2018届高中数学苏教版 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 单元测试 Word版 含答案
导学案003(逻辑联结词、全称量词与存在量词)
逻辑联结词、全称量词与存在量词考纲要求1.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义．2.理解全称量词与存在量词的意义．3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.考情分析1.带有逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题的判断和其否定的判断，全称命题、特称命题的否定及判断是考查的重点．2.多以选择题、填空题的形式出现，而考查的形式是把其与其他知识结合，在知识的交汇处命题，都是中档题.教学过程基础梳理一、简单的逻辑联结词1．用联结词“且”联结命题p和命题q，记作，读作“”．2．用联结词“或”联结命题p和命题q，记作，读作“”．3．对一个命题p全盘否定记作，读作“非p”或“p的否定”．4．命题p∧q，p∨q，非p的真假判断p∧q中p、q有一假为，p∨q有一真为，p与非p必定是．二、全称量词与存在量词1．全称量词与全称命题(1)短语“”、“”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示．(2)含有的命题，叫做全称命题．(3)全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为：，读作“”．2．存在量词与特称命题(1)短语“”、“”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示．(2)含有的命题，叫做特称命题．(3)特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为：，读作“”．三、含有一个量词的命题的否定命题命题的否定∀x∈M，p(x)∃x0∈M，p(x0)双基自测1．(2011·北京高考)若p是真命题，q是假命题，则()A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题C．￢p是真命题D．￢q是真命题2．(教材习题改编)已知命题p：3≥3；q：3>4，则下列选项正确的是()A．p∨q为假，p∧q为假，￢p为真B．p∨q为真，p∧q为假，￢p为真C．p∨q为假，p∧q为假，￢p为假D．p∨q为真，p∧q为假，￢p为假3．(教材习题改编)若p：∀x∈R，sin x≤1，则()A．￢p：∃x∈R，sin x>1B．￢p：∀x∈R，sin x>1C．￢p：∃x∈R，sin x≥1D．￢p：∀x∈R，sin x≥14．(2011·安徽高考)命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是________．5．命题“∃x∈R,2x2－3ax＋9<0”为假命题，则实数a的取值范围为________．典例分析考点一、含有逻辑联结词命题真假的判断【例1】(2010·新课标全国)已知命题p1：函数y＝2x－2－x在R上为增函数，p2：函数y＝2x＋2－x在R上为减函数，则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(¬p1)∨p2和q4：p1∧(¬p2)中，真命题是( )．A．q1，q3B．q2，q3C．q1，q4D．q2，q4变式1.(2012·东北师大附中模拟)已知命题p：∃x∈R，使sin x＝52；命题q：∀x∈R，都有x2＋x＋1>0.下列结论中正确的是（）A．命题“p∧q”是真命题B．命题“p∧￢q”是真命题C．命题“￢p∧q”是真命题D．命题“￢p∨￢q”是假命题：正确理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义是关键，解题时应根据组成各个复合命题的语句中所出现的逻辑联结词进行命题结构与真假的判断．其步骤为：①确定复合命题的构成形式；②判断其中简单命题的真假；③判断复合命题的真假．考点二、全称命题与特称命题真假的判断[例2] (2010·天津高考)下列命题中，真命题是 ( )A．∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函数B．∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数C．∀m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是偶函数D．∀m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是奇函数变式2. (2012·湖南十二校第二次联考)下列命题中的真命题是()A．∃x∈R，使得sin x cos x＝3 5B．∃x∈(－∞，0)，2x>1C．∀x∈R，x2≥x－1 D．∀x∈(0，π)，sin x>cos x：1．要判断一个全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对限定集合M中的每一个元素x证明p(x)成立；如果在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)不成立，那么这个全称命题就是假命题(即通常所说的举出一个反例)．2．要判定一个特称命题“∃x0∈M，p(x0)”是真命题，只要在限定的集合M 中至少找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可．否则这一特称命题就是假命题. 考点三、全称命题与特称命题的否定[例3] (2011·安徽高考)命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定( )A．所有不能被2整除的整数都是偶数B．所有能被2整除的整数都不是偶数C．存在一个不能被2整除的整数是偶数D．存在一个能被2整除的整数不是偶数变式3：若命题改为“所有能被3整除的整数都不是偶数”试写出其命题的否定．：1．弄清命题是全称命题还是特称命题是写出命题否定的前提．2．注意命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定．3．要判断“￢p”命题的真假，可以直接判断，也可以判断“p”的真假，p与￢p的真假相反．4．常见词语的否定形式有：原语句 是 都是 >至少有一个至多有一个对任意x ∈A 使p (x )真否定形式 不是 不都是 ≤ 一个也没有至少有两个存在x 0∈A 使p (x 0)假考点四、根据命题的真假，求参数的取值范围【例3】►(2012·浙大附中月考)已知命题p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负实数根；命题q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实数根．若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求m 的取值范围．变式4：已知a ＞0，设命题p ：函数y ＝a x 在R 上单调递增；命题q ：不等式ax 2－ax ＋1＞0对∀x ∈R 恒成立．若p 且q 为假，p 或q 为真，求a 的取值范围．含有逻辑联结词的命题要先确定构成命题的(一个或两个)命题的真假，求出此时参数成立的条件，再求出含逻辑联结词的命题成立的条件．[考题范例](2012·潍坊模拟)“若x ，y ∈R 且x 2＋y 2＝0，则x ，y 全为0”的否命题是( )A ．若x ，y ∈R 且x 2＋y 2≠0，则x ，y 全不为0B ．若x ，y ∈R 且x 2＋y 2≠0，则x ，y 不全为0C ．若x ，y ∈R 且x ，y 全为0，则x 2＋y 2＝0D ．若x ，y ∈R 且x ，y 不全为0，则x 2＋y 2≠0[失误展板]错解：原命题的否命题为“若x ，y ∈R 且x 2＋y 2≠0，则x ，y 全不为0”，故选A.错因：“x ，y 全为0”的意义是“x ＝0且y ＝0”，其否定为“x ≠0或y ≠0”，也即“x ，y 不全为0”，错解中的错误是对关键词的否定不准确所致．[正确解答]原命题的否命题为“若x ，y ∈R 且x 2＋y 2≠0，则x ，y 不全为0”． 答案：B一个关系逻辑联结词与集合的关系“或、且、非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“并、交、补”，因此，常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题． 两类否定1．含有一个量词的命题的否定 (1)全称命题的否定是特称命题全称命题p ：∀x ∈M ，p (x )，它的否定¬p：∃x 0∈M ，¬p (x 0)． (2)特称命题的否定是全称命题特称命题p ：∃x 0∈M ，p (x 0)，它的否定¬p：∀x ∈M ，¬p (x )． 2．复合命题的否定(1)綈(p ∧q )⇔(¬p )∨(¬q )； (2)綈(p ∨q )⇔(¬p )∧(¬q )． 三条规律(1)对于“p ∧q ”命题：一假则假； (2)对“p ∨q ”命题：一真则真；(3)对“¬p”命题：与“p ”命题真假相反．本节检测1．已知,m n 是不同的直线，,αβ是不重合的平面．命题://,,,p αβm αn β⊂⊂若则//m n 命题:,,//,q m αn βm n ⊥⊥若则//αβ下列命题中，（1）p q ∨；（2）p q ∧；（3）p q ∨⌝；（4）p q ⌝∧真命题的序号是___________2．已知命题5:,sin 2p x R x ∃∈=；命题2:,10q x R x x ∀∈++>都有给出下列结论：（1）p q ∧是真命题（2）p q ∧⌝是假命题（3）p q ⌝∨是真命题（4）p q ⌝∨⌝是假命题。
高三数学一轮复习优质学案：§1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
§1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词．(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断2.全称量词和存在量词(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示．(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示．3．全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定知识拓展1．含有逻辑联结词的命题真假的判断规律(1)p∨q：p，q中有一个为真，则p∨q为真，即有真为真．(2)p∧q：p，q中有一个为假，则p∧q为假，即有假即假．(3)綈p：与p的真假相反，即一真一假，真假相反．2．含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”．3．命题的否定和否命题的区别：命题“若p，则q”的否定是“若p，则綈q”，否命题是“若綈p，则綈q”．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)命题“3≥2”是真命题．(√)(2)命题p和綈p不可能都是真命题．(√)(3)若命题p，q中至少有一个是真命题，则p∨q是真命题．(√)(4)“全等三角形的面积相等”是特称命题．(×)(5)命题綈(p∧q)是假命题，则命题p，q中至少有一个是真命题．(×)题组二教材改编2．『P18B组』已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题綈p，綈q，p∨q，p∧q中真命题的个数为()A．1 B．2C．3 D．4答案 B解析p和q显然都是真命题，所以綈p，綈q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题．3．『P28T6(4)』命题“正方形都是矩形”的否定是____________________．答案存在一个正方形，这个正方形不是矩形题组三易错自纠4．已知命题p，q，“綈p为真”是“p∧q为假”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析由綈p为真知，p为假，可得p∧q为假；反之，若p∧q为假，则可能是p真q假，从而綈p为假，故“綈p为真”是“p∧q为假”的充分不必要条件，故选A. 5．(2017·贵阳调研)下列命题中的假命题是()A．∃x0∈R，lg x0＝1 B．∃x0∈R，sin x0＝0C．∀x∈R，x3＞0 D．∀x∈R，2x＞0答案 C解析当x＝10时，lg 10＝1，则A为真命题；当x＝0时，sin 0＝0，则B为真命题；当x＜0时，x3＜0，则C为假命题；由指数函数的性质知，∀x∈R，2x＞0，则D为真命题．故选C.6．已知命题p：∀x∈R，x2－a≥0；命题p：∃x0∈R，x20＋2ax0＋2－a＝0.若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围为__________．答案(－∞，－2』解析由已知条件可知p和q均为真命题，由命题p为真得a≤0，由命题q为真得Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a≤－2或a≥1，所以a≤－2.题型一含有逻辑联结词的命题的真假判断1．(2018·济南调研)设a，b，c是非零向量．已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中的真命题是()A．p∨q B．p∧qC．(綈p)∧(綈q) D．p∨(綈q)答案 A解析如图所示，若a＝A1A→，b＝AB→，c＝B1B→，则a·c≠0，命题p为假命题；显然命题q为真命题，所以p∨q 为真命题．故选A.2．(2017·山东)已知命题p：∀x＞0，ln(x＋1)＞0；命题q：若a＞b，则a2＞b2.下列命题为真命题的是()A．p∧q B．p∧(綈q)C．(綈p)∧q D．(綈p)∧(綈q)答案 B解析∵x＞0，∴x＋1＞1，∴ln(x＋1)＞ln 1＝0.∴命题p为真命题，∴綈p为假命题．∵a＞b，取a＝1，b＝－2，而12＝1，(－2)2＝4，此时a2＜b2，∴命题q为假命题，∴綈q为真命题．∴p∧q为假命题，p∧(綈q)为真命题，(綈p)∧q为假命题，(綈p)∧(綈q)为假命题．故选B.3．已知命题p：若平面α⊥平面β，平面γ⊥平面β，则有平面α∥平面γ.命题q：在空间中，对于三条不同的直线a ，b ，c ，若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c .对以上两个命题，有以下命题： ①p ∧q 为真；②p ∨q 为假；③p ∨q 为真；④(綈p )∨(綈q )为假． 其中，正确的是________．(填序号) 答案 ②解析 命题p 是假命题，这是因为α与γ也可能相交；命题q 也是假命题，这两条直线也可能异面，相交．思维升华 “p ∨q ”“p ∧q ”“綈p ”等形式命题真假的判断步骤 (1)确定命题的构成形式； (2)判断其中命题p 、q 的真假；(3)确定“p ∧q ”“p ∨q ”“綈p ”等形式命题的真假． 题型二 含有一个量词的命题命题点1 全称命题、特称命题的真假 典例 下列四个命题：p 1：∃x 0∈(0，＋∞)，0011()()23x x <； p 2：∃x 0∈(0,1)，101023log log x x >；p 3：∀x ∈(0，＋∞)，⎝⎛⎭⎫12x＞12log x ；p 4：∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，13，⎝⎛⎭⎫12x ＜13log x . 其中真命题是( ) A ．p 1，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 2，p 3 D ．p 2，p 4答案 D解析 对于p 1，当x 0∈(0，＋∞)时，总有0011()()23x x >成立，故p 1是假命题；对于p 2，当x 0＝12时，有1＝121log 2＝131log 3＞131log 2成立，故p 2是真命题；对于p 3，结合指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x与对数函数y ＝12log x 在(0，＋∞)上的图象，可以判断p 3是假命题；对于p 4，结合指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 与对数函数y ＝13log x 在⎝⎛⎭⎫0，13上的图象，可以判断p 4是真命题．命题点2 含一个量词的命题的否定典例 (1)命题“∀x ∈R ，⎝⎛⎭⎫13x＞0”的否定是( ) A ．∃x 0∈R ，01()3x ＜0 B ．∀x ∈R ，⎝⎛⎭⎫13x≤0 C ．∀x ∈R ，⎝⎛⎭⎫13x ＜0 D ．∃x 0∈R ，01()3x ≤0答案 D解析 全称命题的否定是特称命题，“>”的否定是“≤”．(2)(2017·河北五个一名校联考)命题“∃x 0∈R ，1＜f (x 0)≤2”的否定形式是( ) A ．∀x ∈R ，1＜f (x )≤2 B ．∃x 0∈R ，1＜f (x 0)≤2 C ．∃x 0∈R ，f (x 0)≤1或f (x 0)＞2 D ．∀x ∈R ，f (x )≤1或f (x )＞2 答案 D解析 特称命题的否定是全称命题，原命题的否定形式为“∀x ∈R ，f (x )≤1或f (x )＞2”． 思维升华 (1)判定全称命题“∀x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每一个元素x ，证明p (x )成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立． (2)对全(特)称命题进行否定的方法①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词； ②对原命题的结论进行否定．跟踪训练 (1)下列命题是假命题的是( ) A ．∃α，β∈R ，使cos(α＋β)＝cos α＋cos β B ．∀φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数C ．∃x 0∈R ，使x 30＋ax 20＋bx 0＋c ＝0(a ，b ，c ∈R 且为常数)D ．∀a >0，函数f (x )＝ln 2x ＋ln x －a 有零点 答案 B解析 取α＝π2，β＝－π4，cos(α＋β)＝cos α＋cos β，A 正确；取φ＝π2，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝cos 2x 是偶函数，B 错误； 对于三次函数y ＝f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，当x →－∞时，y →－∞，当x →＋∞时，y →＋∞，又f (x )在R 上为连续函数，故∃x 0∈R ，使x 30＋ax 20＋bx 0＋c ＝0，C 正确；当f (x )＝0时，ln 2x ＋ln x －a ＝0，则有a ＝ln 2x ＋ln x ＝⎝⎛⎭⎫ln x ＋122－14≥－14，所以∀a >0，函数f (x )＝ln 2x ＋ln x －a 有零点，D 正确，综上可知，选B.(2)(2017·福州质检)已知命题p ：“∃x 0∈R ，0e x －x 0－1≤0”，则綈p 为( ) A ．∃x 0∈R ，0e x －x 0－1≥0 B ．∃x 0∈R ，0e x －x 0－1>0 C ．∀x ∈R ，e x －x －1>0 D ．∀x ∈R ，e x －x －1≥0 答案 C解析 根据全称命题与特称命题的否定关系，可得綈p 为“∀x ∈R ，e x －x －1>0”，故选C.题型三 含参命题中参数的取值范围典例 (1)已知命题p ：关于x 的方程x 2－ax ＋4＝0有实根；命题q ：关于x 的函数y ＝2x 2＋ax ＋4在『3，＋∞)上是增函数，若p ∧q 是真命题，则实数a 的取值范围是________________． 答案 『－12，－4』∪『4，＋∞)解析 若命题p 是真命题，则Δ＝a 2－16≥0， 即a ≤－4或a ≥4；若命题q 是真命题，则－a4≤3，即a ≥－12.∵p ∧q 是真命题，∴p ，q 均为真，∴a 的取值范围是『－12，－4』∪『4，＋∞)．(2)已知f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x－m ，若对∀x 1∈『0,3』，∃x 2∈『1,2』，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________________． 答案 ⎣⎡⎭⎫14，＋∞ 解析 当x ∈『0,3』时，f (x )min ＝f (0)＝0，当x ∈『1,2』时， g (x )min ＝g (2)＝14－m ，由f (x )min ≥g (x )min ，得0≥14－m ，所以m ≥14.引申探究本例(2)中，若将“∃x 2∈『1,2』”改为“∀x 2∈『1,2』”，其他条件不变，则实数m 的取值范围是___________． 答案 ⎣⎡⎭⎫12，＋∞解析 当x ∈『1,2』时，g (x )max ＝g (1)＝12－m ，由f (x )min ≥g (x )max ，得0≥12－m ，∴m ≥12.思维升华 (1)已知含逻辑联结词的命题的真假，可根据每个命题的真假，利用集合的运算求解参数的取值范围．(2)对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决．跟踪训练 (1)已知命题“∃x 0∈R ，使2x 20＋(a －1)x 0＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,3)C ．(－3，＋∞)D ．(－3,1)答案 B解析 原命题的否定为∀x ∈R ，2x 2＋(a －1)x ＋12＞0，由题意知，其为真命题，即Δ＝(a －1)2－4×2×12＜0，则－2＜a －1＜2，即－1＜a ＜3. (2)(2017·洛阳模拟)已知p ：∀x ∈⎣⎡⎦⎤14，12，2x <m (x 2＋1)，q ：函数f (x )＝4x ＋2x ＋1＋m －1存在零点，若“p 且q ”为真命题，则实数m 的取值范围是__________．答案 ⎝⎛⎭⎫45，1解析 由2x <m (x 2＋1)，可得m >2x x 2＋1， 又x ∈⎣⎡⎦⎤14，12时，⎝ ⎛⎭⎪⎫2x x 2＋1max ＝45， 故当p 为真时，m >45； 函数f (x )＝4x ＋2x ＋1＋m －1＝(2x ＋1)2＋m －2，令f (x )＝0，得2x ＝2－m －1，若f (x )存在零点， 则2－m －1>0，解得m <1， 故当q 为真时，m <1.若“p 且q ”为真命题，则实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫45，1.常用逻辑用语考点分析 有关四种命题及其真假判断、充分必要条件的判断或求参数的取值范围、量词等问题几乎在每年高考中都会出现，多与函数、数列、立体几何、解析几何等知识相结合，难度中等偏下．解决这类问题应熟练把握各类知识的内在联系．一、命题的真假判断典例1 (1)(2017·佛山模拟)已知a ，b 都是实数，那么“a ＞b ”是“ln a ＞ln b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 由ln a ＞ln b ⇒a ＞b ＞0⇒a ＞b ，故必要性成立．当a ＝1，b ＝0时，满足a ＞b ，但ln b 无意义，所以ln a ＞ln b 不成立，故充分性不成立．(2)(2017·江西红色七校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ＜0，m －x 2，x ≥0，给出下列两个命题：命题p ：∃m ∈(－∞，0)，方程f (x )＝0有解，命题q ：若m ＝19，则f (f (－1))＝0，则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．(綈p )∧qC ．p ∧(綈q )D ．(綈p )∧(綈q ) 答案 B解析 因为3x ＞0，当m ＜0时，m －x 2＜0，所以命题p 为假命题；当m ＝19时，因为f (－1)＝3－1＝13， 所以f (f (－1))＝f ⎝⎛⎭⎫13＝19－⎝⎛⎭⎫132＝0，所以命题q 为真命题，逐项检验可知，只有(綈p )∧q 为真命题，故选B.二、充要条件的判断典例2 (1)(2017·湖南五市十校联考)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝Aq n ＋B (q ≠0)，则“A ＝－B ”是“数列{a n }是等比数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 若A ＝B ＝0，则S n ＝0，数列{a n }不是等比数列；若数列{a n }是等比数列，则由a 1＝Aq＋B ，a 2＝Aq 2－Aq ，a 3＝Aq 3－Aq 2及a 3a 2＝a 2a 1，得A ＝－B ，故选B. (2)(2017·湖北七市联考)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2(r ＞0)．设p ：0＜r ＜3，q ：圆C 上至多有2个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2的圆心(1,0)到直线x －3y ＋3＝0的距离d ＝|1－3×0＋3|2＝2.当r ∈(0,1)时，直线与圆相离，圆C 上没有到直线的距离为1的点；当r ＝1时，直线与圆相离，圆C 上只有1个点到直线的距离为1；当r ∈(1,2)时，直线与圆相离，圆C 上有2个点到直线的距离为1；当r ＝2时，直线与圆相切，圆C 上有2个点到直线的距离为1；当r ∈(2,3)时，直线与圆相交，圆C 上有2个点到直线的距离为1.综上，当r ∈(0,3)时，圆C 上至多有2个点到直线的距离为1，又由圆C 上至多有2个点到直线的距离为1，可得0＜r ＜3，故p 是q 的充要条件，故选C.三、求参数的取值范围典例3 (1)已知命题p ：∀x ∈『0,1』，a ≥e x ，命题q ：∃x 0∈R ，x 20＋4x 0＋a ＝0，若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是__________．答案 『e,4』解析 命题“p ∧q ”是真命题，p 和q 均是真命题．当p 是真命题时，a ≥(e x )max ＝e ；当q 为真命题时，Δ＝16－4a ≥0，a ≤4，所以a ∈『e,4』． (2)已知函数f (x )＝x ＋4x，g (x )＝2x ＋a ，若∀x 1∈⎣⎡⎦⎤12，3，∃x 2∈『2,3』使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是________．答案 (－∞，0』 解析 ∵x ∈⎣⎡⎦⎤12，3，∴f (x )≥2 x ·4x＝4，当且仅当x ＝2时，f (x )min ＝4，当x ∈『2,3』时，g (x )min ＝22＋a ＝4＋a ，依题意知f (x )min ≥g (x )min ，即4≥a ＋4，∴a ≤0.。
江苏高考数学理一轮复习课件1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
1 解得 0≤a≤ . 2 a＋1≥1，
1
答案
1 0， 2
考向一 含有逻辑联结词命题真假的判定
【例1】 (2010· 新课标全国改编)已知命题p1：函数y＝2x－2－x在
R上为增函数；p2：函数y＝2x＋2－x在R上为减函数，则在命 题q1：p1∨p2；q2：p1∧p2，q3：(綈p1)∨p2和q4：p1∧ (綈p2) 中，真命题是________． 解析 法一 因为y＝2x与y＝－2－x是R上的增函数，所以y＝
－
答案
q1、q4
[方法总结] 判断含有逻辑联结词的命题真假，主要是把其 中单个命题的真假判断清楚，在此基础上再根据含有逻辑 联结词的命题真假判断的准则进行．
【训练1】 已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正 数的对数是负数，则下列命题：①(綈p)∨q；②p∧q；
③(綈q)∧(綈p)；④(綈p)∨(綈q)，其中是真命题的序号
②“∀x∈(3，＋∞ )，x2＋ 1＞ 3x”的否定是“∂ x∈ (3，＋ ∞ )， x2＋ 1＜ 3x”； ③“∂x∈ R，x2＋ x＋ 1＝ 0”的否定是“∀x∈ R，x2＋ x＋ 1＞ 0”；
解析
答案
存在性命题的否定是全称命题．
π ∀x∈0， 2 ， tan
ห้องสมุดไป่ตู้
x≤sin x
3． 若命题 p： 关于 x 的不等式 ax＋b>0
b 的解集是xx>－ ， a
命题 q ：关于 x 的不等式 (x － a)(x － b)<0 的解集是 {x|a<x<b}，则在命题“p∧q”、“p∨q”、“綈 p”、 “綈 q”中，是真命题的有________．
1-3逻辑连接词 全称量词与存在量词
对于C选项， 对于 选项，∵x2＞0，∴x＞0，为假命题． 选项 ， ＞ ，为假命题． 对于D选项， 对于 选项，∵2x＞0，∴x∈R，为真命题． 选项 ， ∈ ，为真命题． 答案： 答案：C
考基联动
考向导析
限时规范训练
3．已知：綈p且q为真，则下列命题中的假命题是 ．已知： 为真， 且 为真 ①p；②p或q；③p且q；④綈q. ； 或 ； 且 ； A．①④ ． 答案： 答案：C 4．对命题“∃x0∈R，x02 －2x0＋4≤0”的否定正确的是 ．对命题“ ， ” A．∃x0∈R ，x02 －2x0＋4＞0 ． ＞ B．∀x∈R，x2－2x＋4≤0 ． ∈ ， ＋ C．∀x∈R，x2－2x＋4＞0 ． ∈ ， ＋ ＞ D．∀x∈R，x2－2x＋4≥0 ． ∈ ， ＋ 解析： 的否定是： 解析：∃x0∈R，x02－2x0＋4≤0的否定是： ， 的否定是 ∀x∈R，x2－2x＋4＞0. ∈ ， ＋ ＞ 答案： 答案：C
考基联动
考向导析
限时规范训练
x 1 2 x 解析： 为假命题． 解析：对任意 x∈ R，均有 sin ＋ cos ＝ 1 而不是 ，故 p1 为假命题． ∈ ， 3 3 3 成立， 当 x， y， x－ y 有一个为 kπ(k∈ Z)时， tan x－ tan y＝ tan(x－ y)成立 ，故 ， ， － ∈ 时 － ＝ － 成立 1＋ cos 2x ＋ π 2 2 p2 是真命题．∵ cos 2x＝ 2cos x－ 1，∴ 是真命题． ＝ － ， ＝ cos x.又 x∈ [0， ]时， 又 ∈ ， 时 2 2
考基联动
考向导析
限时规范训练
考向一 含有逻辑联结词的命题的真假判断
新课标全国卷)已知命题 上为增函数， 【例1】 (2010·新课标全国卷 已知命题 1：函数 ＝2x－2－x在R上为增函数， 】 新课标全国卷 已知命题p 函数y＝ 上为增函数 p2：函数 ＝2x＋2－x在R上为减函数，则在命题 1：p1∨p2，q2：p1∧p2： 函数y＝ 上为减函数， 上为减函数 则在命题q q3(綈p1)∨P2和q4：p1∧(綈p2)中，真命题是 綈 ∨ 綈 中 A．q1，q3 ． B．q2，q3 ．
2018届人教A版 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 单元测试
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词一、选择题1．若命题p ：x ∈A ∩B ，则綈p ：( ) A ．x ∈A 且x ∉B B ．x ∉A 或x ∉B C ．x ∉A 且x ∉B D ．x ∈A ∪B答案：B2．(2016·山东泰安一模)下列命题中正确的是( )A ．若命题p 为真命题，命题q 为假命题，则命题“p ∧q ”为真命题B ．“sin α＝12”是“α＝π6”的充分不必要条件C ．l 为直线，α，β为两个不同的平面，若l ⊥β，α⊥β，则l ∥αD ．命题“∀x ∈R,2x >0”的否定是“∃x 0∈R,2x 0≤0”解析：选项A 中，命题“p ∧q ”为假命题；选项B 中，“sin α＝12”是“α＝π6”的必要不充分条件；选项C 中，直线l 可能在平α内；选项D 正确．答案：D3．命题p ：∀x ∈[0，＋∞)，(log 32)x ≤1，则( ) A ．p 是假命题，綈p ：∃x 0∈[0，＋∞)，(log 32)x 0>1 B ．p 是假命题，綈p ：∀x ∈[0，＋∞)，(log 32)x ≥1 C ．p 是真命题， 綈p ：∃x 0∈[0，＋∞)，(log 32) x 0>1 D ．p 是真命题，綈p ：∀x ∈[0，＋∞)，(log 32)x ≥1解析：因为0<log 32<1，所以∀x ∈[0，＋∞)，(log 32)x ≤1，p 是真命题．綈p ：∃x 0∈[0，＋∞)，(log 32) x 0>1.答案：C4．(2016·四川成都一模)已知命题p ：∀a ∈R ，且a >0，a ＋1a ≥2，命题q ：∃x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0＝3，则下列判断正确的是( )A ．p 是假命题B ．q 是真命题C ．p ∧(綈q )是真命题D ．(綈p )∧q 是真命题解析：由均值不等式知p 为真命题；因为sin x 0＋cos x 0＝2sin(x 0＋π4)≤2，所以q 为假命题，则綈q 为真命题，所以p ∧(綈q )为真命题．故选C.答案：C5．已知命题p ：|x －1|≥2，命题q ：x ∈Z ，若“p 且q ”与“非q ”同时为假命题，则满足条件的x 为( )A ．{x |x ≥3或x ≤－1，x ∈Z }B ．{x |－1≤x ≤3，x ∈Z }C ．{0,1,2}D ．{－1,0,1,2,3}解析：由题意知q 真，p 假，∴|x －1|<2. ∴－1<x <3且x ∈Z .∴x ＝0,1,2. 答案：C6．(2016·河南洛阳质检)若命题p ：∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－π2，π2，tan x >sin x ，则命题綈p 为( )A ．∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，tan x 0≥sin x 0B ．∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，tan x 0>sin x 0C ．∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，tan x 0≤sin x 0D ．∃x 0∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－π2∪⎝⎛⎭⎪⎫π2，＋∞，tan x 0>sin x 0解析：“∀”改为“∃”，并否定结论，所以命题綈p 为：∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，tan x 0≤sin x 0. 答案：C7．已知命题p ：∃x ∈R ，mx 2＋1≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0，若p ∧q 为真命题，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．[－2,0)C ．(－2,0)D ．(0,2)解析：由题可知若p ∧q 为真命题，则命题p 和命题q 均为真命题，对于命题p 为真，则m <0，对于命题q 为真，则m 2－4<0，即－2<m <2，所以命题p 和命题q 均为真命题时，实数m 的取值范围是(－2,0)．故选C.答案：C8．(2016·山东潍坊模拟)已知命题p ：若a >1，则a x >log a x 恒成立；命题q ：在等差数列{a n }中，m ＋n ＝p ＋q 是a n ＋a m ＝a p ＋a q 的充分不必要条件(m ，n ，p ，q ∈N *)．则下面选项中真命题是( )A ．(綈p )∧(綈q )B ．(綈p )∨(綈q )C ．p ∨(綈q )D ．p ∧q解析：当a ＝1.1，x ＝2时，a x＝1.12＝1.21，log a x＝log1.12>log1.11.21＝2，此时，a x<log a x，故p为假命题；命题q，由等差数列的性质，当m＋n＝p＋q时，a n＋a m＝a p＋a q成立，当公差d＝0时，由a m＋a n＝a p＋a q不能推出m＋n＝p＋q成立，故q是真命题，故綈p是真命题，綈q是假命题，所以p∧q为假命题，p∨(綈q)为假命题，(綈p)∧(綈q)为假命题，(綈p)∨(綈q)为真命题．答案：B9．(2016·福建福州一模)已知命题“∃x∈R，x2＋2ax＋1<0”是真命题，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－1) B．(1，＋∞)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1,1)解析：“∃x∈R，x2＋2ax＋1<0”是真命题，即不等式x2＋2ax ＋1<0有解，∴Δ＝(2a)2－4>0，得a2>1，即a>1或a<－1.答案：C10．(2016·山西太原一模)已知命题p：∃x0∈R，e x0－mx0＝0，q：∀x∈R，x2＋mx＋1≥0，若p∨(綈q)为假命题，则实数m的取值范围是()A．(－∞，0)∪(2，＋∞) B．[0,2]C．R D．∅解析：若p∨(綈q)为假命题，则p假q真．命题p为假命题时，有0≤m<e；命题q为真命题时，有Δ＝m2－4≤0，即－2≤m≤2.则要使p ∨(綈q )为假命题时，m 的取值范围是0≤m ≤2.答案：B11．(2016·黑龙江牡丹江六县市联考)下列命题正确的个数是( )①命题“∃x 0∈R ，x 20＋1>3x 0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋1≤3x ”；②“函数f (x )＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π”是“a ＝1”的必要不充分条件；③“x 2＋2x ≥ax 在x ∈[1,2]上恒成立”⇔“(x 2＋2x )min ≥(ax )max 在x ∈[1,2]上恒成立”；④“平面向量a 与b 的夹角是钝角”的充分必要条件是“a·b <0”．A ．1B ．2C ．3D ．4解析：特称命题的否定为全称命题，①正确； ②中f (x )＝cos2ax ，其最小正周期为π时，2π2|a |＝π， 即a ＝±1，②正确；③不正确；④不正确，当a·b <0，a ，b 的夹角可能为π. 答案：B12．(2016·辽宁沈阳模拟)设命题p ：函数y ＝1x 在定义域上为减函数；命题q ：∃a ，b ∈(0，＋∞)，当a ＋b ＝1时，1a ＋1b ＝3.以下说法正确的是( )A ．p ∨q 为真B ．p ∧q 为真C ．p 真q 假D ．p ，q 均假解析：函数y ＝1x 分别在(－∞，0)，(0，＋∞) 上是减函数，在定义域{x |x ≠0}上不具有单调性，∴命题p 是假命题；由a ＋b ＝1得b ＝1－a ，代入1a ＋1b ＝3并整理得3a 2－3a ＋1＝0，∴Δ＝9－12<0，∴该方程无解，即不存在a ，b ∈(0，＋∞)，当a ＋b ＝1时，1a ＋1b ＝3，∴命题q 是假命题，∴p ，q 均假，∴p ∨q 为假，p ∧q 为假．故选D.答案：D 二、填空题13．(2016·江苏诚贤中学月考)由命题“∃x ∈R ，x 2＋2x ＋m ≤0”是假命题，求得实数m 的取值范围是(a ，＋∞)，则实数a 的值是________．解析：根据题意可得：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋m >0是真命题，则Δ<0，即22－4m <0，m >1，故a ＝1.答案：114．若∀a ∈(0，＋∞)，∃θ∈R ，使a sin θ≥a 成立，则cos(θ－π6)的值为________．解析：因为∀a ∈(0，＋∞)，∃θ∈R ，使a sin θ≥a 成立，所以sin θ≥1.又sin θ∈[－1,1]，所以sin θ＝1，故θ＝π2＋2k π(k ∈Z )．所以cos(θ－π6)＝cos[(π2＋2k π)－π6]＝cos(π3＋2k π)＝cos π3＝12.答案：1215．(2016·潍坊模拟)已知命题p ：∀x ∈[0,1]，a ≥e x ，命题q ：“∃x ∈R ，x 2＋4x ＋a ＝0”，若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析：因为∀x ∈[0,1]，a ≥e x ，所以a ≥e.由“∃x ∈R ，x 2＋4x ＋a ＝0”，可得判别式Δ＝16－4a ≥0，即a ≤4.若命题“p ∧q ”是真命题，所以p ，q 同时为真，所以e ≤a ≤4，即[e,4]．答案：[e,4]16．若f (x )＝x 2－2x ，g (x )＝ax ＋2(a >0)，∀x 1∈[－1,2]，∃x 0∈[－1,2]，使g (x 1)＝f (x 0)，则实数a 的取值范围是________．解析：由于函数g (x )在定义域[－1,2]内是任意取值的，且必存在x 0∈[－1,2]，使得g (x 1)＝f (x 0)，因此问题等价于函数g (x )的值域是函数f (x )值域的子集．函数f (x )的值域是[－1,3]，函数g (x )的值域是[2－a,2＋2a ]，则有2－a ≥－1且2＋2a ≤3，即a ≤12.又a >0，故a 的取值范围是(0，12]．答案：(0，12]。
高三数学一轮复习课时作业4：§1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
§1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词A 组 专项基础训练 (时间：30分钟)1．设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称．则下列判断正确的是( ) A ．p 为真 B ．綈q 为假 C ．p ∧q 为假 D ．p ∨q 为真答案 C解析 p 是假命题，q 是假命题，因此只有C 正确．2．已知命题p ：所有有理数都是实数；命题q ：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是( ) A ．綈p ∨q B ．p ∧q C ．綈p ∧綈q D ．綈p ∨綈q 答案 D解析 不难判断命题p 为真命题，命题q 为假命题，从而上述叙述中只有綈p ∨綈q 为真命题．3．下列命题中的假命题是( ) A ．∃x ∈R ，sin x ＝52B ．∃x ∈R ，log 2x ＝1C ．∀x ∈R ，(12)x >0D ．∀x ∈R ，x 2≥0答案 A解析 因为∀x ∈R ，sin x ≤1<52，所以A 是假命题；对于B ，∃x ＝2，log 2x ＝1；对于C ，根据指数函数图象可知，∀x ∈R ，(12)x >0；对于D ，根据二次函数图象可知，∀x ∈R ，x 2≥0.4．已知命题p ：所有指数函数都是单调函数，则綈p 为( ) A ．所有的指数函数都不是单调函数 B ．所有的单调函数都不是指数函数 C ．存在一个指数函数，它不是单调函数 D ．存在一个单调函数，它不是指数函数 答案 C解析 命题p ：所有指数函数都是单调函数，则綈p 为：存在一个指数函数，它不是单调函数，故选C.5．已知集合M ＝{x |0<x <1}，集合N ＝{x |－2<x <1}，那么“a ∈N ”是“a ∈M ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 因为M N ，所以a ∈M ⇒a ∈N ，反之，则不成立，故“a ∈N ”是“a ∈M ”的必要而不充分条件．故选B.6．下列结论正确的个数是( )①已知复数z ＝i(1－i)，z 在复平面内对应的点位于第四象限； ②若x ，y 是实数，则“x 2≠y 2”的充要条件是“x ≠y 或x ≠－y ”；③命题p ：“∃x 0∈R ，x 20－x 0－1>0”的否定綈p ：“∀x ∈R ，x 2－x －1≤0”；A ．3B ．2C ．1D ．0 答案 C解析 ①已知复数z ＝i(1－i)，z 在复平面内对应的点位于第四象限是错误的，因为z ＝1＋i ，对应点在第一象限；②若x ，y 是实数，则“x 2≠y 2”的充要条件是“x ≠y 或x ≠－y ”是错误的，因为“x 2≠y 2”的充要条件是“x ≠y 且x ≠－y ”；③命题p ：“∃x 0∈R ，x 20－x 0－1>0”的否定綈p ：“∀x ∈R ，x 2－x －1≤0”是正确的，特称命题的否定是全称命题． 7．若命题p ：对于任意x ∈『－1,1』，有f (x )≥0，则对命题p 的否定是________．答案 存在x 0∈『－1,1』，使f (x 0)<08．已知命题p ：x 2＋2x －3>0；命题q ：13－x >1，若“綈q 且p ”为真，则x 的取值范围是____________________．答案 (－∞，－3)∪(1,2』∪『3，＋∞)解析 因为“綈q 且p ”为真，即q 假p 真，而q 为真命题时，x －2x －3<0，得2<x <3，所以q假时有x ≥3或x ≤2；p 为真命题时，由x 2＋2x －3>0，解得x >1或x <－3，由⎩⎪⎨⎪⎧x >1或x <－3，x ≥3或x ≤2，解得x <－3或1<x ≤2或x ≥3， 所以x 的取值范围是x <－3或1<x ≤2或x ≥3. 9．下列结论：①若命题p ：∃x ∈R ，tan x ＝1；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0.则命题“p ∧(綈q )”是假命题； ②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是ab＝－3；③命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题：“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”．其中正确结论的序号为________． 答案 ①③解析 ①中命题p 为真命题，命题q 为真命题， 所以p ∧(綈q )为假命题，故①正确； ②当b ＝a ＝0时，有l 1⊥l 2，故②不正确； ③正确．所以正确结论的序号为①③.10．已知c >0，且c ≠1，设p ：函数y ＝c x 在R 上单调递减；q ：函数f (x )＝x 2－2cx ＋1在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上为增函数，若“p 且q ”为假，“p 或q ”为真，求实数c 的取值范围． 解 ∵函数y ＝c x 在R 上单调递减，∴0<c <1. 即p ：0<c <1，∵c >0且c ≠1，∴綈p ：c >1.又∵f (x )＝x 2－2cx ＋1在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上为增函数，∴c ≤12. 即q ：0<c ≤12，∵c >0且c ≠1，∴綈q ：c >12且c ≠1.又∵“p 或q ”为真，“p 且q ”为假， ∴p 真q 假或p 假q 真． ①当p 真，q 假时，{c |0<c <1}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |c >12且c ≠1＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |12<c <1.②当p 假，q 真时，{c |c >1}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |0<c ≤12＝∅.综上所述，实数c 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |12<c <1.B 组 专项能力提升 (时间：20分钟)11．已知命题p ：∃x ∈R ，x －2>lg x ，命题q ：∀x ∈R ，x 2>0，则( ) A ．p ∨q 是假命题 B ．p ∧q 是真命题 C ．p ∧(綈q )是真命题 D ．p ∨(綈q )是假命题答案 C解析 ∵x ＝10时，x －2＝8，lg 10＝1，x －2>lg x 成立，∴命题p 为真命题，又x 2≥0，命题q 为假命题，所以p ∧(綈q )是真命题． 12．下列结论正确的是( )A ．若p ：∃x ∈R ，x 2＋x ＋1<0，则綈p ：∀x ∈R ，x 2＋x ＋1<0B ．若p ∨q 为真命题，则p ∧q 也为真命题C ．“函数f (x )为奇函数”是“f (0)＝0”的充分不必要条件D ．命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的否命题为真命题 答案 D解析 ∵x 2＋x ＋1<0的否定是x 2＋x ＋1≥0，∴A 错；若p ∨q 为真命题，则p 、q 中至少有一个为真，∴B 错；f (x )为奇函数，但f (0)不一定有意义，∴C 错；命题“若x 2－3x ＋2＝0则x ＝1”的否命题为“若x 2－3x －2≠0，则x ≠1”是真命题，D 对． 13．下列结论正确的个数是( )(1)命题“∃x 0∈R ，x 20＋1>3x 0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋1≤3x ”；(2)函数f (x )＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π是“a ＝1”的必要不充分条件； (3)x 2＋2x ≥ax 在x ∈『1,2』上恒成立⇔(x 2＋2x )min ≥(ax )max 在x ∈『1,2』上恒成立； (4)“平面向量a 与b 的夹角是钝角”的充分必要条件是“a ·b <0”． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析 (1)中命题“∃x 0∈R ，x 20＋1>3x 0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋1≤3x ”为真命题；(2)中如果函数f (x )＝cos 2ax －sin 2ax ＝cos 2ax 的最小正周期为π，那么由2π|2a |＝π得a ＝±1；由a ＝1得f (x )＝cos 2ax －sin 2ax ＝cos 2ax ＝cos 2x ，其最小正周期为π，所以(2)是真命题； (3)是假命题，由x ∈『1,2』，可将x 2＋2x ≥ax 化为a ≤x ＋2，所以原命题等价于a ≤(x ＋2)min ； (4)是假命题，因为a ·b <0，有可能a 与b 的夹角是π.故选B.14．给定两个命题，命题p ：对任意实数x 都有ax 2>－ax －1恒成立，命题q ：关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0有实数根．若“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，则实数a 的取值范围是________．答案 (－∞，0)∪(14，4)解析 若p 为真命题，则a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a 2－4a <0，即0≤a <4；若q 为真命题，则(－1)2－4a ≥0，即a ≤14.因为“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题， 所以p ，q 中有且仅有一个为真命题． 若p 真q 假，则14<a <4；若p 假q 真，则a <0.综上，实数a 的取值范围为(－∞，0)∪(14，4)．15．设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a >0，命题q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0.(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围； (2)綈p 是綈q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 解 (1)由x 2－4ax ＋3a 2<0，得(x －3a )(x －a )<0. 又a >0，所以a <x <3a .当a ＝1时，1<x <3，即p 为真命题时， 实数x 的取值范围是1<x <3.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤3，x <－4或x >2，即2<x ≤3.所以q 为真时实数x 的取值范围是2<x ≤3.若p ∧q 为真，则⎩⎪⎨⎪⎧1<x <32<x ≤3⇔2<x <3，所以实数x 的取值范围是(2,3)． (2)綈p 是綈q 的充分不必要条件， 即綈p ⇒綈q 且綈q綈p .设A ＝{x |x ≤a 或x ≥3a }，B ＝{x |x ≤2或x >3}， 则A B .∴0<a ≤2且3a >3， ∴1<a ≤2，∴实数a 的取值范围是(1,2』.。
2018届人教A版(文) 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 单元测试
第一章 集合与常用逻辑用语第03节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的。
）1. 命题p ：若ac 2>bc 2，则a >b ；命题q ：在△ABC 中，若A ≠B ，则sin A ≠sin B ．则( )A ．p 假、q 真B ．p 真、q 假C ．“p 或q ”为假D ．“p 且q ”为真【答案】D【解析】因为p 真、q 真，所以p 且q 为真．故应选D.2．已知命题p 1：2000,10x R x x ∃∈++<；p 2：2[1,2],10x x ∀∈-≥，以下命题为真命题的是( )A ．(⌝p 1)∧(⌝p 2)B ．p 1∨(⌝p 2)C ．(⌝p 1)∧p 2D ．p 1∧p 2【答案】C3．命题p ：若0a b ⋅> ，则a 与b的夹角为锐角；命题q ：若函数f (x )在(－∞，0]及(0，＋∞)上都是减函数，则f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数．下列说法中正确的是( )A ．“p 或q ”是真命题B ．“p 或q ”是假命题C ．⌝p 为假命题D ．⌝q 为假命题【答案】B【解析】∵当0a b ⋅> 时，a 与b的夹角为锐角或零度角，∴命题p 是假命题；命题q 是假命题，例如1,0()2,0x x f x x x -+≤⎧=⎨-+>⎩，综上可知，“p 或q ”是假命题．4. 已知命题：p 1：函数22x x y -=-在R 上为增函数； p 2：函数22x x y -=+在R 上为减函数；则在命题q 1：p 1∨p 2，q 2：p 1∧p 2，q 3：(⌝p 1)∨p 2和q 4：p 1∧(⌝p 2)中，真命题是( ) A ．q 1，q 3 B ．q 2，q 3 C ．q 1，q 4D ．q 2，q 4【答案】C【解析】∵2x y =在R 上是增函数，2x y -=在R 上是减函数，∴22x x y -=-在R 上是增函数，p 1为真，p 2为假，故q 1：p 1∨p 2为真，q 2：p 1∧p 2为假，q 3：(⌝p 1)∨p 2为假，q 4：p 1∧(⌝p 2)为真，故真命题是q 1，q 4，故选C. 5. 下列说法错误的是( )A ．如果命题“⌝p ”与命题“p 或q ”都是真命题，那么命题q 一定是真命题B ．命题“若a ＝0，则ab ＝0”的否命题是：若“a ≠0，则ab ≠0”C ．若命题p ：200,ln(1)0x R x ∃∈+<，则⌝p ：2,ln(1)0x R x ∀∈+≥D ．“1sin 2θ=”是“30θ= ”的充分不必要条件 【答案】D【解析】“1sin 2θ=”是“30θ= ”的必要不充分条件，故选D. 6．已知命题p ：2,10x R mx ∃∈+≤，命题q ：2,10x R x mx ∀∈++>.若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围为( ) A ．m ≥2B ．m ≤－2C ．m ≤－2或m ≥2D ．－2≤m ≤2【答案】A7．【2016湖北省龙泉中学联考】下列命题中，真命题是（ ）A ．0x R ∃∈，使得00x e≤ B ．1sin 2(π,)sin x x k k Z x+≥≠∈ C ．2,2x x R x ∀∈> D ．1,1a b >>是1ab >的充分不必要条件 【答案】D8．【2015届广东省汕头市二模】已知命题p ：若a 是非零向量，λ是非零实数，则a 与λ-a 方向相反；命题q ：||||λλ-=⋅a a ．则下列命题为真命题的是 A ．p q ∧ B ．p q ∨ C ． ()p q ⌝∨ D ．()p q ∧⌝ 【答案】C【解析】当0>λ时，与λ-方向相反；当0<λ时，与λ-方向相同，命题P 是假命题；λ==-，命题q 是假命题，p ⌝∴是真命题，()q p ∨⌝∴是真命题，故答案为C ．9．【2015届湖南省浏宁三一中高三模拟】已知命题p ：对任意,x R ∈，总有30x >；命题q ："2"x >是"4"x >的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．p q ⌝∧⌝C ．p q ⌝∧D ．p q ∧⌝ 【答案】D【解析】根据指数函数的性质，可知命题p 是真命题，而根据"2"x >是"4"x >的必要不充分条件，所以命题q 是假命题，根据复合命题的真值表，以确定选D ． 10．【2016湖北龙泉中学模拟】下列命题中正确的是（ ） A ．00,x ∃>使“00x x ab >”是“0a b >>”的必要不充分条件B ．命题“()0000,,ln 1x x x ∃∈+∞=-”的否定是“()0000,,ln 1x x x ∀∉+∞≠-”C ．命题“若22,x =则x x ==的逆否命题是“若x x ≠≠则22x ≠”D ．若p q ∨为真命题，则p q ∧为真命题 【答案】A【解析】D 项中，p q ∨为真命题，即q p ,至少有一个真命题，所以p q ∧不一定为真命题；C 项中，逆否命题应该为“若2-2≠≠x x 且，则2≠x ”，故错误；B 项中，命题的否定只否定结论，不否定条件，所以应该为1ln ),,0(000-≠+∞∈∃x x x ，故错误；A 项中，当0a b >>时，则必存在0000x x b a x >>使，而当00x x b a >，可能有0<<a b ，所以A 项是正确的，本题正确选项为A. 11．已知p ：函数()21f x x mx =++有两个零点， q ：()2,44210x R x m x ∀∈+-+>，．若p q ⌝∧为真，则实数m 的取值范围为（ ） A ．()2,3 B ．(](),12,-∞+∞ C ．()[),23,-∞-+∞ D ()(],21,2-∞- ．【答案】C【解析】由p q ⌝∧为真，知p 是真命题，q 是假命题，由p 得240m ∆=->，解得2m >或2m <-．由q ⌝，得216(2)160m ∆=--≥，解得3m ≥或1m ≤，∴实数m 的取值范围为()[),23,-∞-+∞ ． 故选C ．12．【2016·长春二调】已知命题p ：函数1(0)1x y a a a ≠＋＝＞，且的图象恒过定点(0,1)；命题q ：若函数()y f x ＝为偶函数，则函数(1)y f x ＝＋的图象关于直线1x =对称，则下列命题为真命题的是( ) A ．p ∨q B ．p ∧q C ．p q ⌝∧ D ．p q ∨⌝ 【答案】D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
(新课标)高考数学一轮总复习 第一章 集合与常用逻辑用语 1-3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量
1-3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词课时规X练(授课提示：对应学生用书第215页)A组基础对点练1．命题“∃x0∈(0，＋∞)，ln x0＝x0－1”的否定是( A )A．∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1B．∀x∉(0，＋∞)，ln x＝x－1C．∃x0∈(0，＋∞)，ln x0≠x0－1D．∃x0∉(0，＋∞)，ln x0＝x0－12．命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是( C )A．∀x∈R，|x|＋x2＜0B．∀x∈R，|x|＋x2≤0C．∃x0∈R，|x0|＋x20＜0D．∃x0∈R，|x0|＋x20≥03．(2018·某某一模)若命题“p或q”与命题“非p”都是真命题，则( D )A．命题p与命题q都是真命题B．命题p与命题q都是假命题C．命题p是真命题，命题q是假命题D．命题p是假命题，命题q是真命题4．已知命题p：∀x＞0，总有(x＋1)e x＞1，则¬p为( B )A．∃x0≤0，使得(x0＋1)e x0≤1B．∃x0＞0，使得(x0＋1)e x0≤1C．∀x＞0，总有(x＋1)e x≤1D．∀x≤0，总有(x＋1)e x≤15．设命题p：∀x∈R，x2＋1＞0，则¬p为( B )A．∃x0∈R，x20＋1＞0B．∃x0∈R，x20＋1≤0C．∃x0∈R，x20＋1＜0D．∀x∈R，x2＋1≤06．(2018·某某一模)已知命题p：∀x∈(0，＋∞)，2x＞1；命题q：∃x0∈R，sin x0＝cos x0，则下列命题中的真命题为( A )A ．p ∧qB ．¬pC ．¬p ∧qD ．¬p ∨¬q解析：∀x ∈(0，＋∞)，2x＞1成立，即命题p 是真命题，当x 0＝π4时，满足sin x 0＝cos x 0，即命题q ：∃x 0∈R ，sin x 0＝cos x 0，为真命题． 则p ∧q 是真命题，其余为假命题．7．设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∀x ∈A,2x ∈B ，则( D ) A ．¬p ：∀x ∈A,2x ∉B B ．¬p ：∀x ∉A,2x ∉B C ．¬p ：∃x ∉A,2x ∈B D ．¬p ：∃x ∈A,2x ∉B8．(2018·綦江区模拟)已知命题p ：∃x ∈R ，x 2＜0；命题q ：函数f (x )＝x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 有一个零点，则下列命题为真命题的是( B ) A ．p ∧q B ．p ∨q C ．¬qD ．p ∧(¬q )解析：∵命题p ：∃x ∈R ，x 2＜0是假命题，命题q ：函数f (x )＝x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x有一个零点是真命题，∴p ∨q 是真命题．9．已知命题p ：∀x ∈R,2x＜3x；命题q ：∃x ∈R ，x 3＝1－x 2，则下列命题中为真命题的是( B ) A ．p ∧q B ．¬p ∧q C ．p ∧¬qD ．¬p ∧¬q10．已知命题p ：∀x ∈R ，e x－x －1＞0，则¬p 是( B ) A ．∀x ∈R ，e x－x －1＜0 B ．∃x 0∈R ，e x 0－x 0－1≤0 C ．∃x 0∈R ，e x 0－x 0－1＜0 D ．∀x ∈R ，e x －x －1≤011．(2018·某某二模)下列有关命题的说法错误的是( C ) A ．若“p ∨q ”为假命题，则p 与q 均为假命题 B ．“x ＝1”是“x ≥1”的充分不必要条件C ．“sin x ＝12”的一个必要不充分条件是“x ＝π6”D ．若命题p ：∃x 0∈R ，e x 0 ≥1，则命题¬p ：∀x ∈R ，e x＜1 解析：A.若“p ∨q ”为假命题，则p 与q 均为假命题，故A 正确， B ．“x ＝1”是“x ≥1”的充分不必要条件，故B 正确，C ．当x ＝π6时，满足sin x ＝12，但sin x ＝12时，x ＝π6不一定成立，即“sin x ＝12”的一个必要不充分条件是“x ＝π6”错误，D ．若命题p ：∃x 0∈R ，e x 0≥1，则命题¬p ：∀x ∈R ，e x＜1，正确．12．已知命题p ：∃α∈R ，cos(π－α)＝cos α；命题q ：∀x ∈R ，x 2＋1＞0.则下面结论正确的是( A ) A ．p ∧q 是真命题 B ．p ∧q 是假命题 C ．¬p 是真命题 D ．p 是假命题13．已知命题p ：若x ＞y ，则－x ＜－y ；命题q ：若x ＞y ，则x 2＞y 2.在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(¬q )；④(¬p )∨q 中，真命题是( C )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④14．(2018·某某模拟)给出两个命题：p ：“事件A 与事件B 对立”的充要条件是“事件A 与事件B 互斥”；q ：偶函数的图象一定关于y 轴对称，则下列命题是假命题的是( B ) A ．p 或q B ．p 且q C ．¬p 或qD ．¬p 且q解析：事件A 与事件B 对立则事件A 与事件B 互斥成立，反之不一定成立，即命题p 是假命题．偶函数的图象一定关于y 轴对称，则命题q 是真命题，则p 且q 是假命题，其余为真命题． 15．(2018·某某二模)命题p ：若向量a·b ＜0，则a 与b 的夹角为钝角；命题q ：若cos α·cosβ＝1，则sin(α＋β)＝0.下列命题为真命题的是( D )A ．pB ．¬qC ．p ∧qD ．p ∨q解析：命题p ：若向量a·b ＜0，则a 与b 的夹角为钝角或平角，因此为假命题．命题q ：若cos α·cos β＝1，则cos α＝cos β＝±1，因此sin α＝sin β＝0，则sin(α＋β)＝0.因此为真命题．B 组 能力提升练1．设a ，b ，c 是非零向量．已知命题p ：若a·b ＝0，b·c ＝0，则a·c ＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .则下列命题中真命题是( A ) A ．p ∨q B ．p ∧q C ．(¬p )∧(¬q )D ．p ∨(¬q )2．(2018·某某三模)已知命题p ：在△ABC 中，若sin A ＝sin B ，则A ＝B ；命题q ：∀x ∈(0，π)，sin x ＋1sin x >2.则下列命题为真命题的是( B )A ．p ∧qB ．p ∨(¬q )C ．(¬p )∧(¬q )D ．(¬p )∨q解析：命题p ：在△ABC 中，因为A ＋B ＜π，若sin A ＝sin B ，则A ＝B ，故为真命题； 命题q ：∀x ∈(0，π)，当x ＝π2时，等号成立，故sin x ＋1sin x >2为假命题．3．(2016·中原名校四月联考)已知条件p ：a ＜0，条件q ：a 2＞a ，则¬p 是¬q 的( B ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．下列说法中正确的是( D )A ．“f (0)＝0”是“函数f (x )是奇函数”的充要条件B ．若p ：∃x 0∈R ，x 20－x 0－1＞0，则¬p ：∀x ∈R ，x 2－x －1＜0 C ．若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题D ．命题“若α＝π6，则sin α＝12”的否命题是“若α≠π6，则sin α≠12”5．(2018·某某二模)下列说法错误的是( D )A ．“若x ≠2，则x 2－5x ＋6≠0”的逆否命题是“若x 2－5x ＋6＝0，则x ＝2” B ．“x ＞3”是“x 2－5x ＋6＞0”的充分不必要条件C ．“∀x ∈R ，x 2－5x ＋6≠0”的否定是“∃x 0∈R ，x 20－5x 0＋6＝0” D ．命题：“在锐角△ABC 中，sin A ＜cos B ”为真命题解析：对于A ，根据逆否命题的定义知，逆否命题是“若x 2－5x ＋6＝0，则x ＝2”，∴A 正确；对于B ，“x 2－5x ＋6＞0”的充要条件是“x ＜2或x ＞3”，∴“x ＞3”是“x 2－5x ＋6＞0”的充分不必要条件，∴B 正确；对于C ，根据特称命题的否定定义知，命题的否定是“∃x 0∈R ，x 20－5x 0＋6＝0”，∴C 正确； 对于D ，“锐角△ABC 中，sin A ＜cos B ”是假命题， 如A ＝B ＝π3时，sin π3＞cos π3，∴D 错误．6．(2017·某某四县模拟)下列命题中，真命题是( D ) A ．∃x 0∈R ，e x 0≤0 B ．∀x ∈R,2x ＞x 2C ．a ＋b ＝0的充要条件是ab＝－1D ．“a ＞1，b ＞1”是“ab ＞1”的充分条件7．已知命题p ：∀x ∈R,2x＋12x ≥2；命题q ：∃x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，使sin x ＋cos x ＝13，则下列命题中为真命题的是( B ) A ．(¬p )∧q B ．p ∧(¬q ) C ．(¬p )∧(¬q )D ．p ∧q8．(2018·某某二模)已知直线l ：y ＝k (x －1)，圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2(r ＞0)，有下列四个命题：p 1：∀k ∈R ，l 与C 相交； p 2：∃k ∈R ，l 与C 相切； p 3：∀r ＞0，l 与C 相交； p 4：∃r ＞0，l 与C 相切．其中的真命题为( A ) A ．p 1，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4解析：直线l ：y ＝k (x －1)，圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2(r ＞0)，可得直线l 经过定点(1,0)，为圆C 的圆心．9．(2017·某某质量预测)已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x ＋a ，若∀x 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，∃x 2∈[2,3]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值X 围是( A ) A ．a ≤1 B ．a ≥1 C ．a ≤2D ．a ≥2解析：由题意知f (x 1)min ＝5≥g (x 2)min ＝a ＋4，得a ≤1.10．(2017·某某某某模拟)已知命题p 1：∀x ∈(0，＋∞)，3x ＞2x，p 2：∃θ∈R ，sin θ＋cos θ＝32，则在命题q 1：p 1∨p 2；q 2：p 1∧p 2；q 3：(¬p 1)∨p 2和q 4：p 1∧(¬p 2)中，真命题是( C )A ．q 1，q 3B ．q 2，q 3C ．q 1，q 4D ．q 2，q 411．已知命题p ：∃x ∈R ，(m ＋1)(x 2＋1)≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0恒成立．若p ∧q 为假命题，则实数m 的取值X 围为( B ) A ．m ≥2B ．m ≤－2或m ＞－1C ．m ≤－2或m ≥2D ．－1＜m ≤212．(2017·某某某某模拟)以下说法错误的是( D )A ．命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0” B ．“x ＝2”是“x 2－3x ＋2＝0”的充分不必要条件C ．若命题p ：存在x 0∈R ，使得x 20－x 0＋1＜0，则¬p ：对任意x ∈R ，都有x 2－x ＋1≥0 D ．若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题13．(2017·某某联考)命题p ：∃a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－14，使得函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋a x ＋1在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上单调递增；命题q ：函数g (x )＝x ＋log 2x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上无零点．则下列命题中是真命题的是( D ) A ．¬p B ．p ∧q C ．(¬p )∨q D ．p ∧(¬q )解析：设h (x )＝x ＋ax ＋1，则当a ＝－12时，函数h (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上为增函数．且h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝16>0，则函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋a x ＋1在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上单调递增，则命题p 为真命题．∵g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12＋log 212＝－12<0.g (1)＝1>0，故g (x )＝x ＋log 2x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上有零点．则q是假命题，则p∧(¬q)为真命题．其余为假命题．所以D选项是正确的．14．(2018·澧县校级一模)已知命题p：“存在x∈R，使4x＋2x＋1＋m＝0”，若“非p”是假命题，则实数m的取值X围是 (－∞，0) ．解析：∵命题p：“存在x∈R，使4x＋2x＋1＋m＝0”，∴p为真时，m＝－(2x)2－2×2x，存在x∈R成立．∴m的取值X围是m＜0.又∵非p”是假命题，∴p是真命题．∴m∈(－∞，0)．。
2018高考一轮通用人教A版数学文练习第1章 第3节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 含答案 精品
第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词————————————————————————————————[考纲传真] 1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义.2.理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．1．简单的逻辑联结词(1)命题中的“或”“且”“非”叫做逻辑联结词．(2)命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断2.(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示．(2)全称命题：含有全称量词的命题，叫做全称命题．全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”简记为∀x∈M，p(x)．(3)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示．(4)特称命题：含有存在量词的命题，叫做特称命题．特称命题“存在M中的一个元素x0，使p(x0)成立”，简记为∃x0∈M，p(x0)．3．含有一个量词的命题的否定1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)命题“5＞6或5＞2”是假命题．()(2)命题綈(p∧q)是假命题，则命题p，q中至少有一个是假命题．()(3)“长方形的对角线相等”是特称命题．()(4)命题“对顶角相等”的否定是“对顶角不相等”．()[解析](1)错误．命题p∨q中，p，q有一真则真．(2)错误．p∧q是真命题，则p，q都是真命题．(3)错误．命题“长方形的对角线相等”可叙述为“所有长方形的对角线相等”，是全称命题．(4)错误．“对顶角相等”是全称命题，其否定为“有些对顶角不相等”．[答案](1)×(2)×(3)×(4)×2．(教材改编)已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题綈p，綈q，p∨q，p ∧q中真命题的个数为()A．1B．2C．3D．4B[p和q显然都是真命题，所以綈p，綈q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题．]3．(2015·全国卷Ⅰ)设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则綈p为()A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2nC．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2nC[因为“∃x∈M，p(x)”的否定是“∀x∈M，綈p(x)”，所以命题“∃n∈N，n2>2n”的否定是“∀n∈N，n2≤2n”．故选C.]4．(2017·西安模拟)下列命题中的假命题是() 【导学号：31222011】A．∃x0∈R，lg x0＝0 B．∃x0∈R，tan x0＝1C．∀x∈R，x3>0 D．∀x∈R,2x>0C[对于A，当x0＝1时，lg x0＝0，正确；对于B，当x0＝π4时，tan x0＝1，正确；对于C，当x<0时，x3<0，错误；对于D，∀x∈R,2x>0，正确．]5．若命题“∀x ∈R ，ax 2－ax －2≤0”是真命题，则实数a 的取值范围是________．[－8,0] [当a ＝0时，不等式显然成立．当a ≠0时，依题意知⎩⎨⎧a ＜0，Δ＝a 2＋8a ≤0，解得－8≤a ＜0.综上可知－8≤a ≤0.]命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .则下列命题中真命题是( )A ．p ∨qB ．p ∧qC ．(綈p )∧(綈q )D ．p ∧(綈q )A [取a ＝c ＝(1,0)，b ＝(0,1)，显然a·b ＝0，b·c ＝0，但a·c ＝1≠0，∴p 是假命题．a ，b ，c 是非零向量，由a ∥b 知a ＝xb ，由b ∥c 知b ＝yc ，∴a ＝xyc ，∴a ∥c ，∴q 是真命题．综上知p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题．又∵綈p 为真命题，綈q 为假命题，∴(綈p )∧(綈q )，p ∧(綈q )都是假命题．][规律方法] 1.“p ∨q ”“p ∧q ”“綈p ”形式的命题真假判断的关键是对 逻辑联结词“或”“且”“非”含义的理解，其操作步骤是：(1)明确其构成形 式；(2)判断其中命题p ，q 的真假；(3)确定“p ∨q ”“p ∧q ”“綈p ”形式的命 题的真假．2．p 且q 形式是“一假必假，全真才真”，p 或q 形式是“一真必真，全假才假”，非p 则是“与p 的真假相反”．[变式训练1] (2017·石家庄一模)命题p ：若sin x ＞sin y ，则x ＞y ；命题q ：x 2＋y 2≥2xy .下列命题为假命题的是( ) 【导学号：31222012】A ．p ∨qB ．p ∧qC ．qD ．綈pB [取x ＝π3，y ＝5π6，可知命题p 不正确；由(x －y )2≥0恒成立，可知命题q正确．故綈p 为真命题，p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题．]☞角度1 含有一个量词的命题的否定(2015·湖北高考)命题“∃x0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1”的否定是( )A ．∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1B ．∀x ∉(0，＋∞)，ln x ＝x －1C ．∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0≠x 0－1D ．∃x 0∉(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1A [改变原命题中的三个地方即可得其否定，∃改为∀，x 0改为x ，否定结论，即ln x ≠x －1，故选A.]☞角度2 全称命题、特称命题的真假判断(2014·全国卷Ⅰ)不等式组⎩⎨⎧x ＋y ≥1，x －2y ≤4的解集记为D ，有下面四个命题：p 1：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥－2；p 2：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥2；p 3：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤3；p 4：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤－1.其中的真命题是( )A ．p 2，p 3B ．p 1，p 4C ．p 1，p 2D ．p 1，p 3 C [作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．由⎩⎨⎧x ＋y ＝1，x －2y ＝4，得交点A (2，－1)．目标函数的斜率k ＝－12>－1，观察直线x ＋y ＝1与直线x ＋2y ＝0的倾斜程度，可知u ＝x ＋2y 过点A 时取得最小值0y ＝－x 2＋u 2，u 2表示纵截距．结合题意知p 1，p 2正确．][规律方法] 1.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论．2．要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M 中，找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题．3．要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M 中的每一个元素x ，证明p (x )成立．只要找到一个反例，则该命题为假命题. (1)已知命题“∃x0∈R ，使2x 20＋(a －1)x 0＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,3)C ．(－3，＋∞)D ．(－3,1) (2)已知p ：∃x 0∈R ，mx 20＋1≤0，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围为( )A ．m ≥2B ．m ≤－2C ．m ≤－2或m ≥2D ．－2≤m ≤2(1)B (2)A [(1)原命题的否定为∀x ∈R,2x 2＋(a －1)x ＋12＞0，由题意知，为真命题，则Δ＝(a －1)2－4×2×12＜0， 则－2＜a －1＜2，则－1＜a ＜3.(2)依题意知，p ，q 均为假命题．当p 是假命题时，∀x ∈R ，mx 2＋1＞0恒成立，则有m ≥0；当q 是假命题时，则有Δ＝m 2－4≥0，m ≤－2或m ≥2.因此，由p ，q 均为假命题得⎩⎨⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2，即m ≥2.] [规律方法] 1.根据含逻辑联结词命题的真假求参数的方法步骤：(1)根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)．(2)求出每个命题是真命题时参数的取值范围．(3)根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围．2．全称命题可转化为恒成立问题．[变式训练2] (2017·济南调研)若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________. 【导学号：31222013】1 [∵0≤x ≤π4，∴0≤tan x ≤1，由“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，得m ≥1. 故实数m 的最小值为1.][思想与方法]1．把握含逻辑联结词的命题的形式，特别是字面上未出现“或”“且”“非”字眼，要结合语句的含义理解．2．含有逻辑联结词的命题真假判断口诀：p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p与綈p→真假相反．3．要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是特称命题，再对照否定结构去写，否定的规律是“改量词，否结论”．[易错与防范]1．正确区别命题的否定与否命题“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“綈p”，只否定命题p的结论．命题的否定与原命题的真假相反，即两者中有且只有一个为真．2．几点注意(1)注意命题是全称命题还是特称命题，是正确写出命题的否定的前提；(2)注意命题所含的量词，对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再进行否定；(3)由逻辑联结词构成的新命题的否定．①綈(p∧q)⇔(綈p)∨(綈q)；②綈(p∨q)⇔(綈p)∧(綈p)．课时分层训练(三)简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．设命题p：函数y＝sin 2x的最小正周期为π2；命题q：函数y＝cos x的图象关于直线x＝π2对称．则下列判断正确的是()A．p为真B．綈p为假C．p∧q为假D．p∧q为真C[p是假命题，q是假命题，因此只有C正确．]2．在索契冬奥会跳台滑雪空中技巧比赛赛前训练中，甲、乙两位队员各跳一次．设命题p是“甲落地站稳”，q是“乙落地站稳”，则命题“至少有一位队员落地没有站稳”可表示为() 【导学号：31222014】A．p∨q B．p∨(綈q)C．(綈p)∧(綈q) D．(綈p)∨(綈q)D[“至少有一位队员落地没有站稳”的否定是“两位队员落地都站稳”，故为p∧q，而p∧q的否定是(綈p)∨(綈q)．]3．命题“∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是()A．∀x∈(－∞，0)，x3＋x<0B．∀x∈(－∞，0)，x3＋x≥0C．∃x0∈[0，＋∞)，x30＋x0<0D．∃x0∈[0，＋∞)，x30＋x0≥0C[全称命题：∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0的否定是特称命题：∃x0∈[0，＋∞)，x30＋x0<0.]4．已知命题p：对任意x∈R，总有|x|≥0；q：x＝1是方程x＋2＝0的根．则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧綈qB ．綈p ∧qC ．綈p ∧綈qD ．p ∧qA [由题意知命题p 是真命题，命题q 是假命题，故綈p 是假命题，綈q 是真命题，由含有逻辑联结词的命题的真值表可知p ∧綈q 是真命题．]5．下列命题中为假命题的是( )A ．∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，x ＞sin x B ．∃x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0＝2C ．∀x ∈R,3x ＞0D ．∃x 0∈R ，lg x 0＝0B [对于A ，令f (x )＝x －sin x ，则f ′(x )＝1－cos x ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，f ′(x )＞0.从而f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是增函数，则f (x )＞f (0)＝0，即x ＞sin x ，故A 正确；对于B ，由sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤2＜2知，不存在x 0∈R ，使得sin x 0＋cos x 0＝2，故B 错误；对于C ，易知3x ＞0，故C 正确；对于D ，由lg 1＝0知，D 正确．]6．(2017·广州调研)命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0，若綈p 是真命题，则 实数a 的取值范围是( ) 【导学号：31222015】A ．(0,4]B ．[0,4]C ．(－∞，0]∪[4，＋∞)D ．(－∞，0)∪(4，＋∞)D [因为命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0，所以命题綈p ：∃x 0∈R ，ax 20＋ax 0＋1＜0，则a ＜0或⎩⎨⎧a ＞0，Δ＝a 2－4a ＞0，解得a ＜0或a ＞4.] 7．(2017·邯郸质检)已知命题p ：“∀x ∈R ，x ＋1≥0”的否定是“∀x ∈R ，x ＋1＜0”；命题q ：函数y ＝x －3是幂函数．则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∨qC ．綈qD ．p ∧(綈q )B [易知命题p 为假命题，q 为真命题．因此p ∨q 为真命题，其余3个命题为假命题．]二、填空题8．命题“∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan x 0＞sin x 0”的否定是________. 【导学号：31222016】∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan x ≤sin x 9．已知命题p ：(a －2)2＋|b －3|≥0(a ，b ∈R )，命题q ：x 2－3x ＋2＜0的解集是{x |1＜x ＜2}，给出下列结论：①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧(綈q )”是假命题；③命题“(綈p )∨q ”是真命题；④命题“(綈p )∨(綈q )”是假命题．其中正确的是________(填序号)①②③④ [命题p ，q 均为真命题，则綈p ，綈q 为假命题．从而结论①② ③④均正确．]10．已知命题p ：∀x ∈[0,1]，a ≥e x ，命题q ：∃x 0∈R ，x 20＋4x 0＋a ＝0，若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是________．[e,4] [由题意知p 与q 均为真命题，由p 为真，可知a ≥e ，由q 为真，知x 2＋4x ＋a ＝0有解，则Δ＝16－4a ≥0，∴a ≤4，综上知e ≤a ≤4.]B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．已知命题p ：若x ＞y ，则－x ＜－y ；命题q ：若x ＞y ，则x 2＞y 2.在命题 ①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(綈q )；④(綈p )∨q 中，真命题是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④C [由不等式的性质，得p 真，q 假．由真值表知，①p ∧q 为假命题；②p ∨q 为真命题；③p ∧(綈q )为真命题；④(綈p )∨q 为假命题．]2．(2016·浙江高考)命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式是( ) 【导学号：31222017】A ．∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n <x 2B ．∀x ∈R ，∀n ∈N *，使得n <x 2C ．∃x ∈R ，∃n ∈N *，使得n <x 2D ．∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n <x 2D [由于特称命题的否定形式是全称命题，全称命题的否定形式是特称命题，所以“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式为“∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n <x 2”．]3．(2017·长沙质检)已知下面四个命题：①“若x 2－x ＝0，则x ＝0或x ＝1”的逆否命题为“x ≠0且x ≠1，则x 2－x ≠0”；②“x ＜1”是“x 2－3x ＋2＞0”的充分不必要条件；③命题p ：存在x 0∈R ，使得x 20＋x 0＋1＜0，则綈p ：任意x ∈R ，都有x 2＋x＋1≥0；④若p 且q 为假命题，则p ，q 均为假命题．其中为真命题的是________．(填序号)①②③ [①正确．②中，x 2－3x ＋2＞0⇔x ＞2或x ＜1，所以“x ＜1”是“x 2－3x ＋2＞0”的充分不必要条件，②正确．由于特称命题的否定为全称命题，所以③正确．若p 且q 为假命题，则p ，q 至少有一个是假命题，所以④的推断不正确．]4．已知a ＞0，设命题p ：函数y ＝a x 在R 上单调递减，q ：设函数y ＝⎩⎨⎧ 2x －2a ，x ≥2a ，2a ，x ＜2a ，函数y ＞1恒成立，若p ∧q 为假，p ∨q 为真，则a 的取值范围是________．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪ 0＜a ≤12或a ≥1 [若p 是真命题，则0＜a ＜1，若q 是真命题，则y min ＞1，又y min ＝2a ，∴2a ＞1，∴q 为真命题时，a ＞12.又∵p ∨q 为真，p ∧q 为假，∴p 与q 一真一假．若p 真q 假，则0＜a ≤12；若p 假q 真，则a ≥1.故a的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪ 0＜a ≤12或a ≥1.]。
知识梳理_简单的逻辑联结词、全称量词与存在性量词
简单的逻辑联结词、全称量词与存在性量词【考纲要求】1. 理解命题的概念；了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.2. 理解全称量词与存在量词的意义；能正确地对含有一个量词的命题进行否定. 【知识络】【考点梳理】一、复合命题的真假二、全称命题与特称命题1、全称量词：类似“所有”这样的量词，并用符“∀”表示。
2、全称命题：含有全称量词的命题。
其结构一般为：,()x M p x ∀∈3、存在量词：类似“有一个”或“有些”或“至少有一个”这样的量词，并用符“∃”表示。
4、特称命题：含有存在量词的命题。
其结构一般为：,()x M p x ∃∈ 三、全称命题与特称命题的否定1、命题的否定和命题的否命题的区别命题p 的否定 ，即p ⌝，指对命题p 的结论的否定。
命题p 的否命题，指的是对命题p 的条件和结论的同时否定。
2、全称命题的否定全称命题p ：,()x M p x ∀∈ 全称命题p 的否定（p ⌝）：,()x M px ∃∈⌝特称命题:p ,()x M p x ∃∈ 特称命题的否定:p ⌝,()x M p x ∀∈⌝ 所以全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。
四、常见结论的否定形式至少有一个【典型例题】类型一：判定复合命题的真假【高清课堂：逻辑 例2】例1. 分别写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假．(1)若q ＜1，则方程x 2＋2x ＋q ＝0有实根； (2)若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0；(3)若实数x 、y 满足x 2＋y 2＝0，则x 、y 全为零．解析： (1)逆命题：若关于x 的方程x 2＋2x ＋q ＝0有实根，则q ＜1，为假命题．否命题：若q ≥1，则关于x 的方程x 2＋2x ＋q ＝0无实根，假命题．逆否命题：若关于x 的方程x 2＋2x ＋q ＝0无实根，则q ≥1，真命题． (2)逆命题：若a ＝0或b ＝0，则ab ＝0，真命题． 否命题：若ab ≠0，则a ≠0且b ≠0，真命题． 逆否命题：若a ≠0且b ≠0，则ab ≠0，真命题．(3)逆命题：若x 、y 全为零，则x 2＋y 2＝0，真命题．否命题：若实数x 、y 满足x 2＋y 2≠0，则x 、y 不全为零，真命题．逆否命题：若实数x 、y 不全为零，则x 2＋y 2≠0，真命题．2.（2016 山东高考）已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】A解析：直线a 与直线b 相交,则,αβ一定相交,若,αβ相交,则a ,b 可能相交，也可能平行,故选A.点评：1. 判断复合命题的真假的步骤：①确定复合命题的构成形式；②判断其中简单命题p 和q 的真假；③根据规定（或真假表）判断复合命题的真假.2. 条件“x N ∈或0x <”是“或”的关系，否定时要注意. 举一反三：【变式1】（2016 四川高考）设p ：实数x ，y 满足(x –1)2–(y –1)2≤2，q ：实数x ，y 满足1,1,1,y x y x y ≥-⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩则p 是q 的（A ）必要不充分条件 （B ）充分不必要条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】A ；解析：画出可行域（如图所示），可知命题q 中不等式组表示的平面区域ABC ∆在命题p 中不等式表示的圆盘内，故选A.类型二：全称命题与特称命题真假的判断例3. 判断下列命题的真假，写出它们的否定并判断真假.（1）:p 2,20x R x ∀∈+>； （2）:p 200,10x R x ∃∈+=；（3）:p 2,320x R x x ∀∈-+=； （4）:p 200,4x Q x ∃∈=.解析：(1)由于x R ∀∈都有20x ≥，故2220x +≥>，p 为真命题；p ⌝：200,20x R x ∃∈+≤，p ⌝为假命题 (2) 因为不存在一个实数x ，使210x +=成立，p 为假命题；p ⌝：2,10x R x ∀∈+≠，p ⌝为真命题.(3)因为只有2x =或1x =满足方程，p 为假命题；p ⌝：2000,320x R x x ∃∈-+≠，p ⌝为真命题. (4) 由于使24x =成立的数有2±，且它们是有理数，p 为真命题；p ⌝：2,4x Q x ∀∈≠，p ⌝为假命题.点评：1. 要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M 中的每一个元素x ，验证()p x 成立；要判断全称命题是假命题，只要能举出集合M 中的一个0x x =，使0()p x 不成立即可；2.要判断一个特称命题的真假，依据：只要在限定集合M 中，至少能找到一个0x x =，使0()p x 成立，则这个特称命题就是真命题，否则就是假命题.举一反三：【高清课堂：逻辑 思考题2】【变式1】分别写出下列各命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假．(1)若a>b 且c>d ，则a ＋c>b ＋d(2)若a<0，则方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负数根． 【答案】(1)逆命题：若a ＋c>b ＋d ，则a>b 且c>d(假命题) 否命题：若a ≤b 或c ≤d ，则a ＋c ≤b ＋d(假命题) 逆否命题：若a ＋c ≤b ＋d ，则a ≤b 或c ≤d(真命题)(2)逆命题：若方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负数根，则a<0否命题：若a ≥0，则方程ax 2＋2x ＋1＝0无负实数根逆否命题：若方程ax 2＋2x ＋1＝0无负实数根，则a ≥0因为若a<0时，方程ax 2＋2x ＋1＝0为两根之积为1a <0，所以方程有一个负根，所以原命题为真命题，所以其逆否命题也为真命题．逆命题为假命题．事实上，方程ax 2＋2x ＋1＝0，有两个负数根时1a >0此时a>0，所以逆命题不成立．因此否命题也是假命题. 类型三：在证明题中的应用例 4.若,,a b c 均为实数，且222a x y π=-+，223b y z π=-+，226c z x π=-+．求证：,,a b c 中至少有一个大于0．解析：假设,,a b c 都不大于0，即0,0,0a b c ≤≤≤，则0a b c ++≤ 而222222222(1)(1)(1)3236a b c x y y z z x x y z ππππ++=-++-++-+=-+-+-+-∵222(1)(1)(1)0x y z -+-+-≥，30π->． ∴0a b c ++>，这与0a b c ++≤相矛盾． 因此,,a b c 中至少有一个大于0．点评： 1.利用反证法证明时，首先正确地作出反设（否定结论）.从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾，从而假设不正确，原命题成立，反证法一般适宜结论本身以否定形式出现，或以“至多…”、“至少…”形式出现，或关于唯一性、存在性问题，或者结论的反面是比原命题更具体更容易研究的命题.2.反证法时对结论进行的否定要正确，注意区别命题的否定与否命题． 举一反三：【变式】求证:关于x 的方程20ax bx c ++=有一根为1的充分必要条件是0a b c ++=. 证明：(1）必要性，即 证“1x =是方程20ax bx c ++=的根⇒0a b c ++=”.∵1x =是方程的根，将1x =代入方程，得2110a b c ⋅+⋅+=,即0a b c ++=成立. (2）充分性，即证“0a b c ++=⇒1x =是方程20ax bx c ++=的根”. 把1x =代入方程的左边，得211a b c a b c ⋅+⋅+=++∵0a b c ++=, ∴2110a b c ⋅+⋅+= ，∴1x =是方程的根成立.综合(1)(2)知命题成立.。
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考点3 简单的逻辑联结词、全称量词
与存在量词
1.（2016·福建高考理科·Ｔ3）下列命题中，真命题是（ ）
(A)00,0xxRe (B)2,2xxRx
(C)0ab的充要条件是1ab (D)1,1ab是1ab的充分条件
【解题指南】了解全称命题和特称命题的辩证关系，要说明全称命题
正确，就要进行严谨地证明；而要说明其错误，只要举一反例即可.
相应地，要说明特称命题正确，只要举一例即可；而要说明其不对，
就要说明所有对象都在所给属性的对立面.同时，要注意充分条件和
必要条件的判断方法．
【解析】选D.
选项 具体分析 结论
A
xR
，0xe 不正确
B
当x=2时，22xx
不正确
C
0ab
中b可取0，而1ab中b不可取0，因此，
两者不等价
不正确
D
1,1ab
1ab
，反之不能成立
正确
2.（2016·湖北高考理科·Ｔ2）命题“x0∈ðRQ， 30x∈Q”的否定
是（ ）
(A)x0∉ðRQ，30x∈Q (B)x0∈ðRQ ，30x∉Q
(C)x∉ðRQ，x3∈Q (D)x∈ðRQ ，x3∉Q
【解析】选D. 有特称命题的否定是全称命题可知结果.
3.（2016·湖北高考文科·Ｔ4）命题“存在一个无理数，它的平方
是有理数”的否定是（ ）
(A)任意一个有理数，它的平方是有理数
(B)任意一个无理数，它的平方不是有理数
(C)存在一个有理数，它的平方是有理数
(D)存在一个无理数，它的平方不是有理数
【解题指南】解答本题的关键是理解特称命题和命题的否定的定义.
【解析】选B. 有特称命题的否定是全称命题可知结果.
4. （2016·江西高考理科·Ｔ5）下列命题中，假命题为（ ）
(A)存在四边相等的四边形不是正方形
(B)1212,,zzCzz为实数的充分必要条件是12,zz互为共轭复数
(C)若,xyR，且2xy，则,xy至少有一个大于1
(D)对于任意nNN+，01nnnnCCC…都是偶数
【解题指南】 对选项依次排查，找出命题是假命题的选项.
【解析】选B. A中，四边相等的空间四边形显然不是正方形，故A
为真命题；B中，12,zzC，“12,zz 为共轭复数”“12zz为实数”，
但
“12zz为实数” “12,zz 互为共轭复数”.故B为假命题；C中，
假设,xy均小于等于1,则2xy，这与2xy相矛盾，因此C为真命
题；D中，01+nnnnCCC…2n，显然2n是偶数，D为真命题.
5. （2016·辽宁高考文科·Ｔ5）与（2016·辽宁高考理科·Ｔ4）
相同
已知命题p：x1，x2R，(f(x2)f(x1))(x2x1)≥0，则p是( )
(A) x1，x2R，(f(x2)f(x1))(x2x1)≤0
(B) x1，x2R，(f(x2)f(x1))(x2x1)≤0
(C) x1，x2R，(f(x2)f(x1))(x2x1)<0
(D) x1，x2R，(f(x2)f(x1))(x2x1)<0
【解题指南】弄清楚全称命题的否定是特称命题.
【解析】选C.全称命题122121:,,(()())()0pxxRfxfxxx的否定为
122121
:,,(()())()0pxxRfxfxxx
.
6. （2016·安徽高考文科·Ｔ4）命题“存在实数x，使x > 1”的否
定是
（ ）
（A） 对任意实数x, 都有x>1 （B）不存在实数x，使x1
（C） 对任意实数x, 都有x1 （D）存在实数x，使x1
【解题指南】根据存在量词的否定形式进行判断.
【解析】选C.“存在”的否定是“任意”，“x＞1”的否定是“x1”.
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