05年10月线性代数量02198自考试题及答案
2005年考研数学二真题答案解析
1..【分析】 本题属基本题型，幂指函数的求导（或微分）问题可化为指数函数求导或取对数后转化为隐函数求导.【详解】 方法一： x x y )sin 1(+==)sin 1ln(x x e +，于是]sin 1cos )sin 1[ln()sin 1ln(x xx x e y x x +⋅++⋅='+，从而π=x dy=.)(dx dx y ππ-='方法二： 两边取对数，)sin 1ln(ln x x y +=，对x 求导，得x xx x y ys i n 1c o s )s i n 1l n (1+++='， 于是]sin 1cos )sin 1[ln()sin 1(x xx x x y x +⋅++⋅+='，故π=x dy=.)(dx dx y ππ-='【评注】 幂指函数的求导问题，既不能单纯作为指数函数对待，也不能单纯作为幂函数，而直接运用相应的求导公式.2..【分析】 本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可.【详解】 因为a=,1)1(lim )(lim23=+=+∞→+∞→x x x x x f x x[]23)1(lim)(lim 2323=-+=-=+∞→+∞→xxx ax x f b x x ，于是所求斜渐近线方程为.23+=x y 【评注】 如何求垂直渐近线、水平渐近线和斜渐近线，是基本要求，应熟练掌握。
这里应注意两点：1）当存在水平渐近线时，不需要再求斜渐近线；2）若当∞→x 时，极限x x f a x )(lim∞→=不存在，则应进一步讨论+∞→x 或-∞→x 的情形，即在右或左侧是否存在斜渐近线，本题定义域为x>0，所以只考虑+∞→x 的情形. 3..【分析】 作三角代换求积分即可. 【详解】 令t x sin =，则=--⎰1221)2(x xxdx⎰-202cos )sin 2(cos sin πdt t t tt=.4)arctan(cos cos 1cos 20202πππ=-=+-⎰t tt d【评注】 本题为广义积分，但仍可以与普通积分一样对待作变量代换等. 4...【分析】直接套用一阶线性微分方程)()(x Q y x P y =+'的通解公式：⎰+⎰⎰=-])([)()(C dx e x Q e y dxx P dx x P ，再由初始条件确定任意常数即可. 【详解】 原方程等价为x y x y ln 2=+'，于是通解为⎰⎰+⋅=+⎰⋅⎰=-]ln [1]ln [2222C xdx x x C dx ex ey dxx dxx=2191ln 31x C x x x +-， 由91)1(-=y 得C=0，故所求解为.91ln 31x x x y -=【评注】 本题虽属基本题型，但在用相关公式时应注意先化为标准型. 另外，本题也可如下求解：原方程可化为x x xy y x ln 222=+'，即x x y x ln ][22='，两边积分得 Cx x x xdx x y x +-==⎰332291ln 31ln ，再代入初始条件即可得所求解为.91ln 31x x x y -=5…【分析】 题设相当于已知1)()(lim0=→x x x αβ，由此确定k 即可.【详解】 由题设，200cos arcsin 1lim )()(limkx xx x x x x x -+=→→αβ=)cos arcsin 1(cos 1arcsin lim20x x x kx x x x x ++-+→=k 21143cos 1arcsin lim 20==-+→k x x x x x ，得.43=k 【评注】 无穷小量比较问题是历年考查较多的部分，本质上，这类问题均转化为极限的计算.6…【分析】 将B 写成用A 右乘另一矩阵的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.【详解】 由题设，有)93,42,(321321321ααααααααα++++++=B=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡941321111),,(321ααα， 于是有.221941321111=⨯=⋅=A B【评注】 本题相当于矩阵B 的列向量组可由矩阵A 的列向量组线性表示，关键是将其转化为用矩阵乘积形式表示。
2013年1月自学考试02198线性代数试题和答案
线性代数---2013年1月1.设A、B为同阶方阵，则必有A、|A+B|=|A|+|B|B、AB=BAC、(AB)T=ATBTD、|AB|=|BA|正确答案：D解析：只有D选项为矩阵的性质|AB|=|BA|=|A||B|.2.设n阶方阵A、B、C满足ABC=E，则必有A、ACB=EB、CBA=EC、BCA=ED、BAC=E正确答案：C解析：因为ABC=E，可以得到矩阵AB与矩阵C互为逆矩阵，所以CAB=E矩阵A与矩阵BC互为逆矩阵，所以BCA=E。
3.设A为三阶方阵，且|A|=2，则|-2A|=A、-16B、-4C、4D、16正确答案：A解析：由矩阵的性质4.若同阶方阵A与B等价，则必有A、|A|=|B|B、A与B相似C、R(A)=R(B)D、正确答案：C解析：因为等价矩阵有相同的等价标准型，故秩相等。
5.设α1= (1，0，0)、α2=(2，0,0)、α3=(1，1，0)，则A、α1，、α2、α3线性无关B、α3可由α1、α2线性表示C、α1可由α2、α3线性表示D、α1、α2、α3的秩等于3正确答案：C解析：由，秩为2.可知线性相关；的秩为2；不能由线性表示；为一个极大无关组。
所以可以由线性表示，且．6.设向量空间V={ (x1，x2，x3)|x1+x2+x3=0}，则V的维数是B、1C、2D、3正确答案：C解析：向量空间V是方程x1+x2+x3=0的解空间，V的维数即为方程的基础解系的个数。
因为未知数n=3,系数矩阵的秩r=1。
所以解空间维数为n-r=2.7.若3阶方阵A与对角阵=相似，则下列说法错误的是A、|A|=0B、|A+E|=0C、A有三个线性无关特征向量D、R(A)=2正确答案：B解析：A选项：A与对角阵相似，A的特征值为2、0、3，所以B选项：A的特征值为2、0、3，则A+E的特征值分别为3、1、4，所以|A+E|=12.此选项错误。
C选项：A与对角阵相似，则A有3个线性无关的特征向量。
2005—数二真题、标准答案与解析
2005 年考研数学二真题一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分24 分 . 把答案填在题中横线上）（ 1）设y(1sin x) x，则 dy |x=______ .3（ 2）曲线 y (1x) 2的斜渐近线方程为 ______ .x（ 3）1xdx______ .0 (2x 2 )1x2（ 4）微分方程 xy12 y x ln x 满足 y(1)9的解为 ______ .（ 5）当x0 时，( x) kx2与(x) 1 x arcsin x cosx 是等价无穷小，则k= ______ .（6）设1,2,3均为3维列向量，记矩阵A(1,2,3)，B (123,1 22 43,1 32 93)，如果 A1，那么 B.二、选择题（本题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分 . 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（ 7）设函数f (x)lim n 1x3n，则 f(x) 在(,) 内n(A)处处可导 .(B)恰有一个不可导点 .(C)恰有两个不可导点.(D)至少有三个不可导点.[]（ 8）设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，" M N " 表示“M的充分必要条件是N”，则必有(A)F(x) 是偶函数f(x) 是奇函数 .（ B）F(x) 是奇函数f(x) 是偶函数 .(C)F(x) 是周期函数f(x) 是周期函数 .(D)F(x) 是单调函数f(x) 是单调函数 .[]（ 9）设函数y=y(x)由参数方程x t 22t,确定，则曲线 y=y(x) 在 x=3 处的法线与 x 轴交点的横坐标是y ln(1 t)(A)1ln 23.(B)1ln 2 3 . 88(C)8ln 23.(D)8ln 2 3 .[]（ 10）设区域D {(,)x2y24,x0,y0}， f(x) 为 D上的正值连续函数，a,b 为常数，则x ya f ( x)b f ( y)f ( x)dD f ( y)(A)ab .ab.(C)( a b).a b.[] (B)2(D)2（ 11）设函数 u( x, y)( x y)(xx y (t )dt , 其中函数y) 具有二阶导数， 具有一阶导数，x y则必有2u2u2u2u(A)x2y 2 .（B ）x2y 2 .2u2u2u2 u(C)x yy 2 .(D)x yx 2 .[]（ 12）设函数 f ( x)x1,则e x 1 1(A)x=0,x=1 都是 f(x) 的第一类间断点 .（ B ） x=0,x=1 都是 f(x) 的第二类间断点 .(C) x=0 是 f(x) 的第一类间断点，x=1 是 f(x) 的第二类间断点 .(D)x=0 是 f(x) 的第二类间断点， x=1 是 f(x) 的第一类间断点 .[ ]（ 13）设1 ,2 是矩阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为1 ,2 ，则 1，A( 12) 线性无关的充分必要条件是(A)10 .(B)20. (C) 10 .(D)20 .[ ]（ 14）设 A 为 n （ n 2 ）阶可逆矩阵，交换 A 的第 1 行与第 2 行得矩阵 B, A *,B * 分别为 A,B 的伴随矩阵，则(A) 交换 A * 的第 1 列与第 2列得 B *.(B) 交换 A * 的第 1 行与第 2行得 B *.(C)交换 A * 的第 1 列与第2列得 B * .(D) 交换 A *的第 1 行与第2 行得B * .[] 三 、解答题（本题共 9 小题，满分94 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（ 15）（本题满分 11 分）x (x t) f (t )dt0 ，求极限 lim设函数 f(x) 连续，且 f (0)x.x 0xf (x t)dt（ 16）（本题满分 11 分）如图， C 1 和 C 2 分别是 y1(1 e x ) 和 ye x 的图象， 过点 (0,1)的曲线 C 3 是一单调增函数的图象 . 过2C 2 上任一点 M(x,y) 分别作垂直于 x 轴和 y 轴的直线 l x 和 l y . 记 C 1 ,C 2 与 l x 所围图形的面积为 S 1 ( x) ；C 2 ,C 3 与 l y 所围图形的面积为 S 2 ( y). 如果总有 S 1 ( x) S 2 ( y) ，求曲线 C 3 的方程 x( y).（ 17）（本题满分 11 分）l 与 l 分别是曲线(2,4). 设函数 f(x) 具有三阶连续导数，计算定积分3 2x) f ( x)dx.的切线，其交点为 ( x（ 18）（本题满分 12 分）用变量代换x cost(0 t) 化 简 微 分 方 程 (1 x 2 ) yxyy 0 ， 并 求 其 满 足y1, yx2的特解 .x 0（ 19）（本题满分 12 分）已知函数 f(x) 在 [0， 1]上连续，在 (0,1) 内可导，且 f(0)=0,f(1)=1. 证明：（ I ）存在(0,1), 使得 f ( )1 ；（ II ）存在两个不同的点,(0,1) ，使得 f () f ( )1.（ 20）（本题满分 10 分）已知函数z=f(x,y)的 全 微 分 dz 2xdx 2 ydy， 并 且 f(1,1,)=2. 求 f(x,y) 在椭圆域D{( x, y) x 2y 2 1} 上的最大值和最小值 .4（ 21）（本题满分 9 分）计算二重积分x 2y 2d ，其中 D {( x, y) 0 x 1,0y 1} .1D（ 22）（本题满分 9 分）确 定 常 数a, 使 向 量 组1 (1,1, a)T, 2 (1, a,1) T ,3(a,1,1)T 可 由 向 量 组1 (1,1,a)T,2( 2,a,4)T ,3( 2, a, a)T 线性表示， 但向量组 1 ,2 ,3 不能由向量组1 ,2 ,3线性表示 .（ 23）（本题满分 9 分）1 2 3已知 3 阶矩阵 A 的第一行是(a,b, c), a,b, c 不全为零， 矩阵 B 2 4 6 （ k 为常数），且 AB=O, 求 3 6 k线性方程组 Ax=0 的通解 .2005 年考研数学二真题解析一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分24 分 . 把答案填在题中横线上）（ 1）设y(1sin x) x，则 dy=dx.x【分析】本题属基本题型，幂指函数的求导（或微分）问题可化为指数函数求导或取对数后转化为隐函数求导 .【详解】方法一：y(1sin x) x=e x ln(1sin x) ，于是y e x ln(1sin x) [ln( 1sin x)x cos x] ，1sin x从而dy= y ()dx dx.x方法二：两边取对数， ln y x ln(1 sin x) ，对x求导，得1 y ln(1sin x)x cos x，y1sin x于是 y(1 sin x) x[ln( 1sin x) x cos x] ，故1sin xdyx= y ( ) dx dx.3（ 2）曲线y (1x) 2y3 x的斜渐近线方程为x.2【分析】本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可.3【详解】因为 a= lim f (x)(1x)2xlim1,x x x x33b lim f ( x) ax(1 x) 2x 23，lim x2x x 于是所求斜渐近线方程为y x3.21xdx.（ 3）x 2 ) 1x20 (24【分析】作三角代换求积分即可 .【详解】令 x sin t ，则1xdx2sin t costdt0 ( 2x2 ) 1x 20 (2sin2 t ) cost=2 d cost arctan(cos ) 2 1cos2 t. 4（ 4） 微分方程 xy2 yx ln x 满足 y(1)1 的解为 y 1x ln x1x. .939【分析 】直接套用一阶线性微分方程y P( x) y Q ( x) 的通解公式：ye P ( x) dxP ( x)dxdx C] ，[ Q( x)e再由初始条件确定任意常数即可 .【详解 】 原方程等价为y2 y ln x ，x2dx2dx12于是通解为xxy e[ln x edx C ] x2[ xln xdxC]= 1x ln x1 x C 1 ，39 x 2由 y(1)1 得 C=0 ，故所求解为 y 1x ln x 1x.93 9（ 5）当 x0 时， ( x) kx 2 与(x)1 x arcsin xcosx 是等价无穷小，则 k=3 .4【分析 】 题设相当于已知 lim( x) 1，由此确定 k 即可 .( x)x 0【详解】由题设， lim( x) lim 1 x arcsin xcosx( x)kx 2x 0x 0x arcsin x 1 cos x = limxkx 2 ( 1 x arcsinxcos x )= 1 lim x arcsin x 1 cos x3 1，得 k3 .2kx 0x 24k4（6）设1, 2 , 3 均为 3 维列向量，记矩阵A ( 1, 2, 3)，B( 123,12243,13293 ) ，如果 A 1，那么 B2 .【分析 】 将 B 写成用 A 右乘另一矩阵的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可 .【详解 】 由题设，有B ( 123 ,12 2 43,1 32 93)111=(1,2,3)123，149111于是有 B A 12 3 12 2.149二、选择题（本题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分 . 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（ 7）设函数f (x)lim n 1x3 n，则 f(x) 在(,) 内n(A)处处可导 .(B)恰有一个不可导点 .(C)恰有两个不可导点 .(D)至少有三个不可导点.[C]【分析】先求出 f(x) 的表达式，再讨论其可导情形 .当 x 1 时，n3n【详解】f( )lim1x1；x n当 x 1 时， f ( x)lim n 111；n3113当 x 1 时， f ( x)lim x1) n(3n x .n xx3 ,x1,即 f ( x)1,1x1,可见 f(x) 仅在 x= 1 时不可导，故应选(C).x 3 ,x 1.（ 8）设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，" M N " 表示“M的充分必要条件是N ”，则必有(B)F(x) 是偶函数f(x) 是奇函数 .（ B） F(x) 是奇函数f(x) 是偶函数 .(C)F(x) 是周期函数f(x) 是周期函数 .(D)F(x) 是单调函数f(x) 是单调函数 .[A]【分析】本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案.F ( x)x C ，且F ( x) f ( x).【详解】方法一：任一原函数可表示为 f (t) dt当 F(x) 为偶函数时，有F (x) F ( x)，于是F(x)(1) F ( x) ，即 f (x) f ( x) ，也即f ( x) f ( x) ，可见f(x)为奇函数；反过来，若f(x)xf (t) dt 为偶函数，从而为奇函数，则xf (t )dt C 为偶函数，可见(A)为正确选项.F (x)方法二：令 f(x)=1,则取 F(x)=x+1,排除 (B)、 (C);令 f(x)=x,则取 F(x)= 1 x2, 排除 (D); 故应选 (A).2（ 9）设函数y=y(x)由参数方程x t 22t ,确定，则曲线y=y(x) 在 x=3 处的法线与x 轴交点的横坐标是(A)1ln 23.(B)1ln 23 .88(C) 8ln 2 3.(D) 8ln 2 3 .[ A ]【分析】 先由 x=3 确定 t 的取值， 进而求出在此点的导数及相应的法线方程，从而可得所需的横坐标 .【详解 】 当 x=3 时，有 t 22t3 ，得 t 1, t 3 （舍去，此时 y 无意义），于是dy 1 1，可见过点 x=3( 此时 y=ln2) 的法线方程为：1 tdxt12t 2t 18y ln 2 8( x 3) ，令 y=0, 得其与 x 轴交点的横坐标为：1ln 2 3, 故应 (A).8（ 10）设区域 D{( x, y) x 2y 2 4, x0, y0} ， f(x) 为 D 上的正值连续函数， a,b 为常数，则a f ( x)b f ( y)f ( x) f ( y) dD(A)ab . (B)ab (C)( a b) .ab[ D ]2 .(D).2【分析 】 由于未知 f(x) 的具体形式，直接化为用极坐标计算显然是困难的 . 本题可考虑用轮换对称性 .【详解 】 由轮换对称性，有a f ( x)b f ( y)d a f ( y) b f ( x)f (x)f ( y)f ( y)d DDf (x)1a f ( x)b f ( y)a f ( y)b f ( x)=[f (x)f ( y)f ( y) f (x) ]d2 D=a2b da b 1 22ab . 应选 (D).D2 42（ 11）设函数 u( x, y)( xy)( x y)x y (t) dt ,x y其中函数具有二阶导数，具有一阶导数，则必有2u2u2u2u(A)x2y 2 .（B ）x2y 2 .2u2u2u 2 u(C)x yy 2 .(D)x yx 2 .[ B ]【分析】先分别求出2u 、 2u 、2u，再比较答案即可 .x 2y 2x yu(x y)(x y)(x y)( x y) ，【详解】因为xu(x y)(x y)(x y)( x y) ，y于是2 u(x y)(x y)(x y)(x y) ，x22u( x y)( x y)( x y)( x y) ，x y2 u( x y)(x y)(x y)(x y) ，y 2可见有2u 2 u，应选 (B).x2y 2（ 12）设函数 f ( x)1, 则xe x 11(B)x=0,x=1 都是 f(x) 的第一类间断点 .（ B ）x=0,x=1 都是 f(x) 的第二类间断点.(C)x=0 是 f(x) 的第一类间断点，x=1 是 f(x) 的第二类间断点.(E) x=0 是 f(x) 的第二类间断点，x=1 是 f(x) 的第一类间断点.[ D]【分析】显然x=0,x=1为间断点，其分类主要考虑左右极限.【详解】由于函数f(x) 在 x=0,x=1 点处无定义，因此是间断点.且lim f (x)，所以x=0为第二类间断点；x 0l i mf ( x) x 10， limf()1，所以x=1为第一类间断点，故应选(D).x 1x（ 13）设 1 ,2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为1, 2 ，则 1 ，A(1 2 )线性无关的充分必要条件是(A)10.(B)20. (C)10 .(D)2 0 .[ B ]【分析】讨论一组抽象向量的线性无关性，可用定义或转化为求其秩即可.【详解】方法一：令k11k2 A( 1 2 )0 ，则k1 1k2 1 1k2 2 20 ， ( k1k2 1)1k2 2 20 .由于1 , 2 线性无关，于是有k1k2 10,k0.当20时，显然有 k10, k2 0 ，此时1，A(12 )线性无关；反过来，若1，A( 12)线性无关，则必然有2 0(,否则，1与A( 12)=11线性相关 )，故应选 (B).由于 [1,A(12)] [1,11 22][1,21方法二：]012，1可见1，A( 12 ) 线性无关的充要条件是010. 故应选(B).22（ 14）设A为n（n 2 ）阶可逆矩阵，交换 A 的第 1 行与第 2 行得矩阵B,A*, B*分别为A,B的伴随矩阵，则(B)交换 A*的第1列与第2列得 B*.(B) 交换A*的第 1行与第 2行得B*.(C)交换 A*的第1列与第2列得B*.(D) 交换A*的第 1行与第 2行得B*.[C]【分析】本题考查初等变换的概念与初等矩阵的性质，只需利用初等变换与初等矩阵的关系以及伴随矩阵的性质进行分析即可 .【详解】由题设，存在初等矩阵E12（交换n阶单位矩阵的第1行与第 2 行所得），使得E12A B，于是B*(E12 A)*A* E*12A*E12E121A* E12，即A* E12B*,可见应选(C).三、解答题（本题共9 小题，满分94 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（ 15）（本题满分11 分）x(x t) f (t )dt设函数 f(x) 连续，且f (0)0，求极限lim xf (x .x0x0t)dt【分析】此类未定式极限，典型方法是用罗必塔法则，但分子分母求导前应先变形.xf ( x t )dt x t u 0du)x【详解】由于 f (u)( f (u)du ,于是0x0xt) f (t)dt x f (t) dt x( x x tf (t )dt lim 0x lim0x0x 0 x f ( x t )dt x 0x0f (u)duxf (t)dt xf ( x)xf (x)x f (t )dt= lim0x= lim x0x0 f (u)du xf ( x)x0 f (u)du xf ( x) 00xf (t)dtxf (0) 1= limx=.xf (u)duf (0)f (0) 2f (x)x（ 16）（本题满分 11 分）如图， C 1 和 C 2 分别是 y1(1 e x ) 和 ye x 的图象， 过点 (0,1)的曲线 C 3 是一单调增函数的图象 . 过2C 2 上任一点M(x,y) 分别作垂直于 x轴和 y 轴的直线 l x 和 l y . 记 C 1 ,C 2 与 l x 所围图形的面积为 S 1 ( x) ；C 2 ,C 3 与 l y 所围图形的面积为 S 2 ( y). 如果总有 S 1 ( x)S 2 ( y) ，求曲线 C 3 的方程 x( y).【分析 】 利用定积分的几何意义可确定面积 S 1 (x), S 2 ( y) ，再根据 S 1 (x) S 2 ( y) 建立积分等式，然后求导引出微分方程，最终可得所需函数关系.【详解 】 如图，有x1(1 e t)] dt 1 (e xS 1 (x)[e tx 1) ，0 22S 2 ( y)y(t))dt ，(ln t1由题设，得1 (e x x 1) y(ln t (t)) dt ， 121 ( y而 y e x ，于是 ln y 1) y (ln t (t ))dt12两边对 y 求导得1(1 1 ) ln y ( y) ，2 y故所求的函数关系为：x( y) ln yy 1.2 y（ 17）（本题满分 11 分）如图，曲线 C 的方程为 y=f(x) ，点 (3,2)是它的一个拐点，直线l 1 与 l 2 分别是曲线 C 在点 (0,0)与 (3,2)处3 2x) f ( x)dx.的切线，其交点为 (2,4). 设函数 f(x) 具有三阶连续导数，计算定积分( x【分析】 题设图形相当于已知 f(x) 在 x=0 的函数值与导数值， 在 x=3 处的函数值及一阶、 二阶导数值 .【详解 】 由题设图形知， f(0)=0, f (0)2 ; f(3)=2, f (3)2, f (3) 0.由分部积分，知3 x) f(x)dx3x)df ( x) ( x2x) f 3 3( x)( 2x 1)dx (x2( x2(x)f31)df ( x)(2 x 1) f 3 3( x)dx= ( 2x( x)2 f= 162[ f (3) f (0)]20.（ 18）（本题满分12 分）用变量代换 x cost(0t)化简微分方程 (1 x2 ) y xy y0，并求其满足y1, yx 02的特解.x 0【分析】先将 y , y转化为 dy , d 2 y，再用二阶常系数线性微分方程的方法求解即可.dt dt 2【详解】dy dt1dyydt dx sin t，dtydy dt cost dy1 d 2 y1dt dx[2t dt sin t dt2 ] () ，sin sin t代入原方程，得d 2yy0 . dt2解此微分方程，得y C1 c o ts C2 si nt C1 x C2 1 x 2，将初始条件 yx 01, yx2代入，有 C12,C21.故满足条件的特解为y2x 1 x 2 .（ 19）（本题满分12 分）已知函数 f(x) 在 [0， 1]上连续，在 (0,1) 内可导，且 f(0)=0,f(1)=1.证明：（ I）存在(0,1),使得 f ()1；（ II ）存在两个不同的点,(0,1) ，使得 f ( ) f() 1.【分析】第一部分显然用闭区间上连续函数的介值定理；第二部分为双介值问题，可考虑用拉格朗日中值定理，但应注意利用第一部分已得结论.【详解】（ I）令F (x) f ( x) 1 x ，则F(x)在[0，1]上连续，且F(0)=-1<0, F(1)=1>0, 于是由介值定理知，存在(0,1), 使得 F ( ) 0，即 f ( ) 1.（II）在[ 0,]和 [,1] 上对使得 f ( ) f () f (0) ，f0f(x) 分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同的点(0, ),( ,1) ，f (1) f ( )( )1于是f ( ) f () f () 1 f ( ) 1 1.11（ 20）（本题满分10 分）已知函数z=f(x,y)的全微分 dz2xdx 2 ydy ，并且f(1,1,)=2.求f(x,y) 在椭圆域D {( x, y) x2y 21} 上的最大值和最小值.4【分析】根据全微分和初始条件可先确定f(x,y) 的表达式 . 而 f(x,y) 在椭圆域上的最大值和最小值, 可能在区域的内部达到，也可能在区域的边界上达到，且在边界上的最值又转化为求条件极值..【详解】由题设，知f2x ，f2 y ，x y于是 f (x, y)x 2 C ( y) ，且 C ( y) 2 y ，从而C( y)y 2 C ，再由 f(1,1)=2 ，得 C=2, 故 f (x, y) x2y2 2.令f0,f0 得可能极值点为x=0,y=0.且A 2 f 2 ，B 2 f(0,0)0 ，x y x2(0,0)x y2fCy2(0,0)2 ，B 2AC40 ，所以点(0,0)不是极值点，从而也非最值点 .再考虑其在边界曲线x2y 2 1 上的情形：令拉格朗日函数为4F (x, y, ) f ( x, y)( x2y 21) ，4F x f2x2(1) x0, x解F y f y 2 y1y0,y2y 22F x210,4得可能极值点x0, y2, 4 ；x0, y2, 4 ；x 1, y0,1；x1, y0, 1. 代入 f(x,y) 得f (0,2)2, f (1,0) 3 ，可见z=f(x,y)在区域 D{( x, y) x 2y 21}内的最大值为3，最4小值为 -2.（ 21）（本题满分 9 分）计算二重积分x2y2d，其中D{( x, y) 0 x1,0y 1}.1D【分析】被积函数含有绝对值，应当作分区域函数看待，利用积分的可加性分区域积分即可.【详解】记D1{( ,)x2y21,( ,)}x y x y D ，D 2{( x, y) x 2y 2 于是x2y 2 1d =( x2yDD 12d1 21)rdr= (r1, (x, y)D} ，2 1)dxdy( x 2 y 2 1)dxdyD 2( x 2y 2 1) dxdy(x 2y 2 1)dxdyDD 11dx 1y21)dy2 d1 1) rdr =1 . = +0 ( x 2 (r284 3（ 22）（本题满分 9 分）确定常数a, 使向量组1(1,1, a)T ,2(1, a,1) T , 3(a,1,1)T可由向量组1 (1,1,a)T, 2 ( 2,a,4)T,3( 2, a, a)T线性表示， 但向量组1 ,2 ,3 不能由向量组1, 2, 3线性表示 .【分析 】向量组1 ,2 ,3 可由向量组1 ,2 ,3 线性表示，相当与方程组：ix 11x 22x 3 3 ,i 1,2,3.均有解，问题转化为r (1,2 ,3 ) = r (1 ,2 ,3i ), i 1,2,3 是否均成立？这通过初等变换化解体形讨论即可 . 而向量组1 ,2 ,3 不能由向量组1 ,2 ,3 线性表示，相当于至少有一个向量 j ( j1,2,3) 不能由1 ,2 ,3 表示，即至少有一方程组jx1 1x2 2x 3 3 , j 1,2,3，无解 .【详解】 对矩阵 A(1 ,2 ,31 ,2 ,3 ) 作初等行变换，有12 2 1 1 a A(1,2,31, 2, 3)= 1a a 1 a 1a4 a a1 1122 11a 0 a 2 a 2 0 a 10 4 2a3a0 1 a 1 a122 1 1 a0 a 2 a2 0 a1，a43(1 a) 1 a12 2 1 1 2当 a=-2 时，A00 0 0 3 0 ,显然2 不能由1 ,2 ,3 线性表示，因此 a2 ；633当 a=4 时，1 2 2 1 1 4A06 6 0 3 0 ，然 2, 3均不能由1 ,2 ,3 线性表示，因此 a4 .93而当 a2 且 a4 时，秩 r (1, 2, 3 )3 ，此时向量组1, 2 , 3 可由向量组 1, 2, 3线性表示 .11 a 1 22又B (1,2,31, 2, 3)1 a 1 1 a aa1 1 a4a1 1 a1 220 a 1 1 a 0a 2 a 20 1 a 1 a 2 0 4 2a3a1 1 a 12 20 a 1 1 a 0a 2a 2 ，2 a a 20 6 3a 4a2由题设向量组1 ,2 ,3 不能由向量组 1 , 2 , 3 线性表示，必有 a 1 0 或 2 a a 2 0 ，即 a=1 或a 2 .综上所述，满足题设条件的 a 只能是： a=1.（ 23）（本题满分 9 分）1 2 3已知 3 阶矩阵 A 的第一行是(a,b, c), a,b, c 不全为零， 矩阵 B 2 4 6 （ k 为常数），且 AB=O, 求 3 6 k线性方程组 Ax=0 的通解 .【分析 】 AB=O, 相当于告之 B 的每一列均为 Ax=0 的解，关键问题是 Ax=0 的基础解系所含解向量的个数为多少，而这又转化为确定系数矩阵A 的秩.【详解 】 由 AB=O 知， B 的每一列均为 Ax=0 的解，且 r ( A)r ( B) 3.（ 1）若 k9 , 则 r(B)=2, 于是 r(A) 1, 显然 r(A) 1, 故 r(A)=1.可见此时 Ax=0 的基础解系所含解向量的个数为3-r(A)=2, 矩阵 B 的第一、第三列线性无关，可作为其基础解系，故Ax=0 的通解为：13x k 1 2k 2 6 , k 1 , k 2 为任意常数 .3k(2) 若 k=9 ，则 r(B)=1, 从而 1 r ( A) 2.11）若 r(A)=2,则Ax=0的通解为：x k1 2 ,k1为任意常数.32）若r(A)=1, 则Ax=0的同解方程组为：ax1bx2cx30 ,不妨设a0 ,则其通解为b ca ax k11k 20, k1 , k2为任意常数.01。
2005考研数二真题及解析
2005年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题：1-6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. (1) 设xx y )sin 1(+=，则π=x dy= ________________ .(2) 曲线x x y 23)1(+=的斜渐近线方程为___________.(3)=--⎰1221)2(xxxdx______________(4) 微分方程x x y y x ln 2=+'满足91)1(-=y 的解为________________.(5) 当0→x 时，2)(kx x =α与x x x x cos arcsin 1)(-+=β是等价无穷小，则k =________________ .(6) 设321,,ααα均为3维列向量，记矩阵),,(321ααα=A ，)93,42,(321321321ααααααααα++++++=B ，如果1=A ，那么=B .二、选择题：7-14小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. (7) 设函数n nn xx f 31lim )(+=∞→，则()f x 在),(+∞-∞内 ( )(A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点.(C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点.(8) 设()F x 是连续函数()f x 的一个原函数，""N M ⇔表示“M 的充分必要条件是N ”， 则必有 ( )(A)()F x 是偶函数⇔()f x 是奇函数. (B)()F x 是奇函数⇔()f x 是偶函数. (C)()F x 是周期函数⇔()f x 是周期函数. (D)()F x 是单调函数⇔()f x 是单调函数.(9) 设函数()y y x =由参数方程⎩⎨⎧+=+=)1ln(,22t y t t x 确定，则曲线()y y x =在3x =处的法线与x轴交点的横坐标是 ( )(A) 1ln 238+. (B) 32ln 81+-. (C) 32ln 8+-. (D) 32ln 8+.(10) 设区域}0,0,4),{(22≥≥≤+=y x y x y x D ，()f x 为D 上的正值连续函数，,a b 为常数，则=++⎰⎰σd y f x f y f b x f a D)()()()( ( )(A) πab . (B) π2ab . (C) π)(b a +. (D) π2b a + .(11) 设函数⎰+-+-++=yx yx dt t y x y x y x u )()()(),(ψϕϕ, 其中函数ϕ具有二阶导数，ψ 具有一阶导数，则必有 ( )(A) 2222yux u ∂∂-=∂∂. (B) 2222y u x u ∂∂=∂∂. (C) 222y uy x u ∂∂=∂∂∂. (D) 222x u y x u ∂∂=∂∂∂.(12) 设函数,11)(1-=-x xex f 则 ( ) (A) 0x =，1x =都是()f x 的第一类间断点. (B) 0x =，1x =都是()f x 的第二类间断点.(C) 0x =是()f x 的第一类间断点，1x =是()f x 的第二类间断点. (D) 0x =是()f x 的第二类间断点，1x =是()f x 的第一类间断点.(13) 设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为21,αα，则1α，)(21αα+A 线性无关的充分必要条件是 ( )(A) 01≠λ. (B) 02≠λ. (C) 01=λ. (D) 02=λ.(14) 设A 为n (2≥n )阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得矩阵B , **,B A 分别为,A B 的伴随矩阵，则 ( )(A) 交换*A 的第1列与第2列得*B . (B) 交换*A 的第1行与第2行得*B . (C) 交换*A 的第1列与第2列得*B -. (D) 交换*A 的第1行与第2行得*B -.三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分11分)设函数()f x 连续，且0)0(≠f ，求极限.)()()(lim⎰⎰--→x xx dtt x f x dtt f t x(16)(本题满分11分)如图，1C 和2C 分别是)1(21xe y +=和x e y =的图象，过点(0,1)的曲线3C 是一单调增函数的图象. 过2C 上任一点(,)M x y 分别作垂直于x 轴和y 轴 的直线x l 和y l . 记21,C C 与x l 所围图形的面积为)(1x S ；32,C C 与y l 所围图形的面积为).(2y S 如果总有)()(21y S x S =，求曲线3C 的方程).(y x ϕ=(17)(本题满分11分)如图，曲线C 的方程为()y f x =，点(3,2)是它的一个拐点，直线1l 与2l 分别是曲线C 在点(0,0))与(3,2)处的切线，其交点为(2,4). 设函数()f x 具有三阶连续导数，计算定积分⎰'''+32.)()(dx x f x x(18)(本题满分12分)用变量代换)0(cos π<<=t t x 化简微分方程0)1(2=+'-''-y y x y x ，并求其满足2,10='===x x y y的特解.(19)(本题满分12分)已知函数()f x 在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且(0)0,(1)1f f ==. 证明：)(I)存在),1,0(∈ξ 使得ξξ-=1)(f ；(II)存在两个不同的点)1,0(,∈ζη，使得.1)()(=''ζηf f(20)(本题满分10分)已知函数(,)z f x y =的全微分ydy xdx dz 22-=，并且(1,1)2f =. 求(,)f x y 在椭圆域}14),{(22≤+=y x y x D 上的最大值和最小值.(21)(本题满分9分)计算二重积分σd y x D⎰⎰-+122，其中}10,10),{(≤≤≤≤=y x y x D(22)(本题满分9分)确定常数a ,使向量组,),1,1(1Ta =α,)1,,1(2T a =αT a )1,1,(3=α可由向量组,),1,1(1T a =β,)4,,2(2T a -=βT a a ),,2(3-=β线性表示，但向量组321,,βββ不能由向量组321,,ααα线性表示.(23)(本题满分9分)已知3阶矩阵A 的第一行是c b a c b a ,,),,,(不全为零，矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=k B 63642321(k 为常数)，且0AB =, 求线性方程组0AX =的通解.2005年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题(1)【详解】先求出函数的导数,再求函数在某点的微分.方法1：利用恒等变形得xx y )sin 1(+==)sin 1ln(x x e +，于是]sin 1cos )sin 1[ln()sin 1ln(xxx x e y x x +⋅++⋅='+，从而 π=x dy=.)(dx dx y ππ-='方法2：两边取对数，)sin 1ln(ln x x y +=，对x 求导，得1cos ln(1sin )1sin x x y x y x'=+++， 于是 ]sin 1cos )sin 1[ln()sin 1(xxx x x y x+⋅++⋅+='，故 π=x dy =.)(dx dx y ππ-='(2)曲线xx y 23)1(+=的斜渐近线方程为___________.【详解】由求斜渐近线公式y ax b =+(其中()limx f x a x→∞=，lim[()]x b f x ax →∞=-)，得：32())limlim 1,x x f x a x →+∞=== []23)1(lim)(lim 2323=-+=-=+∞→+∞→xxx ax x f b x x ， 于是所求斜渐近线方程为.23+=x y(3)【详解】通过还原变换求定积分 方法1：令t x sin = (0)2t π<<,则=--⎰10221)2(x x xdx⎰-202cos )sin 2(cos sin πdt t t t t 220sin 2sin t dt t π=-⎰22200cos arctan(cos )1cos 4d t t t πππ=-=-=+⎰方法2t =，有221,x t =-所以有xdx tdt =-，其中01t <<.112001arctan 014dtt t π-===+⎰⎰(4)【答案】.91ln 31x x x y -=【详解】求方程()()dyP x y Q x dx+=的解，有公式()()()P x dx P x dx y e Q x e dx C -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰ (其中C 是常数). 将原方程等价化为 x y xy ln 2=+'，于是利用公式得方程的通解 22[ln ]dx dx x xy e x e dx C -⎰⎰=⋅+⎰221[ln ]x xdx C x =⋅+⎰=211ln 39C x x x x-+, (其中C 是常数) 由91)1(-=y 得0C =，故所求解为.91ln 31x x x y -=(5)【详解】由题设，00()lim()x x x x βα→→=)cos arcsin 1(cos 1arcsin lim 20x x x kx x x x x ++-+→ 201arcsin 1cos lim 2x x x x k x →+-=2001arcsin 1cos lim lim 2x x x x k x x →→-⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦， 又因为 201cos 1lim 2x x x →-=，00arcsin lim arcsin lim 1sin x u x ux u xu →→ = =所以 0()11lim(1)()22x x x k βα→=+34k=由题设0→x 时()~()x x αβ，所以314k =，得.43=k(6)【答案】2 【详解】方法1：因为1231231()(,,)11αααααα⎡⎤⎢⎥++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，1231231(24)(,,)24αααααα⎡⎤⎢⎥++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，1231231(39)(,,)39αααααα⎡⎤⎢⎥++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，故 123123123(,24,39)B ααααααααα=++++++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡941321111),,(321ααα， 记123(,,)A ααα=，两边取行列式，于是有.221941321111=⨯=⋅=A B方法2：利用行列式性质(在行列式中，把某行的各元素分别乘以非零常数加到另一行的对应元素上，行列式的值不变；从某一行或列中提取某一公因子行列式值不变)123123123,24,39B ααααααααα=++++++[2][1]1232323[3][1],3,28ααααααα--====++++[3]2[2]123233====,3,2αααααα-+++123233=2,3,αααααα+++[1][3]1223[2]3[3]====2,,αααα--+[1][2]123====2,,ααα-又因为123,,1A ααα==，故B 2A =2=.二、选择题 (7)【答案】C【详解】分段讨论，并应用夹逼准则，当||1x <时，≤≤，命n →∞取极限，得1n =，lim 1n →∞=，由夹逼准则得()1n f x ==；当||1x =时，()1n n f x ===；当||1x >时，33|||x x =<≤=，命n →∞取极限，得3||n x =，由夹逼准则得13331()lim ||(1)||.||n n n f x x x x →∞=+=所以 31,||1(),||1x f x x x <⎧⎪=⎨≥⎪⎩再讨论()f x 的不可导点. 按导数定义，易知1x =±处()f x 不可导，故应选(C).(8)【答案】A 【详解】方法1：应用函数奇偶性的定义判定，函数()f x 的任一原函数可表示为⎰+=xC dt t f x F 0)()(，且).()(x f x F ='当()F x 为偶函数时，有)()(x F x F =-，于是)()1()(x F x F '=-⋅-'，即)()(x f x f =--，亦即)()(x f x f -=-，可见()f x 为奇函数；反过来，若()f x 为奇函数，则0()()xF x f t dt C --=+⎰，令t k =-，则有dt dk =-，所以 0()()()()()xxx F x f t dt C f k dk C f k dk C F x --=+=--+=+=⎰⎰⎰，从而 ⎰+=x C dt t f x F 0)()( 为偶函数，可见(A)为正确选项.方法2：排除法，令()1f x =, 则取()1F x x =+, 排除(B)、(C); 令()f x x =， 则取21()2F x x =, 排除(D);(9)【答案】A【详解】当3x =时，有322=+t t ，得121,3t t ==-(舍去，此时y 无意义)，曲线()y y x =的导数为 2111222(1)dy dy dt t dx dx t t dt+===++， 所以曲线()y y x =在3x =(即1t =)处的切线斜率为18于是在该处的法线的斜率为8-, 所以过点(3,ln 2)的法线方程为)3(82ln --=-x y ，令y =0, 得其与x 轴交点的横坐标为：32ln 81+, 故应(A).(10)【答案】D【详解】由于积分区域D 是关于y x =对称的, 所以x 与y 互换后积分值不变, 所以有=++⎰⎰σd y f x f y f b x f a D)()()()(σd x f y f x f b y f a D⎰⎰++)()()()(=12D d σ⎰⎰ =212.2242Da b a b a b d σππ+++=⋅⋅⋅=⎰⎰ 应选(D).(11)【答案】B 【详解】因为)()()()(y x y x y x y x xu--++-'++'=∂∂ψψϕϕ，)()()()(y x y x y x y x yu-+++-'-+'=∂∂ψψϕϕ， 于是 )()()()(22y x y x y x y x x u-'-+'+-''++''=∂∂ψψϕϕ，)()()()(2y x y x y x y x yx u-'++'+-''-+''=∂∂∂ψψϕϕ， )()()()(22y x y x y x y x y u-'-+'+-''++''=∂∂ψψϕϕ， 可见有2222yu x u ∂∂=∂∂，应选(B).(12)【答案】D【详解】由于函数()f x 在0x =，1x =点处无定义，因此是间断点.且 ∞=→)(lim 0x f x ，所以0x =为第二类间断点；0)(lim 1=+→x f x ，1)(lim 1-=-→x f x ，所以1x =为第一类间断点，故应选(D).(13)【答案】B 【详解】方法1：利用线性无关的定义12,αα分别是特征值12,λλ对应的特征向量，根据特征值、特征向量的定义，有111222,A A αλααλα==121122()A ααλαλα⇒+=+.设有数12,k k ，使得0)(21211=++αααA k k ，则022211211=++αλαλαk k k 1211222()0k k k λαλα⇒++=.因12λλ≠，因不同特征值对应的特征向量必线性无关，故21,αα线性无关，则⎩⎨⎧==+.0,022121λλk k k 当122100λλλ=≠时，方程只有零解，则0,021==k k ，此时1α，)(21αα+A 线性无关；反过来，若1α，)(21αα+A 线性无关，则必然有02≠λ(否则，1α与)(21αα+A =11αλ线性相关)，故应选(B).方法2：将向量组的表出关系表示成矩阵形式12,αα分别是特征值12,λλ对应的特征向量，根据特征值、特征向量的定义，有111222,A A αλααλα==121122()A ααλαλα⇒+=+.由于()()()1112111221221,(),,0A λααααλαλαααλ⎛⎫+=+=⎪⎝⎭， 因12λλ≠，因不同特征值对应的特征向量必线性无关，知21,αα线性无关. 若1α，)(21αα+A 线性无关，则()112,()2r A ααα+=，则()()11112122221112,min ,,2000r r r r λλλααααλλλ⎛⎫⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪=≤≤≤ ⎪⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩⎭，故121220r λλ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭，从而12120r λλ⎛⎫= ⎪⎝⎭，从而122100λλλ=≠ 若122100λλλ=≠，则12120r λλ⎛⎫= ⎪⎝⎭，又21,αα线性无关，则()11122211,200r r λλααλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则()()11121221,(),20r A r λαααααλ⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭从而1α，)(21αα+A 线性无关的充要条件是.001221≠=λλλ故应选(B).方法3：利用矩阵的秩12,αα分别是特征值12,λλ对应的特征向量，根据特征值、特征向量的定义，有111222,A A αλααλα==121122()A ααλαλα⇒+=+.因12λλ≠，因不同特征值对应的特征向量必线性无关，故21,αα线性无关，又121122()A ααλαλα+=+，故1α，)(21αα+A 线性无关112(,())2r A ααα⇔+=又因为 ()()211122122,,αλαλαλααλα+=11将的-倍加到第列则111221222(,)(,)20r r αλαλααλαλ+==⇔≠(若20λ=，与122(,)2r αλα=矛盾) 方法4：利用线性齐次方程组12,αα分别是特征值12,λλ对应的特征向量，根据特征值、特征向量的定义，有111222,A A αλααλα==121122()A ααλαλα⇒+=+.由12λλ≠，因不同特征值对应的特征向量必线性无关，故21,αα线性无关，112,()A ααα+线性无关11122,αλαλα⇔+线性无关⇔11122,0αλαλα+≠，⇔()11122,0X αλαλα+=只有零解，又()()1111221221,,0λαλαλαααλ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ⇔()1112221,00x x λααλ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭只有零解⇔12,αα线性无关时()12,0Y αα=只有零解，故1122100x Y x λλ⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，只有零解，⇔1122100x Y x λλ⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的系数矩阵是个可逆矩阵，⇔122100λλλ=≠，故应选(B)方法5：由12λλ≠，21,αα线性无关12,αα分别是特征值12,λλ对应的特征向量，根据特征值、特征向量的定义，有111222,A A αλααλα==121122()A ααλαλα⇒+=+.向量组()12I :,αα和向量组()1121122II :,()A αααλαλα+=+. 显然向量组()II 可以由向量组()I 线性表出；当20λ≠时，不论1λ的取值如何，向量组()I 可以由向量组()II 线性表出11αα=，112111*********11()()()A λλααλαλααααλλλλ=-++=-⋅++， 从而()I ，()II 是等价向量组⇒当20λ≠时，()()1211122,,2r r αααλαλα=+=(14)【答案】(C) 【详解】方法1：由题设，存在初等矩阵12E (交换n 阶单位矩阵的第1行与第2行所得)，使得B A E =12，(A 进行行变换，故A 左乘初等矩阵)，于是 ****1212()B E A A E ==，又初等矩阵都是可逆的，故 *1121212E E E -=， 又121E E =-=-(行列式的两行互换，行列式反号)，11212E E -=，故****1*1*1212121212B A E A E E A E A E --==⋅=-=-，即*12*B E A -=,可见应选(C).方法2：交换A 的第一行与第二行得B ，即12B E A =.又因为A 是可逆阵，121E E =-=-，故12120B E A E A A ===-≠， 所以B 可逆，且1111212()BE A A E ---==.又11,A B A B A B **--==，故12B A E B A**=，又因B A =-，故*12*B E A -=.三、解答题(15)【详解】 作积分变量代换，命x t u -=，则00()()()()xxxf x t dt f u du f u du -=-=⎰⎰⎰,于是⎰⎰⎰⎰⎰-=--→→xxxx x xx duu f x dtt tf dt t f x dtt x f x dtt f t x 00)()()(lim)()()(lim=洛必达法则⎰⎰+-+→xxx x xf du u f x xf x xf dt t f 0)()()()()(lim=整理⎰⎰+→xxx x xf du u f dt t f 000)()()(lim0001()lim 1()()xx x x f t dt x f x f t dt x →=+⎰⎰上下同除 而 00000(())1lim ()lim lim ()(0)xxx x x f t dt f t dt f x f x x →→→'==='⎰⎰ 所以由极限的四则运算法则得，原式0001()lim1()()xx x f t dt x f x f t dt x →=+⎰⎰00001lim ()1lim ()lim ()x x x x f t dt x f x f t dtx →→=+⎰⎰(0)(0)(0)f f f =+(0)012f ≠=.(16) 【详解】由题设图形知，3C 在1C 的左侧，根据平面图形的面积公式得，⎰--=+-=xx t t x e dt e e x S 01)1(21)]1(21[)(，⎰-=ydt t t y S 12))((ln )(ϕ，由)()(21y S x S =，得⎰-=--y xdt t t x e 1))((ln )1(21ϕ，注意到(,)M x y 是xe y =的点， 于是⎰-=--y dt t t y y 1))((ln )1ln (21ϕ两边对y 求导得)(ln )11(21y y yϕ-=-， 整理上面关系式得函数关系为：.21ln )(yy y y x --==ϕ(17)【详解】由直线1l 过(0,0)和(2,4)两点知直线1l 的斜率为2. 由直线1l 是曲线C 在点(0,0)的切线，由导数的几何意义知(0)2f '=. 同理可得(3)2f '=-. 另外由点(3,2)是曲线C 的)一个拐点知(3)0.f ''=由分部积分公式，33220()()()()x x f x dx x x df x '''''+=+⎰⎰3320()()()(21)x x f x f x x dx ''''=+-+⎰ 3220(33)(3)(00)(0)()(21)f f f x x dx ''''''=+-+-+⎰=dx x f x f x x f d x ⎰⎰'+'+-='+-30330)(2)()12()()12(30(231)(3)(201)(0)2()f f f x dx '''=-⨯++⨯++⎰=.20)]0()3([216=-+f f(18)【详解】 由题设)0(cos π<<=t t x ，有sin dxt dt=-，由复合函数求导的链式法则得 dtdyt dx dt dt dy y sin 1-=⋅='，)sin 1(]sin 1sin cos [222t dt y d t dt dy t t dx dt dt y d y -⋅-=⋅'=''， 代入原方程，2222cos 111(1cos )[]()cos ()0sin sin sin sin t dy d y dyt t y t dt t dt t t dt--⋅---+=， 化简得022=+y dty d ，其特征方程为210r +=，特征根1,2r i =±, 通解为12cos sin y C t C t =+所以 221211sin cos x C x C t C t C y -+=+=，将初始条件01,x y==代入得，1210C C C =⨯+=，即21C =.而121y C x C C '''=+=+，将2x y ='=代入得112C C =+=，即12C =.将122,1C C ==代入通解公式得满足条件的特解为21 1.y x x =-<<(19)【详解】(I) 令x x f x F +-=1)()(，则()F x 在[0，1]上连续，且(0)10F =-<, (1)10F =>,于是由闭区间连续函数的介值定理知，存在),1,0(∈ξ 使得0)(=ξF ，即ξξ-=1)(f .(II) 在],0[ξ和]1,[ξ上对()f x 分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同的点)1,(),,0(ξζξη∈∈，使得0)0()()(--='ξξηf f f ，ξξζ--='1)()1()(f f f于是 .1111)(1)()()(=-⋅-=--⋅=''ξξξξξξξξζηf f f f(20)【详解】由ydy xdx dz 22-=知2,2z z x y x y ∂∂==-∂∂.对2zx x∂=∂两边积分得2(,)()z f x y x c y ==+. 将2(,)()z x y x c y =+代入2zy y∂=-∂得()2c y y '=. 所以2()c y y c =+. 所以22z x y c =-+.再由1,1x y ==时2z =知， 2c =. 于是所讨论的函数为222z x y =-+.求z 在2214y x +<中的驻点. 由2,2z zx y x y ∂∂==-∂∂得驻点(0,0)，对应的(0,0)2z f ==.讨论222z x y =-+在D 的边界22=14y x +上的最值，有两个方法. 方法1：把224(1)y x =-代入z 的表达式，有2222=52z x y x =-+-，11x -≤≤10x z x '=命0x z '=解得0x =，对应的2y =±，0,22x y z==±=-还要考虑11x -≤≤的端点1x =±，对应的0y =，1,03x y z =±==由2,2,3z z z ==-=比较大小，故min 2z =-(对应于0x =，2y =±)，max 3z =(对应于0x =，2y =±)方法2：用拉格朗日乘数法，作函数2222(,,)2(1)4y F x y x y x λλ=-+++-解方程组 2222(1)0,12022104xy f F x x x f y F y y y y F x λλλλλ⎧∂'=+=+=⎪∂⎪∂⎪'=+=-+=⎨∂⎪⎪'=+-=⎪⎩ 由上面的第一个方程解得0x =或1λ=-：当0x =时由最后一个方程解得2y =±；当1λ=-是由第二个方程解得0y =，这时由最后一个方程解得1x =±. 故解得4个可能的极值点(0,2),(0,2),(1,0),(1,0)--.计算对应z 的值：(0,2)(0,2)(1,0)(1,0)2,2,3,3zzzz--=-=-==再与(0,0)2z=比较大小，结论同方法1.(21) 【详解】D ：2210x y +-=为以O 为中心半径为1 的圆周，划分D 如下图为1D 与2D .这时可以去掉绝对值符号222222211,(,)11,(,)x y x y D x y x y x y D ⎧+-∈⎪+-=⎨--∈⎪⎩方法1：221Dx y d σ+-⎰⎰=⎰⎰-+-1)1(22D dxdy y x ⎰⎰-++2)1(22D dxdy y x后一个积分用直角坐标做，21122220(1)1)D x y dxdy dx x y dy +-=+-⎰⎰⎰312222011[(1)((1-)]33x x x dx =----⎰ 33221111222200002222[()(1)](1)3333x x dx x dx dx x dx =-+-=-+-⎰⎰⎰⎰ 42012cos 33tdt π=-+⎰220121cos 2()332t dt π+=-+⎰2+y 2=1220121(12cos 2cos 2)334t t dt π=-+⨯++⎰201211cos 4(12cos 2)3342t t dt π+=-+⨯++⎰201211cos 4(12cos 2)33422t t dt π=-+⨯+++⎰20121321cos 4(2cos 2)33422342tt dt ππ=-+⨯⨯⨯+⨯+⎰12103834π=-++⨯⨯138π=-+.前一个积分用极坐标做，11222220011(1)(1)()248D x y dxdy d r rdr d πππθθ--=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰. 所以221Dx y d σ+-⎰⎰=8π+138π-+=.314-π方法2：由于区域2D 的边界复杂，计算该积分较麻烦，可以将2D 内的函数“扩充”到整个区域D =12D D ，再减去“扩充”的部分，就简化了运算. 即222(1)d D x y σ+-=⎰⎰22(1)Dx y d σ+-⎰⎰122(1)D x y d σ-+-⎰⎰ 因此221D xy d σ+-⎰⎰=122(1)D x y d σ--⎰⎰222(1)D x y d σ++-⎰⎰122(1)D x y d σ=--⎰⎰+22(1)Dx y d σ+-⎰⎰122(1)D x y d σ-+-⎰⎰ 1222(1)D x y d σ=--⎰⎰+22(1)Dx y d σ+-⎰⎰由极坐标112222200011(1)(1)()248D x y dxdy d r rdr d πππθθ--=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰. 而 3111222220001(1)(1)[(1)]03Dx x y d dy x y dx y x dy σ+-=+-=+-⎰⎰⎰⎰⎰311220011221[1]()[]033333y y dy y dy y =+-=-=-=-⎰⎰ 所以 221Dx y d σ+-⎰⎰=28π⨯13-=.314-π(22)【详解】方法1：记123123(,,),(,,)A B αααβββ==. 由于123,,βββ不能由123,,ααα线性表出，故()3r A <，(若()3r A =，则任何三维向量都可以由123,,ααα线性表出)，从而111111a A a a =2222311111a a a a a+++把第、行加到第行1111(2)11(2)11a a a a ++提取第行的公因子11121(2)01031100a a a - +---行行行行13013(2)(1)11a a a +-+⋅-⨯⨯-按第列展开2(2)(1)a a =-+-0=(其中13(1)+-指数中的1和3分别是1所在的行数和列数)从而得1a =或2a =-.当1a =时，1231[1,1,1]Tαααβ====，则12312300αααβββ===+⋅+⋅，故123,,ααα可由123,,βββ线性表出，但2[2,1,4]Tβ=-不能由123,,ααα线性表出(因为方程组2123211111114111k k k β-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪==++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即123123123214k k k k k k k k k ++=-⎧⎪++=⎨⎪++=⎩无解)，故1a =符合题意.当2a =-时,由于122112[]122121242211B A ---⎡⎤⎢⎥=---⎢⎥⎢⎥---⎣⎦12211221000033312006000---⎡⎤-⎢⎥--⎢⎥+⨯⎢⎥-⎣⎦行行，行行 因2()2()3r B r B α=≠=，系数矩阵的秩和增广矩阵的秩不相等，故方程组2BX α=无解，故2α不能由123,,βββ线性表出，这和题设矛盾，故2a =-不合题意.因此1a =.方法2：对矩阵),,,,(321321αααβββ =A 作初等行变换，有),,,,(321321αααβββ =A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--11411111221a a a a a a a1221121022010*********a a a a a a a a a --⎡⎤-⎢⎥++-⎢⎥-⨯⎢⎥+--⎣⎦行行，行行 1221132202201000403(1)1a a a a a a a --⎡⎤⎢⎥-⨯++-⎢⎥⎢⎥---⎣⎦行行， 当2a =-时，→A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----330600030000211221 , 不存在非零常数123,,k k k ，使得123112230003006k k k --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪-=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2α不能由321,,βββ线性表示，因此2-≠a ；当4a =时，→A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----390000030660411221 ，3α不能由321,,βββ线性表示，不存在非零常数123,,k k k ，使得123412200663000k k k --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 因此4≠a . 而当2-≠a 且4≠a 时，秩3),,(321=βββr ，此时向量组321,,ααα可由向量组321,,βββ线性表示. 又⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==a a a a a a a B 41111122111),,,,(321321 βββααα21112221011022310110423a a a a a a a aa a --⎡⎤-⎢⎥--++⎢⎥-⨯⎢⎥--+⎣⎦行行，行行2111223201102200206342a a a a a a a a a --⎡⎤⎢⎥+--++⎢⎥⎢⎥--++⎣⎦行行， 由题设向量组321,,βββ不能由向量组321,,ααα线性表示，则方程组()1231x αααβ =或()1232x αααβ =或()1233x αααβ =无解，故系数矩阵的秩≠增广矩阵的秩，故()123()r B r ααα≠ .又当2-≠a 且4≠a 时，()3r B =，则必有01=-a 或022=--a a ，即1a =或2-=a .综上所述，满足题设条件的a 只能是：1a =.方法3：记()()123123,,,,,A B αααβββ==，对矩阵()A B 作初等行变换，得()12312311122(,,,,)111114aA B a a a a a a αααβββ--⎡⎤⎢⎥ ==⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 21112221011022310110423a a a a a a a a a a --⎡⎤-⎢⎥--++⎢⎥-⨯⎢⎥--+⎣⎦行行，行行 2111223201102200206342a a a a a a a a a --⎡⎤⎢⎥+--++⎢⎥⎢⎥--++⎣⎦行行， 由于123,,βββ不能由123,,ααα线性表出，故()3r A <，(若()3r A =，则任何三维向量都可以由123,,ααα线性表出)，从而111111a A a a =2222311111a a a a a +++把第、行加到第行1111(2)11(2)11a a a a ++提取第行的公因子 11121(2)01031100a a a -+---行行行行13013(2)(1)110a a a +-+⋅-⨯⨯-按第列展开2(2)(1)a a =-+-0=从而得1a =或2a =-.当1a =时，()111122000033000096A B -⎛⎫ ⎪ = ⎪ ⎪⎝⎭，则12312300αααβββ===+⋅+⋅，123,,ααα可由123,,βββ线性表出，但由于()()212r A r A β=≠ =，系数矩阵的秩和增广矩阵的秩不相等，方程组2Ax β=无解，2[2,1,4]T β=-不能由123,,ααα线性表出. 或由于()()312r A r A β=≠ =，系数矩阵的秩和增广矩阵的秩不相等，方程组3Ax β=无解，3β不能由123,,ααα线性表出，即123,,βββ不能由123,,ααα线性表出，故1a =符合题意.当2a =-时，()112122033000000006A B --⎛⎫ ⎪ =- ⎪ ⎪-⎝⎭，因()()323r A r A β=≠ =，，系数矩阵的秩和增广矩阵的秩不相等，123,,βββ不能由123,,ααα线性表出，但()()223r B r B α=≠ =(或()33r B α =)，系数矩阵的秩和增广矩阵的秩不相等，即2BX α=(或3BX α=)无解，即123,,ααα不能由123,,βββ线性表出，与题设矛盾，故2a =-不合题意.故1a =.(23)【详解】 由0AB =知，B 的每一列均为0Ax =的解，且.3)()(≤+B r A r (3是A 的列数或B 的行数)(1) 若9k ≠, 13,ββ不成比例，12,ββ成比例，则()2r B =, 方程组0Ax =的解向量中至少有两个线性无关的解向量，故它的基础解系中解向量的个数2≥，又基础解系中解向量的个数=未知数的个数()r A -3()r A =-，于是()1r A ≤.又矩阵A 的第一行元素(),,a b c 不全为零，显然()1r A ≥, 故()1r A =. 可见此时0Ax =的基础解系由3()2r A -= 个线性无关解向量组成，13,ββ是方程组的解且线性无关，可作为其基础解系，故0Ax = 的通解为：2121,,63321k k k k k x ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=为任意常数.(2) 若9k =，则123,,βββ均成比例，故()r B =1, 从而.2)(1≤≤A r 故()1r A =或()2r A =.①若()2r A =, 则方程组的基础解系由一个线性无关的解组成，1β是方程组0Ax =的基础解系， 则0Ax =的通解为：11,321k k x ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=为任意常数.②若()1r A =, 则A 的三个行向量成比例，因第1行元素(),,a b c 不全为零，不妨设0a ≠，则0Ax =的同解方程组为：0321=++cx bx ax , 系数矩阵的秩为1，故基础解系由312-=个线性无关解向量组成，选23,x x 为自由未知量，分别取231,0x x ==或230,1x x ==，方程组的基础解系为121,001b c a a ξξ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则其通解为121210,,01b c a a x k k k k ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为任意常数.。
南京大学2005年高等代数考研试题及参考答案
123451231231231121311222321231323331424341525351121311.(,,,,),1,2,3;(,,),1,2,3,,.,,0i i i i i i j j j j a a a a a i a a a j a a a a a a x a a a a a a a a a a a a α==β==αααβββ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥ααα=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦一、判断题设正确！如果线形相关，则，，线形相关如果线形相关，齐次线性方程有非零解所以秩1112131222322122231323333132331424341525351112132122231233132333,30a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a x a a a ⎡⎤⎢⎥⎛⎫⎢⎥⎪⎢⎥< ⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎛⎫⎪=βββ ⎪ ⎪⎝⎭所以秩〈，那么齐次线性方程也有非零解，所以，，线形相关1232.,.2102004211100212210010120123..101101014.A B n AB A B AB AB n A B A B A B A B A ，B V V V 是线性空间V 的子空间⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设都是阶正定的矩阵，则也是正定的错误！设，，，显然非对称如果阶方阵，有完全相同的特征值，则，相似错误！，，，有完全相同的特征值，但不相似，，123112112211225..00，而且任意两个的交为0V V V V P A ，B C V A AB AC B C V P A ，B C V A A B B C C AB AC B C+==ε=εε=ε=εε=εε=ε+εε===，则+是直和。
正确！设是数域上的有限维线性空间，，都是上的线性变换，并不是零变换如果，则错误！设是数域上的二维线性空间，定义，都是上的线性变换，；，；，得出，但！ ,65432414243441.()106_310580201115(12)2005200311202.,2340246813573.(1,2,1),(1,2,1),(1,2,1),(2,3,1)(1,2,0),f x x x x x x x f D A A A A A diag B diag C diag D diag G diag B D C G 与A 相似的矩阵是：B与A 合=-+-+-==+++==-=-=--=-=二、填空则则在实数域上，，，，中，32200.21043det()?(210)3425.||111()()()(1)3333100100310033同，但不相似的矩阵是：D与A 等价，但不合同，也不相似的矩阵是：C4A B A A E B A A A f ⎛⎫- ⎪==+-= ⎪ ⎪⎝⎭=λ=λ++λ+-λ-⎛⎫ ⎪ ⎪⎪-+ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭，，1是三级正交矩阵，迹为，，则的特征多项式为？若当标准型为？322212312312132323(,,)255448222254245det()(1)(10)()10(1,2,2)'()1(2,1,0)',(2,0,1)'f x x x x x x x x x x x x E A i ii =+++--⎛⎫- ⎪- ⎪⎪--⎝⎭λ-=λ-λ-λ=α=-λ=α=-α=12三、用正交线性变换将二次型化为标准型，并写出正交线性变换该二次型对应的矩阵A=当，对应的特征向量当，对应的特征向量然后用施23(1,2,2)';(2,1,0)';(2,4,5)'β=-β=-β=1密特法正交化12311111111111(,,),000000n n n C X CY四、设A ，B 都是数域上的n 阶方阵，A 有n 个不同的特征值，AB =BA 证明B 相似于对角阵A n A T T AT AB =BA T ATT BT T BTT AT T BT T BT -------=βββ=⎛⎫λ ⎪=λλ ⎪ ⎪λ ⎪⎝⎭=⎛⎫λλ ⎪= ⎪ ⎪λ ⎪⎝⎭ 令变换由于有个不同的特征值，所以可以对角化也就是存在可逆矩阵，使得，，，互不相同由于，所以即1111111111111111111111000000n n n n nn n n nn n n nn n n m mn n a a a a T BT a a a a a a a a a a a T BT a a a --⎛⎫ ⎪⎪ ⎪λ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫λ ⎪ ⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪λ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫λ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪λ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，设，所以化简得出为对角阵，即n ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，即证((),())1()((),())1,(),(),()()()()1,()()()()()0,()(),|()||()|||1()!0,f f(A)m f i m f m f A m A A f A E m A A f A E A f A E f A f(A)λλ⇔λλ=λλ=μλνλμλλ+νλλ=μ+ν==ν=ν===五、设m()是数域P 上n 阶方阵A 的最小多项式，()是数域P 上的任意多项式证明：可逆若所以存在多项式使得所以又因为所以所以从而可逆(((),())()()|(),()|()()0()0)|()|()()|0,1若f(A)可逆m f d d m d f d m A d d A d(A)=0d f f A f(A)d λλ=λ∴λλλλλλ=λλ=λλλλ=λ0000ii)，设如果是的一个解，那么是的一个解也就意味着是的一个特征值，且()是(的一个特征值所以|,由于，所以|这与可逆矛盾()=。
02198线性代数201410
2014年10月高等教育自学考试全国统一命题考试
线性代数试卷
(课程代码 02198)
第一部分选择题
一、单项选择题 (本大题共5小题，每小题2分，共l0分)
A.-2m B．-m C．m D．2m 2．设A为3阶矩阵，将A的第3行乘以1/2得到单位矩阵E，则︱A︱= A.-2 C.1/2 D．2 3．设向量组的秩为2，则中
A．必有一个零向量
B．任意两个向量都线性无关
C．存在一个向量可由其余向量线性表出
D．每个向量均可由其余向量线性表出
5．若4阶实对称矩阵A是正定矩阵，则二次型的正惯性指数为
A.1
B.2
C.3
D.4
第二部分非选择题
二、填空题(本大题共l0小题，每小题2分，共20分)
请在答题卡上作答。
三、计算题(本大题共7小题．每小题9分．共63分) 请在答题卡上作答。
22．用正交变换将二次型化为标准形，写出标准形和所作的正交变换．
四、证明题(本大题共l小题，共7分)
请在答题卡上作答。
23．设A,B,A-B均为n阶正交矩阵，证明．。
华师大 05年 高等代数
华东师范大学2005年功读硕士研究生入学考试试题考试科目：高等代数一填空，选择，是非题（共15小题，满分60分，每小题4分） 1. 设3阶方阵A 的特征值为2，3，5，则=-E A 2________ 2. 如果α是()x f '''的2重根，则α一定是多项式()x f 的5重根。
3. 设向量组s ααα,...,,21()2≥s 线性相关，且其中任意s-1个向量线性无关，则存在全不为零的数s k k k ,...,,21，使得0...2211=+++s s k k k ααα4. 设1W 与2W 分别是数域K 上8元齐次线性方程组AX=0与BX=0的解空间，如果rankA=3，rankB=2,821K W W =+那么()=⋂21dim W W __________ 5. 实反对称矩阵的非零特征值必为：（A ）正实数（B ）负实数（C ）1或0（D ）纯虚数6. 若三次实系数多项式()x f 恰有一个实根，∆为()x f 的判别式，则 A 。
∆>0 B 。
∆=0 C 。
∆<0 D 。
∆R ∉7. 3阶整系数的行列式等于-1的正交矩阵共有________个8. 设A 是行列式等于-1的正交变换，则________一定是A 的特征值。
9. 排列n n j j j j 121...-与排列121...j j j j n n -具有相同的奇偶性的充要条件是n=____(mod4) 10. 设0r 是数域K 上非齐次线性方程组AX=B 的特解，s ηηη,...,,21是该方程组的导出组的基础解系，则以下命题中错误的是： A ．s r r r r ηηη---020100,...,,,是AX=B 的一组线性无关解向量B ． A X=B 的每个解均可表为s s r ηηη,...,2,,210的线性组合。
C ． s r ηη+++...210是AX=B 的解。
D ．AX=B 的每个解均可表为001020,,,s γγηγηγη+++++ 的线性组合。
2012年1月自学考试02198线性代数试题和答案
线性代数---2012年1月1.若矩阵A满足Aˆ2-5A=E，则矩阵（A-5E）ˆ-1=A、A-5EB、A+5EC、AD、-A正确答案：C解析：2.设矩阵A是2阶方阵,且det（A）=3,则det（5A）=A、3B、15C、25D、75正确答案：D解析：3.设矩阵A,B,X为同阶方阵,且A,B可逆,若A（X-E）B=B,则矩阵X=A、E+Aˆ-1B、E+AC、E+Bˆ-1D、E+B正确答案：A解析：4.A、图中AB、图中BC、图中CD、图中D正确答案：D解析：5.设αˇ1,αˇ2,…,αˇk是n维列向量,则αˇ1,αˇ2,…αˇk线性无关的充分必要条件是A、向量组αˇ1,αˇ2,…,αˇk中任意两个向量线性无关B、存在一组不全为0的数lˇ1,lˇ2,…,lˇk,使得lˇ1αˇ1+lˇ2αˇ2+…+lˇkαˇk≠0C、向量组αˇ1,αˇ2,…,αˇk中存在一个向量不能由其余向量线性表示D、向量组αˇ1,αˇ2,…,αˇk中任意一个向量都不能由其余向量线性表示正确答案：D解析：6.设α=（aˇ1,aˇ2,aˇ3）,β=（bˇ1,bˇ2,bˇ3）,其中aˇ1,aˇ2,aˇ3不全为0,且bˇ1,bˇ2,bˇ3不全为0,则αˇTβ的秩为B、1C、2D、3正确答案：B解析：7.A、图中AB、图中BC、图中CD、图中D正确答案：B解析：8.设三阶方阵A的特征值分别为1/2，1/4，3，则Aˆ-1的特征值为A、2，4，1/3B、1/2,1/4,1/3C、1/2,1/4,3D、2，4，3正确答案：A解析：9.A、图中AB、图中BC、图中CD、图中D正确答案：C解析：10.以下关于正定矩阵叙述正确的是A、正定矩阵的特征值一定大于零B、正定矩阵的行列式一定小于零C、正定矩阵的乘积一定是正定矩阵D、正定矩阵的差一定是正定矩阵正确答案：A解析：11.设det（A）=-1,det（B）=2,且A，B为同阶方阵，则det（（AB）ˆ3）=_____。
2005数二真题标准答案及解析
A =©1,5,03)，B = 01 +«2 +^3,5 +2^2 + 劎 3,5 +3^2，如果A =1，那么|B =二、选择题(本题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内)J f(x) +b J f (y)d T D J f(X)+ J f ( y)考研数学二真题一、填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上)(1) 设 y = (1 +Sin x)x ，则 dy|x&3(1 + x)2曲线yJ J 的斜渐近线方程为V x1xdx (2 -x 2』-X 2(4)1微分方程xy' + 2y=xlnx 满足y(1)=-的解为9(5) 当 X T 0 时，a (X)=kx 2与 P (X)= J 1 + xarcsi nx — Jcosx 是等价无穷小，则k=(6) 设a 1/x 2 ^3均为3维列向量，记矩阵(8) (9) 设函数f(X)= lim 目1 +|x3nn —jpc(A) 处处可导. (C)恰有两个不可导点.设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数,(A) (B) (C) (D) (B)恰有一个不可导点. (D)至少有三个不可导点.["M = N"表示“ M 的充分必要条件是F(x)是偶函数 U f(x)是奇函数.F(x)是奇函数二f(x)是偶函数.F(x)是周期函数二f(x)是周期函数.F(x)是单调函数二f(x)是单调函数.设函数 y=y(x)由参数方程2x = t + 2t'确定，则曲线y=y(x)在x=3处的法线与y =ln(1 +t) (A) (C)1— In 2+3.8 -8ln 2+3.(10)设区域 D ={( X, y) X 21(B)--l n2+3.8(D) 8l n2+3.<4,x>0,y >0},]N ”，则必有x 轴交点的横坐标是f(x)为D 上的正值连续函数,a,b 为常数，则(A) ab 兀.(B)ab■兀2(C) (a+b)兀.a +b(D)h(11)设函数u(x, y) =®(x +y)+®(x — y) +［屮(t)dt ,其中函数半具有二阶导数，屮 具有一阶导数, 叹—y则必有无关的充分必要条件是(A)打 H 0 .(B) /吃 H 0.(C) )^1 = 0 .(D)= 0.的第1行与第2行得矩阵B, A * , B *分别为A,B 的伴随矩 阵,1 x如图，G 和C 2分别是y= —(1+e )和y=e x的图象，过点(0,1)的曲线C 3是一单调增函数的图象.过2C 2上任一点 M(x,y)分别作垂直于 x 轴和y 轴的直线l x 和|厂记Gl?与l x 所围图形的面积为 ；C 2,C 3与l y 所围图形的面积为 S 2(y).如果总有S 1(x) =S 2(y)，求曲线C 3的方程x=W(y).(17)(本题满分11分)M y(A)宀2宀2C UC U约2次2(B)c 2U &2点2u(C)c^cy 2 CU亠2 .谢(D)—、2 .ex(12) 设函数f(x) =(A)(B)(C) (D)x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点.x=0是f(x)的第一类间断点， x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点. x=1是f(x)的第一类间断点.(13) 设［「2是矩阵A 的两个不同的特征值, 对应的特征向量分别为 ％ a 2，则 a 1，A(a1 + a 2)线性(14)设A 为n ( n >2)阶可逆矩阵，交换 A (A) 交换A 的第1列与第2列得B . (B)交换A 的第1行与第2行得B . (C) 交换A *的第1列与第2列得-B *.(D)交换A *的第1行与第2行得-B * .(本题共 解答题 (15)(本题满分［9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤11分)].)设函数f(x)连续,xf (X —t) f (t)dt且f (0) HO ，求极限limxx[ f (X-t)dt(16)(本题满分11 分)如图，曲线C的方程为y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线11与12分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4).设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分 .L(x 2+x)f 7x)dx. (18)(本题满分12分) 用变量代换X =cost(0 <t £兀)化简微分方程(1-x 2)y"-xyy y = 0 并求其满足=1, y X 卫 '， (佃)(本题满分12分) 已知函数f(x)在［0，1］上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1.证明:x 『=2的特解. (I )存在 ©忘(0,1),使得 f(©) =1_© ； (II )存在两个不同的点 3匚迂(0,1)，使得f j )f 工)=1. (20)(本题满分10分)已知函数 z=f(x,y) 的全微分dz = 2xdx-2ydy ，并且f(1,1,)=2.求f(x,y)在椭圆域={(x,y)x22+y<1｝上的最大值和最小值. (21)(本题满分9分)X 2 +y 2—1db ，其中 D ={(x,y)O < X < 1,0 < y<1}.(22)(本题满分9分)确 定常数 a,使 向量组 ％ =(1,1,a)T, a^(1,a,1)T , a^(a,1,1)T可由向量组p 1 =(1,1,a)T , 02 = (—2,a,4)T ,打=(一2, a, a)T线性表示，但向量组 盯^?,^不能由向量组口1,口2,5线性表示. (23)(本题满分9分)「12 已知3阶矩阵A 的第一行是(a,b,c), a,b,c 不全为零，矩阵B -L 3(k 为常数)，且AB=O,求线性方程组Ax=0的通解.考研数学二真题解析一、填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上)两边取对数，In y = xln(1 +sin x)，对x 求导，得1/=ln(^sinx^xcosxy1 +sin xcos x于是 y ‘ =(1 +sin x)x[ln( 1 + sin x) + x ---- ]，故1 + sin Xdy于是所求斜渐近线方程为(1)设 y =(1 +sinx)x ，则 dy-jidx .【分析】隐函数求导.本题属基本题型，幕指函数的求导(或微分)问题可化为指数函数求导或取对数后转化为【详解】七卄•\X xln(1卡inx) 工曰万法一： y=(1 +si nx) =e，于是y,=e 羽灼nx)[ln(1+ sinx) + x •^os^],1 + sin X从而dyx =jl=y '(兀)dx = —兀 dx.方法二: 3(1 + x)23(2)曲线y = i 丿 的斜渐近线方程为 y = X + —. J x_______ 2本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可3因为 a=lim 少= lim 哼j=1,X T 坯 X F 坯 x j x3 3(1 + x)2 -x' 【分析】【详解】b 二協〔f(x)-ax=lim- x —j-bcxdx 1⑶(2-X 2)7^【分析】作三角代换求积分即可 令 X =sint ，贝yxdx _ 石(2-X 2)J1 -x 2'0sin tcost2(2-sindt「2 d cost1 + cos 21=-arcta n(coS:)将B 写成用A 右乘另一矩阵的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可 由题设，有B =8 +«2 乜3,% +羽2 +4^3 宀 +化 +曲 3)11 1(4)微分方程 xy' + 2y=xlnx 满足 y(1)= 一一 的解为 y=-xlnx--x..9 3 9【分析】直接套用一阶线性微分方程y ' + P(x)y =Q(x)的通解公式:_(P(x)dxfP(x)dxy =e 」 [jQ(x)e 」 dx +C],再由初始条件确定任意常数即可 .【详解】原方程等价为2y ‘ + — y = I n X ，— £dxL dx1 2于是通解为 y =e 'X [f l n X e 'X dx + C] = p { J x ln xdx +C]‘ X 、 1 , 1 “ 1=-x ln X — 一x +C -V ， 3 9 x 21 1 1由 y(1)=-一得 C=0，故所求解为 y =-xlnx —-x.9 3 9(5)当 X T 0时，a (x)=kx 2与 P (X )=J1 + xarcsinx - Jcosx 是等价无穷小，则k=【分析】 题设相当于已知limEd ，，由此确定k 即可.T^x)【详解】由题设，lim 如=limJ"xarcsin2x-JcosxX T a (x) T kx 2xarcs in x +1 -cosxlim … _________ , ____ X T kx 2(+ xarcsinx + 寸cosx)1xarcsin X +1 -cosx lim 22k X T x 3 =3 =1，得 k 4k (6)设％32,口3均为3维列向量，记矩阵A =(%,a 2,a 3)，B = 01 +^2 +^301 +2^2 中曲331 +^2 +创 3)， 1)2)如果冲=1,那么B =2【分析】设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，"M = N"表示“ M 的充分必要条件是 F(x)是偶函数 U f(x)是奇函数.F(x)是奇函数二f(x)是偶函数. F(x)是周期函数二f(x)是周期函数. F(x)是单调函数二f(x)是单调函数.【分析】本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案.X【详解】 方法一：任一原函数可表示为F(x) = Jo f (t)dt + C ，且 F '(X)= f(X)当 F(x)为偶函数时，有 F (―X)= F(X),于是 F '(—X)•(-1) = F '(X),即Xf (-x) = - f (X)，可见f(x)为奇函数；反过来，若f(x)为奇函数，则J 0XF(x) = 0 f(t)dt+C 为偶函数，可见(A)为正确选项.方法二：令 f(x)=1,则取 F(x)=x+1,排除(B)、(C);令 f(x)=x,则取 F(X )=2X 2,排除(D);故应选(A).(9)设函数y=y(x)由参数方程j x =t确定，则曲线y=y(x)在x=3处的法线与x 轴于是有 「1 1 1 [=(«1,«2,口3)1 L 1= 1x2 =2. 二、选择题(本题共8小题， 把所选项前的字母填在题后的括号内) 9每小题4分，满分32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求, 设函数 f(X)=lim +|x r ，则 f(x)在(二，畑)内 n ' * 处处可导.恰有两个不可导点.(A) (C) 【分析】 先求出f(x)的表达式，再讨论其可导情形 (B)恰有一个不可导点. (D)至少有三个不可导点.【详解】 当<1时， f(X)==1时， f(x)- >1时， f(x)=lim 奸刁=1；n _3pc1卵3( 13nX1+ 1)n= XX C -1,—1 <x <1,3.X , X A 1.即 f(x) =4 1, 可见f(x)仅在x= 土1时不可导，故应选(C).(8) (B) (B) (C) (D) N ”，贝泌有-f (—x) = f(X),也即f (t)dt 为偶函数，从而交点的横坐l y=l n( 1+t)&2数, 则必有(A)r 2ex(B)■-■2c(C)L 2C Uexeyc 2u(D)【分析】 先分别求出uc u-2oyr 2exL 2c Ue x e y"2g u_ r 2，再比较答案即可.(11)设函数u(x, y) =®(x +y)+®(x — y) + (t)dt ,其中函数具有二阶导数，屮 具有一阶导 标是 (A) 1-In 2+3.8-8ln 2+3. 1(B) --l n2+3.8(D) 8l n2+3.(C)【分析】 先由x=3确定t 的取值，进而求出在此点的导数及相应的法线方程,[A ]从而可得所需的横坐标.【详解】当x=3时，有t ? + 2t =3，得t=1,t = -3 (舍去，此时y 无意义)，于是dxt£_2t +2 =-，可见过点x=3(此时y=ln2)的法线方程为:7 8y-ln2 = d(x-3),令y=0,得其与 x 轴交点的横坐标为:1-ln2+3,故应(A). 8(10)设区域 D ={( x, y) X 2+ y 2 <4,x>0, y>0｝，f(x)为D 上的正值连续函数，a,b 为常数，则JJ D a J f(x) +b j f (y) —丿 ---------- 厂 d b = J f(X)+ J f(y) 」 ab (A) ab ；!. (B)——兀 2 【分析】 由于未知f(x)的具体形式，直接化为用极坐标计算显然是困难的 【详解】由轮换对称性，有 (C) (a+bX (D)也沢 2 .本题可考虑用轮换对称性a j f(X)+b j f (y) a j f (y) +b j f(x) 仃 —— CT =仃 _________D J f(X)+ J f (y) D J f (y) + J f(X)=1 川 a J f(X)+b J f (y) + a J f (y) +b j f(x)2DJ f(X)+ J f(y)____ ____ ]d cJ f (y) + V f (x)3的=心丄兀2D2 4 ”22=二 2应选(D).J =<r （x+y ）-半 “（x-y ） +屮’（x+y ）+屮’（x-y ），卑 4（X + y "（X M 屮 g y ）』g y ），(12)设函数x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点.x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点.x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点.x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点. [D ]显然x=0,x=1为间断点，其分类主要考虑左右极限 .由于函数f(x)在x=0,x=1点处无定义，由于%卩2线性无关，于是有$1 你2）勺=0, I k 2 為=0.【详解】 因为Fu=半（x + y ） +（X _ y ） + 屮（X + y ） _屮（X _ y ） cXr U一 = <P （x +y ）-护'（X - y ） +屮（X + y ） +屮于是g 2u次2=申"（X + y ） +护 “（X - y ） +屮'（X + y ）-屮'（x - y ）,可见有雪卑，应选(B).(B) (B ) (C) (E) 【分析】 【详解】且 lim X Tf(X)=处，所以x=0为第二类间断点;I i mf （X ）= 0，lim f （X ）= -1,所以 x=1 X —1 十x T —为第一类间断点，故应选(D).(13)设A i,為是矩阵A 的两个不同的特征值, 对应的特征向量分别为 《1,«2，则。
051线代A及答案
2005学年第一学期线性代数A 卷一． 填空题.（每小题3分，共30分）1.若行列式D 各行元素之和等于0，则该行列式等于 .2.设A 为2005阶矩阵，且满足T A A =-，则A = .3.非齐次线性方程组A X b =有解的充要条件是 .4.设A 为4阶方阵，且A 的行列式12A =，则2A *= .5.设()()1,1,5,3,9,2,3,5,TTαβ=--=---则α与β的距离为 .6.设A 为正交矩阵，则1A -== .7.三阶可逆矩阵A 的特征值分别为2，4，6，则1A -的特征值分别 为 .8．如果()222123123121323,,2246f x x x x x tx x x x x x x =+++++是正定的，则t 的 取值范围是 .9.设A 为n 阶方阵，且2A A =，则()12A E --= . 10.在MATLAB 软件中rank(A)表示求 . 二、单选题（每题3分，共15分）1.n 元齐次线性方程组0,AX =秩()(),R A r r n =<则有基础解系且基础解系 含（ ）个解向量.（A ）n （B ）r （C ）r n - （D ）n r - 2. 设四阶方阵A 的秩为2，则其伴随矩阵A *的秩为（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）0. 3. 设A 是n 阶方阵，满足2A E =，则（ ）（A ）A 的行列式为1 （B ）,A E A E -+不同时可逆. （C ）A 的伴随矩阵*A A = （D ）A 的特征值全是14. 设n 阶方阵,,A B C 满足A B C E =，其中E 是n 阶单位阵，则必有（ ） （A ）A C B E = (B) C B A E = (C) B C A E = (D) B A C E =5. 在MATLAB 中求A 的逆矩阵是（ ）（A ）det(A) (B)rank(A) (C)inv(A) (D)rref(A) 三、计算题（每题6分，共12分）1.1111111111111111x x x x ---+---+--2.给定向量组()()121,1,1,1,1,1,1,1,TTαα==--()32,1,2,1Tα=， ()41,1,1,1,Tα=--求1234,,,αααα的一个最大无关组和向量组的秩.四、设1122123122,,3,βααβααβαα=-=+=-+验证：123,,βββ线性相关.（8分）五、已知122212221A ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，求1A -及()1*A - （10分） 六、设线性方程组1232123123424x x x x x x x x x λλλ++=⎧⎪-++=⎨⎪-+=-⎩当λ等于何值时，（1）无解；（2）方程组有惟一解；（3）有无穷多解，并求出此时方程组的通解.（12分） 七、求一个正交变换X PY =，把下列二次型化为标准形()22212312323,,4233f x x x x x x x x =+++ （13分）2005学年第一学期线性代数A 卷（答案）2005学年第一学期 考试科目：线性代数一．1.0 2.0 3. 系数矩阵A 与增广矩阵B 的秩相等（R(A)=R(B)） 4.2 5.9 6.T A ，1± 7.111,,246. 8.5t > 9. ()12A E -+ 10. 矩阵A 的秩二、1.D 2.D 3.B 4.C 5.C三、1. 解1111111111111111x x x x ---+---+--123411*********11xx xx c c c c xx x---+-+++----分21314111111111111100 351111001111x x r r x x x x r r x x x x r r x------+----------分（分）4321111006000x x x r r x x x x x---↔-=--（分）2. 解 以α1, α2, α3, α4为列排成矩阵A ，对它作行变换化成行阶梯形()123411211111,,,11211111A αααα⎛⎫ ⎪-- ⎪== ⎪- ⎪-⎝⎭2131411121021200020210r r r r r r ---⎛⎫⎪--- ⎪−−−→ ⎪- ⎪--⎝⎭4211210212000202r r -⎛⎫ ⎪---⎪−−−→ ⎪- ⎪⎝⎭4311210212000200r r +⎛⎫⎪---⎪−−−→ ⎪- ⎪⎝⎭可见R(A)=3,即R{α1, α2, α3, α4}=3，α1, α2, α4是一个最大无关组。
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全国2005 年10 月高等教育自学考试统一命题考试
线性代数试题
课程代码：2198
本试卷共10页，满分100分，考试时间150分钟。
总 分 题 号 一 二 三 四
核分人 题 分 20 20 48 12
复查人 得 分
试卷说明：AT 表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，｜A｜表
示方阵A的行列式。
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的
括号内。错选、多选或未选均无分。
1．设A是3阶方阵，且｜A｜＝－1，则｜2A｜＝（ ）
A．－8 B．－2
C．2 D．8
2．设矩阵A＝210110002，则A－1＝（ ）
A．1101200021 B．1101200021
C．2100011012 D．200011012
3．设A是n阶方阵，｜A｜＝0，则下列结论中错误．．的是（ ）
A．秩（A）
C．A的n个列向量线性相关
D．A有一个行向量是其余n-1个行向量的线性组合
4．若向量组α1，α2，…，αs的秩为r(r
C．少于r个向量的部分组必线性相关 D．少于r个向量的部分组必线性无关
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5．若α1，α2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同解，则Ax=b必有一个解是（ ）
A．α1＋α2 B．α1－α
2
C．α1－2α2 D．2α1－α2
6．若齐次线性方程组00096342321321xxxt 的基础解系含有两个解向量，则t＝（ ）
A．2 B．4
C．6 D．8
7．设A，B均为n阶矩阵，且秩（A）＝秩（B），则必有（ ）
A．A与B相似 B．A与B等价
C．A与B合同 D．｜A｜＝｜B｜
8．设3阶矩阵A的三个特征值是1，0，－2，相应的特征向量依次为111，101，011，
令P＝110101111，则P－1AP＝（ ）
A．021 B．102
C．012 D．201
9．设λ0是可逆矩阵A的一个特征值，则2A－1必有一个特征值是（ ）
A．21λ0 B．021
C．2λ0 D．02
10．二次型f(x1,x2,x3,x4)=2124232221245xxxxxx的秩为（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
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11．设D＝1111333352104321，Aij表示D中（i,j）元素（i,j=1，2，3，4）的代数余子式，则
A21＋A22＋A23＋A24＝______________________.
12．041031411012 ＝______________________.
13．若A，B均为3阶矩阵，且｜A｜＝2，B＝－3E，则｜AB｜＝_____________________.
14．若向量组α1＝（1，0，0），α2＝（2，t,4）,α3=(0,0,6)线性相关，则t=_____________.
15．设矩阵A＝332313322212312111bababababababababa，其中aibi≠0(i=1,2,3).则秩（A）＝_______________.
16．设A是n阶矩阵，秩（A）
17．设A为n阶矩阵，若齐次线性方程组Ax=0只有零解，则非齐次线性方程组Ax=b的解的
个数为_____________________.
18．已知n阶方阵A与B相似，且B2＝E.则A2＋B2＝_____________________.
19．设A为n阶矩阵，若行列式｜5E－A｜＝0，则A必有一特征值为__________________.
20．二次型3223222122xxxxx的规范形是_____________________.
三、计算题（本大题共6小题，每小题8分，共48分）
21．计算行列式babaababbaba的值.
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22．设A＝334322211，B＝221112001，矩阵X满足方程AX＝BT，求X.
23．求下列向量组的秩和一个最大线性无关组.
α1＝0321，α2＝3021，α3＝0642，α4＝0121，α5＝1100，
24．确定λ，μ的值，使线性方程组3213232132134532231xxxxxxxxxxx 有解.
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25．已知向量α1＝(－1，1，1)T，α2＝(1，0，1)T，求一单位向量α3，使α3与α1，α2都
正交.
26．用正交变换化二次型323121232221321484363xxxxxxxxx)x,x,x(f为标准形，
并写出所用的正交变换.
四、证明题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）
27．设A是n阶方阵，｜A｜≠0，证明｜A*｜=｜A｜n-1.
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28．已知n阶方阵A的各行元素之和均为a，证明向量x=(1，1，…，1)T为A的一个特征向
量，并求相应的特征值.
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