这节课，我们接着来学相似三角形的另一个应用：
等分线段。
2、请同学们画出过直线外一点C且平行于直线AB的直线CD。
二、 自主交流 探究新知
将某件物品等分是生活中经常会遇到的事情．例如将一根绳子平均分成五段，从数学上看，
就是将一条线段五等分．
你知道下面这个简单的方法吗？如图1，将这条线段画在你的练习本上，使它恰好跨过六
条横线．现在，你看到这条线段被分成了相等的五小段．
如果你没有练习本，那也没有关系．让我们按照上面的想法，用三角尺完成等分线段这件
事情．
图1
图2
如图2，过线段AB的一个端点A任意画一条射线AP，在AP上依次取五段相等的线段1AA、
合峪初中高校课堂 九年级数学（上册）导学案
第____页
21AA、32AA、43AA、54AA，连结5BA，再过1A、2A、3A、4
A
分别画5BA的平行线，这
些平行线就恰好将线段AB平均分成五等分．
你想知道其中的原因吗？想想相似图形的特征与性质，你就会明白了．
现在，你会画了吗？想想，要把线段AB分成2：3的两部分，能画吗？
巩固练习：利用刚才学的方法把线段AB七等分。
三、 自主应用 巩固新知
1．已知一根3米的标杆垂直于地面，同时测得其影长为1．8米，小明为了测量自己的身高，
请同学量得自己的影长为1．06米，则小明的身高为_________米．
2．如图，小明在测量学校旗杆高度时，将3米长标杆插在离旗杆8米的地方，已知旗杆高度为
6米，小明眼部以下距地面1．5米，这时小明应站在离旗杆_________米处，可以看到标杆
顶端与旗杆顶端重合．
3．如图，铁道口的栏杆短臂长1米，长臂长16米，当短臂的端点下降0．5米时，长臂端点应
升高_________米．
4．小华做小孔成像实验(如图所示)，已知蜡烛与成像板之间的距离为15cm，则蜡烛与成像板
之间的小孔纸板应放在离蜡烛________cm的地方时，蜡烛焰AB是像A′B′的一半．
5．如图所示，有一池塘，要测量两端A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和
B
的点C连结AC并延长到D，使CD=12CA，连结BC并延长到E．使CE=12CB，连结ED，如果
量出DE的长为25 m，那么池塘宽AB为_________m．
6．如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，CE⊥AB，垂足为E，BG⊥AP，垂足为G，求证：
合峪初中高校课堂 九年级数学（上册）导学案
第____页
CE2=PE·DE．
7、如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，BG⊥AC交CD于点E，垂足是G，求
证：BC2=CECD．
四、 知识集锦
五、 堂清任务（中考链接）
1、如图，△ABC中，DE∥BC，BC＝6，梯形DBCE面积是△ADE面积的 3倍，求DE的长．
【课后反思】
（第1题）