非线性模型理论及其应用研究
非线性控制系统中的模型预测控制技术
非线性控制系统中的模型预测控制技术一、引言现代控制理论的发展中，非线性控制系统成为了研究的关键领域。
非线性控制系统的特点是复杂性强、系统参数难以准确测量、不确定性大等。
这些因素使得非线性控制系统很难得到精准的控制。
本文将重点剖析模型预测控制技术在非线性控制系统中的应用。
二、非线性控制系统的特点一般来说，非线性控制系统具有以下几个特点：1. 系统的非线性和复杂性2. 系统存在参数不确定性，难以精确测量3. 控制输入和输出之间存在强耦合性4. 系统存在振荡、不稳定性等问题上述特点使得非线性控制系统的控制变得非常复杂，需要使用更加先进的控制算法来解决这些问题。
三、模型预测控制模型预测控制，简称MPC，是基于一个预测模型进行控制的一种方法。
在MPC中，控制器使用当前的状态以及对未来状态的预测来作出控制决策。
控制器会计算出一个控制变量序列，然后将其施加到非线性系统中。
这种方法可以提高控制系统的性能，从而降低控制误差。
MPC 的基本流程可以概括为以下几个步骤：1. 选择一个模型2. 预测下一步的状态和输出3. 计算控制变量序列，优化控制性能4. 应用当前的控制变量MPC 具有以下优点：1. 能够将未来的控制变量和权重考虑进去，使得控制系统能够更好地适应未来的变化。
2. 能够对强耦合的非线性系统进行控制。
3. 能够更好地应对系统不确定性和时变性。
因此，MPC 已经成为了非线性控制系统中的一种重要控制方法。
四、MPC 在非线性控制系统中的应用由于非线性控制系统具有非确定性和复杂性等特点，为了更好地处理这些问题，MPC 被广泛地应用在非线性控制系统中。
特别是在化工、能源等重要领域，MPC 已经成为了非线性控制系统中最常用的控制方法之一。
例如，在控制化工过程中， MFC（Model Predictive Control）技术已经广泛应用，该技术可以对复杂的化工过程中的需求进行实时调节，并对可能出现的负面效应进行修正。
变系数模型的理论及应用研究
变系数模型的理论及应用研究第一部分变系数模型概述 (2)第二部分变系数模型理论基础 (5)第三部分模型参数估计方法 (7)第四部分模型稳定性分析 (11)第五部分应用案例研究 (14)第六部分实证结果与讨论 (17)第七部分研究局限与未来展望 (20)第八部分结论与政策建议 (23)第一部分变系数模型概述变系数模型概述一、引言在实际的经济、生物、医学、社会等众多领域中，变量之间的关系往往受到其他因素的影响而呈现出非线性特性。
传统固定系数模型假定参数不随自变量变化，然而，在许多情况下，这种假设并不成立。
为了更准确地刻画现实世界中的复杂现象，变系数模型（Variable Coefficient Models, VCM）应运而生。
本文将对变系数模型的基本概念、理论和应用进行介绍。
二、基本概念与形式化描述变系数模型是一种参数可以随自变量变化的非线性模型，其数学表达式为：y = f(xβ(t)) + ε其中，y 是因变量，x 是解释变量向量，β(t)是一个以 t 为参数的函数，ε是随机误差项，f()表示一个非线性函数。
可以看出，该模型的核心在于参数β随着自变量 x 的变化而变化。
三、变系数模型的性质1.参数可变性：变系数模型的特点在于参数不再是常数，而是随着时间或空间的变化而变化。
这种可变性使得模型能够更好地捕捉到数据中的非线性特征。
2.非参数估计：由于参数函数β(t)未被明确指定，因此通常需要采用非参数方法进行估计。
常见的非参数估计方法包括局部线性回归、核平滑法和样条插值等。
3.异方差性：由于参数随自变量变化，故模型中的误差项可能具有异方差性。
为了克服这个问题，通常需要对误差项进行适当的处理，如使用加权最小二乘法进行估计。
四、变系数模型的估计方法变系数模型的估计主要包括参数函数的估计和非参数函数的估计两部分。
1.参数函数的估计：参数函数β(t)通常是未知的，需要借助于数据进行估计。
常用的参数函数估计方法有核平滑法、样条插值法和趋势外推法等。
数学建模中对非线性动力系统模型的认识和体会
数学建模中对非线性动力系统模型的认识和体会真实动力系统几乎总是含有各种各样的非线性因素，诸如机械系统中的间隙、干摩擦，结构系统中的材料弹塑性和黏弹性、构件大变形，控制系统中的元器件饱和特性、控制策略非线性等等。
非线性动力学理论的研究和发展已经经历了一个多世纪，在新世纪之初，为了使非线性动力学理论得到更好的发展，非常有必要回顾一下非线性动力学研究和发展的历史。
非线性动力学理论的发展大致经历了三个阶段。
第一个阶段是从1881年到1920年前后，第二阶段从20世纪20年代到70年代，第三阶段从20世纪70年代至今。
人们对于非线性系统的动力学问题的研究可以追溯到1673年Huygens对单摆大幅摆动非等时性的观察。
第一阶段的主要进展是动力系统的定性理论，其标志性成果是法国科学家Poincare从1881年到1886年期间发表的系列论文“微分方程定义的积分曲线”，俄罗斯科学家Liapunov 从1882年到1892年期间完成的博士论文“运动稳定性通论”，以及美国科学家Birkhoff在1927年出版的著作“动力系统"。
第二阶段的主要进展是提出了一系列求解非线性振动问题的定量方法，代表人物有俄罗斯科学家Krylov、Bogliubov，乌克兰科学家Mitropolsky，美国科学家Nayfeh等等。
他们系统地发展了各种摄动方法和渐近方法，解决了力学和程科学中的许多问题。
在这个阶段中抽象提炼出了若干著名的数学模型，如Duffing方程、vander Pol方程、Mathieu方程等，至今仍被人们用以研究非线性系统动力学现象的本质特征。
从20世纪60~70年代开始，原来独立发展的分岔理论汇入非线性动力学研究的主流当中，混沌现象的发现更为非线性动力学的研究注入了活力，分岔、混沌的研究成为非线性动力学理论新的研究热点。
俄罗斯科学家Arnold和美国科学家Smale等数学家和力学家相继对非线性系统的分岔理论和混沌动力学进行了奠基性和深入的研究，Lorenz和Ueda等物理学家则在实验和数值模拟中获得了重要发现。
非线性控制理论在控制工程中的应用
非线性控制理论在控制工程中的应用第一章：引言控制工程是一门将现代控制理论应用于实际生产中的学科。
自上世纪五十年代以来，现代控制理论得到了长足的发展与应用，逐渐向非线性控制转移。
非线性控制理论具有更广泛、更深入的应用，因此越来越受到学术界和实践工程师的关注。
本文将介绍非线性控制理论在控制工程中的应用，包括非线性系统的建模方法和不同类型的控制策略；并探讨其在工业过程和机器人领域中的应用案例。
第二章：非线性系统的建模方法所谓非线性系统，是指与外部条件发生变化时，系统的分量之间不遵循简单的比例而变化的动态系统。
与线性系统不同，非线性系统中的变量之间可能发生非线性关系。
非线性系统的建模是分析和控制这些系统的核心基础。
目前，非线性系统的建模方法包括：1. 基于物理学原理或经验公式的建模方法。
这种方法一般适用于具有清晰物理含义的系统，如机器人系统和传感器系统等。
2. 基于数值类型和算法建模方法。
这种方法依靠类似数据挖掘和半贝叶斯方法等的算法实现。
3. 基于增量建模的方法。
这种方法通过将非线性系统分为多个子系统并使用修正和调节策略来建立模型。
第三章：非线性控制策略一旦建立起非线性系统的模型，就可以根据所需的控制效果选择适当的非线性控制方法。
这些方法包括：1. 比例-积分-微分(PID)控制策略。
PID控制是控制工程中最常用的控制策略之一，其根据误差信号的大小、积分误差和误差斜率来调节系统的输出。
2. 模糊控制。
模糊控制是一种基于模糊集合理论和规则库的预测控制策略。
模糊控制专注于控制器自身的性能，并能够根据您想要的控制策略来创建适当的控制器。
3. 非线性控制策略。
非线性控制的目标是结合系统模型的复杂性和控制效果需求，使其更好地适应非线性系统的特性。
非线性控制策略通常基于相位、振幅和频率等数学模型，以调整系统输出。
第四章：工业过程中的应用案例在工业过程控制中，非线性控制方案已经得到了广泛应用。
其中，一个显着的例子是电力系统控制。
航行船舶的非线性水弹性理论与应用研究的开题报告
航行船舶的非线性水弹性理论与应用研究的开题报告一、选题背景及意义随着船舶技术的发展和航行条件的多样化，船舶水弹特性成为研究的重要方向之一。
由于船舶在波浪作用下的运动是非线性的，因此进行非线性研究可以更加准确地描述船舶的运动和水动力特性。
同时，船舶的水弹特性对于船舶的结构设计、性能评估和海洋工程问题等方面都有着非常重要的意义。
二、研究内容本课题旨在研究航行船舶非线性水弹性理论与应用，具体研究内容包括：1. 航行船舶运动方程的推导与建立，包括船舶的六自由度运动方程和波浪方程等。
2. 船舶非线性水弹力学特性的研究，包括船舶的各种非线性因素对水动力特性的影响等。
3. 船舶水动力性能的评价与分析，包括船舶的阻力、功率和速度等性能指标的计算和分析。
4. 船舶运动的数值模拟与实验验证，包括采用数值计算方法对船舶水动力性能进行模拟和仿真，以及实验验证等。
三、研究方法本课题主要采用理论分析、数值计算和实验验证相结合的方法进行研究。
具体包括：1. 应用流体力学基础理论和方法，对船舶的水弹特性进行理论分析和建模。
2. 采用计算流体力学方法，建立数值模型对船舶的水动力特性进行数值模拟和计算。
3. 进行船舶水动力性能实验，验证数值模拟的准确性和可靠性。
四、预期成果通过本课题的研究，预期能够得到以下成果：1. 深入理解船舶非线性水弹性理论及其应用领域的研究现状和发展趋势。
2. 建立航行船舶水弹模型，对船舶的水动力特性进行研究和分析。
3. 发现非线性因素对船舶水动力性能的影响规律，为船舶设计和海洋工程问题等提供重要理论依据。
4. 提供船舶水动力性能的数值模拟分析方法和技术支持，为船舶航行安全和效率提供技术保障。
五、可行性分析本课题的研究涉及到流体力学、应用数学、国际贸易等多个领域的知识，需要具备扎实的理论基础和实验技能。
此外，还需要掌握相关的数值计算方法和软件工具，并具备一定的工程应用实践经验。
综合考虑，本课题的研究具有较高的可行性和实现可行性。
给水管网模型系统的非线性优化方法研究
给水管网模型系统的非线性优化方法研究随着城市规模的扩大和人口的增长，水资源管理成为了越来越紧迫的问题。
给水管网模型系统的非线性优化方法研究，旨在通过优化水管网的设计、运行和维护，提高水资源利用效率，保障城市用水安全和可持续发展。
本文将对给水管网模型系统的非线性优化方法进行研究和讨论。
一、给水管网模型系统的非线性优化方法概述随着给水管网模型系统的规模和复杂度的增加，传统的线性优化方法已经无法满足现实需求。
因此，非线性优化方法成为了处理给水管网模型系统的理论和技术主要方法之一。
非线性优化方法基于对非线性模型的优化求解，能够更精确地描述给水管网模型系统的特性和行为。
二、给水管网模型系统的非线性优化方法应用1. 水质调整优化给水管网模型系统中的水质调整是确保供水水质达标的重要环节。
通过非线性优化方法，可以对给水管网进行细致建模，考虑水质调整设施的位置、规模、调节参数等因素，并优化供水调整措施，以实现最佳的水质调整效果。
2. 压力调节优化管网内的水压调节是管网系统稳定运行的关键。
利用非线性优化方法，可以考虑到供水管网中不同管段的特性以及供水需求的动态变化，通过调整供水管网中阀门的开启程度和泵站运行参数，优化供水管网内的水压分布，保证管网的正常运行并减少能耗。
3. 水量调度优化合理的水量调度对于提高供水效率和满足城市用水需求至关重要。
非线性优化方法可以将水量调度问题看作一个约束优化问题，通过优化供水管网的水量分配，使得整个管网的供水能力最大化，同时遵循管网的各项约束条件。
4. 管径优化设计合理的管径设计是确保供水管网系统正常运行的基础。
通过非线性优化方法，可以考虑供水管网中不同管段的流速、阻力等因素，结合供水需求和管网投资成本，寻求最佳的管径分配方案，以减少管网系统的压力损失和能耗。
三、给水管网模型系统的非线性优化方法研究的挑战和展望在进行给水管网模型系统的非线性优化方法研究时，仍然存在一些挑战需要克服。
首先，给水管网模型系统的规模庞大，模型复杂，需要有效的优化算法和计算方法来应对。
计量经济学_詹姆斯斯托克_第8章_非线性的回归模型
Ln(TestScore) = 6.336 + 0.0554 ln(Incomei) (0.006) (0.0021)
假设 Income 从$10,000 增加到$11,000（或者 10%）。
则 TestScore 增加大约 0.0554 10% = 0.554%。
如果 TestScore = 650, 意味着测试成绩预计会增加
非线性的回归模型
非线性的回归函数
“非线性”的含义：
（1）非线性的函数 自变量与解释变量之间的非线性
函 数形式。
（2）非线性的回归 参数与随机项的非线性形式。
非线性的回归函数
一、多项式回归 二、对数回归 三、自变量的交互作用 四、其他非线性形式的回归 五*、非线性回归（参数非线性）
一、多项式回归
1、指数函数曲线
指数函数方程有两种形式：
yˆ aebx yˆ abx
y a＞0，b＞0
a＞0，b＜0
x
图11.1方yˆ 程 aebx 的图象
二、对数函数曲线
对数函数方程的一般表达式为：
yˆ a b ln x
y
b＞0
b＜0
x
图11.2 方程yˆ =a+blnx 的图象
（2）根据拟合程度的好坏来确定（如，利用spss 的相关功能） 在社会科学领域里，阶数不会太高！
一、多项式回归
形式： Y 0 1X 2 X 2 ...r X r u
（2）多项式的本质 泰勒展开
一、多项式回归
形式： Y 0 1X 2 X 2 ...r X r u
Y——收入； D1——性别（1——男；0——女） D2——学历（1——大学学历；0——没有）
非线性微分方程在数学生物学中的应用研究
非线性微分方程在数学生物学中的应用研究 数学生物学是将数学理论和方法应用于生物学领域的学科，它为我们理解和解释生物系统中的各种现象提供了强有力的工具。其中，非线性微分方程是数学生物学中最常用的建模工具之一。在本文中，我们将探讨非线性微分方程在数学生物学中的应用研究，并介绍一些经典的应用案例。
非线性微分方程是描述自然现象的重要数学工具。与线性微分方程不同，非线性微分方程的解无法简单地表示为简单的线性组合。这也使得非线性微分方程能更好地描述复杂的生物现象，它能捕捉到生物系统中的非线性关系和非平凡行为，有助于我们了解重要的生物过程和生物系统的行为。
在数学生物学中，非线性微分方程广泛应用于模拟、预测和解释一系列生物学现象。以下是一些经典的应用案例：
1. 肿瘤生长模型：肿瘤是一种严重的疾病，研究肿瘤生长规律对于治疗和预防具有重要意义。非线性微分方程可以用来描述肿瘤细胞的增长和扩散过程。通过建立适当的非线性微分方程模型，可以预测肿瘤的生长速度、扩散范围以及可能的治疗方法。
2. 病毒传播模型：病毒传播是流行病学的研究重点之一。非线性微分方程可以用来描述病毒在人群中传播的动态过程。通过建立合适的非线性微分方程模型，可以预测感染人数的增长趋势、控制传播速度和制定有效的防控策略。
3. 神经系统模型：神经系统是一个复杂的生物系统，了解神经元之间的相互作用和传递过程对于理解大脑功能及其疾病具有重要意义。非线性微分方程可以用来描述神经元的兴奋-抑制过程以及神经电信号的传递和调节。通过建立适当的非线性微分方程模型，可以模拟神经元网络的动力学行为，帮助我们揭示神经系统的工作原理。 4. 生态系统模型：生态系统是由许多物种相互作用而形成的生物群落。非线性微分方程可以用来描述生物种群之间的相互作用和影响。通过建立适当的非线性微分方程模型，可以预测物种种群的演化趋势、相互竞争关系、资源分配等，有助于我们了解生态系统的可持续发展和群落结构的变化。
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第一组计量经济学理论与方法字数10000非线性模型理论及其应用研究天津财经大学马薇袁铭摘要本文对长记忆模型（ARFIMA）及其估计方法，平滑转移自回归模型（STAR）的一般形式与拓展形式，经济过程中的非线性检验以及模型选择检验进行简要介绍和初步研究，并在此基础上引入了分整平滑转移自回归模型（FI-STAR）。
在模型应用方面，本文使用FI-STAR模型，结合使用GARCH模型修正模型残差，给出了研究微观金融市场“杠杆效应”和股指联动性的分析框架，也对使用STAR族模型研究微观市场数据进行了初步尝试。
关键词：ARFIMA、STAR、LSTAR、ESTARAbstractThis paper emphasis on the ARFIMA model and its estimation as well as provide a brief sketch on the basic form and some extensions of smooth transition autoregressive model. Then, we review the nonlinear test and model specification test of a given economic process and introduce the fractional integrated STAR model. Finally, for the model appliance, we subtly combine the FI-STAR model with GARCH model as an adjustment of the residuals to provide a framework of the research on the “leverage effect”and interactions between different stock market. These preliminary explorations are still as some attempts of using STAR family model to analysis the micro economic and market processes.Key word: ARFIMA、STAR、LSTAR、ESTAR作者简介马薇性别女出生日期1958.12.21 学位：博士学位职称教授（博士生导师）天津财经大学袁铭性别男出生日期1982 05 12 天津财经大学博士研究生研究方向计量经济学引言现实中，自然、社会经济现象各因素之间一般存在非线性的复杂关系。
长期以来，因受自身能力约束，人们难以有效识别与分析。
在问题研究中，往往采用牛顿还原论的思维模式，力图将其转化或逼近成线性关系处理。
作为数学、理论统计学的一个研究方向，目前非线性数据的线性化工作取得了重要进展，建立了较完备理论方法体系，成功应用于自然科学领域。
人们关注的热点已转向社会经济领域中的应用。
由于不可能针对每一组非线性数据设计单独的分解方法，所以通过非线性模型分类，针对类型设计出相应的线性转换或逼近方法成为此项研究的主流。
而非线性模型族的识别则成为基础性的工作。
对于非线性经济数据的线性转化而言，合理性判断应是其能否较充分反映原有的经济关系。
一、ARFIMA模型及其估计长期记忆及分整的概念是由Granger和Joyeux（1980）[1]提出的。
他们认为，对于许多时间序列来说，差分序列的谱密度函数表现出过度差分的现象；同时，原始序列也表现出长期相关性，这与稳定ARMA模型相悖。
因此，Granger和Joyeux引入分数差分算子将原始序列转换为平稳的ARMA序列过程。
一般形式的线性ARFIMA(p,d,q)模型具有如下形式：（1.1）其中和分别为p阶和q阶滞后算子多项式，L为滞后算子，为了满足时间序列的平稳性要求，需要约束算子多项式的特征根都在单位圆外，分数阶差分算子通常还可以写作：（1.2）ARFIMA模型的检验与估计主要Geweke，Porter和Hudak（1983）[2]提出的半参数谱分析方法（GPH）。
该方法的核心思想是分数阶差分参数d等于时序谱密度函数在处的斜率，对于d的估计还有研究人员给出了基于最大似然函数的参数化估计方法，例如Sowell（1992）提出的精确最大似然估计法，还有Fox和T aqqu（1983）给出的频域近似最大似然估计法。
这两种方法都能够同时估计模型的短记忆和长记忆参数，但计算起来较为复杂，并且依赖对ARFIMA中高频部分的正确设定，也就是说差分参数d的估计结果对ARMA中滞后阶数p，q的选择较为敏感。
总之，在长记忆参数d的估计问题上，参数方法比半参数方法的效率高，但是计算量庞大，并且受限于模型的错误识别；相对地，半参数方法的计算量较小，对模型的错误识别具有稳健型，但效率较低。
因此，可以考虑使用贝叶斯思想将两类方法结合起来，例如可以使用半参数估计方法，如GPH方法得当参数d的初始估计并构造d和残差的先验分布，然后在此基础上，使用近似极大似然估计方法（Baron，1995）得当d的贝叶斯估计，从而使长记忆参数d的估计更加准确、稳健。
二、平滑转移自回归模型及其非线性检验平滑转移自回归模型（STAR）是Granger和T eräsvirta（1993）[3]提出的，作为机制转换类模型的一种，STAR模型可以使在两个极端机制之间的变化成为平滑或逐渐的变化。
下面就STAR模型的一般形式、拓展形式，STAR模型的检验展开讨论。
一般来说，两机制的STAR(p)模型可以写作：（2.1）函数用来协调经济过程在两种机制（或）之间的转换，并且这种转换是平滑的。
是转移变量，可以是（1）滞后内生解释变量（）；（2）外生解释变量（）；（3）滞后内生变量的线性或非线性函数（）；（4）线性时间趋势，即使STAR模型具有时变的特征。
对于函数形式的选择一般有两种：logistic形式的（LSTAR）或指数形式（ESTAR）的。
一阶Logistic形式的函数可以写作：（2.2）其中，参数c是两个机制转换的门限值，的值随着转移变量值的递增从0单调递增至1，并有；参数决定了logistic函数值变化的平滑程度，即从一种机制向另一种机制转变的平滑程度。
如果非常大，则两种机制之间的转换几乎是瞬间实现的。
更一般的，可以将一阶Logistic形式的转换函数拓展为n阶的Logistic函数，用来捕捉经济过程中两种机制的多重转换关系，即：（2.3）指数型STAR（ESTAR）的转换函数可以写作：（2.4）ESTAR 的转换函数关于是对称的，并且无论趋近于负无穷或者正无穷都有；若转换速度参数或，都将退化为常数（0或1）使得ESTAR模型退化为线性模型。
在实证研究中，LSTAR模型对从一种机制转换至另一种机制时，呈现规律的平滑转移过程的时间序列具有较强的解释能力，因而适合分析经济过程非对称机制调整的情况；反之，ESTAR模型则更适于描述具有对称机制转换的经济过程。
虽然两机制STAR模型能够满足经济研究大部分应用，但也可以将更多机制加入STAR模型中，从而得到多重机制平滑转移自回归模型简称MRSTAR。
典型的三机制STAR的形式如下：（2.5）如果假设，则该模型的自回归参数随着的增加平滑地从通过变化到。
更一般的多重机制STAR模型可以写作：（2.6）关于多重机制STAR模型的构造问题一般采用“封装”的思想，例如构造一个四重机制STAR模型，可以通过将两个不同的双机制模型封装来得到，即：（2.7）在（1.11）式中若假定和是内生解释变量的线性组合（），并且施加约束：，则可以得到MRSTAR模型衍生模型，即变系数平滑转移模型，该模型实际上是人工神经网络模型（ANN）的一个特例。
更多关于MRSTAR模型的讨论详见Van Dijk 与Franses（1999）[4]。
同样在上式中若令，则得到时变STAR模型（TVSTAR）[5]，用来解决STAR模型中参数估计不一致的问题，典型的TVSTAR模型可以写作：（2.8）其中，与此同时，可以将一元STAR模型拓展为多元的情形，即向量STAR模型。
令是一个时间序列向量，则k维二机制向量STAR模型可以写作：（2.9）其中，是向量；是矩阵；是k维向量白噪声过程。
基于向量STAR模型的研究包括STAR-ECM模型（Granger和Swanson，1996）[6]（将非线性或者非对称误差修正机制引入）以及共同非线性（向量时间序列的非线性是由同一个非线性部分产生的）的识别与检验。
3.STAR模型的检验STAR模型的检验主要涉及两个方面：（1）非线性检验，即检验原始时间序列是否呈现非线性特征；（2）模型选择检验，即如果确定建立非线性模型，检验选择的转换变量和过渡函数是否合适；（3）模型设定检验，即检验估计的模型是否存在残差序列相关、残余非线性问题，以及参数估计是否稳定。
本文的研究重点主要是STAR模型的非线性检验和模型选择检验。
非线性检验的核心思想是Luukkonen、Saikkonen和（1988）[7]提出的，即将转换函数用适当的泰勒级数展开式近似值替代，这样就避免了不能直接对线性与非线性假设进行检验的问题，并且在线性原假设成立的条件下，LM统计量渐进服从分布。
该方法有两个优点：（1）不需要估计备择假设下的模型；（2）可以运用蒙特卡洛模拟方法，根据渐进分布理论得到检验临界值。
表1是针对LSTAR和ESTAR 非线性检验的辅助回归、检验原假设，及在线性原假设成立的情况下统计量的渐进分布。
其中，，。
统计量的提出是为了避免当不同机制之间的差别仅体现在截距上统计量失效的问题；统计量的提出是因为指数形式的转换函数存在两个拐点，因而用一阶泰勒级数展开式作为转换函数的近似值不足以概括出模型的特征。
尽管如此，在检验势上，没有足够的证据表明统计量比统计量要强。
下面以统计量为例介绍STAR模型的非线性检验过程。
（1）在线性原假设下，估计模型，计算其残差平方和；（2）估计统计量的辅助回归式，计算其残差平方和；（3）计算统计量的值：（2.10）如果研究的经济过程样本容量较小，则应该使用F统计量来计算LM检验的临界值[8]，即：（2.11）基于同样的思想和辅助回归式，还可以进行模型选择检验，即选择LSTAR模型还是ESTAR模型作为转换函数能够更好地描述经济过程的特征。
模型选择检验使用的三个原假设如下：0:301=βH ；0|0:3202==ββH ；0|0:32103===βββH （2.12）检验步骤为：分别在三个原假设以及非约束的条件下估计辅助回归式得到残差平方和SSR 01、SSR 02、SSR 03、SSR UR ；根据表1及式（1.14）和（1.15）构造LM 统计量，并根据临界值判断是否接受原假设；若拒绝H 01，则适用LSTAR 模型来拟合数据；若接受H 01但拒绝H 02，则适用ESTAR 模型来拟合数据，若接受H 01和H 02，但却拒绝H 03，则适用LSTAR 模型来拟和数据；若同时接受H 01、 H 02、 H 03，则又回到了非线性检验的原假设，此时应该使用线性模型来拟合数据。